等离子体物理基础期末考试含答案

版权所有，违者必究！！中文版低温等离子体作业一. 氩等离子体密度103210n cm -=⨯, 电子温度 1.0e T eV =, 离子温度0.026i T eV =, 存在恒定均匀磁场B = 800 Gauss, 求 （1） 德拜半径；（2） 电子等离子体频率和离子等离子体频率； （3） 电子回旋频率和离子回旋频率； （4） 电子回旋半径和离子回旋半径。

解：1、1/2302()8.310()e iD e i T T mm T T neελ-==⨯+， 2、氩原子量为40，221/21/200()8.0,()29pe pi e ine ne GHz MHz m m ωωεε====，3、14,0.19e i e ieB eB GHz MHz m m Ω==Ω== 4、设粒子运动与磁场垂直24.210, 1.3e e i i ce ci m v m v r mm r mm qB qB -===⨯===二、一个长度为2L 的柱对称磁镜约束装置，沿轴线磁场分布为220()(1/)B z B z L =+，并满足空间缓变条件。

求：（1）带电粒子能被约束住需满足的条件。

（2）估计逃逸粒子占全部粒子的比例。

解：1、由B(z)分布，可以求出02m B B =，由磁矩守恒得22001122m mmv mv B B ⊥⊥=，即0m v ⊥⊥= （1） 当粒子能被约束时，由粒子能量守恒有0m v v ⊥≥，因此带电粒子能被约束住的条件是在磁镜中央，粒子速度满足002v v ⊥≥2、逃逸粒子百分比201sin 129.3%2P d d πθϕθθπ===⎰⎰ （2）三、 在高频电场0cos E E t ω=中，仅考虑电子与中性粒子的弹性碰撞，并且碰撞频率/t t ea ea v νλ=正比于速度。

求电子的速度分布函数，电子平均动能，并说明当t ea ων>>时，电子遵守麦克斯韦尔分布。

解：课件6.6节。

电子分布函数满足2200010220011cos 1()(())(1.1)32cos (1.2)t a ea e a t ea e f eE t T f v f v vf t m v v v v m v eE t f f f tm v ωκνων∂∂∂∂⎧-=+⎪∂∂∂∂⎪⎨∂∂⎪-=-⎪∂∂⎩因为0f 的弛豫时间远远大于1f 的弛豫时间，因此近似认为0f 不随时间改变，1f 具有ω的频率，即111120 (2.1)(,)()cos ()sin (2.2)f t f v t f v t f v t ωω∂⎧=⎪∂⎨⎪=+⎩(2.2)代入(1.2)中，得0011121112()cos ()sin cos ttea ea e eE df f f t f f t t m dvωνωωνωω+--= （3）对比cos t ω和sin t ω的系数，(3)解得000011122222,()()tea t t e ea e ea eE df eE df f f m dv m dvνωωνων==++ （4） (4)代入(1.1)得2222000222222((1cos 2)()sin 2())6t ea t t e ea ea e E v df df d d v t t m v dv dv dv dvνωωωωνων-++++ 20021(())2t a ea a T f v vf v v m vκν∂∂=+∂∂ （5） 对(5)求时间平均得22220000222221()(())62t t ea a ea t e ea a e E v df T f d v vf m v dv dv v v m v νκνων∂∂-=++∂∂ （6） 引入有效电场2220222()t eaefft ea E E νων=+代入(6)得 222200021()(())32eff t a ea t e ea a e E v df T f d v vf dv m dv v m vκνν∂∂-=+∂∂ （7）对(7)两端积分，得2200022203eff a t e ea a e E df T f vf m dv m vνκ∂++=∂ （8） 所以电子分布函数为 0222200exp()/3()ve t ae ea m vdvf A T e E m κων=-++⎰ （9） 其中A 为归一化系数，电子动能为4002()e e K m f v v dv π∞=⎰（10）当tea ων>>时，0222200exp()/3()ve t ae ea m vdvf A T e E m κων=-++⎰ 22200exp()/3ve ae m vdvA T e E m κω≈-+⎰222/23/202()e ,23e e m v T e e a e e m e E T T T m πκω-==+ （11） 为麦克斯韦分布。

四、设一长柱形放电室，放电由轴向电场维持，有均匀磁场沿着柱轴方向，求：（1）径向双极性电场和双极扩散系数；（2）电子和离子扩散系数相等时，磁场满足的条件； （3）当磁场满足什么条件时，双极性电场指向柱轴。

解：课件8.5节。

1、粒子定向速度u 满足 nu E D nμ⊥⊥⊥∇=- （1） 其中/c eB m ω=，211(/)c m m e m μωνν⊥=+，211(/)c m mTD m ωνν⊥=+。

双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，根据(1)，因此径向方向上有i i i i i nu nE D n μ⊥⊥⊥Γ==-∇e e e e e nE D n nu μ⊥⊥⊥=--∇==Γ （2） 解方程(2)得径向双极性电场i e i e D D nE nμμ⊥⊥⊥⊥-∇=+ （3）代入(2)得到e i i ei eD D n μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥+Γ=-∇+ （4）因此径向双极扩散系数为e i i ea i eD D D μμμμ⊥⊥⊥⊥⊥⊥⊥+=+。

2、电子和离子扩散系数分别为 211(/)i i i i i i T D m eB m νν⊥=+ 211(/)e e e e e e T D m eB m νν⊥==+ （5）解方程(5)得22()i i e e e i i i e e i i i e e em m T m T m e B m T m T νννννν-=- （6）注意到i e m m >>，因此磁场满足22i i e e eim m T B e T νν=。

3、双极性电场指向柱轴等价于22222222222222220i i i e e ei ei i e e i i e ei ei i e e T m T m D D m e B m e B n nE em em n n m e B m e B ννννννμμνν⊥⊥⊥⊥⊥--++∇∇==<++++ （7）当考虑,,i e e i i i e e m m T T T m T m >>>>>>时，(7)简化为2222i i e e e i i i m m T e B T m ννν< （8）(8)成立即双极性电场指向柱轴的条件是22i i e e eim m T B e T νν>。

五、如果温度梯度效应不能忽略, 推导无磁场时双极扩散系数和双极性电场。

解：粒子运动方程0m qnE p mn u ν-∇-= （1） 若等离子体温度有梯度，即p T n n T ∇=∇+∇，有m m m q T n T T u E m m n m Tννν∇∇=-- （2） 即/nu nE D n Dn T T μΓ==-∇-∇ （3） 其中,m mq TD m m μνν==。

双极性扩散中，电子密度等于离子密度，电子通量等于离子通量，因此有//i i i i e e e e nE D n D n T T nE D n D n T T μμΓ=-∇-∇=--∇-∇=Γ （4） 由方程（4）解得双极性电场满足 i e i e i e i e D D D D n TE n Tμμμμ--∇∇=+++ （5）将（5）带入（4），得 /e i i e e i i ei e i e i eD D D D n n T T μμμμμμμμ++Γ=Γ=-∇-∇++ （6）因此双极性扩散系数为e i i ea i eD D D μμμμ+=+。

六、推导出无碰撞鞘层Child 定律和玻姆鞘层判据。

解：课件9.1节。

在无碰撞鞘层中作如下假设：电子具有麦克斯韦分布；离子温度为0K ；等离子体-鞘层边界处坐标为0，电场电势为0，此处电子离子密度相等，离子速度为s u 。

根据粒子能量守恒得221122s Mu Mu e φ=- （1） 根据粒子通量守恒得i s s n u n u = （2） 解得，1/222(1)i s se n n Mu -Φ=-。

电子满足玻尔兹曼分布/e T e s n n e Φ=，带入泊松方程得 2/1/22201((1/)),2T s s s s en d e eE Mu dx εΦ-Φ=--ΦE = （3） 上式两端乘d dx Φ并对x 积分，注意有00|0,|0x x d dx==ΦΦ==，得/1/2()((1/))T s s en d d d d dx e dx dx dx dx dx εΦ-ΦΦΦ=--ΦE ⎰⎰2/1/201()(2(1/)2)2T s s s s en d Te T E E dx εΦΦ=-+-ΦE - （4） （4）要保证右端为正，当||0Φ>>时显然成立。

当||Φ较小时，对其线形展开得，22221124se e T E ΦΦ≥化简得玻姆鞘层判据1/2()s B eT u u M≥=。

当阴极鞘层的负偏压较大时，/0eT e s n n e Φ=≈，s E <<Φ，此时（4）近似等于21/21/2012()2()()2s s en u d e dx Mε-Φ=-Φ （5） 记0s s J en u =，（5）两边开方再积分，注意边界条件00|0,|0x x d dx==ΦΦ==得 3/41/21/40032()()()2J e x Mε--Φ=（6） （6）中带入边界条件0()s V Φ=-，化简得无碰撞鞘层Child 定律3/21/2000242()9V e J M s ε=七、设一无碰撞朗谬尔鞘层厚度为S ，电压为V ，证明：一个初始能量为零的离子穿过鞘层到达极板所需时间为03/t s v =，这里1/20(2/)v eV m =。

解：朗缪尔鞘层中电势的分布为 3/41/21/4032()()2J e x mε---Φ=（1） Child 定律为3/21/20242()9e V J m sε=，带入（1）得鞘层电势分布满足 4/3()xV sΦ=- （2）由粒子能量守恒得212mv e =-Φ （3） 带入得（2），化简得2/30()dx xv v dt s== （4） 对于方程(4)将含x 项移到左边，两边乘dt 再积分，注意到初始条件0|0t x ==，得2/31/33s x t v = （5） 当粒子到达极板时，有x s =，带入（5）得03/t s v =八、 一个截面为正方形（边长为a ）长方体放电容器内，纵向电场维持了定态等离子体，设直接电离项为i nn tδνδ=，并忽略温度梯度效应，求： （1）在截面内等离子体密度分布和电离平衡条件：（2）设纵向电流密度为e j en E μ=，给出穿过放电室截面的总电流表达式。