匀速运动点电荷产生的电磁场解读

二.验证静电场高斯定理
E
•
ds
2
0
d
0
4
0
q R2 sin
a2 R2 1b Sin 2
3 2
d
0
2
0
q sin
a2 1bSin
2
3 2
d
q d cos
2 0 a2 0 bcos 2 1
3
2
a2
q
2 a b2 3
0
2
1 dx
1
3
x
2
1 a2b
2
q 20
arctan a b
1.θ=0
E
4
q1
2
ar 0
2
r ˆ 1 a2
E0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场减小为原 来的a的平方分之一。
2. θ=π/2
E 4
0a2q r1 2(1 b)2 3r ˆ4a0 1rq 2r ˆaE 0
∵ a﹥1 ∴在点电荷速度方向电场增强 为原来的a倍。
用两幅图来对比静止点电荷和匀速运动点 电荷所激发电场的差异：
x vt
y
3
2 y2 z2 2
F aq 1q 2 z 4 0
a2
x vt
z
3
2 y2 z2 2
所以k系中作用力的矢量表达式:
F 12a 41q q 2a2((x x v v))it2 t y y2 jzz2k 3/2 0
F 214 q1q2 ((x x v v))2 tit y y 2 jz z23k /2F 12 0
上式可知牛顿第三定律在这种情况 下是不成立的
由作用力我们可以直接得到电场直角 坐标系下的表达式:
E 4a1q0(ax2 (xvv)ti)t 2yy2 jzz22 3k
匀速运动点电荷的电场
把电场用球坐标表示：
E 40a2r2(q11bsi2n)2 3rˆ
从上式可以清晰地看到匀速运动的点电荷激 发的电场不再是球对称了.下面考察两个特殊 的位置:
主要内容:
▪ 求匀速运动点电荷形成的电场 ▪ 验证电场的高斯定理和检验静电场环路定理 ▪ 求匀速运动点电荷形成的磁场 ▪ 验证磁场的高斯定理 ▪ 导出毕奥-沙伐尔定理
在做具体工作之前引进一个基本假设：
电荷量不变原理：
一个系统中总电量，在不 同的惯性系中观察都是一样的
对这条基本假设的几点看法：
1.通常气体宏观上是显电中性的，假如
带电物体的总电量与它的运动状（即 参考系的选择）有关的话，那么我们 知道气体中例如氧气中的质子与电子 的运动状态不相同的，也就是说氧气 分子对外是有电性的，若说这个电量 很小不易被观测到，那么一个系统中 的大量分子的总和一定是容易测到的， 所以说明带电物体的总电量与其运动 状态无关。
2.我们知道电荷有一个很重要的特点： 电荷是量子化的。如果说电荷总量与 其运动状态有关的话，那么我们知道 在狭义相对论中标量一般是在原惯性 系K中测量，乘以或除以一个因子或者 其它形式。总之一般都是以V为自变量 的连续函数，这与电荷是量子化的相 对矛盾。所以总电量应该是一个与两 惯性系相对速度V无关的常量，即总电 量的不变原理。
三.匀速运动点电荷的磁场
事实上在上半部分中q1在q2就已经激发出磁 场了,但由于q2是静止的,所以不能通过洛仑 兹力检测出来,所以必须让q2动起来！
E sin
E
rˆ
1 1
r
sin
Er
r E
r
ˆ
1 r
rE
r
E
r
ˆ
1 1 E r ˆ 1 E r ˆ
r sin
r
所以其旋度为:
E 43 a q 2r3 s1 b ib c n s o i2n 5 s/2 ˆ0 0
这就说明匀速运动的点电荷激发的 电场不再满足静电场环路定理!
c2
c2
c2
由上述公式可得:
Fx Fx';Fy
F' y
1v2
;Fz
F' z
1v2
c2
c2
注:为书写方便下文令
bv2 ;a 1 1
c2
v2
1b
1
c2
所以得到k系中的作用力
Fq1q2x' ;Fa1qq2y' ;Fa1qq2z'
4 r 4 r 4 r x
'3 y
பைடு நூலகம்
'3 z
'3
0
0
0
Lorentz Transformations得到:
问题的提出：
库仑定律只告诉我们一个静止的 点电荷的成场规律,那么当点电荷 匀速运动时的成场规律怎样呢? 怎样求解一个匀速运动点电荷对 另一个点电荷的作用力呢？回答 是可以运用狭义相对论的理论来 进行求解.
基本想法:
若在一个惯性参考系k中,q2是静止的，而q1 相对k系匀速运动，在k系中若要求q2对q1的 作用力则直接用库仑定律即可；若要求q1对 q2的作用力，可以取另一个关于q1静止的惯 性参考系k’系，先在k’系中求出有关的物理 量，然后用狭义相对论中的惯性系k与k’系 之间的变换公式，将k’系中的物理量转化到 k系中，这样就可以求出在k系中q1对q2的作 用力了，并可以进一步求得匀速运动的点 电荷所成的电磁场,并可检验静电磁场中的 一些定理在这种情况下是否成立。
x'xvtaxvt;y'y;z'z
1v2 c2
r 'x '2 y '2 z '2a 2x v2 ty 2 z 2
所以k系中作用力的最终表达式:
F aq 1q 2 x 4 0
x vt
3
a 2 x vt 2 y 2 z 2 2
F aq 1q 2 y 4 0
a2
3.在精度较高的电子荷质比实验中，高 速运动的带电粒子的荷质比的测定实 验证明符合如下关系式：
e e0 m m0
1
v2 c2
;
m
m0
1
v2 c2
这就说明电子的总电荷不随其运 动状态改变而改变.
一 匀速运动点电荷的电场
在惯性系k中, q2是静止的，而q1相 对k系以v沿x轴正向运动，取另一 个关于q1静止的惯性参考系k’系
设当k系与k’系的原点重合时t=t’=0
在k’系中可直接运用库仑定律:
F 'q1q2x' ;F 'q1q2y' ;F 'q1q2z'
4 r 4 r 4 r x
'3 y
'3 z
'3
0
0
0
根据狭义相对论力的变换公式
Fx' Fx1cv2vuu•x F ;Fy' F1y1vuxcv2 2;Fz' F1z1vuxcv2 2
b cos d arctan a b
qbsina 0rcatb a n
0
q b
0
bq
0
可见,以匀速运动点电荷为球心的球面 为高斯面是满足高斯定理的,其他任意 一个封闭的曲面都是满足高斯定理的, 证明同静电学中一样,详见胡友秋等编 著的电磁学p27页。
二.检验静电场环路定理：
E
1 r sin