数字信号处理习题集附答案

第一章数字信号处理概述

简答题：

1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？

答：在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器。

在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称之为“平滑”滤波器。

判断说明题：

2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（）答：错。需要增加采样和量化两道工序。

3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。

第二章离散时间信号与系统分析基础

一、连续时间信号取样与取样定理

计算题：

1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。

（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz T 201=，重复（a ）的计算。

解 （a ）因为当0)(8=≥ω

πωj e H rad 时，在数 — 模变换中

所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为

因此 Hz T

f c c 625161

2==Ω=

π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T

π，因此对T

8π没有影响，

故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定，是625Hz 。

（b ）采用同样的方法求得kHz 201=，整个系统的截止频率为 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题：

1．设序列)(n x 的傅氏变换为

)(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。 （1）)2(n x （2）)(*n x （共轭） 解：（1）)2(n x 由序列傅氏变换公式 DTFT ∑∞

-∞

=-=

=n n

j j e

n x e X n x ωω)(()]([)

可以得到

DTFT 2

)()2()]2([n j n n jn e

n x e

n x n x '

-∞

-∞

='-∑∑'=

=

ωω

为偶数

（2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω

j n n jn jn e X e n x e

n x n x -∞

-∞

=∞

-∞

=-===

∑

∑

2．计算下列各信号的傅里叶变换。

（a ）][2n u n

- （b ）]

2[)41

(+n u n

（c ）]24[n -δ （d ）n

n )

21(

解：（a ）∑∑-∞

=--∞

-∞

==

-=

2

][2)(n n j n

n

j n n

e e

n u X ωωω

（b ）∑∑∞

-=--∞

-∞==+=2

)41(]2[41)(n n j n n j n n e e n u X ωωω）（ （c ）ωωωδω2]24[][)(j n n

j n

j n e e

n e

n x X -∞

-∞

=--∞

-∞==-=

=

∑∑

（d ）]12

1112111[21)(ˆ--+-==--∞

-∞=∑ω

ωωωj j n j n n e e e X

）（ 利用频率微分特性，可得

3．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(*

n x - （2）)](Re[n x (3) )(n nx

解： （1）)(*])([)(*)

(*

jw n n jw n jwn

e X e

n x e

n x =-=

-∑∑∞

-∞

=--∞

-∞=-

（2）∑∑∞

-∞=-*-*∞

-∞=-+=+=

n jw jw jwn

n jwn

e X e X e n x n x e

n x )]()([21)]()([2

1)](Re[ （3）dw e dX j e n x dw d j dw e n dx j e

n nx jw n jwn

n jwn n jwn

)()()(1)(==-=∑∑∑∞-∞=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-

4．序列)(n x 的傅里叶变换为)(jw

e X ，求下列各序列的傅里叶变换。 （1）)(n x * （2）)](Im[n x j (3) )(2

n x

解：（1）)(])([])([)()())((jw n n w j n n w j n jwn

e X e n x e

n x e

n x -**∞

-∞

=--∞

-∞

=*

---∞

-∞

=-*

===

∑∑∑

（2） （3）

5．令)(n x 和)(jw e X 表示一个序列及其傅立叶变换，利用

)(jw e X 表示下面各序列的傅立叶变换。

（1）)2()(n x n g = （2）()⎩

⎨

⎧=为奇数为偶数

n n n x n g 02)(

解：（1）∑∑∑∞

-∞

=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-=

=

=

为偶数

k k w k j n jnw

n jnw

jw

e

k x e

n x e

n g e G 2

)()2()()(

（2）)()()2()()(222w j r w

jr r rw

j n jnw

jw

e X e

r x e

r g e

n g e G ==

=

=

∑∑∑∞

-∞

=-∞

-∞

=-∞

-∞

=-

6．设序列)(n x 傅立叶变换为

)(jw

e X ，求下列序列的傅立叶变换。 （1）)(0n n x - 0n 为任意实整数 （2）()⎩

⎨⎧=为奇数为偶数n n n x n g 02)(

（3）)2(n x

解：（1）0

)(jwn jw e e X -⋅

（2） )2(n x n 为偶数 0 n 为奇数 （3）)()2(2

jw e

X n x ↔

7．计算下列各信号的傅立叶变换。