数字信号处理习题及答案

三、计算题 1、已知10),()(<<=a n u a n x n ,求)(n x 的Z 变换及收敛域。

（10分）解：∑∑∞=-∞-∞=-==)()(n nn n nnz a zn u a z X1111)(-∞=--==∑az z a nn ||||a z >2、设)()(n u a n x n = )1()()(1--=-n u ab n u b n h n n求)()()(n h n x n y *=。

（10分）解：[]az zn x z X -=℘=)()(， ||||a z >[]bz az b z a b z z n h z H --=---=℘=)()(， ||||b z >bz zz H z X z Y -==)()()( ， ||||b z >其z 反变换为[])()()()()(1n u b z Y n h n x n y n =℘=*=-3、写出图中流图的系统函数。

(10分)解：21)(--++=cz bz a z H21124132)(----++=z z z z H４、利用共轭对称性，可以用一次DFT 运算来计算两个实数序列的DFT ，因而可以减少计算量。

设都是N 点实数序列，试用一次DFT 来计算它们各自的DFT ：[])()(11k X n x DFT = [])()(22k X n x DFT =（10分）。

解:先利用这两个序列构成一个复序列，即)()()(21n jx n x n w +=即[][])()()()(21n jx n x DFT k W n w DFT +==[]()[]n x jDFT n x DFT 21)(+=)()(21k jX k X +=又[])(Re )(1n w n x =得[])(})({Re )(1k W n w DFT k X ep ==[])())(()(21*k R k N W k W N N -+=同样[])(1})({Im )(2k W jn w DFT k X op ==[])())(()(21*k R k N W k W jN N --=所以用DFT 求出)(k W 后，再按以上公式即可求得)(1k X 与)(2k X 。

5、已知滤波器的单位脉冲响应为)(9.0)(5n R n h n =求出系统函数，并画出其直接型结构。

（10分） 解：1-1-1-1-６、略。

７、设模拟滤波器的系统函数为3111342)(2+-+=++=s s s s s H a试利用冲激响应不变法，设计IIR 数字滤波器。

（10分）解 TTe z T e z T z H 31111)(-------=TT T T T e z e e z e e Tz 423131)(1)(--------++--=设T=1，则有2111831.04177.013181.0)(---+-=z z z z HΩ+Ω-=Ω4)3(2)(2j j H aωωωω21831.04177.013181.0)(j j j j e e e e H ---+-=三、（12分）序列)(n x 为()()2(1)(3)x n n n n δδδ=+-+-1、 画出序列)(n x 的图形；2、计算线性卷积)()(n x n x * ；3、计算5点圆周卷积)(n x ○5)(n x 。

4、为了使N 点的)(n x 与)(n x 圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N 值为多少？ 解：1、序列)(n x 的图形如下：（2分）2、)6()4(4)3(2)2(4)1(4)()()(-+-+-+-+-+=*n n n n n n n x n x δδδδδδ ={1，4，4，2，4，0，1} （4分）3210n3、)(n x ○5)(n x )4(4)3(2)2(4)1(5)(-+-+-+-+=n n n n n δδδδδ ={1，5，4，2，4} （4分）4、为了使N 点的)(n x 与)(n x 圆周卷积可以表示其线性卷积，最小的N 值为4+4-1=7 （2分） 四、（16分）已知一个线性时不变因果系统，用下列差分方程描述： )1(21)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y 求该系统的系统函数H(z)，画出其极、零点图，并指出其收敛域。

2、画出其直接Ⅰ型和Ⅱ型的实现结构。

3、求该系统的单位脉冲响应()h n ，并判断该系统是FIR 系统还是IIR 系统？解:1、 112112()31148z H z z z ---+=-+ (3分) 极点:14z = , 12z = 零点: 0z =, 12z =- (2分)收敛域 12z > (因系统是因果系统) (1分)2、直接Ⅰ型实现结构 (2.5分) 直接Ⅱ型实现结构 (2.5分)3、 112112()31148zH z z z ---+=-+=1143111124z z ---+-- , 12z > 系统的单位脉冲响应为: 11()[4()3()]()24n nh n u n =- (3分)该系统是IIR 系统. (2分)五、（15分）已知系统的单位取样响应⎩⎨⎧≤≤=nn n h 其它,070,1)(1、 求该系统的频率响应即振幅、相位。

并指出该系统属于哪一种类型的线性相位FIR 滤波器？2、 求该系统的系统函数H(z)，画出H(z)的极点和零点，指出其收敛域。

3、 试判断该系统是否是稳定系统？4、画出其横截型实现结构。

解 1、系统的频率响应为ωωωωωωω2787)2/sin()4sin(11)(j j j n nj j ee e ee H ---=-=--==∑ )2/sin()4sin()(ωωω=j e Hπωωθk +-=27)( ，k 为整数。

（3分）因系统单位脉冲响应的长度为8，且具有偶对称特性，因此该系统属于第二种类型的线性相位FIR 滤波器。

（2分） 2、系统函数H(z)为 18717111)(----=---=+++==∑z z zz zz H n n（2分） H(z)的极点为0=z （7阶），零点为k j e z 82π= ，7,,2,1 =k （2分）H(z)的收敛域为 0>z （1分） 3、系统函数H(z)的收敛域包括单位圆，所以系统是稳定的 （2分） 4、该系统的横截型（即直接型或卷积型）结构如下图所示 （3分）六、（10分）设)3)(1(2)(++=s s s H a ，试用双线性变换法和脉冲响应不变法，将以上模拟系统函数转变为数字系统函数)(z H ，采样周期2T =。

解：双线性变换法：（5分） )2(221)311)(111(2)()(121111111211-------+-=+++=++-++-==--z z z zz z z s H z H z z T s a 脉冲响应不变法：（5分）3111)3)(1(2)(+-+=++=s s s s s H a241313131)(1)(11)(------------++--=---=ze z e e z e e T z e T z e T z H T T T T T T T 当采样周期2T =28162162)(1)(2)(--------++--=z e z e e z e e z H3210n七、(12分)有一连续信号)2cos()(ft t x a π=，式中Hz f 50=， 1、求出)(t x a 的周期；2、用采样间隔s T 002.0=对)(t x a 进行采样，写出采样信号)(ˆt xa 的表达式； 3、写出对应)(ˆt xa 的时域离散信号（序列）)(n x ，并求出)(n x 的周期。

4、若频谱分析时计算了100个采样的DFT ，试求频谱采样之间的频率间隔F 。

解：1、)(t x a 的周期是02.01==fT a s (2分) 2、 ∑∞-∞=-=n a nT t fnt t x)()2cos()(ˆδπ=∑∞-∞=-n nT t nT )()100cos(δπ (3分)3、 因s T 002.0=, 则)2.0cos()(n n x π= (2分))(n x 的数字频率为πω2.0=，102=ωπ周期10=N (3分)4、频谱采样之间的频率间隔 Hz NT N f F s 5002.010011=⨯=== (2分) 八、（10分）1、图 1 所示为时间抽取法蝶形运算流图，试写出1()Y k 和2()Y k 与1()X k 和2()X k 的关系。

2、若MN 2=，请给出时间抽取法FFT 总的复数乘法次数和复数加法次数。

3、MN 2=时，DIT-FFT 共需多少级分解？每级运算要计算的蝶形运算有多少个？图1 时间抽取法蝶形运算流图符号解：1、)()()(211k X W k X k Y kN += （2分） )()()(212k X W k X k Y kN -= （2分）2()Y k 1()Y k 1()X k 2()X k kN W 1-2、总的复数乘法次数 N N M F 2log 21= （1.5分） 总的复数加法次数 N N A F 2log = （1.5分）3、DIT-FFT 共需M 级分解，每级运算要计算的蝶形运算有2N个. （3分）四、简答题 （每题5分，共20分）1．用DFT 对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。

3．简述用双线性法设计IIR 数字低通滤波器设计的步骤。

4．8点序列的按时间抽取的（DIT ）基-2 FFT 如何表示？ 五、计算题 （共40分）1．已知2(),2(1)(2)z X z z z z =>+-，求x(n)。

（6分）2．写出差分方程表示系统的直接型和级联．．型结构。

（8分） )1(31)()2(81)1(43)(-+=-+--n x n x n y n y n y 3．计算下面序列的N 点DFT 。

（1）)0()()(N m m n n x <<-=δ（4分） （2）)0()(2N m en x mn Nj <<=π（4分）4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 y L (n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积y C (n)。

（4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。

（2分） 5．设系统由下面差分方程描述：)1()2()1()(--+-=n x n y n y n y（1）求系统函数H （z ）；（2分）（2）限定系统稳定．．，写出H （z ）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。