高等等离子体物理

高等等离子体物理（一）线性理论

（研究生教材）

王晓钢

北京大学物理学院2009 年2 月

等离子体的流体理论

1.等离子体的流体描述

1.1 等离子体的双流体模型

1.2 Hall 磁流体（Hall-MHD ）模型

1.3 电子磁流体（E-MHD ）模型

1.4 理想磁流体力学（MHD）方程组

1.5 位力定理

1.6 变分原理

2.理想磁流体平衡

2.1磁场与磁面

2.2Z-箍缩与花箍缩

2.3一维平衡与螺旋箍缩

2.4Grad-Shafra no 方程

3.等离子体的理想磁流体稳定性3.1能量原理

3.2扭曲模与交换模

3.3 一维稳定性，直柱托卡马克

4.磁流体力学波

4.1线性磁流体（MHD ）方程

4.2非磁化等离子体中的磁流体波

4.3磁化等离子体中的磁流体波

5.均匀等离子体中的波（双流体理论）5.1 双流体模型

5.2 介电张量与色散关系

5.3 静电波简介

5.4准静电波与准电磁波

5.4电磁波简介

1.等离子体的流体描述

1.1等离子体的双流体模型

等离子体是由大量带电粒子组成的物质状态。一般意义上的等离子体由带正电

的离子和带负电的电子组成。由于带电粒子之间的Coulomb长程相互作用，等离

子体呈整体电中性，即总的正电荷与负电荷相等。因此，除特殊的非中性（一般是强耦合的）等离子体之外，我们可以用带负电的电子流体和带正电的离子流体组成的“双流体”模型来描述等离子体的宏观行为。这种近似牵涉到等离子体时空尺度的讨论，我们在后面将进一步详细论述。

基于流体力学的图像及其近似，或者从统计物理的分布函数及其满足的方程

（如Vlasov方程或者Fokker-Planek方程等，取决与碰撞项的形式，这里用类

Markov过程的碰撞项（f° - f）/ •三丫（f° - f））出发，我们得到“双流体”方程组：连续性方程（统计方程的零阶矩）

平' n：=0，（I-01）

:t

动量方程（力平衡方程，统计方程的一阶矩）

n：m「u：. U =

, u B ,

n:.q：. E n.m：m，（1-02）

- c

状态方程（对统计方程各阶矩的“不封闭链” （Hierarchy ）的一种截断）芒u -. 5 . 一u；（I-03）

-t

Coulomb 定律（Poisson 方程）

v E= 4八n：q：., （I-04）

Fayraday 定律 12B

c .t 这里:=i,e ;对〉类粒子来说：n ：.是粒子数密度, 荷，u ：.是流体速度，p ：. = n ：「.是理想气体近似下的分

压强；而’-:是〉类与1类 粒子之间的碰撞频率(当：•二：时为自碰撞)。E ， B ， J 则分别是电场强度、磁 感应强度、和等离子体电流密度。

关于状态方程，我们以后会进一步讨论。这里我们只是指出：参数 的取值决 定等离子体的状态，如等温(isothermal )状态对应卞';不可压缩状态对应 Y T 血；其它的Y 值对应“绝热”状态。

1.2 Hall 磁流体(Hall-MHD )模型

一般来说，双流体模型是描述等离子体宏观(大于粒子回旋半径的尺度)运

动的有力工具；在高频波段也可以应用，甚至在回旋半径的尺度上也可以得到一 些有用的结果。但是，由于电子与离子质量之间超过三个数量级的差别，在具体 计算双流体模型的时候，会遇到所谓“刚性”问题：即电子已经完全改变了运动 状态，离子还基本没有动！这使得我们在计算离子时空尺度下的物理问题时，耗

费大量的计算机时间。而且由于code 本身的精度，即使经过长时间运算看到了离 子的运动，其结果或者是看到了很强的数值不稳定性、或者是很难令人相信。而

Ampere 定律

J 丄兰 c c jt

(1-05)

Gaussion 定理 (I-06)

(I-07)

m 是粒子质量，q.是粒子电

的是所谓电子磁流体（Electron MHD ）模型。这个模型也是在电子和离子的运动

为了稳定code 引进的数值耗散，则往往带来人为的非物理的效应。 即使对纯理论 的解析推导，不仅过程繁杂，而且得到的物理图像也不清晰。所以我们经常引进

进一步的近似。

因为离子运动的时间尺度远远长于电子的时间尺度（通常在 40倍以上，对于 回旋运动来说则可以大于1840倍），所以我们在主要考虑离子运动时，可以认为 电子响应是“瞬时”的（instantaneously or simultaneously ）。这样，我们可以保

持其它方程不变，近似地把（1-02 ）中电子的质量趋于零，得到:

这里 =4>e /「2e 是所谓的“ Spitzer 电阻”。利用在“准电中性”近似n 「理下，

U e 二* - J /ae ，J = me u i - n e e% ：n e e u e 是等离子体电流，这个方程可以写为:

必须注意到：这里我们还用到了 u e …U j 的条件。明显地，u e - u i 要求电子运动

与离子运动的分离，即所谓Hall 效应。所以我们称这个近似模型为 Hall 磁流体模 型；这个方程则称为 Hall 磁流体的广义欧姆定律（Hall MHD Generalized Ohm ' s Law ）。方程中的JXB /n e ec 明显地就是我们在电磁学课程里熟知的 Hall 电场项。

1.3电子磁流体（E-MHD ）模型

而另一方面，我们在主要考虑电子运动时，可以认为离子响应是“无穷慢”

的，或者说离子可以看成是保持总体电中性的 “背景”。或者说，把离子看成是“稳

态”的（：：/：：t =0，但是可以有ui = 0 ）。将/ ：:t =0的近似带入离子的方程，得到 分离的情况下得到的，适用于比Hall MHD 模型更小的空间尺度和更快的时间尺度 的问题。 泌 - n °e u e ， n e e

(l-02e)

E Ur_B

c J B n e ec IPe n °e J 汉B (J 「n i e u i

): n ec