第五章控制系统的稳定性分析
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机械工程控制基础第五章系统稳定性分析
条件, 既使上述条件已满足，系统仍可能不稳定，因为 它不是充分条件。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
2/88
5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
Logo
b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
3/88
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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同时，如果劳斯阵列中第一 列所有项均为正号，则系统 一定稳定。
劳斯阵列为
sn a0 a2 a4 a6 s n1 a1 a3 a5 a7 s n2 b1 b2 b3 b4 s n3 c1 c2 c3 c4
由劳斯阵列的第一列看出：第一列中系数符号全为正
值，所以控制系统稳定。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
例2 设控制系统的特征方程式为
s4 2s3 3s2 4s 3 0
试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。
解：首先，由方程系数可知已满足稳定的必要条件。其次，排劳
阵列
s4 1 3 3
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5.1 系统稳定性的基本概念
d
o
F
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b
c
M
o
稳定性的定义：若控制系统在任何足够小的初始偏差的 作用下，其过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于 零，具有恢复到原来状态的性能，则该系统是稳定的， 否则，该系统为不稳定。
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5.2 系统稳定的充要条件
N(s)
X i s
+
G1 s
➢ 劳斯判据还说明：实部为正的特征 根数，等于劳斯阵列中第一列的系 数符号改变的次数。
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5.3 代数稳定性判据 劳斯判据
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劳斯判据的表述：
1.系统闭环传递函数特征方程式的系数没有为0的， 同时都是正数。（必要条件，要想系统稳定必 须满足这个条件）
2.劳斯阵列的第一列全部为正。（充分条件）
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
5.控制系统的稳定性分析
i 1 i
n
(n 2 p q)
2
为了证明这个定理，我们研究一个一次式
D1 (s) s s1
因此，p个右根的总角变化量为p(-π/2)
推论：如果n次多项式D(s)的所有零点都位于复平面的 左半面，则当以s=jω代入D(s) 并命ω从0连续增大到∞
时，复数D(s)的角连续增大
arg[1 G( j)] 180
开环传递函数在原点处的每一个极点使
arg[1 G( j)] 90
5.4.3乃奎斯特稳定性判据的另一表述
令ω从－∞ → 0,相应得出的乃氏图是与 ω从0 →+∞得出的乃氏图对于实轴对称的。
(1) 当开环系统稳定时，乃氏判据可表述为：
如果对应ω＝ －∞ →+∞封闭的乃氏曲线不包围（－1，
j0）点，则系统闭环后稳定，否则不稳定。
例：以5-9为例
辅助曲线的作法：
以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿反时针方向，
绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲线，λ是开环传
递函数中含有积分环节的个数。
(2)
例题
5.5由伯德图判断系统的稳定性
s12 2 j
s34 2 j
系统处于临界稳定
5.3.2赫尔维茨稳定性判据
根据特征方程的系数来判断稳定性的另一方法
D(s) a0 s n a1 s n1 an1 s an s 0
a0
a0 0
5.4乃奎斯特稳定判据（1932）
利用开环乃氏图判断闭环系统稳定性的一种准则。 从代数判据脱颖而出，故可说是一种几何判据。
n
(n 2 p q)
2
为了证明这个定理，我们研究一个一次式
D1 (s) s s1
因此，p个右根的总角变化量为p(-π/2)
推论：如果n次多项式D(s)的所有零点都位于复平面的 左半面，则当以s=jω代入D(s) 并命ω从0连续增大到∞
时，复数D(s)的角连续增大
arg[1 G( j)] 180
开环传递函数在原点处的每一个极点使
arg[1 G( j)] 90
5.4.3乃奎斯特稳定性判据的另一表述
令ω从－∞ → 0,相应得出的乃氏图是与 ω从0 →+∞得出的乃氏图对于实轴对称的。
(1) 当开环系统稳定时，乃氏判据可表述为：
如果对应ω＝ －∞ →+∞封闭的乃氏曲线不包围（－1，
j0）点，则系统闭环后稳定，否则不稳定。
例：以5-9为例
辅助曲线的作法：
以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿反时针方向，
绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲线，λ是开环传
递函数中含有积分环节的个数。
(2)
例题
5.5由伯德图判断系统的稳定性
s12 2 j
s34 2 j
系统处于临界稳定
5.3.2赫尔维茨稳定性判据
根据特征方程的系数来判断稳定性的另一方法
D(s) a0 s n a1 s n1 an1 s an s 0
a0
a0 0
5.4乃奎斯特稳定判据（1932）
利用开环乃氏图判断闭环系统稳定性的一种准则。 从代数判据脱颖而出，故可说是一种几何判据。
第五章控制系统的稳定性分析第十三讲
制，也可以全部由实验方法绘制。不需知 道系统的微分方程或传递函数。 ❖ 3.便于研究系统参数和结构改变对稳定性 的影响 。
控制系统系统的稳定性分析
10-7-20
2
❖ 4. 还能指出系统的稳定储备——相对稳定 性。以及进一步提高和改善系统动态性能 （包括稳定性）的途径。
乃氏判据在系统稳定性分析中有很重要 的地位，它是整个频率域控制理论的 基石。
控制系统系统的稳定性分析
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控制系统系统的稳定性分析
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16
控制系统系统的稳定性分析
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❖ 令 F (s) 1 G1(s)H (s) 用S=jω代入F(s) ,
且ω从0→∞变化时，F(jω) 的角增量为
arg[1 G1( j)H ( j)] arg DB ( j) arg DK ( j)
❖ 辅助曲线的作法：
❖ 以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿逆时针 方向，绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲 线，λ是开环传递函数中含有积分环节的个 数。
控制系统系统的稳定性分析
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39
例5-6 设一个系统具有下列 开环传递函数： G(s)H (s) K
s(Ts 1)
试确定该闭环系统的稳定性。
55
控制系统系统的稳定性分析
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56
当 ()
() arctan arctan arctan arctan
2
1
2
2
1
2
得 12
lg
1 2
(lg
1
lg
2
)
即 在对数坐标 1,2 的几何中心点上；而 c
点在单位圆上，当 c 时，G( j) 通过（-1，j0)点，
控制系统系统的稳定性分析
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2
❖ 4. 还能指出系统的稳定储备——相对稳定 性。以及进一步提高和改善系统动态性能 （包括稳定性）的途径。
乃氏判据在系统稳定性分析中有很重要 的地位，它是整个频率域控制理论的 基石。
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控制系统系统的稳定性分析
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控制系统系统的稳定性分析
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❖ 令 F (s) 1 G1(s)H (s) 用S=jω代入F(s) ,
且ω从0→∞变化时，F(jω) 的角增量为
arg[1 G1( j)H ( j)] arg DB ( j) arg DK ( j)
❖ 辅助曲线的作法：
❖ 以∞为半径，从乃氏曲线的起始端沿逆时针 方向，绕过λ90°作圆。这个圆就是辅助曲 线，λ是开环传递函数中含有积分环节的个 数。
控制系统系统的稳定性分析
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例5-6 设一个系统具有下列 开环传递函数： G(s)H (s) K
s(Ts 1)
试确定该闭环系统的稳定性。
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控制系统系统的稳定性分析
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当 ()
() arctan arctan arctan arctan
2
1
2
2
1
2
得 12
lg
1 2
(lg
1
lg
2
)
即 在对数坐标 1,2 的几何中心点上；而 c
点在单位圆上，当 c 时，G( j) 通过（-1，j0)点，
第五章 控制系统稳定性分析
10 (1 + s )(1 + 2s )(1 + 3s )
奈氏轨迹穿过 ( −1, j 0 ) 点，所以系统临界稳定。 （3） G (s )H (s ) =
10 s (1 + 0.1s )(1 + 0.2 s )
2
6
∵ N = −2, P = 0, N ≠ P ∴ 系统不稳定
7-10 试根据下列开环频率特性分析相应系统的稳定性。
as + 1 s2
α s +1
s2
ϕ (ω ) = - 180 + tan −1 αω
γ = 180 + ϕ (ωc ) = 45
180 + tan −1 αωc − 180 = 45
α =1
4
7-8 判别图(题 7-7)(a)， （b）所示系统的稳定性。
解(a)
2
图(题 7-8
0.1( s + 1) GB ( s ) = 3 s + 0.19 s 2 + 0.2 s + 0.1 D ( s ) = s 3 + 0.19s 2 + 0.2s + 0.1
P 2
(3) G ( jω )H ( jω ) =
10 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j 0.2ω )
2
∵在 ( 0, ωc ) 之间， N ' = −1, P = 0, N ' ≠ ∴系统不稳定。 (4) G ( jω )H ( jω ) =
P 2
2 ( jω ) (1 + j 0.1ω )(1 + j10ω )
0
α ( 2 + K ) − (1 + K ) =0 使第三行全为零 α
第5章控制系统的稳定性分析
基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运 动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统 本身的特征，因而可用系统的脉冲响应函数来描述。
设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位
脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当
于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工 作点的问题。若t→∞时，脉冲响应
（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才 能满足式（5-7），按着惯例， ai一般取正值 （如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它 们都变成正值）。
上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要 条件，即ai>0。
要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：
1 .特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n)
K
X(s) 1 G(s) s3 3s2 2s K
特征方程式为 罗斯阵列为
s3 3s2 2s K 0
s3 1 2
s2 3 K s1 6 K
3 s0 K
由稳定条件得
K 0
6 K 3
0
因此K的稳定范围为 0 K 6
习题5-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s s 1 s 1
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
3 6
若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值
应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情
设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位
脉冲x(t)= (t)，这时系统的输出增量为y(t)。这相当
于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工 作点的问题。若t→∞时，脉冲响应
（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，才 能满足式（5-7），按着惯例， ai一般取正值 （如果全部系数为负，可用-1乘方程两边，使它 们都变成正值）。
上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要 条件，即ai>0。
要使全部特征根均具有负实部，首先必须满足：
1 .特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n)
K
X(s) 1 G(s) s3 3s2 2s K
特征方程式为 罗斯阵列为
s3 3s2 2s K 0
s3 1 2
s2 3 K s1 6 K
3 s0 K
由稳定条件得
K 0
6 K 3
0
因此K的稳定范围为 0 K 6
习题5-3 设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s s 1 s 1
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
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若要求闭环特征方程式的根的实部均小于-1，问值
应取在什么范围？如果要求根的实部均小于-2，情
第五章控制系统的稳定性分析-1
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1控制系统稳定性的基本概念 5.2控制系统稳定的充要条件 5.3代数稳定性判据 5.4乃奎斯特稳定性判据 5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
5.1 控制系统稳定性的基本概念
稳定是控制系统能够正常运行的首要条 件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳
5.3代数稳定性判据
1 劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
线性系统 充要条件 闭环特征方程式的根必须都位于S的
稳定
左半平面。
令系统的闭环特征方程为
稳定判据
a0 S n a1S n1 a2 S n2 an1S an 0
a0 0
S5 1
32
S4 2
61
S3 0(ε ) 3/2 0
S2 (6ε -3)/ε 1
S1
m
S0 1
(6ε -3)/ε →-∞ m=1.5-ε 2/(6ε -3)→1.5
第一列含有负数，系统不稳定
2.劳斯表中出现全零行
解决的办法
用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多 项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替 表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3
S2
由于表中第一列
S1
S0
1
1
2
2
0( ) 0
2
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有 一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
例：已知特征方程为 s5 2s4 3s3 6s2 2s 1 0
判别系统的稳定性。
5.1控制系统稳定性的基本概念 5.2控制系统稳定的充要条件 5.3代数稳定性判据 5.4乃奎斯特稳定性判据 5.6由伯德图判断系统的稳定性 5.7控制系统的相对稳定性
5.1 控制系统稳定性的基本概念
稳定是控制系统能够正常运行的首要条 件。
对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳
5.3代数稳定性判据
1 劳斯稳定判据(Routh’s stability criterion)
线性系统 充要条件 闭环特征方程式的根必须都位于S的
稳定
左半平面。
令系统的闭环特征方程为
稳定判据
a0 S n a1S n1 a2 S n2 an1S an 0
a0 0
S5 1
32
S4 2
61
S3 0(ε ) 3/2 0
S2 (6ε -3)/ε 1
S1
m
S0 1
(6ε -3)/ε →-∞ m=1.5-ε 2/(6ε -3)→1.5
第一列含有负数，系统不稳定
2.劳斯表中出现全零行
解决的办法
用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多 项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替 表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。
试判别相应系统的稳定性。
解：列劳斯表
S3
S2
由于表中第一列
S1
S0
1
1
2
2
0( ) 0
2
上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有 一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。
例：已知特征方程为 s5 2s4 3s3 6s2 2s 1 0
判别系统的稳定性。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
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f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 控制系统的稳定性分析
an−1an−4 − an an−5 A2 = an−1
M
A1an−3 − an−1 A2 B1 = A1
A1an−5 − an−1 A3 B2 = A1
M
控制工程基础
第五章 稳定性分析
(3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都 相同，系统是稳定；若第一列各无符号不同， 则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数， 等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： 系统稳定的充要条件： Routh表中第一列各元素的符号均为正且 Routh 表中第一列各元素的符号均为正且 值不零。 值不零。
引起的输出及其终态不超过预先给定的某值，即 不超出域 ε ，则称系统稳定，或称为李氏意义下 稳定。 其数学描述为： 初态为 输出满足
(k xo ) (0) <η
( x o k ) (t ) ≤ ε
oη (ε )
ε
(0 ≤ t ≤ ∞ )
式中， k=0,1,2,…,则系统称为李氏意义下稳定。
控制工程基础
控制工程基础
第五章 稳定性分析
三、关于稳定性的一些提法
1、李亚普诺夫意义下的稳定性
俄国学者李亚普诺夫在统一考虑了线性下非 线性系统稳定性问题后，于1982年对系统稳定性 提出了严密的数学定义。 若o为系统的平衡工作点,扰动使系统偏离此 工作点的起始偏差(即初态)不超过域 η，由扰动
控制工程基础
第五章 稳定性分析
控制工程基础
第五章 稳定性分析
结论：
1、存在两个符号相异，绝对值相同的实根； 2、存在一对共轭纯虚根； 3、存在实部符号相异，虚部数值相同的两对 共轭复数根。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
例： D( s ) = s 5 + 2 s 4 + 24s 3 + 48s 2 − 25s − 50 = 0 解：
第五章控制系统的稳定性分析
特征根的三种情况及所对应时域解： s a e at; s j sin t ,cos t ;
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
第五章 控制系统的稳定性
例 5 - 2. 设有下列特征方程 s 4 + 2s 3 + 3s 2 + 4s + 5 = 0
试用Routh判据判别该特征方程正实部根的个数。 判据判别该特征方程正实部根的个数。 试用 判据判别该特征方程正实部根的个数
解 : 列写 劳斯 阵列 : s4 s3 s2 s s
1 0
1 2
2× 3 - 4 2
s3 s2 s s0
1 0≈ε
- 3ε - 2
-3 2 0
改变一次
ε
2
改变一次
∴ 有两实部为正的根。
b.劳斯表某行全为零 说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的 根。 可用全零行的前一行数值组成辅助方程 A' ( s )，并用 dA' ( s ) / ds 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表 ，利用 的系数代替全零行的各项，完成劳斯表， 可解得那些对称根。 辅助方程 A' ( s )可解得那些对称根。
一幅 原 . 角 理 设 (S)是 变 的 项 之 ,除 S平 的 限 奇 复 量 多 式 比 在 面 有 个 F 点 ,为 值 续 则 数又 P为 (S)极 数 , Z为 (S) 外 单 连 正 函 . 设 F 点 目 F 的 点 目 其 包 重 点 重 点 目 以 F(S)的 零 数 , 中 括 极 与 零 数 , 及 全 部 点 零 均 布 S平 的 闭 线 S内 而 S不 过 极 与 点 分 在 面 封 轨 Γ , Γ 通 F(S)的 何 点 零 . 在 种 况 , 当 S以 时 方 任 极 与 点 这 情 下 点 顺 针 向 沿 S 运 , ΓS在 F(S)]平 上 映 ΓF按 时 方 包 原 Γ 动 [ 面 的 射 顺 针 向 围 点 次 的 数 N = Z- P N>0 N<0 N =0 表 ΓF顺 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF逆 针 围 点 次 示 时 包 原 N 表 ΓF不 围 点 示 包 原
第五章 控制系统的稳定性分析
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 例 已知一调速系统的特征方程式为
试用劳斯判据判别系统的稳定性：S 3 + 41.5S 2 + 517 S + 2.3 × 10 4 = 0 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 − 38.5 2.3 × 10 4 517 2.3 × 10 4 0 0
a n s n + a n −1 s n −1 + ⋯ + a 0 = 0 通过因式分解，总 对于特征方程： 通过因式分解， 对于特征方程：
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据
1) 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数，结果不变 列写罗斯计算表：任意一行的各项同时乘以一个正数， 。
第五章 控制系统的稳定性分析
5-2 控制系统稳定性判据 一．代数稳定判据
不必求解系统的特征方程， 不必求解系统的特征方程 ，通过对特征方程的系数进行分析来判 断系统的稳定性的方法。 断系统的稳定性的方法。
可 以 分 解 为 一 次 因 子 和 二 次 因 子 的 乘 积 的 形 式 ， 即 ： (s+a) 和 (s2+bs+c)相乘的形式。只有 、b、c都是非零的正值时，才能得到负 相乘的形式。 都是非零的正值时， 相乘的形式 只有a、 、 都是非零的正值时 实根或具有负实部的共轭复根。所以ai>0是判定系统稳定的必要条 实根或具有负实部的共轭复根 。 所以 是判定系统稳定的必要条 但非充分条件。罗斯-赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 件，但非充分条件。罗斯 赫尔维茨稳定判据即是检验系统稳定的充 要条件。 要条件。 1、罗斯（Routh）稳定判据： 、罗斯（ ）稳定判据：
控制系统的稳定性分析.
i 1 q si t
Bje
j 1
r
j nj t
sin[( nj 1 j2 )t j ]
上式中，-si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和 复特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
b2
1 4 0 5
a1 1 如果第一列中出现小于零的元素， b1 系统就不稳定，且该列中数值符 b1a5 b3a1 c2 号改变的次数等于系统特征方程 b1 正实部根的数目。
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例1] 已知系统特征方程为: s4+8 s3+17s2+16 s+5=0 试判断系统的稳定性。 解：(1)列劳斯表 (2)利用劳斯判据判断系统的 4 s 1 17 5 稳定性: ①特征方程的各项系数大于零; 3 s 8 16
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例3] 对于一阶典型系统: 系统的特征方程为:
Φ( s) 1 Ts 1
Ts 1 0
利用劳斯判据判断系统的稳定性:
T 0
⑴特征方程的各项系数大于零，即 T 0 ⑵劳斯表第一列所有元素的值大于零，即
1
s
T
1
s0
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例4] 对于二阶典型系统:
s1 0 s
2 n 0
2 n
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
Bje
j 1
r
j nj t
sin[( nj 1 j2 )t j ]
上式中，-si 和(-ζjωnj)分别是系统的实特征根和 复特征根实部。 上式表明：当系统的特征根都为负时，各暂 综上所述，线性定常系统稳定的充要 态项才都是衰减的，且 t → ∞时，各暂态分量都 条件是：闭环系统特征方程的所有根都具 趋向零；如果有任一个根的实部为正，则其对应 有负实部，或者说，闭环传递函数的极点 的暂态项将是发散的，系统将不稳定 。 均位于复平面的左平面（不包括虚轴）。
b2
1 4 0 5
a1 1 如果第一列中出现小于零的元素， b1 系统就不稳定，且该列中数值符 b1a5 b3a1 c2 号改变的次数等于系统特征方程 b1 正实部根的数目。
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例1] 已知系统特征方程为: s4+8 s3+17s2+16 s+5=0 试判断系统的稳定性。 解：(1)列劳斯表 (2)利用劳斯判据判断系统的 4 s 1 17 5 稳定性: ①特征方程的各项系数大于零; 3 s 8 16
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例3] 对于一阶典型系统: 系统的特征方程为:
Φ( s) 1 Ts 1
Ts 1 0
利用劳斯判据判断系统的稳定性:
T 0
⑴特征方程的各项系数大于零，即 T 0 ⑵劳斯表第一列所有元素的值大于零，即
1
s
T
1
s0
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
[例4] 对于二阶典型系统:
s1 0 s
2 n 0
2 n
§5-3 代数稳定判据—劳斯判据
第5章 控制系统的稳定性分析
李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法， 即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。
▲李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解
系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，
其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系 统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统, 则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程 的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态 附近很小范围的稳定性。
三、大范围渐近稳定性
对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态 出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态 xe 0 称为大范围 渐近稳定。或者说，如果式(5－1）系统之平衡状态 xe 0 渐近 稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在 整个状态空间中只有一个平衡状态。 在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特 性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化 为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然 而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的 吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。
李雅普诺夫稳定性研究的是平衡态附近(邻域)的运动变 化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后 都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的；若发散掉则 称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化 则称为稳定的。
平衡态附近(邻域)的运动变化图
x1 x1 【例5－1】设系统的状态方程为 ，求其平 3 x2 x1 x2 x2 衡状态。
5.3.2 预备知识 一、标量函数的符号和性质 1．标量函数的正定性 如果对所有在域中的非零状态 x 0 ，有 V ( x) 0 ，且在 x 0 处有V (0) 0 ，则在域（域包含状态空间的原点）内的标 量函数V ( x) 称为正定函数。
控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
a3 0 a2
a1 a3 a5 3 a0 a2 a4 0
0 a1 a3
……
❖ 代数稳定性判据使用的多项式是系统闭环特征多项 式。 代数判据的局限性：
• 必须知道系统的闭环传递函数 • 定性——较难从量上判断系统的稳定程度 • 对含有延迟环节的系统无效
Nyquist 稳定性判据 （几何判据） 根据开环频率特性判断闭环稳定性
闭环系统稳定。
2、若开环极点有p个根在s右半平面，q个根在原点，其余 （n-p-q)个根在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[DK
(
j)]
(n
p
q)(
2
)
,
: 0
如果闭环系统稳定，即 DB (s) 所有极点均在左半平面。
arg[
DB
(
j)]
n(
2
)
,
: 0
则
arg[F ( j)] arg[1+G( j)H ( j)] n( ) (n p q)( )
a b
倒摆系统不稳定
e d
c
5.2 系统稳定的充要条件
如果系统稳定，当时间趋近于无穷大时，零输入响应
应趋近于零。即 x0 (t ) 0
t
k
r
x0 (t) Cie pit Aieit sin(it i )
i 1
i 1
pi 0 ， i 0
❖ 控制系统另一充分必要条件是：系统特征方程的根
Nyquist 稳定性判据1
R(s) G(s)
C(s)
Gk (s)
G(s)H (s)
q(s) p(s) DK (s)
H(s)
设辅助函数F(s),令
G(s)
第五章 控制系统稳定性分析
c1
b1a 3 a1b2 b1
5.2
Routh稳定判据
例1：系统特征方程如下，请判断该系统的稳定性。
二、计算示例
A s s 4 2s 3 3s 2 4s 3 0
解：1、该系统满足必要条件 2、计算Routh阵列如下：
s s
4 3
1 2
1 -2 3
3 4
3
3
(jω －s1 )当ω ＝0→＋∞时， 其幅角增量为-π /2。
Im[G]
一、米哈伊洛夫稳定定理
b0 s m b1s m1 ... bm1s bm G ( s) a0 s n a1s n 1 ... an 1s an
特征方程
jω
A( s) an s n an 1s n1 a1s a0 0
A s a0 s n a1s n 1 a2 s n 2 an 1s an 0
s s s
n
a0
a2
a4
a6 Routh
b1
b2 b3
s n 1
n2 n 3
a1
a3
a5
a7 阵列
b1
b2
b3
c1
c2
s2 s1 s0
一直计算到最后一行算完为止。然后判断 阵列中第一列系数的符号，若全部>0,则系 b a a1b3 c2 1 5 统稳定；否则，第一列系数符号改变的次数， b1 就为特征方程在右半s平面的根数。
系统稳定性的初步概念
X o ( s ) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 B( s) G ( s) n n 1 X i ( s ) an s an 1s a1s a0 A( s)
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
第5章控制系统的稳定性分析
j 2
乃氏图如下图所示。开环特征式有一个右根 ，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1 圈，则系统闭环后稳定。
Im
-1
Re 0
应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist 图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从 顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述 如下：如果s沿D形围线变化一周时， G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减 去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于 G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系 统是稳定的。
Im S2
Im
Re
S3
Im
图5-5 具有负实部的共轭复根情况 因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（ n-p-q）π/2
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S： 0→jω变化时 b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
控制工程基础
第五章
控制系统的稳定性分析
付胜杰 华侨大学机电工程及自动化学院
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念
1. 单摆
系统受扰动后能否恢复原来的状态
2. 控制系统的稳定性 定义：
若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 且有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。
5.2 系统稳定的充要条件
X o s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G2 s n n 1 N s 1 G1 s G2 s H s a0 s a1s an 1s an
乃氏图如下图所示。开环特征式有一个右根 ，封闭的乃氏曲线逆时钟包围（-1，j0）点1 圈，则系统闭环后稳定。
Im
-1
Re 0
应用逆Nyquist图的Nyquist稳定判据
Nyquist稳定判据也可以采用逆Nyquist 图使用。采用逆Nyquist图的稳定判据可以从 顺Nyquist图的稳定判据推导出来。判据表述 如下：如果s沿D形围线变化一周时， G(s)H(s)逆时针方向包围(-1,j0)点的周数减 去G(s)H(s)逆时针方向包围原点的周数等于 G(s)H(s)在右半平面的极点数目p，则闭环系 统是稳定的。
Im S2
Im
Re
S3
Im
图5-5 具有负实部的共轭复根情况 因此，（n-p-q）个左根的总角变化量为（ n-p-q）π/2
设S2、S3为具有负实部的共轭复根， S2=-a+jb (a>0,b>0) S3=-a-jb 对于矢量（S-S2）和（S-S3）, 当S： 0→jω变化时 b arg s s 2 arctan 2 a b arg s s3 arctan 2 a arg s s 2 arg s s3 2 2
控制工程基础
第五章
控制系统的稳定性分析
付胜杰 华侨大学机电工程及自动化学院
第五章 控制系统的稳定性分析
5.1 系统稳定性的基本概念
1. 单摆
系统受扰动后能否恢复原来的状态
2. 控制系统的稳定性 定义：
若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，其 过渡过程随着时间的推移，逐渐衰减并趋于零， 且有恢复原平衡状态的性能，则该系统稳定。
5.2 系统稳定的充要条件
X o s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm G2 s n n 1 N s 1 G1 s G2 s H s a0 s a1s an 1s an
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劳斯判据的两种特殊情况：
1、某一行第一个元素为零，而 其余各元素均不为零、或部 分不为零；
2、某一行所有元素均为零。
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
例4：Ds s4 3s3 s2 3s 1 0 判断系统稳定性
s4 1
s3 3
s2 0\
s1
3 3
s0 1
1
1
3
1
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
一、劳斯判据特征方程？
系统特征方程为：
D s a0 sn a1sn1 a2 sn2 an1s an 0
稳定的必要条件： 特征方程中各项系数>0
稳定的充分条件： 劳斯阵列中第一列所有项>0
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
k
n
xo t Dieit e jt E j cos jt Fj sin jt
因a部的0此x，系撤o对n反则统除i于 ，XNt零之就ao扰线0系输，不ssjsi对动n性a1统 入稳若1应定， xa响定特稳o1ba闭 1常即n0s应。征0定sns1环〈系 Gm得in将根G1的10t系统j2到，随中s充 ba， k统s11G齐时有s1s分若m传j2n间一次a必 0系11s递方na的个要 统n函 1程推s或1所 条数x移多件o特a有abn而个tm是 n征特X1发根1：s根s征oa散具n的 s根xab，有onm实 的这正t实 0部样实部，0
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
系统稳定的充要条件
xi t
nt
xo t
t
t=0 t
xo 0
t
xoi 0
传递函数
N s
X i s
-
-
G1 s
G2 s
X s
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
N s
齐次按方照程稳X的i定s解性趋定于义G0，1，s即如果- 系G统2 稳s 定，X当o st 时， -
c1
b1a3 a1b2 b1
s1
s0
稳定；否则，第一列系数符号 改变的次数，就为特征方程在 右半s平面的根数。
c2
b1a5 a1b3 b1
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
例1、 系 统 特 征 方 程 为 ：
Ds s4 2s3 3s2 4s 3 0 判断系统稳定性
第一列系数符号改变 两次，系统有两个右根， 所以，系统不稳定。
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
例5：Ds s3 2s2 s 2 0 判断系统稳定性
s3 1
1
s2 2
2
s1 0\
第一列系数符号无改变， 故系统没有正实部的根。
s0
2 s1行为0， 表明系统有一对共
o c
b de
a
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上。 这样，在干扰消失的时刻， 系统与平衡状态的偏差可 以看作是系统的初始偏差。 因此，控制系统的稳定性 也可以这样定义：
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
若控制系统在任何足 够小的初始偏差作用下， 其过渡过程随着时间的推 移，逐渐衰减并趋于零， 具有恢复原平衡状态的性 能，则称该系统稳定。否 则，称该系统不稳定。
稳定的概念
一个系统受到扰动，
偏离了原来的平衡状态，
而当扰动取消后，这个系
统又能够逐渐恢复到原来
的状态，则称系统是稳定
的。否则，称这个系统是
不稳定的。
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
稳定系统
o
d f
不稳定系统
b
c
M
条件稳定系统
b、c——允许偏差范围 d、e——规定偏差边界
2010年10月
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
控制系统稳定的充分必要条件是：
系统特征方程式的根全部具有负 实部。
或闭环传递函数的极点全部具有 负实部（位于左半s平面）。
到底如何判 断呢？
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
代数稳定判据
为了避开对特征方程的直 接求解，就只好讨论特征根的 分布，看其是否全部具有负实 部，并以此来判断系统的稳定 性。这就产生了一系列稳定判 据。
均为负值a，0s则n 零a输1sn入1响应 最 终an衰1s减 到an零X，o 这s 样的系
统是稳定的b。0sm 2010年10月
b1sm1
b s b N s 控m制工1 程基础—m控制系统的稳定性分析
可见，稳定性是控制系统自身的固
有特性，它取决于系统本身的结构和参 数，而与输入无关；控制理论所讨论的 稳定性都是指自由振荡下的稳定性，即 讨论输入为零，系统仅存在初始偏差时 的稳定性，即讨论自由振荡是收敛的还 是发散的。
解：满足必要条件
s4 1 3 3
s3 2 4
s2 1 3
s1 -2
s0
2010年10月
3
0 劳斯阵列第一列
符 号 改 变2次 ，
Ds 有 2个 右 根 ，
系统不稳定。 控制工程基础—控制系统的稳定性分析
s 3 例3 1X i s
2K
- ss 1s 2
X o解s题骤步？
s2
3K
K为何值时，系统稳定
2010年10月
控制工程基础—控制系统的稳定性分析
控制理论中所讨论的稳定性其 实都是指自由振荡下的稳定性，也 就是讨论输入为零，仅存在初始偏 差时的稳定性，即讨论自由振荡是 收敛的还是发散的。至于机械工程 系统往往用激振或外力的方法施以 强迫振动或运动，而造成系统共振 或偏离平衡位置，这并不是控制理 论所要讨论的稳定性。
解系ss：01统XX特oi 征ss6方K31程Ks为sss：1K1Ks有 符 满s 2
足
号
：2
劳 s0斯s 阵1列Ks
6K 0
第一
2 K
列
Ds s3 3s2 2s K 0 K 0
系统稳定的充要条件： 0 K 6 2010年10月
必要条件：K 0 控制工程基础—控制系统的稳定性分析
Ds 劳a0斯sn 阵 a列1sn如1 下 a：2 sn2 an1s an 0
sn sn1 sn2 sn3 s2
a0 a2 a4
a6
b1
a1a2 a0a3 a1
a1 a3 a5 b1 b2 b3
a7
b2
a1a4 a0a5 a1
c1 c2 c3
b3
a1a6 a0a7 a1
一直计算到最后一行算完 为止。然后判断阵列中第一列 系数的符号，若全部>0,则系统