现代结构分析方法-4a
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• 立方晶系中，相同指数的晶向和晶面垂直；
Y • 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； Z • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Y
X
画出晶面 （321）
cr
ar
r b
（200）、（333）等是否存在？ 具有公因子的晶面不存在
在体心点阵上画出晶面 （200）
cr
ar
r b
14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同 “的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够 反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这 14种空间点阵也称布拉菲点阵。
三斜：简单三斜 a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
晶体结构和空间点阵的区别
γ-Fe, fcc
c
b a
Cu3Au, simple cubic
1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以
用示O矢。P量= 或uar者+坐v标br来+ w表cr
r b
C
I
F
单胞体积=用来定义单胞的基础矢量的行列式值
为什么不存在 六方晶系的底 心点阵？
a2 a1
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构是无限的。
简单菱方和简单六方的关系
初基六角点阵
菱方体点阵作为非初基六角点阵
四方：简单四方 体心四方
a = b ≠ c,
FÆI
α = β = γ = 90o
立方：简单立方
体心立方 a = b = c,
面心立方
α = β = γ = 90o
cr
ar
r b
简单单胞
复合单胞
cr
ar
r b
cr
ar
r b
cr
ar
晶体学基础
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地周期性重复排列； 非晶体：原子无规则排列。
晶体中原子排列的作用
原子排列
组织
性能
研究固态物质的内部结构，即原子排列和分布规律是 了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发 展新材料的途径。
1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在空间 呈周期性重复排列，即存在长程有序
晶向指数：[ u v w]
晶向指数的例子
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反；
晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向 族，用<u v w>表示
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相 同；
c
a
b zx y
1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在三维 空间呈周期性重复排列，即存在长程有序
1.1 空间点阵和晶胞
阵点 为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际
晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质 点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。
空间点阵 晶胞
单斜：简单单斜 底心单斜
a ≠ b ≠ c,
α = γ = 90o ≠ β
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90o
六方：简单六方
a1 = a2 = a3 ≠ c, α = β = 90o ,γ = 120o
菱方：简单菱方
a = b = c, α = β = γ ≠ 90o
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围 环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点 阵，简称点阵。
具有代表性的基本单元（最小平行六 面体）作为点阵的组成单元，称为 晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就 构成了空间点阵。
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值；
3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；
平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；
当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最 多；
当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量
abcr, ,
r r r 点阵常数：a, b, c 棱边夹角α, β, γ a c b 点阵矢量：
（102）
Y
（111）
（321）
X
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z XZ X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相互 平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。
(h3 k3 l3)
(h2 k2 l2)
cr
ar
r b
020 (130)
r
ar b
[0 0 1]
(110) (200)
（100） 、 （111） ，（220）晶面是否存在？ 要求指数和为偶数; 选最低指数
在面心点阵上画出晶面 （111），（200），（220）
cr
ar
r b
（100），（110）， （222）晶面是否存在？ 同奇同偶
晶面指数确定了晶面的位向和间距。
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
晶面间距
正交晶系 立方晶系 六方晶系
dhkl =
1
⎛ ⎜⎝
h a
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
k b
⎞2 ⎟⎠
+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎛ ⎜⎝
l c
⎞2 ⎟⎠
dhkl =
a h2 + k2 + l2
dhkl =
1
4 3
⎛ ⎜ ⎝
h2
+
hk a2
+
k
2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎝
l c
⎞2 ⎟⎠
晶 带 所有平行或相交于同一直线的晶面构成一
个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的 晶面称为晶带面（共带面）。
[u v w]
hu + kv + lw = 0
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2)
晶带轴 [u v w]
h1k1l1
u : v : w = k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2
Y • 立方晶系中，晶面族{111}表示正八面体的面； Z • 立方晶系中，晶面族{110}表示正十二面体的面；
Y
X
画出晶面 （321）
cr
ar
r b
（200）、（333）等是否存在？ 具有公因子的晶面不存在
在体心点阵上画出晶面 （200）
cr
ar
r b
14种布拉菲点阵
根据6个点阵参数间的相互关系，可将全部空间点阵归属 于7种类型，即7个晶系。按照“每个阵点的周围环境相同 “的要求，布拉菲（Bravais A．）用数学方法推导出能够 反映空间点阵全部特征的单位平行六面体只有14种，这 14种空间点阵也称布拉菲点阵。
三斜：简单三斜 a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90o
晶体结构和空间点阵的区别
γ-Fe, fcc
c
b a
Cu3Au, simple cubic
1.2 晶向指数和晶面指数
晶向：晶体中原子的位置、原子列 的方向 晶面：阵点构成的平面 Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
•晶向指数
任意阵点P的位置可以
用示O矢。P量= 或uar者+坐v标br来+ w表cr
r b
C
I
F
单胞体积=用来定义单胞的基础矢量的行列式值
为什么不存在 六方晶系的底 心点阵？
a2 a1
晶体结构和空间点阵的区别
空间点阵是晶体中质点排列的几何学抽象，用以描 述和分析晶体结构的周期性和对称性，由于各阵点 的周围环境相同，它只能有14种类型
晶体结构则是晶体中实际质点（原子、离子或分子） 的具体排列情况，它们能组成各种类型的排列，因 此，实际存在的晶体结构是无限的。
简单菱方和简单六方的关系
初基六角点阵
菱方体点阵作为非初基六角点阵
四方：简单四方 体心四方
a = b ≠ c,
FÆI
α = β = γ = 90o
立方：简单立方
体心立方 a = b = c,
面心立方
α = β = γ = 90o
cr
ar
r b
简单单胞
复合单胞
cr
ar
r b
cr
ar
r b
cr
ar
晶体学基础
物质：气态，液态，固态 固态物质：晶体，非晶体
晶体：原子在空间呈有规则地周期性重复排列； 非晶体：原子无规则排列。
晶体中原子排列的作用
原子排列
组织
性能
研究固态物质的内部结构，即原子排列和分布规律是 了解掌握材料性能的基础，才能从内部找到改善和发 展新材料的途径。
1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在空间 呈周期性重复排列，即存在长程有序
晶向指数：[ u v w]
晶向指数的例子
正交晶系一些重要晶向的晶向指数
晶向指数的意义
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向； 所指方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反；
晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向 族，用<u v w>表示
晶面指数
晶面指数标定步骤：
1)在点阵中设定参考坐标系，设置方法与确定晶向指数时相 同；
c
a
b zx y
1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子）在三维 空间呈周期性重复排列，即存在长程有序
1.1 空间点阵和晶胞
阵点 为了便于分析研究晶体中质点的排列规律性，可先将实际
晶体结构看成完整无缺的理想晶体并简化，将其中每个质 点抽象为规则排列于空间的几何点，称之为阵点。
空间点阵 晶胞
单斜：简单单斜 底心单斜
a ≠ b ≠ c,
α = γ = 90o ≠ β
正交：简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
a ≠ b ≠ c,
α = β = γ = 90o
六方：简单六方
a1 = a2 = a3 ≠ c, α = β = 90o ,γ = 120o
菱方：简单菱方
a = b = c, α = β = γ ≠ 90o
这些阵点在空间呈周期性规则排列并具有完全相同的周围 环境，这种由它们在三维空间规则排列的阵列称为空间点 阵，简称点阵。
具有代表性的基本单元（最小平行六 面体）作为点阵的组成单元，称为 晶胞。将晶胞作三维的重复堆砌就 构成了空间点阵。
晶胞选取的原则
同一空间点阵可因选取方式不同而得到不相同的晶胞
晶胞选取的原则
2)求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平行， 则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，则在 此轴上截距为一负值；
3)取各截距的倒数；
4)将三倒数化为互质的整数比，并加上圆括号，即表示该晶面 的指数，记为( h k l )。
晶面指数的例子
Z
（010）
（100）
（120）
选取的平行六面体应反映出点阵的最高对称性；
平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；
当平行六面体的棱边夹角存在直角时，直角数目应最 多；
当满足上述条件的情况下，晶胞应具有最小的体积。
晶胞、晶轴和点阵矢量
abcr, ,
r r r 点阵常数：a, b, c 棱边夹角α, β, γ a c b 点阵矢量：
（102）
Y
（111）
（321）
X
正交点阵中一些晶面的面指数
晶面指数的意义
Z XZ X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一组相互 平行的晶面。 在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同， Y只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以 {h k l}表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面 的总和。
(h3 k3 l3)
(h2 k2 l2)
cr
ar
r b
020 (130)
r
ar b
[0 0 1]
(110) (200)
（100） 、 （111） ，（220）晶面是否存在？ 要求指数和为偶数; 选最低指数
在面心点阵上画出晶面 （111），（200），（220）
cr
ar
r b
（100），（110）， （222）晶面是否存在？ 同奇同偶
晶面指数确定了晶面的位向和间距。
由晶面指数求面间距dhkl
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小
晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
晶面间距
正交晶系 立方晶系 六方晶系
dhkl =
1
⎛ ⎜⎝
h a
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
k b
⎞2 ⎟⎠
+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
⎛ ⎜⎝
l c
⎞2 ⎟⎠
dhkl =
a h2 + k2 + l2
dhkl =
1
4 3
⎛ ⎜ ⎝
h2
+
hk a2
+
k
2
⎞2 ⎟ ⎠
+
⎛ ⎜⎝
l c
⎞2 ⎟⎠
晶 带 所有平行或相交于同一直线的晶面构成一
个晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的 晶面称为晶带面（共带面）。
[u v w]
hu + kv + lw = 0
晶面1 (h1 k1 l1) 晶面2 (h2 k2 l2)
晶带轴 [u v w]
h1k1l1
u : v : w = k1 l1 : l1 h1 : h1 k1 k2 l2 l2 h2 h2 k2