函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
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《函数曲线的凹凸性》课件
《函数曲线的凹凸性》 ppt课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
经济数学课件 4.3函数的凹凸性
x
《经济数学基础》配套课件
定义4.3.3、4.3.4
若 lim f ( x) b，lim f ( x) b 或 lim f (x) b，
x
x
x
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.
若 lim f (x) , lim f ( x) 或 lim f ( x) ，
0
0
f (x)
凹的∪
拐点 (0,1)
凸的∩
拐点 (2 3 ,1127)
凹的∪
凹区间为(,0《],经[2济3数,学基), 础凸》区配套间课为件[0, 2 3]
凹凸区间为(,0], [0, 2 3], [2 3 ,). 《经济数学基础》配套课件
例 求曲线
的拐点.
2
5
解:
y
1 3
x
3
,
y
2 9
x
3
x ( ,0) 0
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
《经济数学基础》配套课件
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2)
求关键点 y 1
2
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2
2 (1
(0, )
y
不存在
y凹
0
凸
因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线
的拐点 .
《经济数学基础》配套课件
练习. 求曲线
的凹凸区间及拐点.
函数的凹凸性与作图
机动 目录 上页 下页 返回 结束
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
函数曲线的凹凸性与作图
（2）y
8
x3
5
x 3，y
8
5
x3
5
2
x 3，y
40 x
10
.
33
93 x
（3）令y 0，得x 1，又当x 0时，y不存在，故有表3 - 5所示的区间. 4
表3-5
函数曲线的凹凸性与作图
综上所述，判定曲线y f x的凹凸及拐点的步骤归纳如：
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的一阶导数f x和二阶导数f x； （3）求出f x 0和f x不存在的点； （4）对步骤（3）求出的每一个点，检查其左、右邻近的f x的符号，如果异号，则该点为曲
（1）确定函数的定义域和值域； （2）确定曲线关于坐标轴的对称性； （3）求出曲线和坐标轴的交点； （4）判断函数的单调区间并求出极值； （5）判断函数的凹凸区间和拐点； （6）求出曲线的渐近线； （7）列表讨论并描绘函数的图像.
函数曲线的凹凸性与作图
例5
解
（1）定义无对称性.
0
曲线y f x的垂直渐近线(垂直于x轴).
（2）水平渐近线.对于曲线 y f x，若 lim f x A或 lim f x A,则直线y A是曲
x
x
线y f x的水平渐近线（平行于x轴）.
（3）斜渐近线 . 对于曲线y f x，若 lim f x a，lim[ f x ax] b，则直线 y ax b
定义2
若曲线C上的动点P沿曲线无限地远离原点时，动点P到某一固定直线L的距 离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线.
函数曲线的凹凸性与作图
曲线的渐近线有垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线三种.
（1）垂直渐近线.对于曲线y
f
4.4 函数的凹凸性与函数的作图
称 设曲线 y f ( x) ，如果 lim f ( x) c ,则 x y f ( x) yc 直线 为曲线 的水平渐近线.
2.铅垂渐近线
如果曲线 y f ( x) 在点 x0 间断，且
lim f ( x) ，则称直线 x x0 为曲线 x y f ( x) 的铅垂渐近线．
y 6 6 x 6(1 x)
y
x 0
6 0 ，所以 x 0 为极小值点，
f (0) 0 为极小值；y Nhomakorabeax2
6 0 ，所以 x 2为极大值点，
f (2) 4 为极大值.
(5)令 y 0 ，得 x 1．在 x 1 的左 侧有 y 0 ，在 x 1的右侧有 y 0 ， 而 f (1) 2 ，所以 (1,2)是拐点．
例 解
证明函数 y ln x 的图像是处处下凹(凹)的
函数y ln x的定义域为(0, )
1 y x 1 y 2 0 x
x (0, )
故曲线在整个定义域内是下凹(凸)的
定义4.3 曲线上凹与下凹的分界点称为 曲线的拐点. 求拐点的一般步骤： ①求函数的二阶导数 f ( x) ； ②令 f ( x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点； ③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f ( x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
2.铅垂渐近线
如果曲线 y f ( x) 在点 x0 间断，且
lim f ( x) ，则称直线 x x0 为曲线 x y f ( x) 的铅垂渐近线．
y 6 6 x 6(1 x)
y
x 0
6 0 ，所以 x 0 为极小值点，
f (0) 0 为极小值；y Nhomakorabeax2
6 0 ，所以 x 2为极大值点，
f (2) 4 为极大值.
(5)令 y 0 ，得 x 1．在 x 1 的左 侧有 y 0 ，在 x 1的右侧有 y 0 ， 而 f (1) 2 ，所以 (1,2)是拐点．
例 解
证明函数 y ln x 的图像是处处下凹(凹)的
函数y ln x的定义域为(0, )
1 y x 1 y 2 0 x
x (0, )
故曲线在整个定义域内是下凹(凸)的
定义4.3 曲线上凹与下凹的分界点称为 曲线的拐点. 求拐点的一般步骤： ①求函数的二阶导数 f ( x) ； ②令 f ( x) 0，解出全部根，并求出所 有二阶导数不存在的点； ③对步骤②求出的每一个点，检查其左、 右邻近的 f ( x) 的符号，如果异号则该点为曲 线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
函数曲线的凹凸性
那么 x x0 就是 y f (x) 的一条铅直渐近线 .
例如 y
1
,
( x 2)(x 3)
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
2.水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f (x) b 或 lim f (x) b (b 为常数)
x
x
解 Df (,).
f ( x) 5 x 2 的零点为 2 ，不存在的点为0。
33 x
5
将 f 的符号与 f 的单调性列表如下：
x (-, 0)
0
(0, 2/5) 2/5 (2/5, +)
f
+
不存在
-
0
+
f
连续
连续
f 在 ( , 0]上 单 调 增 ； 在[0, 2]上 单 调 减 ； 在[ 2 , )
凹的
凹凸区间为 (,0], [0, 2 3], [2 3 ,).
方法2: 设函数 f ( x) 在 x0 的邻域内三阶可导,且 f ( x0 ) 0,而 f ( x0 ) 0,那末 ( x0 , f ( x0 )) 是曲 线 y f ( x)的拐点.
例4 求曲线 y sin x cos x ([0,2]内) 的拐点.
那么 y b 就是 y f (x) 的一条水平渐近线 .
例如 y arctan x,
有水平渐近线两条:
y , y .
2
2
3.斜渐近线 如果 lim [ f (x) (ax b)] 0
x
或 lim [ f (x) (ax b)] 0 (a,b 为常数) x
方法1:
设函数f (x)在x0的邻域内二阶可导 ,且f (x0 ) 0,
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
《曲线凹凸性》PPT课件
原点时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线y = f (x)的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
但抛物线
无渐近线 .
渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线
ox
和斜渐近线三种.
精选ppt
11
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0
4
(极大)
11
6
(拐点)
精选ppt
19
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4) 求渐近线
lim y ,x 3为铅直渐近线
x3
lim y 1,
x
lim y 0 x x
y 1 为水平渐近线 无斜渐近线
y
1
36x (x 3)2
,
y
36(3 x) (x 3)3
,
y
72( x (x
6) 3)4
3
9
93 x2
令 y 0, 得x =3, y 不存在的点为x =2,
列 x ( , 2)
2
( 2 , 3 ) 3 (3, )
表 y 不存在 0
y凸
20 9
凹 －4
凸
因此,曲线的拐点 ：( 2 , 2 0 ) , (3, 4);
9
凹区间: ( 2 , 3 ) 凸区精间选p:pt (, 2], [3, ).
弧 是向上凸的, 曲线在切线的下方,
而B是弯曲状况的
分界点.
O
A
a
精选ppt
x0
b
x
2
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35曲线的凹向及函数图形描绘
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线 y f ( x)的拐点.
例3 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x 0时,
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 曲线在(,0]上是凹的•;
因为f ( x) 0，所以f ( x)递增，
因此，不论 （x，c），还是 （c，x）， [ f （c） f （）]与( x c)都为异号，故
返回
g( x) f ( x) 0, 即g( x ) f ( x )
这表明切线y g（x）在曲线 y
y f（x）的下方，因此该曲
y f (x)
线是凹的。
x
x
则直线y b 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
••• 例如，对于曲线y 1 x 1
y
来说，因为lim 1 0. 所以 x x 1
直线y 0是曲线•y 1 的水平 o
x 1 渐近线。
y f (x)
1
x
返回
又如曲线•y arctgx，因为
lim arctgx •••••••• lim arctgx ••.•••
y f ( x )在该区间内的凹凸分界点,叫做该曲线的拐点.
y y f (x)
M ( x , f ( x ))
0
0
o
x
定理2（拐点的必要条件）若函数f（x）在x0
处的二阶导数f ( x)存在，且点( x0，f ( x0 ))为曲线 y f（x）的拐点。则f ( x) 0。
注意： f ( x) 0所确定的点( x0，f ( x0 ))不一定是 拐点，即f （x0） 0是点（x0，f （x0）为拐点的必要 而非充分条件。
3.4曲线的凹凸性与函数图形的描绘
课堂练习
2.a, b为何值，点（ 1 ， 3 ）是曲线y ax3 bx2的拐点？ 解 y 3ax2 2bx, y 6ax 2b
6a 2b 0 由(1,3)为拐点得 ; ab 3 3 9 解得a , b . 2 2
课堂练习
3.作出函数y x ln(1 x)的图形。
例如： (0,0)就不是y x 4的拐点.
求曲线凹凸区间及拐点 的步骤 : (1)求出f ( x)的定义域； (2)求出f ( x) 0和f ( x) 不存在的点; (3)列表考察上述各点相邻 两侧f ( x)符号.( 异号拐点 )
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
例3.4.2 求曲线y
y
y f1 ( x)
B
A
O
y f 2 ( x)
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
等价描述：
设f ( x)在区间I上连续 , 如果对I上任意两点x1 , x2 , 恒有 x1 x2 y f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 2 2 那么称f ( x)在I上的图像是向上凹的； 如果恒有
作图的一般步骤如下： （ 1 ）确定函数的定义区间 ； （ 2 ）考查函数的奇偶性、 周 期性与有界性； （ 3 ）确定函数的单调区间 和 极值点，凹凸区间与拐 点； （ 4 ）求曲线的渐进线； （ 5 ）借助辅助点，描出函 数的图像.
x 1 y x2
y
3
水平渐进线
垂 直 渐 近 线
2 1 1 1 2 3
x1 x2 2
x2
x
O
x1
x2
x
3.4 曲线的凹凸性与函数图形的描绘
函数的凹凸性与作图.ppt
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例5：证明不等式
例5.4 例5.5
1 (xn yn ) ( x y )n (x 0, y 0, x y, n 1)
2
2
证明：设 f (t) tn (t 0,n 1) 则
f (t) ntn1, f (t) n(n 1)tn2,
当 t 0,n 1 时，有 f (t) 0
x x x k lim f (x)
x x
(或x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) kx]
x (或x )
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例2. 求曲线
的渐近线 .
解: y
x3
, lim y ,
(x 3)(x 1) x3
(或x 1)
即上述 f（t）为下凸函数，于是对任意 x 0, y 0 有：
1 (xn yn) ( x y)n
2
2
二、 曲线的渐近线
定义3 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M y k x b
例如, 双曲线
L PN
o
x
有渐近线
x y0
y
ab
但抛物线
无渐近线 .
ox
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1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或x )
若
则曲线
有垂直渐近线 x x0 .
(或x x0 )
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,
y
-3
2 x(9 x 2 ) 9( x 1)
2 7 3
x1 3, x2 3
x3 3, x4 0, x5 3
3
0
( 3,1)
(-1,0)
x
y
y
(,3)
(3, 3)
y
+ +
0
+
0
拐点 (0,1)
+ (1, 3)
极大值
3
+
(3,)
x
(3) 列表
x
( , 1)
3
x x 的图象
3
-1 0
(-1,0)
0
(0,1)
1 0
(1, )
y
y
y
+ -
极大值 2/3
-
0
拐点 (0,0)
+
+
极小值 -2/3
+ +
续
x
作
(,1)
y
-1 0
1 3
x x 的图象
3
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,)
y
y
+ -
Y
y=f(x) P
O
x0
X
Y
在图1中,
f ( x ) 0
Y
f ( x ) 0
当 x1 x2 时,
O
1 2
X
2
O
1
图2
X
tan 1 tan 2 ,
图1
即 f ( x ) 是单调增加的; 在图2中, 当 x1 x2 时,tan 1 tan 2 , 即 f ( x ) 是单调减少的.
极大值 2/3
-
0
拐点 (0,0)
+
0
+
极小值 -2/3
+ +
y
(4)无渐近线
2 2 5 65 (5)求出辅助点 ( , ), (2, ), ( 3,0),(1, 3 ), 3 2 24 2 5 65 2 (0,0), (1, ), ( 3,0), ( 2, ), ( , ), 3 2 24 3 (6)作图：
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
y f ( x)
凹的 最 小 值
拐 点
凸的 单增 单减 极 大 值
最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 曲线 f ( x ) 的渐近线？ x
思考题解答
sin x lim 0 x x
求曲线 y f ( x ) 凹凸区间和拐点的一般 步骤: (1)确定函数的定义域；
在定义域内求 f ( x ) 0 的点和 (2)求二阶导数.
f ( x ) 不存在的点；
(3)划分区间并列表判别.
例 求曲线
解 (1)定义域 x R
5 2 y ( x 2) x 的凹凸区间和拐点. 9
1 x
练习题答案
一、1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
二、
y y
1
33 2 2
o
1 3 2
2 3 9
x
o
1 3
1
x
1图
2图
1 yx x
y 0 是其图象的渐近线.
y
sin x x
sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.
练习题
一、 填空题： 1、 曲线 y e 的水平渐近线为_______________. 1 2、 曲线 y 的水平渐近线为______________， x 1 铅直渐近线为______________. 二、 描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2、 y 2 x ( x 1) 2 ； 3、 y ln sin x . x 的渐近线并画图 . 三、求曲线 y x2 1
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2),
作图
B (1,6), y
C ( 2,1).
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
4( x 1) f ( x) 2 2 x
3 2 作函数 f ( x ) x x x 1 的图形. 补充例题2
10 y ( x 2) 9
1 3
10 10[1 ( x 2) ] 1 9 9( x 2) 3
1 3
x1 3 时 y 0; x2 2 时 y 不存在
x
y
y f ( x)
(, 2)
2
不存在 拐点
20 (2, ) 9
(2,3)
3 0
拐点
(3, 4)
(3, )
-
+
-
(,2], [3, )是曲线的凸区间,[2,3]是 结论：
20 曲线的凹区间； 拐点为 (2, ), (3, 4). 9
例 求曲线 （学生练习）
y x
4
的凹凸区间和拐点
例
求曲线
ye
arctan x
arctan x的凹凸区间和拐点
解 (1)定义域 x R (2) y e
0
0
y
1 y x
x
O
1 x 0是曲线 y 的垂直渐近线. x
例
(1)
求下列曲线的渐近线方程:
x2 y 2 x 4
x 解 因为 lim 2 =1, x x 4
2
所以 y 1 是曲线的水平渐近线.
x , 因为 xlim 2 2 x 4
2
x lim 2 x 2 x 4
解 D ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1), f ( x ) 2( 3 x 1).
x 1. 1 得驻点 x , 3
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得特殊点 x . 3
( 3, 26 ) 9
0
极小值
3
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 得垂直渐近线 x 0. 2 x 0 x 0 x
y e
1 1 x2 1
arctan x
(1 x 2 )2
e
arctan x
2 x (1 x 2 )2
e 1 (1 2 x ), 令 y 0, 得: x . 2 2 (1 x ) 2
arctan x
y
(1 2 x ) (1 x )
(2) y
y
x 3 3( x 1)
2 43 2
, 驻点为 x 3, x 1 2
3
2 x(9 x 2 )
7 2 9( x 1) 3
令 y 0, 解得x3 3, x4 0, x5 3
(3)列表
y
x2 3 3( x 1)
2 4 3
四、曲线的凹凸性
1.曲线的凹凸的定义
Y Y
观察图形
O X O X
图1
图2
定义1 若在某区间内,曲线 y =f (x)位于其上 每点的切线的上(下)方,则称此曲线在该区间 内是凹(凸)的,该区间称为曲线的凹(凸)区间.
拐点的定义 连续曲线上凹凸的分界 点称为该曲线的拐点. 注意: 拐点是曲线上的点, 应记为点的坐标 P ( x0 , f ( x0 )) 2.曲线凹凸的判别 观察图形中切线的斜率变化情况.
y
1 3
x3 x
1 e 例 作 y 2
(学生自己看书) 说明:
x2 2
的图象
Y
X
O
这是概率统计中一个重要函数: 标准正态分布的概率密度函数图象．
例
x 1 解 (1)定义域 x (, 1) (1,1) (1, ).
作 y
x
3 2
的图象
y 是奇函数,其图象关于原点对称.
f ( x)
1 ( , ) 3
1 3
1 1 ( , ) 3 3
1
(1, )
0
极大值
y
0
拐点
1 16 ( , ) 3 27
0
极小值
32 27
0
3 5 C( , ) 2 8
B (0,1)
A ( 1,0)
1
1 3
o
1 3
1
x
y x3 x2 x 1
令 f ( x ) 0,
得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0, 得 x 3.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
(0, )
0
拐点
f ( x ) 的单调性可用 f ( x ) 来判别.
定理1 设函数 y f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在 开区间 ( a , b ) 内二阶可导且 f ( x ) 恒大(小)于零, 则曲线 y f ( x ) 在区间 [a , b] 上是凹(凸)的. 用表格直观记忆: