高等数学各章知识结构

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2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品

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2023考研数学高等数学每章知识点汇总精品高等数学基础知识篇一1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。

2、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。

3、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。

4、向量代数与空间解析几何(数一)主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角,并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等,该部分一般不单独考查,主要作为曲线积分和曲面积分的基础。

5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。

另外,数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。

此外,数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。

7、无穷级数(数一、数三)重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。

8、常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。

此外,数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。

高等数学各章总结

高等数学各章总结

第一章 函数一、知识结构:二、例题:判断题1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ;2. 函数1lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠;3. 函数2x y e -=在(0,)+∞内无界;4. 函数211y x =+在(0,)+∞内无界;5. 21()cos x f x x-=是奇函数;6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ;7. 函数x y e =是奇函数;8. y x =与y =是同一函数; 9. 函数31y x x =++是奇函数;10. 函数1arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ;11. y x =与 2x y x=不是同一个函数;函数集合函数关系实数集(区间) 集合的运算 (交、并、补)实数集(区间)函数的表示基本初等函数,初等函数复合函数 分段函数 反函数 函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系(应用问题)12. 函数cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________;2. 设xx f 1)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ;3. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的;4. 已知11()1f x x =-,则 (2)f = __________ ;5.y =+其定义域为 __________ ;6. 设函数2()1x f x x -=-,则(1)f -= __________;7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ;8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中,是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩,则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构:二、例题:判断题1. 函数在点0x 处有极限,则函数在0x 点极必连续;2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量;3. 若00(0)(0)f x f x -=+,则)(x f 必在0x 点连续;4. 当0x →时,2sin x x +与x 相比是高阶无穷小;5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数;6. 设)(x f 在点0x 处连续,则00(0)(0)f x f x -=+ ;7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续; 8. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点;9. ()sin f x x =是一个无穷小量;10. 当0→x 时,x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量; 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在,则)(x f 在0x 处有定义;极限连续极限 连续极限的定极限的性数列极限 连续的定一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计函数极限 唯一性 有界性 保号性四则运算夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算 连续函数的四则运算 连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量,则x y -在该过程下是无穷小量; 13. 22--=x y 是一个复合函数;14. 21sin lim0=+→x x x x ; 15. 11,0,,0,,0,481数列收敛2;16. 函数 1sin y x x= 在 0x = 点连续;17. 0x =是函数ln(2)x y x-=的间断点;18. 以零为极限的变量是无穷小量;填空题1. sin limx xx→∞= _______ ;2. xx xx sin lim +∞→ = _______ ; 3. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断;4. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______; 5. 当 0x → 时,1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量;6. 当 0x → 时, 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量,则 a = ______;7.0)lim sin x x x+→= __________ ; 8. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续,则 a = _________ ;9.0h →=___________ ;10. 2lim(1)x x x→∞-=________;11. 0ln(13)limsin 3x x x →+=_________ ; 12. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________(是、否)连续;13. 当0x →时,23是______(同阶、等价)无穷小量.选择题1. 当0x →时,xy 1sin= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时,下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<,则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在,第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞5. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩,则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ,在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 02lim5arcsin x xx→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 19. ()f x 在点 0x x = 处有定义,是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x 计算与应用题1. 设)(x f 在点2x =处连续,且232,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩,求 a .2. 求极限:(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)xx x 10)41(lim -→ ;(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)nn n→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;(9)lim x →- (10)3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34205lim x x x x x→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.第三章 导数与微分一、知识结构:二、例题:判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导,则00()[()]f x f x ''=;2. 若)(x f 在0x 处可导,则 )(lim 0x f x x → 一定存在;3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导;4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续,则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导;5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则;6. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导;7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ;8. 2d()2ax b ax += ;9. 若 ()f x 在 0x 点不可导,则 ()f x 在 0x 不连续; 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1. ()f x =则(0)f '= _________ ;导数微分导数微分导数的定义左导数 微分的计算基本微分公式微分形式不变性 微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算 隐函数导数(对数求导,参数方程求导)反函数求导 可微的定义可微、可导及连续的关系 可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义,切线方程 高阶导数可导与连续的关系2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ;3. 设ln e x e y x e x e =+++,则y '= ______ ;4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ;5. 设222e x y x +=,则y ' = ________ ;6. 设e x y n +=,则()n y = ________ ;7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______;8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()(['x v x u = _________ ;9. sin ()x x '= _______;10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--= _______ ; 11. 导数的几何意义为 ________________________ ;12.曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ;13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ; 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ; 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ; 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导,则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x x f x x f x →=--,则0()f x '等于 ( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ,则)(x f 在点x = 0处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导,则(2)()f x h f x --= ( )(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在,则0()limx f x x→=( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6. 函数)(x f e y =,则="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8. 函数)(x f 在0x x =处连续,是)(x f 在0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =,则(10)y =( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数xxx f =)(在0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在14. 设1(2)1f x x +=+ ,则()f x '=( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =( )(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ,则()f x 在0x =处( ) (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =,则(10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题1. 设 f (x ) =xaa a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数,求dxdy.3. 设xx y 1cos 1ln +=,求dy .4. 设21(1)arctan cos 2y x x x =++,求y '.5.设x y e y ln =确定y 是x 的函数,求dxdy.6. 设)ln(ln x y =,求dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求y '及dy .8. ln tan ln sin 2xy =+,求y '及dy .9. sin()y x y =+,求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.10. 221cos 5ln xx y -+=,求 y '及dy .11. y e =y '及dy .12. xy e y x -=,求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =,求y '. 14. 设22sin 0y x y --=, 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.16. 设ln(y x x =+,求y '. 17. 设cos2x y e = ,求dy .18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数,求y '.19. 设22arctan()1xy x=- ,求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数,求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+,求dy . 22. ln y x x =,求y ''.23. 已知 ln(y x =+,求y '.24. 设 2011201220112011x x y x x =+++,求y '.25. 已知()sin3f x x =,求()2f π''.26. 求2xe y x=的微分.27. 求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t ⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .。

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念:集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素,用大写字母A、B等表示集合,用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序,不重复。

2.集合的运算:(1)并集:表示由属于任一集合的元素组成的新集合,记作A∪B。

(2)交集:表示同时属于所有集合的元素组成的新集合,记作A∩B。

(3)差集:表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合,记作A-B。

(4)互斥:两个集合的交集为空集,即A∩B=∅。

(5)补集:表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合,记作A'。

3.集合之间的关系:(1)包含关系:若集合A的所有元素都属于集合B,则称集合A包含于集合B,记作A⊆B。

(2)相等关系:若集合A和集合B的元素完全相同,则称集合A等于集合B,记作A=B。

(3)真包含关系:若集合A包含于集合B,并且集合A不等于集合B,则称集合A真包含于集合B,记作A⊂B。

4.映射的概念:(1)映射:设有两个非空集合A和B,如果存在一种对应关系,使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素,则称这种对应关系为映射。

(2)函数:映射的另一种称呼,表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数,其中x为自变量,f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质:(1)定义域和值域:映射的定义域是指所有自变量的集合,值域是指所有因变量的集合。

(2)单射:每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射:每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应:既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射:将两个映射结合起来形成一个新的映射,称为复合映射。

总结:本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义,也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中,我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质,灵活运用,为数学的进一步学习打下坚实的基础。

大学高数知识框架归纳总结

大学高数知识框架归纳总结

大学高数知识框架归纳总结在大学学习中,高等数学无疑是一门重要的基础课程。

高等数学的内容非常广泛,包括了微积分、数学分析、概率论和线性代数等多个方面。

为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的知识,下面将对其知识框架进行归纳总结。

一、微积分部分微积分是高等数学的核心部分,主要包括了极限、导数和积分。

在微积分的学习中,我们需要掌握以下几个重要概念和定理:1. 极限极限是微积分的基础。

在学习极限时,需要了解函数趋近于无穷时的行为,同时要熟悉常用的极限计算方法,如利用夹逼定理、洛必达法则等。

2. 导数导数是函数变化率的度量,也是微积分的重要内容之一。

在导数的学习中,我们需要熟悉导数的定义、性质和常见的导数计算法则,如常数因子法、求和法等。

3. 积分积分是对函数的反向运算,也是微积分不可或缺的一部分。

在积分的学习中,我们需要了解定积分和不定积分的概念、性质及其计算方法,如换元积分法、分部积分法等。

二、数学分析部分数学分析是对数学概念和计算方法的深入研究,主要包括了数列、级数和函数。

1. 数列数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的。

在数列的学习中,我们需要了解数列的定义、性质以及数列的极限,同时要掌握数列的收敛性和发散性判断方法,如比较判别法、比值判别法等。

2. 级数级数是数列的和,也是数学分析中的重要内容。

在级数的学习中,我们需要熟悉级数的定义、性质以及级数的敛散性判断方法,如比较判别法、积分判别法等。

3. 函数函数是数学中常见的概念,也是数学分析的核心内容之一。

在函数的学习中,我们要了解函数的定义、性质以及函数的极限、连续性和可导性。

三、概率论部分概率论是研究随机现象的数学分支,主要包括了概率、随机变量和概率分布等内容。

1. 概率概率是指事件发生的可能性大小。

在概率的学习中,我们需要掌握概率的定义、性质以及概率计算的方法,如加法法则、乘法法则等。

2. 随机变量随机变量是随机现象的数学描述,是概率论的核心概念之一。

《高等数学》各章知识点总结——第1章(五篇)

《高等数学》各章知识点总结——第1章(五篇)

《高等数学》各章知识点总结——第1章(五篇)第一篇:《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念(1)数列极限的定义给定数列{xn},若存在常数a,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).(2)函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内(或当x>M>0)有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,(或存在X)使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,(或当x>X时)恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).(或limf(x)=A)x→∞类似的有:如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0(x0<x<x0-δ)时,恒有f(x)-A<ε,则称A为f(x)当x→x0时的左极限(或右极限)记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时,恒有f(x)-A<ε,则称A为f(x)当x→-∞(或当x→+∞)时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质(1)唯一性若limxn=a,limxn=b,则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B,则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)(2)有界性(i)若limxn=a,则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M(ii)若limf(x)=A,则∃M>0当x:0<x-x0<δ时,有f(x)≤Mx→x0(iii)若limf(x)=A,则∃M>0,X>0当x>X时,有f(x)≤Mx→∞(3)局部保号性(i)若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+,当n>N时,恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A,且A>0(或A<0),则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时,有(ii)若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则(i)夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a,n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x), 若①当x∈U(x0,r)(或x>X)时,有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A,x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)(ii)单调有界准则给定数列{xn},若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域(或右侧邻域)单调有界,则lim-f(x)(或lim+f(x))x→x0x→x0存在4、极限的运算法则(1)若limf(x)=A,limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅(B≠0)g(x)B0(2)设(i)u=g(x)且limg(x)=u0(ii)当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0(iii)limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限(1)limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0,limxsin=1,limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+(2)lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念(1)若limα(x)=0,即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ(或x→∞(x→x0)x>X)时有α(x)<ε,则称当x→x0(或x→∞),α(x)无穷小量(2)或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)(或x>X)时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞),f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系,无穷小量的运算法则(1)limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0(f(x)≠0)⇒lim(2)limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)(3)limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))(4)limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ(或x>X)时有g(x)≤M,x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)(5)limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ(或x>X)时有g(x)≤M,x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn(6)limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0,8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若(1)lim小。

高等数学各章节知识点框架

高等数学各章节知识点框架

第⼀一讲极限与连续分为如下部分:1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义(极限定义——四句句话)⼀一.⼀一共有25种定义(6x4+1)6:x的六种趋向⽅方式,分为局部性质与渐进性质(注意对于x不不等于x0)4:f的四种趋向⽅方式,有三种是⽆无穷的情况(注意:任取M,与⽆无界定义相区别)(宇哥基础笔记)1:数列列定义(注意n为⾃自然数,只有渐进性质)函数极限定义注意两点:1.x趋向于x0,x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义,则极限不不存在,反之,极限存在,则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点:1.xn的极限与其前有限项⽆无关(类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关)2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a,特别的,xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a(注意:要涵盖xn的所有项)⼆二.有关定义的考法(17宇哥强化笔记)1.定X,N以及那个什什么(打不不出来)(主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限)⽅方法是:从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式,从⽽而来定,若f的式⼦子复杂,可通过适当的放缩。

2.定e(原谅我不不能打出来)来讨论f(x)的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值(利利⽤用极限的定义与中学知识来证,同理理数列列极限也是)2.e要取正整数,不不能取变量量。

3.由极限来推出的f的范围,只是陈述事实,⽽而不不是取值范围。

4.即使给我整个世界,我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性,局部有界性,局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一,所以极限存在可以推左极限等于右极限Note:⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性(注意局部包括局部性质与渐进性质)定义(会证会⽤用)(利利⽤用了了中学知识,绝对值的不不等式)Note:该定义只是有界的充分⾮非必要条件,即函数有界不不⼀一定极限存在,如sinx关于函数f(x)的有界性的判定⽅方法:1.理理论法(中学知识):连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法(⼤大学知识):函数在开区间内连续,再加上端点的极限存在,则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算:当极限不不存在时,拆!(⚠)(有限个)有界+有界=有界(有限个)有界x有界=有界Note:初等函数在闭定义区间内连续有界(初等函数在定义区间内连续,在闭定义区间内连续,必有界)3.局部保号性(此处的局部也是包括局部和渐进性质)定义(会证会⽤用)拓拓展:脱帽法(没有=号)带帽法(有等号,尤其极限A必须有等号,如x分之1在x趋于∞)Note:1.极限的运算法则:能不不能拆,拆了了再说。

大一下高数知识点总结框架

大一下高数知识点总结框架

大一下高数知识点总结框架高等数学作为大学的一门重要基础课程,对于理工科学生来说尤为重要。

下面给出一份大一下学期的高等数学知识点总结框架,希望能帮助你更好地学习和理解高数知识。

第一章:函数与极限1.1 函数的定义和性质1.2 基本初等函数及其性质1.3 极限的概念与性质1.4 无穷小与无穷大1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则1.7 无穷小的比较1.8 函数的连续性第二章:导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 基本初等函数的导数2.3 反函数的导数2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 微分的概念与性质2.7 微分中值定理及其应用2.8 泰勒公式与函数的近似计算第三章:积分与应用3.1 不定积分的定义和性质3.2 基本初等函数的不定积分3.3 数值积分与微积分基本定理3.4 定积分的概念和性质3.5 定积分的计算方法3.6 曲边梯形法和辛普森法3.7 定积分的应用(求面积、求体积)3.8 一致连续性与积分中值定理第四章:多元函数微分学4.1 二元函数的极限与连续性4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数的偏导数4.4 多元函数的导数与方向导数4.5 多元函数的极值与条件极值4.6 多元函数的泰勒公式4.7 重积分的概念和性质4.8 二重积分的计算方法第五章:多元函数积分学5.1 三重积分的定义和性质5.2 三重积分的计算方法5.3 三重积分的应用5.4 重积分的曲线坐标和极坐标表示5.5 曲线、曲面和曲斜坐标系下的重积分5.6 曲线积分的概念和性质5.7 第一类曲线积分的计算方法5.8 第二类曲线积分的计算方法第六章:无穷级数6.1 数项级数的概念和性质6.2 正项级数收敛的判别法6.3 函数项级数的收敛性6.4 幂级数的收敛半径6.5 幂级数的性质与展开式6.6 傅里叶级数的定义和性质6.7 傅里叶级数的收敛条件6.8 傅里叶级数的展开和应用这是一份基于大一下学期高等数学知识点的总结框架,涵盖了函数与极限、导数与微分、积分与应用、多元函数微分学、多元函数积分学以及无穷级数等内容。

大学高等数学知识点框架

大学高等数学知识点框架

大学高等数学知识点框架
一、微积分
1.导数与微分
2.积分与不定积分
3.定积分与曲线下面积
4.微分方程
二、级数
1.数列与级数的概念
2.收敛与发散
3.数项级数
4.幂级数
三、微分方程
1.一阶微分方程
2.二阶线性齐次微分方程
3.二阶线性非齐次微分方程
4.变量分离法与齐次微分方程
四、空间解析几何
1.三维空间直角坐标系
2.平面与直线的方程
3.空间曲面与二次曲线
4.空间直线与平面的位置关系
五、多元函数微分学
1.多元函数的极限
2.偏导数与全微分
3.多元复合函数的求导法则
4.隐函数与参数方程的求导
六、重积分与曲线曲面积分
1.重积分的概念与性质
2.二重积分的计算
3.三重积分的计算
4.曲线曲面积分的计算
七、常微分方程
1.一阶常微分方程
2.二阶常微分方程
3.高阶常微分方程
4.常微分方程的解析解与数值解
八、线性代数
1.线性方程组与矩阵
2.矩阵的运算与性质
3.矩阵的秩与逆
4.特征值与特征向量
九、概率论与数理统计
1.基本概念与概率空间
2.随机变量及其分布律
3.多维随机变量与联合分布
4.参数估计与假设检验
以上是大学高等数学的主要知识点框架,涵盖了微积分、级数、微分方程、空间解析几何、多元函数微分学、重积分与曲线曲面积分、常微分方程、线性代数以及概率论与数理统计等内容。

通过深入学习这些知识点,可以建立起扎实的数学基础,为进一步学习相关学科打下坚实的基础。

大一高数有几章知识点

大一高数有几章知识点

大一高数有几章知识点大一高数一共有六章知识点。

以下是对每一章的简要介绍:第一章:极限与连续这一章主要介绍了函数极限的概念与性质,以及连续函数的定义和基本性质。

其中包括极限的四则运算、夹逼准则、函数极限存在的条件等内容。

第二章:一元函数的导数与微分在这一章中,我们学习了导数的定义及其基本性质。

通过对一元函数的导数定义和推导,掌握了用导数求函数的增减性、极值、凹凸区间等问题。

还学习了微分的概念和微分的应用。

第三章:一元函数的积分在这一章中,我们主要学习了定积分和不定积分的概念及其性质。

学会了利用积分求解曲线下的面积、曲线的长度、体积等问题。

同时,掌握了反常积分的概念和计算方法。

第四章:多元函数的极限与连续这一章主要介绍了多元函数的极限和连续。

通过学习多元函数的极限定义、极限存在的条件、连续函数的定义和性质,掌握了对多元函数进行极限运算和连续性分析的方法。

第五章:多元函数的偏导数与全微分在这一章中,我们学习了多元函数的偏导数和全微分的概念。

通过对多元函数的偏导数的计算和性质的研究,了解了多元函数的切平面和切线方程的求解方法。

第六章:多元函数的积分学这一章主要介绍了多元函数的重积分和曲线积分。

通过学习多重积分的概念、计算方法和应用,掌握了对二重积分和三重积分的计算。

同时,学习了曲线积分的定义和计算方法,以及格林公式和高斯公式的应用。

以上为大一高数课程的六章知识点的简要介绍。

掌握这些知识,对于深入理解数学的基本概念和方法非常重要。

希望同学们能够认真学习,并在实际问题中灵活运用这些知识。

高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构高等数学是一门广泛涉及多个领域的学科,包括微积分、线性代数、概率论等。

下面将介绍高等数学各章的知识结构。

一、数列与数学归纳法(150字)数列与数学归纳法是高等数学的起点,包括等差数列、等比数列、递推数列等概念。

这一章主要讨论数列的性质、极限与收敛性等问题,并引入数学归纳法进行证明。

二、函数与极限(200字)函数与极限是高等数学的核心概念,也是微积分的基础。

这一章主要包括函数的定义、性质、基本函数、复合函数等内容,引入了极限的概念和计算方法。

三、导数与微分(250字)导数与微分是微积分的重要内容,也是应用最广泛的部分。

这一章主要讨论导数的定义、求导法则、高阶导数等内容,以及微分的定义与应用。

四、不定积分(200字)不定积分是微积分的另一个重要内容,研究的是函数的原函数。

这一章主要介绍不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法等内容。

五、定积分(200字)定积分是微积分的重要应用之一,主要研究函数在区间上的积分。

这一章主要包括定积分的定义、性质、基本公式、几何应用等内容。

六、微分方程(250字)微分方程是高等数学的又一重要内容,研究的是包含导数的方程。

这一章主要介绍了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、常微分方程的基本概念、解法和应用。

七、无穷级数(200字)无穷级数是数列的延伸,研究的是无穷多个数的求和。

这一章主要介绍级数的概念、收敛性、常用级数以及级数收敛的判定方法等内容。

八、多元函数与偏导数(250字)多元函数与偏导数是高等数学的另一个重要部分,研究的是多个变量间的关系。

这一章主要包括多元函数的概念、偏导数的定义与计算、全微分等内容。

九、多重积分(200字)多重积分是对多元函数求积分的扩展,研究的是多维空间中的积分。

这一章主要介绍二重积分、三重积分的定义、计算方法以及应用。

十、曲线与曲面积分(200字)曲线与曲面积分是高等数学的应用之一,主要研究曲线和曲面上的积分。

高等数学知识点总结及公式大全

高等数学知识点总结及公式大全

高等数学知识点总结及公式大全《高等数学知识点总结及公式大全》摘要:本文对高等数学的知识点进行了全面总结,同时提供了常用的公式大全,以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的内容。

第一章:函数与极限1. 函数的定义与性质:函数的概念、有界性、奇偶性、周期性等。

2. 极限与连续性:极限的定义、无穷小与无穷大、函数的连续性等。

第二章:导数与微分1. 导数的概念与性质:导数的定义、可导性、导数运算法则等。

2. 常用函数的导数:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。

3. 高阶导数与高阶微分:高阶导数的定义、高阶微分的概念。

第三章:积分与数列级数1. 不定积分与定积分:不定积分的定义、基本积分公式、换元积分法等。

2. 定积分的概念与性质:定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。

3. 数列与级数:数列的概念、收敛性、级数的概念、收敛判别法等。

第四章:微分方程1. 一阶微分方程:可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。

2. 二阶线性微分方程:齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。

第五章:无穷级数1. 数列极限:数列极限的概念、单调有界数列的性质、数列极限的计算等。

2. 函数项级数:函数项级数的概念、收敛性、收敛域等。

附录:公式大全1. 三角函数的基本公式。

2. 求导法则与微分公式。

3. 函数的积分公式。

4. 数列与级数的常用公式。

总结:高等数学是大学数学的重要组成部分,本文通过全面总结了高等数学的主要知识点,为读者提供了常用的公式大全,为学习和应用高等数学提供了便利。

读者可以通过阅读和实践来深入理解和掌握高等数学的相关内容,并在实际问题中灵活运用。

希望本文对读者有所启发和帮助!。

高中数学知识章节分布

高中数学知识章节分布
第一章集合与函数概念
必修一 第二章基本初等函数
第三章函数的应用
第一章空间几何体
必修二 第二章点、直线、平面之间的位置关系
第三章直线与方程 第四章圆与方程
第一章算法初步
必修三 第二章统计
第三章概率 第一章三角函数
必修四第二章平面向量
第三章三角恒等变换 第一章解三角形
必修四第二章平面向量平面22向..23量平的面基向本量定的理线及性坐运标算表示


第三章三角恒等变换





2.4 平面向量的数量积
2.5 平面向量应用举例
第一章解三角形应用111举...123 例正实弦习定作理业和余弦定理


必修五 第二章数列等差22数..23列等的差前数项列和 n

第三章导数及其应用
3.1 不等关系与不等式
33..23
3.4
一元二次不等式及其解法 一元二次不等式(组)与简单的线性规划问题
基本不等式:ab
1.1 命题及其关系
111...234

a+b 2
充分条件与必要条件 简单的逻辑连接词 全称量词与存在量词
2.3 抛物线
第一章导数及其应用
( 理) 选修2-2第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入
第一章计数原理
( 理) 选修2-3第二章随机变量及其分布
第三章统计案例
选修几4-1何证明选讲
选修坐4-4标系与参数方程
选修不4-5等式选讲
第一讲相似三角形的判定及有关性质 第二讲直线与圆的位置关系 第三讲圆锥曲线性质的探讨


第三章不等式

高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总高中数学各章节知识点汇总名目第一章集合与命题 (1)一、集合 (1)二、四种命题的形式 (2)三、充分条件与必要条件 (2)第二章别等式 (1)第三章函数的基本性质 (2)第四章幂函数、指数函数和对数函数(上) (3)一、幂函数 (3)二、指数函数 (3)三、对数 (3)四、反函数 (4)五、对数函数 (4)六、指数方程和对数方程 (4)第五章三角比 (5)一、任意角的三角比 (5)二、三角恒等式 (5)三、解歪三角形 (7)第六章三角函数的图像与性质 (8)一、周期性 (8)第七章数列与数学归纳法 (9)一、数列 (9)二、数学归纳法 (10)第八章平面向量的坐标表示 (12)第九章矩阵和行列式初步 (14)一、矩阵 (14)二、行列式 (14)第十章算法初步 (16)第十一章坐标平面上的直线 (17)第十二章圆锥曲线 (19)第十三章复数 (21)第一章集合与命题一、集合1.1 集合及其表示办法集合的概念1、把可以确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集2、集合中的各个对象叫做那个集合的元素3、假如a是集合A的元素,就记做a∈A,读作“a属于A”4、假如a别是集合A的元素,就记做a ? A,读作“a别属于A”5、数的集合简称数集:全体自然数组成的集合,即自然数集,记作N别包括零的自然数组成的集合,记作N*全体整数组成的集合,即整数集,记作Z全体有理数组成的集合,即有理数集,记作Q全体实数组成的集合,即实数集,记作R我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R-6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极7、空集是指别用含有任何元素的集合,记作?集合的表示办法1、在大括号内先写出那个集合的元素的普通形式,再画一条竖线,在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性,这种集合的表示办法叫做描述法1.2 集合之间的关系子集1、关于两个集合A和B,假如集合A中任何一具元素都属于集合B,这么集合A叫做集合B 的子集,记做A?B或B?A,读作“A包含于B”或“B包含A”2、空集包含于任何一具集合,空集是任何集合的子集3、用平面区域来表示集合之间关系的办法叫做集合的图示法,所用图叫做文氏图相等的集合1、关于两个集合A和B,假如A?B,且B?A,这么叫做集合A与集合B相等,记作“A=B”,读作“集合A等于集合B”,假如两个集合所含元素彻底相同,这么这两个集合相等1.3 集合的运算交集1、由交集A和交集B的所有公共元素的集合叫做A与B的交集,记作A∩B,读作A交B并集1、由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B 的并集,记作A∪B,读作A并B补集1、在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子集,那个确定的集合叫做全集2、U是全集,A是U的子集。

高等数学知识点结构表

高等数学知识点结构表

1高数部分2+1+9+10+2=241)极限的概念及性质2)极限存在性的判别(两个准则)3)无穷小及其阶4)求极限的方法5)函数的连续性及其判断1)向量的概念、运算2)平面方程、直线方程3)平面直线间关系、距离公式4)曲面方程5)空间曲线在坐标平面上的投影1.3.1《一元函数的导数与微分》(26页)21)导数与微分的定义2)函数求导法则、相关变化率3)n阶导数1.3.2《微分中值定理及导数的应用》(39页)31)微分中值定理2)利用导数研究函数的变化3)一元函数的泰勒公式1.3.3《微分方程》(20页)21)微分方程的基本概念2)一阶微分方程3)可降阶的高阶微分方程4)二阶和某些高阶常系数齐次线性方程、欧拉方程5)二阶常系数非齐次线性方程1.3.4《多元函数微分学》(32页)21)多元函数的概念2)偏导数与全微分3)多元函数求导法则及应用4)多元函数极值、最值5)方向导数与梯度6)多元函数的几何应用1.4.1《一元函数的积分》(56页)41)积分的概念、性质、基本定理2)积分法则3)各类函数的积分法4)反常积分(广义积分)5)微元分析法6)一元函数积分学的几何应用和物理应用1.4.2《重积分》(57页)41)多元函数的概念与性质2)重积分的计算法3)重积分的应用1.4.3《曲线与曲面的积分》(23页)21)三个基本公式(格林、高斯、斯托克斯)2)基本公式的应用3)曲线积分与路径无关及微分式的原函数问题4)向量场的通量与散度、环流量与旋度1)常数项级数的概念和性质2)常数项级数的审敛法3)函数项级数的收敛域、和函数4)幂级数5)函数展开成幂级数6)傅里叶级数。

高等数学教材总内容

高等数学教材总内容

高等数学教材总内容高等数学是大学数学的重要组成部分,是培养学生数学思维和分析问题能力的重要课程。

它囊括了微积分、线性代数、概率统计等多个分支,为学生提供了解决实际问题和进行学科研究的数学工具和方法。

本文将对高等数学教材的总内容进行介绍。

第一章微积分微积分是高等数学的核心内容,包括导数、积分、微分方程等。

在这一章节中,学生将学习函数的极限与连续性,导数与微分以及微分方程的基本概念和解法。

通过学习微积分,学生可以熟练运用导数和积分的性质,学会利用微积分方法解决实际问题。

第二章线性代数线性代数是一门研究线性空间、线性变换和矩阵的数学学科。

在高等数学课程中,线性代数的内容主要包括线性方程组的解法、矩阵的性质和运算、特征值与特征向量等。

通过学习线性代数,学生不仅可以掌握矩阵运算和线性方程组的求解方法,还可以理解向量空间的性质和线性变换的特性。

第三章概率统计概率统计是一门研究随机事件及其概率、随机变量及其概率分布、统计推断及其方法等的数学学科。

在高等数学课程中,学生将学习概率的基本概念、离散型和连续型随机变量的概率分布、随机变量的数学期望和方差、假设检验等内容。

通过学习概率统计,学生可以掌握统计数据的分析和处理方法,能够进行概率推断和统计建模。

除了上述三个主要章节外,高等数学教材还包括其他重要内容,如多元函数微积分、常微分方程、无穷级数、复变函数等。

这些内容涵盖了高等数学的各个分支,为学生提供了更加全面的数学知识体系。

在教学过程中,高等数学教材注重理论与实践相结合,将数学与实际问题相结合。

通过大量的例题和习题,帮助学生理解和掌握数学的概念、方法和定理,提高解决实际问题的能力。

教材的编写也注重思维的培养和应用能力的培养,注重培养学生的创新意识和数学思维能力。

总的来说,高等数学教材的内容丰富多样,涵盖了微积分、线性代数、概率统计等重要分支。

通过系统的学习和实践,学生可以掌握数学的基本概念和方法,应用数学知识解决实际问题。

高等数学每章总结知识点

高等数学每章总结知识点

高等数学每章总结知识点1. 微积分微积分是研究函数的变化规律的数学分支,主要包括极限、导数、积分和微分方程等内容。

微积分的主要任务是研究函数的极限与连续性、导数与微分、积分与积分初等函数等概念与性质。

微积分是数学中的重要组成部分,它不仅为数学其他领域如微分方程、概率统计等提供了基础理论,而且在物理、化学、生物、经济等领域中有广泛的应用。

微积分的知识点包括:极限:函数在某一点的趋近过程,是微积分的基本概念之一。

极限可用来研究函数在某一点的变化趋势和性质。

导数:函数的变化率,是微积分的重要内容。

导数可以用来研究函数的单调性、凹凸性和最值等性质。

积分:是导数的逆运算,是微积分的另一个重要内容。

积分可以求出函数的面积、曲线长度、体积等。

微分方程:是描述自变量与因变量以及它们的导数之间的关系的方程。

微分方程在物理、化学、生物等领域有广泛的应用。

2. 线性代数线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵的代数学分支,主要内容包括向量空间、线性方程组、矩阵、行列式和特征值等。

线性代数是数学的基础课程之一,它不仅用于数学领域,而且在物理、工程、计算机等领域有广泛的应用。

线性代数的知识点包括:向量空间:是指具有加法和数乘运算的向量集合。

在向量空间中,向量的加法和数乘运算满足一些基本性质。

线性方程组:是由若干个线性方程组成的方程组。

解线性方程组是线性代数的重要内容之一。

矩阵:是一个由数域上的数构成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性变换、线性方程组等数学对象。

行列式:是一个数域上的一个函数,是线性代数的一个基本概念。

行列式可以用来判断矩阵的可逆性和求解方程组的解。

特征值:是矩阵的一个重要性质,可以用来研究矩阵的对角化和对角化矩阵的性质。

3. 概率统计概率统计是数学的一个重要分支,主要包括概率论和数理统计两个部分。

概率论是研究随机现象的数学分支,主要内容包括概率空间、随机变量、概率分布和大数定理等。

数理统计是研究利用样本数据对总体特征进行推断和决策的数学分支,主要内容包括参数估计、假设检验和方差分析等。

高等数学知识结构框架

高等数学知识结构框架

高等数学知识结构框架高等数学是大学数学的一门基础课程,它主要包括微积分和数学分析两个部分。

微积分主要研究函数、极限、导数、积分、微分方程等概念和方法;数学分析主要研究实数集、极限、连续性、一致连续性、可导性、不定积分、定积分、级数等概念和问题。

以下是高等数学中比较重要的知识结构框架及相关参考内容:一、函数与极限1. 函数的概念、基本初等函数以及函数的性质:韦达定理、复合函数、反函数等。

2. 极限的概念和性质:数列极限、函数极限、极限存在准则等。

3. 极限的计算方法:夹逼准则、单调有界数列的极限、洛必达法则等。

4. 无穷小量与无穷大量的定义与比较:无穷小量的阶、无穷大量的比较等。

二、导数与微分1. 导数的定义、性质和计算方法:导数的定义、导数的四则运算、高阶导数、隐函数与参数方程的导数等。

2. 函数的几何意义与微分中值定理:函数的单调性与极值点、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

3. 函数的图形与曲率:函数的图形、曲率、凹凸性与拐点。

三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与性质:原函数与不定积分的概念、基本积分表、换元积分法、分部积分法等。

2. 定积分的概念与性质:黎曼和与定积分的定义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式等。

3. 定积分的计算方法:变上限积分法、变量替换法、分段函数积分法等。

四、微分方程1. 常微分方程的基本概念与解法:一阶微分方程的基本概念、可分离变量方程、齐次方程、一阶线性非齐次方程等。

2. 高阶线性常微分方程的解法:二阶常系数齐次线性方程、二阶常系数非齐次线性方程、欧拉方程等。

五、级数1. 数列与级数:数列的极限、数列极限收敛性的准则、常数项级数、幂级数等。

2. 一致收敛性与函数级数:一致收敛性的概念、一致收敛级数的性质、Weierstrass判别法、Abel判别法、幂级数的收敛半径等。

以上是高等数学中较为重要的知识结构框架及相关参考内容,希望能为学习者提供一定的参考和指导。

高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构

高等数学各章知识结构一.总结构数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕,撼人心灵,是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材(本部分内容详见光盘).微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注:冯. 诺依曼(John von Neumann,1903-1957,匈牙利人),20世纪最杰出的数学家之一,在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支,从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面,他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础,他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言,制造了第一台计算机,被人称为“计算机之父”.微积分中重要的思想和方法:1.“极限”方法,它是贯穿整个《微积分》始终。

导数是一种特殊的函数极限;定积分是一种特殊和式的极限;级数归结为数列的极限;广义积分定义为常义积分的极限;各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。

所以,极限理论是整个《微积分》的基础。

尽管上述各种概念都是某种形式的极限,但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容,这是《微积分》最有魅力的地方之一。

2.“逼近”思想,它在《微积分》处处体现。

在近似计算中,用容易求的割线代替切线,用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积;用折线段的长代替所求曲线的长;用多项式代替连续函数等。

这种逼近思想在理论和实际中大量运用。

3.“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。

高等数学c教材各章内容

高等数学c教材各章内容

高等数学c教材各章內容高等数学C教材各章内容高等数学C教材是大学数学专业必修课程之一,也是学习数学的基础。

它包含了多个章节,每个章节都涵盖了不同的数学概念和技巧。

下面将对高等数学C教材的各章内容进行介绍。

第一章导数与微分第一章主要介绍了导数与微分的概念和运算法则。

学习这一章的内容,我们可以了解到导数的几何意义和物理意义,可以计算各种类型函数的导数,掌握求导的基本规则,并能够利用导数解决实际问题。

第二章微分中值定理与导数的应用第二章主要讲解了微分中值定理和导数的应用。

通过学习这一章,我们可以了解到拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理的具体表述和应用场景。

在导数的应用方面,我们可以学习如何利用导数求函数的极值和最值,计算函数的曲率,解决相关最优化问题等。

第三章不定积分第三章主要介绍了不定积分的概念和性质,以及常见的求不定积分的方法。

学习这一章的内容,我们可以了解到不定积分的定义和基本性质,学会使用基本积分公式和换元积分法求解不定积分,还可以了解到分部积分法和有理函数的积分等特殊方法。

第四章定积分第四章主要讲解了定积分的概念、性质和计算方法。

通过学习这一章,我们可以了解到定积分的几何和物理意义,学习使用定积分求解曲线下面积、弧长、旋转体的体积等问题。

此外,我们还可以学习到变上限积分法、定积分的一些性质和常用公式。

第五章定积分的应用第五章主要介绍了定积分在几何、物理、概率等方面的应用。

在这一章节,我们可以学习到如何利用定积分计算平面曲线的弧长、曲率、曲边梯形的面积、球体的体积等问题。

同时,我们还可以了解到定积分在统计和概率领域中的应用。

第六章常微分方程第六章主要讲解了常微分方程的基本概念和解法。

通过学习这一章的内容,我们可以了解到常微分方程的基本定义、分类和初等解法。

此外,我们还可以学习到一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分方程等特殊类型方程的解法,以及利用常微分方程解决相关实际问题的方法。

第七章多元函数微分学第七章主要介绍了多元函数的概念、偏导数和全微分等内容。

大一高数各章知识点总结

大一高数各章知识点总结

大一高数各章知识点总结高等数学是大一学生必修的一门课程,它是数学的基础,也是以后学习更高级数学的重要基石。

下面是对大一高数各章的知识点总结,帮助大家复习和梳理知识。

第一章:函数与极限1. 函数的概念与性质函数是一种数学对象,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 极限的概念与性质极限是函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近情况。

极限的性质包括有界性、单调性、保号性、极值等。

3. 函数极限的计算方法通过代入法、夹逼准则、柯西收敛准则等方法可以计算函数的极限。

第二章:微分学1. 导数的概念与性质导数是函数在某一点的变化率或斜率,代表函数曲线上某一点的切线斜率。

导数的性质包括可导性、对称性、四则运算法则等。

2. 导数的计算方法通过基本导数公式、求导法则、链式法则等方法可以计算函数的导数。

3. 高阶导数与隐函数求导高阶导数表示导数的导数,通过连续求导可以求得函数的高阶导数。

隐函数求导是一种通过方程求导的方法。

第三章:积分学1. 不定积分的概念与性质不定积分是导数的逆运算,表示函数的原函数。

不定积分具有线性性、积分换元法、分部积分法等性质。

2. 定积分的概念与性质定积分是函数在一定区间上的累积量,表示曲线下的面积或变量的累积。

定积分具有线性性、区间可加性、积分中值定理等性质。

3. 积分的计算方法通过不定积分的基本公式、换元积分法、分部积分法等可以计算函数的积分。

第四章:微分方程1. 微分方程的概念与分类微分方程是含有未知函数及其导数的方程,分为常微分方程和偏微分方程两类。

常微分方程涉及未知函数和自变量的一阶或高阶导数,偏微分方程涉及未知函数和多个自变量的各种导数。

2. 一阶常微分方程一阶常微分方程是只涉及未知函数的一阶导数的常微分方程,通过分离变量、变量代换等方法可以求解。

3. 二阶常微分方程二阶常微分方程是涉及未知函数的二阶导数的常微分方程,通过特征方程法、变量代换法等方法可以求解。

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高等数学各章知识结构
一.总结构
数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.
恩格斯(1820-1895)曾指出:“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕,撼人心灵,是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材(本部分内容详见光盘).
微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯. 诺伊曼
注:冯. 诺依曼(John von Neumann,1903-1957,匈牙利人),20世纪最杰出的数学家之一,在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支,从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面,他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础,他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言,制造了第一台计算机,被人称为“计算机之父”.
微积分中重要的思想和方法:
1.“极限”方法,它是贯穿整个《微积分》始终。

导数是一种特殊的函数极限;定积分是一种特殊和式的极限;级数归结为数列的极限;广义积分定义为常义积分的极限;各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。

所以,极限理论是整个《微积分》的基础。

尽管上述各种概念都是某种形式的极限,但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容,这是《微积分》最有魅力的地方之一。

2.“逼近”思想,它在《微积分》处处体现。

在近似计算中,用容易求的割线代替切线,用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积;用折线段的长代替所求曲线的长;用多项式代替连续函数等。

这种逼近思想在理论和实际中大量运用。

3.“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。

熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法,学习《微积分》就不会遇到太多困难,甚至能做到得心应手。

4.“特色定理”是《微积分》的支柱。

夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理,支撑起《微积分》的大厦。

5.“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。

充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。

二.函数、极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一,是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础,极限方法是微积分的基本分析方法,因此,掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态.
极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术(参看光盘演示), 就是极限思想在几何学上的应用. 又如,春秋战国时期的哲学家庄子(公元4世纪)在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”(参看光盘演示)有一段名言:“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”,其中也隐含了深刻的极限思想.
极限是研究变量的变化趋势的基本工具,高等数学中许多基本概念,例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的,而且其运动变化的过程往往是连绵不断的,比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等,这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.
16、17世纪微积分的酝酿和产生,直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前,数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上,即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪
中叶,在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后,才对连续函数作出了严格的数学表述.
连续函数不仅是微积分的研究对象,而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等,往往都要求函数具有连续性.
我们将以极限为基础,介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质.
从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农业、航海事业与商贸得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代。

而16世纪的的欧洲,正处在资本主义的萌芽时期,生产力得到了很大的发展,生产实践的发展对自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展。

在各类学科对数学提出的种种要求下,下列三类问题导致了微分学的产生:
(1)求变速运动的*时速度;
(2)求曲线上一点处的切线;
(3)求最大值和最小值。

这三类实际问题的现实原型在数学上都可归纳为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所谓函数的变化率问题。

牛顿从第一个问题出发,莱布尼兹从第二个问题出发,分别给出了导数的概念。

在理论研究和实际应用中,常常又会遇到这样的问题:当自变量x有微小变化时,求函数)
y=的微小改变量
f
(x
f
y-

∆.
=
+
f
(
)
)
(x
x
x
这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了,然而,对于较复杂的函数)
(x
f,差值f-
x
+却是一个更复杂的表达式,不易求出其值。

一个想法是:我们设法将y∆表x

)
(
)
(x
f
示成x
的线性函数,即线性化,从而把复杂问题化为简单问题。

微分就是实现这种线性化的一种数学模型。

数学中的转折点是笛卡尔的变数. 有了变数,
运动进入了数学;有了变数,辩证法进入了数学;
有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而
它们也就立刻产生,并且是有由牛顿和莱布尼茨大
体上完成的,但不是由他们发明的.
-------恩格斯
数学发展的动力主要来源于社会发展的环境力量. 17世纪,微积分的创立首先是为了解决当时数学面临的四类核心问题中的第四类问题,即求曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心和引力等等. 此类问题的研究具有久远的历史,例如,古希腊人曾用穷竭法求出了某些图形的面积和体积,我国南北朝时期的祖冲之、祖恒也曾推导出某些图形的面积和体积,而在欧洲,对此类问题的研究兴起于17世纪,先是穷竭法被逐渐修改,后来由于微积分的创立彻底改变了解决这一大类问题的方法.
由求运动速度、曲线的切线和极值等问题产生了导数和微分,构成了微积分学的微分学部分;同时由已知速度求路程、已知切线求曲线以及上述求面积与体积等问题,产生了不定积分和定积分,构成了微积分学的积分学部分.
五.微分方程
六.向量代数与空间解析几何。

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