人工智能导论--与或图搜索

3 与或图搜索
• 含义：在与或图上执行搜索的过程，其目的在于标明 起始节点是有解的，即，搜索不是去寻找到目标节点 的一条路径，而是寻找一个解图。
• 定义：一个节点被称为能解节点，其递归定义为： 1．终节点是能解节点（直接与本原问题相关联）； 2．若非终节点 有 “或” 子节点时，当且仅当其子 节点至少有一个能解 ，该非终节点才能解； 3．若非终节点有 “与” 子节点时，当且仅当其子 节点均能解，该非终节点才能解。
第四章 与或图搜索
1 问题归约法 2 与或图 3 与或图搜索 4 AO*算法 5 博弈树的搜索
1 问题归约法
• 问题: 在边长为 2 的正方形内，任意放置 5 个 点，求证其中必存在两个点，它们之间的距离不 大于2。
• 问题可转化为：在四个单位正方形内，任意放置5 个点，至少有两个点在同一正方形内。
• 同A算法类似,若 s→N 存在解图,当 h(n) ≤ h*(n)且h(n)满足单调限制条件时(对n到其子 节点的每一连接符均需要满足),则 AO* 一定 能找到最佳解图.
与A*算法的区别
–评价函数只考虑 h(n): • 理由: 算法有自下而上的修正费用的的操作, 实际上局部解图费用值的估计是在起始节点 S 比较, 计算 g 既无必要也不可能.
• 第5步(n) • (n0)
• (n1)
• (n5)
• (n4)
• 第6步
• (n1,n5,n4) • (n2,n3)
• (n6,n7,n8) • (n5,n8)
• 第7步(S) • (n0)
• (n1)
• (n5)
• (n4)
• 第11步
•
比较,选 • n0→n1; n1
1) 比较,选 n1→n3; n3
n1 17 n3 6
2
n26 2
n7 0
n0 18
2n5 2
0 n8
n07
n0 7
2 n4
2 n5 1 3 2 0 n8
解图的求法
n7
0 n7
n0
n2
n4
n5
n8
n0 5
2
n4 1
2 n5
2
1
n80
与或图搜索与状态空间图搜索的区别：
• 搜索目的不同：是证明起始节点是否可解， 而可解节点是递归定义的，取决于后继节 点是否可解，即搜索过程是能否找到可解 的叶节点.
P
P
Q
Q
R
R
(a)
(b)
• 与节点由与运算连接（超弧），如图（a）.
• 或节点由或运算连接，如图（b）.
• 定义：与或图就是包含与节点和或节点 的图，即存在超弧的图，也称为超图.
• 超图与状态空间图有什么区别？ 与或图是一种更一般的图.
• 定义：一超弧所相关的边数（K）被称为 该超弧的度，实现的连接称为K-连接.
5 博弈树的搜索
• 问题: 二人完备博弈： 1．由二人对垒，轮流走步，自己的走步自己选择
2．信息完备: 任何一方都完全知道对方过去的走 步情况和今后可能的走步，不包括碰运气的情况
• 表示方法: 利用与或图表示来描述博弈问题. 理由: 由于在博弈中,决定自己走步时只需考虑对 自己有利的一步——或，而考察对方时，则应考 虑对方所有可能的走步——与.
• 在一个与或图 G 中，从节点 n 到节点集 N 的解图 记为 G， G 是 G 的子图. 1．若 n 是N的一个元素，则G由单个节点n组成； 2．若 n 有一个指向节点集 {n1…,nk} 的外向连接 符 K，使得从每一个节点 ni 到 N 有一个解图 (i=1,…,k)，则 G由节点 n，连接符 K，以及 {n1 ,…,nk}中的每一个节点到 N 的解图所组成； 3．否则 n 到 N 不存在解图.
1.建立初始搜索图，G:=s，计算 q(s)=h(s)，IF GOAL(s) THEN M(s,SOLVED)；
2. Until s 已标记为 SOLVED, do: 3. Begin 4. G := FIND(G)；根据连接符标记（指针）找出一
个待扩展的侯选局部解图G（连接符在11步标记） 5. n := G 中的任一非终节点; 选一个当前节点 6. EXPAND(n),生成子节点集{ni}，如果 ni G，
–自上而下的图生长过程（4-6步）: 先通过有标 记的连接符，找到目前为止最好的一个局部解 图，然后对其中一个非终节点进行扩展，并对 其后继节点赋估计耗散值和加能解标记.
–自下而上的估价函数值的修正、连接符的标记 和SOLVED的标注过程(7-12): 耗散值的修正从 刚被扩展的节点n开始，其修正耗散值q(n)取所 有估计值中最小的一个，然后根据耗散值递归 计算公式逐级向上修正其先辈节点的耗散值.只 有下层节点耗散值修正后，才可能影响到上一 层节点的耗散值，如此一直修正到初始节点.
n4 1 1 n5
一次循环后
(5)n1
n3 4
(4) n0
4 n2 1 n5
n4 1
二次循环后
(5n)0
n1 (5)
n2
n3
4
4
(2)
n4 n5 1
(5) n0
n1
(5)
n2
n3
4
4
(2) n5
n4 (1)
n6
n6
2
0 n8
2
0 n8
n7 0 三次循环后
n7 0
四次循环后
不带括号的数是启发函数h(n)值,带括号数是估价函数q（n）的修正值； 短箭头用来标记连接符，标明侯选局部解图；已经标注SOLVED的节点 用黑心圆来表示。
n2i, … nki) 的每一个连接符 i 分别计算qi, qi(m)=Ci+q(n1i)+…+q(nki), 并取 q(m):= min qi (m); • 加(或修正)指针到 min qi (m) 的连接符上. IF M(nji, SOLVED) THEN M(m, SOLVED);（j=1，2，…， k）若该连接符的所有子节点都是能解的,则m也能解.
–不能优先扩展具有最小费用的节点: • 理由: K-连接符连接的有关子节点对父节点 的可解性及费用值的估计都会产生影响.
–仅适用于无环图,否则耗散值递归计算不收敛: • 方法: 当新生成的节点已在图中时,判断是 否为正被扩展节点的先辈节点.
–控制策略不同: • 没有 OPEN 表和 CLOSED 表, 只用生成的解 图结构 G, h(n) 是最佳解图的费用估计.
• K—连接符：从一个父节点指向一组含有 K个后继节点的节点集.
n1 n3
n0
n2 n5
• 在与或图中，节 点 n0 有两个连接
n4 符：1-连接符指 向节点 n1；2-连 接符指向节点集
合{n4、n5}；
n6
• 对于节点 n0 来讲，
n8 n1 可称为或节点，
n4、n5 可称为与
n7
节点。
与或图
• 问题: 假定我们已经会求矩形的面积，现在要求 如图所示的五边形的面积。
• 方法分析: 五边形的面积转化为矩形面积。
①I 1
III ③ 23 II
②
求解步骤：
求五边形面积
①I 1
III ③
3 2 II
求 1面积 求 2面积 求 3面积
②
求 I面积 求 ①面积
求 II面积 求 III面积 求 ②面积 求 ③面积
•
1) 比较,选 n5→n7, n8;
•
1)比较,选 n4→ n8;
不可解;
不可解;
n7, n8可解, n8可解, n4
• 2)比较,改
n5可解;
n0→n5, n4; • 2) n0不可
n5, n4不可 解,值变;
可解; • 2) n4 , n5
可解; n0可
解; n0不可
解,值不变;
解,值变;
• 第12步
G:= ADD({ni},G),计算 q(ni)=h(ni)，IF GOAL(ni) THEN M(ni, SOLVED);
7 S:={n}; 建立含 n 的节点集合S.（已扩展待修正）
8 Until S为空, do:
9 Begin
(m为S中任一节点)
10 REMOVE(m, S),当 mc{S};（m→mc ,从底层开始修正） 11 • 修改 m 的耗散值 q(m): 对 m 指向节点集 (n1i，
• 定义：不能解节点的递归定义为:
1．没有后裔的非终节点是不能解的节点；
2．若非终节点有 “或” 子节点时，当且仅 当所有子节点均不能解时，该非终节点才不 能解；
3．若非终节点有 “与” 子节点时，当至少 有一子节点不能解时，该非终节点才不能解.
解图的定义：
• 是由能解节点构成的一个子图，是包含一节点（n） 到目的(终)节点集合（N）的、连通的能解节点的子 图.
n0 h(n0)=3 • 例: 各节点启发值如
n1 h(n1)=2 n3 h(n3)=4
n6 h(n6)=2
图，k-连接符的耗散值 = k, 求最佳解图.
n2
n4 • 应用 AO* 算法，经四
h(n2)=4
h(n4)=1 个循环，可找到解图.
n5 h(n5)=1
• 在第一次循环扩展节
点 n0；然后,依次扩展 节点 n1、n5、n4。
n8 h(n8)=0
• 在节点 n4 被扩展之 后，节点 n0 便被标注 SOLVED，此时，通过向
n7 h(n7)=0
下跟踪有标记的连接符，
便获得了解图.
AO*搜索算法的过程
• 主要步骤 • 第1循环 • 第2循环
• 第3循环 • 第4循环
• 第4步(G’) • (n0)
• n0→n1
• n0→n5, n4 • n0→n5, n4;