复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变函数与积分变换复习纲要
复变函数与积分变换复习要点1、将i + 和66622(cos sin )ii e i πππ+==+22366611(cos sin )222i i i e e i e πππππ−===−。
2、写出函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件。
答：充要条件为：u 和v 在D 内可导，且在D 内满足C-R 方程：, u v u v x y y x∂∂∂∂==−∂∂∂∂。
3、写出解析函数()f z u iv =+的一阶导数公式。
答：(1)()u vf z i x x∂∂=+∂∂。
4、写出积分10()n C dzz z +−⎰的值。
答：当C 为包含0z 在内的正向简单闭曲线时，102,0()0, n C i n dzz z n π+=⎧=⎨−⎩⎰为其它整数；当C 不包含0z 在内时，100()n C dzz z +=−⎰。
5、写出复合闭路定理。
答：()f z 在多连通域D 内解析，C 是D 内的一条简单闭曲线，12,,,n C C C 为C 内部的n条互不包含也互不相交的简单闭曲线，且以12,,,,n C C C C 为边界的区域全含于D ，则有：12()0nC C C C f z dz −−−++++=⎰。
6、写出柯西积分公式和柯西积分的高阶导数公式。
答：柯西积分公式：001()()2Cf z f z dz iz z π=−⎰，其中C 为正向简单闭曲线，0z 在C 的内部，且()f z 在C 内和C 上处处解析。
高阶导数公式：()010!()()2()n n C n f z fz dz iz z π+=−⎰，其中C为正向简单闭曲线，0z 在C 的内部，且()f z 在C 内和C 上处处解析。
7、写出下列函数的泰勒展开式：1, , sin , cos , ln(1), (1)1z e z z z z zα++−。
答：01,(||1)1nn z z z +∞==<−∑；0,(||)!n z n z e z n +∞==<+∞∑；210(1)sin ,(||)(21)!n n n z z z n +∞+=−=<+∞+∑； 20(1)cos ,(||)(2)!n nn z z z n +∞=−=<+∞∑；1ln(1)(1),(||1)1n nn z z z n ++∞=+=−<+∑；(1),(||1)n nn z C z z αα+∞=+=<∑。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章复变函数第二章解析函数u （x, y ） iv （x, y ）可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
幕函数与根式函数3、对数函数1,（3）在单值解析分枝上：（In z ）'kz kiz ize e cosz2iz ize e sin z2i5、反三角函数（了解）掌握利用C-R 方程U x V y 掌握复变函数的导数:U y判别复变函数的可导性与解析性。
V xf'⑵匚UxiVxiU y VyU x iU yiVxn nr (cos i sin ) (cosni sinnn inr e单值函数1 i arg z2 k n nr ek =o 、 1、2、…、n-1)n 多值函数2、 指数函数：w e z e x(cos y i siny)性质：（1）单值.（2） 复平面上处处解析, (e z )'(3)以 2 i 为周期w Lnz lnz i(arg z2k ) lnz i2k（k=0、土 1、土 2 . ）性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析（3）周期性 （4）无界、复变数和复变函数U x, y 二、复变函数的极限与连续iv x, y极限 lim f (z)z z连续 lim f (z)f (z 0)z z、复变函数w f （z ） 1、 性质：（1 ）多值函数，（2） 除原点及负实轴处外解析4、三角函数:反正弦函数 wArc sin z丄L n(iz 、1 z 2) i反余弦函数 w Arccosz !Ln （z z 2 1）i性质与对数函数的性质相同。
s sLnz s[ln z| （2k arg z ） i]6、一般幂函数：z e e（k =o 、±1…）四、调和函数与共轭调和函数：1） 调和函数：2u （x, y ） 02） 已知解析函数的实部（虚部），求其虚部（实部） 有三种方法：a ）全微分法b ）利用C-R 方程 c）不定积分法第三章解析函数的积分一、 复变函数的积分| f z dz udx vdy i vdx udy 存在的条件。
复变函数与积分变换重点公式归纳39033
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+==二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0 连续 )()(lim 00z f z f z z =→ 第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy y x v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y f i iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=ΛΛ1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n e r z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数 2、指数函数：)sin (cos y i y e e w x z +==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zz e e =)'(（3）以i π2为周期3、对数函数 ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --= 性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln i z Arc w -+==反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
最新大学考试复习资料-复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比拟大小，但其模〔为实数〕有大小.1〕模：z=2〕幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z 〔多值函数〕；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3〕()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4〕三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+〞号。
5〕指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算：假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± ：1〕假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2〕假设121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=1） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭〔有n 个相异的值〕〔三〕复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1〕指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数积分变换复习提纲
复变函数积分变换复习提纲
一、积分变换的定义
1.复变函数积分变换的概念
2.不同积分变换的定义与区别（如拉普拉斯变换、傅立叶变换等）
二、积分变换的性质
1.线性性质：积分变换的线性性质以及相关的证明方法
2.逆变换：如何通过逆变换将变换后的函数还原为原函数
3.平移性质：积分变换中的平移性质以及具体计算方法
三、积分变换的计算方法
1.常用积分变换的计算：如拉普拉斯变换的计算步骤和方法
2.特殊函数的积分变换：如指数函数、正弦、余弦函数等
3.部分分数展开法：利用部分分数展开将复杂的函数进行积分变换
四、积分变换的性质应用
1.微分方程的解析解求解：利用积分变换可以将微分方程转化为代数方程进行求解
2.求极限：通过积分变换可以简化复杂函数的极限计算
3.求解积分：利用积分变换可以求解一些特定的积分问题
五、积分变换的应用举例
1.电路分析中的应用
2.信号与系统中的应用
3.滤波器设计中的应用
六、积分变换的常见问题与解决方法
1.变换域的收敛性与逆变换的存在性问题
2.利用积分变换求解非初值问题时需要注意的问题
3.实际问题的离散化处理：如何将连续问题转化为离散问题进行求解
七、积分变换的进一步研究与拓展
1.多变量复函数的积分变换
2.复杂函数的积分变换
3.积分变换在物理学、工程学等领域的应用
以上为复变函数积分变换的复习提纲，可以根据实际情况进行修改和补充。
希望对你的复习有所帮助！。
成人高等教育《复变函数与积分变换》复习资料
【重点归纳】(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
超详细版 复变函数与积分变换复习提纲
（六）复变函数积分的概念与性质
n
∫ ∑ 1． 复变函数积分的概念：
c
f ( z) dz = lim n→∞ k =1
f
(ξk )∆zk ， c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质
∫ ∫ 1） c f ( z ) dz = − c−1 f ( z ) dz
（ c−1 与 c 的方向相反）；
n
z
=
z
1 n
cos
θ
+ 2kπ n
+ i sin θ
+ 2kπ n
(k = 0,1, 2Ln −1) （有 n 个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：w = f ( z ) ，在几何上可以看作把 z 平面上的一个点集 D 变到 w 平面上的一个点集 G
的映射.
2．复初等函数
( ) 1）指数函数： ez = ex (cos y + isin y) ，在 z 平面处处可导，处处解析；且 ez ′ = ez 。
∫则
z2 z1
f ( z)dz= G ( z2 ) − G ( z1 )
(z1, z2 ∈ B)
说明：解析函数 f ( z ) 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。柯西积分公式：设 f ( z ) 在区域 D 内解析，c 为 D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于 D ，
3．闭路变形原理 ： 一个在区域 D 内的解析函数 f ( z ) 沿闭曲线 c 的积分，不因 c 在 D 内作连续
4
变形而改变它的值，只要在变形过程中 c 不经过使 f ( z ) 不解析的奇点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭（有n 个相异的值）（三）复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 3） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）； 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）4）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==； shz奇函数，chz是偶函数。
,shz chz在z平面内解析，且()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()000limz f z z f z z∆→+∆-∆；2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C R -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D内可微，且满足C R-条件：,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂； 此时()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内是可微的。
因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R -条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。
（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分的概念与性质1． 复变函数积分的概念：()()1lim nk k c n k f z dz f z ξ→∞==∆∑⎰，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。
2． 复变函数积分的性质 1） ()()1c cf z dz f z dz -=-⎰⎰ （1c -与c 的方向相反）；2） ()()()()[],,c c c f z g z dz f z dz g z dz αβαβαβ+=+⎰⎰⎰是常数； 3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()12c c c f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰。
3．复变函数积分的一般计算法1）化为线积分：()c c c f z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则 ()()[]()c f z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰。
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则()0cf z dz =⎰2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,n c c c 为边界的区域全含于D 内，则① ()cf z dz ⎰()1,knk c f z dz ==∑⎰ 其中c 与k c 均取正向；② ()0f z dz Γ=⎰，其中Γ由c 及1(1,2,)c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则()()()212112(,)z zf z dz G z G z z z B =-∈⎰说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。
柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D，0z 为c 内任意一点，则()()002c f z dz if z z z π=-⎰6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为()()()0102(1,2)()!n n cf z i dz f z n z z n π+==-⎰其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。
7．重要结论：12,010,()n ci n dz n z a π+=⎧=⎨≠-⎩⎰。
（c 是包含a 的任意正向简单闭曲线）8．复变函数积分的计算方法 1）若()f z 在区域D内处处不解析，用一般积分法()()()[]cf z dz f z t z t dt βα'=⎰⎰2）设()f z 在区域D 内解析，● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，()0c f z dz =⎰ ● c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有()()()()2121z cz f z dz f z dz F z F z ==-⎰⎰3）设()f z 在区域D 内不解析 ●曲线c 内仅有一个奇点：()()()()()0001022()!cn n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪-⎩⎰⎰（()f z 在c 内解析） ● 曲线c 内有多于一个奇点：()cf z dz ⎰()1knk c f z dz ==∑⎰（i c 内只有一个奇点k z ）或：()12Re [(),]nk k cf z dz i s f z z π==∑⎰（留数基本定理）● 若被积函数不能表示成()1()n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。
（八）解析函数与调和函数的关系1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ϕ在D 内有二阶连续偏导数且满足22220x yϕϕ∂∂+=∂∂，(,)x y ϕ为D 内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v为实部u 的共轭调和函数。