小学奥数因数与倍数
因数倍数-小学奥数
因数倍数一、要点提示整数a除以整数b（b≠0），所除得的商正好是整数，而没有余数，我们就说a能够被b整除，或者说b能整除a，而a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小的公倍数。
公因数和公倍数，特别是最大公因数和最小公倍数，不同于一般题目的解法，学习并掌握其规律和解法，有助于我们开阔眼界，在思考问题是更机智、灵活。
需要用公因数、公倍数来解答的应用题叫做公因数。
公倍数问题。
解题思路和方法：先确定题目中要用最大公因数或者最小公倍数，再求出答案。
最大公因数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。
二、题型点击1、一个四位数的每个数位上的数字都不相同，它既能被9整除又能被7整除，这样的四位数最大是多少？2、在1的内一次填上哪些数，可以使这个数成为能被2,3,5整除的最小四位数？3、有72名学生，共交课间餐费a527b元，每人交了多少元？4、在568后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3,4,5整除，且使这个数值尽可能小。
求这个六位数？5、现在有四个自然数，它们的和是1111，如果要求这四个数的最大公因数尽可能大，那么这四个数的最大公因数最大可能是多少？6、在1,2,3，…，1998这1998个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有（）个。
7、一个六位数，首位数是1，把首位数移到末位，使新的六位数是原数的3倍，则原数是（）。
8、一个六位数的各位数字都不相同，最左边一个数字是3，且此六位数是11的倍数，这样的六位数中的最小数是（）。
9、把1,2,3，…，10个自然数围成一个圆（如图），使得任意相邻的两个数的和都是小于15的素数。
这个10个数依次是1,2，__，__，__，__，__，__，__，10。
10、倩倩到商店买了6块橡皮，5支铅笔，3本练习本和7支圆珠笔，已知每支铅笔1角8分，每支圆珠笔4角5分，倩倩给售货员10元，售货员找给倩倩5.1元。
小学奥数数论专题--因数与倍数(六年级)竞赛测试.doc
小学奥数数论专题--因数与倍数（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________一、xx 题 （每空xx 分，共xx 分） 【题文】数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?【答案】24，1170【解析】360分解质因数；360＝2×2×2×3×3×5＝23×32×5；360的约数可以且只能是2a×3b×5c，(其中a ，b ，c 均是整数，且a 为0～3，b 为0～2，c 为0～1) ． 因为a 、b 、c 的取值是相互独立的，由计数问题的乘法原理知，约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)＝24． 我们先只改动关于质因数3的约数，可以是1，3，32，它们的和为(1+3+32)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数2的约数，可以是1，2，22，23，它们的和为(1+2+22+23)；所以所有360约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数5的约数，可以是1，5，它们的和为(1+5)；所以所有360的约数的和为(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5)．现在，我们计算出值了：13×15×6＝1170．所以，360所有约数的和为1170．评注：我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法．下面我们给出一般结论：Ⅰ．一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)Ⅱ．约数的和是在严格分解质因数后，将M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000＝23×3×53×7，所以21000所有约数的和为(1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)＝74880．【题文】一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?【答案】96【解析】设这个数为A ，有A ＝25×33×56×7，我们可以一一列出它所有的两位数的约数，有25×3＝96为其最大的两位数约数．【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．【答案】361，400，441，484，529，576，625【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积．如：1400严格分解质因数后为23×52×7，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24个．(包括1和它自身)如果某个自然数有奇数个约数，那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个，这样它们加1后均是奇数，所得的乘积还能是奇数．而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数．即完全平方数(除0外)有奇数个约数，反过来，有奇数个约数的数一定是完全平方数．由以上分析知，我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数？18×18＝324，19×19＝361，25×25＝625，26×26＝676，所以在360～630之间的完全平方数为192，202，212，222，232，242，252．即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361，400，441，484，529，576，625．【题文】今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?【答案】14【解析】显然堆数是42的约数，是112的约数，是70的约数．即为42，112，70的公约数，有(42，112，70)＝14．所以，最多可以分成14堆．【题文】加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?【答案】10【解析】为了使生产均衡，则每道工序每小时产生的零件个数应相等，设第一、二、三道工序上分别有A、B、C个工人，有6A＝10B＝15C＝k，那么k的最小值为6，10，15的最小公倍数，即[6，10，15]＝30．所以A＝5，B＝3，C＝2，则三道工序最少共需要5+3+2＝10名工人．【题文】有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米．如果3个人同时同向，从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟之后，3人又可以相聚?【答案】30【解析】设在x分钟后3人再次相聚，有甲走了120x米，乙走了100x米，丙走了70x米，有他们3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即120x－100x，120x－70x，100x－70x均是300的倍数，那么300就是20x，50x，30x的公约数．有(20x，50x，30x)＝300，而(20x，50x，30x)＝x(20，50，30)＝10x，所以x＝30．即在30分钟后，3人又可以相聚．【题文】 3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步．开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长千米，中圈跑道长千米，外圈跑道长千米．甲每小时跑千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米．问他们同时出发，几小时后，3人第一次同时回到出发点?【答案】6【解析】甲跑完一圈需÷＝小时，乙跑一圈需÷4＝小时，丙跑一圈需÷5＝．则他们同时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的倍数，即它们的公倍数．而＝＝＝6．所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点．评注：求一组分数的最小公倍数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最小公倍数作为新分数的分子，将分母的最大公约数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数，先将这些分数化为最简分数，将分子的最大公约数作为新分数的分子，将分母的最小公倍数作为新分数的分母，这样得到的新分数即为所求的最大公约数．【题文】甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．如果甲数是18，那么乙数是多少?【答案】30【解析】有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积．有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为6×90＝540，则乙数为540÷18＝30．【题文】 A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?【答案】2550【解析】由题意知A可以写成3×52×a，B可以写成3×52×b，其中a、b为整数且只含质因子3、5．即A＝31+x×52+y，B＝31+m×52+n，其中x、y、m、n均为自然数(可以为0)由A有12个约数，所以[(1+x)+1]×[(2+y)+1]＝(2+x)×(3+y)＝12，所以，或．对应A为31+2×52＝675，31+1×52+1＝1125，或31+0×52+4＝46875；由B有10个约数，所以[(1+m)+1]×[(2+n)+1]＝(2+m)×(3+n)＝10，所以．对应B为31+0×52+2＝1875．只有(675，1875)＝75，所以A＝675，B＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．解法二：易知A、B中有一个数质因数中出现了两次5，多于一次3，那么，先假设它出现了N次3，则约数有：(2+1)×(N+1)＝3·(N+1)个12与10其中只有12是3的倍数，所以3(N+1)＝12，易知N＝3，这个数是A，即A＝33×52＝675．那么B的质数中出现了一次3，多于两次5，则出现了M次5，则有：(1+1)×(M+1)＝2(M+1)＝10，M＝4．B ＝3×54＝1875．那么A，B两数的和为675+1875＝2550．【题文】有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?【答案】33【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=297．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=693，且(q1,q2)=1.………②综合①、②知(a，b)是297，693的公约数，而(297，693)＝99，所以(a，b)可以是99，33，11，9，3，1．第一种情况：(a，b)＝99，则(q1+q2)＝3，(q1q2+1)＝7，即q1q2＝6＝2×3，无满足条件的q1，q2；第二种情况：(a，b)＝33，则(q1+q2)＝9，(q1q2+1)＝21，即q1q2＝20＝22×5，则q1＝5，q2＝4时满足，a＝(a,b)q1＝33×5＝165，b＝(a,b)q2＝33×4＝132，则a-b＝165－132＝33；第三种情况：(a，b)＝11，则(q1+q2)＝27，(q1q2+1)＝63，即q1q2＝62＝2×31，无满足条件的q1，q2；一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的的q1，q2．所以，这个两个自然数的差为33．【题文】两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?【答案】10【解析】设这两数为a，b，记a=(a,b)q1，b=(a,b)q2．它们的和为：a+b＝(a,b)q1+(a,b)q2 =(a,b)(q1+q2)=60．…………………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]＋(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)＝(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1.………②联立①、②有(q1+q2)= (q1q2+1)，即q1+q2-q1q2=1，(q1-1)(1-q2)=0，所以q1＝1或q2＝1．即说明一个数是另一个数的倍数，不妨记a＝kb(k为非零整数)，有，即(k+1)b＝60，b确定，则k确定，则kb即a确定．60的约数有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60这11个，b可以等于2，3，4，5，6，10，12，15，20，30这10个数，除了60，因为如果b＝60，则(k+1)＝1，而k为非零整数．对应的a、b有10组可能的值，即这样的自然数有10组．进一步，列出有(a,b)为(58，2)，(57，3)，(56，4)，(55，5)，(54，6)，(50，10)，(48，12)，(45，15)，(40，20)，(30，30) ．评注：如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．【题文】3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?【答案】81【解析】当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当a，a+1，a+2中有2个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828×2，当a，a+1，a+2中有1个偶数时，a(a+1)(a+2)＝9828．对9828分解质因数：9828＝2×2×3×3×3×7×13，我们注意，13是其最大的质因数，验证不存在3个连续的自然数的积为9828．则这三个自然数的积只能是9828×2，此时这三个数中存在两个偶数，有9828×2＝2×2×2×3×3×3×7×13．13×2＝26，有26，27，28三个数的积为9828×2，所以这三个连续的自然数数为26，27，28，其中有两个偶数，满足题意．所以，这三个数的和为26+27+28＝81．评注：我们知道两个连续的自然数互质，而两个互质的数的公倍数等于它们的积，即[a,b]＝a×b．记这3个连续的自然数为a，a+1，a+2．有[a,a+1,a+2]＝[a,a+1,a+1,a+2]＝[[a,a+1],[a+1,a+2]]＝[a×(a+1),(a+1)×(a+2)]＝(a+1)×[a,a+2] ．因为a，a+2同奇同偶，当a，a+2均是偶数时，a，a+2的最大公约数为2，则它们的最小公倍数为；当a，a+2均是奇数时，a，a+2互质，则它们的最小公倍数为a×(a+2) ．所以(a+1)×[a,a+2]＝．即[a,a+1,a+2]为a(a+1)(a+2)或．当三个连续的自然数中存在两个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；当三个连续的自然数中只存在一个偶数，那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．【题文】甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?【答案】18【解析】对90分解质因数：90＝2×3×3×5．因为5126，所以5甲，即甲中不含因数5，于是乙必含因数5．因为2105，所以2乙，即乙中不含因数2，于是甲必含因数2×2．因为9105，所以9乙，即乙最多含有一个因数3．第一种情况：当乙只含一个因数3时，乙＝3×5＝15，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18；第二种情况：当乙不含因数3时，乙＝5，由[甲，乙]＝90＝2×32×5，则甲＝2×32＝18．综上所需，甲为18．评注：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的最大值．如a＝2×33×52×7，b＝23×32×5×7×11，则A、B的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为a、b中含有此质因子较多的那个数的个数．即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，即[a,b]＝23×33×52×7×11．【题文】 a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?【答案】105【解析】由(a，b)＝75＝3×52，[a，b]＝450＝32×2×52＝75×3×2，又a>b，所以或．[b，c]＝1050＝2×3×52×7．当时有，因为两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积，所以(75，c)×[75，c]＝75×c＝15×1050，得c＝210，但是c＞b，不满足；当时有，则c＝105，c＜b，满足，即为满足条件的唯一解．那么c是105．【题文】有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?【答案】101【解析】设这4个不同的自然数为A、B、C、D，有A+B+C+D＝1111．将1111分解质因数：1111＝11×101，显然A、B、C、D的最大公约数最大可能为101，记此时A＝101a，B ＝101b，C＝101c，D＝101d，有a+b+c+d＝11，当a+b+c+d＝1+2+3+5时满足，即这4个数的公约数可以取到101．综上所述，这4个不同的自然数，它们的最大公约数最大能是101．【题文】把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？【答案】63【解析】要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数．由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数．1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，，长方形纸块的面积为 (平方厘米)，正方形纸块的面积为 (平方厘米)，共可裁成正方形纸块 (张)．【题文】一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？【答案】165【解析】要使方砖正好铺满地面，房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．，，共需 (块).【题文】有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？【答案】苹果8 个，桔子6个，梨5个．【解析】此题本质上也是要求出这三种水果的最大公约数，有, 即可以分42份，每份中有苹果8 个，桔子6个，梨5个．【题文】把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？【答案】9【解析】此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．【题文】教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？【答案】8,6,5【解析】因为，，，，所以最多可分40份，每份中有8个苹果6个桔子，5个鸭梨.【题文】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【答案】101【解析】只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数．只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析．三个数的和是1111，它们的公约数一定是1111的约数．因为，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数都小于1111，1111不可能是三个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909．所以所求数是101．【题文】用这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数．【答案】9【解析】，是9的倍数，因而9是这些数的公约数．又123456789和123456798这两个数只差9，这两个数的最大公约数是它们的差的约数，即是9的约数，所以9是这两个数的最大公约数．从而9是这362880个数的最大公约数．【题文】用2、3、4、5、6、7这六个数码组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是___________．【答案】108【解析】，A、B、540这三个数的最大公约数是540的约数，而540的约数从大到小排列依次为：540、270、180、135、108、90……由于A和B都不能被10整除，所以540、270、180都不是A和B 的约数．由于A和B不能同时被5整除，所以135也不是A和B的公约数．540的约数除去这些数后最大的为108，考虑108的三位数倍数，有108、216、324、432、540、648、756、864、972，其中由2、3、4、5、6、7这六个数码组成的有324、432和756，易知当A和B一个为756、另一个为324或432时，A、B、540这三个数的最大公约数为108，所以A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是108．【题文】两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．【答案】40或20【解析】设这两个自然数为：，其中与互质，，，经检验，容易得到两组符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．【题文】一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？【答案】98【解析】最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数。
因数与倍数,奥数
因数和倍数因数一整数被另一整数整除，后两者即是前者的因数。
例：6÷2＝3 2和3就是6的因数。
倍数①一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。
②一个数除以另一数所得的商。
如a÷b＝c，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。
一个因数能让它的积整除，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。
③一个数的倍数(0除外)有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集.因数和倍数的关系当除数可以整除被除数（意即被除数=除数×商），则除数叫做被除数的因数，被除数叫做除数的倍数。
成倍数关系的是：36和9 36和4 9、4分别是36的因数，36是9和4的倍数（而且是最小公倍数）因数和倍数是相对的倍数一般比自己大，因数一般比自己小比如12÷4=3 12是4的倍数，12也是3的倍数4是12的因数，3也是12的因数不能说12是倍数，3是因数练习找因数：1、18的因数有哪几个？用整除的方法，18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，18÷4＝…；用乘法一对一对找，如1×18＝18，2×9＝18…）2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些？例（1，2，3，4，6，6，9，12，18，36）（重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6）仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几？看来，任何一个数的因数，最小的一定是（），而最大的一定是（）。
3、你还想找哪个数的因数？（18、5、42……）请你选择其中的一个在自练本上写一写，然后汇报。
4、其实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如18的因数小结：我们找了这么多数的因数，你觉得怎样找才不容易漏掉？从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对找，写的时候从小到大写。
小学奥数因数与倍数复习课程
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
六年级奥数试题-因数与倍数(学生版)
第十八讲因数与倍数因数与倍数1.公因数与最大公因数2.公倍数与最小公倍数3.互质的概念4.辗转相除法求最大公因数5.最大公因数与最小公倍数性质1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。
2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。
例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？例4：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？例5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？例6：一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？例7：用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。
例8：求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？例9：两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？例10：求21672和11352的最小公倍数。
A1.两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。
已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。
2.两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。
这两个自然数的和是77，求这两个自然数。
3.已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
4.已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。
5.已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。
(完整)小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找 （2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找） 方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身 倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数 性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4：奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
五年级奥数因数与倍数(B级)
五年级奥数因数与倍数(B级)因数和倍数的关系一天，因数和倍数相遇了。
倍数傲慢地问因数：“你见到我怎么不下拜呢？”因数气愤地回答：“你算老几呀？我为什么要拜你？”倍数自信地说：“我是老大，因为一个数的因数只有几个，而一个数的倍数有无数个。
我的家庭庞大，你的家庭成员少得可怜。
你应该拜我。
”因数反驳：“是的，你的家庭庞大，但你知道自己是老几吗？我们的家庭成员虽少，但我们都知道自己的位置。
离开我们这些因数，你们这些倍数还能成立吗？”倍数想了想，承认自己说错了，因数和倍数握手言和，成为密不可分的好伙伴。
因数的概念与最大公因数因数是能够整除一个数的数，倍数是某个数的整数倍。
最大公因数是两个或多个数的公共因数中最大的一个。
求最大公因数的方法有三种：分解质因数法、短除法和辗转相除法。
分解质因数法先将数分解质因数，然后将相同的因数连乘；短除法找出所有共有的因数，然后相乘；辗转相除法每次用除数和余数相除，直到余数为止，最后一个除数就是最大公因数。
最大公因数有以下性质：1）两个数的最大公因数等于它们的公因数中最大的一个；2）最大公因数和最小公倍数的乘积等于两个数的乘积；3）若两个数互质，则它们的最大公因数为1.因数和倍数是密不可分的好伙伴，它们共同存在于自然数中。
没有因数，就没有倍数；没有倍数，就没有因数。
因数和倍数应该紧密团结在一起，共同发挥作用。
性质（3）指的是“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。
虽然不是常见考点，但对于理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系有帮助。
求一个整数的因数个数，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数的指数加1后相乘。
例如，对于整数1400，它的因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24个，包括1和1400本身。
这个公式的推导过程建立在数字“唯一分解定理”的基础上，结合乘法原理推导而来，需要掌握。
求一个整数的所有因数的和，需要对其严格分解质因数，然后将每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些和相乘。
小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义
因数和倍数奥数辅导讲义教学内容因数和倍数1．知识回顾（1）因数和倍数的概念2x6=122和6是12的因数。
12是2的倍数，也是6的倍数。
3x4=123和4也是12的因数。
12是3和4的倍数。
整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。
（2）奇数和偶数自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
2．规律、性质。
（1）因数和倍数：列举法；根据问题的要求，寻找因数的个数。
（2）奇数和偶数常用的性质：1.奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的；2.偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的和是偶数；3.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数；4.奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数3. 典型例题一、因数和倍数例1.一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？拓展一：甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。
拓展二：把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。
拓展三：和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。
每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。
请问：和子买了几条竹荚鱼？例2.一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同拿法？拓展一:小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买,每本便宜2元，恰好多买4本,问:零售价每本多少元?例3．三个连续奇数的和是15元，它们的积是多少?拓展一：五个连续奇数的和是35元，这5个奇数中最大的一个是多少?拓展二：有三个不同自然数组成的一个等式：□+ △+ ○= □×△—○这三个数中最多有多少个奇数？二、奇数和偶数例题4：1+2+3+4+……+2011+2012的和是奇数还是偶数？拓展一：1+2+3+4+5+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？拓展二：101+102+103+……+2007+2008的和是奇数还是偶数？例5.有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，能否从中选择5张卡片，使它们上面的数字之和等于20？为什么？拓展一：在五角星上的圆圈内共填10个数，如图所示，选出5个数，要使它们的和等于10，你能做到吗？为什么？拓展二：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和，这样继续操作下去，最后得到44,66，100，那么原来写的三个数能否为1,3,5？拓展三：在黑板上写出三个非零自然数，然后擦去一个数换成其他两个数的和减1，这样继续操作下去，最后得到17,1967,1983，那么原来写的三个数能否为2,2,2？例6：9只杯子全部杯口朝上放着，每次“翻动”其中4只杯子，能否经过若干次的“翻动”，使9只杯子的杯口全部朝下？拓展一：8只杯口朝下的杯子，每次翻动6只杯子，能否经过若干次翻动，使杯口全部朝上？拓展二：桌子上放着7枚正面朝上的硬币，每次翻动其中的3枚硬币。
小学奥数因数与倍数
第一讲：因数与倍数知识点拨1、因数和倍数：如果a×b=c(a,b，c都是不为零的整数),那么a，b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数,b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数.2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如：15的因数有哪些？方法一：1×15=15，3×5=15(一般从自然数1开始，一对一对的找)方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止)所以15的因数就是1, 3，5，15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身,没有最大的，方法是依次乘以自然数.例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....。
3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征:最小的倍数是本身,没有最大的倍数4、2、5、3的倍数的特征：①个位上是0、2、4、6、8的数,都是2的倍数.②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数),不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质性质1:偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质2：偶数±奇数=奇数性质3：偶数个奇数的和是偶数性质4:奇数个奇数的和是奇数性质5：偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数例题精讲一、倍数与因数的认识【例1】请问：图中有哪些数？（1）根据图中数据：①买5千克梨需要多少钱？可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；4是20的因数；5是20的因数。
因数与倍数奥数题
因数与倍数1．数360的约数有多少个?这些约数的和是多少?2．一个数是5个2，3个3，6个5，1个7的连乘积．这个数有许多约数是两位数，那么在这些两位数的约数中，最大的是多少?3．写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．4．今有语文课本42册，数学课本112册，自然课本70册，平均分成若干堆，每堆中这3种课本的数量分别相等．那么最多可分多少堆?5．加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每名工人每小时可完成6个零件，第二道工序每名工人每小时可完成10个零件，第三道工序每名工人每小时可完成15个零件．要使加工生产均衡，三道工序最少共需要多少名工人?6．有甲、乙、丙3人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70后，3人又可以相聚?7．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90．那么甲数、乙数是多少?8．A，B两数都仅含有质因数3和5，它们的最大公约数是75．已知数A有12个约数，数B有l0个约数，那么A，B两数的和等于多少?9．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?10．a>b>c是3个整数．a，b，c的最大公约数是15；a，b的最大公约数是75；a，b 的最小公倍数是450；b，c的最小公倍数是1050．那么c是多少?11．把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？12．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？13．有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？14．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？15．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？16．有两个自然数，它们的和等于297，它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693．这两个自然数的差等于多少?10．两个不同自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是60．问这样的自然数共有多少组?11．3个连续的自然数的最小公倍数是9828，那么这3个自然数的和等于多少?15．有4个不同的自然数，它们的和是1111，它们的最大公约数最大能是多少?。
完整五年级奥数第一讲因数与倍数
五年级奥数 第一讲：因数与倍数知识点拨1、 因数和倍数 ：如果a >b=c(a,b,c 都是不为零的整数)，那么a,b 就是c 的因数，c 就是a,b 的倍数。
例如6 >2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a 能被b 整除，那么a 就是b 的倍数，b 就是a 的因数。
例如 10能被 5整除，那么 10 就是 5的倍数， 5就是 10的因数。
2、 一个数的因数的求法： ( 1 )列乘法算式找(2)列除法算式找一个数的因数的个数是有限的，最小的是 1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15 的因数有哪些？ 方法一： 1215=15， 325=15(一般从自然数 1开始，一对一对的找) 方法二：15+1=15,15七=5 (计算时从除数1开始找，直到重复为止) 所以 15的因数就是 1, 3, 5, 15。
最大的因数就是 15，也就是它本身！最小的是 1。
3、 一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如： 3的倍数 36 9 1215 .... 3是3最小的倍数，也就是它本身倍数特征： 最小的倍数是本身，没有最大的倍数如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
4、 2、5、3的倍数的特征 ：① 个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2的倍数。
② 个位上是 0或5的数，是 5的倍数。
③ 一个数各个数位上的数字之和是 3的倍数，这个数就是 3的倍数。
5、 常见数字的整除判定方法： ( 1) 2：个位是偶数的自然数(2) 5：个位是 0或5的自然数 注：若一个数同时是 2 和 5 的倍数，则此数的个位一定为 0 ( 3) 4、 25：末两位能被 4、25 整除 (4) 8、125：末三位能被 8、125整除 (5)3、9：各个数位上的数之和能被 3、9 整除(6) 7、11、13通用性质：① 一个数如果是 1001 的倍数，即能被 7、11、13整除.如201201=20121001，则其必能被 7、 ② 从末三位开始三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差如果是 7、11、13的倍数，则其为 ③ 末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小的，如果差为 7、11、13的倍数，则其为(7) 11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11 整除 (8) 99：两位一段(从右往左) ，各段的和能被 99 整除 (9) 999：三位一段(从右往左) ，各段的和能被 999 整除6、 在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数( 0也是偶数)，不是 2的倍数的数叫做奇数。
小学奥数因数与倍数
小学奥数因数与倍数小学奥数是指小学生参与的数学竞赛活动，它旨在培养学生的数学思维与解题能力。
在小学奥数的学习中，因数与倍数是一个重要的概念，它们不仅贯穿于数学的各个领域，而且在日常生活中也有广泛的应用。
本文将介绍因数与倍数的概念、性质以及解题方法，帮助小学生更好地掌握这一知识点。
一、因数的概念与性质1.1 因数的定义对于一个数a，如果能整除a的数b，那么b就是a的因数。
例如，4的因数包括1、2和4，因为1、2和4能够整除4。
1.2 因数的性质（1）每个数都有1作为因数，且数本身也是它自己的因数，这两个因数称为它的自身因数。
（2）对于任意的正整数a，a的因数都不会超过a的一半。
（3）任意的正整数都有无限个因数。
二、倍数的概念与性质2.1 倍数的定义对于一个数a，如果a能够被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。
例如，8是4的倍数，因为8能够被4整除。
2.2 倍数的性质（1）零是任意数的倍数。
（2）一个数的倍数可以是正数、负数或零。
（3）一个数的倍数与这个数成正比例关系，即如果一个数是另一个数的倍数，那么这两个数成正比例关系。
三、因数与倍数之间的关系3.1 最大公因数与最小公倍数（1）最大公因数：对于两个或多个数，它们共有的因数中最大的一个因数称为这些数的最大公因数。
例如，12和18的最大公因数是6。
（2）最小公倍数：对于两个或多个数，能够被它们共有的倍数整除的最小的一个数称为这些数的最小公倍数。
例如，6和9的最小公倍数是18。
3.2 因数与倍数的性质（1）对于任意的正整数a和b，如果a是b的因数，那么a也是b的倍数。
（2）对于任意的正整数a和b，如果a是b的倍数，那么b也是a的因数。
四、因数与倍数的解题方法4.1 因数的解题方法（1）列举法：对于一个数，列举出所有能够整除它的数即为它的因数。
（2）分解法：将一个数分解为若干个能够整除它的较小的数，这些较小的数即为它的因数。
4.2 倍数的解题方法（1）倍数的计算：对于两个数a和b，如果a是b的n倍，那么可以通过将a乘以n来计算出b的值。
小学奥数数论(因数与倍数及整数裂项)试题及答案解析
小学奥数——因数与倍数与整数裂项一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.222.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.1803.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.304.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.185.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.247.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.28.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.59.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.2110.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.1811.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.1112.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.21513.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.3715.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.9017.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.2887035018.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.019.如果20132013201420142012nm⨯=⨯+（其中m与n为互质的自然数），那么m n+的值是()A.1243B.1343C.4025D.402920.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有()人上体育课.A.51B.50C.53D.5721.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有()个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.422.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.423.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.16624.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.1026.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.2428.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.9631.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.3732.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.433.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.534.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多535.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.11237.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.838.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.5339.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和2842.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用( )分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是( )A.30B.3C.28D.1544.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了( )A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有( )个.A.12B.10C.8D.646.一个木工锯一根长22米的木料，他先把一头损坏的部分锯下来2米，然后锯了4次，锯成同样长的短木条，每根短木条长( )米.A.2B.3C.4D.547.把25分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为A ，把26分拆成若干个不同正整数的和，其积的最大值设为B ，则(A B ) A.2526 B.78 C.56 D.1848.把自然数154写成若干个连续自然数之和（最少有两个数），共有( )种不同写法.A.2B.3C.4D.549.如图所示，将15个点排成三角形点阵或者梯形点阵共有3种不同方法（规定：相邻两行的点数均差1).那么将2014个点排成三角形点阵或者梯形点阵（至少两层）共有( )种不同的方法.A.3B.7C.4D.950.式子20141x为整数，则正整数x有()种取值.A.6B.7C.8D.9参考答案与试题解析一、选择题（共50小题）1.沿边长为20米的正方形花园四周每隔4米种一棵树，最多可种树()棵A.16B.18C.20D.22【解析】根据题意得⨯÷2044=÷804=（棵)20故选：C.2.一个挂钟，一点钟敲一下，两点钟敲两下，三点钟敲三下⋯⋯十二点钟敲十二下，每逢半点敲一下.这个挂钟一昼夜共敲()下.A.78B.102C.156D.180【解析】根据题意得+++⋯++⨯(1231212)2=⨯902=（下)180故选：D.3.一根木头长24分米，要锯成4分米长的木棍.若每锯一次要3分钟，锯完一段休息2分钟，则全部锯完需要()分钟.A.23B.25C.28D.30【解析】2446÷=（段)615-=（次)⨯=（分钟）5315⨯-=（分钟）2(51)815823+=（分钟）答：全部锯完需要23分钟.故选：A.4.一块三角形地，三条边分别12米、15米、9米，每3米种一棵树，一共要种()棵树.A.9B.12C.15D.18【解析】根据题意得(12159)3++÷=÷363=（棵)12故选：B.5.一根长2米的木棍，锯成每段长0.4米的木棍需要20分钟，那么锯成每段长0.5米的木棍需要()A.15分钟B.12分钟C.10分钟D.以上都不对【解析】20.45÷=（段)÷-20(51)=÷204=（分)5÷=（段)20.54⨯-5(41)=⨯53=（分钟）15答：需要15分钟.故选：A.6.一根水管锯成两段要2分钟，锯成6段要()分钟.A.6B.10C.12D.24【解析】2(21)(61)÷-⨯-=÷⨯215=（分钟）10答：锯成6段要10分钟；故选：B.7.同学们做早操，81个同学排成一排，每相邻两个同学之间的距离相等，第一个人到最后一个人的距离时120米，相邻两个人的距离是()米.A.1B.约1.5C.1.5D.2【解析】如果把人看做一个点，120(811)÷-=÷120801.5=（米)所以应该是约1.5米，但不是1.5米答：相邻两个人约隔1.5米.故选：B.8.小明家住在9楼，他从底楼走到3楼用了1分钟，那么它从底楼走到9楼要用()分钟.A.4.5B.4C.3.5D.3E.2.5【解析】1(31)(91)÷-⨯-=÷⨯128=（分钟）；4答：它从底楼走到9楼要用4分钟.故选：B.9.奶奶出去散步，从第一根电线杆处走到第十根电线杆处共用了18分钟，照这个速度奶奶走了36分钟，她走到了第()根电线杆处.A.18B.19C.20D.21【解析】18(101)2÷-=（分钟）÷+=（根)362119答：奶奶36分钟走到了第19根电线杆处.10.时钟3点敲3下，6秒钟敲完；那么7点敲7下，()秒钟敲完.A.10B.12C.14D.18【解析】根据分析可得，÷-⨯-，6(31)(71)=⨯，3618=（秒)；答：7点敲7下，18秒钟敲完.故选：D.11.在一座长1000米的长江大桥两边挂彩灯，起点和终点都挂，一共挂了202盏（相邻两盏之间的距离相等）.则相邻两盏彩灯之间的距离是()米.A.8B.9C.10D.11【解析】大桥一边挂彩灯的数量：2022101÷=（盏)灯与灯之间的间隔数：1011100-=（个)相邻2盏彩灯的距离：100010010÷=（米)，故选：C.12.分母小于60，分子不大于6的最简真分数有()个.A.59B.87C.197D.215【解析】根据题意可得：①当分子是1时，分母可以从2到59，共58个；②当分子是2、3、5时，因为他们都是质数，因此分母必须大于分子，且不是分子的倍数，当分子是2时，在1到59之间有偶数29个130+=个数不符合条件，所以有593029-=个；当分子是3时，在1到59之间有3的倍数18个321+=个，所以有592138-=个；当分子是5时，在1到59之间是5的倍数的11个415+=个，所以591544-=个；③因为当分子是4时是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=，所以有593128-=个；④分子是6时，6是合数，分母不能为偶数，在1到59之间有偶数29个231+=个，又不能是3的倍数，1至59之间不是偶数且是3的倍数有10个，则所以共有--=个.59311018所以分子不大于6而分母小于60的不可约真分数有：582938442818215+++++=（个).故选：D.13.a，b和c是三个非零自然数，在a b c=⨯中，能够成立的说法是()A.b和c是互质数B.b和c都是a的质因数C.b和c都是a的约数D.b一定是c的倍数【解析】A、比如1226=⨯，2和6不互质，所以b和c是互质数的说法错误；B、比如4886=⨯，8和6不是48的质因数，所以b和c都是a的质因数的说法错误；C、因为a b c=⨯，所以b和c都是a的因数，所以b和c都是a的约数的说法正确；D、比如4886=⨯，8就不是6的倍数，所以b一定是c的倍数的说法错误；故选：C.14.三个不同正整数的和为564，其中一个数除以3余数为1，另一个数除以5的余数为3，第三个数除以7的余数为5，商都相同，则相同的商为()A.15B.21C.35D.37【解析】---÷++=(564135)(357)37故选：D.15.商店有三种糖，甲种糖每袋1.5千克，乙种糖每袋2千克，丙种糖每袋2.5千克，为了方便顾客，将大袋改为小袋，把它们全改为0.5千克的小袋，这样奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，原来的甲、乙、丙三种糖的品种依次是()A.酥糖、水果糖、奶糖B.奶糖、水果糖、酥糖C.奶糖、酥糖、水果糖D.水果糖、奶糖、酥糖【解析】由题意，甲种糖一袋改3小袋，乙种糖一袋改4小袋，丙种糖一袋改5小袋，因为奶糖正好装了126袋，水果糖正好装104袋，酥糖正好205袋，而126能被3整除，104能被4整除，205能被5整除，所以甲、乙、丙三种糖的品种依次是奶糖、水果糖、酥糖，故选：B.16.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是()A.32B.37C.55D.90【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19千米处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的最小公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955+⨯=千米.故选：C.17.你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？（1）密码是一个八位数；（2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数；（3）这个密码在20000000 到30000000 之间；（4）百万位与十万位上的数字相同；（5）百位数字比万位数字小2；（6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25.依据上面的条件，推理出这个密码应该是()A.25526250B.26650350C.27775250D.28870350【解析】（1）四个选项都是8位数；（2）四选项都是25的倍数，C的数字和是35不是3的倍数.排除C；（3）都满足条件；（4）都满足条件；（5）A，D相等不满足条件；（6）B满足条件.故选：B.18.从1~11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共()个.①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.A.3B.2C.1D.0【解析】根据上面的分析可知：从1~11这11个整数中任意取出6个数，①其中必有两个数互质；此说法正确.③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.此说法正确.故选：B.19.如果20132013201420142012n m⨯=⨯+（其中m 与n 为互质的自然数），那么m n +的值是( )A.1243B.1343C.4025D.4029 【解析】2013201320136712014201420122016672n m ⨯===⨯+， 所以671n =，672m =，1343m n +=.故选：B .20.某班有50多人上体育课，他们站成一排，老师让他们按1，2，3，4，5，6，7循环报数，最后一人报的数是4，这个班有( )人上体育课.A.51B.50C.53D.57【解析】接近50的7的倍数有：49和56，49453+=，56460+=不符合题意，所以这个班有53人上体育课.故选：C .21.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有( )个.（1）两个数的乘积是2000.（2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍.（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍.（4）两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题意，可知这两个数分别是20和100；（1）201002000⨯=，所以两个数的乘积是2000，所以原说法正确的；（2）两个数都扩大10倍，最大公约数变为2010200⨯=，是扩大了10倍，所以原说法错误；（3）两个数都扩大10倍，最小公倍数变为100101000⨯=，是扩大了10倍，所以原说法正确；（4）两个数都扩大10倍，变为200和1000，乘积变为200000，也即两个数乘积扩大100倍，所以原说法正确；正确的说法有3个.故选：C .22.用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有( )A.1B.2C.3D.4【解析】由分析可知，用四个数码1，3，4和6所组成的没有重复数字的所有整数中，是6的倍数的有36和6这两个数.故选：B.23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔2人发一个苹果，从右面第一人开始，每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友最多有()人.A.16B.31C.158D.166【解析】每(21)(41)15+⨯+=人就会有1人拿到两种水果.先让12人拿到两种水果，并且在这一行中，两端的两人都拿到了两种水果，因此共：15111166⨯+=（人)；然后从两端去掉最少的人就可以了，要满足左方第一个是苹果，那么左方最少去掉3人，要满足右方第一个拿到橘子，那么右方最少去掉5人；所以最多有：16653158--=（人)；答：这些小朋友最多有158人.故选：C.24.一个电子钟，每9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点时，电子钟恰好又亮灯又响铃，问下次既亮灯又响铃是()A.2点B.3点C.4点D.5点【解析】因为9和60的最小公倍数是180，所以180分后既亮灯又响铃，180分钟3=小时；12时3=时；+时15答：在下午3点既亮灯又响铃.故选：B.25.在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么，长度是1厘米的短木棍有()条.A.7B.8C.9D.10【解析】从左往右每隔6厘米染的红点全是6的倍数，从右往左每隔5厘米染红点，100除以5能除尽，说明从左往右和从右往左是一样的，都是5的倍数.只要找出5厘米的倍数和6厘米的倍数就可以.100以内5的倍数是：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60，65，70，75，80，85，90，95，100.100以内6的倍数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96，5的倍数和6的倍数相差1的是：5和6，24和25，36和35，54和55，65和66，84和85，95和96，所以共有7段长1cm的短木棍.故选：A.26.一根长木棍上刻有三种刻度，第一种刻度将木棍十等分，第二种刻度将木棍十二等分，第三种刻度将木棍十五等分，如果沿每条刻度线将木棍锯开，木棍总共被锯成()A.20段B.24段C.28段D.30段【解析】由于10、12、15的最小公倍数是60，假定这根木棍的长为60.于是，各等分的刻度线的标记处是：十等分：6、12、18、24、30、36、42、48、54、60.十二等分：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60.十五等分：4、8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60.这样，把有三个刻度线标记处重合的(60)去掉，把有两个刻度线标记处的(12、24、36、48、20、30、40)只算一个，然后在4、5、6、8、10、12、15、16、18、20、24、25、28、30、32、35、36、40、42、44、45、48、50、52、54、55、56处将木棍锯断，共锯了27次.根据植树问题的原理可知：这根木棍共锯成27128+=（段).故选：C.27.某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有()天要聘1个时工.A.26B.28C.30D.24【解析】解；甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息.因为4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；÷=⋯（天)，36528131而每个28天中，第20天和第28天两人都休息，所以全年共有13226⨯=（天)需要聘请临时工.故选：A.28.一条公路由A经B到C.已知A、B相距280米，B、C相距315米.现要在路边植树，要求相邻两树间的距离相等.并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵.那么两树间距离最多有()A.35米B.36米C.17.5米D.18米【解析】因为157.5140117.5÷=⋯，14017.58÷=，所以140和157.5这两个数的最大公约数就是17.5.答：两树间距离最多有17.5米.故选：C.29.如图，在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米设计一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两标志.那么，下一个同时设置这两种标志的地点是()A.32千米处B.37千米处C.55千米处D.90千米处【解析】同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数.在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为194955km+⨯=.故选：C.30.有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是()A.56B.78C.84D.96【解析】8222=⨯⨯，=⨯⨯⨯⨯⨯，96222223所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2222232⨯⨯⨯⨯=和⨯⨯⨯=；222324这两个二位数的和是：322456+=；故选：A.31.在老区和新区之间一条路上安排公交站点，第一种安排将道路分成十等份；第二种安排将道路分成十二等份；第三种安排将道路分成十五等份.这三种安排分别通过三路不同的公交车实现，则此道路上其有多少个公交站点？（含起点和终点）()A.27B.29C.32D.37【解析】第一种安排：10个站点；第二种安排：12个站点；第三种安排：15个站点.其中，三种安排的起点终点是相同的，要减掉4个站点又，第一种安排和第二种安排有一个站点重合，减掉1个站点（因为10和12在100以内只有一个公倍数60)第二种安排和第三种安排有一怠伐糙和孬古茬汰长咯个站点重合，减掉1个站点（因为12和15在100以内只有一个公倍数60)第一种安排和第三种安排有三个站点重合，减掉2个站点(10和15在100以内有三个公倍数30、60、90，其中60已经减过一次）所以总共是29个站点.故选：B.32.有两个合数是互质数，它们的最小公倍数是210，这样的数有()对.A.1B.2C.3D.4【解析】根据题干分析可得：=⨯⨯⨯，2102357符合题意的两个合数为：⨯；23⨯和57⨯；⨯和3725⨯；27⨯和35共有3对.故选：C.33.如果a、b的最大公因数是21，那么a和b的公因数有()个.A.2B.3C.4D.5【解析】a和b的公因数有1、3、7、21，共有4个；故选：C.34.同学们栽树，每行栽5棵，到最后一行只栽了4棵树，那么这些树的棵数是()A.5的倍数B.4的倍数C.5的倍数多4D.4的倍数多5【解析】根据分析可得，树的总棵数5=⨯行数4+，即树的总棵数比5的倍数多4；故选：C.35.标有1到200的200张数字卡片，任意抽一张，号码是3的倍数的可能性是()A.33100B.67100C.310D.不确定【解析】标有1到200的200张数字卡片，是3的倍数的有198366÷=个，可能性为：33 66200100÷=；答：号码是3的倍数的可能性是33 100；故选：A.36.7和8的最小公倍数是()A.1B.56C.112【解析】7和8的最小公倍数是；7856⨯=；故选：B.37.一块红砖长25厘米，宽15厘米，用这样的红砖拼成一个正方形最少需要多少块？( )A.15B.12C.75D.8【解析】(7525)(75150)÷⨯÷35=⨯15=（块)；答：用这样的红砖拼成一个正方形最少需要15块.故选：A.38.小丽用一排地砖创造了一种跳跃游戏.她将地砖标上l，2，3，4，⋯并沿这一排地砖跳跃，每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上.转身后她从倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上.最后她又转身从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上.那么这一排地砖共有()块（从下列选项中选出符合条件的答案）.A.39B.40C.47D.49E.53【解析】第一次：因为每两块地砖着地一次，第一步落在第2块地砖上，最后停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是2的倍数加上1；第二次：因为倒数第2块地砖开始向回跳跃，这一次是每三块地砖着地一次，最后停在第l块地砖上，所以地砖数是3的倍数减去1；第三次：因为从第l块地砖开始跳跃，每五块地砖着地一次.这一次她又停在倒数第2块地砖上，所以地砖数是5的倍数加上2；在答案39，40，47，49，53中，只有47符合要求；故选：C.39.a、b和c是三个自然数，在a b c=⨯中，不一定成立的是()A.a一定是b的倍数B.a一定能被b整除C.a一定是b和c的最小公倍数D.b一定是a的约数【解析】A、因为a b c=⨯，所以a一定是b的倍数，正确；B、因为a b c=⨯，所以a b c÷=，a一定能被b整除，正确；=⨯，a一定是b和c的最小公倍数，不成立；C、a b cD、a b c=⨯，所以a b c÷=，b一定是a的约数.故选：C.40.一个圆的直径缩小2倍，周长与面积分别缩小()A.2倍与4倍B.2倍与2倍C.4倍与4倍D.4倍与2倍【解析】根据圆的周长和面积公式可知，圆的周长和半径成正比例，圆的面积与半径的平方成正比例，所以圆的直径缩小2倍，即圆的半径缩小2倍，则圆的周长缩小2倍，圆的面积就缩小2=倍，24故选：A.41.下列四组数中，两个数只有公约数1的数是()A.13和91B.21和51C.34和51D.15和28【解析】A，13是质数，91713=⨯，它们的最大公因数是13；B，2137=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是3；C，34217=⨯，51317=⨯，它们的最大公因数是17；D，1535=⨯，28227=⨯⨯，它们的公因数只有1.故选：D.42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了34分钟，用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用()分钟.A.154B.3C.203D.以上都不对【解析】3(51) 4⨯-344=⨯3=（分钟）答：用同样的速度从一楼走到五楼王老师家要用3分钟.故选：B.43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了15棵月季花，每两棵月季花的距离都是2米，那么花坛的周长是()A.30B.3C.28D.15【解析】根据题意可知：花坛的周长15230=⨯=（米)；故选：A.44.奶奶折一个纸鹤用3分钟，每折好一个需要休息1分钟，奶奶从2时30分开始折，她折好第5个纸鹤时已经到了()A.2时45分B.2时49分C.2时50分D.2时53分【解析】1(51)4⨯-=（分钟）3515⨯=（分钟）2时30分4+分钟15+分钟2=时49分答：她折好第5个纸鹤时已经到了2时49分；故选：B.45.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有(。
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)
五年级下册第二单元因数和倍数能力提高题和奥数题(附答案)第二单元：因数和倍数提高题和奥数题板块一：因数和倍数例题1：一个数在150至250之间，且是18的倍数，这个数可能是多少？最大是多少？练1：一个数是25的倍数，它位于110至160之间，这个数是多少？例题2：有一个数，它是40的因数，又是5的倍数，这个数可能是多少？练2：既是7的倍数，又是42的因数，这样的数有哪些？例题3：妈妈买来30个苹果，让XXX把苹果放入篮子里。
不许一次拿完，也不许一个一个地拿，要每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。
XXX共有几种拿法？每种拿法每次各拿多少个？练3：五（1）班有学生42人，把他们平均分成几个研究小组，每组多于2人且少于8人。
可以分成几个小组呢？板块二：2、5、3的倍数的特征例题1：一个五位数29ABC（A、B、C是～9中不同的数字）同时是2、5、3的倍数，这个数可能是多少？练1：在17的后面添上三个数字组成五位数，使这个五位数既是偶数，又同时含有因数3和5.这个五位数最大是多少？最小是多少？例题2：5□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？练2：4□□□是有两个数字相同的四位数，它同时是2、5、3的倍数，这个四位数最小是多少？最大是多少？板块三：奇数和偶数例题1：一只小船每天从河的南岸摆渡到北岸，再从北岸摆渡到南岸，不断往返。
已知小船最初在南岸。
1）摆渡15次后，小船是在南岸还是在北岸？为什么？2）XXX说摆渡2016次后，小船在北岸。
他说得对吗？为什么？练1：傍晚XXX开灯做作业，本来拉一次开关，灯就该亮了，但是他连续拉了5次开关，灯都没有亮，原来是停电了。
你知道来电的时候，灯应该亮着还是不亮呢？例题2：有36个苹果，把它们放在9个盘子里，每个盘子里只放奇数个苹果，能做到吗？练2：（1）1×2+3×4+5×6+…+199×200的和是奇数还是偶数？有2016个烟花，每次燃放奇数个，想在9次后恰好全部放完，能做到吗？为什么？可以做到。
【奥数专题】精编人教版小学数学五年级上册 因数与倍数(试题)含答案与解析
经典奥数：因数与倍数（专项试题）一．选择题（共6小题）1．有两根绳子，一根长36厘米，另一根长48厘米，把它们剪成长度相等的小段，且没有剩余，每小段最长（）厘米．A．24B．6C．122．红旗小学六年级有男生48人，女生36人．男、女生分别站成若干排，要使每排的人数相同，每排最多有（）人．A．4B．6C．12D．163．有一张长方形纸，长70cm，宽50cm．如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪成的小正方形的边长最大是（）厘米．A．5B．10C．15D．204．学校图书室新购进一些图书，如果每24本一包，能够正好包完．如果每16本一包，也能正好包完．图书室至少买了（）本图书．A．48B．64C．96D．245．淘气与笑笑同时从环形跑道的起点出发，淘气跑一圈需要4分钟，笑笑跑一圈需要6分钟，至少（）分钟后两人还能在起点相遇．A．8B．10C．12D．246．如果把两根长度分别为40厘米和56厘米的塑料管截成长度相等的吸管，并且都没有剩余，每根吸管最长是（）厘米．A．1B．2C．4D．8二．填空题（共6小题）7．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯，所有的红绿灯都按绿灯30秒黄灯5秒，红灯25秒的时间周期同时重复变换，一辆汽车在第一个路口处遇到绿灯后，要想在所有的红绿灯路口都遇到绿灯，则他最快该以每小时千米的速度行驶．8．暑期，东东和明明到图书馆看书，东东每4天去一次，明明每6天去一次．8月13日两人在图书馆相遇，8月日他们下次相遇．9．六一班有学生48人，六二班有学生54人．如果把两个班的学生分别分成若干小组去大扫除，要使两个班每个小组的人数相同，每组最多人．10．王老师有一盒铅笔，如果平均分给2名同学余1支，如果平均分给3名同学余2支，如果平均分给4名同学余3支，如果平均分给5名同学余4支。
王老师这盒铅笔至少有。
11．有些自然数。
它加1是2的倍数，它的2倍加1是3的倍数，它的3倍加1是5的倍数，那么所有这样的自然数中最小的一个是。
小学奥数数论专题知识总结
数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数,分解质因数等；2.不能整除:余数，余数的性质与计算（余数)，同余问题（除数）,物不知数问题（被除数)。
一、因数与倍数1、因数与倍数（1）定义：定义1:若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。
定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。
注意:倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。
（a、b是因数，c是倍数)一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1,最大的因数是它本身.一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
（2）一个数的因数的特点：①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数；②最大的因数是它本身,第二大的因数是:原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征：①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。
②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次;③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个.(312=961，442=1936,542=2916）2、数的整除（数的倍数)（1）定义：定义1:一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c,则我们就说，a能被b整除,或b能整除a，或a能整除以b。
定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0)，得到一个整数商c，而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a，记作b｜a。
(a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b)也能被c整除。
如果a能被b整除，c是整数,那么a×c也能被b整除。
如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)
小学因数与倍数奥数题100道及答案(完整版)题目1：一个数既是12 的倍数，又是48 的因数，这个数可能是多少？答案：这个数可能是12、24 或48。
题目2：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？答案：另一个数是18。
因为最小公倍数乘以最大公因数等于两个数的乘积，所以另一个数为36×6÷12 = 18 。
题目3：有一个自然数，除以5 余3，除以7 余4，这个数最小是多少？答案：23 。
从除以7 余4 的数中找除以5 余3 的数，最小为23 。
题目4：已知A = 2×3×5，B = 2×5×7，A 和 B 的最大公因数和最小公倍数分别是多少？答案：最大公因数是10，最小公倍数是210 。
题目5：一个数在80 到100 之间，既是6 的倍数，又是9 的倍数，这个数是多少？答案：90 。
6 和9 的最小公倍数是18 ，在80 到100 之间18 的倍数是90 。
题目6：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数分别是多少？答案：3 和120 或15 和24 。
题目7：有一个数，它的最大因数和最小倍数之和是60，这个数是多少？答案：30 。
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，所以这个数是30 。
题目8：把48 块糖和38 块巧克力分别分给同一组同学，结果糖剩3 块，巧克力少了2 块，这个组最多有几名同学？答案：5 名。
48 - 3 = 45 ，38 + 2 = 40 ，45 和40 的最大公因数是5 。
题目9：一个数除以4 余1，除以5 余2，除以6 余3，这个数最小是多少？答案：57 。
这个数加上3 就能被4、5、6 整除，4、5、6 的最小公倍数是60 ，所以这个数最小是57 。
题目10：甲、乙两数的最大公因数是8，最小公倍数是48，甲数是24，乙数是多少？答案：16 。
乙数= 8×48÷24 = 16 。
五年级奥数因数倍数
五年级奥数因数倍数五年级奥数（因数与倍数）典型例题80 和144的因数各有多少个？举一反三1.求60和90的因数各有多少个？2.求196的因数各有多少个？3.甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数拓展提高一个数是5个2,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数的因数中，最大的是几？奥赛训练1.把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。
2.和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元：竹荚鱼，每条170日元，沙丁鱼，每条78日元：秋刀鱼，每条104日元，每种鱼都多于1条，正好花了3600日元，请问：和子买了多少条竹荚鱼？（100日元=7元人民币）3.有一个自然数，它的最小的两个因数的差是4，最大的两位因数的差是308.那么，这个自然数是多少？（2011年全国“希望杯”数学邀请赛）因数和倍数（二）典型例题29÷（）=（）。
5，在括号内填上适当的数，使等式成立。
共有多少种不同的填法？举一反三1. 37÷（）=（）.........5,在括号内填上适当的数，使等式成立。
共有多少种不同的填法？2 . 49÷（）=（）.........9,在括号内填上适当的数，使等式成立。
共有多少种不同的填法？3.面积是165平方厘米的形状不同且边长是自然数的长方形，共有多少种？拓展提高一只盒内共有96个棋子，如果不是一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完。
那么。
共有多少种不同的拿法？奥赛训练1.自然数≥3，b≥3，a x b =195.那么，共有多少种不同的拿法？2.一只筐内共有120个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完。
那么，共有多少种不同的拿法？3.把自然数的所有因数两两求和，得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的数是4，最大的数是324，那么，A是多少?2,5倍数的特征个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，个位上是0或5的数是5的倍数，因此我们发下，一个数即是2的倍数又是5的倍数，那么它的个位上数字必须是0，另外，一个数的末两位数是4或25的倍数，这个数就是4或25的倍数。
五年级奥数因数倍数进阶
五年级奥数因数倍数进阶因数倍数进阶知识引入1、因数和倍数如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b=c，那么a 和b都是c的因数，c是a和b的倍数。
[注：在研究因数和倍数的时候，小学阶段所涉及的数指的是自然数（一般不包括）]一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
2、因数和倍数的关系二者是相互依存的关系，不能单独说某个数是倍数或因数。
3、求一个数的因数和倍数的方法（1）求一个数的因数的方法：找一个数的因数时，应从最小的因数找起，一直找到它本身；也可以一对一对地找，如12的因数有：1、12、2、6、3、4。
一个数的因数的个数是有限的。
（2）求一个数的倍数的方法：找一个数的倍数，可以用这个数分别去乘自然数1、2、3、4…所得的积就是这个数的倍数。
没有大小限制时，一个数的倍数的个数是无穷的。
4、求因数个数与所有因数的和（1）求任一整数因数的个数一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。
如:1400严格分解质因数之后为23527，所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。
(包括1和1400本身)难点在于公式的逆推，有相称一部分常考的偏困难型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有几何个因数，然后再结合其他几个前提将原数“复原构造”出来，大概是“构造出可能的最值”。
（2）求任一整数的所有因数的和一个整数的所有因数的和是在对其严厉分化质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂乞降，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。
如：233537，所以所有因数的和为(122223)(13)(155253)(17)此公式没有第一个公式经常使用，推导进程相对复杂，需要很多步提取公因式，规律性的记忆即可。
小学奥数题库《数论》因数和倍数-因数-5星题(含解析)
数论-因数和倍数-因数-5星题 课程目标知识提要因数• 定义对于整数a 和b ，如果a ∣b ，我们就称a 是b 的因数。
精选例题因数1. 三个最简真分数的分母分别是6，15和20，它们的乘积是130，那么在这三个最简真分数中，最大的数是．【答案】56． 【分析】设这三个真分数分别为a 6,b 15,c 20，其中a 不含因数2和3；b 不含因数3和5；c 不含因数2和5，且a,b,c 均为非0自然数．依题意：a 6×b 15×c 20=130，abc =60=22×3×5．所以a =5,b =4,c =3．所以最大数为：56．2. 有80颗珠子，5年前，姐妹两人按年龄的比例分配，恰好分完；今年，她们再次按年龄的比例重新分配，又恰好分完．姐姐比妹妹大2岁，那么，姐姐两次分到的珠子相差颗．【答案】4【分析】设5年前妹妹的年龄为x ，那么5年前今年妹妹x x +5姐姐x +2x +75年前与今年分别按照年龄的比例分配，且恰好分完，所以2x +2与2x +12均为80的因数，且这两个因数的差为10，80的因数有1，2，4，5，8，10，16，20，40，80，所以只有10与20的差为10，所以2x+2=10,x=4,5年前按照4:6的比例分配，姐姐分80÷(4+6)×6=48(颗),今年按照9:11的比例分配，姐姐分到80÷(9+11)×11=44(颗),两次分配相差48−44=4(颗).3. 有20个约数，且被42整除最小的自然数是．【答案】336【分析】因为被42整除，所以一定含有质因数2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20个约数的自然数有：因为必须含有3个不同的质因数，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20个约数且被42整除的最小自然数是336．4. 请将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按适宜的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数．【答案】其中一个答案是6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11．【分析】设填好后的数从左往右依次为a1,a2,⋯,a11,所有数的和为66，那么有a11∣66−a11，故a11∣66，可以设a11=11，那么其余数的和为55，那么倒数第二个数肯定是55的约数，可以填5；还剩50，那么倒数第三个数肯定是50的约数，可以填10，最后经过尝试得到6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11和8、1、9、3、7、2、6、4、10、5、11等答案．观察6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11这组答案，可以发现一个一般的规律：假设所给数是1∼2n+1，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n，2n+1符合题意；假设所给数是1∼2n，那么n+1，1，n+2，2，⋯，2n，n符合题意．5. 一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数．【答案】130【分析】最小的那个约数肯定是1，接着感觉到还是不好下手，先考虑奇偶分析．〔或随便尝试几种情况后肯定会想到奇偶分析〕如果这个数不含因数2，即为奇数．由于12+奇2+奇2+奇2=偶，矛盾．如果这个数含因数2，即为偶数，由于12+22+奇2+奇2=奇，12+22+偶2+奇2=偶，12+22+奇2+偶2=偶，12+22+偶2+偶2=奇，那么只有1、2、偶、奇和1、2、奇、偶这两种情况可能，故这个数最小的四个约数从小到大依次为：1、2、4、p或1、2、p、2p．〔其中p为1个非2的质数〕对于1、2、4、p，说明p∣12+22+42+p2，即p∣21+p2，所以p∣21，那么p是3或7，经验证都不对．对于1、2、p、2p，说明p∣12+22+p2+(2p)2，即p∣5+5p2，整理得p∣5(1+p2)，很明显p不能整除1+p2，所以p只能是5，所以这个数是5×(1+52)=130．6. 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1号到15号，1号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除．1号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：〔1〕说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？〔2〕如果告诉你1号写的数是五位数，请找出这个数．【答案】〔1〕8和9；〔2〕60060【分析】〔1〕为了表达方便，不妨设1号同学写的自然数为a．根据2～15号同学所述结论，2∼15中只有两个连续的自然数不能整除a，其他的数都能整除a．由于2∼7中的每一个数的2倍都在15以内，如果2∼7中有某个数不能整除a，那么这个数的2倍也不能整除a，然而2∼7中的这个数与它的2倍不可能是两个连续的自然数，所以2∼7中每一个数都是a的约数．由于2与5互质，那么2×5=10也是a的约数．同理可知，12、14、15也都是a的约数．还剩下的四个数为8、9、11、13，只有8、9是两个连续的自然数，所以说的不对的两位同学，他们的编号分别是8和9．〔2〕1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是：22×3×5×7×11×13=60060．因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数都是它们的最小公倍数60060的倍数，且最小为2倍，所以均不是五位数，那么1号同学写的五位数是60060．。
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小学奥数因数与倍数Revised on November 25, 2020
第一讲：因数与倍数
知识点拨
1、因数和倍数：
如果a×b=c(a,b,c都是不为零的整数)，那么a,b就是c的因数，c就是a,b的倍数。
例如6×2=12，所以6和2是12的因数，12是6和2的倍数。
如果整数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如10能被5整除，那么10就是5的倍数，5就是10的因数。
2、一个数的因数的求法：（1）列乘法算式找（2）列除法算式找
一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身，方法是成对地按顺序找。
例如： 15的因数有哪些
方法一：1×15=15，3×5=15（一般从自然数1开始，一对一对的找）
方法二：15÷1=15,15÷3=5（计算时从除数1开始找，直到重复为止）
所以15的因数就是1, 3, 5, 15。
最大的因数就是15，也就是它本身！最小的是1。
3、一个数的倍数的求法：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没
有最大的，方法是依次乘以自然数。
例如：3的倍数 3 6 9 12 15 ....... 3是3最小的倍数，也就是它本身
倍数特征：最小的倍数是本身，没有最大的倍数
4、2、
5、3的倍数的特征：
①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。
②个位上是0或5的数，是5的倍数。
③一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
5、在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数
性质2：偶数±奇数=奇数
性质3：偶数个奇数的和是偶数
性质4：奇数个奇数的和是奇数
性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数
例题精讲
一、倍数与因数的认识
【例1】请问：图中有哪些数
（1）根据图中数据：
①买5千克梨需要多少钱
可以说：20是4的倍数；20是5的倍数；
4是20的因数；5是20的因数。
你通过自己的理解，给老师说说什么是倍数，什么是因数
注意，这
②买3千克苹果需要多少钱你能根据算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数吗
③买2千克葡萄需要多少钱
【例2】根据算式说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数：
18×2＝36 22×7＝154 25×4＝100 6×8＝48
【例3】口算下面个题：
15÷3＝ 7÷1＝ 10÷4＝ 36÷＝ 6÷6＝
问：你认为哪些算式具有倍数和因数的关系为什么
【例5】变式训练：10÷4＝ 36÷＝60
你认为哪些算式具有倍数和因数的关系为什么
【例4】找出下列能整除的算式，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数60÷5 8÷1 15÷2 8÷8 1÷8 200÷10
【例5】找出18的因数和倍数。
（用乘法和除法两种方法找）
【例6】五一班有学生42人，把他们平均分成几个学习小组，每组多于2人且少于8人，可以分成几个小组呢
【巩固】用36个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法【例7】12是6的倍数，24是6的倍数，12和24的和是6的倍数吗差、积呢【巩固】21是7的倍数，49也是7的倍数，49和21的差是7的倍数吗
【巩固】63是9的倍数，18也是9的倍数，63与18的和是9的倍数吗
总结：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和、差、积也是这个数的倍数。
巩固练习：
（1）写出100以内8的倍数。
（2）写出48的因数。
（3）计算并说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数
24÷6= 72÷8= 9÷9= 100÷25=
25×3＝ 14×6＝ 20×9＝
（4）下面各组数中，有因数和倍数关系的有哪些
16和2 140和20 45和15
33和6 4和24 和8
二、2和5的倍数的特征
【例8】我们已经掌握了因数、倍数的意义，下面这几个数，谁是2的倍数谁是5的倍数
8267 694872 3410
18634 56205 5558
【例9】观察5的倍数有什么特征在右表中找出5的倍数，并做上记号：
你能总结出5的倍数的特征吗
【例10】（1）写出20以内（包括20）2的倍数
（2）你发现了什么
（3）结论：
注意：检验一下是不是个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
【例11】判断：下面哪些数是2的倍数哪些是5的倍数
60、75、106、130、521、 89、 98
①、哪些数既是2的倍数又是 5的倍数呢说说是怎样判断的
②、既是2的倍数又是 5的倍数的数有什么特征。
【例12】写出30后面的3个连续偶数；写出33前面的3个连续奇数。
【例13】5个连续奇数的和是135，这5个连续奇数分别是多少
【例14】5个连续偶数的和是130，这5个连续偶数分别是多少
【例15】计算下面算式，你有什么发现
26+12 73+21 25+22 11×13 12×10 26-12 73-21 25-22 11×12
总结：两个偶数相加减， ；两个奇数相加减， ；奇数与偶数的和（差）是 ；两个奇数相乘， ；两个偶数相乘， ；奇数和偶数相乘， ；。
【例16】①能被2整除的最小的三位数是（ ）最大的三位数是（ ）。
②能被5整除的最小两位数是（ ）最大的两位数是（ ）。
【例17】桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使得5个杯子的开口全都向下
【巩固】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否
经过若干次翻动，使得全部杯子的开口全都向下
【例18】不计算，判断48×625×32×435的积末尾有几个连续的0
【巩固】不计算，判断72×56×125×15末尾有几个连续的0
三、3的倍数的特征【例19】三个数字卡片 。
（1）由123，是3的倍数吗（ ）；
（2）由 （2） 这些数都是3的倍数吗
【例20
（1）由
235，是3的倍数吗（）。
（2）由
（3）这些数都是3的倍数吗
（4）这6个数都不是3的倍数，说明什么
【例21】从0~9中任取2个或3个数字，组成两位数或三位数，试一试这些数是不是3的倍数。
讨论：把是3的倍数的数挑出来，看看它们有哪些特征
巩固练习：
（1）下面那些数是3的倍数
18、35、315、291、192、1200、6030、8400、7065、1234、70002、57、1336、215803。
（2）在3的倍数。
(3)从0、3、5、6中选出两个数字组成一个两位数，满足下面的条件：
a：是3的倍数； b：同时是2和3的倍数；
c：同时是3和5的倍数； d：同时是2、3和5的倍数。
四、常见数字的整除判定方法：
（1）2：个位是偶数的自然数
（2）5：个位是0或5的自然数
注：若一个数同时是2和5的倍数，则此数的个位一定为0
（3）4、25：末两位能被4、25整除
（4）8、125：末三位能被8、125整除
（5）3、9：各个数位上的数之和能被3、9整除
（6）7、11、13通用性质：①一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整
除.如201201=201×1001，则其必能被7、11、13
整除
②从末三位开始，三位一段，奇数段之和与偶数段
之和的差如果是7、11、13的倍数，则其为7、
11、13的倍数
③末三位一段，前后均为一段，用较大的减去较小
的，如果差为7、11、13的倍数，则其为7、
11、13的倍数
（7）11：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
（8）99：两位一段（从右往左），各段的和能被99整除
（9）999：三位一段（从右往左），各段的和能被999整除
【例22】在□内填上适当的数字，使五位数23□6□既能被3整除又能被5整除.
【例23】既能被3整除，又能被7整除的最小三位数是 .
【例24】一个五位数中各个数位上的数字和是42，则其中能被4整除的五位数是哪几个【例25】在1～1000之间的自然数，能同时被2、3、5整除的数共有个.
【例26】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有个．。