2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

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2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素个数为()A. 2B. 3C. 4D. 62.若复数z=a−2i在复平面内对应的点在直线x+y=0上，则|z|=()2A. 2B. √2C. 1D. 2√23.自古以来“民以食为天”，餐饮业作为我国第三产业中的一个支柱产业，一直在社会发展与人民生活中发挥着重要作用.某机构统计了2010～2016年餐饮收入的情况，得到下面的条形图，则下面结论中不正确的是()A. 2010～2016年全国餐饮收入逐年增加B. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有3个C. 2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年D. 2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 14B. 15C. 16D. 175.设a=0.512,b=0.914,c=log0.3，则a,b,c的大小关系是()．5A. a >c >bB. c >a >bC. a >b >cD. b >a >c6. 从正方形四个顶点中任取2个点，则这2个点间的距离大于该正方形边长的概率为( ) A. 16 B. 13 C. 12 D. 237. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球．嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m ，远地点到地心的距离为n ，第二次变轨后两距离分别为2m 、2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率( )A. 不变B. 变小C. 变大D. 无法确定8. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，CA =CB =CC 1=1，则直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A. √22B. √155C. √33D. √639. 已知函数f(x)=sinωx (ω>0)的图象关于点(2π3,0)对称，且f(x)在[0,π4]上为增函数，则ω=( ) A. 32 B. 3 C. 92 D. 610. 已知函数f(x)=e x ,g(x)=a √x(a ≠0)，若函数y =f(x)的图象上存在点P(x 0,y 0)，使得y =f(x)在点P(x 0,y 0)处的切线与y =g(x)的图象也相切，则a 的取值范围( )A. (0,1]B. (0,√2e]C. (1,√2e]D. (1√2e ,2e) 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F ，过点F 作圆O ：x 2+y 2=14b 2的切线，切点为M ，且交双曲线C 右支于点N.若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A. 3x ±y =0B. x ±3y =0C. 2x ±y =0D. x ±2y =012. 已知函数g (x )(x ∈R )是偶函数，且g(2+x)=g(2−x)，当x ∈[0,2]时，g(x)=1−x ，则方程g(x)=11−|x |在区间[−10,10]上的解的个数是( ).A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,m)，a⃗+b⃗ =(1,2)，若a⃗//(a⃗+3b⃗ )，则实数m=________．14.设(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则代数式a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为________．15.数列{a n}中，若a n+a n+1=7n+5，n∈N∗，则a1+a100=______ ．16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC中，AB=3，AC=5，D是边BC上的点，AB⊥AD，sinC⋅tan∠ADC=−33．70(1)求cos B；(2)求△ABC的面积．18.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥平面BCC1B1，AC=1，BC=√3，BB1=2，∠B1BC=30°．(1)证明：B1C⊥平面ABC．(2)求二面角B1−A1C−C1的余弦值．19.设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P(2,4)，过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为k PA，k PB．(1)求抛物线的方程；(2)若k PA+k PB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；(3)若k PA⋅k PB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．20.《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领.制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则：P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973⋅(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．21.已知函数f(x)=(x−1)lnx+ax2+(1−a)x−1.(1)当a=−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f(x)零点的个数．22. 将参数方程{x =2+sin 2θy =sin 2θ(θ为参数)化为普通方程．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|3x −2|．(1)解不等式g(x)<|2x +1|；(2)若对任意的x 1∈R ，任意的x 2∈[0,1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义求出A ∩B ={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}.由此能求出A ∩B 中元素的个数．解：∵集合A ={(x,y)|x ，y ∈N ∗，y ≥x}，B ={(x,y)|x +y =8}，∴A ∩B ={(x,y)|{y ≥x x +y =8,x,y ∈N ∗}={(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}． ∴A ∩B 中元素的个数为4．故选：C ．2.答案：B解析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由z 对应的点在直线x +y =0上列式求得a ，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．解：因为复数z =a−2i 2=a 2−i ，所以复数z =a−2i 2在复平面内对应的点的坐标为(a 2,−1)，由复数z =a−2i 2在复平面内对应的点在直线x +y =0上，可得a 2−1=0⇒a =2，z =1−i ，|z|=√12+(−1)2=√2，故选B ．3.答案：B解析：本题考查条形图的性质的基础知识，是基础题．2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共两年．解：由条形数得：在A中，2010～2016年全国餐饮收入逐年增加，故A正确；在B中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量超过3000亿元的年份有2015年和2016年，共2个，故B错误；在C中，2010～2016年全国餐饮收入同比增量最多的是2015年，故C正确；在D中，2016年全国餐饮收入比2010年翻了一番以上，故D正确．故选B．4.答案：C解析：本题考查程序框图，理解程序的功能是解题的关键．根据程序框图，，当n=14时，，所以到n=15得到S<−3，因此将输出n=15+1=16．故选C．5.答案：D解析：本题考查了指数函数性质与对数运算，比较大小，属于基础题．解：a=0.512=0.2514,b=0.914>0.2514>0,c=log50.3<0，所以b>a>c．故选D．6.答案：B解析：解：从正方形ABCD四个顶点中任取2个点，有AB，BC，CD，DA，AC，BD共有6种结果，若这2个点间的距离大于该正方形边长，则为AC，BD，2个结果，则对应的概率P=26=13，利用列举法分别列举出对应事件的个数，结合古典概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．7.答案：A解析：本题考查椭圆离心率的计算，考查学生的计算能力，比较基础．利用离心率公式，分别求出离心率，即可得出结论．解：由题意，第一次变轨前有：a−c=m，a+c=n，则2a=m+n，2c=n−m，∴e=ca =n−mn+m，第二次变轨后有：a′−c′=2m，a′+c′=2n，则2a′=2(m+n)，2c′=2(n−m)，∴e′=c′a′=n−mn+m，∴e=e′．故选：A．8.答案：C解析：根据几何性质得出直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，转化为直角三角形△A1C1B求解，利用边长的关系求解．本题综合考查了直棱柱的几何性质，运用平面问题求解空间角，注意空间思维能力，运算能力的考查，属于中档题．解：∵直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90°∴A1C1⊥CC1，A1C1⊥B1C1，∵CC1∩B1C1=C1，∴A1C1⊥面BB1C1C，∴直线A1B与平面BB1C1C所成角为∠A1BC1，∵CA=CB=CC1=1，AB=√2∴Rt△A1C1B中A1C1=1，A1B=√3，∴sin∠A1BC1=3=√33，9.答案：A解析：本题主要考查三角函数的图象与性质，是中档题．f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，可得ω=32k(k∈Z)，f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，可得πω4≤π2且ω>0，由此可解．解：因为函数f(x)=sinωx的图象关于(2π3,0)对称，所以2ω3π=kπ(k∈Z)，即ω=32k(k∈Z)①，又函数f(x)=sinωx在区间[0,π4]上是增函数，所以πω4≤π2且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得ω=32．故选A．10.答案：B解析：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，求参数的范围问题，属于综合题．解：由题意f(x)=e x，在点P(x0,y0)处的切线，y=e x0x+e x0(1−x0)，∵g(x)=a√x(a≠0)，∴g′(x)=2x ，令2x=e x0，则知a>0，解得x=a24e2x0，。

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理(含解析)

陕西省西北工业大学附属中学2020届高三数学考前模拟练习试题理（含解析）第Ⅰ卷选择题（共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若（，是虚数单位），则等于（）A. 3B. 2C. 0D.【答案】A【解析】，因，故，所以，选A.2.命题:“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得 ,因为 ,因此一个充分不必要条件是,选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3.已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程得出的值，再求双曲线的离心率．【详解】已知双曲线的渐近线方程为，且，所以，得.，所以双曲线的离心率为.故选：B【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，属于基础题．4.下列说法错误的是（）A. 回归直线一定经过样本点中心B. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近1C. 对分类变量与，若越大，则“与有关的把握程度越小”D. 在回归方程中，每当随机变量每增加1个单位时，预报变量就平均增加0.2个单位【答案】C【解析】根据相关定义分析知A、B、D正确；C中对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”的招把握程度越大，故C不正确，故选C．5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A. B. 0 C. D.【答案】B【解析】【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，可得答案．【详解】由程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，由于.故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.已知过球面上三点，，的截面到球心距离等于球半径的一半，且，，则球面面积为（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为r ，则OO ′⊥面ABC ．在Rt△ACD 中，cos A ，则sin A ．在△ABC 中，由正弦定理得2r ，r，△ABC 外接圆的半径，．故选：C ．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．7.从1，2，3，4，5，6，7中取出两个不同数，记事件为“两个数之和为偶数”，事件为“两个数均为偶数”，则（）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】用列举法求出事件A ，事件B 所包含的基本事件的个数，求P （A ），P （AB ），根据条件概率公式，即可得到结论．【详解】事件A 为“两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6），∴P（A）＝，事件B为“两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6），∴P（AB）＝，∴P（B|A）＝．故选：A．【点睛】本题考查条件概率的计算公式，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练程度．属于基础题．8.将多项式分解因式得，为常数.若，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】由可得=5m-2=-7,m=-1，.【详解】因为的通项公式为，=x+（-2）=(5m-2)，=5m-2，又，5m-2=-7,m=-1,=2，故选D.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：设正方体的棱长为，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，所以正方体切掉部分的体积为，所以剩余部分体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比为，故选D．考点：几何体的三视图及体积的计算．10.将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函数图象经过放缩变换与平移变换后可得，由可得结果.【详解】函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，再向左平移后得到，因为的图象关于于对称，，解得，当时，，故选B.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.11.如图所示，为的外心，，，为钝角，为边的中点，则的值为（）A. B. 12 C. 6 D. 5【答案】D【解析】分析】取的中点，且为的外心，可知，所求，由数量积的定义可得，代值即可．【详解】如图所示，取的中点，且为的外心，可知，∵是边的中点，∴ .，由数量积的定义可得，而，故；同理可得，故.故选：D．【点睛】本题考查向量数量积的运算，数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键，属于中档题．12.已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（e x+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=e x，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选：B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.若直线被圆截得的弦最短，则______；【答案】【解析】直线y＝kx＋1恒过定点A(0,1)，要使截得的弦最短，需圆心(1,0)和A点的连线与直线y ＝kx＋1垂直，所以k·＝－1，即k＝1.14.已知数列为等差数列，且，，则______；【答案】2【解析】【分析】由为等差数列，且，利用等差数列的性质得到的值，然后求定积分即可．【详解】因为为等差数列，由等差数列的性质，得，即. 所以，所以，所以.故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的性质、定积分等知识，属于基础题．15.若实数，满足且的最小值为4，则实数的值为______；【答案】【解析】试题分析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线：，观察图形，知直线过直线和的交点时，取得最小值，即，解得，所以实数的值为.考点：线性规划问题.【易错点晴】线性规划问题是数学考试中常见题。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三下学期3月月考数学(理)试题

西工大附中2020级高三月考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22(,)|12x A x y y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，{}(,)|3x B x y y ==，则A B I 中的元素的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 2.复数2312i z i +=+-在复平面内对应的点到原点的距离是( )A.B.C.D. 3.虚拟现实（VR ）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR 技术后，VR 市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR 市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是( )A. 该地区2019年的VR 市场总收入是2017年的4倍B. 该地区2019年的VR 硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C. 该地区2019年的VR 软件收入是2018年的软件收入的3倍D. 该地区2019年的VR 软件收入是2017年的软件收入的6倍4.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为0，则中可填入( )A. 2m m =+B. 1=+m mC. 1m m =-D. 2m m =-5.设124a -=，141log 5b =，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是( )A. 115B. 110C. 13D. 1307.1970年4月24日，我国发射了自己第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是( )A. 卫星向径的最小值为a c -B. 卫星向径的最大值为a c +C. 卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D. 卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8.已知在斜三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别在侧棱1AA ，1BB 上（与顶点不重合），11AE BF EA FB =，14AA =，ABC V 的面积为5，截面1C EF 与截面CEF 将三棱柱111ABC A B C -分成三部分.若中间部分的体积为4，则1AA 与底面所成角的正弦值为( ) 的A. 12B. 35C. 45D. 29.已知()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A. 或0B. 12-C. 12D. 10.已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点.若OAB V 的面积为3e ，则点P 的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF V 的内切圆与边2AF 切于点B .若124||FF AB =，则C 的渐近线方程为( )A. 0y ±=B. 0x ±=C. 20x y ±=D. 20x y ±= 12.已知符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则( )A. sgn(())0f x >B. 404112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. sgn((2))0()f k k Z =∈D. sgn(())|sgn |()f k k k Z =∈二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(3,2)a =-r ，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为________；若()//(2)a b a b μ++r r r r ，则实数μ的值为________.14.若对12233(1)1n n n n n n n x C x C x C x C x +=+++++…两边求导，可得11232(1)23n n n n n x C C x C x-+=++1n n n nC x -++…，通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，可得1234567234567a a a a a a a ++++++值为________.15.已知数列{}n a 中，111a =，121n n a a n n+=++，若对任意的[1,4]m ∈，存在*N n ∈，使得2n a m t t >+成立，则实数t 的取值范围是________. 16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图所示，在ABC V 中，点D 在边BC 上，且90DAC ︒∠=，cos 3DAB ∠=，AB =.（1）若sin 3C =，求BC 的值；（2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值.18.如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=.（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --，求λ的值. 19.如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线.（1）求抛物线C 的方程；（2）设动点P 在直线1x =-上，存在一个定点(,0)(0)T t t ≠，动直线l 经过点T 与C 交于A ，B 两点，直线PA ，PB ，PT 的斜率分别记为1k ，2k ，3k ，且2132k k k +-为定值，求该定值和定点T 的坐标. 20.随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助.某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）.按步数分组，得到频率分布直方图如图所示.（1）求这300名员工日行步数x （单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布()2,N μσ，其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数(14,18]ξ∈的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率.若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8~14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元.求工会慰问奖励金额X （单位：元）的分布列和数学期望. 附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)P μσξμσ-<≤+0.9545≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.21.已知函数()()21ln f x a x a x =+∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，()212x x x <是()f x 的两个零点，求证：212ln 10e a x x a ⎛⎫-++< ⎪⎝⎭．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线2C 的参数方程为2x at y t=-+⎧⎨=⎩（a 为常数且0a ≠，t 为参数）. （1）求1C 和2C 直角坐标方程；（2）若1C 和2C 相交于A 、B 两点，以线段AB 为一条边作1C 的内接矩形ABCD ，当矩形ABCD 的面积取最大值时，求a 的值.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()|||22|()f x x a x a R =+--∈.（1）证明：()||1f x a ≤+；（2）若2a =，且对任意x ∈R 都有(3)()k x f x +≥成立，求实数k取值范围.的。

2020年陕西省西工大附中第三次适应性考试高三数学(理)试题

一、单选题
1．若，且，则下列不等式成立的是（）
A． B． C． D．
2．已知，则P的子集个数为（）
A．4B．6C．8D．16
3．从n个正整数1，2…n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n的值为（）
A．6B．8C．10D．14
4．如图，在三棱柱中，侧棱底面，底面是正三角形E是BC的中点，则下列叙述正确的是（）
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项.
【详解】
不妨设，则
，A选项错误.
，C选项错误.
，D选项错误.
对于B选项，由于为上的减函数，而，所以，即B选项正确.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题.
2．C
【解析】
D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人
若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．
（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？
健康型
进步型
总计
男
20
女
20
总计
40
（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望．
7．不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．
8．己知双曲线的离心率，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（）
A． B． C． D．

2020届陕西省西工大附中高一数学下学期3月线上试题

高一下学期第一次网课测试（3月）数学试题一．选择题：（3×12＝36分）1．已知△ABC 中，c 2=a 2+b 2−√3ab ，那么角C 的大小是（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知点P （﹣3，5），Q （2，1），向量m →=（2λ﹣1，λ+1），若PQ →∥m →，则实数λ等于（） A ．113B ．−113C ．13D ．−133．已知△ABC 中，a ＝1，b =√3，A ＝30°，则B 等于（） A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°4．已知平面向量a →=(−2，x)，b →=(1，√3)，且(a →−b →)⊥b →，则实数x 的值为（） A ．−2√3B ．2√3C ．4√3D ．6√35．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为（）A ．√3a kmB ．a kmC ．√2a kmD ．2a km6．在△ABC ，已知a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，点N 在线段AM 上，且满足AN →=13NM →，若AN →=λAB →+μAC →（λ，μ∈R ），则λ+μ的值为（） A ．14B ．13C ．1D ．48．在平行四边形ABCD 中，点M ，N 分别在边BC ，CD 上，且满足BC ＝3MC ，DC ＝4NC ，若AB ＝4，AD＝3，则AN →⋅MN →=（） A ．−√7B ．0C ．√7D ．79．平面内△ABC 及一点O 满足AO →⋅AB →|AB →|=AO →⋅AC →|AC →|，CO →⋅CA →|CA →|=CO →⋅CB →|CB →|，则点O 是△ABC 的（）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＝30°，△ABC 的面积为32，且sin A +sin C ＝2sin B ，则b 的值为（） A ．4+2√3B ．4﹣2√3C ．√3−1D ．√3+111．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC =√2，D ，E 是线段BC 上的点，且DE =13BC ，则AD →•AE →的取值范围是（）A ．[89，43]B ．[43，83]C ．[89，83]D ．[43，+∞)12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2且△ABC 面积为S =√312(b 2−a 2−c 2)，则△ABC 面积S 的最大值为（） A ．2−√3B ．4−2√3C ．8−4√3D ．16−8√3二.填空题（36＝18分）13．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则△ABC 的面积等于．14．已知点A （﹣1，1）、B （0，3）、C （3，4），则向量AB →在AC →方向上的投影为．15．已知向量a →=（4，2），b →=（λ，1），若a →+2b →与a →−b →的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为． 16．若满足条件AB =√3，C =π3的△ABC 有两个，则边长BC 的取值范围是． 17．已知△ABC 是锐角三角形，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是．18．如图，等腰三角形ABC ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°．E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，且满足AE →=m AB →，AF →=n AC →，其中m ，n ∈（0，1），m +n ＝1，M ，N 分别是EF ，BC 的中点，则|MN |的最小值为．三.解答题（共46分）19．（8分）设e 1→，e 2→是两个不共线向量，知AB →=2e 1→−8e 2→，CB →=e 1→+3e 2→，CD →=2e 1→−e 2→．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若BF →=3e 1→−k e 2→，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．20．（8分）已知角A 、B 、C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m →=(2√3sin A2，2cos 2A2)，n →=(cos A2，−1)，m →⊥n →．（1）求角A 的大小；（2）若a =2，cosB =√33，求b 的长．21．（10分）已知|a →|=4，|b →|=3，(2a →−3b →)⋅(2a →+b →)=61 （1）求a →与b →的夹角θ；（2）求|a →+b →|．22．（10分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b cos C +c ＝2a ．（1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，cos A =17，BD =√1292，求△ABC 的面积．23．（10分）已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π6)．（1）求f （x ）的对称轴所在直线方程及其对称中心；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且f(A2)=√32，a ＝4，求△ABC 周长的取值范围．。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷(理科)(3月份)和答案

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，则A ∩B中的元素的个数是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）复数在复平面内对应的点到原点的距离是（）A．B．C．D．3．（5分）虚拟现实（VR）技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是（）A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入（）A．m＝m+2B．m＝m+1C．m＝m﹣1D．m＝m﹣2 5．（5分）设a＝4，b＝log，c＝log43，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（）A．B．C．D．7．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是（）A．卫星向径的最小值为a﹣cB．卫星向径的最大值为a+cC．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大8．（5分）已知在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别在侧棱AA1，BB1上（与顶点不重合），＝，AA1＝4，△ABC的面积为5，截面C1EF与截面CEF将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成三部分．若中间部分的体积为4，则AA1与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，若f（x）的图象关于直线对称，且f（x）在区间内是单调函数，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l与曲线y＝e x相切，切点为P，直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，O为坐标原点．若△OAB的面积为，则点P的个数是（）A．1B．2C．3D．411．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．B．C．2x±y＝0D．x±2y＝0 12．（5分）已知符号函数，偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x，则（）A．sgn（f（x））＞0B．C．sgn（f（2k））＝0（k∈Z）D．sgn（f（k））＝|sgnk|（k∈Z）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，，若，则实数μ的值为；若，则实数μ的值为．14．（5分）若对（1+x）n＝1+x+x2+x3+…+x n两边求导，可得n（1+x）n﹣1＝+x+x2+…+x n﹣1．通过类比推理，有（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a1＝11，，若对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，则实数t的取值范围是．16．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图所示，在△ABC中，点D在边BC上，且∠DAC ＝90°，，．（1）若，求BC的值；（2）若BC边上的中线AE＝2，求AC的值．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．（1）证明：DE⊥平面ABCD；（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，求λ的值．19．（12分）如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，圆E：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝16与C交于M，N两点，且M，E，F，N四点共线．（1）求抛物线C的方程；（2）设动点P在直线x＝﹣1上，存在一个定点T（t，0）（t≠0），动直线l经过点T与C交于A，B两点，直线PA，PB，PT的斜率分别记为k1，k2，k3，且k1+k2﹣2k3为定值，求该定值和定点T 的坐标．20．（12分）随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每日健步走的步数，从而为科学健身提供了一定帮助．某企业为了解员工每日健步走的情况，从该企业正常上班的员工中随机抽取300名，统计他们的每日健步走的步数（均不低于4千步，不超过20千步）．按步数分组，得到频率分布直方图如图所示．（1）求这300名员工日行步数x（单位：千步）的样本平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表，结果保留整数）；（2）由直方图可以认为该企业员工的日行步数ξ（单位：千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2，求该企业被抽取的300名员工中日行步数ξ∈（14，18]的人数；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该企业员工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：日行步数不超过8千步者为“不健康生活方式者”，给予精神鼓励，奖励金额为每人0元；日行步数为8～14千步者为“一般生活方式者”，奖励金额为每人100元；日行步数为14千步以上者为“超健康生活方式者”，奖励金额为每人200元．求工会慰问奖励金额X（单位：元）的分布列和数学期望．附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．21．（12分）已知函数f（x）＝．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．（1）求C1和C2的直角坐标方程；（2）若C1和C2相交于A、B两点，以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，当矩形ABCD的面积取最大值时，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|（a∈R）．（1）证明：f（x）≤|a|+1；（2）若a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）成立，求实数k的取值范围．2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3月份）答案与解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，结合图形得A∩B中的元素的个数是2．【解答】解：集合，B＝{（x，y）|y＝3x}，作出椭圆+y2＝1和y＝3x的图象，如下：结合图形得A∩B中的元素的个数是2．故选：B．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵＝，∴z在复平面内对应的点到原点的距离是|z|＝．故选：C．3．【分析】设2017年VR市场总收入为1，根据统计图，逐一判断即可．【解答】解：设2017年VR市场总收入为1，A，地区2019年的VR市场总收入为4，是2017年的4倍，正确；B，2017年和2018年的硬件收入总和为1×0.9+2×0.8＝2.5＜4×0.7＝2.8，故正确；C，2019年的VR软件收入1.2是2018年的软件收入0.4的3倍，正确；D，错误，2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的12倍，故选：D．4．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次，S＝2×（4﹣2）＝4，S≤0否；若m＝m+2＝6；第二次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0否；m＝m+2＝8；第三次，S＝8×（8﹣8）＝0，S≤0，是，输出S＝0；正确；若m＝m+1＝5；第二次，S＝4×（5﹣4）＝4，S≤0否；m＝m+1＝6；第三次，S＝4×（6﹣4）＝8，S≤0，否；m＝m+1＝7，第四次，S＝8×（7﹣8）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8；与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣1＝3；第二次，S＝4×（3﹣4）＝﹣4，S≤0是；输出S＝﹣4，与S＝0矛盾，舍去；若m＝m﹣2＝2第二次，S＝4×（2﹣4）＝﹣8，S≤0是；输出S＝﹣8，与S＝0矛盾，舍去；故输入m＝m+2，输出的S的值为0，故选：A．5．【分析】可以得出，，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，∴a＜c＜b．故选：B．6．【分析】要想符合要求，1出现的次数尽可能的多，当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大．【解答】解：要想符合要求，1出现的次数尽可能的多；所以：当区域A标记的数字是2，区域B标记的数字是1时，恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值最大，此时所在的小方格个数n＝5×6＝30，标记为1的区域中小方格的个数m＝10，∴恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是P＝＝．故选：C．7．【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A，B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，椭圆越扁，故C正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，即D不正确；故选：D．8．【分析】由题意可得中间部分的体积为原三棱柱体积的三分之一，得到原三棱柱的体积，设AA1与底面所成角为α，由棱柱体积公式列式求得sinα的值．【解答】解：如图，过EF作平面EFG∥底面ABC，则，，可得中间部分的体积为V＝＝4，∴，设AA1与底面所成角为α，则S△ABC•AA1•sinα＝12，又AA1＝4，△ABC的面积为5，∴20sinα＝12，即sin．∴AA1与底面所成角的正弦值为．故选：B．9．【分析】首先利用函数的奇偶性求出φ的值，进一步求出函数的关系式为f（x）＝﹣sinωx，进一步利用（x）的图象关于直线对称，整理得ω＝4k+2，最后利用函数的单调性的应用求出ω的值，从而确定函数的关系式，最后求出函数的值．【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤π）是R上的奇函数，所以φ＝kπ，k∈Z，当k＝1时，φ＝π．所以f（x）＝sin（ωx+π）＝﹣sinωx，由于f（）＝﹣sin（ω）＝±1，所以ω＝kπ（k∈Z），整理得ω＝k+，整理得ω＝4k+2．当k＝0时，ω＝2，函数f（x）＝﹣sin2x，由于x∈，所以，故函数是单调递减函数．当k＝1时ω＝4+2＝6，函数f（x）＝﹣sin6x，由于x∈，所以，由于内单调，故函数不为单调函数．当k＝2时，ω＝10，函数f（x）在区间内也不是单调函数，所以f（x）＝﹣sin2x，故f（）＝＝﹣．故选：A．10．【分析】设切点P（），写出函数在切点处的导数，得到切线方程，分别求出切线在两坐标轴上的截距，利用三角形面积公式列式可得．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，利用导数研究其单调性与极值，则答案可求．【解答】解：设切点P（），由y＝e x，得y′＝e x，则，∴直线l的方程为，取y＝0，得x＝x0﹣1，取x＝0，得．∴，则．构造函数f（x）＝（x﹣1）2e x，f′（x）＝e x（x2﹣1）．令f′（x）＝0，得x＝±1．∴当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，可得f（x）先增后减再增，，f（x）极小值＝f（1）＝0．∵f（x）的极大值＜，∴当x≤1时，不存在点P满足题意；当x＞1时，f（x）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞．∴f（x）＝0有唯一解，则点P存在且唯一．故选：A．11．【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b＝．所以双曲线的渐近线方程为：±y＝0．故选：A．12．【分析】本题先根据函数的周期性和奇偶性画出函数f（x）的图象，再根据符号函数的性质，以及函数的周期性，利用数形结合法可对四个选项逐个判断，可得正确选项．【解答】解：依题意，由f（x+2）＝f（x），可知函数f（x）是以2为周期的周期函数．∵当x∈[0，1]时，f（x）＝x，f（x）是偶函数，∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x．函数f（x）图象如下：根据图可得，0≤f（x）≤1，故sgn（f（x））≥0，选项A不正确；很明显，当x＝2k，k∈Z时，f（x）＝0，sgn（f（x））＝0，选项C正确；f（）＝f（2×1010+）＝f（）＝，故选项B不正确；当k＝2时，sgn（f（2））＝sgn（0）＝0，|sgn2|＝1，故选项D不正确故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】利用向量数量积与向量垂直、向量坐标运算与向量共线的关系即可得出．【解答】解：+μ＝（﹣3+μ，2﹣μ），2+＝（﹣5，3），∵，∴（+μ）•＝（﹣3+μ，2﹣μ）•（﹣3，2）＝﹣3（﹣3+μ）+2（2﹣μ）＝0，解得μ＝．∵，∴3（﹣3+μ）+5（2﹣μ）＝0，解得μ＝．故答案为：，．14．【分析】对已知式两边对x求导数，再利用x＝1，即可求得结果．【解答】解：∵（5x﹣4）7＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，两边对x求导数，可得7×5×（5x﹣4）6＝a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5+7a7x6，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7＝35，故答案为：35．15．【分析】利用裂项法可求得a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝12﹣，而a n＝12﹣为递增数列，可求得a n的极限值（可作为最大值），于是所求可转化为对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立问题，通过构造函数h（m）＝tm+t2﹣12，则，解之即可．【解答】解：∵，∴＝﹣，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）+a1＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（1﹣）+11＝12﹣，∵a n＝12﹣为递增数列，∴当n→+∞时，a n→12．∵对任意的m∈[1，4]，存在n∈N*，使得成立，∴对任意的m∈[1，4]，t2+mt＜12恒成立．令h（m）＝tm+t2﹣12，则，即，解得：﹣4＜t＜2，故答案为：（﹣4，2）．16．【分析】求出Q在正方形DCC1D1的位置，然后转化求解距离即可．【解答】解：要使PQ∥平面SBC1，作PE∥C1S，交C1D1于E，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是a，D1E＝C1D1＝，连接BD，取BD的中点O，连接PO，则PSBO为平行四边形，PO∥SB，取DF＝＝，连接OF，EF，所以PEFO为平行四边形，Q 在EF上，所以EF＝＝．点Q的轨迹的长度是：．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【分析】（1）由题意利用诱导公式可求sin∠BAC的值，在△ABC 中，由正弦定理可得BC的值．（2）由（1）可得sin∠BAC＝，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠BAC，利用平面向量的运算可得＝（+），两边平方后即可计算得解AC的值．【解答】解：（1）∵∠DAC＝90°，，．∴sin∠BAC＝sin（90°+∠DAB）＝，∵，∴在△ABC中，由正弦定理，可得：＝，可得：BC＝4．（2）∵由（1）可得sin∠BAC＝，∴cos∠BAC＝﹣，∵＝（+），可得2＝（+）2，又∵AE＝2，，∴可得4＝[6+AC2+2×]，可得3AC2﹣2AC﹣30＝0，∴解得AC＝或﹣（舍去）．18．【分析】（1）推导出AD⊥DE，BD⊥DE，由此能证明DE⊥平面ABCD．（2）DE⊥平面ABCD，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ．【解答】解：（1）证明：∵四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，∴AD⊥DE，BD⊥DE，∵AD∩BD＝D，∴DE⊥平面ABCD．（2）解：∵在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．由（1）知DE⊥平面ABCD，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝2AB＝2AD＝2，则AF＝λ，则B（1，1，0），C（0，2，0），D（0，0，0），F（1，0，λ），＝（1，﹣1，0），＝（1，﹣2，λ），＝（0，﹣2，0），设平面BCF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，），设平面CDF的法向量＝（a，b，c），则，取a＝1，得＝（1，0，﹣），∵二面角B﹣CF﹣D的正弦值为，∴|cos＜＞|＝＝||＝，解得λ＝2或λ＝．19．【分析】（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，从而|EE′|＝＝＝＝4，进而3+＝4，由此能求出抛物线C的方程；（2）设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得y2﹣4ky﹣4t＝0，由此利用根的判别式，韦达定理、直线与抛物线的位置关系，能求出k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T （1，0），定值为0．【解答】解：（1）由题意知E（3，2），设抛物线C的准线为直线l′，过M，N，E分别作直线l′的垂线，垂足分别为M′，N′，E′，则|MF|＝|MM′|，|NF|＝|NN′|，∴|EE′|＝＝＝＝4，∴3+＝4，解得p＝2，∴抛物线C的方程为y2＝4x．（2）由题意知，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为x＝ky+t，与y2＝4x联立，得：y2﹣4ky﹣4t＝0，△＝16k2+16t＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），P（﹣1，y0），y1+y2＝4k，y1y2＝﹣4t，∴x1+x2＝k（y1+y2）+2t＝4k2+2t，x1x2＝，∴k1+k2﹣2k3＝++＝+＝，∴k1+k2﹣2k3的值与k，y0无关，当且仅当t＝1时，定点为T（1，0），定值为0．20．【分析】（1）以各组中点为该组的代表值加权平均即可；（2）依题意，日行步数ξ（千步）服从正态分布N（μ，σ2），由（1）知μ＝12，又σ的近似值为2，所以P（14＜ξ＜18）＝P（μ+σ＜ξ＜μ+3σ）代入即可；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，确定随机变量X的所有可能的取值，分别求出，每个随机变量对应的概率，列出分布列求期望即可．【解答】解：（1）这300名员工日行步数的样本平均数为2（5×0.005+7×0.005+9×0.04+11×0.29+13×0.11+15×0.03+17×0.015+19×0.005）＝11.68≈12千步；（2）因为ξ～N（12，22），所以P（14＜ξ＜18）＝P（12+2＜ξ＜12+3×2）＝[P（6＜ξ＜18）﹣P（10＜ξ＜14）]＝0.1574，所以走路步数ξ∈（14，18）的总人数为300×0.1574≈47人；（3）由频率分布直方图知每人获得奖励为0元的概率为0.02，奖励金额为100元的概率为0.88，奖励金额为200元的概率为0.1，由题意知X的可能取值为0，100，200，300，400，P（X＝0）＝0.022＝0.0004，P（X＝100）＝2×0.02×0.88＝0.0352，P（X＝200）＝0.882+2×0.02×0.1＝0.7784，P（X＝300）＝2×0.88×0.1＝0.176，P（X＝400）＝0.12＝0.01，所以X的分布列为：X0100200300400P0.00040.03520.77840.1760.01E（X）＝100×0.0352+200×0.7784+300×0.176+400×0.01＝216．21．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过①当a≤0时，②当a＞0时，判断导数的符号，判断函数的单调性即可．（2）利用f（x）有两个零，得到，推出a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，利用分析法推出；另一方面，令，（x＞0），通过函数的导数，转化求解函数的最值，转化求解即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且，①当a≤0时，f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）证明：∵f（x）有两个零点，∴由（1）知a＞0且，∴a＞2e，要证原不等式成立，只需证明，只需证明，只需证明．一方面∵a＞2e，∴，∴，∴，且f（x）在单调递增，故；另一方面，令，（x＞0），则，当时，g'（x）＜0；当时，g'（x）＞0；故，故g（x）≥0即时x∈（0，+∞）恒成立，令，则，于是，而，故，且f（x）在单调递减，故；综合上述，，即原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．【分析】（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得普通方程；（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD 为正方形．即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（θ为参数），利用平方关系消去参数可得：x2+y2＝4．直线C2的参数方程为（a为常数且a≠0，t为参数）．消去参数t可得：x＝﹣2+ay．（2）由直线x＝﹣2+ay经过定点（﹣2，0），由于以线段AB为一条边作C1的内接矩形ABCD，因此矩形的对角线为圆的直径，都经过原点．可知：当矩形ABCD的面积取最大值时，四边形ABCD为正方形．∴直线经过点（0，±2），代入可得：0＝﹣2±2a，解得a＝±1．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）将函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|化为f（x）＝|（2x﹣2）﹣（x﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|，利用绝对值不等式可得f（x）≤|x﹣a﹣2|（当且仅当（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号），进一步分析可证得结论成立；（2）要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k（x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象，结合图象可求得实数k的取值范围．【解答】（1）证明：函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣2|＝|（2x﹣2）﹣（x ﹣a﹣2）|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣2|+|x﹣a﹣2|﹣|2x﹣2|＝|x﹣a﹣2|（当且仅当（2x﹣2）（x﹣a﹣2）≤0，即（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0时取等号）由于（x﹣1）（x﹣a﹣2）≤0，当a﹣2≥1，即a≥3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|＝|a|+1；当1＞a﹣2，即a＜3时，|x﹣a﹣2|≤|1﹣a﹣2|＝|a+1|≤|a|+1；综上所述，f（x）≤|a|+1；（2）解：a＝2，且对任意x∈R都有k（x+3）≥f（x）＝|x+2|﹣|2x ﹣2|＝，要使k（x+3）≥f（x）恒成立．则过定点（﹣3，0）的直线y＝k （x+3）的图象不会在y＝f（x）的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝f（x）与y＝k（x+3）的图象如图，由图可知，≤k≤1．即实数k的取值范围为[，1]．。

2020届陕西省高考数学三模试卷(含解析)

2020届陕西省高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若z =(i +1)(i −2)，则复数z 的实部与虚部之和为( )A. 1B. −1C. −2D. −42. 已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3}，A ={−1,0,1},B ={1,2},则∁U (A ∪B)=( )A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}3. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=5，则2a ⃗ −b⃗ 在a ⃗ 方向上的投影为( ) A. 32B. 2C. 52D. 34. 已知函数f(x)=2sinx −acosx 图象的一条对称轴为=−π6，f(x 1)+f(x 2)=0，且函数f(x)在(x 1,x 2)上单调，则|3x 1+2x 2|的最小值为( )A. π2B. 4π3C.13π6D. 7π65. 某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点。

你认为以上推理的A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确6. 下列命题为真命题的是( )A. 函数y =x +4x+1最小值为3 B. 函数y =lgx +1lgx 最小值为2 C. 函数y =2x +12x +1最小值为1D. 函数y =x 2+1x 2最小值为27. 已知H 是球O 的直径AB 上的一点，AH ：HB =1：2，AH ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为( )A. 9π4B. 9π2C. 9π8D.16π38. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的的值为( )A. 3B. 126C. 127D. 1289. 下列三视图所表示的几何体是( )A. 正方体B. 圆锥体C. 正四棱台D. 长方体10. 方程(x +y −1)√x 2+y 2−4=0所表示的曲线是( )A.B.C.D.11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，虚轴的上端点为B ，P 为双曲线支上的一个动点，若△PBF 周长的最小值等于实轴长的4倍，则该双曲线的离心率为( )A. √5B. √2C. √102 D. √10512. 设f(x)={x −2,(x ≥10)f(x +6),(x <10)，则f(5)的值为( )A. 10B. 9C. 12D. 13二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在区间[0,2]上任取两个数a ，b ，能使函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点的概率等于______ ．14. 已知变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≤0x ≥1x +y −7≤0，则yx 的最大值是______ ．15. 已知等比数列{a n }中，a 2=1，a 5=−8，则{a n }的前5项和为______．16. 曲线f(x)=xsinx 在点(π,f(π))处的切线方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =6，c =3．(Ⅰ)若cosB =59，求b 及cosC −2cosA 的值； (Ⅱ)求角C 的取值范围．18. 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(x i ,y i )(i =1,2，…6)，如表所示：已知y =80． (1)求表格中q 的值；(2)已知变量x ，y 具有线性相关性，试利用最小二乘法原理，求产品销量y 关于试销单价x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂(参考数据∑x i 6i=1y i =3050,∑x i 26i=1=271)；(3)用(2)中的回归方程得到的与x i 对应的产品销量的估计值记为y i ∧(i =1,2，……，6).当|y ̂i −y i |≤1时，则称(x i ,y i )为一个“理想数据”.试确定销售单价分别为4，5，6时有哪些是“理想数据”．19.(文科)已知如图，在三棱锥P−ABC中，顶点P在底面的投影H是△ABC的垂心．(Ⅰ)证明：PA⊥BC；(Ⅱ)若PB=PC，BC=2，且二面角P−BC−A度数为60°，求三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的值．20.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1，F2，离心率为√32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值．21. 已知函数f(log a x)=aa 2−1(x −x −1)，其中a >0且a ≠1．(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)对于函数f(x)，当x ∈(−1,1)时，f(1−m)+f(1−m 2)<0，求实数m 的取值范围； (3)当x ∈(−∞,2)时，f(x)−6的值恒为负数，求函数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：x +y =4，曲线C 2：{x =1+cosφy =sinφ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)若射线θ=α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2的公共点分别为A ，B ，求|OB||OA|的最大值．23. 已知函数f(x)=e x −e −x −2x ，x ∈R ．(1)判断函数f(x)的奇偶性．(2)设f′(x)为f(x)的导函数，若函数f(x)=f′(2x)−2axf′(x)+2a 2，−4a −4，x ∈R 存在零点，求实数a 的取值范围．(3)设t>1，研究函数ℎ(x)=f(e x)+f(−x−t)，x≥0的零点个数．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵z=(i+1)(i−2)=−3−i，∴复数z的实部与虚部分别为−3，−1，其和为−4．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，分别求出z的实部与虚部，作和得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．2.答案：A解析：本题考查集合的运算，属基础题．先求出A∪B，再求补集．解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．3.答案：A解析：本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可．解：∵向量a⃗与b⃗ 的夹角为60°，且|a⃗|=2，|b⃗ |=5，∴(2a⃗−b⃗ )⋅a⃗=2a⃗2−b⃗ ⋅a⃗=2×22−5×2×cos60°=3，∴向量2a⃗−b⃗ 在a⃗方向上的投影为a⃗ ⋅(2a⃗ −b⃗)|a⃗ |=32．故选：A．4.答案：D解析：解：由题意，f(x)=2sinx−acosx=√4+a2sin(x+θ)，θ为辅助角，因为对称轴x=−π6，所以f(−π6)=−1−√32a，即√4+a2=|−1−√32a|，解得a=2√3，所以f(x)=4sin(x−π3)，对称轴方程为x=−π6+kπ(k∈Z)，又因为f(x)在(x1,x2)上具有单调性，且f(x1)+f(x2)=0，设x=x1，x=x2为相邻对称轴，当x1=−π6，x2=5π6时取最小值7π6，也可解：设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，则线段AB的中点为函数f(x)的对称中心，即x1+x22=kπ+π3，k∈Z，所以x1+x2=2kπ+2π3(k∈Z)，易知最小值在k=0时取得，此时x1+x2=2π3，x1∈[−π6,π3),|3x1+2x2|=|2(x1+x2)+x1|≥|4π3+x1|≥7π6,故选：D．由已知结合正弦函数的对称性及最值关系可求a，然后结合已知及对称中心的性质可求．本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档试题．5.答案：A解析：试题分析：解：∵大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x<x0时的导函数值异号时，那么x=x0是函数f(x)的极值点，∴大前提错误，故选A．考点：演绎推理点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．6.答案：D解析：解：A.x<−1时，y<0，因此不正确；B.0<x<1时，lgx<0，此时y<0；C.y=2x+12x+1=2x+1+12x+1−1>2−1=1，因此无最小值．D.y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，因此正确．故选：D．利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论．本题考查了基本不等式的使用法则“一正二定三相等”，考查了推理能力与计算能力，是基础题．7.答案：B解析：解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为13R，∵α截球O所得截面的面积为π，∴d=13R时，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+(13R)2，∴R2=98∴球的表面积S=4πR2=92π．故选：B．设球的半径为R，根据题意知由与球心距离为13R的平面截球所得的截面圆的面积是π，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积．本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理．8.答案：C解析：试题分析：输入的的值为，运行程序，不满足；运行程序，不满足；运行程序，满足，输出．故选C．考点：算法与程序框图9.答案：C解析：解：从正视图和侧视图可知，几何体可能是棱台或圆台，从俯视图可知几何体是正四棱台，故选C ．由题意三视图的正视图、侧视图判断三视图复原的几何体是棱台，从俯视图判断是正四棱台，不难得到选项．本题是基础题，考查三视图复原几何体的判断，考查空间想象能力，逻辑思维能力，常见图形的三视图应该牢记在心．10.答案：D解析：本题主要考查了曲线与方程的问题，考查了考生对曲线方程的理解和对图象分析的能力，属于中档题．原方程等价于：{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4；两组方程分别表示圆和不在圆内部分的直线，进而可推断出方程表示的曲线为圆和与圆相交且去掉圆内的部分．解：原方程等价于：{x +y −1=0x 2+y 2≥4，或x 2+y 2=4；其中当x +y −1=0需√x 2+y 2−4有意义，等式才成立，即x 2+y 2≥4，此时它表示直线x −y −1=0上不在圆x 2+y 2=4内的部分，故选：D ．11.答案：A解析：解：由题意可得B(0,b)，F(c,0)，设F′(−c,0)，由双曲线的定义可得|PF|−|PF′|=2a ， |PF|=|PF′|+2a ， |BF|=|BF′|=√b 2+c 2，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF||=|PB|+|PF′|+2a +|BF′|≥2|BF′|+2a ，当且仅当B ，P ，F′共线，取得最小值，且为2a +2√b 2+c 2，由题意可得8a =2a +2√b 2+c 2，即9a 2=b 2+c 2=2c 2−a 2，即5a 2=c 2，则e =ca =√5，故选：A ．由题意求得B ，F 的坐标，设出F′，运用双曲线的定义可得|PF|=|PF′|+2a ，则△BPF 的周长为|PB|+|PF|+|BF|=|PB|+|PF′|+2a +√b 2+c 2，运用三点共线取得最小值，可得a ，b ，c 的关系式，由a ，b ，c 的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和转化为三点共线取得最小值，考查运算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：由题意得f(x)={x −2,(x ≥10)f(x +6),(x <10)，所以f(5)=f(11)=11−2=9．故选B ．根据分段函数的解析式可得f(5)=f(11)，进而得到答案．解决此类问题的关键是熟悉解析式的结构特征，细心仔细即可得到答案．13.答案：18解析：解：在区间[0,2]上任取两个数a ，b ，则{0≤a ≤20≤b ≤2，对应的平面区域为边长为2的正方形，面积为2×2=4，若函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点，则f(−1)f(1)≤0，即(a +b +1)(−a +b +1)≤0，作出不等式对应的平面区域如图：(阴影部分)，对应的面积S =12×1×1=12，则根据几何概型的概率公式可得函数f(x)=ax +b +1在区间[−1,1]内有零点的概率等于124=18，故答案是：18求出函数有零点的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率计算，根据函数有零点的等价条件求出a 的取值范围是解决本题的关键．利用数形结合和线性规划是解决本题的突破．14.答案：6解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z =yx ，则z 的几何意义是区域内的点M(x,y)与原点的斜率，由图象可知当直线OM 经过点A 时，直线OM 的斜率最大，由{x =1x +y −7=0，即{x =1y =6，即A(1,6)，此时z 最大为61=6，即yx 的最大值为6，故答案为：6作出不等式组对应的平面区域，设z =yx ，利用z 的几何意义，结合数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式是解决本题的关键．15.答案：−112解析：解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，若a 2=1，a 5=−8，则有q 3=a5a 2=−8，则q =−2；则a 1=a 2q=−12则{a n }的前5项和S 5=a 1(1−q 5)1−q=−112，故答案为：−112．根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的通项公式可得q 3=a5a 2=−8，计算可得q 与a 1的值，由等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的前n 项和，注意分析该数列的公比，属于基础题．16.答案：y=−πx+π2解析：解：求导数可得f′(x)=sinx+xcosx，∴x=π时，f′(π)=−π，又∵f(π)=0，∴曲线f(x)=xsinx在点(π,f(π))处的切线方程为y=−π(x−π)，即y=−πx+π2．故答案为：y=−πx+π2．求导数，确定x=π处的切线的斜率，即可求得切线方程．本题考查切线方程，解题的关键是求出切点处切线的斜率，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=36+9−2×6×3×59= 25，解得：b=5，而cosC=b2+a2−c22ab =36+25−92×6×5=1315，cosA=b2+c2−a22bc =25+9−362×5×3=−115，可得：cosC−2cosA=1315−2×(−115)=1(Ⅱ)在△ABC中，由正弦定理可得asinA =csinC，由a=6，c=3，可得：sinC=12sinA，∵0<A<π，∴0<sinA≤1，∴0<sinC≤12，∵c<a，可得C<A，可得C为锐角，∴C的取值范围是：(0,π6]解析：(Ⅰ)由已知及余弦定理可得b=5，进而根据余弦定理可求cos C，cos A，代入所求即可计算得解．(Ⅱ)由正弦定理可得sinC=12sinA，由范围0<A<π，可求0<sinC≤12，结合大边对大角判断C为锐角，进而可求C的取值范围．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：解：(1)根据题意，计算y=16×(90+84+83+80+q+68)=80，解得q=75；(2)计算x=16×(4+5+6+7+8+9)=6.5，∴b̂=3050−6×80×6.5271−6×6.52=−4，â=80−(−4)×6.5=106，∴y关于x的回归方程是ŷ=−4x+106；(3)∵回归方程为ŷ=−4x+106，∴ŷ1=−4x1+106=90，|ŷ1−y1|=|90−90|=0<1，∴(x1,y1)=(4,90)是“理想数据”，ŷ2=−4x2+106=86，|ŷ2−y2|=|86−84|=2>1，∴(x2,y2)=(5,84)不是“理想数据”，ŷ3=−4x3+106=82，|ŷ3−y3|=|82−83|=1=1，∴(x3,y3)=(6,83)是“理想数据”．∴“理想数据”为(4,90)，(6,83)．解析：(1)根据题意计算y，列方程求出q的值；(2)计算平均数和回归系数，写出y关于x的回归方程；(3)根据回归方程计算预测值，与实际值比较，判断是否为“理想数据”．本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，由PH⊥面ABC，得PH⊥BC，又H是△ABC的垂心，可得AD⊥BC，而PH∩AD=H，则BC⊥面PAD，所以PA⊥BC；…(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥面PAD，则BC⊥PD，所以∠PDA为二面角P−BC−A的平面角，则有∠PDA=60°由BC⊥PD，PB=PC，可知BD=DC，又BC⊥AD，所以AB=AC在△ABC中，因为H是垂心，由平面几何可知△ABD∽△BHD，所以ADBD =BDDH,⇒AD⋅DH=BD2=1，则S△PAD=12AD⋅PH=12AD⋅DH⋅tan60°=√32，所以V P−ABC=13S△PAD⋅BC=13×√32×2=√33.…(9分)解析：(Ⅰ)连接AH，并延长交BC于D，连接BH，并延长交AC于E，连接PD，证明H是△ABC的垂心，BC⊥面PAD，即可证明：PA⊥BC；(Ⅱ)证明AB=AC，△ABD∽△BHD，求出△PAD的面积，即可求三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的值．本题考查线面垂直、线线垂直，考查三棱锥P−ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．20.答案：解：(1)把−c代入椭圆方程得c2a2+y2b2=1，解得y=±b2a，∵过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，∴2b2a=1．又e=ca=√32，联立得{2b2a=1a2=b2+c2ca=√32解得{a=2,b=1c=√3，∴椭圆C的方程为x24+y2=1．(2)如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得tn=|MF1||F2M|=√3√3−m，又t+n=2a=4，消去t得到4−nn=√3+m3−m，化为n=√3−m)3，∵a−c<n<a+c，即2−√3<n<2+√3，也即2−√3<√3−m)√3<2+√3，解得−32<m<32．∴m的取值范围；(−32,32)．(3)证明：设P(x0,y0)，不妨设y0>0，由椭圆方程x24+y2=1，取y =√1−x 24，则y ′=−2x 42√1−x24=4√1−x24，∴k =04√1−024=−x 04y 0． ∵k 1=0x+√3，k 2=0x −√3， ∴1k 1+1k 2=2x 0y 0，∴1kk 1+1kk 2=−4y 0x 0×2x 0y 0=−8为定值．解析：(1)把−c 代入椭圆方程得c 2a 2+y 2b 2=1，解得y =±b 2a，由已知过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得2b 2a=1.再利用e =c a=√32，及a 2=b 2+c 2即可得出；(2)设|PF 1|=t ，|PF 2|=n ，由角平分线的性质可得tn =|MF 1||F 2M|=√3√3−m，利用椭圆的定义可得t +n =2a =4，消去t 得到4−n n=√3+m√3−m，化为n =√3−m)√3，再根据a −c <n <a +c ，即可得到m 的取值范围；(3)设P(x 0,y 0)，不妨设y 0>0，由椭圆方程x 24+y 2=1，取y =√1−x 24，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k 1，k 2，代入即可证明结论．本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、角平分线的性质、利用导数的几何意义研究切线、斜率计算公式等基础知识，考查了推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．21.答案：解：(1)由f(log a x)=a a 2−1(x −x −1)，得f(x)=aa 2−1(a x −a −x )，因为定义域为R ，f(−x)=aa 2−1(a −x −a x )=−f(x) 所以f(x)为奇函数，因为f′(x)=a⋅lna a 2−1(a x +a −x )，当0<a <1及a >1时，f′(x)>0，所以f(x)为R 上的单调增函数；(2)由f(1−m)+f(1−m 2)<0，得f(1−m)<−f(1−m 2)=f(m 2−1)，，又x ∈(−1,1)，则−1<1−m <m 2−1<1，得1<m <√2；(3)因为f(x)为R 上的单调增函数，所以若当x ∈(0,2)时，f(x)−6的值恒为负数，则f(x)−6<0恒成立，则f(2)−6=aa 2−1(a 2−a −2)−6≤0，整理得a 2−6a +1≤0，所以3−2√2≤a ≤3+2√2，又a >0且a ≠1，所以实数a 的取值范围是[3−2√2,1)∪(1,≤3+2√2].解析：(1)根据对数式与相应指数式的关系，由函数f(log a x)=aa −1(x −x −1)，将括号中对应的对数式化为x 后，解析式中x 要化为a x ，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；(2)根据(1)中函数的性质，及x ∈(−1,1)可将不等式f(1−m)+f(1−m 2)<0，化为−1<1−m <1−m 2<1，进而得到实数m 的取值范围；(3)由当x ∈(−∞,2)时，f(x)−6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f(2)−6≤0整理可得a 的取值范围．本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难度较大．22.答案：解：(Ⅰ)曲线C 1：x +y =4，曲C 1的极坐标方程为：ρ(cosθ+sinθ)=4，整理得：ρsin(θ+π4)=2√2，曲线C 2：{x =1+cosφy =sinφ(φ为参数)，消去参数φ，得曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=1，所以曲线C 2的极坐标方程为：ρ=2cosθ．(Ⅱ)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，因为A 、B 是射线θ=α与曲线C 1，C 2的公共点，可得−π4<α<π2，则：ρ1=4cosα+sinα，ρ2=2cosα，所以：|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2cosα(cosα+sinα)，=√24cos(2α−π4)+14，所以当α=π8时，|OB||OA|取得最大值√2+14．解析：本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数的恒等变换，三角函数的性质的应用，属于中档题． (Ⅰ)直接利用转换关系，即可求解．(Ⅱ)利用三角函数的恒等变换，再利用三角函数性质，进一步求出函数的最值．23.答案：解：(1)∵f(x)=e x −e −x −2x ，∴f(−x)=e −x −e x +2x =−(e x −e −x −2x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数；(2)f′(x)=e x +e −x −2，则f′(2x)=e 2x +e −2x −2，则函数g(x)=f′(2x)−2af′(x)+2a 2−4a −4=e 2x +e −2x −2−2a(e x +e −x −2)+2a 2−4a −4=(e x +e −x )2−4−2a(e x +e −x )+4a +2a 2−4a −4=(e x +e −x )2−2a(e x +e −x )+2a 2−8，设t =e x +e −x ，则t =e x +e −x ≥2√e −x ⋅e x =2，则函数等价为ℎ(t)=t 2−2at +2a 2−8存在大于2的零点，则满足ℎ(2)≤0，即2a 2−4a −4≤0，解得1−√3≤a ≤1+√3， {△=4a 2−4(2a 2−8)≥0ℎ(2)=4−4a +2a 2−8≥0−−2a a=a ≥2，即{a 2≤8a 2−2a −2≥0a ≥2，即1+√3≤a ≤2√2，综上可得a 的范围是[1−√3,2√2]；(3)∵f′(x)=e x +e −x −2≥2√e −x ⋅e x −2=2−2=0， ∴函数f(x)在(−∞,+∞)为增函数，∴由ℎ(x)=f(e x )+f(−x −t)=0，得f(e x )=−f(−x −t)=f(x +t)，即e x =x +t ，即t =e x −x ，设m(x)=e x −x ，则m′(x)=e x −1，当x >0时m′(x)=e x −1>1−1=0，即函数m(x)=e x −x 则[0,+∞)上为增函数，则m(x)>m(0)=e 0−0=1，∴当t >1，方程t =e x −x 有唯一一个根，即函数ℎ(x)=f(e x )+f(−x −t)，x ≥0有唯一零点．解析：(1)运用奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性；(2)求出函数g(x)的表达式，利用换元法转化为关于t的一元二次函数，利用根的分布建立不等式关系即可求实数a的取值范围；(3)求出函数ℎ(x)的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．本题主要考查导数的应用以及函数奇偶性的判断，考查运算能力和推理能力，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科) (解析版)

2020年陕西省西安市西工大附中高考数学第三阶段模考试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =( )A. {x|x >0}B. {x|−1<x <2}C. {x|0<x <2}D. {x|x <2}2. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√33. 设函数f (x )={log 2x,x >1x 2+1,x ≤1，则f(f (1))的值为( )A. −1B. 1C. 0D. 24. 已知cos2α=13，则sin 2(α+π2)等于( )A. √53B. 13C. 14D. 235. 2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲、乙被安排到同一个场馆的概率为( )A. 112B. 18C. 16D. 146. 已知点F 是抛物线y 2=4x 焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN 中点到准线距离为( )A. 32B. 2C. 3D. 47. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若acosB +bcosA =4sinC ，则△ABC 的外接圆面积为( )A. 16πB. 8πC. 4πD. 2π8. 函数f(x)=2x 2−lnx 在x =1处的切线方程是( )A. y =4x −5B. y =3x −1C. y =3x −2D. y =4x −29. 在底面为正方形的四棱锥S −ABCD 中，SA =SB =SC =SD ，异面直线AD 与SC 所成的角为60°，AB =2.则四棱锥S −ABCD 的外接球的表面积为( )A. 6πB. 8πC. 12πD. 16π10.已知F1，F2是双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在E的渐近线上，且MF2与x轴垂直，cos∠MF1F2=2√23，则E的离心率为()A. 2B. √3C. √2D. √6211.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为()A. 2√3B. 4√3C. 6√3D. 12√312.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠。

陕西省西安市达标名校2020年高考三月数学模拟试卷含解析

陕西省西安市达标名校2020年高考三月数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数ln(1),0 ()11,02x xf xx x+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n<,且()()f m f n=，则n m-的取值范围为（）A．[32ln2,2)-B．[32ln2,2]-C．[1,2)e-D．[1,2]e-2．设双曲线22221y xa b-=（0a>，0b>）的一条渐近线与抛物线213y x=+有且只有一个公共点，且椭圆22221x ya b+=的焦距为2，则双曲线的标准方程为（）A．22143x y-=B．22143y x-=C．22123x y-=D．22132y x-=3．已知集合{}{}2340,13A x x xB x x=-->=-≤≤，则R()A B=( )A．()1,3-B．[]1,3-C．[]1,4-D．()1,4-4．“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．455．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A．15B．625C．825D．256．若,,x a b 均为任意实数，且()()22231a b ++-=，则()()22ln x a x b -+- 的最小值为（） A ．32B ．18C ．321-D ．1962-7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．217B ．25C ．3D ．28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．69．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（）A ．925B ．1225C ．35D ．4510．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（） A ．15B ．415C ．13D ．2511．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③12．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（）A ．34B ．13 C ．12D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

(附加15套模拟试卷)西工大附中2020高考数学理模拟题含答案(四)

西工大附中2020高考数学理模拟题含答案(四)第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设复数21z i=+(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1+2i B ．12i - C ．2i - D ．2i2．下列有关命题的说法中错误的是．．．．（） A ．若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ．“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”D ．若命题p ：“∃实数x 使20x ≥”，则命题p ⌝为“对于x R ∀∈都有20x <”3．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是( )A ．3B ．3-C ．2-D ．24．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若公差0d <且27S S =，则下列结论中不正确的是．．．．．（） A ．45S S = B ．90S =C ．50a =D ．2745S S S S +=+5．如图是函数4sin()y x =ω+ϕ(0,||)ω>ϕ<π图像的一部分，则（） A ．135,56πω=ϕ=B ．11,56πω=ϕ= C ．75,56πω=ϕ= D ．23,56πω=ϕ=6．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为( )A ．－3或7B ．-2或8C ．0或10D ．1或117．在平面直角坐标系中，若不等式组0(1)1y y x y k x ≥⎧⎪≤⎨⎪≤--⎩表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是()A ．(),1-∞-B ．()1,+∞C ．()1,1-D ．(,1)(1,)-∞-+∞8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）=( )A ．110 B ．14 C ．25 D ．129．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A ．13BC ．1D ．310．在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、曲线xy e =以及该曲线在(1)x a a =≥处的切线．．所围成图形的面积是( ) A ．a e B ．1a e - C ．12a e D ．121ae -第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．二项式831x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为；12．若tan 2,α=则sin cos αα= ；13．PA ⊥平面ABC ，ABC=90︒∠，且PA=AB=BC ，则异面直线PB 与AC 所成角等于；14．若函数()f x 对于x R ∀∈都有(1)(1)f x f x -=+和(1)(3)0f x f x -++=成立，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则(2013)f = ；15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线3sin()4πρθ+=的距离的最小值是；B （选修4—5不等式选讲）已知22,,33,x y R x y ∈+≤则23x y +的最大值是 .；C(选修4—1几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于O ，AB AC =，直线MN 切O 于点C ，//BE MN 交AC 于点E .若6,4,AB BC ==则AE 的长为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，满足37a =，5726a a =+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈），求数列{}n b 的前n 项和n S ．17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足(2)cos cos a c B b C -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(sin ,cos 2),(4,1)m A A n k ==，当k>1时，()f A m n =⋅的最大值是5，求k 的值．18．（本小题满分12分）某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金400元；若完成三项指标任务可得奖金800元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设员工甲完成每项指标的概率都是12. （Ⅰ）求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率；（Ⅱ）求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望．19．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC-A B C 中，1CC CA 2,AB BC ===，D 是1BC 上一点，且CD ⊥平面1ABC ．（Ⅰ）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求二面角1C AC B --的平面角的正弦值．20.（本小题满分13分）已知函数2()(2)xf x x kx k e -=-+⋅. （Ⅰ）当k 为何值时，()f x 无极值；（Ⅱ）试确定实数k 的值，使()f x 的极小值为0.21．（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b+=(,0)a b >与双曲线G ：224x y -=，若椭圆E 的顶点恰为双曲线G 的焦点，椭圆E 的焦点恰为双曲线G 的顶点.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACCDCAABDD二、填空题（一）必做题11．28； 12．25； 13．3π； 14．1 （二）选做题15．(1)52；；(3)103．三、解答题16. （本小题满分12分）（1）21n a n =+（2）4(1)n nS n =+17. （本小题满分12分）解：(1)(2)cos cos ,a c B b C -=(2sin sin )cos sin cos ,A C B B C ∴-=2sin cos sin cos cos sin ,A B B C B C ∴=+ 2sin cos sin .A B A ∴=又在ABC ∆中，,(0,)A B π∈，所以12sin 0,cos A B >=，则3B π=(2)24sin cos 22sin 4sin 1m n k A A A k A =+=-++,222(sin )21m n A k k ∴=--++.又3B π=，所以23(0,)A π∈，所以sin (0,1]A ∈. 所以当2sin 1()A A π==时，m n 的最大值为41k -. 32415,k k ∴-==18. （本小题满分12分）解：设员工甲在一个月内所得奖金为ξ元，则由题意可知ξ的可能取值为80,160,400,800-∵()213113160228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()223113400228P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3331180028P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()303118028P C ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ξ的分布列为：80-160400800P18383818数学期望为1331801604008003008888E ξ=-⨯+⨯+⨯+⨯=元 19．（本小题满分12分）解：（1）1CC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∵1CC ⊥AB ．又CD ⊥平面1ABC ，且AB ⊂平面1ABC ，∴CD AB,⊥又1CC CD=C,∴AB ⊥平面11BCC B ．（２）BC ∥11B C ，∴11B C A ∠或其补角就是异面直线1AC 与BC 所成的角．由（１）知AB BC,⊥又ＡＣ＝２，∴，∴2221111AB AA A B =+.在11AB C ∆中，由余弦定理知cos 2222111111111B C AC AB 1B C A=2B C AC 2+-∠==⋅∴11B C A ∠=3π,即异面直线1AC 与BC 所成的角的大小为3π（3）过点D 作1DE AC ⊥于E ，连接CE ，由三垂线定理知1CE AC ⊥，故∠DEC 是二面角1C-AC B -的平面角，又1AC=CC ，∴E 为1AC 的中点，∴112CE=AC =1BC ===，由111122CC CB=BC CD,⋅⋅得11CC CB CD BC ⋅==Rt ∆CDE 中，sin CD DEC CE ∠===20. （本小题满分13分）（1）4k = （2）0;8k k ==21．（本小题满分14分）22(1)184x y +=(2)2283x y +=高考模拟数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（）A ．(2,3)B ．[2,3)C ．(3,)+∞D ．(2,)+∞2.若复数满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+3.已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数2sin ()1xf x x =+的部分图像可能是（）5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆221124x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22162x y -= D ．22126x y -= 6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直角边长之比为1:在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（）A ．2 B ．4C ．12-D ．14-7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A ．4849B ．5051C ．4951D ．49508.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（）A ．83B ．23C ．43D ．29.将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6π个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．[]2,2-B ．[2,2)-C ．[1,2)D ．[1,2)-10.若函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足()2()xf xg x e +=，则（） A ．(2)(3)(1)f f g -<-<- B ．(1)(3)(2)g f f -<-<- C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-11.已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（） A．2BC1D12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()ln ()0xf x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若10a b >>>，则下列各式成立的是（）A ．()()1f a f b a b >>B ．()()1f a f b a b <<C ．()()1f a f b a b <<D ．()()1f a f b a b >>第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量a 与b 的夹角是3π，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为．14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．15.设变量x ，y 满足约束条件4,326,1,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则22(1)x y -+的取值范围是．16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60︒，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =ABC ∆的面积为12，求b c +的值． 18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占23，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？（25名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．附表：20()P K k ≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63522()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =， E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．20.已知点1(0,)2F ，直线l ：12y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ⋅+=．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ∆的面积为'l 的方程．21.已知函数()x x f x e=. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122xx x e +> 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2,x t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.一、选择题1-5ACAAD 6-10CBBCD 11、12：DD 二、填空题 13.3π 14.52- 15.9,1713⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.112π三、解答题17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=， sin 0sin cos B A A≠∴=(0,)4A A ππ∈∴=(2) 11sin 2242ABCSbc A bc -===∴=-又22222cos 2()(2a b c bc A b c bc=+-∴=+-+所以，2()4, 2.b c b c +=+=．18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表根据列联表中的数据，得到所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A 、B 、C ，对冰球没有兴趣的2人为m 、n ，则从这5人中随机抽取3人，共有（A ，m ，n ）（B ，m ，n ）（C ，m ，n ）（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）（A 、B 、C ）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、C ）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A 、B 、m ）（A 、B 、n ）（B 、C 、m ）（B 、C 、n ）（A 、C 、m ）（A 、C 、n ）6种，所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，因此，所求事件的概率710p =. 19.（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC.∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB.∵PB ⊥PD ，CD ∩PD=D ，CD 、PD ⊂平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD. ∵PB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD. （Ⅱ）取BC 的中点O ，连接OP 、OE. ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==， ∵PB PC =，∴PO BC ⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， ∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE ⊂平面ABCD,∴PO ⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE ⊥AE. ∵PO ∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE. ∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD, ∴Rt OCERt EDA ∆∆，∴OC CEED AD=．∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅1121323=⨯⨯=．20.解：（1）设(,)P x y ，则1(,)2H x -，1(,1),(0,),2HF x PH y ∴=-=-- 1(,)2PF x y =--，(,2)PH PF x y +=--，()0HF PH PF +=，220x y ∴-=，即轨迹C 的方程为22x y =.（II ）法一：显然直线l '的斜率存在，设l '的方程为12y kx =+，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得：2210x kx --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，1(,)2M t -，121221x x kx x +=⎧∴⎨⋅=-⎩，112211(,),(,)22MA x t y MB x t y =-+=-+MA MB ⊥，0MA MB ∴=，即121211()()()()022x t x t y y --+++=2121212()(1)(1)0x x x x t t kx kx ∴-+++++=，22212210kt t k k ∴--+-++=，即2220t kt k -+=∴2()0t k -=，t k ∴=，即1(,)2M k -，∴212|||2(1)AB x x k =-==+，∴1(,)2M k -到直线l '的距离2d ==3221||(1)2MABS AB d k ∆==+=1k =±， ∴直线l '的方程为102x y +-=或102x y -+=．法2：（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 的中点为()00,y x E则211121212120212222()()2()2AB x y y y x x x x y y x k x x x y ⎧=-⎪⇒-+=-⇒==⎨-=⎪⎩ PCBAEDO过点A,B 分别作1111B 于，于l BB A l AA ⊥⊥，因为,⊥MA MB E 为AB 的中点，所以在Rt AMB 中，11111||||(||||)(||||)222==+=+EM AB AF BF AA BB 故EM 是直角梯形11A B BA 的中位线，可得⊥EM l ，从而01(,)2M x - 点M 到直线'l的距离为：2d ==因为E 点在直线'l 上，所以有20012y x =+，从而21200||1212(1)AB y y y x =++=+=+由2011||2(22MABSAB d x ==⨯+=01x =± 所以直线'l 的方程为12y x =+或12y x =-+．21.解：(1)'21()()x x x x e xe xf x e e--==，令'()0f x =，则1x =，当(,1)x ∈-∞时，'()0f x >，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，则函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞.（2）由可得()()10x f x x -'=-=e ，所以()y f x =的极值点为01x =. 于是，0122x x x +>e 等价于122x x +>e ,由()()12f x f x =得1212x x x x --=e e 且1201x x <<<.由1212x x x x --=e e 整理得，1122ln ln x x x x -=-，即1212ln ln x x x x -=-. 等价于()()()1212122ln ln x x x x x x +-<-e ，① 令12x t x =，则01t <<. 式①整理得()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<. 设()()()21ln 1g t t t t =+--e ,01t <<. 只需证明当01t <<时，()max 0g t <.又()12ln 2g t t t'=++-e ，设()h t =()12ln 2g t t t'=++-e ，则()222121t h t t t t-'=-= 当10,2t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '<，()h t 在10,2骣÷ç÷ç÷ç桫上单调递减；当1,12t 骣÷çÎ÷ç÷ç桫时，()0h t '>，()h t 在1,12骣÷ç÷çç÷桫上单调递增. 所以,()min 142ln 202g t g ⎛⎫''==--< ⎪⎝⎭e ；()130g '=->e ，所以，存在12110,,,122t t ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120g t g t ⅱ==，注意到，10g ⎛⎫'= ⎪⎝⎭e ，而110,e 2骣÷çÎ÷ç÷ç桫，所以11t e=. 于是，由()0g t ¢>可得10e t <<或21t t <<；由()0g t ¢<可得21et t <<. ()g t 在()210,,,1t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递增，在21,t ⎛⎫ ⎪⎝⎭e 上单调递减. 于是，()(){}max 1max ,1g t g g ⎛⎫= ⎪⎝⎭e ，注意到，()10g =，1220g ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭e e e ，所以，()max 0g t <，也即()()21ln 1t t t +<-e ，其中01t <<. 于是，0122x x x +>e .22解：（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的23，则曲线2C 的直角坐标方程为222()43x y +=，整理得22149x y+=，∴曲线2C 的参数方程2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为''122x t y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t ''--+= 整理得27()183604t t ''++=. 12727PA PB t t ''+=+=，121447PA PB t t ''==，72111714427PA PB PA PB PA PB++===．23.解（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-；当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤；当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴-->1ab a b ∴+>+.高考模拟数学试卷注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学(理)试题(解析版)

2020届陕西省西安市西北工业大学附中高三第三次适应性考试数学（理）试题一、单选题1．若,a b ∈R ，且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22a b >B ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．lg()0a b ->D ．1b a< 【答案】B【解析】利用特殊值排除错误选项，利用指数函数单调性证明正确选项. 【详解】不妨设1,2a b =-=-，则22a b <，A 选项错误.()lg lg10a b -==，C 选项错误.21ba=>，D 选项错误. 对于B 选项，由于13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，而a b >，所以1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即B 选项正确. 故选：B 【点睛】本小题主要考查数的大小判断，考查指数函数单调性，属于基础题. 2．已知{0,1,2,3},A={|1},B y y ==P A B =⋂，则P 的子集个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】先求得集合B ，由此求得集合P ，根据集合P 元素的个数，求得P 的子集个数. 【详解】由于11y =≥，所以[)1,B =+∞，所以{}1,2,3P A B =⋂=，集合P 共有3个元素，故子集有328=个. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数值域，考查集合交集和子集个数的求法，属于基础题.3．从n 个正整数1，2…n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n 的值为（） A ．6 B ．8C ．10D ．14【答案】B【解析】利用古典概型概率计算公式列方程，解方程求得n 的值. 【详解】两数之和为5有14,23++两种情况，故22114n C =，故()21282n n n C -==，解得8n =. 故选：B 【点睛】本小题主要考查根据古典概型的概率求参数，属于基础题.4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面ABC V 是正三角形E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB A C ．11AE B C ⊥D ．11//A C 平面1AB E【答案】C【解析】证明11,CC B E 共面，由此判断A 选项错误.由AC 与AB 不垂直，判断B 选项错误.通过证明AE ⊥平面11BCC B ，证得11AE B C ⊥，由此判断C 选项正确.由11//A C AC 而AC 与平面1AB E 相交，判断D 选项错误.【详解】对于A 选项，由于11,CC B E 都含于平面11BCC B ，所以不是异面直线，故A 选项错误.对于B 选项，由于3CAB π∠=，所以AC 与平面11ABB A 不会垂直，故B 选项错误.对于C 选项，在等边三角形ABC 中，AE BC ⊥，根据直三棱柱中易得1AE AA ⊥，所以AE ⊥平面11BCC B ，所以11AE B C ⊥，所以C 选项正确.对于D 选项，由于11//A C AC ，而AC 与平面1AB E 相交，所以直线11A C 与平面1AB E 不平行，故D 选项错误. 故选：C 【点睛】本小题主要考查异面直线判断、异面直线垂直、线面垂直、线面平行等命题的真假性判断，属于基础题.5．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两组各5名工人某日的产量数据单位：件），若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（）A ．3，5B ．7，5C ．5，7D ．5，3【答案】D【解析】根据两组数据的中位数和平均数相等，求得,x y 的值. 【详解】乙组的中位数为65，所以5x =，所以平均数5965676178566562747055y+++++++++=，解得3y =.故选：D 【点睛】本小题主要考查与茎叶图有关的平均数和中位数的计算，属于基础题.6．若()4*nx n N x x ⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（）A ．8B ．10C ．11D ．12【答案】C【解析】求得二项式展开式的通项公式，根据展开式中含有常数项，求得n 的表达式，进而求得n 的最小值. 【详解】二项式()4*nx n N⎛∈ ⎝展开式的通项公式为()()31144221rrn n rr rrn n C xx C x ---⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，由于展开式中含有常数项，则11402r n -=，118r n =，当8r =时，n 取得最小值为11. 故选：C 【点睛】本小题主要考查根据二项式展开式含有常数项求参数，属于基础题.7．不等式2225x x a -+>对(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(,2)(2,)-∞-+∞UD ．(,2][2,)-∞-+∞U【答案】A【解析】求得1x >时225x x -+的取值范围，由此求得2a 的取值范围，进而求得a 的取值范围. 【详解】由于1x =是225y x x =-+的对称轴，所以当1x >时，22251254x x -+>-+=.所以24a ≤，解得22a -≤≤. 故选：A 【点睛】本小题主要考查不等式恒成立问题的求解，属于基础题.8．己知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的离心率(1,2]e ∈，则其经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是（） A ．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦B ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．,62ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据b a 与c a 的关系式，求得ba的取值范围，由此求得经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围【详解】由于12c a <≤所以12<≤，所以22114,03b b a a ⎛⎫⎛⎫<+≤<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0b a <≤，所以经过第一、三象限的渐近线的倾斜角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B 【点睛】本小题主要考查双曲线离心率和渐近线斜率的关系，考查直线斜率与倾斜角的对应关系，属于基础题.9．在直角坐标系xOy 中，曲线log (3)3a y x =-+（0a >，且1a ≠）过定点P ，若角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过定点P ，则tan 2θ的值为（） A ．247-B ．247C ．724-D ．724【答案】B【解析】先求得P 点坐标，由此求得tan θ的值，进而求得tan 2θ的值. 【详解】曲线log (3)3a y x =-+的定点()4,3P ，所以3tan 4θ=，所以223322tan 2442tan 271tan 731164θθθ⨯====-⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本小题主要考查对数函数过定点问题，考查三角函数的定义，考查正切的二倍角公式，属于基础题.10．已知函数1()ln1xf x x x+=+-，且()(1)0f a f a ++>，则a 的取值范为（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式()(1)0f a f a ++>，求得a 的取值范围.【详解】由101x x +>-解得11x -<<，而()()11n 11ln l x f x x x x x f x x ++-⎛⎫-=-=-=- ⎪+⎝⎭-，所以()f x 为奇函数，且1()ln1x f x x x +=+-()122ln ln 111x x x x x --+⎛⎫=+=-++ ⎪--⎝⎭为增函数，所以由()(1)0f a f a ++>，得()()()1f a f a f a +>-=-，则1a a +>-，解得12a >-.由于11111a a -<<⎧⎨-<+<⎩，即10a -<<.所以102a -<<.即a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.11．ABC V 为等腰直角三角形，90C ∠=︒，1CA CB ==，CD 为斜边AB 上的高，D 是垂足，P 为线段CD 的中点，则AP CP ⋅=u u u r u u u r（） A ．-1 B ．12-C ．14-D ．18-【答案】D【解析】利用向量减法运算化简,AP CP u u u r u u u r ，结合向量数量积运算求得AP CP ⋅u u u r u u u r的值.【详解】依题意112224AB CD AB CP CD ==⨯==⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()2AP CP CP CA CP CP CA CP⋅=-⋅=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur21111cos 4544848⎛=-⨯=-=- ⎝⎭o. 故选：D【点睛】本小题主要考查向量的减法和数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 12．设函数()ln f x x x =，()()'f x g x x=，给定下列命题①不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；②函数()g x 在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减； ③若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则1m ≥； ④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数()0,1a ∈．则正确的命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】明确函数()g x 的图象及性质，命题的正误易判. 【详解】f （x ）=xlnx 的导数为f′（x ）=1+lnx ，则()()1lnxf xg x xx+=='，()2'lnx g x x =-,对于①()0g x >即1lnx 0x +＞，解得1x e >，故正确；对于②()2'lnxg x x=-，当x ()0,1∈时()()'0g x g x ＞，在()0,1单调递增，故错误；对于③()()()2212122m x x f x f x ->-可化为：()()222211 22m m f x x f x x ->- 设()2φfx 2m x x =-，又120x x >>∴()φx 在()0∞+，上单调递减，∴()φ'1lnx mx 0x =+-≤在()0∞+，上恒成立，即1lnx m x +≥，又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，∴m 1≥故正确；对于④若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()'F x = 1+lnx-2ax 有两个零点，即1+lnx-2ax=0，2a=1lnxx+ 又()1lnxg x x+=在()0,1单调递增，在()1∞+，上单调递减， ()11g =，x ∞→+时，()0g x →，即2a ()0,1∈，a 10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故错误；故选B 【点睛】本题考查导数的运用：考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查函数的零点的个数，注意运用转化思想、数形结合思想，属于中档题．二、填空题 13．复数121iz i i-=-+（i 为虚数单位），则||z =________．【答案】3【解析】利用复数除法运算化简z ，再求得z . 【详解】依题意()()()211222231112i i iz i i i i i i i ---=-=-=-=-++-，所以3z =. 故答案为：3 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.14．若直线20(0,0)ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b+的最小值为________．【答案】4【解析】利用题目所给弦长，求得,a b 的关系式，再利用基本不等式求得21a b+的最小值. 【详解】圆222410x y x y ++-+=可化为()()222122x y ++-=，所以圆心为()1,2-，半径为2，由于直线与圆相交所得弦长为4，则直线过圆心，即220,22a b a b --+=+=.()2112122a b a b a b ⎛⎫+=⨯+⨯+ ⎪⎝⎭14144422b a a b ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝，当且仅当224,4,21b a a b a b a b ====时等号成立，所以21a b+的最小值为4. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式求最值，属于基础题. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线，设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义.16．记函数|1|1()cos 2x f x x π-⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间(2,4)-上的零点分别为(1,2,,)i x x i n ==⋅⋅⋅，则1ni i x ==∑ ________．【答案】6【解析】画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象，根据两个图象交点的对称性，求得1ni i x =∑.【详解】令|1|1()cos 02x f x x π-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得|1|1cos 2x x π-⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出11,cos 2x y y x π-⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()2,4-上的图象如下图所示.两个函数图象都关于直线1x =对称，所以两个函数图象的六个交点，也关于直线1x =对称，所以1326nii x==⨯=∑.故答案为：6【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查函数图像的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d =2，且1,a 3,a 4a 成等比数列．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列102n a n b n +=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（I ）210n a n =-；（2）()11144332n n n n S ++=⋅-+【解析】（I ）根据等比中项的性质列方程，并转化为1,a d 的形式，由此求得1a ，进而求得{}n a 的通项公式.（II ）利用分组求和法求得数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（I ）由于1,a 3,a 4a 成等比数列，所以2314a a a =⋅，即()()211146a a a +=⋅+，解得18a =-.所以210n a n =-.所以数列{}n a 的通项公式为210n a n =-.（II ）由（I ）得224n nn b n n =+=+.所以()()244412nn S n =+++++++L L ()()4141142n n n -+=+-()11144332n n n ++=⋅-+. 【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查分组求和法，属于中档题.18．如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，AE BD ⊥，DE P12AC ，AD=BD=1. (Ⅰ)求AB 的长；(Ⅱ)已知24AC ≤≤，求点E 到平面BCD 的距离的最大值.【答案】(1)2AB =217. 【解析】分析：(Ⅰ) 先由面面垂直的性质可得AC ⊥平面ABD ，DE ⊥平面ABD ，可得DE BD ⊥，再证明BD ⊥平面ADE ，于是得AD BD ⊥，由勾股定理可得结果；(Ⅱ)过O 作直线//OY AC ，以点O 为坐标原点，直线,,OB OY OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示. 记2AC a =，求出平面的一个法向量，利用点E 到平面BCD 的距离，结合24AC ≤≤，可得点E 到平面BCD 的距离的最大值.详解：(Ⅰ)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD. 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD.注意到BD ⊥AE ，且DE∩AE=E ，∴BD ⊥平面ADE ，于是，BD ⊥AD. 而AD=BD=1，∴2AB =.(Ⅱ)∵AD=BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB. 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC.过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.记2AC a =，则12a ≤≤，22000022A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，222000C a D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，20E a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，()220BC a =-u u uv ，，，22022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，，. 令平面BCD 的一个法向量为()n x y z =v，，.由00BC n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得22022022x ay x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩.令2x =，得122n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，，. 又∵()00DE a u u u v ，，=-，∴点E 到平面BCD 的距离214DE n d n a⋅==+u u u v v v .∵12a ≤≤，∴当2a =时，d 取得最大值，max 217=144d =+.点睛：本题主要考查空间垂直关系，利用空间向量求点到面的距离，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．已知椭圆()2222C :1,0x y a b a b +=>>，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，坐标原点O 到直线l求AOB n 面积的最大值.【答案】(1)2213x y +=；(2)2. 【解析】试题分析：(1)由题意可得：1a b == ，则椭圆方程为22x y 13+=．(2)分类讨论：①当AB x ⊥轴时，AB =②当AB 与x 轴不垂直时，设处直线AB 的方程，利用题意结合根与系数的关系讨论最值即可，综合两种情况可得max 1S AB 2=⨯=. 试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意{3c a a ==1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213xy +=．（2）设()12,A x x ，()22,B x y ． ①当AB x ⊥轴时，AB ．②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=()22314m k=+．把y kx m=+代入椭圆方程，整理得()22316k x kmx++2330m+-=，122631kmx xk-∴+=+，()21223131mx xk-=+()()222211AB k x x∴=+-=()()()22222221213613131mk mkkk⎡⎤-⎢⎥+-⎢⎥++⎣⎦．()()()222221213131k k mk++-=+()()()2222319131k kk++=+242123961kk k=+=++()221230196kkk+≠++1234236≤+=⨯+当且仅当2219kk=，即k=时等号成立．当0k=时，AB=，综上所述max2AB=．当k=±时，AB取得最大值，AOBV面积也取得最大值．max12S AB=⨯=.20．小军的微信朋友圈参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 98608753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980男性好友走路的步数情况可分为五个类别（说明：a~b表示大于等于a，小于等于b）A（0~2000步）1人，B（2001-5000步）2人，C（5001~8000步）3人，D（8001-10000步）6人，E（10001步及以上）8人若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“健康型”否则被系统认定为“进步型”．（I）访根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并根据此判断能否有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关？（Ⅱ）如果从小军的40位好友中该天走路步数超过10000的人中随机抽取3人，设抽到女性好友X人，求X的分布列和数学期望()E X．附：22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++n a b c d=+++．【答案】（I）22⨯列联表见解析，没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（Ⅱ）分布列见解析，数学期望为3 5 .【解析】（I）根据题目所给数据填写好22⨯列联表，计算出2K的值，由此判断出没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II）利用超几何分布分布列计算的公式，计算出X的分布列，进而求得数学期望. 【详解】（I）根据题目所给数据列联表如下图所示：所以()2240141286 3.636 3.84122182020K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为“认定类型”与“性别”有关.（II ）女性好友超过10000步的有2人，男性好友超过10000步的有8人，共有10人超过10000步，从中抽取3人，其中女性好友的人数X 的可能取值为0,1,2.且()03283107015C C P X C ⋅===，()12283107115C C P X C ⋅===，()21283101215C C P X C ⋅===. 所以分布列为数学期望为()77193012151515155E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列以及数学期望的计算，属于中档题.21．已知函数1()ln(1)1()1a f x a x a a R x +=-++--∈+，（I ）讨论()f x 在(0,)+∞上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，求a 的取值范围．【答案】（I ）当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 【解析】（I ）求得()f x 的导函数()'fx ，对a 分成1110,0,,222a a a a ≥-<<<=-<-等四种情况，讨论()f x 的单调性.（II ）将不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭转化为111ln 10a n n n⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，利用()g x 的导函数，结合（I ）的结论，求得a 的取值范围. 【详解】（I ）依题意()()'2211ax a f x x ---=+（0x >）当0a ≥时，()'0fx <，所以()f x 在(0,)+∞上递减.当0a <时，令()'0f x =解得21a x a+=-. 当102a -<<时，210,0a a a +->>-，所以()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上递增.当12a =-时，()()'21201x f x x =>+，()f x 在(0,)+∞上递增. 当12a <-时，210,0a a a+-><-，所以()f x 在(0,)+∞上递增. 综上所述，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上递减.当102a -<<时，()f x 在210,a a +⎛⎫⎪-⎝⎭上递减，在21,a a +⎛⎫+∞⎪-⎝⎭上递增.当12a ≤-时，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）不等式11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭两边取以e 为底的对数，可转化为111ln 10a n n n ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()()(]()1ln 10,1g x ax x x x =-+-∈，故要对任意的正整数n 都有11n ae n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭成立，只需对任意(]0,1x ∈，有()0g x >.()()()'1ln 111a g x f x a x a x +==-++--+. 由（I ）知：当12a ≤-时，()g x 在(]0,1上递增，所以()()00g x g >=，符合题意. 当0a ≥时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 当1123a -<≤-时，()g x 在210,a a +⎛⎫ ⎪-⎝⎭上递减，所以当210,a x a +⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()00g x g <=，不符合题意.当103-<<a 时，()g x 在(]0,1上递减，()()00g x g <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 22．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是cos ,{sin ,x m t y t αα=+=（t 为参数）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=.（1）当1m =-，30α=︒时，判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）当1m =时，若直线与曲l 线C 相交于A ，B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=，求直线l 的倾斜角.【答案】（1）直线l 与曲线C 相交.（2）3πα=或23π. 【解析】【详解】试题分析：(1)圆心到直线的距离小于半径，则直线l 与曲线C 相交.(2)写出直线参数方程的标准形式，与圆的方程联立，利用参数的几何意义整理可得直线l 的倾斜角3πα=或23π. 试题解析：解：（1）由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的普通方程为()2224x y -+=，所以曲线C 是以()2,0M 为圆心，2为半径的圆，由直线l的参数方程为1,{1,2x y t =-+=（t 为参数），得直线l的直线坐标方程为10x +=. 由圆心M 到直线l的距离322d ==<，故直线l 与曲线C 相交.（2）直线l 为经过点()1,0P 倾斜角为α的直线，由1{x tcos y tsin αα=+=代入()2224x y -+=，整理得，22cos 30t t α--=，()22cos 120α∆=+>，设A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<，所以12,t t 异号.则122cos 1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又[)0,απ∈，所以直线l 的倾斜角3πα=或23π.。

【KS5U解析】陕西省西安市西工大附中2020届高三下学期三模理科数学试题 Word版含解析

因为，所以，
又，，
所以，即有四边形是一个平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面 .
（2）如图，设O是的中点，在正中，，
作，因为，
由平面平面，
可得平面，所以平面，
再以，方向建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，，
，
设平面的法向量为，
由
因为点M在线段上，设其坐标为，其中，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用诱导公式和弦化切可得，再把化成关于的代数式，从而可求其值.
【详解】由题设可得，而，
，，
故选：C.
【点睛】本题考查诱导公式、同角的三角函数的基本关系式、二倍角的余弦，注意根据角的差异、函数名的差异、代数式结构上的差异合理变形化简求值，本题属于基础题.
5.自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可知异面直线与所成角即为，可以求出，进而求出，根据外接球性质建立勾股定理可求出球半径，即可得解.
【详解】
，异面直线与所成角即为，
作于H，则，，，
设P在底面的投影为，则，
如图，设球心为，半径为R，则 ,
，， .
故选:B.
【详解】 A，B的中点到抛物线准线的距离为5，，即，
，的重心为F，，即，
， .
故选：D.

2020年陕西师大附中、西工大附中等八校高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}，C={x∈N|3x∈A}，则B∩C=（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}2.右图是甲乙两位同学某次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）的条形统计图，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则（）A. B.C. D.3.1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式e ix＝cos x+i sin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A. =-+B. =-C. =+D. =+5.《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（）A. 18B. 20C. 21D. 256.如果对定义在R上的奇函数y=f（x），对任意两个不相邻的实数x1，x2，所有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数y=f（x）为“H函数”，下列函数为H函数的是（）A. f（x）=sin xB. f（x）=e xC. f（x）=x3-3xD. f（x）=x|x|7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的三视图如图所示，一只蚂蚁从顶点A出发沿该正三棱柱的表面绕行两周到达顶点A1，则该蚂蚁走过的最短路径为（）A. B. 25 C. D. 318.将函数的图象向右平移个单位，在向上平移一个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=4，且x1，x2∈[-2π，2π]，则x1-2x2的最大值为（）A. B. C. D.9.已知圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为（）A. B. C. 2 D. 210.抛物线x2=y在第一象限内图象上的一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N+，若a2=32，则a2+a4+a6等于（）A. 64B. 42C. 32D. 2111.已知双曲线的右焦点为F2，若C的左支上存在点M，使得直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，则C的离心率为（）A. B. 2 C. D. 512.已知函数，则函数g（x）=xf（x）-1的零点的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P（x，y）在抛物线C上，且x=1，则|PF|=______．14.已知实数x，y满足约束条件，则z=|-5x+y|的取值范围为______．15.在的展开式中，常数项为______．16.如图，已知圆柱和半径为的半球O，圆柱的下底面在半球O底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球O，则该圆柱的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面积的最大值．18.如图1，等边△ABC中，AC=4，D是边AC上的点（不与A，C重合），过点D作DE∥BC交AB于点E，沿DE将△ADE向上折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，如图2所示．（1）若异面直线BE与AC垂直，确定图1中点D的位置；（2）证明：无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值，并求出这个定值．19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值．由测量表得到如下频率分布直方图（1）补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中间值作为代表，据此估计这种产品质量指标值服从正态分布Z（μ，σ2），其中μ近似为样本平均值，σ2近似为样本方差s2（组数据取中间值）；①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？参考数据：=5.1，若Z～N（μ，σ2），则P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544．20.已知椭圆C过点，两个焦点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=6，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f（x）=e x-有两个极值点．（1）求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的两个极值点分别为x1，x2，求证：x1+x2＞2．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．23.已知函数f(x)＝的定义域为R.(1)求实数m的取值范围．(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足＋＝n时，求7a＋4b的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={1，2，3，6，9}，B={3x|x∈A}={3，6，9，18，27}，C={x∈N|3x∈A}={1，2，3}，∴B∩C={3}．故选：D．先分别求出集合A，B，C，由此能求出B∩C．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由条形统计图得到：在这次考试各科成绩（转化为了标准分，满分900分）中，甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，则＞，σ甲＜σ乙．故选：A．甲比乙的各科成绩整体偏高，且相对稳定，设甲乙两位同学成绩的平均值分别为，标准差分别为σ甲，σ乙，从而得到＞，σ甲＜σ乙．本题考查命题真假的判断，考查条形图、平均值、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，由已知可得e2i=cos2+i sin2，再由三角函数的象限符号得答案，是基础题．【解答】解：由题意可得，e2i=cos2+i sin2，∵＜2＜π，∴cos2＜0，sin2＞0，则e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选B．4.【答案】A【解析】解：；∴；∴．故选：A．根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．5.【答案】C【解析】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是分析“H函数”的含义，属于基础题．根据题意，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，即可得“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：综合可得答案．【解答】解：根据题意，对于所有的不相等实数x1，x2，则x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，则有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，f（x）=sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，f（x）=e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3-3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，f（x）=x|x|=，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．7.【答案】B【解析】解：将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开，如图所示；在展开图中，最短距离是6个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得正三棱锥底面三角形的边长为=4，所以矩形的长等于4×6=24，宽等于7，由勾股定理求得d==25．故选：B．将三棱柱展开，得出最短距离是6个矩形对角线的连线，相当于绕三棱柱转2次的最短路径，由勾股定理求出对应的最小值．本题考查了棱柱的结构特征与应用问题，也考查了几何体的展开与折叠，以及转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的值域，属于中档题．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的值域，求出x1，x2的值，可得x1-2x2的最大值．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，再向上平移一个单位，得到g（x）=sin（2x-+）+1=-cos2x+1 的图象，故g（x）的最大值为2，最小值为0，若g（x1）g（x2）=4，则g（x1）=g（x2）=2，或g（x1）=g（x2）=-2（舍去）．故有g（x1）=g（x2）=2，即cos2x1=cos2x2=-1，又x1，x2∈[-2π，2π]，∴2x1，2x2∈[-4π，4π]，要使x1-2x2取得最大值，则应有2x1=3π，2x2=-3π，故x1-2x2取得最大值为+3π=．故选：A．9.【答案】C【解析】解：由圆C：x2+y2-2x-4y+3=0，得：（x-1）2+（y-2）2=2，∴圆心坐标C（1，2），半径r=．∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，圆中最长弦即为直径，∴|AB|的最大值为直径2，又∵△PAB为等边三角形，∴|PC|的最大值为故选：C化圆的一般方程为标准方程，从而得到圆心坐标和半径．等边△PAB的一边AB为圆C 的一条弦，可得|PC|的最大值为直径，即可得出结论．本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，确定|PC|的最大值为直径是关键．10.【答案】B【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），整理，得4a i x-y-2a i2=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴a i+1=a i，∴{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故选：B．由y=2x2（x＞0），求出x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y-2a i2=4a i（x-a i），再由切线与x轴交点的横坐标为a i+1，知a i+1=a i，所以{a2k}是首项为a2=32，公比q=的等比数列，由此能求出a2+a4+a6．本题考查数列与函数的综合，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，注意导数、切线方程和等比数列性质的灵活运用．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义和性质，考查三角形的中位线定理，属于中档题．求得F2到渐近线的距离为b，OP为△MF1F2的中位线，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值．【解答】解：设F2（c，0），椭圆左焦点记为F1（-c，0），直线bx-ay=0是线段MF2的垂直平分线，可得F2到渐近线的距离为|F2P|==b，即有|OP|==a，因为O为F1F2中点，OP是MF2的中垂线，点P在MF2上，OP为△MF1F2的中位线，可得|MF1|=2|OP|=2a，|MF2|=2b，由|MF2|-|MF1|=2a，即为2b-2a=2a，即b=2a，可得e====．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由g（x）=xf（x）-1=0得xf（x）=1，当x=0时，方程xf（x）=1不成立，即x≠0，则等价为f（x）=，当2＜x≤4时，0＜x-2≤2，此时f（x）=f（x-2）=（1-|x-2-1|）=-|x-3|，当4＜x≤6时，2＜x-2≤4，此时f（x）=f（x-2）=[-|x-2-3|]=-|x-5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）=1，f（3）=f（1）=，f（5）=f（3）==，设h（x）=，则h（1）=1，h（3）=，h（5）=＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．由g（x）=xf（x）-1=0得f（x）=，根据条件作出函数f（x）与h（x）=的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：由y=2x2，得x2=，则p=；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+=2+=，故答案为：．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题．14.【答案】[0，11]【解析】解：作出实数x，y满足约束条件的可行域如图所示：作直线l0：-5x+y=0，再作一组平行于l0的直线l：-5x+y=z，当直线l经过点A时，z=-5x+y取得最大值，由，得点A的坐标为（-2，0），所以z max=-5×（-2）+0=10．直线经过B时，目标函数取得最小值，由，解得B（2，-1）函数的最小值为：-10-1=-11．z=|-5x+y|的取值范围为：[0，11]．故答案为：[0，11]．作出约束条件表示的可行域，判断目标函数经过的点，然后求解目标函数的范围即可．本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及数形结合的综合应用，考查计算能力．15.【答案】-40【解析】解：∵=（x-2）=（x6+6x4+15x2+20+15•+6•+）（x-2），∴常数项是20•（-2）=-40，故答案为：-40．根据=，按照二项式定理展开，可得在的展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.【答案】2π【解析】解：设圆柱的底面圆半径为r，高为h；则h2+r2=R2=3；所以圆柱的体积为V=πr2h=π（3-h2）h=π（3h-h3）；则V′（h）=π（3-3h2），令V′（h）=0，解得h=1；所以h∈（0，1）时，V′（h）＞0，V（h）单调递增；h∈（1，）时，V′（h）＜0，V（h）单调递减；所以h=1时，V（h）取得最大值为V（1）=2π．故答案为：2π．设圆柱的底面圆半径为r，高为h，求出r与h的关系，再计算圆柱的体积V，从而求出体积V的最大值．本题考查了半球与内接圆柱的结构特征与应用问题，也考查了圆柱的体积计算问题，是中档题．17.【答案】解：（1）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为，且．整理得：（a+b）（sin A-sin B）=（c-b）sin C，利用正弦定理得：a2-b2=c2-bc，即：，由于：0＜A＜π，解得：A=．（2）由于，所以：a2=b2+c2-2bc cos A，整理得：12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以：=3．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换和余弦定理和正弦定理的应用求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理及基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦定理和余弦定理及三角形面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）在图2中，取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设OA=x，则OF=2-x，OE=，∴B（2，2-x，0），E（，0，0），A（0，0，x），C（-2，2-x，0），=（-2，2-x，-x），=（-2，x-2，0），∵异面直线BE与AC垂直，∴=+8=0，解得x=（舍）或x==，∴=，∴图1中点D在靠近点A的三等分点处．证明：（2）平面ADE的法向量=（0，1，0），=（，0，-x），=（-2，x-2，0），设平面ABE的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，），设二面角D-AE-B的平面角为θ，则cosθ===，∴无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．【解析】（1）取DE中点O，BC中点F，连结OA，OF，以O为原点，OE、OF、OA 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出图1中点D在靠近点A的三等分点处．（2）求出平面ADE的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能证明无论点D的位置如何，二面角D-AE-B的余弦值都为定值．本题考查空间中点的位置的确定，考查二面角的余弦值为定值的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：[95，105）的频率为：1-（0.006+0.026+0.022+0.008）×10=0.038，补全上面的频率分布直方图（用阴影表示）：质量指标值的样本平均数为：=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．质量指标值的样本方差为S2=（-20）2×0.06+（-10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．（3）①由（2）知Z～N（100，104），从而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z ＜100+2×10.2）=0.9544；②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．【解析】（1）由频率分布图求出[95，105）的频率，由此能作出补全频率分布直方图；（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；①由（2）知Z～N（100，104），从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．本题考查频率分布直方图的作法，考查平均数、方差的求法，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）由题意，设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，2a==12，则a=6，∴b2=a2-c2=12．∴椭圆C的标准方程为；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，得|AB|=，由|AB|==6，解得m=±3，此时；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-36=0．△=36k2m2-4（3k2+1）（3m2-36）=432k2-12m2+144．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．由|AB|==6，整理得：，原点O到AB的距离d=．∴===．当时，△AOB面积有最大值为＞9．综上，△AOB面积的最大值为．【解析】（1）由已知可设椭圆方程为（a＞b＞0），且c=，再由椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=m，由弦长求得m，可得三角形AOB 的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立直线方程与椭圆方程，结合根与系数的关系及弦长可得m与k的关系，再由点到直线的距离公式求出原点O 到AB的距离，代入三角形面积公式，化简后利用二次函数求最值，则答案可求．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（1）解：f′（x）=e x-ax．∵函数f（x）=e x-有两个极值点．∴f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．g′（x）=，可得：x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．a＞e时，方程f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．∴实数a的取值范围是（e，+∞）．（2）证明：由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．证明：x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．h′（x）=-=（x-1），令函数u（x）=，（0＜x）．u′（x）=．可得函数u（x）在（0，1）内单调递减，于是函数v（x）=-在（0，1）内单调递减．v（x）≥v（1）=0．∴x=1时，函数h（x）取得极小值即最小值，h（1）=0．∴h（x）＞h（1）=0．∴＞．因此x1+x2＞2成立．【解析】（1）f′（x）=e x-ax．函数f（x）=e x-有两个极值点⇔f′（x）=e x-ax=0有两个实数根．x=0时不满足上述方程，方程化为：a=，令g（x）=，（x≠0）．利用导数已经其单调性即可得出．（2）由（1）可知：a＞e时，函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，不妨设x1＜x2．x1+x2＞2⇔x2＞2-x1＞1⇔＞，由=，因此即证明：＞．构造函数h（x）=-，0＜x＜1，2-x＞1．利用导数已经其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（1）曲线C的极坐标方程ρ=化为ρ2sin2θ=4ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程为y2=4x，故曲线C是顶点为O（0，0），焦点为F（1，0）的抛物线；（2）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．故l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），则，∴直线l的参数方程为（t为参数）．代入y2=4x，得t+2=0设A、B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=-6，t1t2=2．|AB|=|t1-t2|===8．【解析】（1）利用即可得出直角坐标方程；（2）直线l的参数方程（t为参数，0≤α＜π）．可得l经过点（0，1）；若直线l经过点（1，0），得到，得到直线l新的参数方程为（t为参数）．代入抛物线方程可得t+2=0，设A、B对应的参数分别为t1，t2，利用|AB|=即可得出．本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用，考查了计算能力，属于中档题．．23.【答案】解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x-3|≥|（x+1）-（x-3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4．（2）由（1）知n=4，∴7a+4b===，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a=时取等号．∴7a+4b的最小值为．【解析】（1）由函数定义域为R，可得|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x-3|，利用绝对值不等式的性质求出其最小值即可；（2）由（1）知n=4，变形7a+4b=，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的定义域、绝对值不等式的性质、基本不等式的性质、“乘1法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2020届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期高考猜题卷(二)数学(理)试题(解析版)

2020届陕西省西安市西北工业大学附属中学高三下学期高考猜题卷（二）数学（理）试题一、单选题1．已知全集U Z =，{}0,1,2,3,4,5A =，()(){}130,B x x x x Z =-->∈，则UAB =（）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2,4D ．{}1,2,3【答案】D【解析】解不等式求出集合B ，再求集合B 的补集，利用集合的交运算即可求解. 【详解】U Z =()(){}{130,3B x x x x Z x x =-->∈=>或}1,x x Z <∈， {}13U B x Z x ∴=∈≤≤，又{}0,1,2,3,4,5A =，{}1,2,3U A B ⋂=∴.故选：D 【点睛】本题考查了集合的交、补运算，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.2．若复数2z i =-(i 是虚数单位)，则2zz在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】将2zz写成(,)a bi a b R +∈的形式，即可判断所在的象限.【详解】2z i =-∴22=25222z i i i iz --==--()()()()52522225i i i i i =+=+=++-对应点()2,1位于第一象限故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．命题“()01,x ∃∈+∞，02021xx -=”的否定是（）A ．()01,x ∃∉+∞，02021xx -=B ．()01,x ∃∉+∞，02021xx -≠C ．()1,x ∀∈+∞，221x x -≠D ．()1,x ∀∉+∞，221x x -=【答案】C【解析】根据特称命题的否定，可直接得出结果. 【详解】命题“()01,x ∃∈+∞，02021xx -=”的否定是“()1,x ∀∈+∞，221x x -≠” .故选：C. 【点睛】本题主要考查特称命题的否定，只需变量词否结论即可，属于基础题型. 4．sin155sin55cos25cos55︒︒+︒︒=（）A ．B ．12-C ．12D 【答案】D【解析】根据诱导公式，以及两角差的余弦公式直接化简，即可得出结果. 【详解】sin155sin55cos25cos55sin 25sin55cos25cos55︒︒+︒︒=︒︒+︒︒()cos 5525cos302=︒-︒=︒=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用两角差的余弦公式化简求值，涉及诱导公式，属于基础题型.5．已知椭圆2222:142x yCm m+=++的离心率为23，则实数m=（）A．2±B．5±C．7±D．3±【答案】B【解析】利用椭圆的离心率，列出方程求解m即可．【详解】解：椭圆2222:142x yCm m+=++的离心率为23，可得2222422()4m mm+--=+，解得5m=±．故选：B．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．6．2020年3月某省教研室组织了一场关于如何开展线上教学的大型调研活动，共收到有效问卷558982份，根据收集的教学类型得到统计数据如图：以上面统计数据为标准对线上学习的教学类型进行分析，下面说法正确的是（）A．本次调研问卷的学生中采用纯直播教学形式进行学习的学生人数超过了30万B．线上利用了直播平台进行学习的学生比例超过了90%D．线上学习使用过资源包的学生的比例不足25%【答案】C【解析】根据统计图，结合题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由统计图可得，纯直播线上教学的51.8%，则本次调研问卷的学生中采用纯直播教学形式进行学习的学生人数约为51.8%558982289552.676300000⨯=<，故A错；B 选项，由统计图可得，线上利用了直播平台进行学习的学生比例为51.8%14.9% 5.4%17%89.1%90%+++=<，故B 错；D 选项，由统计图可得，线上学习使用过资源包的学生的比例为17% 1.6% 5.4% 1.2%25.2%25%+++=>，故D 错误.【点睛】本题主要考查统计图的应用，属于基础题型. 7．已知0.74a =， 1.32b =，3log 2c =，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】A【解析】可以得出0.7 1.3422>>，322log <，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】解：0.71.41.34222=>>，()233log 2log32<=，a b c ∴>>．故选：A ．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，分数指数幂和对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．162π+B ．164+πC ．242+πD ．244π+【答案】C【解析】根据三视图得到该几何体是一个正方体挖去了两个半球，根据正方体和球的表面积公式，即可得出结果. 【详解】由三视图还原该几何体如下，则该几何体是一个正方体分别从上下底面挖去了两个半球，且正方体的棱长为2，球的半径为1，所以该几何体的表面积为2222621141242ππππ⨯-⨯-⨯+⨯=+. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求几何体的表面积，熟记几何体的表面积公式即可，属于基础题型. 9．已经点A 在圆()()22:111C x y ++-=上，直线:22l y x =-与两坐标轴交点分别为M ，N 两点，则AMN 面积的最小值为（） A ．52- B ．51+ C ．51- D ．55- 【答案】D【解析】首先求出圆C 上的点到直线:22l y x =-距离的最小值，再求出M ，N 两点间的距离，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】圆C 的圆心为()1,1C -，半径1r =，∴圆C 上的点A 到直线:22l y x =-距离的最小值为()()22211215121⨯----=-+-，由已知可得()1,0M ，()0,2N -，()22125MN ∴=+-=，∴AMN 面积的最小值为()1555512-⨯⨯-=. 故选：D 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离的最值问题、两点间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．如图，ABCD 是圆柱的轴截面，32AB AD =，点E 在底面圆周上，且是AB 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的正切值为（）A ．222B ．2211C 26D 213【答案】A【解析】连接BE ，取AD 中点为M ，BE 中点为F ，记AB 中点为O ，连接OM ，OF ，MF ，AF ，根据题意，得到∠MOF 为异面直线AE 与BD 所成的角或所成角的补角，设3AD =，由题中条件，求出OM ，OF ，MF ，求出异面直线AE 与BD 所成角的余弦值，进而可求出正切值. 【详解】连接BE ，取AD 中点为M ，BE 中点为F ，记AB 中点为O ，连接OM ，OF ，MF ，AF ，则//OM BD 且12OM BD =，//OF AE 且12OF AE =，则∠MOF 为异面直线AE 与BD 所成的角或所成角的补角，因为ABCD 是圆柱的轴截面，所以四边形ABCD 为矩形，且AD⊥底面；设3AD =，由32AB AD =得2AB =，则223213BD =+=，因为点E 在底面圆周上，且是AB 的中点，则AEB △为等腰直角三角形，所以22BE AE AB ===，因此2211022AF AE EF =+=+=，则22591924MF AF MA =+=+=，又1132OM BD ==，1222OF AE ==，设异面直线AE 与BD 所成的角为θ，则2221321926444cos cos 213132262OM OF MF MOF OM OF θ+-+-=∠====⋅⨯⨯，则226143sin 11313θ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，因此143143112213tan 226262θ====.故选：A. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，根据异面直线的概念求解即可，属于常考题型.11．关于函数()sin 22cos xf x x=+有下列四个结论：①()f x 是奇函数；②()f x 是周期函数；③x R ∀∈，()12f x <；④()f x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增.其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ．②③④ C ．①③④ D ．①②④【答案】D【解析】对于①：利用奇偶性的定义判断即可；对于②：求解(2)()f x f x π+=，可得最小值正周期为2π；对于③：取特殊点54=x π即可判断，对于④：根据sin 2y x =在(0,)4π单调递增，而cos y x =在(0,)4π单调递减，可知()f x 在(0,)4π单调递增，结合()f x 是奇函数，可知()f x 在区间(),44ππ-内单调递增；【详解】函数sin 2()2cos xf x x =+，函数的定义域为x ∈R ，sin 2()()()2cos()x f x f x x --==-+-，所以函数sin 2()2cos xf x x =+为奇函数．故①正确．sin(24)(2)()2cos(2)x f x f x x πππ++==++，所以函数的最小值正周期为2π，故函数为周期函数，故②正确．当54=x π时，5sin512()5422cos 4f πππ==>+，x R ∴∀∈，1()2f x <不对；故③错误；由sin 2y x =在(0,)4π单调递增，而cos y x =在(0,)4π单调递减，可知()f x 在(0,)4π单调递增，∴函数sin 2()2cos xf x x =+在(0,)4π单调递增，根据①可知()f x 是奇函数，()f x ∴在区间(4π-，0)单调递增，则()f x 在区间(),44ππ-内单调递增；故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的奇偶性判断、奇偶性，单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．属于综合题． 12．已知函数()319234f x x ax =-+，()2g x x =-.设函数()()()()()()(),,f x f x g x h x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()h x 有四个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．959,848⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．59,48⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．590,48⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用导数判断函数()f x 的单调性，求出()f x的极值，由题意，满足(()0020f f f ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，解不等式组即可求解. 【详解】由()2g x x =-，可知函数在定义域R 上只有一个零点()319234f x x ax =-+，()22f x x a '=-，当0a ≤时，函数()f x 单调递减，函数在定义域R 上只有一个零点，()()()()()()(),,f x f x g x h x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()h x 有四个零点，故0a ≤不成立，当0a >时，令()0f x '>，则x >或x < 令()0f x '<，解得x <<所以函数()f x单调递增区间为(,-∞，)+∞；单调递减区间为(，所以(f为极大值，f 为极小值，根据题意，函数()h x有四个零点，则(()0020f f f ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即((33192034192034894034a a a ⎧-+>⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪-+>⎪⎩，解不等式组可得959848a <<，所以实数a 的取值范围是959,848⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数的单调性、极值，考查了运算能力、分析能力，属于中档题.二、填空题13．已知单位向量a 与b 的夹角为4π，则2b a +=________________.【解析】根据题意，先求出a b ⋅，再由向量模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因为单位向量a 与b 的夹角为4π，所以1==a b，cos42b b a a π⋅==，因此2222221225a aa b b b +=++⋅=++=.【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于基础题型.14．已知10⎛⎝的展开式中常数项为1058，则实数a =_______. 【答案】12±【解析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第1r +项为305106110r r r r TC ax--+=，令30506-=r，根据题中条件，即可得出结果. 【详解】因为10⎛ ⎝展开式的第1r +项为30510101036211010r r r r r r r r T C a x x C a x -----+=⋅⋅⋅=，令30506-=r，则6r =，又10⎛⎝的展开式中常数项为1058，所以64101058C a =，即41052108a =，即4116a =，解得12a =±. 故答案为：12±.【点睛】本题主要考查由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.15．已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，过点2F 作x 轴的垂线与双曲线C 在x 轴上方交于P 点，则AP =______.【答案】【解析】先由题意，得到()22,0F ，()1,0A -，根据题意，得到P 点横坐标为2，代入双曲线方程求出点P 纵坐标，进而可求出两点间距离. 【详解】因为双曲线22:13y C x -=的右焦点为()22,0F ，左顶点为()1,0A -，由题意，2PF x ⊥轴，所以P 点横坐标为2P x =，又P 点在双曲线上，且在x 轴上方，所以22130P P P y x y ⎧-=⎪⎨⎪>⎩，即24130P Py y ⎧-=⎪⎨⎪>⎩，解得3P y =，即()2,3P ，因此AP ==.故答案为：【点睛】本题主要考查求双曲线上的点到顶点的距离，考查直线与双曲线的交点坐标，属于基础题型.16．如图，在平面四边形ABCD 中，2BC CD =，7BD =，3AD =，3BCD π∠=，23πBAD ∠=，则ABC 的面积为______.5563 【解析】在ABD △中，根据余弦定理，先求出5AB =；在BCD 中，根据余弦定理求出BC 和CD ，再由对角互补，得出cos cos 0ABC ADC ∠+∠=，结合余弦定理求出AC ，在ABC 中，由余弦定理求出cos ABC ∠，进而可得sin ABC ∠，最后由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】由题意，在ABD △中，7BD =，3AD =，23πBAD ∠=，由余弦定理可得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，即24993AB AB =++，整理得23400AB AB +-=，解得5AB =或8AB =-（舍）；在BCD 中，7BD =，2BC CD =，3BCD π∠=，由余弦定理可得，2222cos BD CB CD CB CD BCD =+-⋅∠，即222249423CD CD CD CD =+-=，解得733CD =43321BC CD == 因为BCD BAD π∠+∠=，所以在平面四边形ABCD 中，ABC ADC π∠+∠=，因此cos cos 0ABC ADC ∠+∠=，即22222222AB BC AC AD CD AC AB BC AD CD+-+-=-⋅⋅，即2214731964925933163303AC AC +-+-=-，整理得2391573AC =，即21213AC =，所以1133AC =因此22219612125533cos3214143310AB BC ACABCAB BC+-+-∠===⋅⨯，所以2511sin131414ABC⎛⎫∠=-=⎪⎝⎭，因此ABC的面积为111155si14333n522146ABCS AB BC ABC=⋅⋅∠=⋅⋅=⋅.故答案为：5563.【点睛】本题主要考查求三角形的面积，熟记三角形面积公式，以及余弦定理即可，属于常考题型.三、解答题17．已知三棱柱111ABC A B C-中，1AA ⊥平面ABC，120BAC∠=︒，123AB AC CC==，23BC=，E、F分别是BC、11A C的中点.（1）证明：//EF平面1ABB.（2）求直线1B E与平面1A BE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（22【解析】（1）取11A B的中点M，连结,MF BM，证明//EF BM即可；（2）取11B C的中点N，以E为坐标原点，,,EC EA EN分别为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出(0,3,1)n=-，1(3,0,3)EB=，利用11sin|||n EBn EBθ⋅=∣，即可得答案；【详解】（1）取11A B 的中点M ，连结,MF BM ，//,MF BE MF BE =，∴四边形MFBE 为平行四边形， ∴//,EF BM EF ⊄平面1ABB ，BM ⊂平面1ABB ， ∴//EF 平面1ABB .（2）取11B C 的中点N ，以E 为坐标原点，,,EC EA EN 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在ABC 中，120BAC ︒∠=，,AB AC BC ==利用余弦定理可得222122()1222BC AB AB AB =-⨯⨯-=⇒=，13AB AC CC ==，11CC AE ∴=，11(0,0,0),((0,1,0),(0,1(E B A A B ∴，11(3,0,3),(3,0,0),(0,1,EB EB EA =-=-=设(,,)n x y z=为平面1EAB 的一个法向量，则1000,1,00n EB x y z n EA y ⎧⎧=⋅=⎪⎪⇒⇒===⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩(0,3,1)n ∴=-，∴11sin |||2n EB n EB θ⋅===⋅∣，∴直线1B E 与平面1A BE 所成角的正弦值.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面角的向量求法，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28a =，()2141n n S S n ++=+.（1）求数列{}1n n a a ++的通项公式；（2）证明：数列{}n a 是等差数列.【答案】（1）184()n n a a n n N *++=+∈（2）证明见解析.【解析】（1）根据数列前n 项和与n a 之间的关系即可得出1n n a a ++，验证1n =时，成立即可.（2）由{}1n n a a ++的通项公式可得28n n a a +-=，可知数列{}n a 的奇偶项分别构成公差为8的等差数列，求出奇偶项通项公式即可证明数列{}n a 是等差数列. 【详解】（1）当2n ≥时，由()2141n n S S n ++=+知，214n n S S n -+=，两式相减得：184n n a a n ++=+，当1n =时，由1212216S S a a +=+=，28a =，可得14a =，所以1212814a a +==⨯+，所以数列{}1n n a a ++的通项公式184()n n a a n n N *++=+∈，（2）由（1）知184()n n a a n n N *++=+∈，所以218(1)4n n a a n +++=++，两式相减可得：2121()()8n n n n n n a a a a a a ++++-=+-+=，所以数列{}n a 的奇数项135,,,a a a 和偶数项246,,,a a a 都为公差为8的等差数列,所以211(1)8844(21)n a a n n n -=+-⨯=-=-，22(1)884(2)n a a n n n =+-⨯==⨯，所以4()n a n n N *=∈，所以对于任意的n *∈N ，14(1)44n n a a n n +-=+-=，所以数列{}n a 是等差数列. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的证明，通项公式，前n 项和与n a 的关系，属于难题.19．生产某种大型产品（这两个公司每天都只能固定生产10件产品），在产品发货给客户使用之前需要对产品进行质量检测，检测结果按等级分为特等品，一等品，二等品，报废品.只有特等品和一等品是合格品，且可以直接投入使用，二等品需要加以特别修改才可以投入使用，报废品直接报废，检测员统计了甲、乙两家公司某月30天的生产情况及每件产品盈利亏损情况如下表所示：（1）分别求甲、乙两个公司这30天生产的产品的合格率（用百分数表示）. （2）试问甲、乙两个公司这30天生产的产品的总利润哪个更大？说明理由.（3）若从乙公司这30天生产的不合格产品中随机抽取2件产品，记抽取二等品的件数为X ，求X 的分布列及期望.【答案】（1）甲公司合格率88%；乙公司合格率86%；（2）甲公司总利润更大，理由见详解；（3）分布列见详解；期望为()43E X =. 【解析】（1）根据题干表格中数据，直接计算，即可得出两公司的产品合格率；（2）根据题意，分别计算两公司这30天的总利润，比较大小，即可得出结果；（3）根据题意，先得到乙公司这30天生产的不合格产品数，确定X 的可能取值，求出对应的概率，即可得出分布列，从而可求出期望. 【详解】（1）由题意，甲公司这30天生产的产品的合格率为21054100%88%300+⨯=；乙公司这30天生产的产品的合格率为24018100%86%300+⨯=；（2）由题意，甲公司这30天生产的产品的总利润为2102541201162422⨯+⨯-⨯-⨯=万元；乙公司这30天生产的产品的总利润为240 1.5180.828114 1.2329.6⨯+⨯-⨯-⨯=万元；所以甲公司这30天生产的产品的总利润更大；（3）由题意，乙公司这30天生产的不合格产品有281442+=件，其中二等品有28件，报废品有14件，由题意，X 的可能取值为0，1，2，则()214242130123C P X C ===，()111428242561123C C P X C ===，()228242542123C P X C ===，所以X 的分布列为因此X 的期望为()13565440121231231233E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查求超几何分布的分布列及数学期望，属于常考题型. 20．已知F 为抛物线()2:20E y px p =>的焦点，过点F 且倾斜角为6π的直线1l 与抛物线E 相交于A 、B 两点，且12AB =，过点F2l 与抛物线E 相交于C 、D 两点.（1）求抛物线E 的方程；（2）若点A 和C 均在第一象限，求证：抛物线E 的准线、直线AC 和直线BD 三线共点.【答案】（1）23y x = ；（2）证明见详解.【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标，以及直线AB 的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的焦点弦长公式，可得p ，进而得到抛物线的方程.（2）求得抛物线的准线方程，直线AB 的方程和直线CD 的方程，分别联立抛物线的方程，运用韦达定理，推出1294y y =-，3494y y =-，再将准线方程代入直线AC 的方程和直线BD 的方程，求出交点的纵坐标，化简整理可证明它们相等，即可得证. 【详解】（1）抛物线()2:20E y px p =>的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1l的方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2322p y x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，消去y ，整理可得22704p x px -+=，所以127x x p += ，所以12812AB x x p p =++==，所以32p =，所以抛物线2:3E y x =.（2）证明：由（1）可得抛物线的准线方程为：34x =-，焦点3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线1l的方程为34y x ⎫=-⎪⎝⎭，代入抛物线的方程：217303216x x -+=，可得12916x x =，则221293316y y ⋅=，即1294y y =-，直线2l的方程为34y x ⎫=-⎪⎭，()33,C x y ，()44,D x y ，联立方程组2343y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，整理可得2164090x x -+=， 34916x x =，可得3494y y =-，直线AC 的斜率为13221213333y y y y y y -=+-，可得直线AC 的方程为2111333y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，同理可得直线BD 的方程为2222433y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，准线方程为34x =-，将准线方程代入直线AC 的方程可得131394y y y y y -=+，将准线方程代入直线BD 的方程可得242494y y y y y -=+，由131394y y y y -+242494y y y y --+()()()()1324241313249944y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++，上式分子123134241242341399994444y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫=+---+-- ⎪⎝⎭ 3124241399999999044444444y y y y y y y y ⎛⎫=---------= ⎪⎝⎭，则直线AC 和直线BD ，以及准线交于同一点，即抛物线E 的准线、直线AC 和直线BD 三线共点. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、焦点弦公式，此题对计算能力要求较高，属于难题.21．已知函数()()()()()11ln 1xa x f x x x x a R e+=-+++∈. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()12,0,x x ∀∈+∞，12x x <，都有()()12f x f x <，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）13ln 2ln 21y x e e⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭；（2）1a ≤. 【解析】（1）先由1a =得()()()11ln 1xx f x x x x e +=-+++，求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先由题意，得到函数()f x 在()0,∞+上单调递增，推出()0f x '≥在()0,∞+上恒成立；对函数求导，得到()ln 1x e x a x+≤在()0,∞+上恒成立，令()()ln 1x e x g x x+=，0x >，由导数的方法判定()g x 的单调性，得出()()0g x g >，根据洛必达法则求出()1g x >，进而可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，()()()11ln 1xx f x x x x e +=-+++，则()()()()211ln 11ln 1x x x xe x e xf x x x e e-+-'=-+++=++，所以曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为()11ln 2k f e'==-+，又()2112ln 2f e=-+，因此曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()2112ln 2ln 21y x e e ⎛⎫-+-=-+- ⎪⎝⎭，即13ln 2ln 21y x e e⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭；（2）因为()12,0,x x ∀∈+∞，12x x <，都有()()12f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，因此()0f x '≥在()0,∞+上恒成立；因为()()()()211ln 11ln 1x x x x ae a x e ax f x x x e e-+-'=-+++=++，因此只需()ln 10x ax x e-++≥在()0,∞+上恒成立；即()ln 1x e x a x+≤在()0,∞+上恒成立，令()()ln 1x e x g x x+=，0x >，则()()()()()1ln 1ln 11ln 111x x x x x e x e x e x x x e x x g x x x⎡⎤⎡⎤++⋅-+-++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦'==，令()()()()()11ln 11ln 1111x h x x x x x x x =-++=-++-++，0x >，则()()()()()22211ln 1ln 1111x x h x x x x x x -'=+++=+++++，因为0x >，所以()()22ln 101x x x ++>+，即()0h x '>在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，因此()()00h x h >=，所以()()0xh x e g x x'=>在()0,∞+上恒成立，因此()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()0g x g >；又根据洛必达法则可得，()()()000ln 1ln 1lim lim lim ln 10111x x x x x x x e x e x e e x x x x →→→'⎡⎤++⎡⎤⎣⎦==++=+=⎢⎥'+⎣⎦，所以()1g x >，因此只需1a ≤，即实数a 的取值范围是1a ≤.【点睛】本题主要考查求在曲线上一点处的切线方程，考查由函数单调性求参数的问题，熟记导数的几何意义，灵活运用导数的方法判定函数单调性即可，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点()1,0P -，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求PA PB +的值.【答案】（1）0l y -+=；22:14x C y +=；（2）13. 【解析】（1）根据直线l 的参数方程消去参数，即可得出直线l 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据点()1,0P -在曲线C 的内部，得到PA PB AB +=，利用参数的方法求出弦长AB ，即可得出结果.【详解】（1）由1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t，可得1x y =-+0y -=，即直线l0y -+=；由22413sin ρθ=+得2223sin 4ρρθ+=，化为直角坐标方程可得22234x y y ++=，整理得2214x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=；（2）将1122x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2214x y +=得22114422t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2134120t t --=，由t 的几何意义知，不妨记1PA t =，2PB t =，则12413t t +=，121213t t =-，又()221014-+<，则点()1,0P -在椭圆2214x y +=内，因此12PA PB AB t t +==-===. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数的方法求弦长，属于常考题型. 23．已知()()122f x x x a x =----，a R ∈.（1）当2a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）求()()23f f +的最小值.【答案】（1）{|3}x x <；（2）1-．【解析】（1）将2a =代入()f x 中，然后将()f x 写为分段函数的形式，再根据()0f x <，利用零点分段法解不等式即可；（2）先求出f （2）f +（3）的表达式，然后判断关于a 的函数f （2）f +（3）的单调性，再求出其最小值．【详解】（1）当2a =时，()(1)|2|2|2|f x x x x =----2256,2(3)256,2x x x x x x x x ⎧-+=--=⎨-+-<⎩． ()0f x <，∴22560x x x ⎧⎨-+<⎩或22560x x x <⎧⎨-+-<⎩， 23x ∴<<或2x <，3x ∴<，∴不等式的解集为{|3}x x <．（2）f （2）f +（3）|2|2|3|2a a =-+--310,322322,2336,2a a a a a a a a ->⎧⎪=-+--=-+⎨⎪-+<⎩，∴关于a 的函数f （2）f +（3）在(,3)-∞上单的递减，在(3,)+∞上单的递增， ∴当3a =时，f （2）f +（3）的最小值为1-．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．。

2020届陕西省西安市高三三模数学(理)试题解析

2将直线l的参数方程代入圆的方程cossin4cos4sin由直线l的方程为所以直线l的的倾斜角为又直线l过定点则直线l的参数方程为cossin为参数2设pq两点在直线l的参数方程中的对应参数分别为将直线l的参数方程代入圆的方程cossinsincossincos所以直线l的斜率为点评
2020届陕西省西安市高三三模数学（理）试题
故选D．
点评：
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合以及计算能力．
9．在圆锥PO中，已知高PO＝2，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，根据圆锥曲线的定义，图中的截面边界曲线为抛物线，在截面所在的平面中，以M为原点．MO为x轴，过M点与MO垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，则抛物线的焦点到准线的距离为（）
又因为第一个小矩形的面积为0.3，
第二个小矩形的面积是0.4，，所以中位数在第二组，
设中位数为，则，解得：，
所以中位数为65.
（2）依题意，利用平均数的计算公式，
可得平均成绩为：
，
所以参赛学生的平均成绩为67分．
点评：
本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了识图与运算能力，属于基础题．
解：
（1）因为，所以，即，
所以，因为，所以
又因为，解得： .
（2）因为，由正弦定理得，可得，
由余弦定理可得：，
∵ ，∴ ，
所以的取值范围为 .
点评：
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．
19．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD中点，将△ADE沿AE折起使得平面ADE⊥平面ABCE，BE与AC相交于点O，H是棱DE上的一点且满足DH＝2HE．

2020届陕西省西安中学高三下学期数学(理科)三模试卷

陕西省西安中学高2020届高三第三次模拟考试理科数学试题注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}3,4,5A =，{}1,3,6B =，则集合{}2,7,8是( ) A.A B UB.A B IC.()U C A B ID.()U C A B U2.已知复数z 的实部不为0，且1z =，设1z zω=+，则ω在复平面上对应的点在( )A.实轴上B.虚轴上C.第三象限D.第四象限3.将()2nx -的展开式按x 的升幂排列，若倒数第三项的系数是40-，则n 的值是( )A.4B.5C.6D.74．给出下列四个结论：①对于命题:p x ∀∈R ，210x x ++>，则0:p x ⌝∃∈R ，20010x x ++≤ ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；③命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”；④若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题；其中正确结论的个数为（）A .1 B.2 C. 3 D.45.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（） A ．8√10+16B ．40C ．8+√10+24D ．486.把边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当直线BD 和平面ABC 所成的角为60︒时，三棱锥D ABC -的体积为（）A.82 B. 46 C. 86 D. 1627.函数()ln cos sin x xf x x x⋅=+在[)(],00,ππ-U 的图象大致为（）A. B. C. D.8.楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（） A. 10B. 15C. 20D. 249.设函数()f x 定义如下表：x1 2 3 4 5 ()f x14253执行如图所示的程序框图，则输出的x 的值是( )A.4B.5C.2D.310.函数()sin(2)(,A 0)2f x A x πϕϕ=+≤>部分图像如图所示，且()(b)=0f a f =，对不同的[]12,,x x a b ∈，若12()()f x f x =，有12(+)=3f x x ，则（）A ．()f x 在51212ππ（-，）上是减函数 B ．()f x 在51212ππ（-，）上是增函数C ．()f x 在536ππ（，）上是减函数 D ．()f x 在536ππ（，）上是增函数11.过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作斜率为43的直线l 与C 及其准线分别相交于A ，B ，D 三点，则|AD ||BD |的值为( )A ．2或 12B ．3或 13C ．1D ．4或 1412.已知命题p:2()ln f x x x ax =-+在区间[)1,+∞上存在单调递减区间；命题q ：函数22g()x x x x ae -=-+,且5()()02g x g x '+-=有三个实根.若p q ⌝∧为真命题，则实数a 的取值范围是：（） A ． 650,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．2312e ⎛⎤-⎥⎝⎦，- C ． 651,2e -⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ． [)1,+-∞第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.若实数,x y 满足不等式组2326y xx y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩，则1y z x +=的最大值为__________．14.已知向量()cos ,sin AB αα=u u u r ，()cos ,sin BC ββ=u u u r ，()cos ,sin CA γγ=u u u r，其中02αβγπ<<<<，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值是__________．15.已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC,且SA=6,AB=4, 3BC =030ABC ∠=,则该三棱锥的外接球的表面积为__________．16. 如图平面四边形ABCD 的对角线的交点位于四边形的内部，1AB =，3BC =AC CD =，AC CD ⊥，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈L ，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.18.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=o ，E 是BC 中点，F 是PC 上的点（1）求证：平面AEF ⊥平面PAD ；（2）若M 是PD 的中点，当AB AP =时，是否存在点F ，使直线EM 与平面AEF 的所成角的正弦值为15？若存在，请求出PFPC的值；若不存在，请说明理由.19.(本小题满分12分)近期，西安公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，bx a y +=与x d c y ⋅=（d c ,均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表2：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验x 1 2 3 4 5 6 7 y 611213466101196支付方式现金乘车卡扫码比例10%60%30%可知，每辆车每个月的运营成本约为66.0万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有61的概率享受7折优惠，有31的概率享受8折优惠，有21的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要n （+∈N n ）年才能开始盈利，求n 的值．参考数据：yv∑=71i ii yx∑=71i ii vx54.01062.14 54.1 2535 12.50 47.3其中其中i i y v lg =，∑==17i i v v ，参考公式：对于一组数据),(11v u ，),(22v u ，Λ，),(n n v u ，其回归直线u v βαˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：2121ˆun u vu n v u ni i ni i i -⋅-=∑∑==β，u v βαˆˆ-=.20.(本小题满分12分)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2 2. (1)求椭圆E 的方程；(2)在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得|QA ||QB |＝|PA ||PB |恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数()ln (0)bf x a x x a =+≠. （1）当b=2时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0,0a b b +=>时,对任意121,[,e]x x e∈，都有12()()2f x f x e -≤-成立，求实数b 的取值范围；请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值；（2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值．23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =+.（1）解不等式()32f x x >-+；（2）已知0,0,a b >>且2a b +=(x)|x |f -≤。

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2020年陕西省西安市西工大附中高考数学模拟试卷（理科）（3
月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合
2
2
(,)|1
2
x
A x
y y
⎧⎫
=+=
⎨⎬
⎩⎭
，{(,)|3}x
B x y y
==，则A B
I中的元素的个数是()
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）复数
2
3
12
i
z
i
+
=+
-
在复平面内对应的点到原点的距离是() A．2B．5C．10D．23
3．（5分）虚拟现实()
VR技术被认为是经济发展的新增长点，某地区引进VR技术后，VR市场收入（包含软件收入和硬件收入）逐年翻一番，据统计该地区VR市场收入情况如图所示，则下列说法错误的是()
A．该地区2019年的VR市场总收入是2017年的4倍
B．该地区2019年的VR硬件收入比2017年和2018年的硬件收入总和还要多
C．该地区2019年的VR软件收入是2018年的软件收入的3倍
D．该地区2019年的VR软件收入是2017年的软件收入的6倍
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为0，则中可填入() A．2
m m
=+B．1
m m
=+C．1
m m
=-D．2
m m
=-
5．（5分）设
1
2
4
a-
=，
1
4
1
log
5
b=，
4
log3
c=，则a，b，c的大小关系是()
A．a b c
<<B．a c b
<<C．c a b
<<D．c b a
<<
6．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别且只能标记数字1，2，3，4，相邻区域标记的数字不同，其中，区域A和区域B标记的数字丢失．若在图上随机取一点，则该点恰好取自标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是()
A．
1 15
B．
1
10
C．
1
3
D．
1
30
7．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论不正确的是()
A．卫星向径的最小值为a c
-
B．卫星向径的最大值为a c
+
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大
8．（5分）已知在斜三棱柱
111
ABC A B C
-中，点E，F分别在侧棱
1
AA，
1
BB上（与顶点不
重合），
11
AE BF
EA FB
=，
1
4
AA=，ABC
∆的面积为5，截面
1
C EF与截面CEF将三棱柱
111
ABC A B C
-分成三部分．若中间部分的体积为4，则
1
AA与底面所成角的正弦值为() A．
1
2
B．
3
5
C．
4
5
D
3
9．（5分）已知()sin()(0
f x x
ωϕω
=+>，0)
ϕπ
<…是R上的奇函数，若()
f x的图象关于直
线4
x π
=
对称，且()f x 在区间[,
]2211ππ-
内是单调函数，则()(6f π
= ) A
． B ．12
-
C ．
12
D
10．（5分）已知直线l 与曲线x y e =相切，切点为P ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点．若OAB ∆的面积为3
e
，则点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．（5分）知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在C 的
右支上，1MF 与y 轴交于点A ，2MAF ∆的内切圆与边2AF 切于点B ．若12||4||F F AB =，则C 的渐近线方程为( ) A
0y ±=
B
．0x ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
12．（5分）已知符号函数1,0
0,01,0x sgnx x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0x ∈，1]
时，()f x x =，则( ) A ．(())0sgn f x > B ．4041
(
)12
f = C ．((2))0()sgn f k k Z =∈
D ．(())||()sgn f k sgnk k Z =∈
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知向量(3,2)a =-r
，(1,1)b =-r ，若()a b a μ+⊥r r r ，则实数μ的值为；若()//(2)a b a b μ++r r
r r ，则实数μ的值为．
14．（5分）若对12233(1)1n n n n
n n n x C x C x C x C x +=++++⋯+两边求导，可得112321
(1)23n n n n n n n n x C C x C x nC x
--+=+++⋯+．通过类比推理，有723456701234567(54)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，
可
得
1234567234567a a a a a a a ++++++的值为．
15．（5分）已知数列{}n a 中，111a =，12
1
n n a a n n
+=+
+，若对任意的[1m ∈，4]，存在*n N ∈，使得2n a t mt >+成立，则实数t 的取值范围是．
16．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长是a ，S 是11A B 的中点，P 是11A D 的中点，点Q 在正方形11DCC D 及其内部运动，若//PQ 平面1SBC ，则点Q 的轨迹的长度是．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）如图所示，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且90DAC ∠=︒，22
cos 3
DAB ∠=，6AB =．
（1）若3
sin 3
C =
，求BC 的值；（2）若BC 边上的中线2AE =，求AC 的值．
18．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，//AB CD ，AD CD ⊥，22CD AB AD ==，四边形ADEF 是矩形，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF AD λ=．（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若二面角B CF D --的正弦值为
25
，求λ的值．
19．（12分）如图，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，圆22:(3)(2)16E x y -+-=与C 交于M ，N 两点，且M ，E ，F ，N 四点共线．。