冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
阶跃函数的傅里叶变换
T1 2
2 T21 bn T1 f (t )sin(n1t )dt 0 T1 2
三角级数只含有直流和余弦项，不含有正弦项。
an jbn an Fn 2 2
n1 E Fn Sa( ) T1 2
E n1 E Sa Fn Sa T1 T1 2 n1 2
0 n 或 n , Sa 1 2 n , Sa 1 2 0 0
1 Fn F n cn 2 cn Fn F n
3. 指数形式的信号频谱
Fn Fn e
Fn ~ n1
幅度频谱
jn
Fn 是 n 的偶函数
n
是 n 的奇函数
n ~ n1 相位频谱
E 例：周期矩形脉冲 f (t ) T1
实数
双边频谱
n1 jn1t Sa( 2 )e n
c0 a0 ,
cn a b ,
2 n 2 n
n tan1 (
bn ) an
an , bn , cn ,n 都是 n1 的函数。
cn ～ n1 关系曲线，称为信号的 幅度频谱。
n
～
n1 关系曲线，称为信号的 相位频谱。
周期矩形脉冲 f (t ) E 2 E T1 T1
1 t0 T1 {a0 [an cos(n1t ) bn sin(n1t )]}2 dt T1 t0 n1
1 2 2 a0 (an bn2 ) 2 n1
几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
常用傅里叶逆变换公式
常用傅里叶逆变换公式傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常基础的数学工具。
在现代数字信号处理领域中，它们被广泛应用于信号滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
作为傅里叶变换的逆运算，傅里叶逆变换起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将详细介绍一些常用的傅里叶逆变换公式，并说明它们在实际应用中的作用。
傅里叶逆变换的定义在深入讨论傅里叶逆变换公式之前，我们需要先了解一下傅里叶逆变换的定义。
傅里叶逆变换是指将复频域信号转换成复时域信号的过程。
与傅里叶变换不同的是，逆变换是不可逆的。
即使我们进行完傅里叶逆变换之后，再进行傅里叶变换，也不能恢复原来的复频域信号。
傅里叶逆变换的数学表达式如下：$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$其中，$x(t)$是时域信号，$X(j\omega)$是傅里叶变换后的频域信号，$j$是虚数单位，$\omega$是频率，$t$是时间。
这个公式的意思是，我们可以通过对傅里叶变换后的复频域信号做积分，得到复时域信号$x(t)$。
傅里叶逆变换的性质在实际应用中，我们常常需要使用傅里叶逆变换公式对信号进行处理。
为了更好地利用傅里叶逆变换公式，我们需要了解一些它的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：傅里叶逆变换具有线性性，即如果$x_1(t)$的傅里叶变换是$X_1(j\omega)$，$x_2(t)$的傅里叶变换是$X_2(j\omega)$，那么$ax_1(t)+bx_2(t)$的傅里叶逆变换就是$aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)$。
2. 时移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t-t_0)$的傅里叶逆变换就是$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$，其中$t_0$是一个常数。
3. 频移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t)e^{j\omega_0t}$的傅里叶逆变换就是$X(j(\omega-\omega_0))$，其中$\omega_0$是一个常数。
信号与系统第三章
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
常用函数的傅里叶变换
常用函数的傅里叶变换傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，常用于信号处理、通信、图像处理等领域。
在实际应用中，有很多常用的函数需要进行傅里叶变换，本文将介绍一些常用函数的傅里叶变换公式。
1. 正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本的周期函数，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin(omega_0t)) &= frac{j}{2}[delta(omega-omega_0)-delta(omega+omega_0)]mathcal{F}(cos(omega_0t)) &= frac{1}{2}[delta(omega-omega_0)+delta(omega+omega_0)]end{aligned}$$其中，$omega_0$表示正弦函数和余弦函数的基频，$delta(omega)$表示狄拉克脉冲函数，$j$表示虚数单位。
2. 矩形函数矩形函数是一个限制在有限区间的常数函数，它的傅里叶变换公式如下：$$mathcal{F}(mathrm{rect}(t/T)) = Tmathrm{sinc}(omega T) $$其中，$mathrm{sinc}(x)=frac{sin(pi x)}{pi x}$为正弦积分函数。
3. 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的傅里叶变换公式如下：$$begin{aligned}mathcal{F}(sin^2(omega_0t)) &= frac{j}{4}[delta(omega-2omega_0)-delta(omega)-delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(cos^2(omega_0t)) &= frac{1}{4}[delta(omega-2omega_0)+2delta(omega)+delta(omega+2omega_0)]mathcal{F}(tan(omega_0t)) &= -jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega-omega_0)-jfrac{pi}{2}mathrm{sgn}(omega+omega_0)end{aligned}$$其中，$mathrm{sgn}(x)$为符号函数。
上海大学通信学院学科复习资料-信号
拉氏变换基本性质
一、线性（叠加）
若 ，则
二、微分
若 ，则 .[若积分从 开始，则 取 ].
三、积分
若 ，则
四、延时（时域平移）
五、 域平移
六、尺度变换
七、初值
八、终值
九、卷积
十、相乘
十一、对 微分
第五章傅利叶变换应用于通信系统
一、系统函数H(jw)
稳定系统，零状态响应
冲激响应与系统函数之间傅利叶变换关系
阶跃函数
3.7傅利叶变换的基本性质
（一）对称性
若
（二）线性叠加
若
则
（三）奇偶虚实性
（1）f(t)为实函数
（2）f(t)为虚函数
（四）、尺度变换特性
若 ，则 （a为非零实常数）
（五）、时移特性
若 ，则
（六）频移特性
若 ，则
（七）、微分特性
若 ，则 ，
频域微分特性 ，
（八）、积分特性
若 ，则
3.8卷积特性（卷积定理）
一个系统输出只取决于该时刻输入，该系统称为无记忆系统（即时系统）。
反之则为记忆系统）（动态系统）。
例：电容器： .
iii、集总参数系统与分布参数系统；
iv、线性系统与非线性系统。
令 是一个连续时间系统，对 响应， 是对应于 的输出，则1、 是 的响应；（叠加性）
2、 是 响应；（ 为任意常数）（齐次性，均匀性，比例性）
（一）、时域卷积定理
若 ， 则
（二）、频域卷积定理
若 ， 则
3.9周期信号傅利叶变换
（ 为单脉冲傅利叶变换）
第四章拉普拉斯变换、 域分析
单边拉氏变换
乘以衰减因子 后要满足绝对可积条件， 取值范围称为收敛域。
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
信号与系统第3章 傅里叶变换
P
f
2 (t) 1 T1
t0 T1 t0
f
2 (t)d t
a0 2
1 2
n1
(an
2
bn 2 )
2
Fn _____ 帕塞瓦尔定理
n
结论：周期信号的平均功率等于傅里叶级数展开 式中基波分量及各谐波分量有效值的平方 和，即时域和频域的能量守恒。
五. 周期信f号(t)的频c0 谱 （c三n c角os函(n数1t形 式n )） n1
(1) 偶函数 f (t) f (t)
4
an T1
T1
2 0
f (t) cos(n1t)dt
Fn
Fn
an 2
bn 0
傅里叶级数中不会含有正弦项， 只可能含有直流项和余弦项。
(2) 奇函数 f (t) f (t)
a0 0 , an 0
bn
4 T1
T1
2 0
f (t) sin(n1t)d t
e j n1t
T1 n 2
画频谱图：
c0
a0
E
T1
an
2E
T1
Sa
n1
2
, n
1,2,
cn an
1）令 m
2
得
2
m
即在
2
m，m为整数处有零点。
2）
2
2
T1
T1
零点间谱线个数
3) c n值为正，相位为0，值为负，相位为π
4)谱线间隔为 1 带宽
2
T1
，第一个过零点带宽定义为信号的
1 3
s in31t
1 4
sin41t
E
1 n1
信号与系统总结
信号与系统第一章总结1、信号的分类（1）周期信号和非周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。
（2）连续信号和离散信号连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻都有定义。
用t 表示连续时间变量。
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连续的规定瞬时给出函数值，用n 表示。
（3）模拟信号，抽样信号，数字信号 模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。
抽样信号：时间离散，幅值连续的信号。
数字信号：时间和幅值均为离散的信号。
（4）按照信号能量特点分类：能量受限信号：若信号f (t)的能量有界，即E<∞ ,则称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。
功率受限信号：若信号f(t)的功率有界，即P<∞ ,则称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞。
PS ：时限信号为能量信号；周期信号属于功率信号。
2、典型的确定性信号（1）指数信号： ， α=0 直流（常数）；α<0 指数衰减；α>0指数增长。
通常把称为指数信号的时间常数，记作τ,代表信号衰减速度，具有时间的量纲。
对时间的微分和积分仍然是指数形式（2）正弦信号：，振幅K ，周期T=ωπ2 ,初相衰减正弦信号：对时间的微分和积分仍然是同频率的正弦信号 （3）复指数信号：α1θdt t f E 2)(⎰∞∞-∆=⎰-∞→=222|)(|1lim T TT dt t f T P t K t f αe )(=)sin()(θω+=t K t f ()000sin e)(>⎩⎨⎧<≥=-αωαt t t K t f t()()t K t K t K t f t t stωωσσsin e j cos e )( e )(+=∞<<-∞=为复数，称为复频率j ωσ+=s rad/s的量纲为 ，/s 1 的量纲为 ωσ振荡衰减增幅等幅⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠<≠>≠= 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ⎪⎩⎪⎨⎧=<=>==衰减指数信号升指数信号直流 0 ,0 0 ,0 0 ,0ωσωσωσ（4）抽样信号（重点）： 性质：1. 偶函数2. 3. 4.5. 6.（5）钟形信号（高斯函数）：3、信号的平移，反褶，展缩（1）平移：左加右减（注意符号）（2）反褶：关于y 轴对称（3）展缩：f(t)到f(at)，图形变换(1/a)倍变换方法： 1. 先展缩：a>1，压缩a 倍； a<1，扩展1/a 倍 2. 后平移：+，左移b/a 单位；－，右移b/a 单位 3. 加上倒置：4、阶跃信号和冲激信号（1）单位阶跃信号（通常以u （t ）表示）门函数：符号函数：ttt sin )Sa(=)Sa(lim ，即1)Sa(,00===→t t t t 3,2,1π,0)Sa(=±==n n t t ，⎰⎰∞∞-∞==πd sin ,2πd sin 0t t t t t t 0)Sa(lim=±∞→t t ()()t t t ππsin )sinc(=2e )(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τt E tf ()()()[]()0 >±=±→a a b t a f b at f t f 设()()[]a b t a f b at f -=±-()[(/)]f t f a t b a →±()()f t f at →210 0100)(点无定义或⎩⎨⎧><=t t t u ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22ττt u t u t f ⎩⎨⎧<->=0101)sgn(t t t（2）单位冲激信号：①定义：狄拉克函数 只在t=0时，函数值不为0；积分面积为1；t =0 时，为无界函数。
§3.06 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.07 傅里叶变换的性质
第
五．时移特性
若f (t ) ↔ F(ω),
28 页
F(ω) = F(ω) ejϕ(ω)
则f (t − t0 ) ↔ F(ω) ⋅ ej[ϕ(ω)−ω t0 ]
则f (t − t0 ) ↔ F(ω)e− jωt0 ;
幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 幅度频谱无变化，只影响相位频谱， 右 −ωt0 ω 相移 t0 ωt0 左
−∞ ∞
= 2∫ f (t)cos(ωt)dt
0
∞
X (ω) = −∫ f (t)sin(ωt)dt
−∞
∞
=0
则
F(ω) = R(ω) = 2∫ f (t)cos(ωt)dt
0
∞
第 19 页
(2) f (t)是实奇函数 是实奇函数
R(ω) = ∫ f (t)cos(ωt)dt
−∞ ∞
=0
X (ω) = −∫ f (t)sin(ωt)dt
第 26 页
f (t )
F(ω)
Eτ
E
−
τ
2
o
τ
2
t
−
2 o 2 π π
ω
τ
τ
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 时域扩展，频带压缩。
t f 2
2Eτ
− π
2F(2ω)
E
t
π
τ
−τ
o
τ
o
τ
ω
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 脉冲持续时间增加 倍 变化慢了， 带压缩a倍 高频分量减少，幅度上升a倍 带压缩 倍。高频分量减少，幅度上升 倍。
第
傅里叶变换
傅里叶变换
F(ω) = ∫ f (t)e− jω t dt =F [ f (t)]
常用傅立叶变换表
时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移, 变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8表示和的卷积—这9矩形脉冲和归一化的sinc 函数10变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
11tri 是三角形函数12变换12的频域对应13高斯函数 exp( − αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
141516a>017变换本身就是一个公式18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19 变换23的频域对应20 由变换3和24得到.21由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2.22 由变换1和25得到23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.25 变换29的推广.26 变换29的频域对应.27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.。
3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
ejwdt w
d(t)1 (jw )ejdt
推广：
dn(t)
dtn
FT(jw)n
tn F T 2(j)ndnd (n w w)
三、阶跃信号的傅里叶变换
阶跃函数：u(t) 1 1 sgn(t) 22
采用宽度为?的矩形脉冲22eut??ut???ft????????????????????2sfe?a?????????2?2频谱变化频谱变化???的极限而求得
§ 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
• 主要内容
•冲激函数的傅里叶变换 •冲激偶的傅里叶变换 •阶跃函数的傅里叶变换
• 重点：冲激函数和阶跃函数傅里叶变换
称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。
（2）冲激函数的傅里叶反变换
冲激函数的频谱等于常数。
反过来，直流信号的频谱是冲激函数。 (w)
F(w)(w)
1
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F ()2 E ,
F ()2 E ()0
冲激偶函数： f (t) '(t)
f(t)'(t) 1
其傅里叶变换为：
F() j,
F()
()
2
2
,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解两：边求 导I：F:T (t)21
傅氏变换为：
F[w]lim ES(aw)
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)
E
u
t
2
1
其傅里叶变换为：
F () j,
F ()
( )
22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
F () 1 ,
j
（复函数）
F ()
2
2
1
2
0, 0
(
)
2
3.7-9 傅立叶变换的基本性质
2
t 4
B f = f 3 (0).τ = 1
3.7
当=-1时 时
傅立叶变换的基本性质
1 ω FT [ f (at )] = F ( ) a a
⇓
FT [ f (−t )] = F (−ω )
这就是反转特性. 这就是反转特性
3.7
FT
傅立叶变换的基本性质
[f
( t ) ] = F (ω )
2 F (2ω )
1
2τ
−τ
0
τ t
f (2t )
0
−
π τ
1 2
π τ
ω
压缩
−τ / 4
1
0
τ
F( ) 2
ω
扩展
2
0
τ /4
t
−
4π
4π
τ
τ
ω
3.7
注意: 注意
傅立叶变换的基本性质
傅立叶变换尺度变换性质.exe 傅立叶变换尺度变换性质
尺度变换伸展与压缩后幅度的变化. 尺度变换伸展与压缩后幅度的变化.
实函数
F
对实 x(t):
共轭对称
实 偶
F
实 偶
F
实 奇
纯虚 奇
偶部的F = F的实部
奇部的F = F的虚部
本次课的主要内容
3.7 傅立叶变换的基本性质
尺度变换特性 时移特性 频移特性 微分特性 积分特性
3.8 卷积定理 3.9 周期信号的傅里叶变换
3.7
• 若 • 则
傅立叶变换的基本性质
FT [ f (t )] = F (ω )
1 ω FT [ f ( at )] = F( ) a a
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
傅里叶变换详细讲述
第三章傅里叶变换3-1 概述对于一件复杂的事情，人们总是从简单的一步开始做起，富丽堂皇的高楼大厦，是人们一块砖一块砖垒起来的。
为了简化问题的求解，人们往往也使用“变换分析”这种技巧，所起“变换”大家可能会感到陌生，其实我们在中学时已经运用了“变换分析”技巧，大家一定还记得对数运算，它实际上也是一种数学变换，我们知道两个数的乘积的对数等于两个数的对数和，两个数的商的对数等于这两个数的对数差，利用对数这个运算规则我们可以将数的乘积运算转换（准确地说变换）为数的加法运算，可以将数的除法运算转换（变换）为数的减法运算，可见“变换分析”给我们解决问题带来了方便，傅里叶变换就是给我们分析问题和解决问题极为方便的数学工具。
线性非时变系统的卷积分析实际上是基于将输入信号分解为一组加权延时的单位冲激（或样值）激励的线性组合。
本章将讨论信号和系统的另一种表示，其基本观点还是将信号分解为一组简单函数的线性组合，但是这里用的简单函数不是单位冲激（或样值）而是三角函数（或复指数函数）。
用“三角函数和”表示信号的想法至少可以追溯到古代巴比伦时代，当时他们利用这一想法来预测天体运动。
这一问题的近代研究始于1748年，欧拉在振动弦的研究中发现：如果在某一时刻振动弦的形状是标准振动（谐波）模的线性组合，那么在其后任何时刻，振动弦的形状也是这些振动模的线性组合。
另外，欧拉还证明了在该线性组合中，其后的加权系数可以直接从前面时间的加权系数中导出。
欧拉的研究成果表明了：如果一个线性非时变系统输入可以表示为周期复指数或正弦信号的线性组合，则输出也一定能表示成这种形式。
现在大家已经认识到，很多有用的信号都能用复指数函数的线性组合来表示，但是在18世纪中期，这一观点还进行着激烈的争论。
1753年D.伯努利（D.Bernoulli）曾声称：一根弦的实际运动都可以用标准（谐波）振荡模的线性组合来表示。
而以J.L.拉格朗日(grange)为代表的学者强烈反对使用三角级数来研究振动弦运动的主张，他反对的论据就是基于他自己的信念，即不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数。
冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
频域卷积定理
f1(t) F1(); f2 (t) F2 ()
f1(t)
f2 (t)
1
2
F1() F2 ()
时域乘积对应频域卷积!
课堂练习
❖ 3-16 (a)(c)；(b)(d)任选一组 ❖ 3-29 ❖ 3-33
作业
❖ 3-17 ❖ 3-25
下次课将讲到3.9 3.10 3.11三节 内容及本章的复习课，请大家 提前做好准备。
1 f (x)e j(xb)/ adx
a
1
j b
ea
j x
f (x)e a dx
a
1
e
j
b a
F
(
)
a
a
a 0,则有绝对值.
频移特性
f (t) F () f (t)e j0t F ( 0 )
证明:
FT[ f (t)e j0t ]
f
(t)e j0te jt dt
F (
0 )
* f (t)为实奇函数 R() 0
F () jX () 2 j0 f (t) sin(t)dt
实偶函数 X () 0 实奇函数 R() 0
任意实信号f (t) fo (t) fe (t)
F () R() jX ()
fe (t) fo (t)
R() jX ()
2. f (t)为虚函数f (t) jg(t)
B 2
脉宽与带宽的关系仍然是反比关系.
时移特性
f (t) F ()
f (t t0 ) F ()e jt0 信号平移后,相位谱产生附加变换 t0,
幅度谱不变.
f (at b)
1
F
(
)e
信号与系统3.6冲击函数的频谱
1
1
2
直流信号的傅里叶变换是冲击函数。
第3章 傅里叶变换
此结果也可由宽度为的矩形脉冲取 的极限得到。
直流信号的频谱
第3章 傅里叶变换
当 时，矩形脉冲成为直流信号E，此时有
Ｅ
lim
E
Sa
2
由第一章冲击函数的定义可知
lim k Sa k
从而ｕ(t)的频谱函数为
ｕt
1 2
1 2
sgn
t
1
j
单位阶跃函数的频谱在ω＝０点存在一个冲激函数，因为u(t) 含有直流分量，这是预料之中的。此外，由于u(t)不是纯直流信 号，它在t=0点有跳变，因此在频谱中还出现其它频率分量。
第3章 傅里叶变换
3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
一、冲激函数的傅里叶变换 （１）冲激函数的傅里叶变换
F () (t)e jtdt 1
可见，冲激函数δ(t)的频谱是常数1。也就是 说，δ(t)中包含了所有的频率分量， 而各频率分
量的频谱密度都相等。
显然，信号δ(t)实际上是无法实现的。
d
dt
t
＝ 21
j e jtd
d dt
t
j
第3章 傅里叶变换
同理可得：
dn dt n
t
j
n
可由对称 性得到
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
tn
2
j n
dn dt n
第3章 傅里叶变换
三、阶跃函数u(t)的傅里叶变换
从波形可知阶跃函数u(t)不满足绝对可积的条件， 但它仍存在傅里叶变换
u(t) 1 1 Sgn(t) 22
典型信号的傅里叶变换
jω
τ
τ
2
E
−τ 2 O
τ
2
τ 2
t
ω
τ
−e 2j
−jω
τ
2
ωτ sin 2 = Eτ
ωτ
2
幅度频谱： 幅度频谱： F(ω) = Eτ Sa
0 τ τ ϕ(ω) = 相位频谱： 相位频谱： ±π 2(2n + 1)π < ω < 2(2n + 2)π τ τ
推导
F(ω) = lim∫ Ee−jω t d t
e− jω t τ = E lim τ →∞ − jω −τ
τ →∞
−τ
7 页
τ
F(ω)
(2π E)
O
= E lim
τ →∞
e
− jωτ
ω τ sin(ωτ ) π = 2 E lim ωτ τ →∞ π
τ →∞
= E lim
2sin(ωτ )
jω 0 t
1⋅ e−jω0 t ↔ 2πδ(ω + ω0 )
1 π π ∴cosω0t ↔ [2 δ (ω −ω0 ) + 2 δ (ω +ω0 )] =π δ (ω +ω0 ) +π δ (ω −ω0 ) 2
↔ 2πδ(ω −ω0 )
同理
sinω0t ↔ − jπ δ (ω −ω0 ) + jπ δ (ω +ω0 )
第
频谱图
2 2 2 mjπ sgn(t ) ↔ = −j = e 2 jω ω ω
F(ω)
9 页
2
2 2 2 F(ω) = = ω ω
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其傅里叶变换为：
F () j,
F ()
( )
22,
,
0 0
（纯虚函数）
0
t
1
F (w)
0
w
(w)
2
0
w
2
推导：
解： IFT : (t) 1 e jwtdw
两边求导：
2
d (t) 1 ( jw)e jwt dw
dt
2
得：
d (t) FT jw
dt
推广：
d n (t) FT( jw)n
dt n
tn
FT 2
(
j)n
d
n (w)
dwn
三、阶跃信号的傅里叶变换
阶跃函数：u(t) 1 1 sgn( t) 22
阶跃函数u(t)不满足绝 对可积条件，但它仍 存在傅里叶变换。
即：u(t)含有直流分量。
此外：由于u(t)不是纯直流信号，它在t=0点有跳变， 因此在频谱中还存在其他频率分量。
思考题
• 1. 冲激函数的傅立叶变换及其反变换的公 式？
• 2. 阶跃函数的傅立叶变换公式？
2
若令
[] lim k Sa(kw) k
k 比较上两式可得到：
2
F[w] 2E (w)
当E=1时， F[w] 2(w)
(t) FT1 1FT2(w)
二、冲激偶信号的傅里叶变换
冲激偶函数： f (t) '(t)
f (t) '(t)
§ 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换
• 主要内容
•冲激函数的傅里叶变换 •冲激偶的傅里叶变换 •阶跃函数的傅里叶变换
• 重点：冲激函数和阶跃函数傅里叶变换
• 难点：傅立叶变换的推导
一、冲激函数的傅里叶变换
(t)
（1）冲激函数的傅里叶正变换
(1)
f(t)= d(t)
其傅里叶变换为：
F () 1,
u
t
2
频谱变化
F ()
E
Sa
2
0
t
的极限而求得。
f (t)
E
0
t
2
0 2
w
(w)
(2E)
0
w
当 时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其
傅氏变换为：
F[w] lim E Sa( w )
F () 1 ,
j
（复函数）
F ()
2
2
12ຫໍສະໝຸດ 0, 0
(
)
2
2
,
,
0 0
f (t) u(t)
1
F()
2
2
1 2
0
t
0
w
可见：
单位阶跃函数u(t)的频谱在w=0点存在一个冲激函数，
F () 1 () 0
（正实函数）
0 F (w)
t
1
0
w
单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率范 围内频谱是均匀分布的。
在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的 所有频率分量。
称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。
（2）冲激函数的傅里叶反变换
冲激函数的频谱等于常数。
反过来，直流信号的频谱是冲激函数。 (w)
1
F(w) (w)
求f(t)
0
w
直流信号 f(t)=E
f (t)
1 2
其傅里叶变换为：
0
F() 2 E ,
F() 2 E
() 0
t
（正实函数）
求解直流信号的傅里叶变换 解：采用宽度为的矩形脉冲
f
(t)
E
u
t
2