计算机图形学基础教程
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– 直线
P(t ) P1 ( P2 P1 )t , t [0,1]
– 圆
1 t 2 2t P(t ) , 2 2 1 t 1 t
清华大学
t [0,1]
计算机图形学
参数表示的优点：
（1）以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 （3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接 进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中 断计算。
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计算机图形学
• 光顺(Fairing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而 言，相对光顺的条件是：
–a. 具有二阶几何连续性(G2)；
–b. 不存在多余拐点和奇异点；
–c. 曲率变化较小。
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计算机图形学
3.1.4 参数化
• 过三点P0 、P1 和P2 构造参数表示的插值多项式 可以有无数条，这是因为对应地参数t, 在[0, 1]区间中有无数种取法。即P0 、P1 和P2 可对应 不同的参数值，比如，
–上述代数式写成矢量式是
P (t ) a3t a2t a1t a0
3 2
t [0,1]
计算机图形学
清华大学
• 几何形式
– 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、 P(1)描述。
– 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1，代入
弦长修正系数Ki>=1。从公式可知，与前后邻弦长及相
清华大学 计算机图形学
比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角i-1和 i(不超过时)越 大，则修正系数就K i 就越大。
• 参数区间的规格化
我们通常将参数区间
[t0规格化为[0, 1]， ,tn ]
[t0, t n ] [0,1] ，只需对参数化区间作如下处理：
t0 0, t1 1 , t 2 1,或 2
t 0 0, t1 1 , t 2 1, 2
其中每个参数值称为节点(knot)。
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计算机图形学
• 对于一条插值曲线，型值点 P0 , P , , Pn与其参 1 数域 t [t 0 , t n ] 内的节点之间有一种对应关系。 对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割， 称之这组型值点的参数化。
T1
T (s )
N1 B1
N0 B0
O （a） 图3.1.3 曲率和挠率
清华大学
（b）
计算机图形学
3.1.3 插值、拟合、逼近和光顺
• 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构 造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些 数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
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计算机图形学
' 0 0
' 1 1
t [0,1]
上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何 系数是P0、P1、P0和P1。
F0 , F1 , G0 , G1 称为调和函数（或混合函数）
清华大学 计算机图形学
P
' 1
F0 1
F1 1
P0'
–法矢量
dT •与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N ds
• 矢量积 B T N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把 平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢 • 我们可以推导出：
P(t ) P(t ) B P(t ) P(t ) ( P(t ) P(t )) P(t ) N B T ( P(t ) P(t )) P(t )
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计算机图形学
• 参数化常用方法有：
–均Biblioteka Baidu参数化(等距参数化)
• 节点在参数轴上呈等距分布， ti 1 ti +正常数。
–累加弦长参数化
t0 0 ti ti 1 Pi 1 ,i 1,2, ,n
Pi Pi 1 Pi
这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够 克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化 所出现的问题。
第三章 几何造型技术 清华大学
• 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表 达物体模型形状的技术。
• 描述物体的三维模型有三种: 线框模型、曲面模型和实体模型。
清华大学
计算机图形学
–线框模型用顶点和棱边来表示物体。
• 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的 物体； • 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点 在物体内部、外部或表面上）。
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计算机图形学
（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间
去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分 量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
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计算机图形学
3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、 曲率和挠率
清华大学
计算机图形学
–实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无
歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。 是最高级的模型。
• 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的
要求。
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• 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整， 但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中 具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模 型，表面模型是它的基础。
清华大学 计算机图形学
t [0,1]
–令： F (t ) 2t 3 3t 2 1 F (t ) 2t 3 3t 2 0 1
可将其简化为：
G0 (t ) t 3 2t 2 t
G1 (t ) t t
3
2
P (t ) F0 P0 F1 P1 G P G P
计算机图形学
清华大学
.对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的 计算公式如下：
P(t ) P(t ) P(t )
3
( P(t ), P(t ), P(t )) ( P(t ) P(t )) 2
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B1
T
B0 T0
T ( s s )
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3.1 参数曲线和曲面
• 3.1.1 曲线曲面参数表示
–显式表示:y=f（x） –隐式表示:f（x，y）=0 –参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
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• 显式或隐式表示存在下述问题：
（1）与坐标轴相关； （2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； （3) 不便于计算机编程。
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• 参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上 任一点P可表示为：
P(t ) x(t ), y (t )
• 空间曲线上任一三维点P可表示为：
P(t ) x(t ), y (t ), z (t )
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• 参数表示例子：
–修正弦长参数化法
t0 0 ti ti 1 K i Pi 1 ,i 1,2, ,n
Pi i 3 Pi 2 i 1 Ki 1 2 Pi 2 Pi 1 Pi 1 Pi
i min Pi 1 Pi Pi 1 , , P1 Pn 0 2
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–T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的 活动坐标架 –N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为 密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。
法平面
B
从 切 面
N T
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密切面
主法线
图3.1.2 曲线的法矢
计算机图形学
– 曲率和挠率
T ' lim
–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2 的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为 的线性插值函数。 –抛物线插值:已知在三个互异点 x1 , x 2 , x3 的函数值 为 y1 , y 2 , y，要求构造一个函数 3
( x) ax 2 bx c
使抛物线 (x )在结点 xi (i 1,2,3) 处与 f (x) 在
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–表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面 的边界。
• 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数 控加工等需要。 • 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表 面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物 体的整体性质。如物体的体积、重心等。 • 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互 关联的性质，如是否相交等。
ds / dt
2
dx / dt dy / dt dz / dt P (t )
2 2 2 '
2
dP dP dt P ' (t ) ，即为单位矢量 • 于是有 ' ds dt ds P (t )
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ds P ' (t ) 0 dt
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• 几何造型的历史
– 曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、 汽车外形设计的UNISURF系统。 – 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、 美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。 – 独立发展起来，又合二为一。 – 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设 计系统
–曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
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–切向量(切矢量)
• 选择弧长s作为参数，则 T dP lim P ds s 0 s • 根据弧长微分公式有： 是单位切矢
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
ti t 0 0,ti ,i 0,1, ,n tn
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3.1.5 参数曲线的代数和几何形式
我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。
• 代数形式
x(t ) a3 x t 3 a2 x t 2 a1x t a0 x 3 2 y (t ) a3 y t a2 y t a1 y t a0 y z (t ) a3 z t 3 a2 z t 2 a1z t a0 z t [0,1]
得
P (t ) a3t a2t a1t a0
3 2
t [0,1]
a0 P0 a1 P0' a2 3P0 3P 2 P ' 0 P ' 1 1 a 2 P 2 P P P ' 0 1 0 1 3
P (t ) (2t 3 3t 2 1) P0 ( 2t 3 3t 2 ) P (t 3 2t 2 t ) P0' (t 3 t 2 ) P1' 1
T T lim s 0 s s 0 s s
即 lim s 0
s
称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转 动率
曲率k的倒数
1
挠率 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对 于弧长的转动率.
称为曲率半径。
lim
s
s
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–向心参数化法
t0 0 ti ti 1 Pi 1
1 2
,i 1,2, ,n
向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线 切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些 简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非 均匀型值点分布。
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xi 处的值相等
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y
y y f (x)
y (x)
y f (x)
y (x)
y1
y2
x2
x
y1
y2
y3
o
x1
(a)
o
x1
x2
(b)
x3
x
图3.1.4 线性插值和抛物插值
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• 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲 线。 • 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近 似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼 近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为 逼近。
P(t ) P1 ( P2 P1 )t , t [0,1]
– 圆
1 t 2 2t P(t ) , 2 2 1 t 1 t
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t [0,1]
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参数表示的优点：
（1）以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 （3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接 进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中 断计算。
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• 光顺(Fairing)指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而 言，相对光顺的条件是：
–a. 具有二阶几何连续性(G2)；
–b. 不存在多余拐点和奇异点；
–c. 曲率变化较小。
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3.1.4 参数化
• 过三点P0 、P1 和P2 构造参数表示的插值多项式 可以有无数条，这是因为对应地参数t, 在[0, 1]区间中有无数种取法。即P0 、P1 和P2 可对应 不同的参数值，比如，
–上述代数式写成矢量式是
P (t ) a3t a2t a1t a0
3 2
t [0,1]
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• 几何形式
– 对三次参数曲线，若用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、 P(1)描述。
– 将P(0)、P(1)、P(0)和P(1)简记为P0、P1、P0和P1，代入
弦长修正系数Ki>=1。从公式可知，与前后邻弦长及相
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比，若越小，且与前后邻弦边夹角的外角i-1和 i(不超过时)越 大，则修正系数就K i 就越大。
• 参数区间的规格化
我们通常将参数区间
[t0规格化为[0, 1]， ,tn ]
[t0, t n ] [0,1] ，只需对参数化区间作如下处理：
t0 0, t1 1 , t 2 1,或 2
t 0 0, t1 1 , t 2 1, 2
其中每个参数值称为节点(knot)。
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• 对于一条插值曲线，型值点 P0 , P , , Pn与其参 1 数域 t [t 0 , t n ] 内的节点之间有一种对应关系。 对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割， 称之这组型值点的参数化。
T1
T (s )
N1 B1
N0 B0
O （a） 图3.1.3 曲率和挠率
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（b）
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3.1.3 插值、拟合、逼近和光顺
• 给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构 造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些 数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。
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' 0 0
' 1 1
t [0,1]
上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式，几何 系数是P0、P1、P0和P1。
F0 , F1 , G0 , G1 称为调和函数（或混合函数）
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P
' 1
F0 1
F1 1
P0'
–法矢量
dT •与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N ds
• 矢量积 B T N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把 平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢 • 我们可以推导出：
P(t ) P(t ) B P(t ) P(t ) ( P(t ) P(t )) P(t ) N B T ( P(t ) P(t )) P(t )
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• 参数化常用方法有：
–均Biblioteka Baidu参数化(等距参数化)
• 节点在参数轴上呈等距分布， ti 1 ti +正常数。
–累加弦长参数化
t0 0 ti ti 1 Pi 1 ,i 1,2, ,n
Pi Pi 1 Pi
这种参数法如实反映了型值点按弦长的分布情况，能够 克服型值点按弦长分布不均匀的情况下采用均匀参数化 所出现的问题。
第三章 几何造型技术 清华大学
• 几何造型技术是一项研究在计算机中，如何表 达物体模型形状的技术。
• 描述物体的三维模型有三种: 线框模型、曲面模型和实体模型。
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–线框模型用顶点和棱边来表示物体。
• 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的 物体； • 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点 在物体内部、外部或表面上）。
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（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间
去。 （6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分 量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。 （7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
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3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、 曲率和挠率
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–实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无
歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。 是最高级的模型。
• 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的
要求。
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• 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整， 但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中 具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模 型，表面模型是它的基础。
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t [0,1]
–令： F (t ) 2t 3 3t 2 1 F (t ) 2t 3 3t 2 0 1
可将其简化为：
G0 (t ) t 3 2t 2 t
G1 (t ) t t
3
2
P (t ) F0 P0 F1 P1 G P G P
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.对于一般参数t，我们可以推导出曲率和挠率的 计算公式如下：
P(t ) P(t ) P(t )
3
( P(t ), P(t ), P(t )) ( P(t ) P(t )) 2
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B1
T
B0 T0
T ( s s )
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3.1 参数曲线和曲面
• 3.1.1 曲线曲面参数表示
–显式表示:y=f（x） –隐式表示:f（x，y）=0 –参数表示:P(t)=[x(t), y(t), z(t)]
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• 显式或隐式表示存在下述问题：
（1）与坐标轴相关； （2）会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)； （3) 不便于计算机编程。
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• 参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。假定用t表示参数，平面曲线上 任一点P可表示为：
P(t ) x(t ), y (t )
• 空间曲线上任一三维点P可表示为：
P(t ) x(t ), y (t ), z (t )
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• 参数表示例子：
–修正弦长参数化法
t0 0 ti ti 1 K i Pi 1 ,i 1,2, ,n
Pi i 3 Pi 2 i 1 Ki 1 2 Pi 2 Pi 1 Pi 1 Pi
i min Pi 1 Pi Pi 1 , , P1 Pn 0 2
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–T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的 活动坐标架 –N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为 密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。
法平面
B
从 切 面
N T
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主法线
图3.1.2 曲线的法矢
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– 曲率和挠率
T ' lim
–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2 的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为 的线性插值函数。 –抛物线插值:已知在三个互异点 x1 , x 2 , x3 的函数值 为 y1 , y 2 , y，要求构造一个函数 3
( x) ax 2 bx c
使抛物线 (x )在结点 xi (i 1,2,3) 处与 f (x) 在
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–表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面 的边界。
• 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数 控加工等需要。 • 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表 面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物 体的整体性质。如物体的体积、重心等。 • 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互 关联的性质，如是否相交等。
ds / dt
2
dx / dt dy / dt dz / dt P (t )
2 2 2 '
2
dP dP dt P ' (t ) ，即为单位矢量 • 于是有 ' ds dt ds P (t )
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ds P ' (t ) 0 dt
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• 几何造型的历史
– 曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、 汽车外形设计的UNISURF系统。 – 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、 美国罗彻斯特大学的PADL-1系统等。 – 独立发展起来，又合二为一。 – 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设 计系统
–曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
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–切向量(切矢量)
• 选择弧长s作为参数，则 T dP lim P ds s 0 s • 根据弧长微分公式有： 是单位切矢
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
ti t 0 0,ti ,i 0,1, ,n tn
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3.1.5 参数曲线的代数和几何形式
我们以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式。
• 代数形式
x(t ) a3 x t 3 a2 x t 2 a1x t a0 x 3 2 y (t ) a3 y t a2 y t a1 y t a0 y z (t ) a3 z t 3 a2 z t 2 a1z t a0 z t [0,1]
得
P (t ) a3t a2t a1t a0
3 2
t [0,1]
a0 P0 a1 P0' a2 3P0 3P 2 P ' 0 P ' 1 1 a 2 P 2 P P P ' 0 1 0 1 3
P (t ) (2t 3 3t 2 1) P0 ( 2t 3 3t 2 ) P (t 3 2t 2 t ) P0' (t 3 t 2 ) P1' 1
T T lim s 0 s s 0 s s
即 lim s 0
s
称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转 动率
曲率k的倒数
1
挠率 的绝对值等于副法线方向(或密切平面)对 于弧长的转动率.
称为曲率半径。
lim
s
s
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–向心参数化法
t0 0 ti ti 1 Pi 1
1 2
,i 1,2, ,n
向心参数化法假设在一段曲线弧上的向心力与曲线 切矢从该弧段始端至末端的转角成正比，加上一些 简化假设，得到向心参数化法。此法尤其适用于非 均匀型值点分布。
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xi 处的值相等
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y
y y f (x)
y (x)
y f (x)
y (x)
y1
y2
x2
x
y1
y2
y3
o
x1
(a)
o
x1
x2
(b)
x3
x
图3.1.4 线性插值和抛物插值
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• 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的 数据点(但未必通过这些点)，所构造的曲线为拟合曲 线。 • 在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近 似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼 近继承了这方面的含义，因此插值和拟合都可以视为 逼近。