第11章 偏微分方程和数值方法

11.1.2 物理意义
一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了怎样的一种现象呢？鉴于它最初的来 源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们理 解这个方程将提供足够的洞察力。 根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处 向低温处传递，这被称为“热传导”现象。现在假定存在一导热物体，它在 3 维空间占据 边界面为 ∂G ， 我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温 的区域为 G ， 度函数 u ( x, y, z , t ) 表示该物体在 t 时刻和 ( x, y, z ) 位置的温度，我们来建立该温度函数需要满 足的关系式①。 。根据热量 设想从物体 G 内任意割取一个由光滑曲面 L 所围成的区域 D （见图 11-1） 守恒定律， D 内各点的温度由任一时刻 t1 的 u ( x, y, z , t1 ) 改变为 t 2 时刻的 u ( x, y, z, t 2 ) 所吸收 （或释放）的热量 Q ，应当等于从 t1 到 t 2 时间内通过 L 进入（或流出） D 内的热量 Q1 和 D 内热源提供的热量 Q2 的总和。
Q1 = − ∫
t2 t1
∂u dS dt ∫∫ k n ∂ L
（11-7）
・535・
微观金融学及其数学基础
应用奥斯托洛夫斯基-高斯（Ostrowski—Gauss）公式于上式中的曲面积分①，有
t2 ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u + k dV dt = 0 Q1 = ∫ ∫∫∫ k + k t1 D ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
（11-5）
（2）通过 L 进入 D 的热量 Q1 。这里要使用热物理中的傅里叶（Fourier）热传导定律。 该定律证明了：在无穷小时间间隔 dt 内通过一个法矢量为 n 的无穷小曲面 dS，流向 n 所指 那一侧的热量为：
dQ = − k ( x , y , z ) ∂u dSdt ∂n
（11-6）
1
t2

∂u

t2

∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u

D
1
D
+∫
t2 t1
∫∫∫ F ( x, y , z , t )dV dt D
（11-11）
即
∫t ∫∫∫ cρ − k − k − k − F ( x, y , z , t ) d V d t = 0 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
Af SS + Bf St + Cf tt + Df S + Ef t + Ff = G
（11-1）
该方程有这样几个特征： （1）它（被称为）是二阶的，因为（如果）它的最高阶是 （2）它（被称为）是齐次的，因为（如果） G ( S , t ) = 0 ； （3）它（被称为）是线性的，因为（如果）A、B、C、D 这些系数只是自变量 S 和 t 的 函数。 二阶线性偏微分方程有不少类别，数学上对二阶线性偏微分方程的最重要的分类方式 受到解析几何中对二次曲线：
n
G D L
图 11-1
热量在物体内部的传导
①
以下分析均假定 u 对 x，y，x 具有二阶连续偏导数，对 t 具有一阶连续偏导数。
・534・
第 11 章
偏微分方程和数值方法
下面我们分别决定这些热量，首先是: （1） D 内温度改变所需要的热量 Q 。假定物体的比热（使单位质量的物体温度改变 1 摄氏度所需要的热量）为 c( x, y, z ) ，密度为 ρ ( x, y, z ) 。那么根据物理中的实验规律，无穷小 体积
（11-8）
（3）最后是热源提供的热量 Q2 。物体内部可能存在热源，令物体内的热源密度（即 单位时间从单位体积内放出的热量）为 F ( x, y, z , t ) > 0 ，则在时间 [t1 , t 2 ] 内物体热源所产生 的热量为：
Q2 = ∫
t2 t1
∫∫∫ F ( x, y, z , t )dV dt D
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第 11 章
偏微分方程和数值方法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 + f ( x, y, z , t ) ∂t
（11-14）
其中 f = F / cρ 。在没有热源的情况下，就是说 F ( x, y, z, t ) = 0 ，上述方程可以进一步简 化为齐次方程：
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微观金融学及其数学基础
（3）如果 B 2 − 4 AC < 0 ，则称之为椭圆型（elliptic）偏微分方程。 对于布莱克-休尔斯方程，因为有：
A = 1 / 2σ 2 S 2 B=C =G=0 D = rS
E = 1, F = −r
而且
B 2 − 4 AC = 0
所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。听上去相当 复杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解 它的一般方法。
第 11 章
偏微分方程和数值方法
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型； 了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义； 理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义； 熟悉傅里叶变换方法及其主要性质； 熟悉用傅里叶积分变换来求热传导方程； 掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程； 了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点； 掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程， 并理解扩散过程和数学期望之间的联系； 掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系； 了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法； 掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术。 完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨而耗费时日的工作。 幸运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一 个很小的类别——二阶线性偏微分方程。因此这一章的设计思想（用软件行业的术语来说） 是完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。 我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热 物理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。然后使用经典的傅里叶变换（Fourier transform） 技术来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯（1973）的方法 求解布莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。但是由于获得解析解的机会并不多，因此我
1
t2


∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
∂ ∂u


（11-12）
V
由于时间间隔 [t1 , t 2 ] 以及区域 D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在 任意时刻，该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于 0。所以在我们所考察的空间范 围和时间范围内恒有：
a 2 = k / cρ
则上述方程简化为：
① ②
该公式又称为散度定理（divergence theorem） ，见《数学百科辞典》 （1984） ，p689。 分子在介质中的扩散，其浓度 u 就满足该方程，因此有时也称它为扩散方程（diffusion equation） ，请注意它与我们前面接触 到的随机微分方程形式的扩散过程的区别，但是它们之间确实存在密切的联系，后面的分析会揭示这种联系。
第 11 章
偏微分方程和数值方法
们要学习偏微分方程的数值解法（numerical method）——有限差分方法（finite difference method） 。此外，根据风险中性定价原理和费曼-卡茨（Feynman-Kac）理论，布莱克-休尔 斯方程还有一种概率解。但是获得这种概率解同样需要一种被称为蒙特卡罗的数值方法， 因此本章最后我们要考察这日益重要的种计算机模拟（simulation）技术。
11.1
11.1.1 基本概念
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绍
我们在第 4、9、10 章中都见到过著名的布莱克-休尔斯方程：
∂f ∂f 1 2 2 ∂ 2 f − rf = 0 + σ S + rS 2 ∂S ∂t 2 ∂S
其中 S 是某种基础产品的价格， r 是无风险收益率， t 是时间，σ 是 S 的波动率， f 则 是基于 S 的衍生产品的价格。这个偏微分方程包含了衍生产品价格运动信息，是对所有基 础产品和基于它的衍生产品之间相对价格运动形式的高度概括。 它在金融理论中的重要性， 怎样强调都不过分。 就其本身而言，这是一个有着两个自变量的偏微分方程，这种偏微分方程的更一般形 式为：
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
∂2f ； ∂S 2
的分类方法的启发。 我们知道根据上面曲线方程的系数可以判断二次曲线的形状究竟是双曲线、抛物线或 者椭圆。类似的在这里，方程（11-1）中： （1）如果 B 2 − 4 AC > 0 ，就称之为双曲型（hyperbolic）偏微分方程； （2）如果 B 2 − 4 AC = 0 ，则称之为抛物型（parabolic）偏微分方程；
dV = dxdydz
的温度由 u ( x, y, z , t1 ) 升高到 u ( x, y, z, t 2 ) 所需要的热量 dQ 为：
dQ = cρ [u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
（11-2）
整个 D 由于温度改变需要的热量是：
Q = ∫∫∫ cρ[u ( x, y, z , t1 ) − u ( x, y, z , t 2 )]dV
（11-9）
根据热量守恒定律应有：
Q = Q1 + Q2
（11-10）
把上面 3 种热量代入守恒定律就有：
dt = ∫ ∫∫∫ k + ∫t ∫∫∫ cρ ∂t dV k + k dV dt t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u = a2 ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 ∂t
（11-15）
如果该物体是一长度为 l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为：
cρ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = k + k + F ( x, y , z , t ) + k ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
（11-13）
这就是温度函数应当满足的偏微分方程，物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次 热传导方程②。如果物体是均质的，则 k ， c 和 ρ 均为常数，令
D
（11-3）
根据牛顿-莱布尼兹公式
u ( x, y, z , t 2 ) − u ( x, y , z , t1 ) = ∫
t2 t1
∂u dt ∂t
（11-4）
前式可以改写为
Q = ∫∫∫ cρ ∫
D t2 t1
t2 ∂u ∂u dtdV = ∫ ∫∫∫ cρ dV dt t1 ∂t ∂t D
其中 k ( x, y, z ) 是该物体在点 ( x, y, z ) 处的热传导系数。它恒为正，数值大小取决于组成 物体的材料的性质； n 是曲面的外法线， ∂u / ∂n 是温度函数在 ( x, y, z ) 处沿外法线 n 的方向 导数。我们规定 n 所指的那一侧为 dS 的正侧，因此该式表示了在 dt 时间内从 dS 的负侧流 向正侧的热量。之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度 高的一侧流向温度低的一侧。 设在其上确定了一连续变动的单位外法线 n ， 则在两个时刻 t1 现考虑光滑封闭曲面 L ， 和 t 2 内，经由该物体内任意封闭曲面 L 进入 D 的热量为：