数字信号处理 第三讲_时域频域表示

对应关系
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
• 离散序列Fourier变换，i.e., DTFT
— D is c re te T im e F o u rie r T ra n s fo rm X (e
j
) 1 2
j

n
x [ n ]e
j n
x[n ]



X (e
y ( n k ) br x ( n r )
r0
M
y[n]+0.75y[n-1]+0.125y[n-2]=x[n]-x[n-1]
单位抽样响应
h(n)
? impz函数 y=impz(b,a)
filter函数 y=filter(b,a,x)
Matlab用差分方程求系统单位冲击相应序列
(1)用filter函数 a1=[1,0.75,0.125]; b1=[1,-1]; n=0:20; x1=[1 zeros(1,20)]; y1filter=filter(b1,a1,x1); stem(n,y1filter); title('y1filter'); xlabel('x'); ylabel('y');
j n
Y (e
j
)
j

n

y [ n ]e
频率成分 分布
Y (e
j
x(n)
y (n)
X (e
)
h(n)

H (e
j
)
)
y [ n ] x[ n ] h[ n ]
h[ k ] x[ n k ]
k
Y(e
j
) H (e
j
) X (e
j
)
总结：1-5 +1-6 ：信号频域表示
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统 1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示 --时域表示—差分方程 （补充） -- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
%幅频与相频 fs=1000; [h,f]=freqz(b,a,256,fs); mag=abs(h); ph=angle(h); ph=ph*180/pi; figure(2); subplot(2,1,1); plot(f,mag);grid; title('幅频图'); xlabel('frequencey(Hz)'); ylabel('magnitude'); subplot(2,1,2); plot(f,ph);grid; xlabel('frequencey(Hz)'); ylabel('phase'); title('相频图'); figure(3); plot(f,h);
a
k 0
N
k
y ( n k ) br x ( n r )
r0
M
频率响应
H (e
jw
)
？

M j wr
b ( r )e
N
H (e
jw
)
r
1

k
a ( k )e
j wk
[h,f]=freqz(b,a,n,fs)
y ( n ) 0 .5 y ( n 1) 0 .2 5 y ( n 2 ) x ( n ) 2 x ( n 1) x ( n 3)


k

h[ k ]

n

x [ n k ]e


k
h [ k ]e
j
j k

n
x [ n k ]e
j ( n k )
H (e
) X (e
j
频域乘积
时 域 卷 积 定 理
)
时域卷积定理：离散信号通过系统后输出信号的频谱，等 于输入信号频谱和系统频率响应的乘积。
思考：
已知两个LTI 系统的单位脉冲响应分 H 1 (e
j
别为 h1 ( n ) 和 h 2 ( n )，
j
频率响应分别为
)和 H 2 (e
)，将这两个系统并联 ，其单位 离散系统
后得到的新离散系统是 脉冲响应为，若将这两 是线性时不变的吗？若
线性时不变的吗？若是 个系统串联，得到的新 是，其频率响应为
*
( n ) ( n )

X e( e X o( e
j
) )
X ( e X ( e
j
) X (e ) X (e
*
- j
) )

*
j
j
- j
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
序列实部的频谱， 为序列频谱的共轭 偶对称部分
)}
1.
Re{ x [ n ]} X e ( e
Y (e
j
x(n)h(n)
j j ( )
频域卷积定理
)d
)
1 2



X (e
) H (e
（1-32）
y (n) 1 2
1 2





Y (e
j
j
)e d
j n
d
1 2 H (e



1 2



X (e
j
) H (e
j ( )
pul=[1 zeros(1,100)]; a=[1 -0.5 0.25]; b=[1 2 1]; %系统脉冲响应 h1=filter(b,a,pul); h2=impz(b,a,101); figure(1); subplot(2,1,1); stem(h1); title('filter function'); subplot(2,1,2); stem(h2); title('impz function');
j
)e
j n
d
X (e
j
)
－－信号x(n)的频谱
H (e
)

n

h [ n ]e
j n
----傅立叶变换
j n
h[ n ]
1 2



H (e
j
)e
d
----傅立叶反变换
• 傅立叶变换对存在的条件：级数收敛条件

n

h(n)
若系统稳定，其频率 响应总是存在的

j
)Y ( e
j
)


X (e
j
)Y ( e
j ( )
)d
— — 周期卷积 Parseval 定理 :
2

n -

x[ n ]

1 2

序列能量＝频谱能量
X (e
j


) d
2
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
对称性 共轭对称序列 共轭反对称序列 x e (n) : x o (n) : x [ n ] x* [ -n ] x [ n ] x* [ -n ]

e
j c n
e
j c n

sin ( c n )
n
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
例 1.6 一个理想高通滤波器的频率响应为
H (e
j
H (e j )
低通
0 ) 1
c c
c
求系统的单位取样响应。 解：
H h (e
任意一个序列 x ( n ) ，总可以表示为一个共轭对称序列和一个共轭反 对称序列之和。
x( n ) x e ( n ) x0 ( n )
xe ( n ) xo ( n ) 1 2 1 2
X e

j

1 2 1 2
X e( e
j
) X 0( e
*
j
)
x ( n ) x x ( n ) x
- j M / 2
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
线性 : ax [ n ] by [ n ] aX ( e
j
) bY ( e
j
)
时移 :
x [ n-d ] e
j d
X (e
j
)
调制 :
e
j o n
x[ n ] X ( e
j (
0)
)
反转 :

LTI系统
h[ n ] , 则 H ( e
j
若

n
) 存在 叶变换是存在的
若系统稳定，则其傅里
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
[ n-n 0 ] e
-j n 0
(1)
延迟序列
:
(2) 常数序列
: 1 2
(
k j 0 n

2 k )
1.5.4 离散信号通过系统的频域表示法
y[ n ] 1 2



H (e
j
) X (e
j
)e
j n
d
输出 输出
y [ n ] 的幅度受 H ( e
j
)
j
的影响
))
两个相乘序列的傅立叶变换， 是两序列各自傅立叶变换的卷积
y [ n ] 的相位受 arg ( H ( e
的影响
• 两个序列的时域乘积： y ( n ) 其频域表示为
( 3 ) 复指数序列
:
e
2
(
k

0 2 k )
( 4 ) 正弦序列
: cos 0 n ( 0 2 k ) k : u[n ] sin c n 1 1 e
j

k

( 0 2 k )
j
c 2 c
H (e j )
高通

) 1 H l (e
j
)
2 c c
c 2 c

hh ( n ) ( n )
s in ( c n )
n
逆变换积分区间： ,
1.5.4 离散信号通过系统的频域表示法
令 x[ n ] X ( e
总结：1-5 +1-6 ：信号频域表示
LTI 系统在时域由
H (e
j
h(n)
表示，在频域由
H (e
j
)
表示
)百度文库


n

h (n )e
j n
频率响应
LTI 系统，输入为 x ( n ) ，输出为 y ( n ) ，且
X (e
j
频谱
j n
)

n

x [ n ]e
(2) 用impz函数 a1=[1,0.75,0.125]; b1=[1,-1]; impz(b1,a1,21);
(3) 用conv函数 a1=[1,0.75,0.125]; b1=[1,-1]; x1=[1 zeros(1,10)]; [h]=impz(b1,a1,10); y1conv=conv(h,x1); n=0:19; stem(n,y1conv,'filled')
j
)
j
1 2
{ X(e 1 2
j
) X (e
j

j
)}
j Im{ x [ n ]} X o ( e
j
)
{ X(e
) X (e
j
2.
对实序列 X(e
j
, X (e
*
) 有共轭对称性 )
序列虚部的频谱， 为序列频谱的共轭 奇对称部分
j ) Re X(e - j ) 实部是偶函数 j - j Im X(e ) Im X(e ) 虚部是奇函数


( 5 ) 单位阶跃序列

(
k

2 k )
( 6 ) 采样函数序列 ( 7 ) 矩形信号
:
n
X (e
j
1, c , ) 0, c
R N [ n ] u [ n ] -u [ n-M ] : 1, x[ n ] 0, 0 n M otherwise sin [ ( M 1 ) / 2 ] sin ( / 2 ) e
1.5.3 离散序列的傅立叶变换和反变换
例 1.5 一个理想低通滤波器的频率响应为
H (e
j
1 ) 0
c c
c
H (e j )
求系统的单位取样响应。
c

解：
h(n) 1 2

c
c
1e
j n
d
1 2 jn
Re X(e X(e arg X(e
j
) X (e
j
) X (e
*
j
) X (e
j
) - -幅值是偶函数

j
) - arg X(e


- j
) - - 相位是奇函数

Matlab用差分方程求系统单位冲击相应序列
离散系统的输入输出的差分方程：
a
k 0 N k
x[ n ] X ( e
j
)
微分 :
nx [ n ] j
dX ( e d
*
j
)
• 共轭
x (n ) X (e
*
j n
)
1-6 傅立叶变换的对称性质（补充）
线性卷积 : x[ n ] y[ n ] X ( e 序列相乘 : x[ n ] y[ n ] 1 2
)d e
j n
d

X (e
)e
j n
1 2



j ( )
)e
j ( ) n
d
x(n)h(n)
1-6 傅立叶变换的对称性质—存在性（补充）
若下式成立

n

x [ n ]e
j n


n

x [ n ] — — 绝对可和，
则， DTFT 存在且连续。
F j
); h [ n ] H ( e
F
j
); y [ n ] Y ( e
F
j
).
y[ n ] x[ n ] h[ n ]
j

k

h[ k ] x[ n k ]
时域卷积
j n
Y (e
)

n

y [ n ]e
j n