高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.

解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）

=5a-11b+7c.

2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平

行四边形.

证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，DM MB.

故

AB AM MB MC DM DC.

即AB//DC且|A B|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.

3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量D1A,D2A,D3A,D A

4

.

证如图8-2，根据题意知

1 BD a,

1

5

1

D1D a,

2

5

1

D2D a,

3

5

1 D3D a,

4

5

故D A

1=-（AB BD1）=- 1

5

a-c

D2A=-（AB BD2）=- 2

5

a-c

D3A=-（AB BD3）=- 3

5

a-c

D

4 A

=-（

AB BD）=-

4

4

5

a-c.

4.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示

向量M1M2及-2M1M2.

解M1M2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.

-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.

5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.

解向量a的单位向量为a

a

，故平行向量a的单位向量为

a a =

1

（6，7，-6）=

11

67

,,

1111

6

11 ，

22 2

其中a67(6)11.

6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？

A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.

解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.

7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各

点的位置：

A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，

-1，0）.

解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中

至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.

在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少

有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.

A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.

8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原

点的对称点的坐标.

解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.

（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y 轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.

（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）. 9.自点P（0x0，y0，z0）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各

垂足的坐标.

解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz 面的垂线，垂足F坐标为(x0，0，z0）；P

0D为点P0关于xOy面的垂线，垂足D坐标为(，，0）

x0y；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂

足E坐标为(0)

，y0，z o.

P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为(x o，0,0）；P

0B为点P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为(0,y0,0)；P

0C为点P0关于z轴的垂线，垂足C坐标为(0,0,)

z.

10.过点P（0x0，y0，z0）分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？

解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同.

而过点P0且平行于xOy面的平面上的点的坐标，其特点是，它们的竖坐标均相同.

11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.

2 解 如图 8-5，已知 AB=a ，故 OA=OB=

a

2

，于是各顶点的坐 2

2 2 标分别为 A

0 0)

(

a ，， ，B （(0,

a ，0）），C （-

a

2

2

2

，0，0），D 2 （0，- a 2 2 ，0），E （ a 2 2 ，0，a ），F （0， a 2 2 ，a ），G （- a

2

， 2 0，a ），H （0，- a 2

，a ）. 12.求点 M （4，-3，5）到各坐标轴的距离 .

2 2

解 点 M 到 x 轴的距离为 d 1=

( 3) 5

34

，点 M 到 y 2

2

轴 的 距 离 为 d 2=

4

5

41

， 点 M 到 z 轴 的 距 离 为 2

2

.

d 3=

4 ( 3) 2

5 5

13.在 yOz 面上，求与三点 A （3，1，2），B （4，-2，-2），C （0，5， 1）等距离的点 .

解 所求点在 yOz 面上，不妨设为 P （0，y ，z ），点 P 与三点 A ，

2

y 2 z 2

B ，

C 等距离， PA 3

( 1) ( 2) , PB

2 y 2 z 4 ( 2)

(

2) 2

,