第3讲《锐角三角函数》全章复习与巩固(基础课程讲义例题练习含答案)
《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习
《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习锐角三角函数是高中数学中的重要知识点，理解和掌握这一内容对于后续的数学学习和应用至关重要。
为了巩固和加深对锐角三角函数的理解，下面是一些提高级别的巩固练习。
1.填空题1. 计算sin 60°的值：解：根据定值指函数的定义，sin 60°=√3/22. 计算cos 30°的值：解：根据定值指函数的定义，cos 30°=√3/23. 计算tan 45°的值：解：tan 45°=14. 计算csc 45°的值：解：根据定值指函数的定义，csc 45°=2/√2=√25. 计算sec 60°的值：解：根据定值指函数的定义，sec 60°=2/√36. 计算cot 30°的值：解：根据定值指函数的定义，cot 30°=1/√32.选择题1. 若角A的终边在第2象限，且sinA=-1/2，则角A为：B.150°C.210°D.240°解：根据sinA=-1/2可知，角A的终边在第3象限，角度为210°。
答案：C2. 若角B的终边在第4象限，且cosB=-√3/2，则角B为：A.30°B.60°C.150°D.210°解：根据cosB=-√3/2可知，角B的终边在第4象限，角度为210°。
答案：D3. 若角C的终边在第2象限，且tanC=√3，则角C为：A.30°B.45°C.60°D.90°解：根据tanC=√3可知，角C的终边在第1象限，角度为60°。
4. 若角D的终边在第3象限，且cotD=1/√3，则角D为：A.30°B.45°C.60°答案：D3.计算题1. 计算tan 50°的值：解：利用tan函数的性质，tan 50°=sin 50°/cos 50°=sin50°/√(1-sin²50°)。
人教版九年级数学下册-《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习和答案解析(基础)
《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习和答案解析（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．42．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的值是( )．A．3 B．6 C．8 D．9第1题图第3题图第4题图4．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3cos5A=， tan∠DBE的值是( )．A. 12B.2C.52D.555．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )．A．34B．43C．35D．45第5题图第7题图6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3sin2B=，则cosA的值为（）．A．12B．22C3D37．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米C ．5sin α米D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|23tan 45|(2 1.41)3-⎛⎫--++-= ⎪⎝⎭°________． 10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子 长AB ＝_______米．13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________．15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________．16．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则的值= ，tan ∠APD 的值= ．三、解答题17. 如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由．（≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝3，ME＝2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝3:2，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．2．【答案】A；【解析】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依题意得CD：AD=1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=：3，∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B；【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵ AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝41085⨯=，则226AB BC AC=-=．4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝35．∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，∴BE＝2k，∴tan∠DBE＝422DE kBE k==．5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，∴ CD2+BD2＝BC2．∴△BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴4 tan3BDCCD==．6.【答案】C；【解析】∵3sin B=，∴∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，∴3cos 2A =． 7．【答案】B ； 【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ； 【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°； 当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】23+；【解析】原式＝3|23|142323--++=-+=+．10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4 ；【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4米． 13．2； 【解析】由题意知22BD BD '==Rt △ABD ′中，22tan 22BD BAD AB ''∠=== 14．【答案】233y x =【解析】tan 45°＝1, tan603-cos60°＝12-，-6tan30°＝23-．设y ＝kx+b 经过点(1,3)、1,232⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则用待定系数法可求出23k =，3b =-． 15．【答案】45； 【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC ＝22221068AB AC -=-=， ∴84sin 105BC A AB ===． 16.【答案】3，2．【解析】解：∵四边形BCED 是正方形，∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ， ∴==3，连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF=CF=CD ，BF=BE ，CD=BE ，BE ⊥CD ，∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ，∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3，∴DP ：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF ，在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF ，∴tan ∠APD=2，三、解答题17.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5，∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5， tan30°=， ∴=，解得DB==5×1.73≈8.65，∵BM=7+5=12，BD≈8.65，∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m的建筑物无需拆除．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE⊥BC于E，则BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝1842⨯=．AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝38432⨯=．∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝433 AEEC==(2)作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∵ AD∥EF，∴四边形AEFD是矩形．AD＝EF．∵ AB＝DC，∴∠B＝∠DCF．又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．∴MN＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝3，MC＝ME＝2．∴CG＝CE＝2．在Rt△CAG中，3cos2ACACGCG∠==，∴∠ACG＝30°．∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；∴∠CDE＝2∠B．(2)连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵BD:AB＝3:2，∴在Rt△ADB中，3 cos2BDBAB==，∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，∴ OD＝10tan 30°＝1033．即⊙O的半径为1033．在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin 30°＝5．∵弦DF⊥直径AB于点E，∴ DE＝EF＝12DF，∴ DF＝2DE＝10．。
初三数学锐角三角函数含答案
初三数学锐角三角函数中考要求例题精讲模块一 三角函数基础一、锐角三角函数的定义如图所示，在Rt ABC △中，a 、b 、c 分别为A ∠、B ∠、C ∠的对边．（1）正弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作sin A ，即sin aA c=． （2）余弦：Rt ABC ∆中，锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作cos A ，即cos b A c =． （3）正切：Rt ABC ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作tan A ，即tan a A b=． 注意：① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用定义． ② sin A 、cos A 、tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体，不能理解为sin 与A 、cos 与A 、tan 与A 的乘积．③ 在直角三角形中，正弦、余弦、正切分别是某个锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值，当这个锐角确定后，这些比值都是固定值．二、特殊角三角函数a A这些特殊角的三角函数值一定要牢牢记住！ 三、锐角三角函数的取值范围在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，000a b c a c b c >>><<，，，，，又sin a A c =，cos b A c =，tan aA b=，所以 0sin 10cos 1tan 0A A A <<<<>，，． 四、三角函数关系 1．同角三角函数关系： 22sin cos 1A A +=，sin tan cos AA A= 2．互余角三角函数关系：(1) 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：()sin cos 90A A =︒-；(2) 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：()cos sin 90A A =︒-； (3) 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值：()tan cot 90A A =︒-． 3．锐角三角函数值的变化规律：(1)A 、B 是锐角，若A >B ，则sin A >sin B ；若A <B ，则sin A <sin B(2) A 、B 是锐角，若A >B ，则cos A <cos B ；若A <B ，则cos A >cos B (3) A 、B 是锐角，若A >B ，则tan tan A B >；若A <B ，则tan tan A B < 【例1】 已知在ABC △中，A B ∠∠、是锐角，且5sin tan 22913A B AB cm ===，，，则ABC S =△ ． 【解析】过C 作CD AB ⊥于D ，这样由三角函数定义得到线段的比：5sin tan 213CD CDA B AC BD====，， 设5132CD m AC m CD n BD n ====，，，，解题的关键是求出m n 、值．51222CD BD n m AD m ====， 所以529122922AB AD BD m m m =+=+==所以12101452ABC m CD S AB CD ===⋅=，，△ 小结：设ABC △中，a b c 、、为A B C ∠∠∠、、的对边，R 为ABC △外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：（1）111sin sin sin 222ABC S bc A ac B ab C ===△；（2）2sin sin sin a b c R A B C===． 【答案】145【巩固】如图，点A 在半径为R 的O 上，以A 为圆心，r 为半径作A ，设O 的弦PQ 与A 相切，求证PA QA ⋅为定值．【答案】证明线段乘积为定值，联想到三角形的面积，可以和三角函数联系起来．∵1sin 2APQ S PA QA A =⋅△，12APQ S r PQ =⋅△， ∴sin PA QA A r PQ ⋅⋅=⋅．在APQ △中，sin 2PQ A R =，∴2PQPA QA r PQ R⋅=⋅÷，∴2PA QA Rr ⋅=为定值．【例2】 求tan1tan2tan3tan89︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒的值【答案】∵tan cot 1αα=，tan cot(90)αα=︒-∴tan1tan89tan1cot11︒︒=︒︒=，tan2tan88tan2cot 21︒︒=︒︒=， tan44tan46tan44cot 441︒︒=︒︒=，而tan451︒=，∴tan1tan2tan3tan891︒⋅︒⋅︒⋅⋅︒=．【巩固】化简：22sin cos sin 1tan sin cos αααααα++-- 【解析】原式()2222cos sin cos sin cos sin sin cos αααααααα+=+--22cos sin sin cos cos sin αααααα-==--． 【答案】sin cos αα-【例3】已知tan α1）221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+（2090α︒<<︒）．【答案】⑴221cos sin cos 1sin cos sin a ααααα-+-+()()222222sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos 3cos cos cos sin cos cos cos sin cos sin sin αααααααααααααααααααααα⎛⎫+ ⎪++⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1sin 2cos αα-=OQPA【巩固】已知tan 2α=，求4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+．【答案】4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4sin 24226cos 3sin 532115cos αααα-⨯-===+⨯+．【例4】 已知α为锐角，且22sin 5cos 10αα-+=，求α的度数． 【答案】∵22sin cos 1αα+=∴22(1cos )5cos 10αα--+=，即：22cos 5cos 30αα+-=． ∴(2cos 1)(cos 3)0αα-+=． 解得：cos 3α=-或1cos 2α=． ∵0cos 1α≤≤，∴1cos 2α=，∴60α=︒． 【巩固】若α为锐角，且22cos 7sin 50αα+-=，求α的度数．【答案】由α为锐角，可知0sin 1α<<． 又由22cos 7sin 50αα+-=，22sin cos 1αα+=可知22sin 7sin 30αα-+=，解之得1sin 302αα=⇒=︒． 【例5】已知sin cos αα+（α为锐角），求作以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程． 【解析】∵sin cos αα+=，两边平方得：22sin cos 2sin cos 2αααα++=又∵22sin cos 1αα+=，∴1sin cos 2αα⋅=．∴11sin cos sin cos sin cos αααααα++==112sin cos αα⋅= ∴以1sin α和1cos α为两根的一元二次方程为：220x -+=【答案】220x -+=【巩固】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-． 【答案】不妨设方程的另一根为m ，由一元二次方程的根系关系可知sin m a α+=，21sin 2a m α-=， 故2(sin )1sin 2m m αα+-=，整理可得22sin (sin )1m m αα=+-，即22sin 1m α+=，又22sin cos 1αα+=，故cos m α=±．【巩固】已知：ABC △中，方程2(sin sin )(sin sin )(sin sin )0B A x A C x C B -+-+-=的两根相等，求证60B <︒． 【答案】两根相等则判别式为0，但是观察系数的规律，是否有其他的好办法呢？∵此方程系数之和为0，∴1x =必为此方程的根．又∵此方程两根相等，∴121x x ==，∴12sin sin 1sin sin C Bx x B A-==-．又由正弦定理，有c b b a -=-，∴2c ab +=． 再由余弦定理，有22222222()3()26212cos 22882c a a c c a ba c ca ca ca B caca ca ca ++-+-+--====≥．∴60B ︒≤，且等号不会成立，否则方程就不存在了．【巩固】在ABC △中，60A =︒，最大边与最小边的边长分别是方程2327320x x -+=的两个根，求ABC △的外接圆半径和内切圆的面积．【答案】题目中涉及到边长的关系，以及外接圆半径，这为正弦定理提供了便利条件．∵60A =︒，且显然此三角形有两边不等（即以已知方程为根的两边）， ∴ABC △中，A 既不是最大角也不是最小角，不防设b 为最大边，c 为最小边， 由韦达定理，有3293b c bc +==，， 又由余弦定理，有：2222cos a b c bc A =+-222()3b c bc b c bc =+-=+- 813249=-=．∴7a =（7a =-舍去）又由正弦定理，有2sin aR A===∴7916a b c ++=+=． 1sin 2S bc A P r ==⋅（其中2a b cP ++=，r 为内切圆半径）即132822r =⨯，∴r =∴内切圆面积21ππ3S r ==．【例6】 若0°<θ<30°，且1sin 3km θ=+(k 为常数，且k <0)，则m 的取值范是 ． 【答案】∵0°<θ<30°∴sin 0°<sin θ<sin 30°，即0<sin θ<12∴0<13km +<12，所以1136km -<<，又因为0k <∴1163m k k<<-． 模块二 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形．二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b aA B A B A c c b=====三、解直角三角形的四种基本类型（1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，tan b a B =，sin ac A=； （4）已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A=等． 四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是：①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等． 七、直角三角形中其他重要概念（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． cb aC BA（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图⑶．八、解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位．【例7】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）【解析】作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，设DE x = 在Rt ADE ∆中，由tan DE AE α=，得tan tan DE xAE αα==， 在Rt DBF ∆中，由tan DFBFθ=，得 tan tan DF x aBF θθ+==，因为AE BF =， 所以tan tan x x a αθ+=，解得tan tan tan a x αθα⋅=-，从而tan tan aAE θα=- 在Rt AEC ∆中，由tan EC AE β=，得tan tan tan tan a EC AE ββθα=⋅=- 所以()tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan a a a CD DE EC αβαβθαθαθα+=+=+=--- 【答案】()tan tan tan tan a αβθα+-【例8】 一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线米的矩形． 现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1:0.75改为；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 ．（1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？【答案】（1）作AE BC ⊥于E ．∵ 原来的坡度是1:0.75，∴ 140.753AE EB == ． 设4AE k =，3BE k =， ∴ 5AB k =， 又 ∵ 5AB =米， ∴1k =，则4AE =米 ．设整修后的斜坡为AB '，由整修后坡度为，有AE EB ='，∴∠AB E '=30°， ∴ 28AB AE '==米 ． ∴ 整修后背水坡面面积为908720⨯=米2 ． （2）将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米2 ．解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元； 第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元 ． ∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 ．解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 ． 即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元 ．【例9】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．DCBA【解析】连结AC、AD、BC、BD，延长AT，过B作BT AT⊥于T，AC与BT交于点E．过B作BP AC⊥于点P．由已知得90BAD∠=︒，30BAC∠=︒，32575AB=⨯=（海里），在BEP∆和AET∆中，90BPE ATE∠=∠=︒，AET BEP∠=∠，∴30EBP EAT∠=∠=︒．∵60BAT∠=︒，∴30BAP∠=︒，从而17537.52BP=⨯=（海里）．∵港口C在B处的南偏东75︒方向上，∴45CBP∠=︒．在等腰Rt CBP∆中，BC==，∴BC<AB．BAD∆是Rt∆，∴BD AB>．综上，可得港口C离B点位置最近．∴此船应转向南偏东75︒方向上直接驶向港口C．设由B驶向港口C船的速度为每小时x海里，548)5÷⨯-<7，解不等式，得x>．答：此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时能保证船在抵达港口前不会沉没．【答案】此船应转向沿南偏东75︒的方向向港口C航行，且航行速度至少不低于每小时证船在抵达港口前不会沉没．【巩固】海面上B处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C时，在驶向正西方的目的地A处，且200CA CB==海里，在AB中点O处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？（路程保留整数海里，角度精确到度）【解析】如图，由题意可知，ABC∆为等腰直角三角形，假设客轮截住货轮的地点在BC边上时，过OD BC⊥于D，OD为客轮到达BC边的最短距离，即客轮航行的路程为OD，由货轮速度为客轮的2倍可知，货轮航行的距离为2OD BC=，即货轮此时到达了C点，∴客轮截住货轮的地点不可能在BC边上．∴客轮截住货轮的地点在AC 边上．设在AC 边上的F 点两船相遇，设客轮航行的距离为x ，即OE x =，则2BC CE x +=， ∴2200CE x =-，过O 作OF AC ⊥于F ，则11002OF BC ==海里，11002FC AC ==海里， ∴3002EF x =-在Rt DEF ∆中，222OF EF OE +=， 即222100(3002)x x +-=，解得x =1282x ≈，2118x ≈∴141OE OA ≤=∴1282x ≈不符合题意，∴118x ≈ 即当客轮截住货轮时，航行了118海里． 在Rt OEF ∆中，100cos 0.8475118EOF ∠=≈ ∴32EOF ∠=︒∴客轮的航行方向应为南偏东32︒．【答案】客轮的航行方向应为南偏东32︒课堂检测1． （辽宁竞赛）如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．（1）请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上（所测的距离用m ，n 表示，角用α，β表示，测倾器高度忽略不计）；（2）根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．F EDOC BA【解析】（1）如图所示，在点C 测得ACB α∠=，在点D 测得ADB β∠=，测得DC m =（2）在Rt ABC ∆中，设AB x =，tan x BC α=在Rt ABD ∆中，tan xBD β= BD BC m -=， 即tan tan x xm βα-= 解得tan tan tan tan x m αβαβ⋅=-【答案】（1）DC m =；（2）tan tan tan tan m αβαβ⋅-2． 化简：222tan1tan 2....tan89sin 1sin 2...sin 89︒⋅︒︒︒+︒++︒【解析】tan1tan2....tan89tan451︒⋅︒︒=︒=()()22222222sin 1sin 2...sin 89sin 1cos 1sin 2cos 2...sin 45︒+︒++︒=︒+︒+︒+︒++︒1894422=+=，故原式289=． 【答案】2893． 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）【解析】过点'A 作'A N AB ⊥垂足为N 点，在Rt 'H CD ∆中， 若'HDH ∠不小于60︒， 则'3sin 60'H C H D ≥︒=， 即3''43H C H D ≥=， ∴''43B M H C =≥， ∵Rt 'Rt 'A NP B MP ∆∆∽ ∴''''A N A PB M B P=， ∴''643'23 3.5cm 'A P B M A N B P ⋅⨯=≥=≈，∴踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm ．【答案】踏板AB 离地面的高度至少等于3.5cm课后作业1． 化简求值：1sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎛⎫⎛⎫-+-+-- ⎪⎪ ⎪⎪+-+-⎝⎭⎝⎭（090α︒<<︒） 【解析】原式()()()()222222221sin 1sin 1cos 1cos 1sin 1sin 1cos 1cos αααααααα⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥=-⋅-⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦由090α︒<<︒可知，0cos 1α<<，0sin 1α<<．故原式1sin 1sin 1cos 1cos cos cos sin sin αααααααα-+-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 4cos sin αααα--=⋅=． 图3图2C MAA'P BB'HDH'H'DHB'BPA'A（图1）NCMA'PBB'HDH'【答案】42． 若045α︒<<︒，且sin cos αα=sin α的值． 【解析】方法1：由2263sin cos sin cos 256αααα==，结合22sin cos 1αα+=，可得 2226397sin (1sin )sin 2561616ααα-=⇒=或． 由045α︒<<︒可知221sin sin 452α<︒=，故27sin sin 16αα=⇒=． 方法2：由sin cos 2sin cos αααα=，结合22sin cos 1αα+=，可得sin cos αα+==cos sin αα-=，故sin α．3． （2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）．如图①在ABC △中，AB AC =，顶角A 的正对记作sadA ，这时=BCsadA AB=底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： （1）60sad ︒= ．（2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sadA 的取值范围是 ． （3）如图②，已知3sin 5A =，其中A ∠为锐角，试求sadA 的值．【解析】（1）1（2）02sadA <<（3）设53AB a BC a ==，，则4AC a =．在AB 上取4AD AC a ==，作DE AC ⊥于点E ． 则312416164sin 4cos 44555555DE AD A a a AE AD A a a CE a a =⋅=⋅==⋅=⋅==-=，，，CD =图②图①C BAC B A∴CDsadAAC==EDCBA。
锐角三角函数（含习题及答案）
锐角三角函数——正弦一、教学目标1.通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2.能根据正弦概念正确进行计算3.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力．二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．三、教学过程（一）复习引入操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34º，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了．你想知道小明怎样算出的吗？师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度；实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）实践探索为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30º，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=35m，求AB根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即==可得AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90º，∠A=45º，计算∠A的对边与斜边的比，能得到什么结论？分析：在Rt△ABC 中，∠C=90º，由于∠A=45º，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2 = AC2+BC2 = 2BC2，AB =BC故===结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45º，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90º，∠A=∠A’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．认识正弦如图，在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c．师：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦．记作sinA．板书：sinA＝= (举例说明：若a = 1，c = 3，则sinA=)注意：1、sinA不是 sin与A的乘积，而是一个整体；2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56º、sin∠DEF；3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位．提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，求sinA和sinB的值.分析：可利用勾股定理分别求出两个三角形中未知的那一边长，再根据正弦的定义求解.解答按课本.锐角三角函数——余弦和正切一、教学目标1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．二、教学重点、难点重点：理解余弦、正切的概念难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算三、教学过程（一）复习引入1.口述正弦的定义2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，CD⊥AB于点D．已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C．D．（二）实践探索一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：Rt△ABC与Rt△A’B’C’，∠C=∠C’=90o，∠A=∠A’=α，那么与有什么关系？分析：由于∠C=∠C’=90o，∠B=∠B’=α，所以Rt△ABC与Rt△A’B’C’相似，=，即=结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是一个固定值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA；即cosA ==类似地，把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA =锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（三）教学互动例、如图，在RtΔABC中，∠C = 90º，BC=6，sinA =，求cosA和tanB的值．解：∵sinA =，∴AB == 6×= 10又AC === 8∴cosA ==，tanB ==30°、45°、60°角的三角函数值一、教学目标1.能推导并熟记30º、45º、60º角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．2.能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式二、教学重点、难点重点：熟记30º、45º、60º角的三角函数值，能熟练计算含有30º、45º、60º角的三角函数的运算式难点：30º、45º、60º角的三角函数值的推导过程三、教学过程(一)复习引入还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin30º =，sin45º=你还能推导出sin60º的值及30º、45º、60º角的其它三角函数值吗？(二)实践探索让学生画30º、45º、60º的直角三角形，分别求sin30º、cos45º、tan60°归纳结果（三）教学互动例1、求下列各式的值：(1) cos260º+cos245º+sin30ºsin45º(2)+解：(1)原式 = ()2+()2+××=++= 1(2)原式 =+=+= −(1+)2−(1−)2=−3−2−3+2= −6说明：本题主要考查特殊角的正弦余弦值，解题关键是熟悉并牢记特殊角的正弦余弦值．易错点因没有记准特殊角的正弦余弦值，造成计算错例2、(1)如图(1), 在RtΔABC中，∠C = 90º，AB =，BC =，求∠A的度数．(2)如图(2)，已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求α.解：(1)在图(1)中，∵sinA ===，∴∠A = −45º，(2)在图(2)中，∵tanα ===，∴α = 60º用计算器求锐角三角函数值和根据三角函数值求锐角一、教学目标1.让学生熟识计算器一些功能键的使用2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角二、教学重点、难点重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题难点：知道值求角的处理三、教学过程（一）复习引入通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值．（二）实践探索1.用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37º24′sin37°23′cos21º28′ cos38°12′tan52°tan36°20′ tan75°17′2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.例如：sinA=0.9816.∠A＝；cosA＝0.8607，∠A＝；tanA＝0.1890，∠A=；tanA＝56.78，∠A＝．典型例题1．若把ΔABC中锐角A的两边AB、AC分别缩小为原来的，已知其中∠C = 90º，则锐角A的正弦，则sinA的变化情况为( )A．nsinA B．sinA C． D．保持原值不变答案：D说明：因为当一个锐角大小不变时，其正弦值是固定的，与∠A的两边大小无关，所以正确答案为D．2．已知ΔABC中，∠C = 90º，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c、且c = 3b，则cosA = ( )A． B． C．D．答案：C说明：因为cosA =，而c = 3b，所以cosA =，答案为C．3．a、b、c是ΔABC的三边，a、b、c满足等式(2b)2= 4(c+a)(c−a)，且有5a−3c = 0，求sinA+sinB的值．分析：用正弦的定义把正弦换为边的比，再由所给的边与边的关系即可求值．解：由(2b)2 = 4(c+a)(c−a)得b2 = c2−a2，∴c2 = a2+b2，∴ΔABC是直角三角形，且∠C = 90º；由5a−3c = 0，得=，即sinA =设a = 3k，则c = 5k，∴b == 4k，∴sinB ===∴sinA+sinB =+=．4．如图，∠POQ = 90º，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC = 30º；分别求点A、D到OP的距离．分析：由正方形的性质可证ΔABE≌ΔBCO≌ΔCDG，再由∠OBC = 30º，即可求出OC、CG、AE的长．解：过点A、D分别作AE⊥OP、DF⊥OP，DG⊥OG，垂足分别为E、F、G．在正方形ABCD中，∠ABC =∠BCD = 90º∵∠OBC = 30º，∴∠ABE =∠BCO = 60º同理可求∠CDG = 60º，又AB = BC = CD = 2 cm，∴RtΔABE≌RtΔBCO≌RtΔCDG∴CG = AE = AB•sin∠ABE = 2•=(cm)OC = BC•sin∠OBC = 2•= 1(cm)∴DF = OG = GC+OC = (+1)(cm)即点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为(+1)cm．习题精选选择题：1．如图，CD是RtΔABC斜边上的高，AC = 4，BC = 3，则cos∠BCD的值是( )A．B．C． D．答案：D说明：因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B = 90º；又∠A+∠B = 90º，所以∠BCD =∠A；由BC = 3，AC = 4，得AB === 5，∴cos ∠BCD = cosA ==，所以答案为D．2．如图，以平面直角坐标系的原点为圆心，以1为半径作圆，若点P是该圆在第一象限内的一点，且OP与x轴正方向组成的角为α，则点P的坐标是( )A．(cosα，1)B．(1，sinα)C．(sinα，cosα)D．(cosα，sinα)答案：D说明：如图，作PA⊥x轴于点A；由锐角三角函数定义知，cosα =，sinα =，所以OA = OPcosα = cosα，PA = OPsinα，所以点P的坐标为(cosα，sinα)，所以答案为D．3．如图，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E，下列结论不一定成立的是( )A．AD = BC’B．∠EBD =∠EDBC．ΔABE与ΔBCD相似D．sin∠ABE =答案：C说明：因为ΔBC’D≌ΔBCD，所以BC’ = BC；又BC = AD，所以AD = BC’；因为AD//BC，所以∠EDB =∠CBD，而∠CBD =∠EBD，所以∠EDB =∠EBD，所以EB = ED；而sin∠ABE ==，所以A、B、D都是成立的，答案为C．4．如图，RtΔABC中，∠C = 90º，D为BC上一点，∠DAC = 30º，BD = 2，AB = 2，则AC的长是( )A． B．2 C．3D．答案：A说明：在RtΔACD中，因为∠CAD = 30º，设CD = x，因为tan∠DAC =，则AC =x，在RtΔABC中，由勾股定理得AB2= AC2+BC2= AC2+(CD+DB)2，即(2)2= (x)2+(x+2)2，∴x2+x−2 = 0，解得x1 = 1或x2 = −2(舍去)，即DC = 1，AC =，答案为A．5．在RtΔABC中，∠C = 90º，如果∠A = 30º，那么sinA+cosB的值等于( )A．1 B． C．D．答案：A说明：因为在RtΔABC中，∠C = 90º，∠A = 30º，所以∠B = 60º，所以sinA = sin30º =，cosB = cos60º =，故sinA+cosB =+= 1，所以答案为A．6．在矩形ABCD中，BC = 2，AE⊥BD于E，∠BAE = 30º，那么ΔECD的面积是( )A．2 B． C．D．答案：C说明：如图，由题意得，ΔABE与ΔBDC相似，∴∠CBD =∠BAE = 30º，∴CD = BC•tan∠CBD = 2•=，AB = CD =，BE = AB•sin30º =×=，EF = BE•sin30º =×=，∴SΔECD = SΔBCD−SΔEBC =BC•CD−BC•EF =×2×−×2×=，答案为C．7．如图，两条宽度都是1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中黄色部分)的面积为( )A． B．sinα C． D．cosα答案：C说明：如图，过点A作AN⊥CD于N，过点D作DM⊥BC于M，则AN = DM = 1，∠DCM =α，在RtΔDCM中，CD == ，所以S平行四边形ABCD = CD•AN =，答案为C．解答题：1．如果α是锐角，且cosα =，求sinα及tanα的值．分析：事实上，因为α为锐角，所以可构造一个RtΔABC，使∠C = 90º，∠A = α，则有AC = 4k，AB = 5k，由勾股定理得BC == 3k，从而可求sinα；还可直接用公式sinA =求解．解：构造RtΔABC，使∠A = α，∠C = 90º，如图，∵cosα = cosA =，∴可令AC = 4k，AB = 5k，∴BC == 3k，∴sinA ===，tanA ===，即sinα =，tanα =．2．若tan2x−(+1)tanx+= 0，求锐角x．分析：这是以tanx为未知数的一元二次方程，可先求出tanx，再求x．解：tan2x−(+1)tanx+= 0，(tanx−1)(tanx−) = 0，得tanx = 1或tanx =；当tanx = 1时，x = 45º；当tanx =时，x = 60º；∴x1 = 45º，x2 = 60º．。
【人教版】九年级下册数学《锐角三角函数》全章知识点复习及同步习题(含答案)
锐角三角函数我们知道，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有：sin cos a A B c ==，cos sin b A B c ==，tan aA b=，这就是锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，再结合直角三角形的性质，我们可以探索出锐角三角函数之间的三个特殊关系． 一、余角关系由上面的定义我们已得到sin A =cos B ，cos A =sin B ，而在直角三角形中，∠A ＋∠B ＝90°，即∠B ＝90°－∠A ．因此有：sin A =cos （90°-A ），cos A =sin （90°-A ）．应用这些关系式，可以很轻松地进行三角函数之间的转换．例１ 如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，已知1sin 2A =，BD ＝2，求BC 的长．解：由于∠A ＋∠B ＝90°，所以1cos sin(90)sin 2B B A =-==．在Rt△BCD 中，cos BD B BC =，所以212BC =．所以BC ＝4． 二、平方关系 由定义知sin a A c =，cos b A c=， 所以222222222sin cos a b a b A A c c c++=+=（sin 2A 、cos 2A 分别表示sin A 、cos A 的平方）．又由勾股定理，知a 2+b 2=c 2，所以sin 2A +cos 2A =22c c=1．应用此关系式我们可以进行有关锐角三角函数平方的计算． 例2 计算：sin256°+sin245°+sin234°．解：由余角关系知sin56°=cos（90°-56°）=cos34°． 所以原式＝sin245°+（sin234°+cos234°）223122⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭． 三、相除关系 由定义中sin a A c =，cos bA c=， 得sin tan cos aA a c ac A b A c b bc==⨯==．利用这个关系式可以使一些化简求值运算过程变得简单． 例3 已知α为锐角，tan α=2，求3sin cos 4cos 5sin αααα+-的值．解：因为sin tan 2cos ααα==，所以sin α=2cos α， 所以原式6cos cos 6174cos 10cos 4106αααα++===---．求三角函数值的方法较多，且方法灵活．是中考中常见的题型．我们可以根据已知条件结合图形选用灵活的求解方法．四、设参数法例4 如图1， 在△ABC 中，∠C =90°，如果t a n A =125，那么sin B 等于（ ） (A)135 (B) 1312 (C) 125 (D)512 分析：本题主要考查锐角三角函数的定义及直角三角形的有关性质．因为tan A =125=b a ，所以可设a =5k ，b =12k (k >0)，根据勾股定理得c =13k ， 所以sin B =1312=c b ．应选(B)．五、等线段代换法例5 如图2，小明将一张矩形的纸片ABC D 沿C E 折叠，B 点恰好落在A D 边上，设此点为F ，若BA ：BC =4：5，则c os∠DCF 的值是______．分析：根据折叠的性质可知△E BC ≌△EF C ，所以C F=CB ， 又C D=AB ，AB ：BC =4：5， 所以C D ：C F=4：5，图1 图2在Rt△D C F 中，c os∠D C F=54=CF DC ． 六、等角代换法例6 如图3，C D 是平面镜，光线从A 点出发经C D 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α （入射角等于反射角），AC ⊥C D ，B D⊥C D ，垂足分别为C 、D ，且AC ＝3，B D ＝6，C D ＝11，则tan α的值为（ ） （A ）311 （B ）113 （C ）119 （D ）911分析：根据已知条件可得∠α=∠CA E ，所以只需求出tan∠CA E ．根据条件可知△AC E∽△B DE，所以ED CE BD AC =，即CECE-=1163， 所以C E=311，在Rt△A E C 中，tan∠CA E=9113311==AC CE ．所以tan α=911．七、等比代换法例7 如图4， 在Rt△ABC 中，ACB =90，C D⊥AB 于点D ，BC =3，AC =4，设BC D=α，tan α的值为（ ）(A)43 (B)34 (C)53 (D)54分析：由三角形函数的定义知tan α=DCDB， 由Rt△C D B ∽Rt△ACB ， 所以43==AC BC DC DB ，所以tan α=43，选(A)． ABCDEα 图3图4锐角三角函数测试1．比较大小：sin41°________sin42°．2．比较大小：cot30°_________cot22°．3．比较大小：sin25°___________cos25°．4．比较大小：tan52°___________cot52°．5．比较大小：tan48°____________cot41°．6．比较大小：sin36°____________cos55°．7、下列命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，若∠C=90°，则c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为（）A、②③ B.①②③ C.② D. ③8、若Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为( )A.tanA′=4tanA B.4tanA′=tanA C.tanA′=tanA D.不确定.9（新疆中考题）（1）如图（1）、（2），锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化．试探索随着锐角度数的增大．它的正弦值和余弦值变化的规律．（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°，这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小。
中考数学【锐角三角函数】考点专项复习教案(含例题、习题、答案)
8．
cos 60°＝ 1 ，tan 30°＝
2
，∴cos 60°－tan 30°≠0，
∴(cos 60°－tan 30°)0＝1， 解：原式＝ 例7 分析
2 ＋1
3
十＋2
2 ＝3 2 ＋1．
1 32
1 计算 2
－(π －3.14)0－|1－tan 60°|－
3. 3 ＋1＋ 3 ＋2＝10.
第二十八章
本章小结 小结 1 本章概述
锐角三角函数
锐角三角函数、解直角三角形，它们既是相似三角形及函数的继 续，也是继续学习三角形的基础．本章知识首先从工作和生活中经常 遇到的问题人手， 研究直角三角形的边角关系、 锐角三角函数等知识， 进而学习解直角三角形，进一步解决一些简单的实际问题．只有掌握 锐角三角函数和直角三角形的解法， 才能继续学习任意角的三角函数 和解斜三角形等知识， 同时解直角三角形的知识有利于培养数形结合 思想，应牢固掌握． 小结 2 本章学习重难点 【本章重点】 通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三 角函数(sin A，cos A，tan A)，知道 30°，45°，60°角的三角函数 值，会运用三角函数知识解决与直角三角形有关的简单的实际问题． 【本章难点】 综合运用直角三角形的边边关系、边角关系来解 决实际问题． 【学习本章应注意的问题】 在本章的学习中，应正确掌握四种三角函数的定义，熟记特殊角 的三角函数值，要善于运用方程思想求直角三角形的某些未知元素， 会运用转化思想通过添加辅助线把不规则的图形转化为规则的图形 来求解， 会用数学建模思想和转化思想把一些实际问题转化为数学模 型，从而提高分析问题和解决问题的能力．
.
tan 60°＝
解：原式＝8－1－
专题 3 锐角三角函数与相关知识的综合运用 【专题解读】 锐角三角函数常与其他知识综合起来运用，考查 综合运用知识解决问题的能力. 例 8 如图 28－124 所示，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，E 为 AC 边的中点，BC＝14，AD＝12，sin B ＝4．
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《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题 1．（2016•沈阳）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是（ ）A ．B ．4C ．8D ．42．（2015•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）A ．60°B ． 90°C ． 120°D ． 150°3．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =， tan ∠DBE 的值是( )．A.125．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin 2B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12B ．2C ．2D ．37．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )． A ．5cos α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子 长AB ＝_______米． 13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 16．（2016•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则的值= ，tan ∠APD 的值= ．三、解答题17. （2015•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由． （≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D.【解析】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D ．2．【答案】A ；【解析】如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD⊥CB 于D ，依题意得CD ：AD=1：=：3， 而tan∠DAC=CD：AD ， ∴tan∠DAC=：3， ∴∠DAC=30°， ∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==． 4.【答案】B ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又AD ＝AB ， ∴BE ＝2k ， ∴tan ∠DBE ＝422DE kBE k==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴ CD 2+BD 2＝BC 2．∴ △BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴ 4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin 2B =，∴ ∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos A =7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°； 当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2；【解析】原式＝3|21422--+=-+=． 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4米．13．；【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan 2BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】tan 45°＝1, tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =b = 15．【答案】45； 【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8==，∴84sin 105BC A AB ===． 16.【答案】3，2．【解析】解：∵四边形BCED 是正方形， ∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ， ∴==3，连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF=CF=CD ，BF=BE ，CD=BE ，BE ⊥CD ， ∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ， ∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3， ∴DP ：DF=1：2，∴DP=PF=CF=BF ， 在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF ， ∴tan ∠APD=2，三、解答题17.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5， ∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5， tan30°=， ∴=，精品初中数学讲义（带详细答案）解得DB==5×1.73≈8.65， ∵BM=7+5=12，BD≈8.65， ∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m 的建筑物无需拆除．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝8= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝82AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵ AD ∥EF ，∴ 四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵ AB ＝DC ，∴ ∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4． ∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB ，MC ＝ME ．∴CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos 2AC ACG CG ∠==，∴∠ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴∠CDE ＝2∠B ．(2)连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．精品初中数学讲义（带详细答案）∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos BD B AB ==， ∴∠B ＝30°，∵∠AOD ＝2∠B ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°，∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5． ∵ 弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴ DE ＝EF ＝12DF ，∴ DF ＝2DE ＝10．。
初三锐角三角函数复习讲义
锐角三角函数：知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义：如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA ∠A 的余弦可表示为：cosA∠A 的正切可表示为：tanA ，它们称为∠A 的锐角三角函数①斜边)(sin =A ＝______，②斜边)(cos =A ＝______，③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，【特别提醒：1、sinA 、cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有单位，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关。
2、取值范围 <sinA< ， <cosA< ，tanA> 例1. 锐角三角函数求值：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______，sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．典型例题：类型一：利用直角三角形求值1．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．类型二. 利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ．12 B ．32C ．35D ．455.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．436. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =，AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43Ｃ．35Ｄ．45A D ECB F7. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2B ．2C ．1D ．22D C B A Oyx第8题图类型三. 化斜三角形为直角三角形1. 如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．2．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3. ABC 中，∠A =60°，AB =6 cm ，AC =4 cm ，则△ABC 的面积是 （ ）A.23 cm 2B.43 cm 2C.63 cm 2D.12 cm 2类型四：利用网格构造直角三角形1.如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12B ．55 C ．1010D ．2552．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 3．如图，A 、B 、C 三点在正方形网络线的交点处，若将ABC ∆绕着点A 逆时针旋转得到''B AC ∆，则'tan B 的值为 （ ）A.41 B. 31 C.21D. 14．正方形网格中，AOB ∠如图放置，则tan AOB ∠的值是（ ）A ．55B.2 5 5 C.12D. 2 CB A ABO知识点二：特殊角的三角函数值当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而例1．求下列各式的值．1.计算：︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 22.计算：3－1+(2π－1)0－33tan30°－tan45°3．计算：030tan 2345sin 60cos 221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+ 4．计算： tan 45sin 301cos 60︒+︒-︒例2．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α (3)222sin =α (4)33)16cos(6=- α（5）已知α 为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值（6）在ABC ∆中，0)22(sin 21cos 2=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.例3. 三角函数的增减性 1．已知∠A 为锐角，且sin A <21，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90° 2. 已知A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）A. 0°< A < 60°B. 30°< A < 60°C. 60°< A < 90°D. 30°< A < 90°锐角α30°45°60°sin αcos αtan α类型五：三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC= AC = 6，求tan ∠BAD 的值．5.（本小题5分）如图，△ABC 中，∠A=30°，3tan 2B =，43AC =．求AB 的长.DCBAACB知识点三：解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==BA tan 1tan _____；==B A tan tan 1______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (2)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；（3）．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．类型六：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角1．如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ． 200米 B ． 200米 C ． 220米 D ． 100（）米 2． 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）图13ABCD 45° 30°3 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度.A BCD E4．一数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ，从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得点A 的仰角为30°．求树高．(结果精确到0.1米．参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈)5．超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）坡度与坡角1.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）A ．100mB ．1003mC ．150mD ．503m2.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB 的高度.如图，老师测得升旗台前斜坡FC 的坡比为i =1:10，学生小明站在离升旗台水平距离为35m （即CE =35m ）处的C 点，测得旗杆顶端B 的仰角为α，已知tan α=37，升旗台高AF =1m ，小明身高CD =1.6m ，请帮小明计算出旗杆AB 的高度.3.如图，有两条公路OM ，ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点80米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心、50米长为半径的圆形区域内部会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大，若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/时. (1)求对学校A 的噪声影响最大时,卡车P 与学校A 的距离;(2)求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪影响的时间.30°80米OMNAP4.如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已知BC =4米，AB =6米，中间平台宽度DE =1米，EN 、DM 、CB 为三根垂直于AB 的支柱，垂足分别为N 、M 、B ，∠EAB =31°，αABD CEF i FC =1:10DF ⊥BC 于F ，∠CDF =45°．求DM 和BC 的水平距离BM 的长度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）5.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
人教版九年级数学下册锐角三角函数全章课时同步练习题及答案.doc
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】28.1 锐角三角函数第1课时正弦1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，则∠A的正弦值为（）A．35B．34C．45D．532. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝32，AC＝23，那么AB的长是（）A．33B．32C．3 D．43. 如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB的正弦值是（）A．105B．1010C．13D．以上都不对4. 若0°＜∠A＜90°，sin A是方程1(3)04x x⎛⎫--=⎪⎝⎭的根，那么sin A＝．5. 如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB，AB=15，BD=6，sin A＝33，求CD的长.参考答案1．A 2．D 3．B4．1 45．6228.1 锐角三角函数第2课时锐角三角函数1. 如图，斜坡AB长20米，其水平宽度AC长为103米，则斜坡AB的坡度为（）A．30° B．60° C．33D．122. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan B的值是（）A．45B．35C．34D．433. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝32，BC＝23，那么AC的长是．4. 如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE= ．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=2，AB=4，则cos∠ACD的值为．参考答案1．C2．C3．34．4 55．24【解析】∵∠ACB=90°，BC=2，AB=4，∴cos B=24 BCAB.∵⊥，∴∠=90°，∴∠=∠，∴cos∠ACD=cos B2.28.1 锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数值1. 直角△ABC中，∠A = 30°，则sin A、 tan A的值分别是（）A．32、33B．12、3C．12、33D．22、332. 下列各式不正确的是（）A．sin30°＝cos60° B．t an45°= 2sin30°C．sin30°＋cos30°＝1 D．t an60°·cos60°＝sin60°3. 在△ABC中，已知∠A、∠B是锐角，且sin A＝32，tan B＝1，则∠C的度数为．4．计算：（1）sin245°＋co s30°·tan60°；（2）22sin45°＋3sin60°－2(tan301)︒-．5. 如图, 在△ABC中, ∠B=45°, ∠C=30°, AB=42, 求A C和BC的长.参考答案1．C 2．C 3．75°4．解：（1）原式＝2231332 2222⎛⎫+⨯=+=⎪⎪⎝⎭．（2）原式＝2233331122233⎛⎫⨯+⨯--=+⎪⎪⎝⎭．5．解：过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中, AD=BD=AB·sin45°=24242⨯=.在Rt△ACD中, . ∴BC=BD+CD=443+28.1 锐角三角函数第4课时利用计算器求锐角三角函数值和锐角度数1．计算sin20°－cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．－0.5976 B．0.5976C．－0.5977 D．0.59772. Rt△ABC中，∠C=90°，a:b=3:4，运用计算器计算∠A的度数为（精确到1°）（）A．30° B．37° C．38° D．39°3. 用“＞”“＝”“＜”填空：（1）cos37° co s46°；（2）tan41°tan21°；（3）sin31°cos31°．4. 用计算器求值（精确到0.0001）：（1）sin25°－cos25°；（2）sin15°＋cos25°＋tan35°．5. 已知等腰△ABC的底边AB＝20，它的面积为80，求它的顶角大小（精确到1°）．参考答案1．C2．B3．（1）－0.4837 （2）1.86534．（1）＞（2）＞（3）＜5．103°28.2 解直角三角形第1课时解直角三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10 cos502. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A．53 B．52 C．5 D．103．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=15，则AD的长是（）A．2 B．2 C．1 D．224. 在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知AB，∠A，则BC＝，AC＝ ;（2）已知AC，∠A，则BC＝，AB＝ ;（3）已知AC，BC，则tan A＝．5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的平分线，与BC相交于点D，且AB＝43，求AD的长.参考答案 1．B 2．A 3．B4．（1）Ab sin A AB cos A （2）AC tan A cos AC A （3）BCAC5. 解：在Rt △ABC 中， ∵∠B ＝30°，∴11432322AC AB ==⨯=． ∵AD 平分∠BAC ，∴在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，∴3234cos30AC AD ===︒．【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
锐角三角函数(全章复习与巩固)(巩固篇)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识讲练(人教版)
专题28.16 锐角三角函数（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．已知6cos 33α=α是锐角，则α=（ ） A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．302．如图，若点 A 的坐标为(1，2)，则tan∠1＝（ ）A ．2B ．12C ．3D 33．在∠ABC 中，90C ∠=︒，若1tan 2A =，则sinB =（ ） A 5B 3C 25D 234．如图，直线y ＝34x ﹣3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则sin ∠OAB 的值为（ ）A ．35 B ．35C ．45D ．﹣455．如图是一段索道的示意图．若100AB =米，BAC α∠=，则缆车从A 点到B 点上升的高度BC 的长为（ ）A ．1000sin α米B ．1000sin α米 C ．1000cos α米 D ．1000cos α米 6．矩形ABCD 中AB ＝10，BC ＝8，E 为AD 边上一点，沿CE 将∠CDE 对折，使点D正好落在AB 边上，tan∠AFE 等于（ ）A ．43B ．34C ．52D ．257．ABC 中，231sin A cos B 022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ABC 是（ ） A ．等腰但不等边三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．如图，在Rt ∠ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2CB ＝4.以点B 为圆心、适当长为半径作弧，分别交BC ，BA 于点D ，E ，再分别以点D ，E 为圆心、大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内部交于点F ，作射线BF ；分别以点A ，C 为圆心、大于12AC 的长为半径作弧，两弧交于G ，H 两点，作直线GH 交BF 于点J ，交AB 于点K ，则∠JKB 的面积是（ ）A ．2B ．1C ．23D 39．如图，在ABCD 中，4,10,60AB AD B ==∠=︒．作AE AB ⊥交BC 边于点E ，连接DE ，则sin EDC ∠的值为（ ）A 21B ．12C 7D 21 10．已知△ABC 中，∠C =90°，tan A =12 ，D 是 AC 上一点， ∠CBD =∠A ， 则 cos∠CDB的值为（ ）A ．12B 5C 25D ．2二、填空题11．计算：012(1)2tan 60-︒--=________．1221是方程2(3tan )20x x θ-的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值为________．13．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若AB ＝2BD ，tan∠BCD ＝12，则AC BC 的值为 _____．14．如图，B 为地面上一点，测得B 到树底部C 的距离为10m ，在B 处放置1m 高的测角仪BD ，测得树顶A 的仰角为60︒，则树高AC 为___________m （结果保留根号）．15．如图，矩形ABCD 的边长1,3AB AD ==ABCD 以B 为中心，按顺时针方向旋转到A BC D '''的位置（点A '落在对角线BD 上），则△BDD '的形状为________．16．如图，将一个矩形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点O (0，0)，点B (32)．D 是边BC 上一点(不与点B 重合)，过点D 作DE ∠OB 交OC 于点E ．将该纸片沿DE 折叠，得点C 的对应点C′．当点C′落在OB 上时，点C′的坐标为________．17．在Rt∠ABC 中∠C =90°，AC =4，BC =3．如图∠，四边形DEFG 为Rt∠ABC 的内接正方形，则正方形DEFG 的边长为________；如图∠，若Rt∠ABC 内有并排的n 个全等的正方形，它们组成的矩形内接于Rt ∠ABC ，则正方形的边长为________．18．如图，11122233,,,AB A A B A A B A ⋅⋅⋅△△△是等边三角形，直线32y =+经过它们的顶点123,,,,A A A A ⋅⋅⋅，点123,,,B B B ⋅⋅⋅在x 轴上，则点2022A 的横坐标是____________.三、解答题 19．计算： （1）()1245201412-︒-；（2）()310.125π4tan 602-︒⎛⎫⨯-+-+ ⎪⎝⎭；（3）()()()12014cos 60128tan 30121-︒÷-+︒-+；20．已知：如图，在Rt ABC 中，90,30∠=︒∠=︒C A ．()1 作AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ；交AC 于点E (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；()2 连接BE ，若1BC =，求BCE 的周长．21．已知：如图在ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，14BC =，12AD =，4sin 5B =．求： （1）线段DC 的长；（2）tan EDC ∠的值．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝x +b 的图像与函数ky x=（x ＞0）的图像相交于点B （1，6），并与x 轴交于点A ．点C 是线段AB 上一点，∠OAC 与∠OAB 的面积比为2：3(1) 求k 和b 的值；(2) 若将∠OAC 绕点O 顺时针旋转，使点C 的对应点C ′落在x 轴正半轴上，得到∠OA ′C ′，判断点A ′是否在函数ky x=（x ＞0）的图像上，并说明理由．23．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1) 求C ，D 两点的高度差；(2) 求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 3 1.7≈）24．无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为45︒，测得楼AB 楼顶A 处的俯角为60︒．已知楼AB 和楼CD 之间的距离BC 为100米，楼AB 的高度为10米，从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为30（点A 、B 、C 、D 、P 在同一平面内）．(1) 填空：APD ∠=___________度，ADC ∠=___________度； (2) 求楼CD 的高度（结果保留根号）； (3) 求此时无人机距离地面BC 的高度．参考答案1．D【分析】由6cos 33α=3cos α=然后再根据特殊角的三角函数值求角度即可． 解：∠6cos 33α=∠3cos α=∠α=30． 故选D ．【点拨】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值求角度、一元一次方程等知识点，将cos α整体当做未知数成为解答本题的关键．2．A【分析】过点A 作AB ∠x 轴，垂足为B ，根据点A 的坐标，得到OB =1，AB =2，根据正切的定义计算选择即可．解：过点A 作AB ∠x 轴，垂足为B ，根据点A 的坐标(1，2)， ∠OB =1，AB =2， ∠ tan ∠1＝221AB OB ==，故选A ．【点拨】本题考查了坐标的意义，正切的定义即对边比邻边，熟练掌握正切的定义是解题的关键．3．C【分析】根据三角函数的定义，知tan 12BC A AC ==，设BC =x ，AC =2x ，根据勾股定理可求得AB ，再根据三角函数的定义就可以求出sin B 的值．解：在∠ABC 中，90C ∠=︒， ∠tan 12BC A AC ==， ∠设BC =x ，AC =2x ，()222225AB BC AC x x x ∴=++=，25sin 5AC B AB x=∴=，故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，一个锐角的正弦值为对边比斜边，余弦值为邻边比斜边，正切值为对边比邻边．4．B【分析】分别令x =0，y =0，由直线解析式可求解A 、B 的坐标，即可得OB 、OA 的长，再利用勾股定理可求解AB 的长，再根据正弦的定义可求解．解：直线y ＝34x ﹣3，令x ＝0，则y ＝0﹣3＝﹣3，令y ＝0，34x ﹣3＝0，解得x ＝4，∴A （4，0），B （0，﹣3）， ∴OB ＝3，0A ＝4，∴AB 2222435++OA OB ， ∴sin ∠OAB ＝35OB AB =， 故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象与坐标轴的交点，勾股定理，锐角三角函数的定义，求解A 、B 两点坐标是解题的关键．5．A【分析】在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，斜边AB 是已知边，BAC ∠是已知角，而要求的是BAC ∠的对边BC 的长，所以选择BAC ∠的正弦，即可求出结果．解：如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BAC α∠=， ∠sin BCABα=， ∠sin BC AB α=⋅， ∠1000AB =米， ∠1000sin BC α=米． 故选：A ．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确掌握锐角三角函数的定义，选择适当的锐角三角函数模型．6．B【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE ＝∠BCF ；在Rt∠BFC 中，有BC ＝8，CF ＝10，由勾股定理易得BF 的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF 的值，依据∠AFE ＝∠BCF ，可得tan∠AFE 的值．解：∠四边形ABCD 是矩形， ∠CD ＝AB ＝10，∠B ＝∠D ＝90°， ∠∠BCF +∠BFC ＝90°，根据折叠的性质得：∠EFC ＝∠D ＝90°，CF ＝CD ＝10， ∠∠AFE +∠BFC ＝90°， ∠∠AFE ＝∠BCF ，在Rt∠BFC 中，BC ＝8，CF ＝CD ＝10，由勾股定理得：BF 22CF CB -22108-6， 则tan∠BCF ＝BF BC ＝6384=， ∠tan∠AFE ＝tan∠BCF ＝34，故B 正确．故选：B ．【点拨】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理求出6BF =，是解题的关键．7．B【分析】由绝对值和完全平方的非负性可得：31sin 0,cos 022A B，再根据特殊角的锐角函数值可知60A B ∠=∠=︒ ，即可求解．解：3sin A 02-≥，21cos B 02⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，231sin A cos B 022⎛⎫-= ⎪⎝⎭，23sin 021cos 02A B ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩， 则可得：3sin 1cos 2A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：6060A B ∠=︒⎧⎨∠=︒⎩ ， 在ABC 中，18060C A B ∠=︒-∠-∠=︒ ，ABC ∴ 为等边三角形．故选：B ．【点拨】本题考查了非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性，由三角函数值求锐角的度数，三角形内角和以及等边三角形的判定；掌握非负数的性质，绝对值和完全平方的非负性是解题的关键．8．D【分析】如图，过点K 作KH ∠BJ 于H ，设KJ 交AC 于W ．解直角三角形求出BJ ，KH ，可得结论．解：如图，过点K 作KH ∠BJ 于H ，设KJ 交AC 于W ，∠∠C =90°，AB =2BC ，∠2BC A AB==sin ， ∠∠A =30°，∠ABC =60°，由作图可知，BJ 平分∠ABC ，KJ 垂直平分线段AC ，∠∠KBJ =∠CBJ =12∠ABC =30°，AW =WC ，∠WK ∠BC ，∠AK =KB =2，∠KJB =∠CBJ =30°，∠HK =12KB =1，BH 33∠∠KBJ =∠KJB =30°，∠KB =KJ ，∠KH ∠BJ ，∠HB =HJ 3∠S △KBJ =1233 故选：D ．【点拨】本题考查作图-复杂作图、角平分线的定义、线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9．A【分析】过点E 作EF AD ⊥于点F ，过点C 作CG ED ⊥于点G ，根据三角函数以及勾股定理求出,,,,,,BE AE AF EF FD ED EC 的长度，然后根据三角形面积公式得出CG 的长度，结果可得．解：过点E 作EF AD ⊥于点F ，过点C 作CG ED ⊥于点G ，AE AB ⊥，90BAE ∴∠=︒，4,60AB B =∠=︒，tan 6043AE AB ∴=︒=8cos60BE ==︒， 1082EC BC BE ∴=-=-=，四边形ABCD 是平行四边形，120BAD ∴∠=︒，1209030EAF BAD BAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，EF AD ⊥，90AFE ∴∠=︒，1232EF AE ∴== ∴cos306AF AE =︒=，1064FD AD AF ∴=-=-=，2222(23)427ED EF FD ∴++1122ECD S EC EF ED CG ∴==， 即112232722CG ⨯⨯⨯，221CG ∴ 221217sin 4CG EDC CD ∴∠==， 故选：A ．【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，含30的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形以及勾股定理是解本题的关键．10．B【分析】由已知条件CBD A ∠=∠，可得1tan tan 2CBD A ∠==，设CD a =，由题意可得1tan 2CD CBD BC ∠==，即可算出2BC a =，在t ΔR CBD 中，根据勾股定理可得2222(2)BD CD BC a a ++解：CBD A ，1tan tan 2CBD A ∴∠==， 设CD a =，1tan 2CD CBD BC ∴∠==， 2BC a ∴=， 在Rt ΔCBD 中，2222(2)5BD CD BC a a a =+=+，5cos 5CD CDB BD a∴∠=． 故选：B 【点拨】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．11．12- 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂、正切值的平方，再按照运算顺序计算就可以了．解：()012212tan 60113231212---︒=-⨯=-=-故答案为： 12-． 【点拨】本题考查了0指数幂()()010a a =≠、负整数指数幂()10q qa a a -=≠、特殊角的正切值、二次根式的性质(()20a a a =≥和实数的混合运算等知识．正确的计算是解决本题的关键．122【分析】21代入方程2(3tan )20x x θ-+=，得出tan θ的值，从而得出θ的度数，进而的解．解：21是方程2(3tan )20x x θ-=的一个根， ∠2(21)3tan (21)20θ-+=，解得：tan 1θ=，∠45θ=︒，∠2cos cos 45θ==° 2． 【点拨】考查三角函数值与一元二次方程根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的意义以及特殊角三角函数值是解本题的关键．13．32【分析】过点D 作DM ∠CM ，交CB 的延长线于点M ，可得∠DMC ＝90°，在Rt∠DMC 中，利用锐角三角函数的定义可设DM ＝a ，则CM ＝2a ，然后证明8字模型相似三角形∠ACB ∠∠DMB ，从而利用相似三角形的性质可得AB BD ＝AC DM ＝CB BM ＝2，进而可得AC ＝2a ，CB ＝43a ，最后进行计算即可解答．解：过点D 作DM ∠CM ，交CB 的延长线于点M ，∠∠DMC ＝90°，在Rt∠DMC 中，tan∠BCD ＝12， ∠tan∠DCM ＝DM CM ＝12， 设DM ＝a ，则CM ＝2a ，∠∠ACB ＝∠DMC ＝90°，∠ABC ＝∠DBM ，∠∠ACB ∠∠DMB ， ∠AB BD＝AC DM ＝CB BM ＝2， ∠AC ＝2DM ＝2a ，∠2433CB CM a ==， ∠AC BC ＝243a a ＝32， 故答案为：32． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．31##1103+【分析】在Rt ADE △中，利用tan 310∠==AE AE ADE DE 103AE =1m 即为AC 的长．解：过点D 作DE AC ⊥交于点E ，如图：则四边形BCED 是矩形，∠BC =DE ，BD =CE ，由题意可知：60ADE ∠=︒，10m ==DE BC ，在Rt ADE △中，tan 310∠===AE AE ADE DE ∠103AE =∠()1031m +=AE EC ，故答案为：1031【点拨】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的应用—仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．15．等边三角形【分析】根据特殊角三角函数值求出∠CDB 的度数，然后根据旋转的性质和等边三角形的判定即可解决问题．解：∠四边形ABCD 为矩形，∠DC ＝AB ＝1，BC ＝AD 3∠DCB ＝90°， ∠tan∠CDB 33=∠CDB ＝60°； 由旋转的性质可知：BD ＝BD '，∠∠BDD '为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查了矩形的性质，特殊角三角函数值，旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，解题的关键是抓住旋转过程中的不变量，灵活运用有关性质来解题． 16．31()2【分析】根据B 点坐标可求出AB 、OB ，得到12AB OB =，所以30AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒，再利用折叠与平行的性质，证明∠OEC ′是等边三角形，OE =CD =12AB ，然后可利用三角函数求出点C ′的坐标．解：∠点B 坐标为(32)，∠AB =2，OA =3 ∠()222234OB + ∠12AB OB = ∠30AOB ∠=︒，60BOC ∠=︒∠C ′是C 关于DE 的对称点∠CED C ED '∠=∠， EC =EC ′∠DE ∠OB∠CED EOC '∠=∠=60°∠∠OE C ′=180°-2×60°=60°∠∠OE C ′是等边三角形∠OE = EC =EC ′=12AB =1112⨯= ∠C ′横坐标=31sin 60⨯︒==11sin302⨯︒= ∠C ′坐标为312⎫⎪⎪⎝⎭【点拨】本题考查了三角形，熟练运用特殊三角形的性质是解题的关键．17． 6037602512n + 【分析】在图∠中先解直角三角形ABC 得到3tan 4A =，4tan 3B =，=5AB ，再分别解直角三角形ADG 和直角三角形BEF 得到43AD DG =，34BE EF =，再由5AB AD DE BE =++=进行求解即可；对于图∠同图∠求解即可．解：如图∠所示，∠在Rt∠ABC 中∠C =90°，AC =4，BC =3，∠3tan 4BC A AC ==，4tan 3AC B BC ==，225AB AC BC +=， ∠四边形DEFG 是Rt∠ABC 的内接正方形，∠DG =DE =EF ，∠GDE =∠DEF =90°，∠∠ADG =∠BEF =90°，在Rt∠ADG 中，4tan 3DG AD DG A ==， 在Rt∠BEF 中，3tan 4EF BE EF B ==， ∠43534AB AD DE BE DG DG DG =++=++=， ∠6037DG =； 如图∠所示， 同理可得43AD DG =，34BE EF =，DE nDG =， ∠43534AB AD DE BE DG nDG DG =++=++=， ∠602512DG n=+， 故答案为：6037；602512n+．【点拨】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正方形的性质，正确求出43AD DG =，34BE EF =是解题的关键． 18．(2023223-【分析】如图，设直线32y x =+与x 轴交于点C ，求出点A 、C 的坐标，可得OA ＝2，OC ＝23∠ACO ＝30°，可得1190CB A ∠=︒，130CB A =∠︒，然后求出12124323CB B O ===13228323CB CB ===324216323CB CB ===…，进而可得2023202223CB =2022OB 即可．解：如图，设直线32y x =+与x 轴交于点C ， 在32y =+中，当x ＝0时，y ＝2； 当y ＝0320+=，解得：23x =- ∠A （0，2），C （23-0），∠OA ＝2，OC ＝23∠tan∠ACO ＝323OA OC == ∠∠ACO ＝30°，∠11AB A △是等边三角形，∠111160AA B AB A ∠=∠=︒，∠1190CB A ∠=︒，∠130CB A =∠︒，∠AC ＝1AB ，∠AO ∠1CB ，∠123O O C B == ∠12124323CB B O === 同理可得：13228323CB CB ==324216323CB CB ===…，∠2023202223CB = ∠(2023202320222323223OB =-∠点2022A 的横坐标是(2023223- 故答案为：(2023223-【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．19．（1）12；（23；（3）2．【分析】(1) 先进行绝对值、三角函数、零指数幂计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先进行负整数指数幂、零指数幂、三角函数计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（3）先进行三角函数、负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；解：（1）原式=12212+=1112+-=12；（2）原式=0.125×（-8）33（3）原式=111222221-⎛⎫÷+-⎪+⎝⎭2222222+-=2.【点拨】本题考查实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式化简、绝对值等考点的运算．20．()1见分析；()213【分析】（1）分别以A、B两点为圆心，以大于12AB长度为半径画弧，在AB两边分别相交于两点，然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BE=AE，然后求出△BCE 的周长=AC+BC，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出AC的长，即可得解．解：()1AB的垂直平分线DE如图所示；()2DE 垂直平分AB ，BE AE ∴=，BCE ∴△的周长BE EC BC AE EC BC AC BC =+-++=+＋．在Rt ABC 中，330BC AC tan =︒BCE ∴△的周长为13【点拨】本题考查了复杂作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．21．（1）5；（2）125【分析】（1）利用直角三角形中4sin 5B =求解,AB 再利用勾股定理求解,BD 从而可得答案； （2）先利用直角三角形斜边上的中线的性质证明,EDEA EC 可得,EDC ECD ∠=∠ 再求解12tan tan ,5ADEDC ECD CD 从而可得答案. 解：（1） AD 是边BC 上的高，12AD =，4sin 5B =， ∴ 90ADB ADC ∠=∠=︒，412sin ,5B AB== 2215,15129,AB BD14,BC 149 5.CD BC BD（2） E 为边AC 的中点，90ADC ∠=︒,ED EA EC,EDC ECD ∴∠=∠ 12tan tan .5ADEDC ECD CD 【点拨】本题考查的是锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，掌握“等角的三角函数值相等”是解题的关键.22．(1)b =5，k =6(2)不在，理由见详解【分析】（1）把点B 的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式进行求解即可；（2）由（1）及题意易得点C 的坐标，然后根据旋转的性质可知点C ′的坐标，则根据等积法可得点A ′的纵坐标，进而根据三角函数可得点A ′的横坐标，最后问题可求解．（1）解：由题意得：166b k +=⎧⎨=⎩， ∠b =5，k =6；（2）解：点A ′不在反比例函数图像上，理由如下：过点A ′作A ′E ∠x 轴于点E ，过点C 作CF ∠x 轴于点F ，如图，由（1）可知：一次函数解析式为5y x =+，反比例函数解析式为6y x =， ∠点()5,0A -，∠∠OAC 与∠OAB 的面积比为2：3，且它们都以OA 为底，∠∠OAC 与∠OAB 的面积比即为点C 纵坐标与点B 纵坐标之比，∠点C 的纵坐标为2643⨯=，∠点C 的横坐标为451x =-=-，∠点C 坐标为()1,4-，∠CF =4，OF =1， ∠221417OC +tan 4CF COF OF∠==， 由旋转的性质可得：17,OC OC A OC AOC '''==∠=∠，根据等积法可得：2017OA CF A E OC ⋅'=='∠517tan A E OE A OE '=='∠， ∠5172017A '⎝⎭， 5172017100617=≠， ∠点A ′不在反比例函数图像上．【点拨】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合、三角函数及旋转的性质是解题的关键．23．(1)9m(2)24m【分析】（1）过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，可得()4cos 1512m 5CE CD α=⋅=⨯=，再利用勾股定理可求出DE ，即可得出答案． （2）过点D 作DF AB ⊥于F ，设m AF x =，在Rt ADF 中，330AF x tan DF DF ︒===，解得3DF x =，在Rt ABC 中，()9m AB x =+，()312m BC x =-，tan603312AB BC x ︒===-x 的值，即可得出答案． （1）解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ，在Rt DCE 中，4cos 5α=，15m CD =， ()4cos 1512m 5CE CD α∴=⋅=⨯=． ()222215129m DE CD CE ∴=--=．答：C ，D 两点的高度差为9m ．（2）过点D 作DF AB ⊥于F ，由题意可得BF DE =，DF BE =， 设m AF x =，在Rt ADF 中，3tan tan30AF x ADF DF DF ∠=︒=== 解得3DF x =， 在Rt ABC △中，()9m AB AF FB AF DE x =+=+=+，)312m BC BE CE DF CE x =-=-=-， tan603312AB BC x ︒===- 解得9632x =， ()963924m 2AB ∴=+≈． 答：居民楼的高度AB 约为24m ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．24．(1)75；60(2)1003103⎫⎪⎭米(3)110米 【分析】（1）根据平角的定义求APD ∠，过点A 作AE DC ⊥于点E ，再利用三角形内角和求ADC ∠；（2）在Rt AED △中，30DAE ∠=︒求出DE 的长度再根据CD DE EC =+计算即可； （3）作PG BC ⊥于点G ，交AE 于点F ，证明APF DAE △≌△即可．解：（1）过点A 作AE DC ⊥于点E ，由题意得：60,45,30,MPA NPD DAE ∠=︒∠=︒∠=︒∠18075APD MPA NPD ∠=︒-∠-∠=︒9060ADC DAE ∠=︒-∠=︒（2）由题意得：100AE BC ==米，10EC AB ==．在Rt AED △中，30DAE ∠=︒， ∠)3100tan 3010033DE AE =⋅︒==米， ∠()1003103CD DE EC =+米 ∠楼CD 的高度为1003103⎫⎪⎭米． （3）作PG BC ⊥于点G ，交AE 于点F ，则()90,10PFA AED FG AB ∠=∠=︒==米∠MN AE ∥，∠60PAF MPA ∠=∠=︒．∠60ADE ∠=︒，∠PAF ADE ∠=∠．∠30DAE ∠=︒，∠30PAD ∠=︒．∠75APD ∠=︒，∠75ADP ∠=︒．∠ADP APD ∠=∠．∠AP AD =．∠APF DAE △≌△（AAS ）．∠100PF AE ==．∠()10010110PG PF FG =+=+=米∠无人机距离地面BC 的高度为110米．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．。
锐角三角函数的知识点总复习含解析
锐角三角函数的知识点总复习含解析一、选择题1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )A ．4B ．83C ．6D ．43【答案】B【解析】【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，∴∠OAB =60°，在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，∴光盘的直径为83．故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（ ）A ．22B ．223C ．23D ．322【答案】C【分析】在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．【详解】∵AD⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt△ADC中，AC=4，∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt△ADB中，AD=22，∠ABD=60︒∴BD=3AD=26．∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°．在Rt△EBD中，BD=263，∠EBD=30°∴DE=3BD=223∴AE=AD−DE=22-223=423故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．3．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．3 cm B．2+10) cm C．64 cm D．54cm【答案】C【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC，∴∠A=∠BOD.∴tanA=tan ∠BOD=43BD OD =. 故选D ．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．5．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A 5B ．35C ．22D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =，3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==． 故选：B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC V 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）A ．247B ．7C ．724D ．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE ．设BE=x ，则CE=8-x ．在Rt △BCE 中，x 2=（8-x ）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74， ∴tan ∠CBE=724CE CB =. 故选C.考点：锐角三角函数.7．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）A ．1B ．12C ．32D ．33【答案】C【解析】【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33【详解】过点C 作CF ⊥BD 与点F ．∵∠BAE ＝30°，∴∠DBC ＝30°，∵BC ＝2，∴CF ＝1，BF ＝3 ， 易证△AEB ≌△CFD （AAS ）∴AE ＝CF ＝1，∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，∴BE ＝3 AE ＝3， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣3＝233 ， 在Rt △CFE 中，tan ∠DEC ＝323CFEF ==， 故选C ．【点睛】此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等8．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．31)mB ．31)mC ．31)mD ．31)m【答案】A【解析】设MN=xm ，在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx+=3√3，解得：x=8(3 +1)，则建筑物MN的高度等于8(3 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC∠=（）A．39B．3C．33D．32【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用ECtan ABCBE∠=得出答案．【详解】解:连接DC，交AB于点E．由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,设EC=x,则EF=x3x tan30︒,∴BF AF 2EF 23x ===EC x 13tan ABC BE 923x 3x 33====+∠, 故选:A【点睛】 此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．10．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，连接AC ，若∠A=30°，PC=3，则⊙O 的半径为（ ）A ．3B ．23C ．32D ．23 【答案】A【解析】连接OC ，∵OA=OC ，∠A=30°，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC 是⊙O 切线，∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，∴OC=PC •tan30°3故选A11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.13 1.73370.60sin ≈︒≈,，370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（ ）A．23.0米B．23.6米C．26.7米D．28.9米【答案】C【解析】【分析】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，根据坡度及AB的长可求出BN的长，进而可求出CN的长，即可得出ME的长，利用∠MBE的正切可求出CM的长，利用∠DCM 的正切可求出DM的长，根据DE=DM+ME即可得答案．【详解】如图，设CB⊥AF于N，过点C作CM⊥DE于M，∵沿着坡度为1:2.4i=的斜坡AB步行26米到达点B处，∴BN1 AN 2.4=，∴AN=2.4BN，∴BN2+（2.4BN）2=262，解得：BN=10（负值舍去），∴CN=BN+BC=11.6，∴ME=11.6，∵∠MCE=30°，∴CM=MEtan30︒=11.63，∵∠DCM=37°，∴DM=CM·tan37°=8.73，∴DE=ME+DM=11.6+8.73≈26.7（米），故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．12．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27︒（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据sin 270.45︒≈，cos270.89︒≈，tan 270.51︒≈）A ．65.8米B ．71.8米C ．73.8米D ．119.8米【答案】B【解析】【分析】 过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．【详解】解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，∴设DG x =，则 2.4 CG x =．在Rt CDG ∆中，∵222DG CG DC +=，即222(2.4)52x x +=，解得20x =，∴20DG =米，48CG =米，∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，∴四边形EGBM 是矩形，∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．在Rt AEM ∆中，∵27AEM ︒∠=，∴•tan 271000.5151AM EM ︒=≈⨯=米，∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．故选B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．13．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，则AC 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165【答案】C【解析】【分析】 根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵cos α=35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433⨯=． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．14．如图，在扇形OAB中，120AOB∠=︒，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33CD=，则扇形AOB的面积为（）A．12πB．2πC．4πD．24π【答案】A【解析】【分析】如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．【详解】解：如图作OH⊥AB于H．∵C、D分别是弦AP、BP的中点．∴CD是△APB的中位线，∴AB＝2CD＝63∵OH⊥AB，∴BH＝AH＝33∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠AOH＝∠BOH＝60°，在Rt△AOH中，sin∠AOH＝AH AO，∴AO＝336 sin32AHAOH==∠，∴扇形AOB的面积为：2120612360ππ=g g，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为（）A．12B．22C．32D．33【答案】A【解析】【分析】首先连接OC，由CE是⊙O切线，可证得OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC的度数，继而求得∠E的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．【详解】如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠COE=∠A+∠OCA=60°，∴∠E=180°-90°-60°=30°，∴sinE=sin30°=1 2 .故选A.16．如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于12 CD为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（）A ．60ABC ∠=︒B ．2ABE ADE S S ∆=VC ．若AB=4，则47BE =D ．21sin 14CBE ∠= 【答案】C【解析】【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12CE=1，EH=3CH=3，利用勾股定理可计算出BE=27 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=2114EH BE =． 【详解】解：由作法得AE 垂直平分CD ，∴∠AED=90°，CE=DE ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=2DE ，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；∵AB=2DE ，∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，在Rt △ECH 中，∵∠ECH=60°，CH=12CE=1，33，在Rt △BEH 中，BE=22(3)527+=，所以C 选项的说法错误；sin ∠CBE=3211427EH BE ==，所以D 选项的说法正确． 故选C ．【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．17．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【答案】B【解析】【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=12AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD， ∴AC=AD •cos70°，AD=cos70AC ︒， ∴2cos70AC AC AB AD=︒=2cos70°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．18．如图，等边ABC V 边长为a ，点O 是ABC V 的内心，120FOG ∠=︒，绕点O 旋转FOG ∠，分别交线段AB 、BC 于D 、E 两点，连接DE ，给出下列四个结论：①ODE V 形状不变；②ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一；③四边形ODBE 的面积始终不变；④BDE V 周长的最小值为1.5a ．上述结论中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】 连接OB 、OC ，利用SAS 证出△ODB ≌△OEC ，从而得出△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH ，利用锐角三角函数可得OH=12OE 和3OE ，然后三角形的面积公式可得S △ODE 32，从而得出OE 最小时，S △ODE 最小，根据垂线段最短即可求出S △ODE 的最小值，然后证出S 四边形ODBE =S △OBC 23即可判断②和③；求出BDE V 的周长=a ＋DE ，求出DE 的最小值即可判断④．【详解】解：连接OB 、OC∵ABC V 是等边三角形，点O 是ABC V 的内心，∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO ，BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ∴∠OBA=∠OBC=12∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=12∠ACB=30° ∴∠OBA=∠OCB ，∠BOC=180°－∠OBC －∠OCB=120° ∵120FOG ∠=︒∴∠=FOG ∠BOC∴∠FOG －∠BOE=∠BOC －∠BOE∴∠BOD=∠COE在△ODB 和△OEC 中BOD COE BO COOBD OCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ODB ≌△OEC∴OD=OE∴△ODE 是顶角为120°的等腰三角形，∴ODE V 形状不变，故①正确；过点O 作OH ⊥DE ，则DH=EH∵△ODE 是顶角为120°的等腰三角形∴∠ODE=∠OED=12（180°－120°）=30° ∴OH=OE·sin ∠OED=12OE ，EH= OE·cos ∠OED=32OE ∴DE=2EH=3OE∴S △ODE =12DE·OH=34OE 2 ∴OE 最小时，S △ODE 最小，过点O 作OE′⊥BC 于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE 的最小值∴BE ′=12BC=12a 在Rt △OBE ′中 OE′=BE′·tan ∠OBE ′=12a 33 ∴S △ODE 的最小值为342=2348a ∵△ODB ≌△OEC∴S 四边形ODBE =S △ODB ＋S △OBE = S △OEC ＋S △OBE =S △OBC =1223 23=1423∴S △ODE ≤14S 四边形ODBE 即ODE V 的面积最小不会小于四边形ODBE 的面积的四分之一，故②正确； ∵S 四边形ODBE =23a ∴四边形ODBE 的面积始终不变，故③正确；∵△ODB ≌△OEC∴DB=EC∴BDE V 的周长=DB ＋BE ＋DE= EC ＋BE ＋DE=BC ＋DE=a ＋DE∴DE 最小时BDE V 的周长最小∵DE=3OE∴OE 最小时，DE 最小而OE 的最小值为OE′=3a ∴DE 的最小值为3×3a =12a ∴BDE V 的周长的最小值为a ＋12a =1.5a ，故④正确； 综上：4个结论都正确，故选A ．【点睛】 此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．19．如图，平面直角坐标系中，A （8，0），B （0，6），∠BAO ，∠ABO 的平分线相交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴交AB 于点D ，则点D 的坐标为（ ）A ．（ 163，2） B ．（ 163，1） C ．（ 83，2） D ．（83，1） 【答案】A【解析】【分析】 延长DC 交y 轴于F ，过C 作CG ⊥OA 于G ，CE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得到FC ＝CG＝CE，求得DH＝CG＝CF，设DH＝3x，AH＝4x，根据勾股定理得到AD＝5x，根据平行线的性质得到∠DCA＝∠CAG，求得∠DCA＝∠DAC，得到CD＝HG＝AD＝5x，列方程即可得到结论．【详解】解：延长DC交y轴于F，过C作CG⊥OA于G，CE⊥AB于E，∵CD∥x轴，∴DF⊥OB，∵∠BAO，∠ABO的平分线相交于点C，∴FC＝CG＝CE，∴DH＝CG＝CF，∵A（8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∴tan∠OAB＝DHAH＝OBOA＝34，∴设DH＝3x，AH＝4x，∴AD＝5x，∵CD∥OA，∴∠DCA＝∠CAG，∵∠DAC＝∠GAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝HG＝AD＝5x，∴3x+5x+4x＝8，∴x＝23，∴DH＝2，OH＝163，∴D（163，2），故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，进行的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线构造矩形和直角三角形是解题的关键．20．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③32AD AB =；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE ≌△BCE （SAS ），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP ≌△ABP （SSS ），进而得出∠EAP ＝∠PAB ＝30°，再分别得出AD 与AB ，PB 与PC 的数量关系即可．【详解】解：∵在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADE ≌△BCE （SAS ），∴AE ＝BE ，∠DEA ＝∠CEB ，∵EA 平分∠BED ，∴∠AED ＝∠AEB ，∴∠AED ＝∠AEB ＝∠CEB ＝60°，故：①EB 平分∠AEC ，正确；∴△ABE 是等边三角形，∴∠DAE ＝∠EBC ＝30°，AE ＝AB ，∵PE ⊥AE ，∴∠DEA ＋∠CEP ＝90°，则∠CEP ＝30°，故∠PEB ＝∠EBP ＝30°，则EP ＝BP ，又∵AE ＝AB ，AP ＝AP ，∴△AEP ≌△ABP （SSS ），∴∠EAP ＝∠PAB ＝30°，∴AP ⊥BE ，故②正确；∵∠DAE ＝30°，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝tan30°∴AD ，即AD =， ∵AB ＝CD ，∴③AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，∴CP ＝12EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12BP ， ∴④PB ＝2PC 正确．综上所述：正确的共有4个．故选：A ．【点睛】此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．。
锐角三角函数综合复习(基础巩固)-中考数学基础知识复习和专题巩固提升训练含答案
ABCa bc考向10锐角三角函数综合复习—基础巩固【知识梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA a AA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．方法指导：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45° 160°方法指导：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)，②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．方法指导：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.方法指导：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，方法指导：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.方法指导：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【基础巩固训练】一、选择题1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A3B．tan A＝1 2C ．cosB ＝32D ．tan B ＝32．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为（ ）A ．53B ．255C ．52D ．233．在△ABC 中，若三边BC 、CA 、AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cosB=（ ）A ．125B ．512 C ．135 D ．13124．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=25，则tan ∠CAD 的值是（ ）A.2B.2C.3D.55．一个物体从A 点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B ，AB=30米时，物体升高（ ）米．A ．B ．3C ．D ． 以上的答案都不对6．如图，已知：45°＜A ＜90°，则下列各式成立的是（ ） A.sinA=cosA B.sinA ＞cosA C.sinA ＞tanA D.sinA ＜cosA二、填空题7．若∠α的余角是30°，则cosα的值是 . 8．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.9．计算2sin30°﹣sin 245°+t an30°的结果是 . 10．已知α是锐角，且sin(α+15°)=32.计算1184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值为 .11．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P 的距离为 海里．（结果保留根号）12．如图，正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ，HC 与NM 的延长线交于点P ，则tan ∠NPH 的值为．三、解答题13．如图所示，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5m ，现要在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么EB 的高为多少米?(结果保留三个有效数字)14. 已知：如图所示，八年级(1)班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′．已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC(精确到0.1米)（可用计算器查角的三角函数值）15．如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）16. 如图所示，某水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽AD＝2.5m，坝高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求坝底宽BC.答案与解析一、选择题1.【答案】D；【解析】sinA＝BCAB＝12，tan A＝BCAC3，cosB＝BCAB＝12．故选D.2.【答案】A ；【解析】在直角△ABC 中，根据勾股定理可得：AB=2AC BC +2=2(5)2+2=3． ∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD．∴ sin∠ACD=sin∠B=AC AB =53， 故选A ．3.【答案】C ；【解析】根据三角函数性质 cosB==，故选C ．4.【答案】A ；【解析】∵AD 是BC 边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt △ACD 中，AC= 22AD -CD =-=222（25）4， ∴tan ∠CAD===2．故选A ． 5.【答案】B ；【解析】∵坡度为1：7，∴设坡角是α，则sinα===，∴上升的高度是：30×=3米．故选B ．6.【答案】B ； 【解析】∵45°＜A ＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA 随角度的增大而增大，cosA 随角度的增大而减小， 当∠A ＞45°时，sinA ＞cosA ，故选B ．二、填空题7．【答案】21； 【解析】∠α=90°﹣30°=60°，cos α=cos60°=21． 8．【答案】； 【解析】过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，设小方格的长度为1， 在Rt △ACD 中，AC=22CD AD =25,∴sinA=CD 5=AC 5.9．【答案】21+33； 【解析】2sin30°﹣sin 245°+ t an30°=2×21－（22）2+（）2+33=1﹣21+33=21+33． 10．【答案】3；【解析】∵sin60°=32，∴α+15°=60°，∴α=45°， ∴原式=22﹣4×22﹣1+1+3=3． 11．【答案】40 ；【解析】解：作PC ⊥AB 于C ，在Rt △PAC 中，∵PA=80，∠PAC=30°，∴PC=40海里，在Rt △PBC 中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，∴PB=40海里，故答案为：40．12．【答案】13； 【解析】∵正方体的棱长为3，点M ，N 分别在CD ，HE 上，CM=12DM ，HN=2NE ， ∴MC=1，HN=2，∵DC ∥EH ，∴12 PC MCPH NH==，∵HC=3，∴PC=3，∴PH=6，∴tan∠NPH=2163 NHPH==，故答案为：13．三、解答题13.【答案与解析】解：在Rt△BCD中，∠BDC＝40°，DB＝5 m，∵tanBC BDCDB ∠=．∴BC＝DB·tan∠BDC＝5×tan40°≈4.195(米)．∴EB＝BC+CE＝4.195+2≈6.20(米)．14.【答案与解析】解：如图所示，过D作DH⊥AB，垂足为H．设AC＝x．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝25°，所以CD＝AC·tan∠DAC＝x tan 25°．在Rt△BDH中，∠BHD＝90°，∠BDH＝15°30′，所以BH＝DH·tan 15°30′＝AC·tan 15°30′＝x·tan 15°30′．又CD＝AH，AH+HB＝AB，所以x(tan 25°+tan 15°30′)＝30．所以3040.3tan25tan1530x='+≈°°(米)．答：两建筑物的水平距离AC约为40.3米．15.【答案与解析】解：在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，∴BD=AB=100m，在Rt△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，∴BD+CE≈100+134=234m．答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．16.【答案与解析】解：背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，由题意可知tanB＝1，tan C＝1 1.5，在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝AEBE＝1，∴BE＝AE＝4，在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝11.5 DFCF，∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．又∵EF＝AD＝2.5，∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．答：坝底宽BC为12．5 m．。
《锐角三角函数》全章复习(教师版)附详细答案和知识点巩固
《锐角三角函数》全章复习【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；3．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=900，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”若∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即三、解直角三角形的应用1.解这类问题的一般过程(1)弄清仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：注：1求∠【典型例题】类型一、锐角三角函数1．(1)如图所示，P是角α的边上一点，且点P的坐标为(-3，4)，则sinα＝( )． A．35B．45C．45D．2例1（1）图例1（2）图(2)在正方形网格中，∠AOB如图所示放置，则cos∠AOB的值为( )．A.5512D.2【答案】(1)C； (2)A；【解析】(1)由图象知OA＝3，PA＝4，在Rt△PAO中5 OP==．∴4sin5PAOPα==．所以选C．(2)由格点三角形知如图中存在一个格点三有形Rt△OCD，且OC＝1，CD＝2，则OD=因此cosOCAOBOD∠===．所以选A．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值是( )． A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变【答案】 D；【解析】根据Asin A∠∠=的对边斜边知sin∠A的值与∠A的大小有关，与A∠的对边斜边的比值有关．当各边长度都扩大为原来的2倍时，其A∠的对边斜边的比值不变．故选D.举一反三：1、已知，如图，D是ABC∆中BC边的中点，90BAD∠=︒，2tan3B=，求sin DAC∠．B C2、已知，如图，ABC∆中，CE AB⊥，BD AC⊥，25DEBC=，求cos A及tan A．B3、如图所示，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，请你证明sin sin sin a b cA B C==．【答案】1、过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===2、易证点B 、C 、D 、E 四点共圆，△ADE ∽△ABC ，cos A=2,5AD DE AB BC == tanA=2BD AD =3、 证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为R ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，连结CD ，则∠B ＝∠D ．∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°．即△ADC 为直角三角形．∴sin sin 2AC bB D AD R===，∴2sin b R B =． 同理可证：2sin a R A =，2sin cR C=．∴2sin sin sin a b cR A B C===．类型二、 特殊角三角函数值的计算3．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos 60x =-°°． 【答案】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++．而14sin 452cos604212x =-=-⨯=°°． ∴=．4．已知a ＝3，且2(4t an45)b -+°，则以a 、b 、c 为边长的三角形面积等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A ；【解析】根据题意知4tan 450,130,2b bc -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩° 解得 4,5.b c =⎧⎨=⎩ 所以a ＝3，b ＝4，c ＝5，即222a b c +=，其构成的三角形为直角三角形，且∠C ＝90°， 所以162S ab ==． 举一反三：计算：1、tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° 2、 tan 60tan 45tan 60tan 45︒-︒︒︒＋2sin 60°【答案】1、原式=2221-⨯=131+342-=7122、原式22+⨯=33类型三、 解直角三角形5．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（ ）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD＝．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ；【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3535⨯=(cm)． ∴4AE =(cm)．∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)． 在Rt △DEB中，BD ==．综上所述①②③正确．故选C ．举一反三：如图所示，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为( )．A ．2 B．1【答案】 A ；【解析】 作DE ⊥AB 于点E ．因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A ＝45°，所以AE ＝DE ．又设DE ＝x ，则AE ＝x ，由1tan 5DE DBA EB ∠==． 知BE ＝5x ，所以AB ＝6x ，由勾股定理知AC 2+BC 2＝AB 2，所以62+62＝(6x)2，x =AD 2=．类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合6．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点， 且∠AED ＝45°．(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值． 【答案】(1)CD 与⊙O 相切．理由：如图所示，连接OD ，则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．在Rt △ABE 中，5sin 6AE ABE AB ∠==．∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 56AE AB ==．7．如图所示，直角△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝sin B P 为边BC 上一动点，PD ∥AB ，PD 交AC 于点D ，连接AP ， (1)求AC ，BC 的长；(2)设PC 的长为x ，△ADP 的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，并求出最大值．【答案】(1)在Rt △ABC 中，由sin B =，∴AC ＝2，由勾股定理得BC ＝4．(2)∵PD ∥AB ，∴△ABC ∽△DPC ，∴12DC AC PC BC ==． ∵PC ＝x ，则2211112(2)12244y x x x x x ⎛⎫=-⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∴当x ＝2时，y 有最大值，最大值是1．举一反三：1、如图，C 、D 是半圆O 上两点，511CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=BC CE类型五、三角函数与实际问题8．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【答案】过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80， 在Rt △APC 中，cos PC APC PA ∠=．∴PC ＝PA ·cos ∠APC＝在Rt △PCB 中，cos PC BPC PB ∠=，∴cos PC PB BPC ===∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P 的距离是海里．9．为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图所示是一辆自行车的实物图，车架档AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们相互垂直，座杆CE 的长为20cm ，点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°，如图所示．(1)求车架档AD 的长；(2)求车座点E 到车架档AB 的距离．(结果精确到1cm ，参考数据：sin75°≈0.959，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.7321) 【答案】(1)在Rt △ACD 中，75AD == ∴车架档AD 的长为75cm ．(2)过点E 作EF ⊥AB 于F ，∴sin ∠EAF ＝EFAE ，∴ EF ＝AE ·sin ∠EAF ＝(45+20)·sin75°≈63cm ， ∴ 车座点E 到车档架AB 的距离是63cm ．【点评】考查解直角三角形的应用，勾股定理，锐角三角函数定义.巩固练习（一）一、选择题1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）A．abB．baCD2．如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（）A.34B．43C．35D．453．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则sinB等于（）A．1213B．1312C．512D．5134．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（）．A．11..15434B C D5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=25，BC的长是（）．A．.450B C D6.已知sin a + cos a=m，sin a·cos a=n，则m，n的关系是（）．A．m=n B．m=2n+1 C．m2=2n+1 D．m2=1-2n7.在直角三角形ABC中，∠A为锐角，且cosA=14，那么（）．A．0°<∠A≤30° B．30°≤∠A≤45°C．45°<∠A≤60° D．60°<∠A<90°8.如右图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，且AD=3，sin∠ABD=35，sin∠DBC=1213，则AB，BC，CD长分别为（）．A．4，12，13 B．4，13，12 C．5，12，13 D．5，13，12DCBACBACBA图（2）αDCBA9.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，∠ABD=a，则下列结论正确的是（）．A．sina=45B．cosa=35C．tana=43D．tana=3410如果a是锐角，且cos a=45，那么sin（90°— a）的值等于（）．A．94316 (255525)B C D11.在△ABC中，∠C=90°，且AC>BC，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，EF⊥AB于F，•若CD=•4，AB=10，则EF：AF等于（）．A．12BD12.已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=35，AB=15，则AC的长是（）．A．3 B．6 C．9 D．12 13.下列各式中不正确的是（）．A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°14.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）．A．2 B．115.已知∠A为锐角，且cosA≤12，那么（）A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90° C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°16.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定17．当锐角a>60°时，cosa的值（）．A．小于12B．大于12C．大于D．大于118.已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC,•则∠CAB等于（）A．30°B．60°C．45°D．以上都不对二、解答题19．已知△ABC等腰三角形的一条腰长为20cm，底边长为30cm，求底角的正切值．20.已知sinα，cosα是方程4x2-2（的两根，求sin2α+cos2α的值．答案：一、选择题1.D2.A3.A4.B5.B6.C7.D8.B9.D 10.B 11.A 12.C 13.B 14.D15.B 16.B 17.A 18.B二、解答题19．如图，设△ABC为等腰三角形，AB=AC=20，BC=30，过A作AD⊥BC于D，则D•为BC中点．∴BD=15，在Rt△ABD中，∴tanB=153ADDB==．20.∵sinα+cosα=12（，cosα·sinα，∴sin2α+cos2α=（sinα+cosα）2-2sinα·cosα152020 D C BA=[12（] 2- =1．巩固练习（二）一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，tan B =，BC =AC 等于（ ）．A ．3B ．4C ．．6 2．已知α为锐角，则sin cos m αα=+的值（ ）． A ．m ≥1 B ．m ＝1 C ．m ＜1D ．m ＞13．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的值是( )． A ．3 B ．6 C ．8 D ．9第1题图 第3题图 第4题图 4．如图所示，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，3cos 5A =， tan ∠DBE 的值是( )．A.12 5．如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )．A ．34 B ．43 C ．35 D ．45第5题图 第7题图6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B =，则cosA 的值为（ ）．A ．12 B ．2 C ．2 D ．37．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )．A ．5cos α米B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|245| 1.41)3-⎛⎫--++= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子 长AB ＝_______米． 13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 161是方程2(3tan )0x x θ-=的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cos θ的值 为________．三、解答题17. 为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如图所示)．已知立杆AB 高度是3 m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度．18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB ME CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】由tan AC B BC =知tan 32AC BC B ===． 2.【答案】D ；【解析】在Rt △ABC 中，设α所对的边为a ，斜边为c ，邻边为b ．则sin a c α=，cos bcα=， ∴ sin cos a b a bm c c cαα+=+=+=，而a b c +>，∴ m ＞1. 3.【答案】B ；【解析】因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠DCA ，又∵ AD ∥BC ，∴ ∠DAC ＝∠ACB ，所以∠DCA ＝∠ACB ．在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝41085⨯=，则6AB ==． 4.【答案】B ；【解析】∵DE ⊥AB ，∴在Rt △ADE 中，cosA ＝35． ∴设AD ＝5k ，则AE ＝3k ，DE ＝4k ，又AD ＝AB ， ∴BE ＝2k ， ∴tan ∠DBE ＝422DE kBE k==． 5.【答案】B ；【解析】如图所示，连结BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4，又BC ＝5，CD ＝3，∴ CD 2+BD 2＝BC 2．∴ △BDC 是直角三角形．且∠BDC ＝90°，∴ 4tan 3BD C CD ==．6.【答案】C ；【解析】∵sin B =，∴ ∠B ＝60°，∠A ＝90°－60°＝30°，∴cos 2A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC ABα=．∴5cos AB α=．8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°； 当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】2【解析】原式＝3|21422--+=- 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos ADCAD B AC=∠=，∴45AD AC =， 又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4米．13．【解析】由题意知BD BD '==Rt △ABD ′中，tan BD BAD AB ''∠===14．【答案】y =【解析】tan 45°＝1, tan60-cos60°＝12-，-6tan30°＝-．设y ＝kx+b 经过点、1,2⎛-- ⎝，则用待定系数法可求出k =，b =．15．【答案】45； 【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC 8==，∴84sin 105BC A AB ===．16．【答案】2；【解析】由方程解的意义，知21)3tan (21)0θ-+=，故tan 1θ=，从而45θ=°，则cos cos 452θ==°三、解答题17.【答案与解析】∵在R △ADB 中，∠BDA ＝45°，AB ＝3，∴ DA ＝3．在Rt △ADC 中，∠CDA ＝60°，∴tan 60CAAD=°，∴CA ＝BC ＝CA －BA ＝(3)m ．答：路况显示牌BC 的高度是(3)m ．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE ⊥BC 于E ，则BE ＝AB ·cos B ＝8cos 60°＝1842⨯=．AE ＝AB ·sin B ＝8sin 60°＝82⨯= ∴EC ＝BC －BE ＝12—4＝8．∴在Rt △ACE 中，tan ∠ACB ＝AE EC == (2)作DF ⊥BC 于F ，则AE ∥DF ，∵ AD ∥EF ，∴ 四边形AEFD 是矩形．AD ＝EF ． ∵ AB ＝DC ，∴ ∠B ＝∠DCF ．又∵∠AEB ＝∠DFC ＝90°，∴△ABE △≌△DCF(AAS)． ∴FC ＝BE ＝4，∴EF ＝BC －BE —FC ＝4．∴AD ＝4．∴MN ＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE ＝FC ，∴BC ＝EF ． 又∵∠ABC ＝∠DEF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ≌△DEF ．∴AB ＝DE ．(2)解：∵∠DEF ＝∠B ＝45°，∴DE ∥AB ．∴∠CME ＝∠A ＝90°．∴AC ＝AB MC ＝ME CG ＝CE ＝2．在Rt △CAG 中，cos AC ACG CG ∠==ACG ＝30°． ∴∠ECG ＝∠ACB －∠ACB ＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE ＝90°．又∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝∠DEC ＝90°，∴∠EOD+∠ODE ＝90°． ∴∠CDE ＝∠EOD ．又∵∠EOD ＝2∠B ； ∴∠CDE ＝2∠B ．(2)连接AD ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°．∵BD:AB ，∴在Rt △ADB 中，cos 2BD B AB ==， ∴∠B ＝30°，∵∠AOD ＝2∠B ＝60°．又∵∠CDO ＝90°，∴∠C ＝30°，∵在Rt △CDO 中，CD ＝10，∴ OD ＝10tan 30O 在Rt △CDE 中，CD ＝10，∠C ＝30°，∴DE ＝CDsin 30°＝5． ∵ 弦DF ⊥直径AB 于点E ，∴ DE ＝EF ＝12DF ，∴ DF ＝2DE ＝10．巩固练习（三）一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A ．2B ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( )A ．212B ．12C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''， 则tan B '的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．4第2题图 第3题图 第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测 得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝50米，那么小岛B 到公路l 的距离为( )．A ．25米B ．CD ．25+米 5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm ，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A ．10 cm B ．20 cm C ．30 cm D ．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．．(2+8．因为1sin302=°，1sin2102=-°，所以sin210sin(18030)sin30=+=-°°°°；因为sin45=°，sin2252=-°，所以sin225sin(18045)sin45=+=-°°°°，由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°+α)＝-sinα，由此可知：sin240°＝( )．A．1-2B． C． D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，511CDAB=，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A B第9题图第10题图第11题图11．如图所示，已知直线1l∥2l∥3l∥4l，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=________．12．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为__ ______．13.1sin2α=-，则锐角α的取值范围是____ ____．14. 在△ABC中，AB＝8，∠ABC＝30°，AC＝5，则BC＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.第15题图 第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD=2，BC=8.则(1)BE 的长为 . (2)∠CDE 的正切值为 .三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ，∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝ (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN ，已知C 点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN 上的点A 处测得C 在A 的北偏东45°方向上，从A 向东走600米到达B 处，测得C 在点B 的北偏西60°方向上．(1)MN 是否穿过原始森林保护区?为什么?( 1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 3022-== 2.【答案】A ；【解析】过A 作AD ⊥BC 于D ，因为cos 2B =，所以∠B ＝45°，所以AD ＝BD ，因为3sin 5AD C AC ==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以4DC ==，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD ==⨯⨯=△.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】B ；【解析】依题意知BC ＝AC ＝50米，小岛B 到公路l 的距离，就是过B 作l 的垂线，即是BE 的长，在Rt △BCE 中，sin 60BE BC =°，BE ＝BC ·sin 60°＝50=米)，因此选B ．5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C ；【解析】tanBC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan 30=°，则地毯的总长至少为(2+m ．8．【答案】C ；【解析】sin 240°＝sin(180°+60°)＝-sin 60°＝二、填空题9．【答案】cos ∠CEB=511；tan ∠ 【解析】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ，∴CE CD 5=EB AB 11=，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=BC CE第9题答案图 第10题答案图 10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5.又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20， ∴BF=BC=×20=10，CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11． 【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，DE =．∴ sin sinAE ADE ED α=∠===12．【答案】13或； 【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3=．∴ tanA ==． 13．【答案】0＜α≤30°； 【解析】由题意知1sin 02α-≥，故sin α≤12，即sin α≤sin 30°，由正弦函数是增函数．知0＜α≤30°．14．【答案】3或3；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH =在Rt △AHC 中，HC 3==．∴ BC ＝3．当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝3．15．；16．【答案】（1）BE=5；（2）tan∠CDE=【解析】（1）由题意得△BFE≌△DFE，∴DE=BE.又∵在△BDE中，∠DBE=45°，∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE⊥BC.∵在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=8，∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.(2)由(1)得DE=BE=5，在△DEC中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3，∴tan∠CDE==.三、解答题17.【答案与解析】(1)∵∠BOE＝60°，∴∠A＝12∠BOE＝30°．(2)在△ABC中，∵cos C＝12，∴∠C＝60°，又∵∠A＝30°，∴∠ABC＝90°，∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴ BC是⊙O的切线．(3)∵点M是AE的中点，∴OM⊥AE，在Rt△ABC中，∵BC＝AB＝BC tan 60°＝6=，∴OA＝32AB=，∴OD＝12OA＝32，∴MD＝32．18.【答案与解析】(1)过C点作CH⊥AB于H．设CH⊥AB．由已知有∠EAC＝45°，∠FBC＝60°，则∠CAH＝45°，∠CBA＝30°．在Rt△ACH中，AH＝CH＝x，在Rt△HBC中，tan∠HBC＝CH HB．∴tan30CHHB===°，∵AH+HB＝AB，∴600x=，解得x=≈220(米)＞200(米)．∴ MN不会穿过森林保护区．(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y-5)天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：y＝25．经检验知：y＝25是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．19.【答案与解析】(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵ PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴AC BCCP CD=．∴AC·CD＝PC·BC．(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BEBC=又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝43．∴3tan 4BE PE CPB ⎫===⎪⎪∠⎝⎭． 从而PC ＝PE+EC＝2．由(1)得CD＝433PC = (3)当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =△． 由(1)可知，CD ＝43PC ． ∴223PCD S PC =△．故PC 最大时，PCD S △取得最大值； 而PC 为直径时最大，∴PCD S △的最大；∴PCD S △的最大值2250533S =⨯=．20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯=． (2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ，∴RQ QC AB BC =，∴10610y x -=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos 1cos 105C ∠===，∴45QM QP =，∴1425QR DH =， ∴1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，∴185x =．②当PQ ＝RQ 时，如图28—46所示，则有312655x -+=，∴x ＝6．③当PR ＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．于是点R 为EC 的中点，∴11224CR CE AC ===． ∵tan QR BA C CR CA ==，∴366528x -+=，∴152x =． 综上所述，当x 为185或6或152时，△PQR 为等腰三角形．。
《锐角三角函数》习题(含答案)正确无误版
《锐角三角函数》一、选择题1. 4sin tan 5ααα=若为锐角,且，则为 ( ) 933425543A B C D ． ． ． ． 2．在Rt △ABC 中，∠C = 90°，下列式子不一定成立的是（ ）A ．sinA = sinB B ．cosA=sinBC ．sinA=cosBD ．∠A+∠B=90° 3．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）A ．10B ．22C ．10或27D ．无法确定4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的关系式是（ ） A ．c =sin a A B ．c =cos a A C ．c = a ·tanA D ．c = tan aA5、οο45cos 45sin +的值等于（ ）A.2B.213+ C.3D. 16．在Rt △ABC 中，∠C=90°，tan A=3，AC 等于10，则S △ABC 等于( )A. 3B. 300C. 503 D. 1507．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于12 B ．小于12C ．大于3D ．小于38．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B ．3米 C ．23 D ．2339．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，则AB=（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）23 （D ）83310．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．323C ．10D ．12 二、填空题11．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______． 12．若sin28°=cos α，则α=________．13．已知△ABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．14．某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度． 15．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，sinA ＝54，则BC 的长为_______cm . 16.如图，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒，向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为A.82米B.163米C.52米D.70米17．如图，小鸣将测倾器安放在与旗杆AB 底部相距6m 的C 处，量出测倾器的高度CD ＝1m ，测得旗杆顶端B 的仰角α＝60°，则旗杆AB 的高度为 ．（计算结果保留根号）（16题） (17题) 三、解答题18．由下列条件解直角三角形：在Rt △ABC 中，∠C=90°：（1）已知a=4，b=8，求c （2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知c=20，∠A=60°. (4) （2）已知a=5，∠B=30°19．计算下列各题．（1）s in 230°+cos 245°+2sin60°·tan45°； （2）22cos 30cos 60tan 60tan 30︒+︒︒⨯︒+ sin45°（45︒30︒BAD C四、解下列各题20．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？21．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，•为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥．经测量得A在C北偏西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多少？（精确到0.1）22. 如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC=45o，∠ACB=30o，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明。
新人教版九年级数学下册锐角三角函数复习巩固
重点概念回顾
B
1. 结合图，请学生回答：什么是∠A正弦、余弦、正切 ？
c
a
在△ABC中，∠C为直角，我们把锐角A的对边与斜
边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A a c
A bC
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦，记作 cos A b c
锐角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切，记作 tan A a b
我们把 A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的三角函数
练习巩固
1. 分别求出图中∠A的正弦值、余弦值和正切值
B
2
6
C
A A
C 6
2
B
A
2
C
B
6
3
2. 若
cos A
3 2
且∠B=90°－ ∠A，则sinB=______2______
3. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB，那么 △ABC一定是_____直__角_____三角形．
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11、人总是珍惜为得到。21.4.409:27:1 509:27 Apr-214 -Apr-21
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12、人乱于心，不宽余请。09:27:1509 :27:150 9:27Sunday, April 04, 2021
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21. 4.421.4. 409:27: 1509:2 7:15Apr il 4, 2021
随着锐角A的度数的不断增大，sinA有怎样的变化趋势？cosA 呢？tanA呢？你能说明你的结论吗？ 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 点此图打开 计算器
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解(基础).doc
《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.3030°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1求∠2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA ，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【答案】D ． 【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cos α=．故选D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA 的长度是解题的关键．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例1-例2】 【变式】已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．BC【答案】过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===类型二、 特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°． 【答案与解析】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++．而14sin 452cos 604212x =-=-⨯=°°．∴4=．【点评】 先进行分式化简，再由1sin 45,cos 6022==°°得x 的值，最后代值求出结果．举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】【变式】计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45°【答案】原式=222((1322-⨯ =131+342- =712类型三、 解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（ ）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ；【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3535⨯=(cm)．∴ 4AE ==(cm)．∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)．在Rt △DEB 中，BD ==．综上所述①②③正确．故选C ．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点， 且∠AED ＝45°．(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值． 【思路点拨】(1)连接OD ，可证OD ⊥CD ，所以CD 与⊙O 相切； (2)连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ，所以sin ∠ADE ＝sin ∠ABE ＝AEAB． 【答案与解析】(1)CD 与⊙O 相切．理由：如图所示，连接OD ，则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．在Rt △ABE 中，5sin 6AE ABE AB ∠==． ∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 56AE AB ==．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过作辅助线BE ，将问题巧妙转化为Rt △ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形． 举一反三：【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例6-例8】 【变式】如图，C 、D 是半圆O 上两点，511CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=BC CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP 中∠A ＝60°，∠B ＝45°，∠APB ＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC ⊥AB 交AB 于C ． 【答案与解析】过点P 作PC ⊥AB 垂足为C ，则∠APC ＝30°，∠BPC ＝45°，AP ＝80， 在Rt △APC 中，cos PCAPC PA∠=． ∴PC ＝PA ·cos ∠APC＝ 在Rt △PCB 中，cos PCBPC PB∠=，∴cos PC PB BPC ===∠∴当轮船位于灯塔P 南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•南通）如图，一海伦位于灯塔P 的西南方向，距离灯塔40海里的A 处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东60°方向上的B 处，求航程AB 的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（2015•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），精品初中数学讲义（带详细答案）∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．。
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《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cos A、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数；2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角的度数；3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受.【知识网络】【要点梳理】要点一、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切的定义如右图、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果锐角A确定：(1)sinA=，这个比叫做∠A的正弦.(2)cosA=，这个比叫做∠A的余弦.(3)tanA=，这个比叫做∠A的正切.要点诠释：(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA、cosA、tanA是一个整体符号，即表示∠A三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin∠BAC，而不能写出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能写成sinA2.(4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是∠A的函数.同样，cosA、tanA也是∠A的函数，其中∠A是自变量，sinA、cosA、tanA分别是对应的函数.其中自变量∠A的取值范围是0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB； cosA=sinB；同角三角函数关系：sin2A＋cos2A=1；tanA=3.30∠A 30°45°60°sinAcosAtanA 130°、45°、60°角的三角函数值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形为本章重中之重，是几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练.要点二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°；边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形：(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见应用问题(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角与俯角：要点诠释：1已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．3．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁.如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单：∵∴∵∴∵∴【典型例题】类型一、锐角三角函数1．（•广东）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．【思路点拨】利用勾股定理列式求出OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可．【答案】D．【解析】解：由勾股定理得OA==5，所以cosα=．故选D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA 的长度是解题的关键．举一反三：【变式】已知，如图，D 是ABC ∆中BC 边的中点，90BAD ∠=︒，2tan 3B =，求sin DAC ∠．ABCD【答案】过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，则∠ADE=∠BAD=90°，由2tan 3B =，得2,3AD AB = 设AD=2k,AB =3k,∵D 是ABC ∆中BC 边的中点，∴DE =3,2k 在Rt △ADE 中，5,2AE k =332sin .552kDE DAC AE k ∠===类型二、 特殊角三角函数值的计算2．先化简，再求代数式231122x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭的值，其中4sin 452cos60x =-°°． 【答案与解析】原式1212(1)(1)1x x x x x x -+=⨯=+-++． 而214sin 452cos 604222122x =-=⨯-⨯=-°°． ∴ 原式＝2422=． 【点评】 先进行分式化简，再由21sin 45,cos 6022==°°得x 的值，最后代值求出结果．举一反三：【变式】计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45° 【答案】原式=222332()+()()1322-⨯ =131+342- =712类型三、 解直角三角形3．如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，3sin 5A =，则下列结论正确的个（ ）．①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210cm ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C ；【解析】由菱形的周长为20 cm 知菱形边长是5 cm ．在Rt △ADE 中，∵ AD ＝5 cm ，sin A ＝35，∴ DE ＝AD ·sinA ＝3535⨯=(cm)． ∴ 224AE AD DE =-=(cm)．∴ BE ＝AB －AE ＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为AB ·DE ＝5×3＝15(cm 2)． 在Rt △DEB 中，22223110BD DE BE =+=+=(cm)．综上所述①②③正确．故选C ．【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合4．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点， 且∠AED ＝45°．(1)试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由． (2)若⊙O 的半径为3 cm ，，AE ＝5 cm ．求∠ADE 的正弦值． 【思路点拨】(1)连接OD ，可证OD ⊥CD ，所以CD 与⊙O 相切； (2)连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ，所以sin ∠ADE ＝sin ∠ABE ＝AEAB． 【答案与解析】(1)CD 与⊙O 相切．理由：如图所示，连接OD ，则∠AOD ＝2∠AED ＝2×45°＝90°．∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥DC ， ∴ ∠CDO ＝∠AOD ＝90°， ∴ OD ⊥CD ，∴CD 与⊙O 相切．(2)如图所示，连接BE ，则∠ADE ＝∠ABE ． ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2×3＝6(cm)．在Rt △ABE 中，5sin 6AE ABE AB ∠==． ∴sin ∠ADE ＝sin ∠ABE 56AE AB ==．【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第(2)题通过作辅助线BE ，将问题巧妙转化为Rt △ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般要利用“直径所对的圆周角等于90°”这一性质构造直角三角形． 举一反三：【变式】如图，C 、D 是半圆O 上两点，511CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠． ABCDE【答案】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ， ∴CE CD 5==EB AB 11，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=46.BC =CE类型五、三角函数与实际问题5．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离(结果保留根号)．【思路点拨】由题意知△ABP中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然作PC⊥AB交AB于C．【答案与解析】过点P作PC⊥AB垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80，在Rt△APC 中，cosPC APCPA ∠=．∴PC＝PA·cos∠APC ＝403，在Rt△PCB中，cosPC BPCPB ∠=，∴403406 cos cos45PCPBBPC===∠°∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时，轮船与灯塔P的距离是406海里．【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过75°(或105°)角的顶点向对边作垂线是解决问题的关键．举一反三：【变式】（•南通）如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）．【答案与解析】解：过P作PC⊥AB于点C，在Rt△ACP中，PA=40海里，∠APC=45°，sin∠APC=，cos∠APC=，∴AC=AP•sin45°=40×=40（海里），PC=AP•cos45°=40×=40（海里），在Rt△BCP中，∠BPC=60°，tan∠BPC=，∴BC=PC•tan60°=40（海里），则AB=AC+BC=（40+40）海里．6．（•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．（1）改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB会加长多少米？（精确到0.01）（2）若斜坡的正前方能有3米长的空地就能保证安全，已知原斜坡AB的前方有6米长的空地，进行这样的改造是否可行？说明理由．（参考数据：）【答案与解析】解：（1）在Rt△ABC中，BC=AC=AB•sin45°=（m），在Rt△ADC中AD==5（m），CD==（m），∴AD﹣AB≈2.07（m）．改善后的斜坡会加长2.07m；（2）这样改造能行．∵CD﹣BC≈2.59（m），而6﹣3＞2.59，∴这样改造能行．【点评】当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（）A．B．4 C．8D．42．（•抚顺县四模）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝45，BC＝10，则AB的值是( )．A．3 B．6 C．8 D．9第1题图第3题图第4题图4．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3cos5A=， tan∠DBE的值是( )．A. 12B.2C.52D.555．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )．A．34B．43C．35D．45第5题图第7题图6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，3sin2B=，则cosA的值为（）．A．12B．22C3D37．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为( )． A ．5cos α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为（ ）．A ．30°B ．50°C ．60°或120°D ．30°或150°二、填空题9．计算：101|23tan 45|(2 1.41)3-⎛⎫--++-= ⎪⎝⎭°________．10．如图所示，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，4cos 5B =，则AC ＝________． 11．如图所示，将以A 为直角顶点的等腰直角三角形ABC 沿直线BC 平移得到A B C '''△，使点B '与C 重合，连接A B '，则tan ∠A BC ''的值为________．第10题图 第11题图 第12题图12．如图所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC ＝3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子 长AB ＝_______米． 13.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ' 处，那么tan ∠BAD ′等于________．第13题图 第15题图 14．一次函数经过(tan 45°，tan 60°)和(-cos 60°，-6tan30°)，则此一次函数的解析式为________． 15．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，AC ＝6，CD ＝5，则sinA 等于________． 16．（•自贡）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则的值= ，tan ∠APD 的值= ．三、解答题17. （•沛县二模）如图是某市一座人行过街天桥，天桥高CB=5米，斜坡AC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的傾斜角为30°．若新坡脚前需留3m 的人行道，问离原坡脚A 处7m 的建筑物M 是否需要拆除，请说明理由． （≈1.73）18．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝8，∠B＝60°，BC＝12，连接AC．(1)求tan∠ACB的值；(2)若M、N分别是AB、DC的中点，连接MN，求线段MN的长．19．如图所示，点E、C在BF上，BE＝FC，∠ABC＝∠DEF＝45°，∠A＝∠D＝90°．(1)求证：AB＝DE；(2)若AC交DE于M，且AB＝3，ME＝2，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．20. 如图所示，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD＝10，连接BD．(1)求证：∠CDE＝2∠B；(2)若BD:AB＝3:2，求⊙O的半径及DF的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D.【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，即cos30°=，∴BC=8×=4；故选：D．2．【答案】A；【解析】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥CB于D，依题意得CD：AD=1：=：3，而tan∠DAC=CD：AD，∴tan∠DAC=：3，∴∠DAC=30°，∴顶角∠BAC=60°．3.【答案】B；【解析】因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA，又∵ AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB．在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠BCA＝41085⨯=，则226AB BC AC=-=．4.【答案】B；【解析】∵DE⊥AB，∴在Rt△ADE中，cosA＝35．∴设AD＝5k，则AE＝3k，DE＝4k，又AD＝AB，∴BE＝2k，∴tan∠DBE＝422DE kBE k==．5.【答案】B；【解析】如图所示，连结BD，由三角形中位线定理得BD＝2EF＝2×2＝4，又BC＝5，CD＝3，∴ CD2+BD2＝BC2．∴△BDC是直角三角形．且∠BDC＝90°，∴4 tan3BDCCD==．6.【答案】C；【解析】∵3sin B=，∴∠B＝60°，∠A＝90°－60°＝30°，∴3cos 2A =． 7．【答案】B ；【解析】由上图知ABC α∠=，在Rt △ABC 中，cos BC AB α=．∴5cos AB α=． 8．【答案】D ；【解析】有两种情况：当∠A 为锐角时，如图(1)，sin A ＝12，∠A ＝30°； 当∠A 为钝角时，如图(2)，sin(180°－∠BAC)＝12，180°－∠BAC ＝30°，∠BAC ＝150°．二、填空题9．【答案】23+；【解析】原式＝3|23|142323--++=-+=+． 10．【答案】5；【解析】在Rt △ABC 中，．AD ⊥BC ，所以∠CAD ＝∠B ．∴cos cos AD CAD B AC =∠=，∴45AD AC =， 又∵ AD ＝4，∴AC ＝5．．11．【答案】13； 【解析】过A '作A D BC ''⊥于点D ，在Rt △A B D ''中，设A D x '=，则B D x '=，BC=2x,BD=3x.12．【答案】4 ； 【解析】由3cos 4AC BAC AB ∠==，知334AB =，AB ＝4米． 13．2；【解析】由题意知22BD BD '==Rt △ABD ′中，22tan 22BD BAD AB ''∠=== 14．【答案】233y x =【解析】tan 45°＝1, tan603-cos60°＝12-，-6tan30°＝23-．设y ＝kx+b 经过点(1,3)、1,232⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则用待定系数法可求出23k =，3b =-． 15．【答案】45； 【解析】∵CD 是Rt △ABC 斜边上的中线，∴AB ＝2CD ＝2×5＝10，BC ＝22221068AB AC -=-=，∴84sin 105BC A AB ===． 16.【答案】3，2．【解析】解：∵四边形BCED 是正方形， ∴DB ∥AC ，∴△DBP ∽△CAP ， ∴==3，连接BE ，∵四边形BCED 是正方形，∴DF=CF=CD ，BF=BE ，CD=BE ，BE ⊥CD ， ∴BF=CF ，根据题意得：AC ∥BD ， ∴△ACP ∽△BDP ，∴DP ：CP=BD ：AC=1：3， ∴DP ：DF=1：2， ∴DP=PF=CF=BF ， 在Rt △PBF 中，tan ∠BPF==2，∵∠APD=∠BPF ， ∴tan ∠APD=2，三、解答题17.【答案与解析】解：在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，BC=5， ∵i=1：1，∴AB=5，在Rt△DBC 中，∠DBC=90°，∠CDB=30°，BC=5， tan30°=， ∴=，解得DB==5×1.73≈8.65，∵BM=7+5=12，BD≈8.65，∴12﹣8.65＞3，所以，离原坡脚7m的建筑物无需拆除．18.【答案与解析】(1)如图所示，作AE⊥BC于E，则BE＝AB·cos B＝8cos 60°＝1842⨯=．AE＝AB·sin B＝8sin 60°＝38432⨯=．∴EC＝BC－BE＝12—4＝8．∴在Rt△ACE中，tan∠ACB＝433 AEEC==(2)作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∵ AD∥EF，∴四边形AEFD是矩形．AD＝EF．∵ AB＝DC，∴∠B＝∠DCF．又∵∠AEB＝∠DFC＝90°，∴△ABE△≌△DCF(AAS)．∴FC＝BE＝4，∴EF＝BC－BE—FC＝4．∴AD＝4．∴MN＝12(AD+BC)＝12×(4+12)＝8．19.【答案与解析】(1)证明：∵BE＝FC，∴BC＝EF．又∵∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF．∴AB＝DE．(2)解：∵∠DEF＝∠B＝45°，∴DE∥AB．∴∠CME＝∠A＝90°．∴AC＝AB＝3，MC＝ME＝2．∴CG＝CE＝2．在Rt△CAG中，3cos2ACACGCG∠==，∴∠ACG＝30°．∴∠ECG＝∠ACB－∠ACB＝45°－30°＝15°．20.【答案与解析】(1)连接OD，∵直线CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CD0＝90°，∴∠CDE+∠ODE＝90°．又∵DF⊥AB，∴∠DEO＝∠DEC＝90°，∴∠EOD+∠ODE＝90°．∴∠CDE＝∠EOD．又∵∠EOD＝2∠B；∴∠CDE＝2∠B．(2)连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵BD:AB＝3:2，∴在Rt△ADB中，3 cos2BDBAB==，∴∠B＝30°，∵∠AOD＝2∠B＝60°．又∵∠CDO＝90°，∴∠C＝30°，∵在Rt△CDO中，CD＝10，∴ OD＝10tan 30°＝1033．即⊙O的半径为1033．在Rt△CDE中，CD＝10，∠C＝30°，∴DE＝CDsin 30°＝5．∵弦DF⊥直径AB于点E，∴ DE＝EF＝12DF，∴ DF＝2DE＝10．。