函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法

y(4) 1.62, y(3) 1.5, y( 3) 1.37
y
x
3
x2 1
y
x
3
x2 1
补充例题1
4( x 1) 作函数 f ( x ) 2 的图形. 2 x
解 D (,0) (0, ), 非奇非偶函数,且无对称性.
4( x 2) f ( x ) , 3 x 8( x 3) f ( x ) . 4 x
拐点
(3, 4)
(3, )

-

+
-

(,2], [3, )是曲线的凸区间,[2,3]是 结论：
20 曲线的凹区间； 拐点为 (2, ), (3, 4). 9
例 求曲线 （学生练习）
y x
4
的凹凸区间和拐点
例
求曲线
ye
arctan x
arctan x的凹凸区间和拐点
解 (1)定义域 x R (2) y e
2 2
e
arctan x
,
1 令 y 0, 得: x 2
1 2
(3)列表
x
y
y f ( x)
1 ( , ) 2
1 ( , ) 2
+

0
1 arctan 2 ( ,e ) 2
-
拐 点1

1 1 区间 (, ] 是曲线的凹区间,区间 [ , )是 2 2 1 arctan 1 2 ). 曲线的凸区间, 拐点为 ( , e 2
(3) 列表
x
( , 1)
3
x x 的图象
3
-1 0
(-1,0)
0
(0,1)
1 0
(1, )
y
y
y
+ -
极大值 2/3
-
0
拐点 (0,0)
+
+
极小值 -2/3
+ +
续
x
作
(,1)
y
-1 0
1 3
x x 的图象
3
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,)
y
y
+ -
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
y f ( x)
凹的 最 小 值
拐 点
凸的 单增 单减 极 大 值
最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 曲线 f ( x ) 的渐近线？ x
思考题解答
sin x lim 0 x x
0
0
y
1 y x
x
O
1 x 0是曲线 y 的垂直渐近线. x
例
(1)
求下列曲线的渐近线方程:
x2 y 2 x 4
x 解 因为 lim 2 =1, x x 4
2
所以 y 1 是曲线的水平渐近线.
x , 因为 xlim 2 2 x 4
2
x lim 2 x 2 x 4
y
y
3
0
( 3,3)
0
拐点
-
+
+
极小值
+ +
+
0
拐点
+ -
y
(4)渐近线
x 1 3
lim
x x 1
2

曲线有垂直渐近线 x 1, x 1. (5)辅助点
y(4) 1.62, y(3) 1.5, y( 3) 1.37,
y(0.5) 0.55, y(0) 0, y(0.5) 0.55,
求曲线 y f ( x ) 凹凸区间和拐点的一般 步骤: (1)确定函数的定义域；
在定义域内求 f ( x ) 0 的点和 (2)求二阶导数.
f ( x ) 不存在的点；
(3)划分区间并列表判别.
例 求曲线
解 (1)定义域 x R
5 2 y ( x 2) x 的凹凸区间和拐点. 9
y 0 是其图象的渐近线.
y
sin x x
sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.
练习题
一、 填空题： 1、 曲线 y e 的水平渐近线为_______________. 1 2、 曲线 y 的水平渐近线为______________， x 1 铅直渐近线为______________. 二、 描出下列函数的图形： 1 2 1、 y x ； x 2、 y 2 x ( x 1) 2 ； 3、 y ln sin x . x 的渐近线并画图 . 三、求曲线 y x2 1
令 f ( x ) 0,
得驻点 x 2,
令 f ( x ) 0, 得 x 3.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
x ( ,3) 3 ( 3,2) 2 ( 2,0)
f ( x ) f ( x )
f ( x)
(0, )


0
拐点
y
1 3
x3 x
1 e 例 作 y 2
(学生自己看书) 说明:
x2 2
的图象
Y
X
O
这是概率统计中一个重要函数: 标准正态分布的概率密度函数图象．
例
x 1 解 (1)定义域 x (, 1) (1,1) (1, ).
作 y
x
3 2
的图象
y 是奇函数,其图象关于原点对称.
Y
y=f(x) P
O
x0
X
Y
在图1中,
f ( x ) 0
Y
f ( x ) 0
当 x1 x2 时,
O
1 2
X
2
O
1
图2
X
tan 1 tan 2 ,
图1
即 f ( x ) 是单调增加的; 在图2中, 当 x1 x2 时,tan 1 tan 2 , 即 f ( x ) 是单调减少的.
四、曲线的凹凸性
1.曲线的凹凸的定义
Y Y
观察图形
O X O X
图1
图2
定义1 若在某区间内,曲线 y =f (x)位于其上 每点的切线的上(下)方,则称此曲线在该区间 内是凹(凸)的,该区间称为曲线的凹(凸)区间.
拐点的定义 连续曲线上凹凸的分界 点称为该曲线的拐点. 注意: 拐点是曲线上的点, 应记为点的坐标 P ( x0 , f ( x0 )) 2.曲线凹凸的判别 观察图形中切线的斜率变化情况.
10 y ( x 2) 9

1 3
10 10[1 ( x 2) ] 1 9 9( x 2) 3
1 3
x1 3 时 y 0; x2 2 时 y 不存在
x
y
y f ( x)
(, 2)
2
不存在 拐点
20 (2, ) 9
(2,3)
3 0
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2),
作图
B (1,6), y
C ( 2,1).
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
4( x 1) f ( x) 2 2 x
3 2 作函数 f ( x ) x x x 1 的图形. 补充例题2
解 D ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1), f ( x ) 2( 3 x 1).
x 1. 1 得驻点 x , 3
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得特殊点 x . 3
2
,
所以 x 2, x 2 是曲线的垂直渐近线.
4( x 1) (2) y 2 2 x
(学生练习 )
y 2是曲线的水平渐近线,
x 0 是曲线的垂直渐近线.
三、函数的分析作图法
例
作
y
1
解(1)定义域 x ( , ), 并且图象关于原点对称. 2 (2) y x 1, 得驻点 x1 1, x2 1. y 2 x, 令 y 0 得 x 0.
1 x
练习题答案
一、1、 y 1 ； 2、 y 0, x 1 .
二、
y y
1

33 2 2

o
1 3 2
2 3 9
x
o
1 3
1
x
1图
2图
1 yx x
f ( x ) 的单调性可用 f ( x ) 来判别.
定理1 设函数 y f ( x ) 在闭区间 [a , b] 上连续, 在 开区间 ( a , b ) 内二阶可导且 f ( x ) 恒大(小)于零, 则曲线 y f ( x ) 在区间 [a , b] 上是凹(凸)的. 用表格直观记忆:
2 3
5 3
5 10 (2) y ( x 2) x , 3 9 1 1 3 10[1 ( x 2) ] 10 10 3 y ( x 2) 1 9 9 9( x 2) 3
x1 3 时 y 0 ; x2 2 时 y 不存在
(3)列表
f ( x)
1 ( , ) 3


1 3
1 1 ( , ) 3 3
1
(1, )
0


极大值

y

0
拐点
1 16 ( , ) 3 27


0

极小值

32 27
0
3 5 C( , ) 2 8
B (0,1)
A ( 1,0)
1

1 3
o
1 3
1
x
y x3 x2 x 1
(2) y
y
x 3 3( x 1)
2 43 2
, 驻点为 x 3, x 1 2
3
2 x(9 x 2 )
7 2 9( x 1) 3
令 y 0, 解得x3 3, x4 0, x5 3
(3)列表
y
x2 3 3( x 1)
2 4 3
补充点 : A ( 1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
f ( x ) 2( 3 x 1).
1 3 1 ( ,1) 3
x
f ( x ) f ( x )
x
f ( x )
(a , b)
(a , b)
y f ( x)
+

说明:
（1）定理1中的条件：“在开区间(a, b)内二 阶可导且f ″(x)恒大(小)于零”可以改为：在 开区间(a, b)内除个别点二阶导数为零或不存 在(但一阶导数存在)外，都有f″(x) >0 ( < 0)”， 其它条件不变，则原来的结论仍然成立； （2）定理1中的区间可换为其它各种区间， 结论也成立．
极大值 2/3
-
0
拐点 (0,0)
+
0
+
极小值 -2/3
+ +
y
(4)无渐近线
2 2 5 65 (5)求出辅助点 ( , ), (2, ), ( 3,0),(1, 3 ), 3 2 24 2 5 65 2 (0,0), (1, ), ( 3,0), ( 2, ), ( , ), 3 2 24 3 (6)作图：
说明:
(1)直线 y y0 是曲线 y f ( x ) 的水平渐近线
f ( x ) y0 或 lim f ( x ) y0 . xlim x
(2)直线 x x0 是曲线 y f ( x ) 的垂直渐近线
1 y 0是曲线 y 的水平渐近线, x
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) , x x x x
二、曲线的渐近线
y
1.渐近线的定义
定义2 若曲线L上的动 点P 沿着曲线无限地远离原点时, 点P与一条定直线C 的距离趋于零,
O
1 y x
P
x
则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时, 称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时, 称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
y tan x
,
y
-3
2 x(9 x 2 ) 9( x 1)
2 7 3
x1 3, x2 3
x3 3, x4 0, x5 3
3
0
( 3,1)
(-1,0)
x
y
y
(,3)
(3, 3)
y
+ +
0
+
0
拐点 (0,1)
+ (1, 3)
极大值
3
+
(3,)
x
( 3, 26 ) 9


0百度文库

极小值



3
4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] 2, 得水平渐近线 y 2; 2 x x x 4( x 1) lim f ( x ) lim[ 2] , 得垂直渐近线 x 0. 2 x 0 x 0 x
y e
1 1 x2 1
arctan x

(1 x 2 )2
e
arctan x
2 x (1 x 2 )2
e 1 (1 2 x ), 令 y 0, 得: x . 2 2 (1 x ) 2
arctan x
y
(1 2 x ) (1 x )