计算机图形学简明教程_第7章
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场景可见部分的判断过程称为可见线判定或可见 面判定，也可称为隐藏线消除或隐藏面消除。
前提：把物体看成是由一个或多个多边形（或更复杂的面片）组成
窗口
1
以构成图像的每一个像素 为处理单元，确定场景中 的所有在该像素上有投影 的表面，相对于观察点可 见的表面。适于面消隐。 以三维场景中的物体对象 为处理单元，在所有对象 之间进行比较，除去完全 不可见的物体和物体上不 可见的部分。 适于面消隐 也适于线消隐。
紫色 橙色
2
3
具体分析－分割结束条件
对不满足上述三种情况的窗口，重复细分过程，并对细 分后的各子窗口重复做同样的处理。细分若干次后，窗 口的面积就小于或等于一个像素的面积了，此时细分结 束，该窗口对应的像素的颜色可取成最靠近观察者的多 边形的颜色。
紫色
橙色
基本思想
用多边形的边界对区域作划分，其目的是尽量减少对 区域划分的次数。该算法是对上节基于窗口细分算法 的改进。由于算法在景物空间中以任意指定的精度进 行运算，其输出结果仍为多边形，所以算法不仅可用 来处理隐藏面消除，也可用来处理多面体隐藏线消除
y
z
A 不相交
x (a)边界盒和投影均重
叠
(b) 边界盒重叠，投影不重叠
举例： 用边界盒技术判断两条直线是否相交。
y ymax Q1 Q3 ymin Q5 Q2
Q4
Q6
记点vi在oxy面上的投影为Qi ( xi , yi ) 。 直线段 Q1Q2的边界盒是包含该直线且 边平行于坐标轴的最小矩形，这个矩
子立方体；重复上述过程，直到每个小立方体所包含的表
面片少于一个给定的值，分割即告终止。
具体分析
1）每一终端结点对应一个求交面片表，该表中包含的是与终端结点对 对从后向前排 应的立方体中所包含的景物表面片。 列算 2）八叉树由于其不相交立方体之间的规则结构，可以很方便的进行空 法，先显示最 间预排序，然后再根据列表优先级算法便可以很容易对平行投影给 远的八 出正确的显示顺序。 分体，然后
y
4 1 z 2 3 x 要消隐的多边形 4
1 2
3
x
算法描述
Step6：内部表中多边形的按前后顺序排好序后，接下来是对外部表中 的各多边形进行排序。对外部表中各多边形的排序和对内部表中各 多边形的处理方法相同，即把外部表中第一个多边形作为裁剪多边 形(假定外部表中的多边形也是按原来的多边形次序排序)，对外部 表中的其它多边形作裁剪并确定遮挡关系，这一过程又形成新的外 部表。裁剪过程要重复到外部表中不再有多边形为止。
v2 v1
v5
v7
v6
2、判断后向面的方法
3）(a ) z可以看作是三角形v1vk vk+1在平面oxy上投影的 有向面积的二倍。 1 S AB * AC 顶点为A，B，C的三角形面积：
2
3）可以通过计算多边形在平面上投影的有向面积判断F 是否为后向面。有向面积sp可如下计算
1 L 1 sp (v1vk ) (v1vk 1 ) 2 K 2 z
当它们满足: 表明两个边界盒不相交，则边界盒中的两条直线段也不相交。
进一步简化判断
用球代替长方体作为边界盒可以简化判断直线同边界盒是 否相交的计算过程，即若边界球的球心到直线的距离大于 球的半径，那么直线与边界球不相交，也就与球内的物体 不相交。一个有效的确定边界球的方法是取球的中心为：
xmax xmin ymax ymin z max z min xc yc zc 2 2 2
问题。
算法描述
Step1：对各多边形在深度方向作初步的排序 Step2：把多边形序列中的第一个多边形（裁剪多边形）取为窗 口。 多边形序列中的其它的多边形都要被此窗口裁剪。 Step3：裁剪结果要建立两个多边形序列表 －内部表:放入位于窗口内的部分 －外部表:放入位于窗口外的部分
y y 4 1 z 2 3 4 1 2 3 4i 3o 4o
y y 4 1 z 2 3 4 1 2 3 3o x 4o
x
要消隐的多边形
基本思想
将能够包含整个场景的立方体，即八叉树的根结点，按照 x，y，z三个方向中的剖面分割成八个子立方体，称为根结
点的八个子结点。对每一个子立方体，如果它包含的表面
片少于一个给定的值（例如3），则该子立方体为八叉树 的终端结点，否则为非终端结点并将其进一步分割成八个
如何把透视投影变为垂直投影，其本质是把棱台变成长方体。
投影平面
( x , y , 0)
( x , y , 0)
( x , y , z )
( x , y , z )
B
A
由棱台到长方体的变换
Pc ( xc , yc , zc )
把左边的棱台A变换成右边长方体B。设 (x’,y’z’ )是棱台A中任意一点， 它在投影平面的投影为 (x,y,0) ，事实上透视投影是把线段 (x’,y’z’ )和 (x,y,0)之间的点都变换成 (x,y,0)，如果能把 (x’,y’z’ )和(x,y,0)之间的点指定 一个相应的Z值，且该值不改变原线段上点之间的前后关系，就可把棱台 A变为长方体B。
1 L 1 ((xk x1 )( yk 1 y1 ) ( xk 1 x1 )( yk y1 )) 2 K 2 注意：如果多边形是凸的，则可只取一个三角形计算有向面积sp。如 果多边形不是凸的，只取一个三角形计算有向面积sp可能会出现错误， 即F所在的面为前向面也可能出现sp≥0的情况,因此，需按上式计算多 边形F的有向面积。
y
注意选取适当的边界盒： 不可太小，也不可太大。 一种简单的求边界盒的方法： 计算多边形顶点坐标的最大值和 最小值得到（即采用矩形边界盒）
x z
边界盒应用原则
A边界盒不相交：在Oxy平面投影的边界盒，两个边界盒不
相交，所以两个多边形不相交。 B 边界盒相交：相交的情况可分为两种，投影相交或投影 不相交。无论哪种情况都需要做进一步的 处理，以判断两物体的投影是否相交。
是F的内法线方向，如果 a 的z分量
a v1vk v1vk 1, 2 k L 1
(a ) z 0
v3 v4
说明向量和z轴正方向的夹角大于90度， F的外法线方向和z轴正方向的夹角小于 90度，F为前向面。否则，即a的z分量 大于0 即 (a ) z 0 ，则F的内法向z轴正方 向的夹角大于90度，外法线方向和z轴正方向 的夹角小于90度，F为前向面。
1
多边形和窗口相交(图中情况2) 窗口包围了多边形(图中情况3) 多边形包围了窗口(图中情况4)
2 3
3
4
4
多边形和窗口的关系
具体分析－可见性判断
对以下的三种情况，窗口中多边形的可见性容易判定，不需要再对 窗口进行分割：
1
所有多边形均和窗口分离，则窗口内只需 显示背景色； 只有一个多边形和窗口相交，或这个多边 形包含在窗口内。这时，先对窗口内每一 像素填上背景颜色，再对窗口内多边形部 分用扫描线算法填色。 一个多边形包围窗口，其他多边形和窗口 分离，或有多个多边形和窗口的关系分别 是相交、内含或包围，但是有一个多边形 包围窗口并且在其他多边形前面，则窗口 用包围多边形的颜色填充。
7.1.1
边界盒
7.1.2
3
后向面消除 投影规范化
7.1.3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
边界盒 ：
物体的边界盒是指能够包含该物体的一个简单的几何形状， 如矩形，圆，长方体等。 采用边界盒在消隐中的好处：
可避免不必要的裁剪运算，避免在物体或它们的投影之间进
行不必要的比较运算。
图7.4 两个物 体 投 影 在 xy 平面，包围 投影的边界 盒为矩形
形由下面四个参数确定 xmin min(x1,x2 )，ymin min(y1,y2 ) x xmax xmin xmax max(x1,x2 )，ymax max(y1,y2 ) 设两个边界盒的参数为:xmini , ymini , xmaxi , ymaxi , i 1,2
( xmin1 xmax 2 )或 ( ymin1 ymax 2 ) 或 ( xmin 2 xmax1 )或 ( ymin 2 ymax1 )
1 2
3
x
算法描述
Step5：如果内部表中有某多边形H比裁剪区域（多边形）
更靠近观察者，说明原来的预排序不对，此时要用多边
形H的原始多边形(即未被裁剪时的多边形)代替原来的 裁剪多边形重复上述工作。
y
！
如左图如果对顶点排序 的话，则1自然要排最 前面，首先会用1做裁 剪多边形，但实际情况 是2在1的前面，所以应 该以2做新的裁剪多边 形，重复上述工作
如果 SP 0 ，则F所在的面为后向面。 如果SP 0，则F所在的面为前向面。
物体之间的遮挡关系与投影中心和投影方向 有着密切的关系，对物体的可见性判定也和 投影方式有密切的关系。 如果投影为垂直投影，则多边形在oxy平面 上的投影可由忽略了z坐标的顶点得到，从 而可大大减少计算量。具体如下：
2i
3i
x
要消隐的多边形
x
ni为窗口内的多边形表；no为窗口外的多边形表
算法描述
Step4：将内部表中每一个其它多边形的深度值与裁剪多边 形的深度值进行比较，如果内部表中每一个其它多边形 均被裁剪多边形遮挡，则裁剪多边形是完全可见的，可 把该多边形区域填上裁剪多边形的颜色。
y
y
4 1 z 2 3 x 要消隐的多边形 4
此射影变换可由下式定义
x xc ( x xc ) y yc ( y yc ) z Az B zc z zc zc z zc zc z
如果对的射影变换是线 性的，则不改变视见体 内各表面的前后位置关 系可以通过不改变视见 体的前后平面 z=zf和z＝ zb，的前后位置关系实现， 把这两个条件代入左式， 得：
像素
视点
图7.1 以像素为对象的消隐算法
y
窗口
2
x
z 平行投影
图7.2 以物体为对象的消隐算法
提
！
假定构成物体 的面不能相互 贯穿，也不能 有循环遮挡的 情况。
醒
(a)
(b)
贯穿和循环遮挡
如果构成物体的面不满足该假 定，可以把它们剖分成互不贯 穿和不循环遮挡的情况。
例如，用上图中的虚线便可把原来 循环遮挡的三个平面，分割成不存 在循环遮挡的四个面。
IJFGH，FABG，HCDI，IDEJ 所在的面为前向面 JEAF， DEABC,HGBC所在的面为后向面
2、判断后向面的方法
1）首先对多边形的顶点进行排序：设多边形F的顶点为 v1,v2,…,vL顶点 Vi 的坐标为 ( xi , yi , z i ) 。次序如图所示 2）判断后向面：如果v1,v2,…,vL构成凸的多边形，则向量
z f ( zc z f ) Az f B zb ( zc zb ) Azb B
AB如何求解？？
A zc z f zb , B z f zb
7.2.1
基于窗口的细分算法
7.2.2 基于多边形的细分算法
概述 区域细分算法是一种分而治之(Divide-Conquer) 的算法，它把投影区域作为考察对象，如果很 容易确定投影区域内的多边形是否可见，便显 示这些多边形，否则将这些区域进一步细分， 随着不断细分，判断多边形的可见性将越来越 简单。本节介绍基于窗口的细分算法和基于多 边形的细分算法。
基本思想
把物体投影到全屏幕窗口上，然后递归的将窗口一分为 四，如果可以确定小窗口内的多边形是否可见，则显示 这些多边形，否则，将小窗口细分为更小的窗口，递归 地执行上述过程。
子分的过程
具体分析－关系判断
细分后都要对多边形和窗口就下面四种关系作判断： 1 2 窗口和多边形分离(图中情况1)
取半径为： 其中：
R
xl2 yl2 zl2
xmax xmin xl 2
zmax zmin ymax ymin zl yl 2 2
思路：把显然不可见的面去掉，减少消隐过程中的 直线求交数目
1、后向面 多面体表面多变形的法向可分为两种，一种是指向多面体 的外部，我们称之为外法向，一种指向多面体的内部，我 们称之为内法向。 必然有一些多边形表面的外法向指向与观察者相背离的方 向，这些多边形完全被多面体上其它 多边形遮挡。这些被遮挡的多边形 称为后向面。 首先消除掉这些面，去除后向面的过 程称为后向面消除。
前提：把物体看成是由一个或多个多边形（或更复杂的面片）组成
窗口
1
以构成图像的每一个像素 为处理单元，确定场景中 的所有在该像素上有投影 的表面，相对于观察点可 见的表面。适于面消隐。 以三维场景中的物体对象 为处理单元，在所有对象 之间进行比较，除去完全 不可见的物体和物体上不 可见的部分。 适于面消隐 也适于线消隐。
紫色 橙色
2
3
具体分析－分割结束条件
对不满足上述三种情况的窗口，重复细分过程，并对细 分后的各子窗口重复做同样的处理。细分若干次后，窗 口的面积就小于或等于一个像素的面积了，此时细分结 束，该窗口对应的像素的颜色可取成最靠近观察者的多 边形的颜色。
紫色
橙色
基本思想
用多边形的边界对区域作划分，其目的是尽量减少对 区域划分的次数。该算法是对上节基于窗口细分算法 的改进。由于算法在景物空间中以任意指定的精度进 行运算，其输出结果仍为多边形，所以算法不仅可用 来处理隐藏面消除，也可用来处理多面体隐藏线消除
y
z
A 不相交
x (a)边界盒和投影均重
叠
(b) 边界盒重叠，投影不重叠
举例： 用边界盒技术判断两条直线是否相交。
y ymax Q1 Q3 ymin Q5 Q2
Q4
Q6
记点vi在oxy面上的投影为Qi ( xi , yi ) 。 直线段 Q1Q2的边界盒是包含该直线且 边平行于坐标轴的最小矩形，这个矩
子立方体；重复上述过程，直到每个小立方体所包含的表
面片少于一个给定的值，分割即告终止。
具体分析
1）每一终端结点对应一个求交面片表，该表中包含的是与终端结点对 对从后向前排 应的立方体中所包含的景物表面片。 列算 2）八叉树由于其不相交立方体之间的规则结构，可以很方便的进行空 法，先显示最 间预排序，然后再根据列表优先级算法便可以很容易对平行投影给 远的八 出正确的显示顺序。 分体，然后
y
4 1 z 2 3 x 要消隐的多边形 4
1 2
3
x
算法描述
Step6：内部表中多边形的按前后顺序排好序后，接下来是对外部表中 的各多边形进行排序。对外部表中各多边形的排序和对内部表中各 多边形的处理方法相同，即把外部表中第一个多边形作为裁剪多边 形(假定外部表中的多边形也是按原来的多边形次序排序)，对外部 表中的其它多边形作裁剪并确定遮挡关系，这一过程又形成新的外 部表。裁剪过程要重复到外部表中不再有多边形为止。
v2 v1
v5
v7
v6
2、判断后向面的方法
3）(a ) z可以看作是三角形v1vk vk+1在平面oxy上投影的 有向面积的二倍。 1 S AB * AC 顶点为A，B，C的三角形面积：
2
3）可以通过计算多边形在平面上投影的有向面积判断F 是否为后向面。有向面积sp可如下计算
1 L 1 sp (v1vk ) (v1vk 1 ) 2 K 2 z
当它们满足: 表明两个边界盒不相交，则边界盒中的两条直线段也不相交。
进一步简化判断
用球代替长方体作为边界盒可以简化判断直线同边界盒是 否相交的计算过程，即若边界球的球心到直线的距离大于 球的半径，那么直线与边界球不相交，也就与球内的物体 不相交。一个有效的确定边界球的方法是取球的中心为：
xmax xmin ymax ymin z max z min xc yc zc 2 2 2
问题。
算法描述
Step1：对各多边形在深度方向作初步的排序 Step2：把多边形序列中的第一个多边形（裁剪多边形）取为窗 口。 多边形序列中的其它的多边形都要被此窗口裁剪。 Step3：裁剪结果要建立两个多边形序列表 －内部表:放入位于窗口内的部分 －外部表:放入位于窗口外的部分
y y 4 1 z 2 3 4 1 2 3 4i 3o 4o
y y 4 1 z 2 3 4 1 2 3 3o x 4o
x
要消隐的多边形
基本思想
将能够包含整个场景的立方体，即八叉树的根结点，按照 x，y，z三个方向中的剖面分割成八个子立方体，称为根结
点的八个子结点。对每一个子立方体，如果它包含的表面
片少于一个给定的值（例如3），则该子立方体为八叉树 的终端结点，否则为非终端结点并将其进一步分割成八个
如何把透视投影变为垂直投影，其本质是把棱台变成长方体。
投影平面
( x , y , 0)
( x , y , 0)
( x , y , z )
( x , y , z )
B
A
由棱台到长方体的变换
Pc ( xc , yc , zc )
把左边的棱台A变换成右边长方体B。设 (x’,y’z’ )是棱台A中任意一点， 它在投影平面的投影为 (x,y,0) ，事实上透视投影是把线段 (x’,y’z’ )和 (x,y,0)之间的点都变换成 (x,y,0)，如果能把 (x’,y’z’ )和(x,y,0)之间的点指定 一个相应的Z值，且该值不改变原线段上点之间的前后关系，就可把棱台 A变为长方体B。
1 L 1 ((xk x1 )( yk 1 y1 ) ( xk 1 x1 )( yk y1 )) 2 K 2 注意：如果多边形是凸的，则可只取一个三角形计算有向面积sp。如 果多边形不是凸的，只取一个三角形计算有向面积sp可能会出现错误， 即F所在的面为前向面也可能出现sp≥0的情况,因此，需按上式计算多 边形F的有向面积。
y
注意选取适当的边界盒： 不可太小，也不可太大。 一种简单的求边界盒的方法： 计算多边形顶点坐标的最大值和 最小值得到（即采用矩形边界盒）
x z
边界盒应用原则
A边界盒不相交：在Oxy平面投影的边界盒，两个边界盒不
相交，所以两个多边形不相交。 B 边界盒相交：相交的情况可分为两种，投影相交或投影 不相交。无论哪种情况都需要做进一步的 处理，以判断两物体的投影是否相交。
是F的内法线方向，如果 a 的z分量
a v1vk v1vk 1, 2 k L 1
(a ) z 0
v3 v4
说明向量和z轴正方向的夹角大于90度， F的外法线方向和z轴正方向的夹角小于 90度，F为前向面。否则，即a的z分量 大于0 即 (a ) z 0 ，则F的内法向z轴正方 向的夹角大于90度，外法线方向和z轴正方向 的夹角小于90度，F为前向面。
1
多边形和窗口相交(图中情况2) 窗口包围了多边形(图中情况3) 多边形包围了窗口(图中情况4)
2 3
3
4
4
多边形和窗口的关系
具体分析－可见性判断
对以下的三种情况，窗口中多边形的可见性容易判定，不需要再对 窗口进行分割：
1
所有多边形均和窗口分离，则窗口内只需 显示背景色； 只有一个多边形和窗口相交，或这个多边 形包含在窗口内。这时，先对窗口内每一 像素填上背景颜色，再对窗口内多边形部 分用扫描线算法填色。 一个多边形包围窗口，其他多边形和窗口 分离，或有多个多边形和窗口的关系分别 是相交、内含或包围，但是有一个多边形 包围窗口并且在其他多边形前面，则窗口 用包围多边形的颜色填充。
7.1.1
边界盒
7.1.2
3
后向面消除 投影规范化
7.1.3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
边界盒 ：
物体的边界盒是指能够包含该物体的一个简单的几何形状， 如矩形，圆，长方体等。 采用边界盒在消隐中的好处：
可避免不必要的裁剪运算，避免在物体或它们的投影之间进
行不必要的比较运算。
图7.4 两个物 体 投 影 在 xy 平面，包围 投影的边界 盒为矩形
形由下面四个参数确定 xmin min(x1,x2 )，ymin min(y1,y2 ) x xmax xmin xmax max(x1,x2 )，ymax max(y1,y2 ) 设两个边界盒的参数为:xmini , ymini , xmaxi , ymaxi , i 1,2
( xmin1 xmax 2 )或 ( ymin1 ymax 2 ) 或 ( xmin 2 xmax1 )或 ( ymin 2 ymax1 )
1 2
3
x
算法描述
Step5：如果内部表中有某多边形H比裁剪区域（多边形）
更靠近观察者，说明原来的预排序不对，此时要用多边
形H的原始多边形(即未被裁剪时的多边形)代替原来的 裁剪多边形重复上述工作。
y
！
如左图如果对顶点排序 的话，则1自然要排最 前面，首先会用1做裁 剪多边形，但实际情况 是2在1的前面，所以应 该以2做新的裁剪多边 形，重复上述工作
如果 SP 0 ，则F所在的面为后向面。 如果SP 0，则F所在的面为前向面。
物体之间的遮挡关系与投影中心和投影方向 有着密切的关系，对物体的可见性判定也和 投影方式有密切的关系。 如果投影为垂直投影，则多边形在oxy平面 上的投影可由忽略了z坐标的顶点得到，从 而可大大减少计算量。具体如下：
2i
3i
x
要消隐的多边形
x
ni为窗口内的多边形表；no为窗口外的多边形表
算法描述
Step4：将内部表中每一个其它多边形的深度值与裁剪多边 形的深度值进行比较，如果内部表中每一个其它多边形 均被裁剪多边形遮挡，则裁剪多边形是完全可见的，可 把该多边形区域填上裁剪多边形的颜色。
y
y
4 1 z 2 3 x 要消隐的多边形 4
此射影变换可由下式定义
x xc ( x xc ) y yc ( y yc ) z Az B zc z zc zc z zc zc z
如果对的射影变换是线 性的，则不改变视见体 内各表面的前后位置关 系可以通过不改变视见 体的前后平面 z=zf和z＝ zb，的前后位置关系实现， 把这两个条件代入左式， 得：
像素
视点
图7.1 以像素为对象的消隐算法
y
窗口
2
x
z 平行投影
图7.2 以物体为对象的消隐算法
提
！
假定构成物体 的面不能相互 贯穿，也不能 有循环遮挡的 情况。
醒
(a)
(b)
贯穿和循环遮挡
如果构成物体的面不满足该假 定，可以把它们剖分成互不贯 穿和不循环遮挡的情况。
例如，用上图中的虚线便可把原来 循环遮挡的三个平面，分割成不存 在循环遮挡的四个面。
IJFGH，FABG，HCDI，IDEJ 所在的面为前向面 JEAF， DEABC,HGBC所在的面为后向面
2、判断后向面的方法
1）首先对多边形的顶点进行排序：设多边形F的顶点为 v1,v2,…,vL顶点 Vi 的坐标为 ( xi , yi , z i ) 。次序如图所示 2）判断后向面：如果v1,v2,…,vL构成凸的多边形，则向量
z f ( zc z f ) Az f B zb ( zc zb ) Azb B
AB如何求解？？
A zc z f zb , B z f zb
7.2.1
基于窗口的细分算法
7.2.2 基于多边形的细分算法
概述 区域细分算法是一种分而治之(Divide-Conquer) 的算法，它把投影区域作为考察对象，如果很 容易确定投影区域内的多边形是否可见，便显 示这些多边形，否则将这些区域进一步细分， 随着不断细分，判断多边形的可见性将越来越 简单。本节介绍基于窗口的细分算法和基于多 边形的细分算法。
基本思想
把物体投影到全屏幕窗口上，然后递归的将窗口一分为 四，如果可以确定小窗口内的多边形是否可见，则显示 这些多边形，否则，将小窗口细分为更小的窗口，递归 地执行上述过程。
子分的过程
具体分析－关系判断
细分后都要对多边形和窗口就下面四种关系作判断： 1 2 窗口和多边形分离(图中情况1)
取半径为： 其中：
R
xl2 yl2 zl2
xmax xmin xl 2
zmax zmin ymax ymin zl yl 2 2
思路：把显然不可见的面去掉，减少消隐过程中的 直线求交数目
1、后向面 多面体表面多变形的法向可分为两种，一种是指向多面体 的外部，我们称之为外法向，一种指向多面体的内部，我 们称之为内法向。 必然有一些多边形表面的外法向指向与观察者相背离的方 向，这些多边形完全被多面体上其它 多边形遮挡。这些被遮挡的多边形 称为后向面。 首先消除掉这些面，去除后向面的过 程称为后向面消除。