开普勒定律在远距离自由落体运动中的应用

开普勒定律在远距离自由落体中的应用

罗纯一 浙江省温州中学 325014

远距离自由落体是指物体仅受星球引力，从离星球很远处由静止开始下落的运动。由于物体在下落过程中加速度并非恒量，匀变速运动的规律已经不适用，学生在求解有关下落时间、下落距离等问题时常感到困难，人们常用大学阶段积分的方法解决这类问题。事实上，利用开普勒定律，再结合极端分析方法，就能很好地解决远距离自由落体问题。本文结合实例，谈谈这种方法。

例1：一个质量大而体积小的星球，质量为M ，一物体从离该星球为r 的很远处由静止开始自由下落，求物体落到这个星球上需要经历多少时间？

分析：星球很小，可以看作质点。物体仅受星球引力作用下的运动轨道通常有三种可能的情况：（1）沿直线自由下落、（2）圆轨道、（3）椭圆轨道。物体在椭圆轨道上运动时，星球处于椭圆的一个焦点上，物体的运动规律满足开普勒第三定律：GM R

T 2324π=，其中T 为物体的公转周期，R 为半长轴，M 为星球质量。我们设想一个狭长的椭圆轨道，远地点即为物体开始下落的位置，此椭圆越扁，其两侧就越向物体自由下落的轨道靠拢，极端的情况是：当椭圆半短轴b=0时，两者就重合了。这样，就可以通过求物体沿上述椭圆轨道对应部分的时间来求物体自由下落的时间。

解：设物体下落时间t ，则物体绕星球公转周期2t ，椭圆半长轴r/2，由开普勒第三定律：GM r t 2324)

2/()2(π= ∴t=21GM r 232π

例2：根据某种假设，星球由星际物质（宇宙尘埃）在万有引力作用下而形成。试估算由密度为2×10-18g/cm3的宇宙尘埃组成的巨大云团到生成一个星球（可看作质点）需多少时间？

分析：如图，设生成星球的巨大云团为半径r 的球状体，则质量m 的尘埃A 从离球心r 处运动到球心o 所用时间即为生成星球所需时间。由于A 所受云团的万有引力与云团质量集中于o 点所成星球对A 的引力效果相同，故所求时间等于A 自由下落至o 的时间。 解：利用上题结果可知：GM r t 2324)

2/()2(π= t=21GM r 232π=213

32342r G r πρπ=21G ρπ83=4.7万年。 例3：一物体A 由离地面很远处向地球下落，落至地面上时，其速度恰等于第一宇宙速度。已知地球半径R =6400km ，物体在地球引力场中的引力势能Ep=-GMm/r （M 为地球质量，m 为物体的质量，r 为物体到地心的距离，取无限远处势能为零），若不计物体在运动过程中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。

分析：物体由离地心为r 的远处落向地面过程中机械能守恒：-GMm/r=21mv 2-GMm/R ，而第一宇宙速度v 1=R

GM ，代入上式，得r=2R ，故物体自离地面R 处开始下落。本例与例1、例2不同的是：地球不能看作质点。我们将物体的运动设想为沿长轴2R 、短轴2b 的狭长椭圆由A 下落至B ，其运动时间即为本题所求。

解：由于椭圆半长轴与地球半径相等，根据开普

勒第三定律，物体沿椭圆运动的公转周期即等于

卫星以第一宇宙速度环绕地球表面运转的周期T 0，

T 0=2πR/v 1=2πR GM R

,椭圆面积S 0=πab,可得面积

速度为 00T S =

R ab 2R GM

，从A 运动至B 的过程中，物

体与地心连线扫过的面积S=41πab+21

ab （如图），

所以物体下落的时间: t=00/T S S =(π+21)R GM R 。

参考文献：

《物理竞赛教程》 编著：彭大斌 （华东师范大学出版社）