等差数列与等比数列综合题
等差数列与等比数列的综合-高中数学知识点讲解(含答案)
等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或1002．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．73．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．74．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．156．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．17．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = ． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 ． 10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 ．11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = ，等比数列{}n b 的前n 项n S =12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = ． 13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 ，则数列{}n b 是等比数列．15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈等差数列与等比数列的综合（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2017秋•通州区期末）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于( ) A ．90B ．100C ．10或90D ．10或100【分析】设{}n a 的公差为d ，且0d ≠，由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程，求出d 的值，由等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的前10项和10S ． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠， 11a =且1a ，2a ，5a 成等比数列，2215()a a a ∴=，则2(1)1(14)d d +=+， 解得2d =或0d =（舍去）， {}n a ∴的前10项和1010910121002S ⨯=⨯+⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，以及等比中项的性质，考查方程思想．2．（2018•延庆县一模）若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由二次方程的韦达定理可得0a >，0b >，由题意可得a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列，a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，由中项的性质，可得a ，b 的方程，解方程即可得到所求和． 【解答】解：a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点， 可得a b p +=，ab q =，即有0a >，0b >，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，即a ，2-，b 或b ，2-，a 成等比数列， 可得4ab =；又a ，b ，2-或b ，a ，2-或2-，a ，b 或2-，b ，a 成等差数列，可得22b a =-或22a b =-， 解得4a =，1b =或1a =，4b =， 可得5a b +=， 故选：B ．【点评】本题考查等差数列、等比数列的中项的性质，以及二次方程的韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3．（2018•西城区校级模拟）已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且1a 、2a 、4a 成等比数列，则1143(a a a += ) A ．2B ．3C ．5D ．7【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式，求出数列首项与公比的关系，然后求解即可．【解答】解：由1a 、2a 、4a 成等比数列得2241a a a =， 2111()(3)a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=， 0d ≠，1d a ∴=，则1141113111315523a a a a d a a a d a +++===+， 故选：C ．【点评】本题考查数列的通项公式的应用，等差数列以及等比数列的应用，考查计算能力．4．（2018秋•西城区校级期中）若1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +，成等比数列，则等差数列的公差为() A ．3B ．3或1-C ．3-D ．3或3-【分析】由题意列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后可得等差数列的公差． 【解答】解：1，a ，b 成等差数列，3，2a +，5b +成等比数列，则 221(2)3(5)a b a b =+⎧⎨+=+⎩，解得：47a b =⎧⎨=⎩或25a b =-⎧⎨=-⎩（舍)． ∴等差数列的公差为3b a -=．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式，是基础题．5．（2017•东城区三模）已知数列{}n a 是公差为1-的等差数列，且4a 是2a 与5a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，则6(S = ) A ．90-B ．45-C ．0D ．15【分析】由题意和等差数列的通项公式可得1a 的方程，解方程代入求和公式计算可得．【解答】解：由题意可得2425a a a =，公差1d =-， 2111(3)()(4)a d a d a d ∴+=++代入数据可得2111(3)(1)(4)a a a -=--， 解得15a =， 61656152S a d ⨯∴=+=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6．（2015秋•海淀区校级期末）已知等差数列1，a ，b ，又4，2a +，1b +为等比数列，求该等差数列的公差() A ．1-B ．0C ．2D ．1【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的中项的性质，解方程可得2a =，3b =，即可得到公差1d =．【解答】解：设等差数列的公差为d ， 由1，a ，b 成等差数列，可得21a b =+， 由4，2a +，1b +为等比数列，可得：24(1)(2)b a +=+， 解得2a =，3b =， 可得公差11d a =-=． 故选：D ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等差数列的公差的求法，以及运算能力，属于基础题． 7．（2016•东城区二模）成等差数列的三个正数的和等于6，并且这三个数分别加上3、6、13后成为等比数列{}n b 中的3b 、4b 、5b ，则数列{}n b 的通项公式为( ) A ．12n n b -=B ．13n n b -=C ．22n n b -=D ．23n n b -=【分析】设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +，由题意可得2a =，再由等比数列的中项的性质，可得1d =，求得公比为2，由等比数列的通项公式计算即可得到所求． 【解答】解：设成等差数列的三个正数为a d -，a ，a d +， 即有36a =，解得2a =，由题意可得23d -+，26+，213d ++成等比数列， 即为5d -，8，15d +成等比数列， 即有(5)(15)64d d -+=， 解得1(11d =-舍去），即有4，8，16成等比数列，可得公比为2， 则数列{}n b 的通项公式为33132422n n n n b b ---===． 故选：A ．【点评】本题考查等差数列和等比数列的中项的性质，考查等比数列的通项公式的运用，以及运算能力，属于中档题．二．填空题（共8小题）8．（2017秋•房山区期末）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，且2a ，3a ，6a 成等比数列，则6S = 24- ． 【分析】设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，由2a ，3a ，6a 成等比数列．解得d ，然后求解前6项的和． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，2a ，3a ，6a 成等比数列．2326a a a ∴=，2(12)(1)(15)d d d ∴+=+⨯+，解得2d =-．611665(2)242S ∴=⨯+⨯⨯⨯-=-．故答案为：24-．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2017秋•海淀区期末）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 5050 ． 【分析】由已知列式求得等差数列的首项，然后代入等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：在公差为1的等差数列{}n a 中， 由1a ，2a ，4a 成等比数列，得：2111(1)(3)a a a +=+，即11a =． 100100991001150502S ⨯∴=⨯+⨯=． 故答案为：5050．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了等差数列的前n 项和的求法，是基础的计算题．10．（2018秋•东城区校级期中）若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>，则6a ，6b 的大小关系为 66a b ．【分析】运用等差数列中项的性质和基本不等式，以及等比数列中项的性质，即可得到所求结论． 【解答】解：若等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，若110a b =>，11110a b =>， 由等差数列中项的性质可得11161112a a aa a +=66||b b =，当且仅当111a a =取得等号．故答案为：66a b ．【点评】本题考查等差数列和等比数列中项的性质，以及基本不等式的运用，考查运算和推理能力，属于中档题． 11．（2018•海淀区校级三模）已知等差数列{}n a 中，公差0d ≠，12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项，则等差数列{}n a 的公差d = 2 ，等比数列{}n b 的前n 项n S =【分析】由已知列式求出等差数列的公差，进一步得到等比数列的公比，代入等比数列的前n 项和公式求等比数列{}n b 的前n 项n S ．【解答】解：由12a =，1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前三项， 得2214a a a =，即2(2)2(23)d d +=+，解得2d =． 214a a d ∴=+=，则数列{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴12(12)2212n n n S +-==--．故答案为：2；122n +-．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质及前n 项和，是中档题． 12．（2017•北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b = 1 ． 【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结果． 【解答】解：等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==， 设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ． 可得：813d =-+，3d =，22a =；38q =-，解得2q =-，22b ∴=． 可得221a b =． 故答案为：1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力．13．（2017•西城区二模）已知等差数列{}n a 的公差为2，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则1a = 2 ；数列{}n a 的前n 项和n S = ．【分析】由题意可得1a ，12a +，16a +成等比数列，通过解方程求得1a 的值．然后求和．【解答】解：数列{}n a 是公差为2的等差数列，且1a ，2a ，4a 成等比数列，1a ∴，12a +，16a +成等比数列，2111(2)(6)a a a ∴+=+，解得12a =， 数列{}n a 的前n 项和2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+． 故答案为：2；2n n +．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式的应用，属于基础题．14．（2017春•海淀区期中）若数列{}n a 满足12312()()n n a a a a a a n +++⋯+=+，则数列{}n a 是等差数列．类比上述结论，可以猜想：若数列{}n b 满足 21231()()n n n b b b b b b ⋯= ，则数列{}n b 是等比数列．【分析】把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得到． 【解答】解：把数列的项相加改成数列的项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，可得： 若数列{}n b 满足21231()()n n n b b b b b b ⋯=，则数列{}n b 是等比数列． 故答案为：21231()()n n n b b b b b b ⋯=．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查类比推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题． 15．（2016•顺义区一模）国家新能源汽车补贴政策，刺激了电动汽车的销售，据市场调查发现，某地区今年Q 型电动汽车的销售将以每月10%的增长率增长；R 型电动汽车的销售将每月递增20辆，已知该地区今年1月份销售Q 型和R 型车均为50辆，据此推测该地区今年Q 型汽车销售量约为 1050 辆；这两款车的销售总量约为 辆．（参考数据：111.1 2.9≈，121.1 3.1≈，131.1 3.5)≈【分析】由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量与R 型电动汽车的月销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n 项和求解．【解答】解：由题意可得，今年Q 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年Q 型电动汽车的销售量为1250(111)10501 1.1-≈-；R 型电动汽车的月销售量构成以50为首项，以20为公差的等差数列，则R 型电动汽车的销售量为121112502019202⨯⨯+⨯=． ∴这两款车的销售总量约为：105019202970+=．故答案为：1050；2970．【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是基础题．。
(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
(完整版)等差等比数列求和与差的练习题
题目一：等差数列求和
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，求该等差数列的前$n$项和$S_n$。
解答步骤：
1. 根据公式$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$计算出结果。
题目二：等差数列差的问题
已知等差数列的首项为$a_1$，公差为$d$，依次计算以下问题：
1. $a_3 - a_2$；
2. $a_5 - a_3$；
3. $a_{10} - a_5$。
解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 + (n-1)d$计算出各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。
题目三：等比数列求和
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，求该等比数列的前$n$项和$S_n$。
解答步骤：
1. 如果公比$r=1$，则$S_n = n \cdot a_1$，直接计算结果；
2. 如果公比$r \neq 1$，则$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$，按照公式计算结果。
题目四：等比数列差的问题
已知等比数列的首项为$a_1$，公比为$r$，依次计算以下问题：
1. $a_2 - a_1$；
2. $a_4 - a_2$；
3. $a_{10} - a_{5}$。
解答步骤：
1. 利用公式$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$计算各项的值；
2. 按照题目给定的差问题计算出结果。
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等差数列与等比数列复习题
等差数列与等比数列复习题11．已知{}n a 是等差数列，6720a a +=，7828a a +=，那么该数列的前13项和13S 等于（ ）A ．156B ．132C ．110D ．1002．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a ⋅<，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A ．20 B ．17 C ．19 D ．213．设各项均为正数的等差数列n a n 的前}{项和为,1,>m S n 若0211=-++-m m m a a a 且m S m 则,3812=-等于 （ ）A ．38B ．20C ．10D ．9 4．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，已知37+=n nT S n n ，则55b a 等于（ ）A.7B.32 C.1370 D.4215．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若2:1:510=S S ，则=515:S S （ ） A 、3：4 B 、2：3 C 、1：2 D 、1：3 6．设等比数列{}n a 中,前n 项和为n S ,已知3S =8,6S =7,则987a a a ++等于（ ） A.18 B.-18 C.578 D.5587．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．48 8．等比数列{}n a 中, ____________S ,12,415105===则S S9．数列{}11(12)(124)...(12...2)n -++++++++++的前n 项和为_____________. 10．在等比数列{}n a 中，若141,42a a ==-，则12||||...||n a a a +++=____________.11．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为 ． 12．已知数列{}n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{nS n的前10项的和为13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且对任意n N *∈时，点(,)n n a S 都在函数11()22f x x =-+的图象上。
等差数列与等比数列的综合应用题
等差数列与等比数列的综合应用题下面是2000字的文章，涉及到等差数列和等比数列的综合应用题。
等差数列和等比数列的综合应用题数列是数学中一个重要的概念，有着广泛的应用。
其中等差数列和等比数列是最常见的两种数列，它们在实际问题中有着丰富的应用。
本文将探讨其中一些有趣的综合应用题。
一、等差数列的综合应用1. 现有一连续数列，首项为a，公差为d，共有n项。
若已知该等差数列的和为Sn，则求出该数列的最后一项。
解析：根据等差数列的性质，我们知道等差数列的前n项和可以表示为Sn = (2a + (n-1)d) * n / 2。
将该式子中的Sn替换为已知的值，整理后得到一个关于未知数的一元二次方程，通过解方程，我们可以求得该数列的最后一项。
2. 小明上学迟到了，他每天比前一天迟到10分钟，第一天迟到15分钟，到第九天小明迟到多久？解析：这是一个等差数列的应用题，题目中已经给出了首项和公差，我们需要求出第九项。
根据等差数列的性质，我们知道第九项可以表示为a9 = a1 + (9-1)d。
将已知的值代入公式，计算得到小明第九天迟到了85分钟。
二、等比数列的综合应用1. 小明通过研究发现，他所在的城市每年的垃圾总量是前一年的1.5倍。
今年城市的垃圾总量为2000吨，请计算出5年后的城市垃圾总量是多少吨。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
将已知的值代入公式，计算得到5年后的城市垃圾总量为3750吨。
2. 一颗植物的高度是前一天的2倍，已知第一天植物的高度为10厘米，请计算出第五天的植物高度。
解析：这是一个等比数列的应用题，题目中已经给出了首项和公比，我们需要求出第五项。
根据等比数列的性质，我们知道第五项可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
专题05 等差等比综合(解析版)
专题5 等差等比综合一、解答题1．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）n a n =；（2）122n n S +=-.【解析】（1）先设等差数列的公差为d ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，得到n b ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以1(1)n a n n ；（2）由（1）可得，22n a nn b ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.2．已知等差数列{}3log n a 的首项为1，公差为1，等差数列{}n b 满足()212n n b n n k +=++．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）若nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 【答案】（1）3nn a =．1n b n =+（2）525443n nn S +=-⋅ 【解析】（1）由等差数列的通项公式及对数的运算可得数列{}n a 的通项公式，根据条件中的递推式求出123,,b b b ，利用它们成等差数列列方程求出k ，进而可得数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求数列{}n c 的前n 项和n S . 【详解】解：（1）由条件可知，3log 11n a n n =+-=，3nn a ∴=.()212n n b n n k +=++，132k b +∴=，283k b +=，3154kb +=. 由题意{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，解得1k =，()211n b n n ∴=+-=+； （2）由（1）知，13n n n n b n c a +==，2231333n n n S +∴=++⋅⋅⋅+① 则23112313333n n n S ++=++⋅⋅⋅+① ①-①可得23311221111525333333623n n n n n S ++++=+++⋅⋅⋅+-=-⋅，525443n nn S +∴=-⋅. 3．若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()221log *n n b a n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）2n T n =. 【解析】 【分析】（1）根据公式11(2,),(1)n n n S S n n N a a n *-⎧-≥∈=⎨=⎩，结合等比数列的定义、通项公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合等差数列的定义、等差数列前n 项和公式进行求解即可. 【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈.2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，化为：12n n a a -=，1n =时，1122a a =-，解得12a =.∴数列{}n a 是等比数列，首项为2，公比为2. 2n n a ∴=.（2）221log 21n n b a n -==-.因为12n nb b ，∴数列{}n b 是等差数列，首项为1，公差为2，所以 21()(1+21)22n n n a a n n T n +-∴===. 4．在等差数列{}n a 中，138a a +=，且2429a a a =⋅ （1）求数列{}n a 的首项､公差； （2）设()()1218n n n a a b -+=，若13mm m bb b +++=，求正整数m 的值.【答案】（1）数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3；（2）6. 【解析】 【分析】（1）根据条件，列出两个关于首项和公差的方程，然后解方程即可；（2）由（1）求出数列{}n a 的通项，然后再求出n b ，再根据13m m m b b b +++=求出m .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由已知可得：1121112284(3)()(8)0a d a a d a d a d d ⎧+==⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩或113a d =⎧⎨=⎩， 即数列{}n a 的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3. （2）由（1）可知4n a =或13(1)32n a n n =+-=- 当4n a =时，(41)(42)118n b -+==，又13m m m b b b +++=，而1121+=>不满足题意；当32n a n =-时，(321)(322)(1)182n n n n n b ---+-==，又13m m m b b b +++=，所以(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为m 为正整数，所以m =6.5．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：①数列是等差数列；①213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①①作条件证明①,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①①作条件证明①选①①作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①①作条件证明①：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d =-，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①①作条件证明①：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n =+=所以是等差数列. 选①①作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d -=21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①①证明①的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d 12d a =，进而得到213a a =；选①①时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选①①时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a前两项的差1d利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.6．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n ∈N 且2n ≥). (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =- (2)21n n T n =+ 【解析】 【分析】（1）由1(2)n n n a S S n -=-≥及题意可得数列为等差数列，从而求出2n S n =，从而可求出答案；（2）利用裂项相消法即可求出答案． (1)①1(2)n n n a S S n -=-≥，①2)n a n =≥，又)*2,,0n n a n n a ≥∈>N ，1(2)n ≥，①数列1==为首项，1为公差的等差数列，1(1)n n =+-=，①2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 当1n =时，11a =，满足上式， ①数列{}n a 的通项公式为21n a n =-；(2)由（1）可知，21n a n =-， 12233411111n n n T a a a a a a a a +=++++ 11111335572121n n =++++⨯⨯⨯(-)(+)1111111221213351n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭ 21nn =+， ①当*n ∈N 时，21n nT n =+． 7．已知数列{an }满足1a ＝1，an ＋1＝2an ＋1，bn ＝an ＋1(n ①N*)． （1）求证：{ bn }是等比数列； （2）求{ an }的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）an ＝2n －1. 【解析】 【分析】（1）由题意可得an ＋1＋1＝2(an ＋1)，利用等比数列的定义即可证明. （2）利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）证明：①an ＋1＝2an ＋1，①an ＋1＋1＝2(an ＋1)，即bn ＋1＝2bn ， ①b 1＝1a ＋1＝2≠0.①bn ≠0，①1n nb b +＝2，①{bn }是等比数列． （2）由（1）知{bn }是首项b 1＝2，公比为2的等比数列， ①bn ＝2×2n －1＝2n ，即an ＋1＝2n ，①an ＝2n －1.8．已知等差数列{}n a 的公差为正数，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，12b =，且2212b S =，2310b S +=.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T . （3）设1n n n c b S =+，n *∈N，求数列{}n c 的前2n 项和. 【答案】（1）n a n =；2nn b =；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）212221n n +-+. 【解析】【分析】（1）假设公差d 和公比q ，由等差和等比数列通项与求和公式可构造方程求得,d q ，由等差和等比通项公式可求得结果；（2）由（1）可得2nn n a b n ⋅=⋅，利用错位相减法可求得结果；（3）由（1）可得11221nn c n n ⎛⎫=+⨯- ⎪+⎝⎭，利用分组求和的方法，结合等比数列求和公式和裂项相消法可求得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，等比数列{}n b 公比为q ，()()22112311222123323310b S b q a d q d b S b q a d q d ⎧=+=+=∴⎨+=++=++=⎩，解得：21q d =⎧⎨=⎩，()111n a n n ∴=+-⨯=；1222n n n b -=⨯=；（2）由（1）得：2nn n a b n ⋅=⋅，()1231122232122n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， ()23412122232122n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅， 两式作差得：()()211231212222222212n n nn n T n n -++--=-⋅+++⋅⋅⋅+=-⋅+-112242n n n ++=-⋅-+()1122n n +=-⋅-，()1122n n T n +∴=-⋅+.（3）由（1）得：()()121122221112n n n n c n n n n n n ⎛⎫=+=+=+⨯- ⎪+++⎝⎭， 则2212321111122221223221nn c c c c n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭()221212121422122212212121n n n n n n n ++-⎛⎫=+⨯-=-+=- ⎪-+++⎝⎭. 【点睛】方法点睛：当数列通项公式满足等差⨯等比的形式时，采用错位相减法求解数列的前n 项和，具体步骤如下：①列出1231n n n S a a a a a -=+++⋅⋅⋅++的形式；①左右两侧同乘通项中的等比部分的公比q ，得到n qS ；①上下两式作差得到()1n q S -，结合等比数列求和公式可整理等式右侧的部分； ①整理所得式子求得n S .9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-.（1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）33()4n n a =-⋅；（2）31λ-≤≤.【解析】 【分析】（1）由1439n n S S +=-，结合n S 与n a 的关系，分1,2n n =≥讨论，得到数列{}n a 为等比数列，即可得出结论；（2）由3(4)0n n b n a +-=结合(1)的结论，利用错位相减法求出n T ，n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，分类讨论分离参数λ，转化为λ与关于n 的函数的范围关系，即可求解. 【详解】（1）当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-， 当2n ≥时，由1439n n S S +=-①， 得1439n n S S -=-①，①-①得143n n a a += 122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=， 又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列， 1933()3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由3(4)0n n b n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-， 所以234333333210(4)44444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎝+⎭⎭，2413333333321(5)(4)444444nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得234113333333(4)4444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134()4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤； 4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-； 所以31λ-≤≤. 【点睛】易错点点睛：（1）已知n S 求n a 不要忽略1n =情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如（2）中(4)30n n λ-+≥恒成立，要对40,40,40n n n -=->-<讨论，还要注意40n -<时，分离参数不等式要变号.10．已知实数111,,a b c 成等差数列，求证：,,222b b b ac --成等比数列.【答案】见详解. 【解析】 【分析】根据条件，证明：2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可，注意各项均不为零.【详解】因为111,,a b c 成等差数列，所以112a c b +=，即2b ac a c =+且0abc ≠，又()()2220222444b b b b ac b b a c ac a c ac a c a c ⎛⎫⎛⎫-⋅-=-++=-++=> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 所以2222b b b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立且各项均不为零，所以：,,222b b ba c --成等比数列.【点睛】本题考查等比数列的证明，难度一般.注意说明各项均不为零. 11．设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-. (1) 求123,,b b b ；(2) 求数列{}n b 的通项公式. 【答案】(1)123b =；229b =；3227b =.(2)23n n b =.【解析】 【分析】(1)对于已知式令1,2,3n =即可解得123,,b b b 的值.(2)由22n n b S =-，得1122n n b S --=-，两式相减可推得{}n b 是等比数列，进而可得通项公式.也可以由(1)的结论归纳出{}n b 的通项公式，再验证其符合已知条件. 【详解】（1）由22n n b S =-，令1n =，得1122b S =-，又11S b =，所以123b =； 令2n =，得21222()b b b =-+，所以229b =； 令2n =，得312322()b b b b =-++，所以3227b =. （2）方法一：当2n ≥时，由22n n b S =-，可得1122n n b S --=-， 两式相减得112()2n n n n n b b S S b ---=--=-，即11=3n n b b －. 所以{}n b 是以123b =为首项，13为公比的等比数列，于是1212333n n n b -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭. 方法二：由（1）归纳可得23n nb =， 此时21133111313nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，可使22n n b S =-成立，所以23n nb =. 【点睛】本题考查数列问题，考查由n a 和n S 的关系求通项公式.通过赋值列举若干项，寻找规律和解题思路，是解决数列问题的一种常见策略. 12．已知数列{}n a 满足112n n a a +=-+，其中10a =. （1）求证11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设121n n n n T a a a +-=+++，若n T p n ≤-对任意的n *∈N 恒成立，求p 的最小值.【答案】（1）证明见解析，11n a n=-；（2）最小值为1.【解析】 【分析】 （1）根据112n n a a +=-+，可得1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++，从而可得12111111n n n n a a a a ++==++++，即可得出结论，再根据等差数列的通项即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤，设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，利用作差法证明数列(){}H n 单调递减，从而可得出答案.【详解】（1）证明：①112n n a a +=-+， ①1211111222n n n n n n a a a a a a ++-++=-+==+++， ①10n a +≠，①12111111n n n n a a a a ++==++++， ①11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列. ()1111n n n a =+-=+，①11n a n=-. （2）解：①121n n n n T a a a p n +-=+++≤-，①121n n n n a a a p +-++++≤，即()()()()12211111n n n n a a a a p ++-++++++++≤对任意的n *∈N 恒成立，而11n a n+=， 设()()()()121111n n n H n a a a +-=++++++，①()111121H n n n n =++++-， ()1111111221221H n n n n n n +=+++++++-+， ①()()1111110221212H n H n n n n n n+-=+-=-<++， ①数列(){}H n 单调递减，①当n *∈N 时，()()11H n H ≤=，①1p ≥. ①p 的最小值为1.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4120S =，13n n a a +=. （①）求数列{}n a 的通项公式；（①）设321log n n b a -=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）3nn a =（2）n T 21nn =+ 【解析】 【分析】（1）利用13n n a a +=，得到数列{}n a 是等比数列，且公比等于3，利用求和公式求得数列的首项1a ，再利用等比数列的通项公式求得结果；（2）根据题意，可得21n b n =-，之后应用裂项相消法对数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭求和.【详解】（①）①13n na a +=，①{}n a 是公比为3q =的等比数列， 又()4141312013a S -==-，解得13a=.①{}n a 是以13a =为首项，以3q =为公比的等比数列，通项公式为113n nn a a q -==. （①）①213log 321n n b n -==- ①()()11113352121n T n n =+++⨯⨯-+ 111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11(122121n n n =-=++） 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的定义，等比数列的求和公式，等比数列通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.14．某航运公司用300万元买回客船一艘，此船投入营运后，每月需开支燃油费、维修费、员工工资，已知每月燃油费7000元，第n 个月的维修费和工资支出为600(1)3000-+n 元. （1）设月平均消耗为y 元，求y 与n （月）的函数关系； （2）投入营运第几个月，成本最低？（月平均消耗最小）（3）若第一年纯收入50万元（已扣除消耗），以后每年纯收入以5%递减，则多少年后可收回成本？ 【答案】（1）30000003009700,y n n N n+=++∈；（2）投入第100个月，成本最低； （3）7年后收回成本. 【解析】 【分析】（1）先求出购船费和所有支出的和，然后把购船费和所有支出费用平摊到每一个月，即可求得平均消耗y与n （月）的函数关系；（2）利用基本不等式可得最值，从而求出此时n 的值，即可求解；（3）假设x 年后可收回成本，则收入是首项为50，公比为0.95的等比数列，然后建立收入大于成本的不等式，即可求解. 【详解】（1）购船费和所有支出费为30000007000[300030006003000260030006000(1)]n n +++⨯+⨯⨯++⨯-230000009700300n n =++元，所以月平均消耗30000003009700=++y n n， 即月平均消耗为y 与n 的函数关系30000003009700,y n n N n+=++∈.（2）由（1）30000003009700970069700y n n =++≥=， 当且仅当3000000300n n=，即100n =时等号成立， 所以当投入营运100个月时，营运成本最低. （3）假设x 年后可收回成本，则收入为： 215050(15%)50(15%)50(15%)1000(10.95)300x x -+-+-++-=->，解得7x =时满足条件，6x =时不满足条件， 故7年后可收回成本. 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，以及基本不等式求最值的应用，着重分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. （1）求n a ，n b ； （2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）121nn S n =-+. 【解析】 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则n a ，n b 可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入n c ，分组后利用等比数列前n 项和与裂项相消法求解数列{}n c 的前n 项和. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又①124,,a a a 成等比数列，①2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，①联立①①可得，11a d == ①n a n = ，12n n b -=； （2）①1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++，①01111111(222)(1)2231n n S n n -=++++-+-++-+ ＝1211121211n n n n -+-=--++. ①数列{}n c 的前n 项和n S 为121n n S n =-+. 【点睛】本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的和，进而利用裂项求和求解.16．记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a ，n a ，n S 为等差数列；数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++. (1)求数列{}n b 的前n 项和n T ； (2)若对于*N n ∀∈，总有3207464n n m a --<成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)+1112+32n n n n T -=-. (2)6>7m .【解析】 【分析】（1）由等差数列的性质得12+n n a a S =，继而有+11+12+n n a a S =，两式相减得+12n n a a =，由此得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得n a ，n S ，再由此求得n b ，运用分组求和法和等比数列的求和公式可求得n T . （2）由（1）将不等式转化为132074>642n n m ---⨯，再令13202n n n c --=，作+12233n nnnc c --=，判断出当8n =时，n c 取得最大值132，由此得174>6432m -⨯，求解即可.(1)解：因为1a ，n a ，n S 为等差数列，所以12+n n a a S =，所以+11+12+n n a a S =，两式相减得+1+122n n n n a a S S -=-， 即+12n n a a =，所以数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又16b =，14n n n b S a =++，所以11164a a =++，解得11a =，所以12n n a ，12112122n n n S -⨯-=--=，所以1111242+3212nnn n n b --=++=+-， 所以212112111112+32+32+++++3+22+2n n n n T b b b ---++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭⎝⎭()21112+221++2++++32n n n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭111112222+311212nn n --⨯-=+--⨯+1112+32n n n -=-， 所以+1112+32n n n n T -=-； (2)解：由（1）得不等式为132072464n n m ---<，整理得132074>642n n m ---⨯， 令13202n n n c --=，则()+113+122203202332n n n n nn n n c c -----=-=， 所以当07n <≤，*N n ∈时，+1>0n n c c -，即+1>n n c c ，当>7n ，*N n ∈时，+10n n c c -<，即+1n n c c <，所以当8n =时，n c 取得最大值88138201232c -⨯-==，所以174>6432m -⨯，即74>2m -，解得6>7m . 所以实数m 的取值范围为6>7m .18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2610a a +=，520S =. （1）求n a 与n S ； （2）设数列{}n c 满足1n n c S n=-，求{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）1n a n =+,n S ()32n n +=（2）n T 21nn =+ 【解析】 【分析】 （1）由()1553552a a S a +==和2642a a a +=，可求出3a 和4a ，然后利用等差数列的性质可求出n a 与n S ；（2）由（1）知()32n n n S +=，可得2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，利用裂项相消的求和方法，可求出{}n c 的前n 项和n T . 【详解】解：（1）设等差数列公差为d ，()155355202a a S a+===，故34a =，264210a a a +==，故45a =，1d ∴=，()331n a a d n n =+-=+，易得12a =， ∴()12n n nS a a =+ ()()32122n n n n +=++=． （2）由（1）知()32n n n S +=，则2121121n n c S n n n n n ⎛⎫===- ⎪-++⎝⎭，则111111121223341n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础题．19．数列{}n a 满足()1331,2n n n a a n n *-=+-∈≥N ，已知395a =．（1）求1a ，2a ； （2）若()()13n n nb a t n *=+∈N ，则是否存在实数t ，使{}n b 为等差数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15a =；223a =；（2）存在；12t =-．【解析】 【分析】（1）代入2n =，3n =进入1331nn n a a -=+-，结合395a =，即得解；（2）利用等差数列定义，要使{}n b 为等差数列，则11213n n ntb b -+-=-为常数，分析即得解 【详解】（1）当2n =时，221331a a =+-． 当3n =时，33233195a a =+-=，①223a =．①12338a =+，解得15a =． （2）当2n ≥时，()()1111133n n n n n n b b a t a t ----=+-+ ()()1113331233nn n n n a t a t t -=+--=-- 1213nt+=-． 要使{}n b 为等差数列，则1213n t +-为常数，即12t =-， 即存在12t =-，使{}n b 为等差数列．20．在正项数列{}n a 中，11a =()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT .【答案】（1）22n n a =，2nn b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++【解析】（1）在已知等式()()2211121n n n n a a a a ++-=-两边同时除以1n n a a +，即可证得{}n b 是等比数列（必须求出10b ≠），然后可求得n b ，解方程1n n nb a a =-可得n a ； （2）由（1）求出2(2)44nn n n a b n n -=⋅+，其前n 项和用分组求和法，一部分由等差数列前n 项和公式可得，另外一部分用错位相减法求和． 【详解】（1）①()()2211121n n n n a a a a ++-=-，①11112n n n n a a a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ①12n n b b +=. 又11112b a a =-=，①{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， 从而2nn b =.①1n n n b a a =-，①12n n n a a -=，又0n a >，解得22n n a =. （2）()()224444n nn n n a b n n n -=+=⋅+，设数列{}4nn ⋅的前n 项和为n S ， 则214244nn S n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，231414244n n S n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，则2144444n n n n S S n +-=+++-⋅，即()11134444434143n n n n n S n ++---⨯-=-⋅=-，即()131449n nn S +-+=， 故()()()11314442129n n n n n n T S n n ++-+=+⨯=++.【点睛】本题考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，考查分组求和、错位相减法求和．数列求和除等差数列和等比数列的求和公式外还有一些特殊数列的特殊方法：。
等差等比数列综合应用
等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 13102、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（）A 1355-⎪⎭⎫ ⎝⎛∙n B 1535-⎪⎭⎫⎝⎛∙n C 1533-⎪⎭⎫⎝⎛∙n D 1353-⎪⎭⎫⎝⎛∙n3、已知数列{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（）A56 B61 C65 D674、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+C 10493b b a a +≠+D 93a a +与104b b +的大小不确定5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列，543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （）A 成等差数列B 倒数成等差数列C 成等比数列D 倒数成等比数列6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++<n n b a D 11++≥n n b a7、各项是正数的等比数列{}n a 公比1≠q 且132,,21,a a a 成等差数列，5443a a a a ++=（）A215+ B215- C251- D215+或215-8、等比数列{}n a 中，0>n a ，b a a a a a m m m m ==+++605010,，则135125++m m a a =（）A22aab bB235a b - Cab D235b a -9、数列{}n a 的通项公式212log++=n n n a ()+∈N n ，设其前n 项和为nS，则使5-<n S 成立的自然数n 有（）A 最小值63B 最大值63C 最小值31D 最大值3110、在下列表格中每格填上一数字，每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，则a+b+c=（）A1 B2 C3 D411、两等差数列2，5，8 197与2，7，12 197中公共项的和为（） A1939 B1339 C1933 D139312、命题甲：22,2,211x x x-⎪⎭⎫⎝⎛成等比数列，命题乙：()()3lg ,1lg ,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件二、填空题13、互不相等的三个数a ，b ，c 成等差数列，a ，c ，b 成等比数列，则a ：b ：c=_____ 14、方程031631622=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++nx x mx x 的四个实根组成一个首项为23的等比数列，则n m -=_____15、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12-=n n a ，则n nn n n S C S C S C +++ 2211=_____16、已知n S 是首项为1，公比为()1≠q q 的等比数列{}n a 的前n 项和，则223122021C S C S C S +-=____________334233132031=-+-C S C S C S C S由此归纳()_____1134231201=-++-+-+nn n nn n n n C S C S C S C S C S三、解答题17、已知等差数列{}n a 中，83=a ，前n 项和为n S 61020=S （1）求{}n a 的通项公式（2）从{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项 第n 2项按原顺序组成一个新数列{}n b ，求{}n b 的前n 项和n T18、已知()nn x a x a x a x f +++= 221，且n a a a 21,组成等差数列，n 为正偶数，又()()n f n f =-=1,12，试比较⎪⎭⎫⎝⎛21f 与3的大小19、已知二次函数()x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为()26-='x x f ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()n S n ,均在函数()x f y=的图像上（1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设13+=n n n a a b ，{}n b 的前n 项和n T ，求使20m T n <对所有+∈N n 都成立的最小正整数m20、函数()x f 对任意R x ∈都有()()211=-+x f x f（1）求⎪⎭⎫⎝⎛21f 和()+∈⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛N n n n f n f 11的值（2）数列{}n a 满足()()11210f n n f n f n f f a n +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ，数列{}n a 是等差数列吗？给予证明 （3）nS b b b T a b n n n n n 1632,,14422221-=+++=-= ，试比较n T 与n S 的大小21、已知21=a ，点()1,+n n a a 在函数()x x x f 22+=的图像上，+∈N n （1）证明数列(){}n a +1lg 是等比数列（2）设()()()n n a a a T +++=11121 ，求n T 及{}n a 的通项 （3）设211++=n nn a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并证明1132=-+n n T S。
等差数列与等比数列的求和与通项综合题
等差数列与等比数列的求和与通项综合题等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列形式。
在求和与通项问题中，使用不同的公式和方法可以有效地解决相关计算。
本文将分别就等差数列和等比数列的求和与通项问题展开综合讨论，以帮助读者更好地理解和应用这两种数列。
一、等差数列的求和与通项等差数列是指数列中相邻两项之间差值保持恒定的一种数列。
通常用字母a表示首项，d表示公差。
例如，等差数列的前五项可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，a+4d。
现假设有一个等差数列的首项为a，公差为d，共有n项。
1. 求和公式：等差数列前n项和Sn可以使用以下公式进行计算：Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)2. 通项公式：等差数列的通项公式可以表示为：An = a + (n-1)d二、等比数列的求和与通项等比数列是指数列中相邻两项之间的比例保持恒定的一种数列。
通常用字母a表示首项，r表示公比。
例如，等比数列的前五项可以表示为：a，ar，ar^2，ar^3，ar^4。
现假设有一个等比数列的首项为a，公比为r，共有n项。
1. 求和公式：等比数列前n项和Sn可以使用以下公式进行计算：Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)需要注意的是，当公比r小于1时，求和公式仍然成立；当公比r 大于等于1时，等比数列不存在总和。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以表示为：An = a * r^(n-1)综合示例：假设有一个等差数列，首项为3，公差为2，共有10项。
我们可以使用求和公式计算出该等差数列的前10项和：Sn = (10/2) * (2*3 + (10-1)*2)= (5) * (6 + 9*2)= (5) * (6 + 18)= (5) * (24)= 120同样地，假设有一个等比数列，首项为2，公比为3，共有5项。
我们可以使用求和公式计算出该等比数列的前5项和：Sn = (2 * (1 - 3^5)) / (1 - 3)= (2 * (1 - 243)) / (-2)= (2 * (-242)) / (-2)= -242通过以上的计算，我们可以得到等差数列与等比数列的求和结果。
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等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知 a n 1 a n 3 0 ，则数列 a n 是 （ ） A. 递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列2. 等比数列 { a n } 中，首项 a 1 8 ，公比 q 1，那么它的前 5 项的和 S 5 的值是（ ）A ． 31． 33 2 ． 35 ． 37 C22223. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 7=35，则 a 4=( )A. 8B.7C.6D.54. 等差数列 { a n } 中， a 1 3a 8 a15120,则 2a 9a10（）A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列 a n 的通项公式为 a n 3n 228n ，则数列 a n 各项中最小项是 （ ）A. 第 4 项B.第 5 项C.第 6 项 D. 第 7 项6. 已知 a ， b ， c ， d 是公比为 2 的等比数列，则 2a b等于（ ）2cdA ．1B ． 1． 1 ． 12C 4D 87.在等比数列 a n 中, a 7 ? a 11 6, a 4 a 14 5, 则a 20()a 10A. 2B.3C. 2 或3 D.2 或3323 2328.已知等比数列 a n 中, a n >0, a 2a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25 ,那么 a 3 a 5 =( )A.5B .10C.15D .209.各项不为零的等差数列a n 中 ,有 2a 3 a 722a 110 ,数列 b n 是等比数列 ,且b7 a7 , 则 b6b8( )A.2B. 4C.8 D .1610.已知等差数列a n中,a n 0, 若 m 1且 a m 1 a m1 a m2 0, S2 m 1 38, 则m等于A. 38B. 20C.10D. 911.已知s n是等差数列a n(n N * ) 的前n项和,且 s6 s7 s5,下列结论中不正确的是 ( )A. d<0B. s11 0C. s12 0D. s13 012.等差数列{ a n}中，a1，a2 ， a4恰好成等比数列，则a4 的值是（）a1A ．1 B．2 C．3 D．4二．填空题13．已知 { a n} 为等差数列， a15＝8，a60＝20，则 a75＝________14. 在等比数列{ a n}中，a2?a816 ，则 a5=__________15．在等差数列 { a n} 中，若 a7＝m，a14＝n，则 a21＝__________16. 若数列x n满足lg x n 1 1 lg x n n N,且x1x2L x100100 ,则lg x101x102L x200________17.等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n,若 a3+a17=10,则 S19的值_________18.已知等比数列 {a n} 中， a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前 9 项之和等于_________三.解答题19.设三个数 a ，b， c 成等差数列，其和为6，又 a ，b，c 1成等比数列，求此三个数 .20. 已知数列a n中，a11,a n2a n 13，求此数列的通项公式.21. 设等差数列an的前n项和公式是sn5n23n ,求它的前3项，并求它的通项公式 .22. 已知等比数列a n的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。
数列等差数列与等比数列练习题
数列等差数列与等比数列练习题数列是数学中基础而重要的概念之一，同时也是数学的应用领域中常见的数学模型之一。
其中，等差数列和等比数列是数列中最基础的两种常见类型。
本文将为大家提供一些关于等差数列和等比数列的练习题，以巩固和提高大家对数列的理解和运用能力。
【练习题一】1. 若等差数列的首项是3，公差是4，求第n项的表达式。
解析：由题意，首项是3，公差是4。
所以等差数列的通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入已知条件，可得an = 3 + (n-1)4。
2. 若等差数列的第7项是18，公差是2，求首项和第n项的和。
解析：由题意，第7项是18，公差是2。
所以等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
代入已知条件，可得18 = a1 + (7-1)2。
解方程得a1 = 5。
首项和第n项的和可以表示为Sn = (n/2) * (a1 + an)，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
代入已知条件，得Sn = (n/2) * (5 + 5 + (n-1)*2)。
【练习题二】1. 若等比数列的首项是2，公比是3，求第n项的表达式。
解析：由题意，首项是2，公比是3。
所以等比数列的通项公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
代入已知条件，可得an = 2 * 3^(n-1)。
2. 若等比数列的第4项是16，公比是2，求首项和第n项的和。
解析：由题意，第4项是16，公比是2。
所以等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
代入已知条件，可得16 = a1 * 2^(4-1)。
解方程得a1 = 2。
首项和第n项的和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
代入已知条件，得Sn = 2 * (1 - 2^n) / (1 - 2)。
(完整版)等差等比数列综合练习题
等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（ ） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2373. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7C.6D.54. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（ ） A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22等于（ ） A ．1 B ．21 C ．41D ．817.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a •=+=则2010a a =( ) A.23B.32C.23或32 D.23-或 32- 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .209.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且7768,b a b b ==则( )A.2B. 4C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10D. 911.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( )A. d<0B. 110s >C.120s <D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则14a a 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=•a a ，则5a =__________15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=,则()101102200lg x x x +++=________17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________三.解答题19. 设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数.20. 已知数列{}n a 中，111,23n n a a a -==+，求此数列的通项公式.21. 设等差数列{}na的前n项和公式是253ns n n=+,求它的前3项，并求它的通项公式.22. 已知等比数列{}n a的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。
高中单考单招中职数学 小题练透：第20讲等差,等比数列综合
3百题挑一 详讲每一道题；左思右想 细讲每个知识点第 20 讲 等差，等比数列综合等差数列与等比数列性质的比较1. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n } 为等差数列；2. 若数列{a n }为等差数列，则数列{ba n} 为等比数列；3. 既等差数列又是等比数列的数列一定是非零常数列。
一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若a, b, c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2 + bx + c = 0（）A.必有两个不等实根B.必有两个相等实根C.必无实根D.以上三种情况均有可能2.(15T12)在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 1. a 4 = 1，则log 3 a 2 + log 3 a 3 = ( ) A.−1B.1C.−3D.3择善人而交, 择善书而读, 择善言而听, 择善行而从。
第 20 讲 等差，等比数列综合3.(02T8)某剧场共有 18 排座位，第一排有 16 个座位，往后每排都比前一排多 2 个座位，那么该剧场座位的总数为（ ）A.594B.549C.528D.4954. 若数列{a n }的通项a n ＝2n − 6,设b n = |a n |，则数列{b n }的前 7 项和为（）A.14B.24C.26D.285. 设{a n }为等差数列,a 3, a 14是方程x 2 − 2x − 3 = 0的两个根，则前 16 项的和S 16为（ ） A.8 B.12C.16D.206.(12T8)设{a n }是等差数列，a 2和a 3是方程x 2 − 5x + 6 = 0的两个根，则a 1 + a 4 = ( )A.2B.3C.5D.67.(17T13)已知数列{a n }为等差数列，且a 1 = 2，公差 d=2，若a 1, a 2, a k 成等比数列，则k= ( )A. 4B. 6C. 8D. 108. 若lnx, lny, lnz 成等差数列，则（） Ａ.y =x+z2B.y =lnx+lnz2C.y 2 = x. zD.y = ±√xza D.百题挑一 详讲每一道题；左思右想 细讲每个知识点9.(01T8)已知c ≠ 0, 且a, b, c, 2ba =( )1 12 A.B.C.323成等差数列,则c3 D.410.数列{a n }为等差数列,公差d ≠ 0,且a 1, a 2, a 6成等比数列,则a 2= ( )1A.2B.3C.42 311.在等差数列{a n }中,a 1 = −5,a 3是 4 和 49 的等比中项，且a 3 < 0，则a 5等于( )A.−18B.−23C.−24D.−3212.在等比数列{a n }中,已知a 1 + a 2 + ⋯ + a 5 = 3, a 6 + a 7 + ⋯ + a 10 = 18则a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a 15 = ( )A. 21B. 36C. 39D.12913. 已知三个数x, y, z 成等比数列,其积为 8,且x − 1, y + 1, z + 2成等差数列,则x, y, z 分别为( )A.4,2, 1B.1, 2, 4C.4, 2, 1 或 1, 2, 4D.−4, 2, −1或 −1, 2, −414.(13T12)若 a,b,c,d 均为正实数，且c 是a 和b 的等差中项，d 是a 和b 的等比中项，则有( )A.ab > cdB . ab ≥ cdC. ab < cdD. ab ≤ cd择善人而交, 择善书而读, 择善言而听, 择善行而从。
数学下册综合算式专项练习题等差数列与等比数列计算练习
数学下册综合算式专项练习题等差数列与等比数列计算练习数学下册综合算式专项练习题：等差数列与等比数列计算练习一、等差数列计算练习1. 求等差数列-3, 1, 5, 9, 13, ...的第10项和前10项和。
解答：首先确定等差数列的公差d为4，可以利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d来求解。
其中，a1为首项，n为项数。
计算第10项：a10 = -3 + (10-1)4= -3 + 9 * 4= -3 + 36= 33计算前10项和：S10 = (a1 + a10) * n/2= (-3 + 33) * 10/2= 30 * 5= 150所以，该等差数列的第10项为33，前10项的和为150。
2. 若两个数2x-y和x+2y在等差数列25, 20, 15, ...中，求x和y的值。
解答：根据题目条件，可以将2x-y和x+2y表示为等差数列的通项公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an。
则有2x - y = a1 + (n-1)d (1)x + 2y = a1 + nd (2)由(1)式和(2)式可以联立求解：2x - y = a1 + (n-1)dx + 2y = a1 + nd得到：2x - y - (x + 2y) = a1 + (n-1)d - (a1 + nd)x - 3y = -2nd + d (3)根据题目条件，等差数列的公差d为-5，代入(3)式可得：x - 3y = -2n(-5) + (-5)x - 3y = 10n - 5 (4)根据题目条件，等差数列的首项a1为25，代入(4)式可得：25 - 3y = 10n - 5整理得：10n - 3y = 30 (5)因为x和y的值未知，无法得出具体结果。
但通过方程(5)，可以得到x和y的关系。
所以，根据题目条件，不能求出x和y的具体值，但它们满足方程10n - 3y = 30。
二、等比数列计算练习1. 求等比数列2, 6, 18, 54, 162, ...的第8项和前8项和。
数列等差等比数列问题综合40分钟限时练(四)含答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《数列等差等比数列综合》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是 （ ）A ．1322a a a +≥B ．2221322a a a +≥C ．若13a a =,则12a a =D ．若31a a >,则42a a >（汇编北京文）2．已知等差数列｛n a ｝，n S 表示前n 项的和，,0,0993<>+S a a 则N S S S ,,21中最小的是（ ） A ．S 4 B ．5S C ．S 6D ．9S （汇编）3．等差数列和的前n 项和分别为S n 和T n ，对一切自然数n 都有，则等于( )B ．C ．D ．（汇编）4．数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ）A ．470B ．490C ．495D ．510（汇编江西理）5．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A ．52 B ．7C ．6D ．42（汇编）6．已知数列{a n }既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前n 项和为 A.0 B.n C.na 1 D. a 1n7．设是公比为q 的等比数列，是它的前n 项和，若是等差数列，则q 的值等于（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 48．等比数列{a n }的前n 项的和为S n ,已知a 5=2S 4+3,a 6=2S 5+3,则数列的公比q 等于 A.2 B.3 C.4 D.59．如果成等比数列，那么 ( ）A ．B ．C ．D ．10．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项之和，则其公比是( ） A ．52B ． 152-C ． 255D ． 512-11．设等差数列{an}的公差为d,如果它的前n 项和Sn=-n2,那么A.an=2n-1,d=-2B.an=2n-1,d=2C.an=-2n+1,d=-2D.an=-2n+1,d=212．已知a 、b 、c 的倒数成等差数列，如果a 、b 、c 互不相等，则 为A. B. C. D.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题13．若实数a,b,c 满足：数列1，a ，b ，c ，4是等比数列，则b 的值为 . 14．已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，()0,()()()()g x f x g x f x g x ''≠>,()(),x f x a g x =⋅（01a a >≠且）,(1)(1)5,(1)(1)2f f g g -+=- 在有穷数列)10,,2,1}()()({=n n g n f 中，任意取正整数k （110k ≤≤），则前k 项和不小于1615的概率是 ▲ ．15．设等差数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,0,01615<>S S 则15152211,,,a S a S a S 中最大的项为 ▲ .16．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ．17．已知数列{}n a 中，()12121,2,,3,n n n a a a a a n N n +--===-∈≥则2011a = ▲ ．18．在等差数列}{n a 中，若67,211234=+++=---n n n n a a a a S ，且286=n S ，则n =____19．在数列}{n a 中，3,511+==+n n a a a ，则通项公式为n a =_______20．证：lg(a ＋c)，lg(a-c)，lg(a ＋c-2b)也成等差数列． 评卷人得分三、解答题21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为,n T 已知数列{}n b 的公比为,1),0(11==>b a q q .,452335b a T S -==（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求.13221++⋅⋅⋅++n n a a q a a q a a q （本题满分14分）22．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若),(,*q p N q p p S q S q p <∈==且，求q p S +。
等差数列等比数列的综合应用
时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．等差数列{a n }中，a 3＋a 11＝8，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6·b 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】 D【解析】 ∵a 3＋a 11＝2a 7，∴a 7＝4，∴b 6·b 8＝b 27＝a 27＝16，故选D.2．(2013·新课标Ⅱ理)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )B ．－13D ．－19【答案】 C【解析】 ∵S 3＝a 2＋10a 1，∴a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 3＝9a 1，又∵a 5＝9，∴9＝a 3·q 2＝9a 1q 2，∴a 1q 2＝1，由a 3＝9a 1＝a 1·q 2，∴q 2＝9，故a 1＝19.3．(2013·新课标Ⅰ理)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n ＝________.【答案】 (－2)n －1 【解析】 ∵S n ＝23a n ＋13，∴当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13＝a 1，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(23a n ＋13)－(23a n －1＋13)＝23a n －23a n －1，∴a na n －1＝－2，∴a n ＝1×(－2)n －1＝(－2)n －1. 4．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【分析】 (1)由a 1＝10结合等比数列的性质可求得d 的值，进而求出a n ；(2)首先确定出⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，的n 值，然后分类讨论．【解析】 (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N ＋或a n ＝4n ＋6，n ∈N ＋.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11 ＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110， n ≥12.课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400【答案】 B【解析】 S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200.2．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】 A【解析】 利用等比数列的性质和通项公式求解． ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16.又∵a n >0，∴a 7＝4，a 5＝a 7·q －2＝4×2－2＝1.故选A.3．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )A ．135B ．100C ．95D ．80【答案】 A【解析】 由等比数列的性质知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，其首项为40，公比为6040＝32.∴a 7＋a 8＝40×(32)3＝135.4．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )或5 或5【答案】 C【解析】 由题知q 3＝S 6－S 3S 3＝8，则q ＝2，由数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为12，首项为1的等比数列，其前5项和T 5＝1×1－1251－12＝3116，故选C. 5．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700，则a 1等于( )A ．－1 221B ．－C ．－D ．－20【答案】 C【解析】 设{a n }公差为d ，则a 51＋a 52＋…＋a 100＝2 700＝200＋50×50d ，∴d ＝1.把d ＝1代入a 1＋a 2＋…＋a 50＝200，可得a 1＝－.6．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月【答案】 C【解析】 设第n 个月份的需求量超过万件．则S n －S n －1＝n90(21n－n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＞，解不等式，得n 2－15n ＋54＜0，即6＜n ＜9.∴应选C.7．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】 C【解析】 由a 2·a 3＝2a 1知a 21q 3＝2a 1，又a 1≠0.∴a 1q 3＝2，由a 4和2a 7的等差中项为54得，52＝a 4＋2a 7，即52＝a 1q 3＋2a 1q 6＝2＋4q 3，∴q 3＝18，q ＝12； ∴a 1＝16，S 5＝16?1－125?1－12＝31.8．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－n2n ＋1－12nB ．2－12n －1－n2n(n 2＋n ＋2)－12n(n ＋1)n ＋1－12n ＋1【答案】 B【解析】 S n ＝1×12＋2×14＋3×18＋…＋n ×12n ，①∴12S n ＝1×122＋2×18＋…＋(n －2)12n －1＋(n －1)·12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②，得：12S n ＝1×12＋1×14＋1×18＋…＋12n －n ×12n ＋1.12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1.∴S n ＝2－12n －1－n 2n . 二、填空题(每小题10分，共20分)9．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2＝________. 【答案】 52【解析】 由题意知，a 1＋a 2＝1＋4＝5，b 22＝b 1·b 3＝1×4，∴b 2＝2或－2.又∵b 21＝1×b 2，∴b 2>0，故b 2＝2.∴a 1＋a 2b 2＝52.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N ＋，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.【答案】 11【解析】 利用“特殊值”法，确定公式．由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q2＋q－2＝0解得q＝－2或q＝1(舍去)，则S5＝a1?1－q5?1－q＝1－?－2?53＝11.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．等差数列{a n}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{a n}的前20项和S20.【解析】设数列{a n}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d.因为a3，a6，a10成等比数列，所以a3a10＝a26，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0，或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是S20＝20a1＋20×192d＝20×7＋190＝330.12．数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ，使数列{a n}为等差数列？若存在，求出λ及数列{a n}的通项公式；若不存在，请说明理由．【分析】(1)把a1，a2及n代入已知等式，即可求出λ，从而a3也很容易求出．(2)假设存在实数λ，使数列{a n} 为等差数列，利用等差数列的定义求解．【解析】(1)因为a n＋1＝(n2＋n－λ)a n(n＝1,2，…)，且a1＝1，所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，所以λ＝3，所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)不存在实数λ使数列{a n}为等差数列．理由如下：由a1＝1，a n＋1＝(n2＋n－λ)a n，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)．若存在实数λ，使数列{a n}为等差数列．则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.所以a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24，这与{a n}为等差数列矛盾．所以不存在λ使数列{a n}为等差数列．【规律方法】根据等差数列的定义可知，一个数列是不是等差数列，要看任意相邻两项的差是不是同一个常数，要判断一个数列是否为等差数列，需证明a n＋1－a n＝d(d为常数)．。
等差数列与等比数列练习题
等差数列与等比数列练习题一、等差数列1. 求等差数列2, 5, 8, 11, 14的公差d和第n项的通项公式an。
解：首先，根据等差数列的性质，可知第2项减去第1项等于公差d，即5-2=d，解得d=3。
由此可得等差数列的公差d为3。
其次，我们可以观察到等差数列的公式。
第n项的通项公式可表示为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
将已知数据代入，我们有a1=2，d=3，n为第几项（此处为5），代入公式计算，可得a5=2+(5-1)×3=14。
因此，该等差数列的第5项的通项为14。
2. 如果等差数列的第a项是5，公差是7，求第n项的值an。
解：根据等差数列的通项公式可知，an=a1+(n-1)d。
已知a1=5，d=7，n为第几项（此处为n），代入公式计算，得到an=5+(n-1)×7。
因此，等差数列的第n项的值为an=5+(n-1)×7。
二、等比数列1. 求等比数列3，6，12，24的公比r和第n项的通项公式an。
解：首先，根据等比数列的性质，可知第2项除以第1项等于公比r，即6/3=r，解得r=2。
由此可得等比数列的公比r为2。
其次，观察等比数列的公式。
第n项的通项公式可表示为an=a1×r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
将已知数据代入，我们有a1=3，r=2，n为第几项（此处为4），代入公式计算，可得a4=3×2^(4-1)=3×2^3=24。
因此，该等比数列的第4项的通项为24。
2. 如果等比数列的第a项是4，公比是0.5，求第n项的值an。
解：根据等比数列的通项公式可知，an=a1×r^(n-1)。
已知a1=4，r=0.5，n为第几项（此处为n），代入公式计算，得到an=4×0.5^(n-1)。
因此，等比数列的第n项的值为an=4×0.5^(n-1)。
综上所述，等差数列与等比数列的练习题可以通过给定的已知条件，运用相应的公式来求解。
等差与等比数列习题和答案
等差与等比数列1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 等于（ ）． （A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －1【提示】排除法．由已知，各项均为奇数．所以（A ）、（D ）不正确．对于（B ），由于n ＝1时，21＋1＝3．所以（B ）也不正确．也可以直接归纳出2n －1． 【答案】（C ）．2．已知等差数列的公差为d ，它的前n 项和S n ＝－n 2，那么（ ）． （A ）a n ＝2 n －1，d ＝－2 （B ）a n ＝2 n －1，d ＝2 （C ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝－2 （D ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝2 【提示】由S n ＝－n 2 知，a 1＝S 1＝－1，a 2＝S 2－a 1＝－3，从而d ＝－2，且a n ＝a 1＋（n －1）d ＝－1＋（n －1）〃（－2）＝－2 n ＋1． 【答案】（C ）．3．在a 和b （a ≠b ）两数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为（ ）． （A ）na b - （B ）1+-n a b （C ）1+-n b a （D ）2+-n a b【提示】b ＝a ＋[（n ＋2）－1]d ． 【答案】（B ）．4．数列｛a n ｝中，a n ＝－2 n ＋100，当前n 项和S n 达到最大值时，n 等于（ ）．（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）49或50【提示】令a n ＝－2 n ＋100≥0，得n ≤50．即a 49 以前各项均为正数，a 50＝0，故S 49 或S 50 最大．【答案】（D ）．5．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若510S S ＝3231，则510a a 等于（ ）． （A ）－321 （B ）－21 （C ）321 （D ）21【提示】由已知可求得q ＝－21． 【答案】（A ）．6．等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）． （A ）a 7 （B ）a 8 （C ）a 9 （D ）a 10【提示】由S 5＝S 11 得2 a 1＋15 d ＝0，又a 1＞0，所以d ＜0．而2 a n ＝2 a 1＋2（n －1）d ＝（2 n －17）d ＜0，所以2 n －17＞0即n ＞8.5． 【答案】（C ）．7．已知数列｛a n ｝中，a 3，a 10 是方程x 2－3 x －5＝0的两根，若｛a n ｝是等差数列，则a 5＋a 8＝___________________；若｛a n ｝是等比数列，则a 6〃a 7＝______________．【提示】a 3＋a 10＝3，a 3a 10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求． 【答案】a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3；a 6〃a 7＝a 3〃a 10＝－5．8．在等比数列｛a n ｝中，若其中三项a 1、a 2、a 4 又成等差数列，则公比是_____________．【提示】由已知，得2（a 1q ）＝a 1＋a 1q 3 即q 3－2 q ＋1＝0． 【答案】1或251±-．9．等差数列｛a n ｝的公差d ＞0．已知S 6＝51，a 2〃a 5＝52．则S 7＝_______________．【提示】列出a 1 和d 的方程组，求a 1 和d ．进而求S 7 ．或由S 6＝2)(661a a +＝3（a 2＋a 5）＝51，得方程组⎩⎨⎧=⋅=+52175252a a a a ，求出a 2，a 5，进而求S 7 ． 【答案】70．10．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝___________．【提示】由已知推出a 1＝d （d ≠0），并代入所求式中，消去d 即可． 【答案】1613．11．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=______时，S n 的值最小，S n 的最小值是__________。
等差数列与等比数列的求和问题综合练习题
等差数列与等比数列的求和问题综合练习题数列是数学中常见的一个概念，它包含了一系列按照某种规律排列的数字。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的类型，它们之间存在着不同的求和方法。
本文将通过综合练习题的方式，详细探讨等差数列与等比数列的求和问题。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。
首先，我们来看一个等差数列求和的例子。
例题1：已知等差数列的首项a1为3，公差d为4，求前10项的和S10。
解题思路：利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中an代表数列的第n 项。
首先计算出第10项的值a10 = a1 + (10-1)d = 3 + (10-1)4 = 3 + 9*4 = 3 + 36 = 39。
其次计算出前10项的和S10 = (a1 + a10) * n / 2 = (3 + 39) * 10 / 2= 42 * 10 / 2 = 210。
答案：前10项的和S10为210。
二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。
下面我们来看一个等比数列求和的例子。
例题2：已知等比数列的首项a1为3，公比q为2，求前5项的和S5。
解题思路：利用等比数列通项公式an = a1 * q^(n-1)，其中an代表数列的第n 项。
首先计算出第5项的值a5 = a1 * q^(5-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48。
其次计算出前5项的和S5 = a1 * (1 - q^n) / (1 - q) = 3 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 3 * (1 - 32) / (1 - 2) = 3 * (-31) / (-1) = 93。
答案：前5项的和S5为93。
三、综合练习题接下来，我将给出一些综合训练题，涵盖了等差数列与等比数列的求和问题。
请你根据题意，独立思考并计算出答案。
练习题1：已知等差数列的首项a1为2，公差d为3，求前20项的和S20。
等差数列等比数列综合经典例题
以下是等差数列和等比数列的经典例题：
等差数列求和问题：已知一个等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，求前n项和Sn。
解法：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，得到Sn = (a1+an)n/2 = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2。
将其化简可得Sn = n(a1+an)/2 = n(a1+a1+(n-1)d)/2 = (n/2)(a1+an) = (n/2)(a1+a1+(n-1)d)，其中a1和an可以根据公式计算出来，从而求得Sn。
等比数列求和问题：已知一个等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，求前n项和Sn。
解法：根据等比数列的通项公式an = a1q^(n-1)，得到Sn = a1(1-q^n)/(1-q)。
将其化简可得Sn = a1*(1-q^n)/(1-q) = a1*(1-q)*(1+q+q^2+...+q^(n-1))/(1-q)。
由于1+q+q^2+...+q^(n-1)是一个等比数列的前n项和，因此可以用等比数列求和公式S=q^n-1/(q-1)求出，将其代入上式，就可以得到Sn的表达式。
这些例题是等差数列和等比数列求和问题中比较经典的例子，掌握了这些例题的解法，就能够比较顺利地解决一类问题。
在实际应用中，还会有更加复杂的情况，需要根据具体的条件设计相应的求和方法。
第63课等差等比数列的综合问题
c1 b1
c2 b2
cn bn
两式相减得：当 n≥2 时， ＝an＋1－an＝2. c1 c2 c a2＝1＋d，a bn 【解析】(1)由已知有 n＝an＋1 得， 5＝1＋4d，a14＝1＋13d， (2)由 ＋ ＋…＋
cn
∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得 d＝2bn＝2·3n－1(n≥2)． ∴cn ＝2.
n
求 an 。
解法二：∵ 数列 {an } 为等比数列， 1099 a1 a 2 a3 a 2 ∴ 1 10a1 a 9d 100 {a } 的公比为 q ，由题意可知 10 （2）解法一：设等比数列 a11 S 解法二：由题意 S10 a2 100 ， 1a 10a a 5 解： 1） （ 解法一： 由题意得 a1 a 2 1 8100 ∴100 解得 a1 1003 又∵ ∴ a 3 100 99d 10 2 2 ， 11 2 1 a 1 a1 a1S101100 a1 q2 27a12 a1 100d 904 aq a11 50 ∴ S100 设等比数列的公比为 q ，则 解得 a 或 (a1 a110 ) 110 (a11 q 100 )2 110 q 1 a a q a1 2 8 a11 Sa100q) 90 110 1 ( 1∴1 110 2 2 90 2 2 110 110 a q ∴ S110 110a1 即 109da 5 1 1 1n 2 3 n a n 221 或 an 解之得 q 2 或 q 2 ∴ 2 a1 q 2
要求：结合上题分析，选择恰当 方法，快速解题
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等差数列与等比数列综合题
例1 等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列
（1）求{}的公比q ；
（2）求－＝3，求
例2 在正项数列中,令.
（Ⅰ）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；
（Ⅱ）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；
例3 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且12,,++m m m a a a 成等差数列.
（1）求q 的值；
（2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列说明理由.
例 4 已知数列｛a n ｝的首项a a =1（a 是常数），2
4221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列.若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；
（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且
{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．
例5 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2-a n ，n=1，2，3，….
(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1，且b n+1=b n +a n ，求数列{b n }的通项公式；
(Ⅲ)设c n =n(3-b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .
例 6 已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-．
（Ⅰ）设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ，证明数列1{2}n n b b +-为等比数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯=，求数列{}n na 的前n 项和n S
例7 设数列{}{},n n a b 满足111,0a b ==且1123,1,2,3,2,n n n n n n a a b n b a b ++=+⎧=⎨=+
⎩
（Ⅰ）求λ的值，使得数列{}n n a b λ+为等比数列；
（Ⅱ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）令数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n S '，求极限lim n n n
S S →∞'的值． 例8 数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列.
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2ln n n n a x
b =，求证:对任意实数(]e x ,1∈（e 是常数，
e ＝⋅⋅⋅）和任意正整数n ，总有n T < 2；
(Ⅲ) 正数数列{}n c 中，()
)(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.
例9 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。
例10 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。
（1） 若，是否存在，有说明理由；
（2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由；
（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。