连续离散控制系统课件第3章控制系统的稳定性
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• 系统具有正实部的闭环极点个数等于劳斯 表第一列诸值符号改变次数的总和。
• 在例3.1中第一列所有值均为正数，故系统 是稳定的。在例3.2中由于出现了一行各列 值全为零，故系统是不稳定的。由于第一 列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点 在S平面的右半平面(s1=1)。
2020/11/12
劳斯判据举例一
系统是否 s6 1 稳定？ s5 1
s4 1
s3 1
s2 3 s1 1 s0 8
3. 某行的第一列单元值为零：此种情况的存 在系统一定是不稳定的，若需要进一步填 写劳斯表，则用一个无穷小的正数代替 该行第一列的零值后继续计算。
2020/11/12
几种情况的举例
例3.2设系统的特征方程如下，填出劳斯表。
s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=0
s7 1
9 -1 -9
• 例3.3已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭
环极点分布的状况：
2s7+3s6+s47s5+32s4+5s34+s2+5s5+3 5
s6 3
3
13
s5 6 13
9
s4 -7 -7
6
s3 49 99
s2 25 21 s1 241
s0 21
2020/11/12
劳斯判据举例二
• 例3.4已知系统特征多项式如下，判定稳定性 和闭环极点分布的状况： s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
• 若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不 稳定的。
2020/11/12
稳定的各种情况
2020/11/12
(a) 大范围稳定的系统 (b) 局部渐近稳定的系统 (c) 不稳定的系统
稳定各种情况的结论
• 大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定 性完全取决于系统自身的结构和参数,而和 扰动的性质无关。
• 局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自 身的结构和参数而且和扰动的性质有关。
• 线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳 定的。
2020/11/12
闭环、开环与稳定性
• 实例研究：礼堂扩音的音频放大器和扬声 器系统的失稳效应，说明开环和闭环对待 稳定性问题的区别。
• 思考：开环系统有没有稳定性概念？为什 么？
2020/11/12
3.3闭环极点和稳定性的关系
• 线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复 平面的位置所决定
• 如果输入是有界的，那么稳定系统的输出也 是有界的，这叫做有界输入—有界输出稳定 性，这是本章的主题。
• 研究稳定性包含两个目的：
– 判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度； – 如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及
如何提高稳定程度。
2020/11/12
稳定性的定义（续1）
• 控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平 衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐 地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定 的，简称稳定。
2020/11/12
3.4劳斯判据
• 劳斯判定是一种代数判定，它依据代数方 程根与系数关系来得到结论。提供一种高 次系统不求解方程即可判定稳定性的方法 。
• 代数方法使用系统的闭环结果，即通过系 统的特征方程来判定。
• 系统稳定的必要条件是：系统特征方程的 诸系数不能为零且同号。
• 劳斯判据是一个线性系统稳定性的充要判 据。
s6 42 150 --42 --150
s5 131/2 0 -1-31/2
s4 1
0
s3 04
0
s2 0ε
-1
s1 4/ε
-1 取上行做辅助方程： s4-1=0,求导得本行 系数
s0 -1
2020/11/12
Biblioteka Baidu.4.2劳斯判据
• 若系统劳斯表第一列的所有单元值均为正 数则系统是稳定的，否则系统是不稳定的 。
2020/11/12
3.4.1劳斯表及其制作
设系统特征方程为：
a n s n a n 1 s n 1 a n 2 s n 1 a 1 s a 0 0
（1）表头的填法： 第一行：第一列填入an值。第二列填an-2值， 依此类推，后一列和前一列是s相差两次幂的 对应系数。 第二行：第一列填入an-1值，后续诸列单元值 依次为相差两次幂之系数。
2020/11/12
劳斯表制作举例
例3.1设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 12s4+6s3+32s2+7s+3=0
s4 12
32
3
s3 6
7
s2 18
3
s1 6
s0 3
2020/11/12
几种情况的处理方法
1. 某行各单元值中含有分数：若某行中含有 分数，则该行同乘以一个不为零的正的常 数，劳斯表结果不发生改变。
jω
[S]
E
B
C
A σ
D
C
B E
2020/11/12
闭环极点位置的响应振型
2020/11/12
闭环极点和稳定性关系的结论
• 单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的 充分必要条件是：系统所有的闭环极点都 在S平面的左半平面。或者说：所有的闭环 极点都具有负的实部。
• 多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件 是：系统矩阵A的全部特征值都位于S平面 的左半平面或都具有负实部。
2020/11/12
劳斯表及其制作（续1）
（2）表体的填法：设表体某单元的值为 Ai,j(i≥3)，约定在i＜3时的Ai,j值即为该表头位 置之值。Ai,j的值由下式求出：
Ai,j
1 Ai1,1
Ai2,1 Ai1,1
Ai2,j1 Ai1,j1
重要的是正确找到行列式中的四个元素，所 求单元上两行第一列的值和该单元上两行其 后一列的值。
2020/11/12
主要内容
• 研究系统稳定性的意义 • 稳定性的定义 • 闭环极点和稳定性的关系 • 劳斯判据 • 奈奎斯特判据 • 系统稳定性的改进 • 系列设计举例
2020/11/12
3.1研究系统稳定性的意义
• 闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核 心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。 因此寻找方法来分析和设计稳定系统。
2. 某行所有单元值为零：此种情况系统肯定 是不稳定的，但若为其它目的可按下述方 法处理。用该行的上一行对应单元值建立 一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获 得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系 数代替全零行各单元值并继续计算。
2020/11/12
几种情况的处理方法（续1）
• 重要性质：若某行所有单元值全为零，则 该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭 环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环 极点。
• 在例3.1中第一列所有值均为正数，故系统 是稳定的。在例3.2中由于出现了一行各列 值全为零，故系统是不稳定的。由于第一 列值变号次数为1，该系统有一个闭环极点 在S平面的右半平面(s1=1)。
2020/11/12
劳斯判据举例一
系统是否 s6 1 稳定？ s5 1
s4 1
s3 1
s2 3 s1 1 s0 8
3. 某行的第一列单元值为零：此种情况的存 在系统一定是不稳定的，若需要进一步填 写劳斯表，则用一个无穷小的正数代替 该行第一列的零值后继续计算。
2020/11/12
几种情况的举例
例3.2设系统的特征方程如下，填出劳斯表。
s7+4s6+9s5+10s4-s3-4s2-9s-10=0
s7 1
9 -1 -9
• 例3.3已知系统特征多项式如下，判定稳定性和闭
环极点分布的状况：
2s7+3s6+s47s5+32s4+5s34+s2+5s5+3 5
s6 3
3
13
s5 6 13
9
s4 -7 -7
6
s3 49 99
s2 25 21 s1 241
s0 21
2020/11/12
劳斯判据举例二
• 例3.4已知系统特征多项式如下，判定稳定性 和闭环极点分布的状况： s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
• 若系统不能恢复到平衡状态则称系统是不 稳定的。
2020/11/12
稳定的各种情况
2020/11/12
(a) 大范围稳定的系统 (b) 局部渐近稳定的系统 (c) 不稳定的系统
稳定各种情况的结论
• 大范围稳定的系统和不稳定的系统其稳定 性完全取决于系统自身的结构和参数,而和 扰动的性质无关。
• 局部稳定系统的稳定性不仅取决于系统自 身的结构和参数而且和扰动的性质有关。
• 线性系统如果是稳定的则一定是大范围稳 定的。
2020/11/12
闭环、开环与稳定性
• 实例研究：礼堂扩音的音频放大器和扬声 器系统的失稳效应，说明开环和闭环对待 稳定性问题的区别。
• 思考：开环系统有没有稳定性概念？为什 么？
2020/11/12
3.3闭环极点和稳定性的关系
• 线性系统的稳定性完全由其闭环极点在复 平面的位置所决定
• 如果输入是有界的，那么稳定系统的输出也 是有界的，这叫做有界输入—有界输出稳定 性，这是本章的主题。
• 研究稳定性包含两个目的：
– 判定控制系统是否具有稳定性及其稳定的程度； – 如果系统不稳定或稳定程度较差如何使其稳定及
如何提高稳定程度。
2020/11/12
稳定性的定义（续1）
• 控制系统受到外界扰动而偏离了原来的平 衡状态，当扰动消失后，若系统能够逐渐 地恢复到平衡状态，则称系统是渐近稳定 的，简称稳定。
2020/11/12
3.4劳斯判据
• 劳斯判定是一种代数判定，它依据代数方 程根与系数关系来得到结论。提供一种高 次系统不求解方程即可判定稳定性的方法 。
• 代数方法使用系统的闭环结果，即通过系 统的特征方程来判定。
• 系统稳定的必要条件是：系统特征方程的 诸系数不能为零且同号。
• 劳斯判据是一个线性系统稳定性的充要判 据。
s6 42 150 --42 --150
s5 131/2 0 -1-31/2
s4 1
0
s3 04
0
s2 0ε
-1
s1 4/ε
-1 取上行做辅助方程： s4-1=0,求导得本行 系数
s0 -1
2020/11/12
Biblioteka Baidu.4.2劳斯判据
• 若系统劳斯表第一列的所有单元值均为正 数则系统是稳定的，否则系统是不稳定的 。
2020/11/12
3.4.1劳斯表及其制作
设系统特征方程为：
a n s n a n 1 s n 1 a n 2 s n 1 a 1 s a 0 0
（1）表头的填法： 第一行：第一列填入an值。第二列填an-2值， 依此类推，后一列和前一列是s相差两次幂的 对应系数。 第二行：第一列填入an-1值，后续诸列单元值 依次为相差两次幂之系数。
2020/11/12
劳斯表制作举例
例3.1设系统的特征方程如下，填出劳斯表。 12s4+6s3+32s2+7s+3=0
s4 12
32
3
s3 6
7
s2 18
3
s1 6
s0 3
2020/11/12
几种情况的处理方法
1. 某行各单元值中含有分数：若某行中含有 分数，则该行同乘以一个不为零的正的常 数，劳斯表结果不发生改变。
jω
[S]
E
B
C
A σ
D
C
B E
2020/11/12
闭环极点位置的响应振型
2020/11/12
闭环极点和稳定性关系的结论
• 单输入单输出(SISO)线性定常系统稳定的 充分必要条件是：系统所有的闭环极点都 在S平面的左半平面。或者说：所有的闭环 极点都具有负的实部。
• 多输入多输出(MIMO)系统稳定的充要条件 是：系统矩阵A的全部特征值都位于S平面 的左半平面或都具有负实部。
2020/11/12
劳斯表及其制作（续1）
（2）表体的填法：设表体某单元的值为 Ai,j(i≥3)，约定在i＜3时的Ai,j值即为该表头位 置之值。Ai,j的值由下式求出：
Ai,j
1 Ai1,1
Ai2,1 Ai1,1
Ai2,j1 Ai1,j1
重要的是正确找到行列式中的四个元素，所 求单元上两行第一列的值和该单元上两行其 后一列的值。
2020/11/12
主要内容
• 研究系统稳定性的意义 • 稳定性的定义 • 闭环极点和稳定性的关系 • 劳斯判据 • 奈奎斯特判据 • 系统稳定性的改进 • 系列设计举例
2020/11/12
3.1研究系统稳定性的意义
• 闭环系统稳定性的问题是控制系统设计的核 心内容。不稳定的系统通常没有使用价值。 因此寻找方法来分析和设计稳定系统。
2. 某行所有单元值为零：此种情况系统肯定 是不稳定的，但若为其它目的可按下述方 法处理。用该行的上一行对应单元值建立 一个辅助方程。对辅助方程求一次导数获 得一降阶方程。用降阶方程对应幂次的系 数代替全零行各单元值并继续计算。
2020/11/12
几种情况的处理方法（续1）
• 重要性质：若某行所有单元值全为零，则 该系统必然具有关于[S]平面原点对称的闭 环极点存在。其辅助方程的根一定是闭环 极点。