二进制下的康托展开
二进制相移键控基本原理
二进制相移键控基本原理今天来聊聊二进制相移键控的原理。
我最开始接触这个概念是在研究通信技术的时候。
咱们就从生活中的一个小场景说起吧。
你想啊，假如你和朋友玩一种特别的游戏，你们只能通过闪手电筒来传递信息，而且只有两种状态，亮亮闪闪的方式就类似于二进制里的0和1。
这就有点像二进制相移键控的雏形啦。
二进制相移键控呢，简单来说，就是通过改变信号相位来表示不同的二进制信息。
这里的相位是什么呢？打个比方，就像咱们看时钟，时针指向不同的刻度就好像是不同的相位。
在二进制相移键控里，0和1就对应着不同的相位状态。
比如说，0可能对应的是0度相位，1可能对应的是180度相位。
有意思的是，传输信号为啥要用这种改变相位的方式呢？其实是为了更有效地利用通信资源。
就好比我们在有限的道路上（通信信道），想要运送更多种类的货物（信息），那就得通过巧妙的方式去标记这些货物，改变信号相位就像是给货物贴上特殊的标签。
说到这里，你可能会问，那接收端是怎么识别这些相位所代表的二进制数呢？接收端就像一个很聪明的小助手，它能够根据接收到的信号相位的变化，准确判断是0还是1。
这其实依赖于一些特定的算法和线路设计。
在实际应用方面，二进制相移键控在早期的数字通信里应用非常广泛。
举个例子，以前的一些无线电台和最早期的数字调制解调器就用这种技术。
不过，它也有注意事项哦。
因为在实际传输中可能会受到噪声或者干扰，就像咱们传递闪手电筒信息的时候突然有别的强光晃眼睛了，这就可能导致接收端识别错误。
我一开始也不明白为啥不能直接用高低电平这种简单方式，非要采用这么复杂的相移键控呢？后来才知道这是为了适应越来越复杂的通信需求。
在学习这个原理的过程中，我逐渐明白每一个技术都是逐步发展来的。
这里还有延伸的思考，随着技术越来越发达，二进制相移键控是否会逐渐被新的技术完全替代呢？现在的通信技术发展飞快，像更复杂的正交相移键控等技术不断出现，但二进制相移键控作为基础，依然在某些简单设备中有着不可或缺的地位。
十进制二进制八进制十六进制关系新
十进制二进制关系二进制逻辑运算公式这个属于逻辑运算，逻辑运算的结果只能为0或1，逻辑变量也是如此。
A可为0和1，当A=0时，0+1=1A=1时，1+1=1。
所以说无论A为什么结果都是1.其中“+”在这里意思“或”，相当于电路的并联，1和0相当于电路的通和断，只要有一条支路是通的，电流就可以到达。
类似该题还有A*0=0,不管A为是什么，结果都是0。
可以看作电路的串联，电路其中一个是断的，电流就没法到达。
①0，1律A•0=0A•1=AA＋0=AA＋1=1②交换律A＋B=B＋AA•B=B•A③结合律A＋B＋C =（A＋B）＋C = A＋（B＋C）A•B•C =（A•B）•C = A•（B•C）④分配律A•（B＋C）= A•B ＋A•C⑤重叠律A＋A＋...＋A = AA•A•...•A = A⑥互补律A + A = 1 A•A = 0⑦吸收律A＋A•B = A A•（A＋B）= AA＋A•B = A＋B A•（A＋B）= A•B⑧对合律对一个逻辑变量两次取反仍是它本身⑨德•摩根定理A+B = A•BA•B = A＋B什么意思？如何运用？例如： F = A•B＋A•B＋A•B=A•B＋A（B＋B）（利用分配律）=A•B＋A（利用互补律以及0，1律）= A＋B（利用吸收律）法则：加法：1+1=10，1+0=0乘法：1*1=1，0*0=0，1*0=0转二进制：用2辗转相除至结果为1将余数和最后的1从下向上倒序写就是结果例如256256/2 = 128 余0128/2 = 64 余064/2 = 32 余032/2 = 16 余016/2 = 8 余08/2 = 4 余04/2 = 2 余02/2 = 1 余0故二进制为100000000二进制的加减例如：1、100100000+10010000+100100 =110110000+100100=1110101002、如果人工计算，应该按照减法进行，即：0000 1100 - 1111 0111 = 0001 0101。
康托三分集几个性质的一种证明方法
康托三分集几个性质的一种证明方法白秀琴（1） 杨宝玉（2）（（1）.平顶山工业职业技术学院，河南平顶山467001；（2）.平顶山工业职业技术学院，河南 平顶山467001）摘要：通过釆用三进制表示法，将康托三分集中的数用三进制表示，通过建立一一对应从而证明了康托三分集是完备的、列紧的、不可数的。
关键词：度量空间；康托三分集；不可数集；证明方法中图分类号： O141 文献标示码：A康托三分集的有关性质，在不少文献中（如文中[1]~ [4] 中）都有表述，但其证明不够简洁，难懂。
文章通过引入度量空间，建立一一对应关系从而比较简洁的证明了康托三分集的性质。
1 预备知识定义 1 在集合X 上的一个函数d:+ℜ→X ⨯X , 若满足以下性质：∀X z y x ∈,, （1）d (x,y)≥0, d (x,y)=0当且仅当x=y; (2) d (x,y)=d (y,x); (3) d (x,y)≤d (x,x)+d (y,y); 则称d (x,y) 为x 与y 之间的距离，（X,d ）称为一个度量空间. 定义 2 在度量空间X 中，若x X x ,∈∀都是一个极限点，则称X 是完备的. 定义 3 在度量空间X 中，若{}0,x x X x k n n →∃⊂∀，则称X 列紧的.定义 4 在度量空间X 中，若0,, M X y x ∃∈∀，使得d (x,y) <M, 则称X 是有界的. 2 康托三分集3 定义 6将区间[]1,00=s 三等分，挖去中间的开区间⎪⎭⎫⎝⎛32,31，剩下的为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,3231,01 S ，将剩下的两个闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0再分别三等分，挖去各自中间的开区间⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91与⎪⎭⎫ ⎝⎛98,97，记剩下的⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1,9897,3231,9291,02 s . 再将剩下的四个闭区间分别三等分，再挖去各自中间的开区间, ……这样继续不断进行下去，由区间中剩下的点所构成的集合称为康托三分集，简称为康托集，记作K ，如下图所示 _________________________________0s____________01s ____________2____002s ____02____20_____22_0003s_002 _020_022_200_202_220_222∞==1n nsK定理 康托三分集是完备的、列紧的、有界的、不可数集.3 用三进制表示康托三分集K用三进制表示一个数有有限制和无限制两种表示形式. 我们常选择无限制表示形式. ，除非末位是2 时才用有限制形式表示. 例如31有两种三进制形式：.1和 . 2_0，然而我们选择无限制形式表示形式.2_0 。
日记（菜的连比赛都参加不了）
⽇记（菜的连⽐赛都参加不了）（差评，去年就在我家门⼝），4.5~4.7，4.5~4.7今年R1在河海⼤学常州分校（差评，去年就在我家门⼝）今年R1在河海⼤学常州分校，连⾮正式都没有了我没有正式名额qwqwq我没有正式名额qwqwq，连⾮正式都没有了（赛（JSOI2019/APIO2019）后再补吧（怕是永久咕咕咕了））懒着写题解就写⽇记，咕咕咕？懒着写题解就写⽇记，咕咕咕？（赛（JSOI2019/3.19 准备⽉考，颓废了⼀晚上但愿⽂化课不要倒数3.20 ⽉考爆炸然后sb错误调了⼀晚上晚上⽆聊写，实际我考场上当时已经接近正解了，但还是⾃⼰太菜，没想起来相似的题，然后sb错误调了⼀晚上晚上⽆聊写，实际我考场上当时已经接近正解了，但还是⾃⼰太菜，没想起来相似的题，3.21 ⼜做了⼀道ynoi，莫队+bitset被卡了，最后写了⼀个很妙的树状数组3.22 下午停了⼀⼩会课，做了两道fft的经典题晚上学了⼀下linux系统qwqwq3.23 凌晨才睡，⽐我⼩还⽐我强的lxr问我cf题的做法，然后我不会凌晨才睡，⽐我⼩还⽐我强的lxr问我cf题的做法，然后我不会3.23⼀⼤早上数学课，学换底公式，差点把我整晕然后下午晚上都在做题第⼀次忘开ll，觉得后⾯题不太可做就去做⾃⼰的题了，觉得后⾯题不太可做就去做⾃⼰的题了先闲着没事写了咕咕⽉赛的T1，先闲着没事写了咕咕⽉赛的T1，第⼀次忘开llP3966 [TJOI2013]单词 ：以前⽤ac⾃动机写过，但我现在不会写ac⾃动机了，写了个后缀数组P5268 [SNOI2017]⼀个简单的询问 ：莫队+推公式P2485 [SDOI2011]计算器 ：bsgs基础题UVA1223 Editor ：后缀数组裸题，输出height的最⼤值，先⽤后缀数组找出两个⼦串的lcs，剩下暴⼒找就⾏了UVA760 DNA Sequencing ：因输出格式整错了很久，先⽤后缀数组找出两个⼦串的lcs，剩下暴⼒找就⾏了UVA760 DNA Sequencing ：因输出格式整错了很久P4474 王者之剑 ：推导⼀下发现就变成了P2774 ⽅格取数问题 ，写个跑⼀下最⼩割就⾏了，两道题代码⼀模⼀样，双倍经验，两道题代码⼀模⼀样，双倍经验，P4474 王者之剑 ：推导⼀下发现就变成了P2774 ⽅格取数问题 ，写个跑⼀下最⼩割就⾏了，双倍快乐P4462 [CQOI2018]异或序列 ：做⼀个异或前缀和，跑莫队开桶统计就⾏了好困啊qwqwq3.24噩耗来临：连⾮正式名额都没有了，⼀切初中⽣禁⽌参加省选qwqwqAPIO有可能变成NOI春令营我是不是该在APIO/NOI春令营之后退役？还是先好好做题吧qwqwqCF547E Mike and Friends ：后缀数组+线段树⼤⼒瞎搞CF427D Match & Catch ：后缀数组求两个字符串最短的且在每个串中仅出现过⼀次公共⼦串长度P3355 骑⼠共存问题 ：⿊⽩染⾊，求最⼩割P5030 长脖⼦⿅放置 ：还是⿊⽩染⾊（染⾊⽅法略有不同），求最⼩割SP32577 ADAPHOTO - Ada and Terramorphing ：后缀数组求最长公共⼦串P4542 [ZJOI2011]营救⽪卡丘 ：神奇建模，跑最⼩费⽤最⼤流3.25思考了⼀天是否该退役，决定还是作为爱好吧，但停课还是算了UVA1303 Wall ：有点像信⽤卡凸包，就是凸包周长+整圆的周长P5108 仰望半⽉的夜空 ：后缀数组+⼆分答案3.26⽩天在学校学计⼏？P3763 [TJOI2017]DNA ：建出sa后暴⼒就⾏了（P1452 Beauty Contest ：旋转卡壳模板题，但要注意特判不能形成凸包的情况P4662 [BalticOI 2008]⿊⼿党 ：⼗分套路的拆点跑最⼩割，最后搜索⼀下，寻找割边3.27我apio⾮正式也没有，想好好退役也得到NOIP2019啊qwqwq颓废的⼀天，⽂竞两开花，就写了⼀下你的名字，sa被卡常了3.28⼏乎肛了⼀整天⽂化课qwqwq，晚上只做了两道sb⽹络流（数据有坑）UVA1194 Machine Schedule ：最⼩点覆盖=最⼤匹配，上⽹络流就⾏了（数据有坑）UVA1194 Machine Schedule ：最⼩点覆盖=最⼤匹配，上⽹络流就⾏了P4304 [TJOI2013]攻击装置 ：骑⼠共存原题？真·良⼼。
二进制与数制转换课件-高中信息技术人教版必修1
2.（77）8
=（ 63 ）10
5.（132）10=（ 204 ）8
3.（11E）16
=（ 286 ）10
6.（321）10=（ 141 ）16
7 .（ 11 00110 1101 ） 2 = （
3155
8.（110011100110） 2 =（
CE6
）8
） 16
信息技术
课堂例题
9.（77）8=（ 111111 ）2
110
100
010
二进制十六进制
信息技术
四缩一,一放四
把二进制数由低位到高位，每四位分割（不满四位用0填
充），分割后的每四位二进制转化为相应的10进制，最后
用16进制表示。
0111 1010
2进制
7
10
10进制
7
A
16进制
【牛刀小试】二进制数(11011001)2转换成十六进制数是（ A）
（A）D9H
1.2 位权：
一个与数字位置有关的常数，位权=−
2. 常见数制之间的转换
2.1 十进制转二进制、八进制和十六进制：
除R取余法
2.2 二进制、八进制和十六进制转十进制：
位权法
2.3 二进制与八进制的相互转换：
二进制数的三位相当于八进制数的一位
2.4 二进制与十六进制的相互转换：
二进制数的四位相当于十六进制数的一位
在实际应用中，还尝过哪些计数制？
在实际应用中，还使用其他的计数制，如三双鞋（两只鞋为一双）、两周实
习（七天为一周）、4打信封（十二个信封为一打）、半斤八两（一斤十六
两）、三天（72小时）、一刻钟（15分）、二小时（120分）等等。
这种逢几进一的计数法，称为进位计数制。简称“数制”或“进制”。
二进制魔术原理
二进制魔术原理嘿，你有没有想过，在我们这个看起来如此复杂、充满各种信息的数字世界里，其实有一种超级神奇的“魔法”在背后默默支撑着一切？这魔法呀，就是二进制。
我有个朋友，叫小李，他以前对计算机啥的一窍不通。
有一次我们聊天，我就跟他说：“小李啊，你知道吗？你每天用的手机、电脑，它们内部都在玩一种超级有趣的魔术，这个魔术的秘诀就是二进制。
”小李瞪大了眼睛，就像听到了天方夜谭一样，说：“二进制？那是什么玩意儿？听起来就很神秘。
”我就开始给他解释。
我说：“你看啊，我们生活中的数字是十进制的，就像我们有十个手指头，所以很自然地就用0到9这十个数字来表示数。
但是在计算机的世界里，就像一个奇怪的小王国，这里的居民只认识0和1，这就是二进制。
你可以把0想象成一个小矮人在睡觉，1呢，就是这个小矮人醒着，在做事情。
”小李听了哈哈大笑，说：“你这比喻可真逗。
”那二进制怎么就成了魔术呢？我接着说：“想象一下，你有一个装满宝藏的盒子，这个盒子里的宝藏其实就是各种信息，像你手机里的照片、音乐、你打的字发的消息。
计算机就像一个超级魔术师，它要把这些宝藏用0和1来表示。
比如说一个字母A，在计算机里可不是像我们手写的那样，它是被转化成了一串由0和1组成的代码。
这就好比把一个美丽的花朵，拆成了一个个小小的零件，每个零件就是0或者1。
”这时候小李有点疑惑了，他问：“那怎么把这些0和1又变回我们能看懂的东西呢？这不是把好好的东西拆得乱七八糟了吗？”我笑了笑说：“这就是这个魔术的神奇之处啊。
你看，计算机有一套规则，就像魔术师有自己的魔法咒语一样。
当它要把这些0和1组合展示给我们看的时候，它就按照这个规则，把0和1重新组合成我们能认识的字母、数字或者图像。
这就好像那个超级魔术师又把那些小小的零件重新组装成了原来美丽的花朵。
”我又给他举了个例子。
我说：“你知道电灯开关吧？它只有开和关两种状态，开就相当于1，关就相当于0。
如果我们用一组这样的开关来表示信息，比如说三个开关，那就有000、001、010、011、100、101、110、111这八种状态。
八数码(双向搜索)解题报告
a)广搜的优化：用布尔数组、哈希表、二叉排序树等提高判重效率，用双向搜索、滚动数组改善空间效率，用二进制改进产生式、存储空间以及判重效率例题：【问题描述】:在3 * 3 的棋盘上，摆有八个棋子，每个棋子上标有1 至8 的某一数字。
棋盘中留有一个空格。
空格周围的棋子可以移到空格中。
要求解的问题是，给出一种初始布局[ 初始状态] 和目标布局[ 目标状态] ，输出从初始布局到目标布局的转变至少需要的步数。
【输入格式】输入由两行组成，每行8个数，分别表示初始状态和目标状态：【输出格式】输出步数，若无解输出“No solution!”。
【输入输出样例】输入文件名：8num.in283164705123804765输出文件名：8num.out5时限：前两组数据不超过1秒，第三组数据不超过10秒program shuangguang8; {Made By P.D.B (AYLA)}{此程序可全部AC,用时0 ms}const ji:array[1..8]of longint=(40320,5040,720,120,24,6,2,1);{康托展开时用到的常数，分别为为9-1的阶乘}var d1,d2:array[0..10000]of string[10];{两个队，分别存放双向广搜的一支} k1,k2:array[0..370000]of boolean;{Hash表，康托展开的数组，判重用}kb1,kb2:array[0..370000]of integer;{Hash表，康托展开的数组，存放每种情况的步数}fu1,fu2:array[0..10000]of integer;{两个队，存放当前步数}w1,w2,h1,t1,h2,t2,i,j,tol,lei,b:longint;m,n,z:string[10];l,c:char;{辅助变量} procedure print;{输出}beginwriteln(kb1[lei]+kb2[lei]);{从起始到当前情况与从目标到当前情况的步数和} halt;end;function PDhash1(x:string):boolean;{判断当前情况在队列1中是否重复}beginlei:=0;for i:=8 downto 1 do {康托展开，i表示当前位数}begintol:=0;for j:=i to 9 do {将当前位数前比当前位数大的数的个数与当前位数的阶乘相乘，并累加到l变量lei中}if x[i]>x[j] then inc(tol);lei:=lei+ji[i]*tol;end;PDhash1:=k1[lei];end;function PDhash2(x:string):boolean;{判断当前情况在队列2中是否重复}beginlei:=0;for i:=8 downto 1 dobegintol:=0;for j:=i to 9 doif x[i]>x[j] then inc(tol);lei:=lei+ji[i]*tol;end;PDhash2:=k2[lei];end;procedure hash1(x:string[10]);{将当前情况加入到队列1的Hash表中，可与PDhash1过程合并，为便于理解将其分开}beginlei:=0;for i:=8 downto 1 dobegintol:=0;for j:=i to 9 doif x[i]>x[j] then inc(tol);lei:=lei+ji[i]*tol;end;k1[lei]:=true;kb1[lei]:=fu1[t1]; {将当前步数存入康托展开后的数组中}if k2[lei] then print; {如果反向搜索状态中由此情况，则输出，并结束程序} end;procedure hash2(x:string[10]);{将当前情况加入到队列2的Hash表中，可与PDhash2过程合并，为便于理解将其分开}beginlei:=0;for i:=8 downto 1 dobegintol:=0;for j:=i to 9 doif x[i]>x[j] then inc(tol);lei:=lei+ji[i]*tol;end;k2[lei]:=true;kb2[lei]:=fu2[t2]; {将当前步数存入康托展开后的数组中}if k1[lei] then print; {如果正向搜索状态中由此情况，则输出，并结束程序} end;procedure init;{读入}beginfillchar(k1,sizeof(k1),false);fillchar(k2,sizeof(k2),false);{for i:=1 to 3 dobeginfor j:=1 to 3 dobeginread(c); m:=m+c; read(c);end;readln;end;}m:='123456780';for i:=1 to 3 dobeginfor j:=1 to 3 dobeginread(c); n:=n+c; read(c);end;readln;end;end;procedure WFS;{双向广搜}begint1:=1;t2:=1;h1:=0;h2:=0;repeatinc(h1); {正向搜索}w1:=pos('0',d1[h1]);if w1-3>0 then {查找'0'的位置，判断'0'可移动的方向}beginz:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-3];z[w1-3]:=l;{移动'0'}if not PDhash1(z) then {判断是否重复}begininc(t1); d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1; {当前情况步数等于其父节点的步数加1}hash1(z); {加入Hash表}end;end;if w1+3<10 thenbeginz:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+3];z[w1+3]:=l;if not PDhash1(z) thenbegininc(t1); d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1;hash1(z);end;end;case w1 mod 3 of {判断'0'可移动的方向}0: beginz:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-1];z[w1-1]:=l;if not PDhash1(z) thenbegininc(t1); d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1;hash1(z);end;end;1: beginz:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+1];z[w1+1]:=l;if not PDhash1(z) thenbegininc(t1); d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1;hash1(z);end;end;2:beginz:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-1];z[w1-1]:=l;if not PDhash1(z) thenbegininc(t1); d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1;hash1(z);end;z:=d1[h1];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+1];z[w1+1]:=l;if not PDhash1(z) thenbegininc(t1);d1[t1]:=z;fu1[t1]:=fu1[h1]+1;hash1(z);end;end;end;inc(h2);{反向搜索，过程与正向搜索基本相同}w1:=pos('0',d2[h2]);if w1-3>0 thenbeginz:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-3];z[w1-3]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2);d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;end;if w1+3<10 thenbeginz:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+3];z[w1+3]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2);d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;end;case w1 mod 3 of0: beginz:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-1];z[w1-1]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2);d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;end;1: beginz:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+1];z[w1+1]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2); d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;end;2:beginz:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1-1];z[w1-1]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2); d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;z:=d2[h2];l:=z[w1];z[w1]:=z[w1+1];z[w1+1]:=l;if not PDhash2(z) thenbegininc(t2); d2[t2]:=z;fu2[t2]:=fu2[h2]+1;hash2(z);end;end;end;until (h2>=t2)or(h1>=t1);end;begin {主程序，十分简洁}init;d1[1]:=m; {初始化，队中存入起始状态}d2[1]:=n; {初始化，队中存入目标状态}hash1(m);hash2(n);WFS;writeln('Impossible'); {无解则输出Impossible} end.。
康托展开(编码方式)
program cantor;
var
a:array[1..10] of integer;
n,i,j,t,ans:longint;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
read(a[i]);
ans:=0;
for i:=1 to n-1 do
begin
t:=0;
for j:=i+1 to n do
if a[j]<a[i] then
inc(t);
ans:=ans*(n+1-i)+t;
end;
inc(ans);
writeln(ans);
第三位是4，比4小的有1，2，3；3在前面出现了，还有2个比4小的数，2*2！；
第四位是1，没有比1小的数，所以是0*1！；
最后一位无论是几，比它小的数在前面肯定都出现了，所以有0*0！；
所以，比35412小的排列数共有：2*4！+3*3！+2*2！+0*1！+0*0！=70，35412是第71小的数。
康托展开2009-03-25 19:08 这篇文章主要是给像我,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列，如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个：123 132 213 231 312 321，代表数字 1 2 3 4 5 6，也就是把10进制数与一个排列对应起来，他们间的对应关系可由康托展开来找到。简单的说就是求一个排列数在所有排列中是第几小的。当然，要实现这个功能，途径有很多，比如我们把所有的排列都找出来，然后排个序，二分查找……
end.
第一讲二进制调制传输技术总结
r
可见，在相同误比特率情况下，相干接收FSK信号 要比接收ASK信号要求峰值信噪比低3dB。
23
2、二进制移频键控（2FSK）
非相干接收2FSK的误比特率 当收到 1 信号时，包络检波器1的输入的包络密度
R1 A2 AR1 函数为：p( R1 ) 2 exp I0 2 , 2 2 R1 R1 0
差值小于零时会造成误判。
21
2、二进制移频键控（2FSK）
设 v A nI 1 nI 2
(v A) 2 exp ，则有：p1 (v ) 2 2 2( 2 ) 22 1
同理，当发送数字0时，也可以导出类似的结论： 此时的输出为： y(t ) nI1 (t ) A nI 2 (t )
这时，若输出大于零会造成误判。
(v A) 2 exp 而此时的V函数为：p0 (v ) 2 2 2 ( 2 ) 22 1
很明显，最佳判决门限为0，误比特率为： 1 0 1 Pb p1 (v )dv p0 (v )dv 2 2 0
22
2、二进制移频键控（2FSK）
s2FSK (t )
n
an g t nTs cos 1t
n
an g t nTs cos 2t
0, 概率为 P 其中，an 1, 概率为 1 P
1, 概率为 P an 0, 概率为 1 P
s1 (t ) Acos2 f1 2FSK还可表示成：s2FSK (t ) s2 (t ) Acos2 f 2
4
上式表明：2ASK信号频带是二进制基带信号的二倍。
二进制的奇妙世界
二进制的奇妙世界在当今科技高度发达的世界中，二进制（Binary）是一种被广泛应用的编码系统。
它以0和1两个数字作为基础，构建了一套世界语言，为计算机和通信技术的发展提供了坚实的基础。
本文将探索二进制在计算机科学领域中的奇妙世界，以及它对我们日常生活产生的影响。
第一部分二进制的基本原理二进制是一种采用基数为2的计数系统。
与我们常用的十进制不同，十进制采用0~9十个数字来进行计数。
而二进制仅采用0和1两个数字，运用不同位的组合表示不同的数值。
比如，十进制的数字10在二进制中被表示为1010。
在计算机中，二进制被广泛应用。
计算机内部使用二进制来处理和存储信息，通过高低电位来表示0和1。
这种简单的表示方式使得计算机能够对信息进行快速处理和存储，同时减少了硬件成本和能耗。
第二部分二进制的应用领域1. 计算机系统：在计算机系统中，二进制被用于表示和存储各种数据类型，包括文字、数字、图像、音频等。
计算机内部的数据处理和运算也是以二进制为基础进行的。
二进制的简洁性和可靠性使得计算机能够高效地进行各种操作。
2. 通信技术：二进制在通信技术领域也发挥着重要作用。
无线电信号和光信号等都可以转化为二进制形式进行传输。
这种数字化的通信方式使得信息的传送更加稳定和高效。
3. 数据存储：在数据存储领域，二进制被广泛应用于硬盘、内存、闪存等存储介质中。
通过将数据转化为二进制形式进行存储，可以有效地提高存储容量和数据读写速度。
第三部分二进制的进阶应用除了在计算机基础领域中的应用，二进制还在一些高级技术中发挥着重要作用。
1. 人工智能：在人工智能领域，神经网络算法被广泛应用于图像识别、语音识别等任务中。
神经网络的核心计算单元——神经元，也是由二进制构建的，它通过0和1的组合来模拟人类大脑的工作原理。
2. 加密技术：在信息安全领域，加密技术是保护数据安全的重要手段之一。
大多数加密算法都基于二进制运算，通过对数据进行逻辑运算和置换来实现加密和解密的过程。
组合数学 —— 康托展开
scanf("%d",&a[i]); int res=contor(n); printf("%d\n",res); return 0; }
【康托展开】
对于康托展开，有公式：
示原排列中，排在下标 i 后的，比下标 i 的字符还小的字符个数
，其中 a[i] 表
通过公式算出来的康托展开值，是指当前序列在之前的全排列的个数，因此 X+1 即为该序列在全排列中的次
序。
以序列 {3,2,5,4,1} 为例：
对于 3：比 3 小的有 1、2，所以 3 是第 2 小的，X+=2*(5-1)! 对于 2：比 2 小的有 1，所以 2 是第 1 小的，X+=1*(4-1)! 对于 5：比 5 小的有 1、2、3、4，但由于 2、3 已经出现过了，所以目前 5 是第 2 小的，X+=2*(3-1)! 对于 4：比 4 小的只剩 1，所以 X+=1*(2-1)! 对于 1：已经是最小的，X+=0*(1-1)!
【逆康托展开】
康拖展开是从序列到自然数的映射且是可逆的，那么逆康拖展开便是从自然数到序列的映射，简单来说，逆康
托展开，就是给出 1~n 的数列，求出排名第 x 的数
以序列 {1,2,3,4,5} 为例，求第 10 的序列：
有：X=10，X-1=9，那么：
第一个数：9/(5-1)!=0...9，说明比第一个数小的、没有出现过的数不存在，因此第一个数是：1 第二个数：9/(4-1)!=1...3，说明比第二个数小的、没有出现过的数有 1 个，因此第二个数是：3 第三个数：3/(3-1)!=1...1，说明比第三个数小的、没有出现过的数有 1 个，因此第三个数是：4 第四个数：1/(2-1)!=1...0，说明比第四个数小的、没有出现过的数有 1 个，因此第四个数是：5 第五个数：0/(1-1)!=0...0，说明比第五个数小的、没有出现过的数不存在，因此第五个数是：2
康托尔集合的概念
康托尔集合的概念康托尔集合是德国数学家Georg Cantor于19世纪末提出的一种特殊的数学集合。
它在数学上具有很多神奇的性质和深刻的理论意义。
康托尔集合的概念源于对于无理数和可数性的研究，通过构造一种既无理又不可数的集合，揭示出了现代集合论的重要内容。
为了理解康托尔集合的概念，我们首先需要明确什么是集合。
在数学中，集合是由一些特定元素组成的整体，这些元素可以是任何事物，符合某种特定的规则。
集合是数学的基础概念之一，我们用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
康托尔集合是通过一种特殊的构造方法来定义的。
这个构造方法被称为Cantor 的势标记法（Cantor's diagonal argument），它以Cantor的名字命名，是康托尔首次引入并证明了可数集和不可数集的概念。
在介绍康托尔集合之前，我们要先了解一下可数集和不可数集的概念。
一个集合被称为可数集，如果它的元素可以一一对应到自然数集(N)，也就是说，可以按照一定的顺序，将集合中的每个元素与自然数一一对应。
例如，整数集和有理数集都是可数集。
而一个集合如果不是可数的，就称为不可数集。
最经典的不可数集就是实数集(R)，其中包含了所有的实数。
回到康托尔集合的构造方法。
康托尔集合的构造方法是通过二进制小数来构造的。
二进制小数是指小数部分只包含0和1的小数。
康托尔集合可以被看作是由所有的二进制小数组成的集合。
具体来说，我们可以将实数区间[0,1)内的所有二进制小数按照以下的形式排列起来：0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000...0.000000......其中，每一行都是一个二进制小数，每一位都可以是0或1。
康托尔集合就是由这个表格中的所有二进制小数组成的集合。
这里需要注意的是，康托尔集合与我们通常理解的自然数集不同，自然数集是无穷可数的，而康托尔集合是无穷不可数的。
四个指头弯曲时表示的二进制数
四个指头弯曲时表示的二进制数在我们日常生活中，很少有人会考虑到四个指头弯曲时所代表的二进制数。
二进制数是一种计算机中常用的数字表示方法，使用0和1来表示数字。
在二进制系统中，每位数字称为一个位(bit)，而四个指头弯曲时所表示的二进制数，则涉及到4位二进制数。
在二进制系统中，每个位上的数字可以是0或1，这代表了一种开关的状态。
当一个位的值为0时，它表示关闭或者关断的状态，而当它的值为1时，则表示打开或者通断的状态。
这种二进制的表示方法，正好符合计算机中使用的逻辑电路。
考虑四个指头弯曲时所表示的二进制数，可以将每个指头视为一个位，从左至右依次为第一位、第二位、第三位和第四位。
当一个指头弯曲时，我们可以将其视为该位的值为1，而当一个指头直立时，我们可以将其视为该位的值为0。
这样，四个指头的不同组合方式，就可以表示不同的二进制数。
我们来逐个探讨四个指头弯曲时所表示的二进制数：1、四个指头都弯曲：当四个指头都弯曲时，对应的二进制数为1111。
这是二进制数系统中最大的四位数。
它的十进制表示为15。
2、三个指头弯曲：当有三个指头弯曲时，对应的二进制数有4种组合：1110，1101，1011，0111。
它们的十进制表示分别为14，13，11和7。
3、两个指头弯曲：当有两个指头弯曲时，对应的二进制数有6种组合：1100，1010，1001，0110，0101，0011。
它们的十进制表示分别为12，10，9，6，5和3。
4、一个指头弯曲：当只有一个指头弯曲时，对应的二进制数有4种组合：1000，0100，0010，0001。
它们的十进制表示分别为8，4，2和1。
5、四个指头都直立：当四个指头都直立时，对应的二进制数为0000。
这是二进制数系统中最小的四位数。
它的十进制表示为0。
通过以上讨论，我们可以看出，四个指头弯曲时所表示的二进制数范围从0到15，涵盖了所有的四位二进制数。
这种表示方法能够方便我们进行数字转换和计算，特别是在计算机科学领域中。
康托尔常数 -回复
康托尔常数-回复什么是康托尔常数？康托尔常数（Cantor's constant）是数学中一个重要且有趣的常数，它源自于康托尔集合（Cantor set）的构造过程，由Georg Cantor于1884年首次引入。
康托尔常数的特性及特殊性质吸引了许多数学家的关注，使其成为了研究和讨论的对象。
康托尔集合是一个闭区间上的自相似集合，具有极为奇特的性质：它是一个无穷集合，但是却具有"比无穷小但是无穷大"的特性。
康托尔集合的构造方法是通过在区间的中间删除一个开放区间，然后对剩余的两个子区间分别再次进行同样的操作，递归下去，最终得到一个具有自相似性质的集合。
康托尔常数的定义是基于康托尔集合的构造过程。
我们可以将康托尔常数记作C，其具体表示形式为C = 0.010101...，其中0和1的循环不断进行，每个循环的长度为2的整数次幂。
这一表示形式中的每一位都代表了康托尔集合中一个点的位置，其取值为0或1，表示该点是否属于集合。
康托尔常数是一个二进制小数，代表了集合中所有点的位置信息。
康托尔常数的具体值是一个无理数，并且它是一个转换且不可周期化的数。
这意味着无法通过有限的运算规则来得到康托尔常数的准确值，它的小数部分是无序的。
虽然我们可以使用计算机来对康托尔常数进行近似计算，但是其精确值依然无法被表示出来。
康托尔常数具有一些有趣的性质和应用。
首先，由于其定义是基于康托尔集合的构造方法，康托尔常数可以展示出分形数学的特征。
分形数学是一门研究自相似性和无穷复杂性的数学分支，康托尔常数的定义和属性与分形数学紧密相关。
其次，康托尔常数还可以用于进行数值编码和信息压缩。
康托尔常数的表示可以看作一个对无限阶码的编码方式，使得可以使用有限的位数来表示无穷个值。
这种编码方式可以在某些情况下提供更高效的数据储存和传输方式。
此外，康托尔常数还有一些其他的应用，例如在概率论中的分布函数表示和连续数学中的一些问题建模等。
莱布尼茨公式推导过程详细
莱布尼茨公式推导过程详细莱布尼茨公式，这个名字听起来就像是数学界的一个神秘传说。
它可是数学史上的一大传奇，由伟大的数学家莱布尼茨提出，至今仍然是我们解决各种问题的得力助手。
今天，我们就来聊聊这个公式的来历和魅力。
首先说说这个“莱布尼茨”，他可是个大人物，是17世纪德国的著名哲学家、数学家。
别看他年纪轻轻，但数学天赋惊人，对世界的贡献可大了去了！他的工作方式很特别，喜欢用代数来表达思想，而且特别喜欢发明新的符号和公式，让数学变得更简单易懂。
说到莱布尼茨公式，那可是数学里的宝贝疙瘩，它的名字叫“二进制”。
想象一下，如果我们的世界只有两种颜色（黑和白），那么这个世界会是什么样子？是不是既简单又直观呢？没错，这就是莱布尼茨公式的魅力所在。
它告诉我们，在二进制的世界里，每个数字都只代表0或1两种状态，就像我们的手机屏幕一样，只有两种模式：开和关。
不过，别以为二进制就是这么简单。
其实它背后藏着好多数学的秘密呢。
比如说，二进制的运算规则非常简单，只要按位相加就可以了，这可比十进制方便多了。
而且，二进制还能表示更多的信息，比如时间、温度等，这些都是我们日常生活中经常用到的数字。
再来说说二进制的应用吧。
现在咱们用的电脑啊，手机啊，都是二进制的杰作。
它们里面装了好多复杂的程序，这些程序都是用二进制写成的，然后通过二进制的方式传递和运行。
这样一来，计算机就能快速地处理大量的数据了。
除了计算机，二进制还在通信领域大展身手。
你知道吗？现在咱们打电话、发短信，甚至上网聊天，都是靠二进制来传输信息的。
因为二进制能将文字、图片、声音等复杂信息压缩成简单的数字代码，这样就能轻松地在电话线或者光纤里传递了。
莱布尼茨公式不仅仅是一个简单的数学概念，它还是我们生活中不可或缺的一部分。
无论是在科学计算还是日常通讯中，二进制都扮演着重要的角色。
所以啊，下次当你看到那些密密麻麻的数字时，不妨想一想，它们背后的原理有多么神奇！。
沪科版高中信息技术必修-信息技术基础：二进制的转换与应用
号
24 25 26 27 28 29 30 31
8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31
4567 12 13 14 15 20 21 22 23 28 29 30 31
2367 10 11 14 15 18 19 22 23 26 27 30 31
1357 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31猜生日Βιβλιοθήκη 密18 9 10 11 12
14
23
5 对应二6进制数： 6 1 7
7 12
10 11
13 51 7 9 11
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
8 9 10 11 12 13 14 15 24 25 26 27 28 29 30 31
二进制的来历
0与1的世界
二进制的转换与应用
猜生日游戏： 随机上来一位同学，点击对应含有自己生日月日的框数据，
老师不看你们操作，事后老师能猜出你们的生日，相信吗？
几 月
18 9 10 11 12
14 56 7 12
23 67 10 11
13 57 9 11
几
16 17 18 19 20 21 22 23
二进制 的来历
二进制 的转换
二进制 的应用
二进制的来历
0123456789
十进制
10
数制：用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法
二进制的来历
0123456789
十进制
十个字符 逢十进一
数制：用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法
二进制的来历
康托尔常数
康托尔常数
康托尔常数，又称为Cantor's constant，是一个在数学上非常有趣的数。
它的定义可以通过一种特殊的十进制展开方式来描述。
康托尔常数的十进制展开是一个介于0和1之间的无理数，可以表示以下形式：
0.010101001000100001...
其中，小数点后的每一位数字都是由连续的1和0交替构成。
具体地说，我们首先写下一个0，然后写下一个1，接着写两个0，再写三个1，再写四个0，以此类推。
这种构造方式确保了康托尔常数具有无限的小数部分，并且其中包含了所有可能的二进制序列。
康托尔常数最早由德国数学家Georg Cantor于1874年引入，并且它与集合论和拓扑学有着紧密的关联。
康托尔常数展示了一个有趣的性质：尽管它的十进制展开看起来是无规律的，但它却是一个完全正则的数，也就是说它不会出现周期性的重复序列。
康托尔常数在数学研究中扮演着重要的角色。
它被广泛应用于计算机科学领域，特别是在数据压缩、随机数生成和密码学等方面。
此外，康托尔常数还引发了许多有关无理数性质和序列的深入研究。
总结起来，康托尔常数是一个非常特殊的无理数，其十进制展开由连续的1和0交替构成，具有无限小数部分且不出现周期性重复。
它在数学和计算机科学中具有重要的应用和研究价值。
1。
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构造法——二进制下的康托展开
KEY: 康托展开
情景：
对于一个有n 位的二进制们数来说，题目中给出其中1的个数的上限，求一个第k小的数。
应用康托展开，是特殊的二进制情况下。
对于二维矩阵cantor[m][n],代表长度为m，至多有n个1 的数的个数。
由组合数递推公式：
Cantor[m][n] = cantor[m-1][n] + cantor[m-1][n-1];
初始化：cantor[0][i] = cantor[i][0] = 1;
Cantor是一个康托展开的常量表，规模为cantor[32][32],所以数据是32位的整数，用double实现。
读入之后，主函数用递归的形式进行构造，即构造一个有k-1个数比他小的数。
Work（int bits,int nOnes,int k）中，
如果bits = 0，就是说到了最后一位。
到达递归终点，直接返回。
调出cantor[bits-1][n],就是所有比他小的数的数目。
如果比k小或等于k，则该位是1，否则是0.因为该位如果是0，那么比它低的位中，一共有cantor[m-1][n],个数，如果数目比k 小，那么不能符合要求，要把该位定为1。
下面是一个康托常量表
j \ i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
double can[32][32] = {0};
int nOnes,nbits;
double index;
int init(){
int i,j;
for( i = 0 ; i <= 31 ; i++ ){
can[0][i] = 1;
can[i][0] = 1;
}
for( i = 1 ; i <= 31 ; i++ )
for( j = 0 ; j <= 31 ; j++ )
if( j != 0 )
can[i][j] = can[i-1][j] + can[i-1][j-1];
fscanf(fp1,"%d%d%lf",&nbits,&nOnes,&index);
}
int work(int nbits,int nOnes,double index){
if( nbits == 0 )
return 0;
double s;
s = can[nbits-1][nOnes];
if( s <= index ){
fprintf(fp2,"1");
work(nbits-1,nOnes-1,index-s);
}
else{
fprintf(fp2,"0");
work(nbits-1,nOnes,index);
}
}。