点电荷电场的MATLAB作图_易学华

１ 引言
ＭＡＴＬＡＢ 是一种先进的计算机语言， 计算命令 丰富， 作图功能强大， 不但在大学物理教学中有着 广泛的应用， 对于提高学生素质和提高我校理科教 学水平也能发挥重要作用。为使学生更好理解电场 强度的概念和物理意义， 张智［１］等巧妙地利用 ＭＡＴＬＡＢ 画出曲面上 ｅ 光入射角随 ｉ 和 α的变化； 周群益［２］等 采用 ＭＡＴＬＡＢＬ 绘出了带电线段周围的电场。在中 学和大学物理电磁学教学内容中， 各种点电荷的电 力线呈平面分布， 等势面通常用等势线表示［３，４］。为了 使学生更直观更形象地理解电力线和等势线的物 理意义， 我们采用 ＭＡＴＬＡＢ［５］画电力线和等势线， 不 但能画平面电力线和等势线， 还能画立体电力线和 等势面， 这为学生更好地正确理解和掌握电场强度 和电势的概念及其物理本质提供一种新的方法和 途径。
·４４·
第 ２７ 卷 第 １０ 期 易学华， 付凤兰， 胡武平， 余晓光： 点电荷电场的 ＭＡＴＬＡＢ 作图
图 １ 点电荷的电力线和第势线
图 ２ 立体电力线和等势面
标也可同样形成终点坐标 ｙ＝ｒ０+Ｙ（：）＇ ， ｚ＝ｒ０+Ｚ（：）＇ 。对 ｘ 坐 标 插 入 原 点 ｘ＝［ｘ(ｚｅｒｏｓ（ｓｉｚｅ（ｘ））］， 其 他 两 个 坐 标 如 下形成 ｙ＝［ｙ(ｚｅｒｏｓ（ｓｉｚｅ（ｙ））］， ｚ＝［ｚ(ｚｅｒｏｓ（ｓｉｚｅ（ｚ））］， 用三维 画线命令 ｐｌｏｔ３（ｘ，ｙ，ｚ）， 就画出所有电力线。 ２．２．２ 立体等势面的画法 画 ５ 条等势面时， 各面 的电势为 ｕ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（１，３，５）+ｕ０， 各 等 势 面 的 半 径 为 ｒ＝ｋ6ｑ． ／ｕ， 其中第一个球面的半径为 ｒｒ＝ｒ（１）。三维单 位球面的坐标可由［Ｘ，Ｙ，Ｚ］＝ｓｐｈｅｒｅ 命令形成， 每维都 是 ２１×２１ 的 网 格 矩 阵 ， 由 于 外 球 会 包 围 内 球 ， 因 此 把球面的四分之一设为非数， 表示割去该部分 Ｚ（Ｘ＜ ０＆Ｙ＜０）＝ｎａｎ． 用 曲 面 命 令 可 画 出 第 一 个 曲 面 ｓｕｒｆ （ｒｒ6Ｘ，ｒｒ6Ｙ，ｒｒ6Ｚ）， 只要取不同的半径就能画出不同的 等势面．为了使等势面好看， 可设置一个颜色浓淡连 续变化的命令 ｓｈａｄｉｎｇ ｉｎｔｅｒｐ。点电荷的立体电力线 和等势面如图 ２， 旋转图片可从不同的角度观察。
等势线为零势线。 ３．１．２ 平面 电 力 线 的 画 法 利 用 ＭＡＴＬＡＢ 的 箭 头 命令， 可用各点的电场强度方向代替电力线。根据 梯度可求各点的场强的两个分量［Ｅｘ，Ｅｙ］＝ｇｒａｄｉｅｎｔ（－ Ｕ）， 合场强为 Ｅ＝ｓｑｒｔ（Ｅｘ．＾２＋Ｅｙ．＾２）。为了使箭头等长， 将 场 强 Ｅｘ ＝Ｅｘ． ／Ｅ，Ｅｙ ＝Ｅｙ． ／Ｅ 归 一 化 ， 用 箭 头 命 令 ｑｕｉｖｅｒ（Ｘ，Ｙ，Ｅｘ，Ｅｙ）可 标 出 各 网 点 的 电 场 强 度 的 方 向 ， 异号点电荷对的场点方向如图 ３ 所示。
２ 单个点电荷
２．１ 点电荷的平面电力线和等势线 真 空 中 点 电
荷的场强大小是
Ｅ＝ｋｑ ／ｒ２，
（１）
其中 ｋ 为静电力恒量， ｑ 为电量， ｒ 为点电荷到场点
Ｐ（ｘ，ｙ）的距离。电场呈球对称分布， 取电量 ｑ＞ ０， 电
力线是以电荷为起点的射线簇。以无穷远处为零势
点， 点电荷的电势为
Ｕ＝ｋｑ ／ｒ，
ｐｌｏｔ（ｘｘ，－ ｙｙ）命令画出。
对于不同的起始角 ｑ， 就有不同的原始起点， 可
画出从该点电荷发出（ 或集中） 的不同的电力线。当
点电荷不等量时， 电力线的条数应该与电量的大小
成正比。以另一电荷为电力线的起点， 用同样的方
法也能画出电力线。不等量而同号的点电荷对的电
力线和等势线如图 ５ 所示， 两种曲线都是关于 ｘ 轴
图 ３ 一对不等量正负点电荷的电力线和等势线
为了画出连续的电力线， 先确定电力线的起 点。电荷的半径可取为 ｒ０＝０．００２， 如图 ４ 所示， 假设 第 一 条 电 力 线 的 起 始 角 为 ３０ 度 ， 其 弧 度 为 ｑ ＝ ３０+ｐｉ ／１８０， 起 始 点 到 第 一 个 点 电 荷 的 坐 标 为 ｘ１＝ ｒ０+ｃｏｓ（ｑ），ｙ＝ｒ０+ｓｉｎ（ｑ）， 到第二个点电荷的坐标只有横 坐标 ｘ２＝２+ａ＋ｘ１ 不同。用前面的方法可求出该点到两 个电荷之间的距离 ｒ１ 和 ｒ２， 从而计算场强的两个分 量 以 及 总 场 强 Ｅｘ ＝ｑ１+ｘ１ ／ｒ１＾３ ＋ｑ２+ｘ２ ／ｒ２＾３， Ｅｙ ＝ｑ１+ｙ ／ ｒ１＾３＋ｑ２+ｙ ／ｒ２＾３， Ｅ＝ｓｑｒｔ（Ｅｘ6Ｅｘ＋Ｅｙ6Ｅｙ）。
３ 一对点电荷
３．１ 点电荷对的平面电力线和等势线 ３．１．１ 平 面 等 势 线 的 画 法 仍 然 用 ＭＡＴＬＡＢ 的 等 高线命令画等势线。对于正负两个点电荷， 电量不 妨分别取 ｑ１＝２ｅ－ ９，ｑ２＝－ １ｅ－ ９， 正电荷在 ｘ 轴正方， 负 电荷在 ｘ 轴负方， 它们到原点的距离定为 ａ＝０．０２； 假 设平面范围为 ｘｘ０＝０．０５，ｙｙ０＝０．０４， 两个坐标向量分别 取 ｘ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（－ ｘｘ０，ｘｘ０，２０）和 ｙ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（－ ｙｙ０，ｙｙ０，５０）。 设置平面网格坐标为［Ｘ，Ｙ］＝ｍｅｓｈｇｒｉｄ（ｘ）， 各点到两电 荷的距离分别为 ｒ１＝ｓｑｒｔ（（Ｘ－ ａ）．＾２＋Ｙ．＾２）和 ｒ２＝ｓｑｒｔ（（Ｘ＋ ａ）．＾２＋Ｙ．＾２）。各点的电势为 Ｕ＝ｋ6ｑ１． ／ｒ１＋ｋ6ｑ２． ／ｒ２， 取最 高电势为 ｕ０＝５０， 最低电势取其负值。在两者之间取 １１ 个电势向量 ｕ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ （ｕ０，－ ｕ０，１１）， 等 高 线 命 令 ｃｏｎｔｏｕｒ（Ｘ，Ｙ，Ｕ，ｕ，＇ｋ－ ＇）用 黑 实 线 ， 画 出 等 势 线 如 图 ２ 所示， 其中， 左边从里到外的第 ６ 条包围负电荷的
下面只要用到场强分量与总场强的比值， 在计 算场强分量时没有乘以静电力常量 ｋ。由于电力线
·４５·
第 １０ 期
井冈山学院学报
第 ２７ 卷
的方向与场强的切线方向相同， 取线段为 ｓ＝０．０００１，
由此可求出终点的坐标为 ｘ１＝ｘ１＋ｓ#Ｅｘ ／Ｅ，ｙ＝ｙ＋ｓ+Ｅｙ ／ Ｅ， 从而计算 ｘ２。以终点为新的起点就能计算其他终 点。当终点出界时或者到达另一点电荷时， 这个终
第 ２７ 卷 第 １０ 期 ２００６ 年 １０ 月
井冈山学院学报（ 自然科学） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ）
Ｖｏｌ．２７ Ｎｏ．１０ Ｏｃｔ．２００６
点电荷电场的 ＭＡＴＬＡＢ 作图
易学华 １ ， 付凤兰 ２， 胡武平 ３， 余晓光 １
（２）
当 Ｕ 取常数时， 此式就是等势面方程．等势面是以电
荷为中心以 ｒ 为半径的球面。
２．１．１ 平面电力线的画法 在平面上， 电力线是等
角分布的射线簇， 用 ＭＡＴＬＡＢ 画射线簇很简单。取
收稿日期： ２００６－ ０６－ ０２ 基金项目： 江西省教育厅教改课题资助项目（赣教高字［ ２００５］ ９５ 号） 作者简介： 易学华（ １９６５－ ） ， 男， 江西宜春人， 讲师， 从事金属材料快
对称的。ＭＡＴＬＡＢ［６］可对微分方程求数值解， 从而计
算电力线的坐标。对于同种电荷， 电力线向四周发
散， 可取 ｙ 为自变量， ｘ 为函数， 电力线的微分方程
为
ｄｘ ／ｄｙ＝Ｅｘ ／Ｅｙ，
（ ３）
据此建立一个 ＭＡＴＬＡＢ 的函数文件， 文件名为
ｆｕｎ１．ｍ．

ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｘｄｙ＝ｆｕｎ１（ｙ，ｘ，ｏｐｔｉｏｎｓ，ａ，ｑ１，ｑ２）
平面电力线和等势线如图 １， 其中插入了标题 等等。越靠近点电荷的中心， 电势越高， 电场强度越 大， 电力线和等势线也越密。 ２．２ 点电荷的立体电力线和等势面 ２．２．１ 立 体 电 力 线 的 画 法 先 形 成 三 维 单 位 球 面 坐标， 绕 ｚ 轴一周有 ８ 条电力线 ［Ｘ，Ｙ，Ｚ］＝ｓｐｈｅｒｅ（８）， 每维都是 ９×９ 的网格矩阵， 将 Ｘ 化为行向量， 就形 成各条电力线的终点 ｘ 坐标 ｘ＝ｒ０=Ｘ（：）′， 其他两个坐
速凝固和理论物理教学．
射线的半径为（ 都取国际制单位） ｒ０＝０．１２， 不同的角 度用向量表示（ 单位为弧度） ｔｈ＝ｌｉｎｓｐａｃｅ（０，２=ｐｉ，１３）。
射 线 簇 的 终 点 的 直 角 坐 标 为 ： ［ｘ，ｙ］＝ｐｏｌ２ｃａｒｔ（ｔｈ， ｒ０）。插入 ｘ 的起始坐标 ｘ＝［ｘ； ０．１=ｘ］．同样插入 ｙ 的起 始坐标， ｙ＝［ｙ； ０．１=ｙ］， ｘ 和 ｙ 都是二维数组， 每一列是 一条射线的起始和终止坐标。用二维画线命令 ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ）就画出所有电力线。 ２．１．２ 平面等势线的画法 在过电荷的截面上， 等 势线就是以电荷为中心的圆簇， 用 ＭＡＴＬＡＢ 画等势 线更加简单。
ｒ１＝ｓｑｒｔ（（ｘ－ ａ）＾２＋ｙ＾２）B ｒ２＝ｓｑｒｔ（（ｘ＋ａ）＾２＋ｙ＾２）B ｄｘｄｙ ＝（ｑ１C （ｘ － ａ）Cｒ２＾３ ＋ｑ２C （ｘ ＋ａ）Cｒ１＾３） ／（ｑ１Cｒ２＾３ ＋ ｑ２Cｒ１＾３） ／ｙB 其中， 变量 ｄｘｄｙ 表示 ｘ 对 ｙ 的导数。电力线的 起点坐标为 ｘ０＝ａ＋ｒ０Cｃｏｓ（ｑ）， ｙ０＝ｒ０Cｓｉｎ（ｑ）； 用常微分 方 程函数可求一条电力线的坐标 ［ｙｙ，ｘｘ］＝ｏｄｅ４５（＇ ｆｕｎ１＇ ，［ｙ０：ｙｙ０ ／１００：ｙｙ０］， ｘ０，［］，ａ，ｑ１，ｑ２）B 函数中的参数有文件名和输入参数， 第一个方 括号中的数据表示自变量向量。 用相同的二维作图命令就能画出电力线。按规 律取起始角， 就能画出全部电力线。对于异种电荷， 电力线从正电荷发出， 终止于负电荷， 用极坐标和 ｏｄｅｆｉｌｅ 文件求电力线的坐标最简单（ 略） 。 ３．２ 点电荷对的立体电力线和等势线 ３．２．１ 立 体 电 力 线 的 画 法 立 体 电 力 线 是 平 面 电 力线绕 ｘ 轴旋转一定的角度形成的。在形成平面电 力 线 坐 标 之 后 ， 每 ４５ 度 设 置 角 度 向 量 ｔｈ＝０：ｐｉ ／４： ２Cｐｉ， 绕 ｘ 轴旋转后， ｘｘ 坐标的大小不变， 但要形成 由 角 度 向 量 大 小 决 定 的 坐 标 网 格 。 ＸＸ＝ｘｘ+ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ （ｔｈ））， ｙｙ 坐标旋转后， 形成两个新的坐标网格 ＹＹ＝ ｙｙCｃｏｓ （ｔｈ），ＺＺ＝ｙｙCｓｉｎ （ｔｈ）， 利 用 三 维 画 线 命 令 ｐｌｏｔ３ （ＸＸ，ＹＹ，ＺＺ）即可画出立体电力线。 ３．２．２ 立 体 等 势 面 的 画 法 如 果 获 得 平 面 等 势 线 的坐标 ｘｘ 和 ｙｙ， 可用画电力线的方法获得网格坐 标 ＸＸ、ＹＹ 和 ＺＺ， 用 曲 线 命 令 ｓｕｒｆ（ＸＸ，ＹＹ，ＺＺ）即 可 画出等势面； 角度向量要设置得多一些才能使曲面 光滑。过场点 Ｐ（ｘ，ｙ）的等势线与电力线是垂直的， 其 切线方向正好是电力线的法线方向， 因此在求出场 强 之 后 ， 等 势 线 的 终 点 坐 标 为 ｘ＝ｘ－ ｓ#Ｅｙ ／Ｅ，ｙ＝ｙ＋ ｓ#Ｅｘ ／Ｅ， 或 ｘ＝ｘ＋ｓ#Ｅｙ ／Ｅ，ｙ＝ｙ－ ｓ#Ｅｘ ／Ｅ。由此可求出平 面等势线的坐标。另外， 用常微分方程函数也能计 算出平面等势线的坐标。为了使不同的等势线之间 的电势差相同， 需要计算每条线的起点坐标（ 略） 。 等量异号点电荷的电力线和等势面如图 ６ 所 示， 只取曲面的一半， 等势面如同碗状。旋转图片可 展现不同形状， 俯视图如图 ７ 所示。等量同号点电 荷的电力线和等势面如图 ８ 所示， 只取半个曲面， 等势面如同花生的形状， 俯视图如图 ９ 所示。