高中数学知识点总结 第二章函数
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)
全国通用2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)单选题1、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+bx+ c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B2、已知集合M={x|−4<x<2}，N={x|x2−x−6<0}，则M∩N=A．{x|−4<x<3}B．{x|−4<x<−2}C．{x|−2<x<2}D．{x|2<x<3}答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M={x|−4<x<2},N={x|−2<x<3}，则M∩N={x|−2<x<2}．故选C．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．3、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误. 故选：B4、若a>0,b>0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A解析：本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当a>0,b>0时，a+b≥2√ab，则当a+b≤4时，有2√ab≤a+b≤4，解得ab≤4，充分性成立；当a=1,b=4时，满足ab≤4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.小提示：易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>bB．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误；对于C ，当a >0>b 时，1a >0>1b ，C 错误； 对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确.故选：D.6、已知实数a,b,c 满足a >b >0>c ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．a +1b <b +1aB ．2a+b a+2b <a bC ．b a−c >a b−cD ．√c a 3<√c b 3 答案：B分析：对于A ，利用不等式的性质判断；对于CD ，举例判断；对于B ，作差法判断解：对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b ，所以a +1b >b +1a ，所以A 错误，对于B ，因为a >b >0，所以2a+b a+2b −a b =(2a+b)b−a(a+2b)(a+2b)b =b 2−a 2(a+2b)b <0， 所以2a+b a+2b <a b ，所以B 正确，对于C ，当a =2,b =1,c =−1时，b a−c=13<a b−c =1，所以C 错误， 对于D ，当a =8,b =1,c =−1时，√c a 3=−12>√c b3=−1，所以D 错误， 故选：B7、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ） A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8]答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果.设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2， 解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ， 因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1， 所以2≤4a +2b ≤10.故选：C.8、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.9、下列说法正确的为（）A．x+1x≥2B．函数y=2√x2+3的最小值为4C．若x>0,则x(2−x)最大值为1D．已知a>3时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+32√x2+3=2√x2+3√x2+3，令√x2+3=t(t≥√3)，即y=2t+2t (t≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min=2√3√3=8√33,则B不正确；对于选项C,x(2−x)=−(x2−2x+1)+1=−(x−1)2+1≤1，则C正确；对于选项D,当a>3时，a+4a−3=a−3+4a−3+3≥2√(a−3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a−3=4a−3时，即a=5，等号成立，则D不正确.故选：C.10、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.填空题11、函数y=3x+1x−1(x>1)的最小值是_____答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值.因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3，当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立. 所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3.12、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的取值范围为___________.答案：10≤V ≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V −10，第二次操作后，利下的纯药液为V −10−V−10V ×8，由题意可知： V −10−V−10V ×8≤V ⋅60%⇒V 2−45V +200≤0⇒5≤V ≤40，因为V ≥10，所以10≤V ≤40，所以答案是：10≤V ≤4013、已知∀a ∈[0,2]时，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x 的取值范围.由题意，因为当a ∈[0,2]，不等式ax 2+(a +1)x +1−32a <0恒成立，可转化为关于a 的函数f (a ) =(x 2+x −32)a +x +1，则f (a )<0对任意a ∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x +1<0f(2)=2x 2+2x −3+x +1<0， 解得−2<x <−1，即x 的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)解答题14、若x ,y 为正实数,且2x +8y −xy =0,求x +y 的最小值.答案：18解析：首先已知条件变形为8x +2y =1，再化简x +y =(x +y )(8x +2y )，利用基本不等式求最小值.2x +8y −xy =0⇒8x +2y =1 x +y =(x +y )(8x +2y )=8+8y x +2x y +2=10+(8y x +2x y)≥10+2×4=18 (当8y x =2x y 时取“=”)所以x +y 的最小值是18.小提示：本题考查基本不等式求最值，意在考查“1”的妙用，基本不等式求最值使用的三个原则“一正，二定，三相等”，缺一不可，做题时需注意.15、解关于x 的不等式ax 2−2≥2x −ax (a ∈R )．答案：详见解析.分析：分类讨论a ，求不等式的解集即可.原不等式变形为ax 2+(a −2)x −2≥0．①当a =0时，x ≤−1；②当a ≠0时，不等式即为(ax −2)(x +1)≥0，当a >0时，x ≥2a 或x ≤−1；由于2a −(−1)=a+2a ，于是当−2<a <0时，2a ≤x ≤−1；当a =−2时，x =−1；当a<−2时，−1≤x≤2．a,+∞)；综上，当a=0时，不等式的解集为(−∞,−1]；当a>0时，不等式的解集为(−∞,−1]∪[2a,−1]；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为当−2<a<0时，不等式的解集为[2a[−1,2]．a。
高中数学必修1第二章知识点总结
第二章 基本初等函数一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：m na=)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a +=；（2）rs s r a a =)(；（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x且叫做指数函数.2（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x=⇔=log ；③注意对数的书写格式．两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数N lg ； ②自然对数：以 71828.2=e 为底的对数N ln ． 指数式与对数式的互化（如右图） （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ①M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；② =NMalog M a log －N a log ；③n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
新教材人教版高中数学必修第一册 第二章 知识点总结
必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。
2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。
说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。
3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。
说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。
性质2：若a b >，b c >，则a c >。
不等式的传递性。
性质3：若a b >，则a c b c +>+。
性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。
性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。
性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。
2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln1－x x ＋1＋1x的定义域是( ) A ．[－1,0)∪(0,1) B ．[－1,0)∪(0,1] C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [题组训练] 1.函数f (x )＝1lnx ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln x ＋1≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x ＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f x ＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2x －1，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f x －1，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f 2x ＋1log 2x ＋1的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f 2x ＋1log 2x ＋1有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1]．答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________. 解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧ lg 1－x ，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2. 答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－x －12，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，－x －12≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2，故所求x 的取值范围是[－4,2]．答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点梳理单选题1、已知x >0，则下列说法正确的是（ ）A ．x +1x −2有最大值0B ．x +1x −2有最小值为0C ．x +1x −2有最大值为－4D ．x +1x −2有最小值为－4 答案：B分析：由均值不等式可得x +1x ≥2√x ×1x =2，分析即得解由题意，x >0，由均值不等式x +1x ≥2√x ×1x =2，当且仅当x =1x ，即x =1时等号成立 故x +1x −2≥0，有最小值0故选：B2、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ）A ．4×x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×x 0.5>100D ．4×x 0.5<100答案：C分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x 0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×x 0.5m ．由题意可得4×x 0.5>100．故选：C.3、若不等式(ax −2)(|x |−b )≥0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则（ ）A ．a >0，ab =12B ． a >0，ab =2C ．a >0，a =2bD ．a >0，b =2a答案：B分析：由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a)(|x |−b )≥0，当b ≤0时，不满足题意，故b >0，再由二次函数的性质即可求解 由选项可知a >0，故原不等式等价于(x −2a )(|x |−b )≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2，故选：B4、已知正数x ，y 满足2x+3y +13x+y =1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解.令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1，即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )，∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34，当且仅当m 4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立，故选：A.5、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞)答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可.不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−b a(−12)⋅13=2a，解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16)故选：A6、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.，故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B7、要使关于x 的方程x 2+(a 2−1)x +a −2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |−1<a <2}B ．{a |−2<a <1}C ．{a |a <−2}D ．{a |a >1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.由题意可得1+(a 2−1)+a −2=a 2+a −2<0，解得−2<a <1.故选：B.8、不等式1+x 1−x ≥0的解集为（ ）A ．{x|x ≥1或x ≤−1}B ．{x ∣−1≤x ≤1}C ．{x|x ≥1或x <−1}D ．{x|−1≤x <1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x +1)(x −1)≤0，且x −1≠0，解得−1≤x <1，故不等式的解集为{x|−1≤x <1}， 23,21<<-<<-a b故选：D ．多选题9、已知a >b ⩾2，则（ ）A ．b 2<3b −aB ．a 3+b 3>a 2b +ab 2C ．ab >a +bD ．12+2ab >1a +1b 答案：BC解析：根据不等式的性质，逐一判断即可．解：a >b ⩾2，A 错误，比如a =3，b =2，4>3不成立；B ，a 3+b 3−(a 2b +ab 2)=a 2(a −b)−b 2(a −b)=(a −b)2(a +b)>0成立；C ，由ab −a −b =a(b −1)−b =(b −1)(a −b b−1)=(b −1)[a −(1+1b−1)]>0，故C 成立， D ，12+2ab −1a −1b =(a−2)(b−2)2ab ⩾0，故D 不成立，故选:BC . 小提示：本题考查不等式比较大小，常利用了作差法，因式分解法等．10、若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 2<aC ．若a >b >0且c >0，则b+c a+c >b aD ．a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)答案：BCD分析：由不等式的性质逐一判断即可.解：对于A ，当a <0<b 时，结论不成立，故A 错误；对于B ，a 2<a 等价于a (a −1)<0，又0<a <1，故成立，故B 正确；对于C ，因为a >b >0且c >0，所以b+c a+c >b a 等价于ab +ac >ab +bc ，即(a −b )c >0，成立，故C 正确； 对于D ，a 2+b 2+1≥2(a −2b −2)等价于(a −1)2+(b +2)2≥0，成立，故D 正确.故选：BCD. 0ab11、下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（）A．3x+4<0B．x2+mx-1>0C．ax2+4x-7>0D．x2<0答案：BD分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.12、已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，则下列结论正确的是（）A．a>0B．b>0C．c>0D．a+b+c>0答案：BCD分析：对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及b>0，即可求解.解：对A，∵不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2}，故相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，即a<0，故A错误；对B，C，由题意知：2和−12是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba=2+(−12)=32>0，又∵a<0，故b>0,c>0，故B，C正确；对D，∵ca=−1，∴a+c=0，又∵b>0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.13、某辆汽车以xkm/ℎ的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为15(x −k +4500x )L ，其中k 为常数．若汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的值可为（ ） A ．60B ．80C ．100D ．120答案：ABC解析：先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后根据题意“油耗不超过9L ”列不等式，解不等式求得x 的取值范围.由汽车以120km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，∴15(120−k +4500120)=11.5，解得：k =100，故每小时油耗为15(x +4500x )−20， 由题意得15(x +4500x )−20≤9，解得：45≤x ≤100，又60≤x ≤120，故60≤x ≤100，所以速度x 的取值范围为[60,100].故选：ABC小提示：关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h 时的油耗，计算出k 的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中档题. 填空题14、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示） 答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论．2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3解得{m =−12n =52，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3，−2≤−12(x +y )≤12,5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8，所以答案是：[3,8]．15、已知实数x 、y 满足−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，则3x −4y 的取值范围为______．答案：[−7,2]分析：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，利用待定系数法求出m,n 的值，然后根据不等式的性质即可求解.解：设3x −4y =m(x +2y)+n(2x −y)，则{m +2n =32m −n =−4，解得{m =−1n =2， 所以3x −4y =−(x +2y)+2(2x −y)，因为−2≤x +2y ≤3，−2≤2x −y ≤0，所以−3≤−(x +2y)≤2，−4≤2(2x −y)≤0，所以−7≤3x −4y ≤2，所以答案是：[−7,2].16、已知三个不等式：①ab >0，②c a >d b ，③bc >ad ，用其中两个作为条件，剩下的一个作为结论，则可组成______个真命题．答案：3分析：根据题意，结合不等式性质分别判断①、②、③作为结论的命题的真假性即可.由不等式性质，得{ab >0c a >d b ⇒{ab >0bc−ad ab>0⇒bc >ad ；{ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； {c a >d b bc >ad ⇒{bc−ad ab >0bc >ad ⇒ab >0．故可组成3个真命题．所以答案是：3.解答题17、销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P =at t+1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q =bt ．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元（1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．答案：（1）y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．分析：（1）由题意得y =ax x+1+b(3−x)，代入数值计算即可求出结果；（2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3−x 万元，由题意知：y =P +Q =ax x+1+b(3−x)，当x =3时，f(x)=94，当x =0时，f(x)=1， 则{3a 4=94,3b =1,解得a =3,b =13， 则y =3x x+1+13(3−x),0≤x ≤3． （2）由（1）可得f(x)=3x x+1+13(3−x)=3(x+1)−3x+1+1−13x =133−[3x+1+13(x +1)]≤133−2√3x+1⋅x+13=73，当且仅当x =2时取等号，故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．18、已知函数f (x )=x 2+ax −2，f (x )>0的解集为{x |x <−1或x >b }．(1)求实数a 、b 的值；(2)若x ∈(0,+∞)时，求函数g (x )=f (x )+4x 的最小值．答案：(1)a =−1，b =2(2)2√2−1分析：（1）分析可知−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得g (x )=x +2x −1，利用基本不等式可求得g (x )在(0,+∞)上的最小值.（1）解：因为关于x 的不等式x 2+ax −2>0的解集为{x |x <−1或x >b }，所以，−1、b 是方程x 2+ax −2=0的两个根，所以，{1−a −2=0−1⋅b =−2，解得{a =−1b =2.（2）解：由题意知g(x)=f(x)+4x =x2−x+2x=x+2x−1，因为x>0，由基本不等式可得g(x)=x+2x −1≥2√x⋅2x−1=2√2−1，当且仅当x=2x时，即x=√2时，等号成立故函数g(x)的最小值为2√2−1.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识点归纳总结单选题1、若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是（）A．a+b>2√ab B．a+b<2√ab C．a2+2b>2√ab D．a2+2b<2√ab答案：A分析：利用作差法可判断各选项中不等式的正误.因为a>b>0，则a+b−2√ab=(√a−√b)2>0，故a+b>2√ab，A对B错；a 2+2b−2√ab=a2+2b−2√a2⋅2b=(√a2−√2b)2≥0，即a2+2b≥2√ab，当且仅当a2=2b时，即当a=4b时，等号成立，CD都错. 故选：A.2、已知1a <1b<0，则下列结论正确的是（）A．a<b B．a+b<abC．|a|>|b|D．ab>b2答案：B分析：结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.因为1a <1b<0，所以b<a<0，故A错误；因为b<a<0，所以a+b<0,ab>0，所以a+b<ab，故B正确；因为b<a<0，所以|a|>|b|不成立，故C错误；ab−b2=b(a−b)，因为b<a<0，所以a−b>0，即ab−b2=b(a−b)<0，所以ab<b2成立，故D错误.故选：B3、已知x>0，则下列说法正确的是（）A．x+1x −2有最大值0B．x+1x−2有最小值为0C．x+1x −2有最大值为－4D．x+1x−2有最小值为－4答案：B分析：由均值不等式可得x+1x ≥2√x×1x=2，分析即得解由题意，x>0，由均值不等式x+1x ≥2√x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立故x+1x−2≥0，有最小值0故选：B4、不等式(x+1)(x+3)<0的解集是（）A．R B．∅C．{x∣−3<x<−1}D．{x∣x<−3，或x>−1}答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由(x+1)(x+3)<0，解得−3<x<−1，即不等式的解集为{x∣−3<x<−1}；故选：C5、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A．a+b<ab B．a2>b2C．a3>b3D．√a2+b2<a+b答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可.A，若a=1,b=0，则a+b>ab，故A错误；B，若a=1,b=−2，则a2<b2，故B错误；C，若a>b，则a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b2)2+3b24]>0，所以a3>b3，故C正确；D，若a=1,b=−2，则√a2+b2>a+b，故D错误. 故选：C6、若a,b,c∈R，则下列命题为假命题的是（）A．若√a>√b，则a>b B．若a>b，则ac>bcC ．若b >a >0，则1a >1bD ．若ac 2>bc 2，则a >b 答案：B分析：根据不等式的性质逐一分析各选项即可得答案.解：对A ：因为√a >√b ，所以a >b ≥0，故选项A 正确；对B ：因为a >b ，c ∈R ，所以当c >0时，ac >bc ；当c =0时，ac =bc ；当c <0时，ac <bc ，故选项B 错误；对C ：因为b >a >0，所以由不等式的性质可得1a >1b >0，故选项C 正确；对D ：因为ac 2>bc 2，所以c 2>0，所以a >b ，故选项D 正确.故选：B.7、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵x >53， ∴3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．8、已知2<a <3，−2<b <−1，则2a −b 的范围是（ ）A ．(6,7)B ．(5,8)C ．(2,5)D ．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.， 23,21<<-<<-a b故4<2a <6，1<−b <2，得5<2a −b <8故选：B多选题9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有（ ）A ．2abB ．a 2＋b 2C ．1a ＋1bD ．2ab 答案：BCD分析：利用基本不等式“一正二定三相等”的步骤进行判断﹒∵a ，b ＞0，∴2＝a ＋b ≥2√ab ，∴0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．由ab ≤1，得2ab ≤2，∴2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a+1b =a+b ab =2ab ≥2，C 正确； 2ab ≥2，D 正确．故选：BCD ．10、解关于x 的不等式：ax 2+(2−4a)x −8>0，则下列说法中正确的是（ ）A ．当a =0时，不等式的解集为{x |x >4}B ．当a >0时，不等式的解集为{x|x >4或x <−2a }C ．当a <0时，不等式的解集为{x |−2a <x <4}D ．当a =−12时，不等式的解集为∅ 答案：ABD分析：讨论参数a ，结合一元二次不等式的解法求解集即可判断各选项的正误.A ：a =0，则2x −8>0，可得解集为{x |x >4}，正确；B ：a >0，则(ax +2)(x −4)>0，可得解集为{x|x >4或x <−2a }，正确；C ：a <0，当−2a <4时解集为{x |−2a <x <4}；当−2a =4时无解；当−2a >4时解集为{x |4<x <−2a }，错误；D ：由C 知：a =−12，即−2a =4，此时无解，正确.11、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ）A ．a 2−b 2≤4B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为{x |x 1<x <x 2}（x 1<x 2），且，则c =4 答案：ABD解析：因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0， 再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.因为y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，故可得Δ=a 2−4b =0，即a 2=4b >0，对A ：a 2−b 2≤4等价于b 2−4b +4≥0，显然(b −2)2≥0，故A 正确；对B ：a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ×1b =4，故B 正确；对C ：因为不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，故可得x 1x 2=−b <0，故C 错误；对D ：因为不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则方程x 2+ax +b −c =0的两根为x 1，x 2，故可得√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√a 2−4(b −c )=√4c =2√c =4，故可得c =4，故D 正确.故选：ABD .小提示：本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12、下面所给关于x 的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）A ．3x +4<0B ．x 2+mx -1>0C ．ax 2+4x -7>0D ．x 2<0 124x x -=124x x -=分析：利用一元二次不等式的定义和特征对选项逐一判断即可.选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当a=0时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.故选：BD.13、下列说法正确的是（）A．x+1x(x>0)的最小值是2B．2√x2+2的最小值是√2C．2√x2+4的最小值是2D．2−3x−4x的最小值是2−4√3答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D当x>0时，x+1x ≥2√x⋅1x=2（当且仅当x=1x，即x=1时取等号），A正确；2√x2+2=√x2+2，因为x2≥0，所以2√x2+2=√x2+2≥√2，B正确；2√x2+4=2√x2+4=√x2+4√x2+4≥2，当且仅当√x2+4=√x2+4，即x2=−3时，等号成立，显然不成立，故C错误；当x=1时，2−3x−4x=2−3−4=−5<2−4√3，D错误.故选:AB.填空题14、若一个直角三角形的面积为4cm2，则此三角形周长的最小值是________cm.答案：4+4√2分析：设两条直角边长分别为xcm、8xcm，利用勾股定理结合基本不等式可求得此三角形周长的最小值.设两条直角边长分别为xcm、8xcm，则该直角三角形的周长为x+8x +√x2+64x2≥2√x⋅8x+√2√x2⋅64x2=4√2+4(cm)，当且仅当{x=8xx2=64x2x>0时，即当x=2√2时，等号成立. 所以答案是：4√2+4.15、已知正实数x，y满足1x +1y=1，则x+4y最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.∵正数x，y满足：1x +1y=1，∴x+4y=(x+4y)⋅(1x +1y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx⋅xy=9，当且仅当4yx =xy，即x=2y，x=3，y=32时“=”成立，所以答案是：9.16、若x>−1，则x+3x+1的最小值是___________. 答案：2√3−1分析：由x+3x+1=x+1+3x+1−1，结合基本不等式即可.因为x>−1，所以x+1>0，所以x+3x+1=x+1+3x+1−1≥2√3−1，当且仅当x+1=3x+1即x=√3−1时，取等号成立.故x+3x+1的最小值为2√3−1，所以答案是：2√3−1解答题17、某旅游公司在相距为100km的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本）（2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y=6000−15v−24000v(0<v⩽50)，代入v=30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y（元)，因为游船的燃料费用为每小时k·v2元，依题意k·202=60，则k=320．所以y=6000−(320v2·100v+240·100v)=6000−15v−24000v(0<v⩽50)．v=30km/ℎ时，y=4750元；（2）y=6000−15v−24000v ⩽6000−2√15v×24000v=4800，当且仅当15v=24000v，即v=40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．18、某旅店有200张床位．若每张床位一晚上的租金为50元，则可全部租出；若将出租收费标准每晚提高10x元（x为正整数），则租出的床位会相应减少10x张．若要使该旅店某晚的收入超过12600元，则每张床位的出租价格可定在什么范围内？答案：每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）分析：由题意可知该旅店某晚的收入为y元，可知(50+10x)(200−10x)>12600，解不等式可求解.设该旅店某晚的收入为y元，则y=(50+10x)(200−10x),x∈N∗由题意y>12600，则(50+10x)(200−10x)>12600即10000+1500x−100x2>12600，即x2−15x+26<0，解得：2<x<13，且x∈N∗所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间（不包括70元，180元）。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式必考知识点归纳单选题1、已知a>0，b>0且ab＝1，不等式12a +12b+ma+b≥4恒成立，则正实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≥4C．m≥6D．m≥8答案：D分析：由条件结合基本不等式可求a+b的范围，化简不等式可得m≥4(a+b)−(a+b)22，利用二次函数性质求4(a+b)−(a+b)22的最大值，由此可求m的取值范围.不等式12a +12b+ma+b≥4可化为a+b2ab+ma+b≥4，又a>0，b>0，ab＝1，所以m≥4(a+b)−(a+b)22，令a+b=t，则m≥4t−t22，因为a>0，b>0，ab＝1，所以t=a+b≥2√ab=2，当且仅当a=b=1时等号成立，又已知m≥4t−t22在[2,+∞)上恒成立，所以m≥(4t−t22)max因为4t−t22=12(8t−t2)=−12(t−4)2+8≤8，当且仅当t=4时等号成立，所以m≥8，当且仅当a=2−√3，b=2+√3或a=2−√3，b=2+√3时等号成立，所以m的取值范围是[8,+∞)，故选：D.2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.4、已知x>0，y>0，且x+y=2，则下列结论中正确的是（）A．2x +2y有最小值4B．xy有最小值1C．2x+2y有最大值4D．√x+√y有最小值4答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D 错误， 故选：A5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案A 为一次性投资300万；方案B 为第一年投资80万，以后每年投资20万.下列不等式表示“经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入”的是（ ） A ．80+20n ≥300B ．80+20n ≤300C ．80+20(n −1)≥300D ．80+20(n −1)≤300 答案：D分析：由不等关系求解即可.经过n 年之后，方案B 的投入为80+20(n −1)，故经过n 年之后，方案B 的投入不大于方案A 的投入，即80+20(n −1)≤300 故选：D7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a <1b ，而c 的正负不确定，故A 错误； 对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（ ）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3} 答案：A分析：由题知{ba =−1ca=−2，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可. 解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①． 又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−ba (−1)×2=c a，即{ba =−1ca=−2②． 将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+ca −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3． 故选：A 多选题9、（多选题）下列命题为真命题的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2≥bc 2B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2C ．若a >b >0且c >0，则ca 2>cb 2D ．若a >b 且1a >1b ，则ab <0 答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A ，若a >b >0，则ac 2−bc 2=c 2(a −b )≥0，即ac 2≥bc 2，故A 正确； 对于B ，若a <b <0，则a 2−ab =a (a −b )>0，ab −b 2=b (a −b )>0， 所以a 2>ab >b 2，故B 正确；对于C ，若a >b >0且c >0，则ca 2−cb 2=c (b 2−a 2)a 2b 2=c (b−a )(b+a )a 2b 2<0，所以c a 2<c b 2，故C 错误；对于D ，若a >b 且1a >1b ，则b −a <0，1a −1b =b−a ab>0，所以ab <0，故D 正确. 故选：ABD.10、已知函数y =x 2+ax +b （a >0）有且只有一个零点，则（ ） A ．a 2−b 2≤4 B ．a 2+1b ≥4C ．若不等式x 2+ax −b <0的解集为(x 1,x 2)，则x 1x 2>0D ．若不等式x 2+ax +b <c 的解集为(x 1,x 2)，且，则c =4答案：ABD分析：由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a ，b 的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A ；由基本不等式可判断B ；由二次方程的韦达定理可判断C ，D ．124x x -=根据题意，函数y =x 2+ax +b(a >0)有且只有一个零点，必有a 2−4b =0，即a 2=4b ，(b >0)， a 2−b 2−4=4b −b 2−4=−(b 2−4b +4)=−(b −2)2≤0，b =2时，等号成立，即有a 2−b 2≤4，故A 正确；a 2+1b =4b +1b ≥2√4b ⋅1b =4，当且仅当b =12时，取得等号，故B 正确； 由x 1，x 2为方程x 2+ax −b =0的两根，可得x 1x 2=−b <0，故C 错误； 由x 1，x 2为方程x 2+ax +b −c =0的两根，可得x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b −c ， 则|x 1−x 2|2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=a 2−4(b −c)=a 2−4b +4c =4c =16， 解得c =4，故D 正确． 故选：ABD ．11、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确； 由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1aba b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确.故选：ACD.12、已知a >0，b >0，a 2+b 2=1，则（ ） A ．ab 的最大值为12B ．2ab+3a+b的最小值为2√2C ．a 2(1+2b 2)的最大值为94D ．1a 2+4b 2的最小值为9答案：ABD分析：利用基本不等式判断A 、B 、D 的正误，注意等号成立条件，将a 2(1+2b 2)化为关于a 2的二次函数形式求最值判断C.因为a >0，b >0，a 2+b 2=1， 所以1≥2ab ，即ab ≤12，2ab+3a+b=(a+b )2+2a+b=a +b +2a+b≥2√2，当且仅当a =b =√22时等号成立，则A ，B正确． a 2(1+2b2)=a 2[1+2(1−a2)]=3a 2−2a 4=−2(a 2−34)2+89，当a 2=34时取得最大值98，则C 错误．1a 2+4b 2=(a 2+b 2)(1a 2+4b 2)=5+b 2a 2+4a 2b 2≥5+2√4=9，当且仅当b 2=2a 2=23时等号成立，则D 正确．故选：ABD13、已知a,b ∈R +且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． A ．ab ⩽14B ．ab +1ab ⩾174C ．√a +√b ⩽√2D ．1a +12b ⩾2√2 答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． ∵a,b ∈R +,a +b =1，∴ab ⩽(a+b 2)2=14(当且仅当a =b =12时取得等号)．所以选项A 正确由选项A 有ab ≤14，设y =x +1x ，则y =x +1x 在(0，14]上单调递减. 所以ab +1ab ≥14+4=174，所以选项B 正确∵(√a +√b)2=a +b +2√ab ⩽a +b +a +b =2(当且仅当a =b =12时取得等号)， ∴√a +√b ⩽√2．所以选项C 正确. ∵1a +12b=a+b a+a+b 2b=32+b a+a 2b⩾32+2√b a⋅a 2b=32+√2（当且仅当a 2=2b 2时等号成立），所以选项D 不正确．故A ，B ，C 正确 故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题14、已知x,y∈(0,+∞),a∈R，若(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，则3x+y的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x−y+sin2α+1)(x+3y−2sin2α)=2，∴4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)即4=(2x−2y+2sin2α+2)(x+3y−2sin2α)≤(2x−2y+2sin2α+2+x+3y−2sin2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x+y+2)2≥16，解得3x+y≥2，当且仅当2x−2y+2sin2α+2=x+3y−2sin2α时，取等号，所以3x+y的最小值为2.所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：116、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________.答案：2√6分析：由题知x1+x2=6a,x1x2=3a2，进而根据基本不等式求解即可.解：因为关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，所以x1,x2是方程−x2+6ax−3a2=0(a>0)的实数根，所以x1+x2=6a,x1x2=3a2，因为a>0，所以x1+x2+3ax1x2=6a+1a≥2√6，当且仅当6a=1a，即a=√66时等号成立，所以x1+x2+3ax1x2的最小值是2√6所以答案是：2√6解答题17、已知不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．(1)求常数a的值；(2)若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，求m的取值范围．答案：(1)a=1(2)[−4,4]分析：（1）由题意可得－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，将x=−1代入方程中可求出a的值；（2）由x2+mx+4≥0的解集为R，可得Δ≤0，从而可求出m的取值范围（1）因为不等式(a+1)x2−4x−6<0的解集是{x|−1<x<3}．所以－1和3是方程(a+1)x2−4x−6=0的解，把x=−1代入方程解得a=1．经验证满足题意（2）若关于x的不等式ax2+mx+4≥0的解集为R，即x2+mx+4≥0的解集为R，所以Δ=m2−16≤0，解得−4≤m≤4，所以m的取值范围是[−4,4]．18、为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.答案：（1）最大值为16米；（2）最小值为(824+160√3)平方米.分析：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；（2）表示S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)，利用均值不等式，即得最小值.（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得y=400x.因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以400x⩾x+9，所以x2+9x−400⩽0，解得−25⩽x⩽16.又x>0，所以0<x⩽16.所以宽的最大值为16米.（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x +4)=824+8(x+300x)⩾(824+160√3)（平方米）当且仅当x=10√3米时，等号成立.所以整个绿化面积的最小值为(824+160√3)平方米.。
高中数学必修一 第二章 函数 知识点整理
第二章函数2.1 函数1. 函数（1）函数的定义传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，y叫做因变量。
近代定义：给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作A→B，或y=f(x)，x∈A，此时，x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，习惯上我们称y是x的函数。
两个定义间的联系：函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合的观点出发。
这样，就不难得知函数的实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊对应。
（2）函数概念的理解①A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
②在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数y=x2+1可称为实数集R到实数集R的函数，但值域为[1,+∞)。
③对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。
④函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则（或运算），如f(x)=x2-2x+3，当x=2时，可看做是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当“x”为某个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x-1)=(2x-1)2-2(2x-1)+3，f[g(x)]=[g(x)]2-2g(x)+3等，f(a)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。
（3）函数的定义域函数的定义域是自变量x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全)(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结(超全) 单选题1、已知−1≤x+y≤1,1≤x−y≤5，则3x−2y的取值范围是（）A．[2,13]B．[3,13]C．[2,10]D．[5,10]答案：A分析：设3x−2y=m(x+y)−n(x−y)=(m−n)x+(m+n)y，求出m,n的值，根据x+y,x−y的范围，即可求出答案.设3x−2y=m(x+y)−n(x−y)=(m−n)x+(m+n)y，所以{m−n=3m+n=−2，解得：{m=12n=−52,3x−2y=12(x+y)+52(x−y),，因为−1≤x+y≤1,1≤x−y≤5，所以3x−2y=12(x+y)+52(x−y)∈[2,13]，故选：A.2、前后两个不等式解集相同的有（）①x+52x−1≥0与(2x−1)(x+5)≥0②x+52x−1>0与(2x−1)(x+5)＞0③x2(2x−1)(x+5)≥0与(2x−1)(x+5)≥0④x2(2x−1)(x+5)＞0与(2x−1)(x+5)＞0A．①②B．②④C．①③D．③④答案：B分析：由不含参的一元二次不等式，分式不等式、高次不等式的解法解出各个不等式，对选项一一判断即可得出答案.对于①，由x+52x−1≥0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)≥0，解得：x>12或x≤−5.(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故①不正确；对于②，由x+52x−1>0可得{2x−1≠0(x+5)(2x−1)>0，解得：x>12或x<−5.(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故②正确；对于③，x2(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x=0或x≤−5或x≥12}，(2x−1)(x+5)≥0的解集为：{x|x≥12或x≤−5}，故③不正确；对于④，x2(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x<−5或x>12}，(2x−1)(x+5)>0的解集为：{x|x>12或x<−5}，故④正确；故选：B.3、y=x+4x(x≥1)的最小值为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y=x+4x (x≥1)，所以x+4x≥2√x×4x=4，当且仅当x=4x即x=2时等号成立.所以当x=2时，函数y=x+4x有最小值4.故选：C.4、若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，则a的最小值是（）A．0B．−2C．−52D．−3答案：C解析：采用分离参数将问题转化为“a≥−(x+1x )对一切x∈(0,12]恒成立”，再利用基本不等式求解出x+1x的最小值，由此求解出a的取值范围.因为不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈(0,12]恒成立，所以a≥−(x+1x )对一切x∈(0,12]恒成立，所以a≥[−(x+1x )]max(x∈(0,12])，又因为f(x)=x+1x 在(0,12]上单调递减，所以f(x)min=f(12)=52，所以a ≥−52，所以a 的最小值为−52，故选：C.小提示：本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法.5、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．6、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C7、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C8、小李从甲地到乙地的平均速度为a，从乙地到甲地的平均速度为b(a>b>0)，他往返甲乙两地的平均速度为v，则（）A．v=a+b2B．v=√abC．√ab<v<a+b2D．b<v<√ab答案：D分析：平均速度等于总路程除以总时间设从甲地到乙地的的路程为s，从甲地到乙地的时间为t1，从乙地到甲地的时间为t2，则t1=sa ，t2=sb，v=2st1+t2=2s sa+sb=21a+1b，∴v =21a +1b>21b +1b=b ，v =21a +1b=2ab a+b <2√ab=√ab ，故选:D. 多选题9、若a >0，b >0，a +b =2，则（ ）A ．ab ≤1B ．√a +√b ≤√2C ．a 2+b 2≥2D ．1a +1b ≥2 答案：ACD分析：根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.对于A ，由基本不等式得，2=a +b ≥2√ab 则ab ≤1，当且仅当a =b =1时等号成立，故A 正确； 对于B ，令a =32, b =12时，√a +√b =√6+√22>√2=√2+√22，故√a +√b ≤√2不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得ab ≤1，所以a 2+b 2=(a +b)2−2ab =4−2ab ≥2，当且仅当a =b =1时等号成立，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得(1a +1b )(a+b 2)=12(1a +1b )(a +b ) =12(1+1+b a +a b ) =1+12(b a +ab )≥1+12⋅2√1=2，当且仅当ba =ab ，即a =b =1时等号成立，故D 正确. 故选：ACD ．10、若方程x 2+2x +λ=0在区间(−1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是（ ） A ．−3B ．18C ．14D ．1答案：BC解析：分离参数得λ=−x 2−2x ，求出−x 2−2x 在(−1,0)内的值域即可判断． 由题意λ=−x 2−2x 在(−1,0)上有解．∵x ∈(−1,0)，∴λ=−x 2−2x =−(x +1)2+1∈(0,1)， 故选：BC ．11、不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |−1≤x ≤2}，则下列结论正确的是（ ） A ．a +b =0B ．a +b +c >0 C ．c >0D ．b <0答案：ABC分析：根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可. 解：因为不等式ax 2+bx +c ≥0的解集是{x |−1≤x ≤2}，所以a <0，且{−ba=−1+2=1>0c a =−2<0，所以{b >0,b =−a,c >0, 所以a +b =0，c >0，b >0，故AC 正确，D 错误．因为二次函数y =ax 2+bx +c 的两个零点为−1，2，且图像开口向下， 所以当x =1时，y =a +b +c >0，故B 正确． 故选：ABC ． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z=x+2y的最小值是32.所以答案是：32.14、某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5m，各试验区之间也空0.5m.则每块试验区的面积的最大值为___________m2.答案：6分析：设矩形空地的长为x m，根据图形和矩形的面积公式表示出试验区的总面积，利用基本不等式即可求出结果.设矩形空地的长为x m，则宽为32xm，依题意可得，试验区的总面积S=(x−0.5×4)(32x −0.5×2)=34−x−64x≤34−2√x⋅64x=18，当且仅当x=64x即x=8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183=6m2.所以答案是：6解答题15、已知一元二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0,c>0)的图像与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c,0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．（1）当a=1，c=12时，求出不等式f(x)<0的解；（2）求出不等式f(x)<0的解（用a,c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．答案：（1）(12,1)；（2）(c,1a)；（3）a∈(0, 18]；（4）m≤−2 或 m=0 或m≥2．分析：（1）根据根与系数的关系，求出f(x)=0的另一根，得到不等式f(x)<0的解；（2）根据根与系数的关系，求出f(x)=0另一根，并判断两根的大小，得到不等式f(x)<0的解；（3）先求出f(x)的图像与坐标轴的交点，表示出以这些点组成的三角形的面积，再将a 用c 表示出来，再求得a 的范围；（4）根据f(c)=0，得到a,b,c 的关系式，化简不等式，将k,m 分离，分离时注意讨论m 的符号，求得实数m 的范围.（1）当a =1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图像与x 轴有两个不同交点， ∵f(12)=0设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴x 2=1，则f(x)<0的解集为(12,1)． （2）f(x)的图像与x 轴有两个交点，∵f(c)=0，设另一个根为x 2， 则cx 2=c a ∴x 2=1a 又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴f(x)<0的解集为(c,1a )．（3）由（2）的f(x)的图像与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴a =c 16+c2≤2√16c=18，故a ∈(0, 18]．（4）∵f(c)=0，∴ac 2+bc +c =0，又∵c >0，∴ac +b +1=0， 要使m 2−2k m ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max =2； 当m <0时，m ≤(2k)min =−2；当m =0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立． 从而实数m 的取值范围为m ≤−2 或 m =0 或m ≥2．小提示：本题考查了二次函数，一元二次方程，一元二次不等式三个二次之间关系及应用，根与系数的关系，恒成立求参问题，参变分离技巧，属于中档题.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。
高中数学知识点函数(最全)
高中数学第二章-函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．§02. 函数 知识要点一、本章知识网络结构：F:A B对数函数指数函数二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义 设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=（二）函数的性质 ⒈函数的单调性定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2,⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性正确理解奇、偶函数的定义。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节 函数的图象)
第五节 函数的图象一、基础知识1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f x 整体上加减.(2)对称变换①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象． (4)翻折变换 ①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．二、常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )；(3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称． 考点一 作函数的图象[典例] 作出下列函数的图象．(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2； (3)y ＝x 2－2|x |－1.[解] (1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．(3)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，其图象如图③所示．[变透练清]1.[变条件]若本例(2)变为y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2，试作出其图象．解：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象是由y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图 所示．2.[变条件]若本例(3)变为y ＝|x 2－2x －1|，试作出其图象．解：y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥1＋2或x ≤1－2，－x 2＋2x ＋1，1－2<x <1＋2，其图象如图所示．考点二 函数图象的识辨[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )[解析] ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项；当x ＝1时，f (1)＝e －1e >0，排除D 选项；又e>2，∴1e <12，∴e －1e >1，排除C 选项．故选B.[答案] B[例2] 已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )[解析] 法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.[答案] D [解题技法]1．函数图象与解析式之间的4种对应关系(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y 轴对称，在对称的区间上单调性相反；(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 3．借助动点探究函数图象解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．[题组训练]1．(2019•郑州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥01x ，x <0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象是( )解析：选D 法一：由题设得函数g (x )＝－f (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≤0，1x ，x >0，据此可画出该函数的图象，如题图选项D 中图象．故选D.法二：先画出函数f (x )的图象，如图1所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )，即g (x )的图象，如图2所示．故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )解析：选C 当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.考点三 函数图象的应用考法(一) 研究函数的性质[典例] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．[答案] C[解题技法] 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： (1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二) 在不等式中的应用[典例] 若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2] B.⎝⎛⎭⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)[解析] 要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．[答案] A [解题技法]当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．[题组训练]1．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －x x <0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为f (x )为奇函数， 所以不等式f x－f －xx<0可化为f xx<0， 即xf (x )<0，f (x )的大致图象如图所示． 所以xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．2．对a ，b ∈R ，记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的最小值是________．解析：函数f (x )＝max{|x ＋1|，|x －2|}(x ∈R)的图象如图所示， 由图象可得，其最小值为32.答案：323．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2⎝⎛⎭⎫－x2，x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x >－1，若f (x )在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．解析：作出函数f (x )的图象，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫－x2单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2⎝⎛⎭⎫－x 2＝2，解得x ＝－8；当x >－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23<2，f (－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．答案：[－8，－1][课时跟踪检测]A级1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点()A．向右平行移动2个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动2个单位长度D．向左平行移动1个单位长度解析：选B因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()解析：选C要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是()解析：选D 由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ， 令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x . ∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A 、B. 令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z)，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C ，选D.4．下列函数y ＝f (x )图象中，满足f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)的只可能是( )解析：选D 因为f ⎝⎛⎭⎫14＞f (3)＞f (2)，所以函数f (x )有增有减，排除A 、B.在C 中，f ⎝⎛⎭⎫14＜f (0)＝1，f (3)＞f (0)，即f ⎝⎛⎭⎫14＜f (3)，排除C ，选D.5.已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( ) A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：选A 由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D.6．已知函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点________．解析：因为函数y ＝f (x ＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图象一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图象关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．答案：(4，－2)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)， ∵图象过点(4,0)， ∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14.故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14x －22－1，x ＞0 8．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为________．解析：令y ＝log 2(x ＋1)，作出函数y ＝log 2(x ＋1)图象如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1. ∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}． 答案：{x |－1<x ≤1} 9．画出下列函数的图象． (1)y ＝e ln x ； (2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．解：(1)因为函数的定义域为{x |x >0}且y ＝e ln x ＝x (x >0)， 所以其图象如图所示． (2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝⎝⎛⎭⎫x －122－94； 当x <2，即x －2<0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 所以y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫x －122－94，x ≥2，－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，x <2.这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.B 级1．若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在 (－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选C 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．2．(2019·山西四校联考)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2) 解析：选C 作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图象于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图象可得b 的取值范围是(1，2)．3．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立， ∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．4．若关于x 的不等式4a x －1<3x －4(a >0，且a ≠1)对于任意的x >2恒成立，求a 的取值范围．解：不等式4a x －1<3x －4等价于a x －1<34x －1. 令f (x )＝a x －1，g (x )＝34x －1， 当a >1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件； 当0<a <1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x ≥2时，f (2)≤g (2)，即a 2－1≤34×2－1， 解得a ≤12，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12.。
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳单选题1、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.2、已知a>0,b>0,a+b=1，则y=1a +3b的最小值是（）A．7B．2+√3C．4D．4+2√3答案：D分析：由“1”的妙用和基本不等式可求得结果. 因为a>0,b>0,a+b=1，所以y=1a +3b=(a+b)(1a+3b)=4+ba+3ab≥4+2√ba⋅3ab=4+2√3，当且仅当ba =3ab即b=√3a时，等号成立.结合a+b=1可知，当a=√3−12,b=3−√32时，y有最小值4+2√3.故选：D.3、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可. 对于A ，若c <0，由ac >bc 可得：a <b ，A 错误；对于B ，若c =0，则ac =bc =0，此时a =b 未必成立，B 错误； 对于C ，当a >0>b 时，1a>0>1b，C 错误；对于D ，当ac 2>bc 2时，由不等式性质知：a >b ，D 正确. 故选：D.4、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A5、已知a,b ∈R 且满足{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1，则4a +2b 的取值范围是（ ）A ．[0,12]B ．[4,10]C ．[2,10]D ．[2,8] 答案：C分析：设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，求出A ，B 结合条件可得结果. 设4a +2b =A (a +b )+B (a −b )，可得{A +B =4A −B =2，解得{A =3B =1，4a +2b =3(a +b )+a −b ，因为{1≤a +b ≤3−1≤a −b ≤1 可得{3≤3(a +b )≤9−1≤a −b ≤1 ，所以2≤4a +2b ≤10. 故选：C.6、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ， 所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，≥14(5+2√ab ⋅4b a)=94， 当且仅当{1b +4a=4ab=4b a，即{a =32b =34时，等号成立， 故选：C7、若(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(−∞,4]B ．[1,4]C ．(1,4)D ．(1,4] 答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x 的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a 的取值范围.由(x −a)2<4，可得：a −2<x <a +2；由1+12−x =3−x 2−x ≤0，则{(x −2)(x −3)≤02−x ≠0，可得2<x ≤3；∵(x −a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x ≤0， ∴{a −2≤2a +2>3，可得1<a ≤4.故选：D.8、已知正实数a ，b 满足a +1b =2，则2ab +1a 的最小值是（ ） A ．52B ．3C ．92D ．2√2+1 答案：A分析：由已知得， a =2−1b 代入得2ab +1a =2(2b −1)+b2b−1，令2b −1=t ，根据基本不等式可求得答案. 解：因为a +1b=2，所以a =2−1b>0，所以0<b <2 ，所以2ab +1a =2(2−1b )b +b 2b−1=2(2b −1)+b2b−1， 令2b −1=t ，则b =t +12，且−1<t <3 ，所以2ab +1a =2t +t +12t=2t +12t+12≥2√2t ⋅12t+12=52，当且仅当2t =12t，即t =12，b =34,a =23时，取等号，所以2ab +1a 的最小值是52. 故选：A. 多选题9、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB 上取一点C ，使得AC =a,BC =b ，过点C 作CD ⊥AB 交以AB 为直径，O 为圆心的半圆周于点D ，连接OD .下面不能由OD ≥CD 直接证明的不等式为（ ）A ．√ab ≤a+b 2(a >0，b >0)B ．√ab ≥2ab a+b(a >0，b >0)C ．a 2+b 2≥2ab(a >0，b >0)D ．a+b 2≤a 2+b 22(a >0，b >0)答案：BCD解析：由AC =a,BC =b ，得到OD =12(a +b )，然后利用射影定理得到CD 2=ab 判断. 因为AC =a,BC =b ，所以OD =12(a +b ),因为∠ADB =90∘，所以由射影定理得CD 2=ab ， 因为OD ≥CD ， 所以√ab ≤a+b 2，当且仅当a =b 时取等号，故选：BCD10、已知P =a 2+b 2，Q =2ab ，R =(a+b )22，则（ ）A ．P ≥RB ．Q ≥RC ．P ≤RD ．P ≥Q 答案：AD分析：对于A,B,C 利用作差法即可比较出大小,对于D 利用不等式传递性即可. 对于A ，P −R =(a 2+b 2)−(a+b )22=(a−b )22≥0，则P ≥R ，故A 正确；对于B ，R −Q =(a+b )22−2ab =a 2−2ab+b 22=(a−b )22≥0，所以R ≥Q ，故B 错误；对于C ，由已证得P ≥R ，故C 错误； 因为P ≥R ，R ≥Q ，所以P ≥Q ，故D 正确 故选:AD11、已知x >0，y >0且3x +2y =10，则下列结论正确的是（ ） A ．xy 的最大值为625B ．√3x +√2y 的最大值为2√5 C ．3x+2y的最小值为52D ．x 2+y 2的最大值为10013答案：BC分析：利用基本不等式直接判断A ；利用基本不等式求得(√3x +√2y)2的最大值可判断B ；利用基本不等式“1”的代换可判断C ；利用二次函数的性质可判断D ； ∵x >0，y >0且3x +2y =10，∴0<x <103，0<y <5对于A ，利用基本不等式得10=3x +2y ≥2√3x ×2y ，化简得xy ≤256，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以xy 的最大值为256，故A 错误；对于B ，(√3x +√2y)2=3x +2y +2√6xy =10+2√6xy ≤10+10=20，当且仅当3x =2y ，即x =53,y =52时，等号成立，所以√3x +√2y 的最大值为2√5，故B 正确；对于C ，3x +2y =110×(3x +2y )(3x +2y )=110×(9+6x y +6y x+4)≥110×(13+2√6x y ⋅6yx)=52， 当且仅当6xy =6yx，即x =y =2时，等号成立，所以3x +2y 的最小值为52，故C 正确； 对于D ，x 2+y 2=(10−2y 3)2+y 2=13y 2−40y+1009(0<y <5)利用二次函数的性质知，当0<y <2013时，函数单调递减；当2013<y <5时，函数单调递增，∴(x 2+y2)min=13×(2013)2−40×2013+1009=10013，(x 2+y 2)max <13×(5)2−40×5+1009=2259，故D 错误；故选：BC 填空题12、设x 1、x 2、x 3、y 1、y 2、y 3是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2，x 1y 2+x 2y 3+x 3y 1，x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3，x 1y 3+x 2y 2+x 3y 1，x 1y 3+x 2y 1+x 3y 2，能同时取到150的代数式最多有________个． 答案：2分析：由作差法比较大小后判断 不妨设x 1<x 2<x 3，y 1<y 2<y 3，记x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3为①式，x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2为②式，以此类推， 由①−②=x 2y 2+x 3y 3−x 2y 3−x 3y 2=(x 2−x 3)(y 2−y 3)>0，故①>②， ②−③=x 1y 1+x 3y 2−x 1y 2−x 3y 1=(x 1−x 3)(y 1−y 2)>0，故②>③， ①−④=x 1y 1+x 2y 2−x 1y 2−x 2y 1=(x 1−x 2)(y 1−y 2)>0，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150，令x 1y 1+x 2y 3+x 3y 2=x 1y 2+x 2y 1+x 3y 3=150，得其一组解为{x 1=−1x 2=0x 3=1 ，{y 1=2y 2=152y 3=302所以答案是：213、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52 ，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8， 所以答案是：[3,8]．14、函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是_____ 答案：3+2√3分析：利用基本不等式可求得原函数的最小值. 因为x >1，则x −1>0，所以y =3(x −1)+1x−1+3≥2√3(x −1)×1x−1+3=2√3+3， 当且仅当3(x −1)=1x−1，因为x >1，即当x =3+√33时，等号成立.所以函数y =3x +1x−1(x >1)的最小值是2√3+3.所以答案是：3+2√3. 解答题15、已知a >0，b >0.（1）求证：a2+3b2≥2b(a+b)；（2）若a+b=2ab，求ab的最小值.答案：（1）证明见解析；（2）1.分析：（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.（2）根据a+b=2ab，可得2ab=a+b≥2√ab，从而得到√ab≥1，进而求得ab≥1，注意等号成立的条件，得到结果.证明：（1）∵a2+3b2−2b(a+b)=a2−2ab+b2=(a−b)2≥0，∴a2+3b2≥2b(a+b).（2）∵a>0，b>0，∴2ab=a+b≥2√ab，即2ab≥2√ab，∴√ab≥1，∴ab≥1.当且仅当a=b=1时取等号，此时ab取最小值1.小提示：该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知a,b 为正实数且a +b =2，则ba +2b 的最小值为（ ） A ．32B ．√2+1C ．52D ．3 答案：D分析：由题知ba +2b =2(1a +1b )−1，再结合基本不等式求解即可.解：因为a,b 为正实数且a +b =2， 所以b =2−a ， 所以，ba +2b =2−a a +2b =2a +2b −1=2(1a +1b )−1因为2a +2b =2(1a +1b )=(a +b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥2+2=4，当且仅当a =b =1时等号成立； 所以ba +2b =2−a a+2b =2a +2b −1≥3，当且仅当a =b =1时等号成立；故选：D2、已知正数x ，y 满足2x+3y+13x+y=1，则x +y 的最小值（ ）A ．3+2√24B ．3+√24C ．3+2√28D ．3+√28答案：A分析：利用换元法和基本不等式即可求解. 令x +3y =m ，3x +y =n ，则2m +1n =1， 即m +n =(x +3y )+(3x +y )=4(x +y )， ∴x +y =m+n 4=(m 4+n 4)(2m +1n )=12+m 4n +2n 4m +14≥2√m 4n ⋅2n 4m +34=2×2√2+34=2√2+34， 当且仅当m4n =2n4m ，即m =2+√2，n =√2+1时，等号成立， 故选：A.3、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（）A．2a+b=1B．ab的最大值为18C．1a +2b的最小值为4D．1a+1b的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．4、已知a=√2，b=√7−√3，c=√6−√2，则a，b，c的大小关系为（）A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a答案：B分析：通过作差法，a−b=√2+√3−√7，确定符号，排除D选项；通过作差法，a−c=2√2−√6，确定符号，排除C选项；通过作差法，b−c=(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A选项；由a−b=√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a>b；由a−c=2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a>c；b−c=(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c>b.所以a>c>b，故选：B.5、要使关于x的方程x2+(a2−1)x+a−2=0的一根比1大且另一根比1小，则实数a的取值范围是（）A．{a|−1<a<2}B．{a|−2<a<1}C．{a|a<−2}D．{a|a>1}答案：B分析：根据二次方程根的分布可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.由题意可得1+(a2−1)+a−2=a2+a−2<0，解得−2<a<1.故选：B.6、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.7、若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是（）A．ba >b+1a+1B．a+1a>b+1bC．a+1b>b+1aD．2a+ba+2b>ab答案：C分析：根据不等式的性质，对选项逐一判断对于A，ba −b+1a+1=b−aa(a+1)，因为a>b>0，故ba−b+1a+1=b−aa(a+1)<0，即ba<b+1a+1，故A错；对于B，a+1a −(b+1b)=(a−b)(1−1ab)不确定符号，取a=1,b=12则a+1a<b+1b，故B错误；对于C，a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)，因为a>b>0，故a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，即a+1b>b+1a，故C正确；对于D，2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b，因为a>b>0，故2a+ba+2b −ab=(b+a)(b−a)(a+2b)b<0，即2a+ba+2b<ab，故D错误．故选：C8、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．2a >2bB．ac<bc C．|a|>－b D．√−a>√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B多选题9、若a>1，b<2，则（）A．a−b>−1B．(a−1)(b−2)<0C ．a +1a−1的最小值为2D ．12−b≥b答案：ABD分析：利用不等式的性质可判断ABD 选项；利用基本不等式可判断C 选项. 因为b <2，所以−b >−2，又a >1，所以a −b >−1，A 正确；因为a >1，b <2，则a −1>0，b −2<0，所以(a −1)(b −2)<0，B 正确； 因为a >1，所以a −1>0，所以a +1a−1=a −1+1a−1+1≥2√(a −1)⋅1a−1+1=3， 当且仅当a =2时，等号成立，C 不正确；因为b <2，则b (b −2)+1=(b −1)2≥0，所以，b (2−b )≤1， 因为2−b >0，所以12−b≥b ，D 正确.故选：ABD.10、已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}，则下列结论正确的是（ ） A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a +b +c >0 答案：BCD分析：对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及b >0，即可求解.解：对A ，∵不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|−12<x <2}， 故相应的二次函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， 即a <0，故A 错误；对B ，C ，由题意知： 2和−12是关于x 的方程ax 2+bx +c =0的两个根， 则有ca =2×(−12)=−1<0，−ba =2+(−12)=32>0， 又∵a <0，故b >0,c >0，故B ，C 正确； 对D ，∵c a =−1， ∴a +c =0， 又∵b >0，∴a+b+c>0，故D正确.故选：BCD.11、《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在AB上取一点C，使得AC=a,BC=b，过点C作CD⊥AB交以AB为直径，O为圆心的半圆周于点D，连接.下面不能由OD≥CD直接证明的不等式为（）A．√ab≤a+b2(a>0，b>0)B．√ab≥2aba+b(a>0，b>0)C．a2+b2≥2ab(a>0，b>0)D．a+b2≤a2+b22(a>0，b>0)答案：BCD解析：由AC=a,BC=b，得到OD=12(a+b)，然后利用射影定理得到CD2=ab判断. 因为AC=a,BC=b，所以OD=12(a+b),因为∠ADB=90∘，所以由射影定理得CD2=ab，因为OD≥CD，所以√ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号，故选：BCD12、若1≤x≤3≤y≤5，则（）A．4≤x+y≤8B．x+y+1x +16y的最小值为10C．−2≤x−y≤0D．(x+1y )(y+4x)的最小值为9OD答案：AB分析：根据不等式的基本性质和基本不等式进行求解判断即可.因为1≤x ≤3≤y ≤5，所以4≤x +y ≤8，−4≤x −y ≤0，故A 正确，C 错误； 因为x +y +1x +16y=x +1x +y +16y≥2√x ⋅1x +2√y ⋅16y=10，当且仅当x =1，y =4时，等号成立，所以x +y +1x +16y的最小值为10，因此B 正确；因为(x +1y )(y +4x )=xy +4xy +5≥2√4+5=9，当且仅当xy =2时，等号成立，但1≤x ≤3≤y ≤5，xy 取不到2，所以(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，因此D 不正确， 故选：AB13、若a <b <0，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a−b <1a B ．1|a |>1|b |C ．(a +1b )2>(b +1a )2D ．(a +1a )2>(b +1b )2答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可. 对于A 选项, 由于a <b <0,故a −b <0,所以1a−b −1a =a−(a−b )a (a−b )=b a (a−b )<0, 即1a−b <1a ,故A 选项正确; 对于B 选项, 由于a <b <0,故a −b <0, 1|a|−1|b|=|b |−|a ||a ||b |=a−b |a ||b |<0,故1|a|<1|b |,故B 选项错误;对于C 选项, 因为a <b <0,故0>1a >1b ,所以0>b +1a >a +1b ,所以(a +1b )2>(b +1a )2,故C 选项正确; 对于D 选项,令a =−2,b =−12,则a +1a =b +1b =−52,所以(a +1a )2>(b +1b )2不成立,故D 选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断. 填空题14、不等式ax 2+x +1>0的解集为(m,1)，则m =__________． 答案：−12##−0.5分析：利用一元二次方程根与系数的关系可求得m 的值.由已知，关于x 的二次方程ax 2+x +1=0的两根分别为m 、1，且a <0， 所以，{a +2=01⋅m =1a，解得{a =−2m =−12.所以答案是：−12.15、函数y =2√x 2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果. 令t =√x 2+1≥1，则y =2√x 2+1=t +4t≥4，当且仅当t =2，即x =±√3时，y min =4.所以函数y =2√x 2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、已知a >0,b >0，且ab =1，则12a+12b+8a+b的最小值为_________．答案：4分析：根据已知条件，将所求的式子化为a+b 2+8a+b ，利用基本不等式即可求解. ∵a >0,b >0,∴a +b >0，ab =1,∴12a+12b +8a+b=ab 2a+ab 2b+8a+b=a+b 2+8a+b ≥2√a+b 2×8a+b =4，当且仅当a +b =4时取等号，结合ab =1,解得a =2−√3,b =2+√3，或a =2+√3,b =2−√3时，等号成立. 所以答案是：4小提示：本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 解答题17、如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围36m 长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为20m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 答案：(1)长为92m ，宽为185m(2)长为5m ，宽为4m分析：（1）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ，可得出4x +5y =36，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论；（2）设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20，利用基本不等式可求得钢筋网总长4x +5y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 、y 的值，即可得出结论. （1）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则每间老虎笼的面积为S =xy ， 由已知可得4x +5y =36，由基本不等式可得S =xy =120⋅4x ⋅5y ≤120×(4x+5y 2)2=815(m 2)，当且仅当{4x =5y4x +5y =36，即当{x =92y =185时，等号成立， 因此，每间虎笼的长为92m ，宽为185m 时，可使得每间虎笼的面积最大. （2）解：设每间老虎笼的长为xm ，宽为ym ，则xy =20， 钢筋网总长为4x +5y ≥2√20xy =40(m )，当且仅当{4x =5y xy =20，即当{x =5y =4时，等号成立，因此，每间虎笼的长为5m ，宽为4m 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小. 18、实数a 、b 满足−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4. (1)求实数a 、b 的取值范围； (2)求3a −2b 的取值范围． 答案：(1)a ∈[−2,3]，b ∈[−72,32](2)[−4,11]分析：（1）由a =12[(a +b )+(a −b )]，b =12[(a +b )−(a −b )]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a −2b =12(a +b)+52(a −b)，再利用不等式的性质得解. （1）解：由−3≤a +b ≤2，−1≤a −b ≤4，则a =12[(a +b )+(a −b )]，所以−4≤(a +b )+(a −b )≤6，所以−2≤12[(a +b )+(a −b )]≤3，即−2≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[−2,3]． 因为b =12[(a +b )−(a −b )]， 由−1≤a −b ≤4，所以−4≤b −a ≤1，所以−7≤(a +b )−(a −b )≤3， 所以−72≤12[(a +b )−(a −b )]≤32， ∴−72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[−72,32]．（2）解：设3a −2b =m (a +b )+n (a −b )=(m +n )a +(m −n )b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52，∴3a−2b=12(a+b)+52(a−b)，∵−3≤a+b≤2，−1≤a−b≤4．∴−32≤12(a+b)≤1，−52≤52(a−b)≤10，∴−4≤3a−2b≤11，即3a−2b的取值范围为[−4,11]．。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节 函数的单调性与最值)
第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”． 考点一 确定函数的单调性区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1.由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝ax －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数；当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1.所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2m x ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2m x 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a>0，所以a>3.答案：(3，＋∞)3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1.在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1－x2)>－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1>f(x2)，所以函数f(x)在R上是单调增函数．(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)>4得f(x2＋x＋1)>f(3)，又函数f(x)在R上是增函数，故x2＋x＋1>3，解得x<－2或x>1，故原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．。
高中数学必修1知识点总结：第二章 基本初等函数
高中数学必修1知识点总结第二章 基本初等函数(Ⅰ)〖2.1〗指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：na =；当na =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)rr r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义 ①若(0,1)xaN a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a xN =，其中a 叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x ax N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N，即log eN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aa M N >≠>>，那么①加法：log log log ()aa a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤loglog (0,)bn a an M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()xy ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()xf y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义 一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．(图象关．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则qpy x=是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质 ①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a>时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2b a -+∞上递增，当2bx a=-时，2min 4()4ac b f x a-=；当0a<时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a=-时，2max 4()4ac b f x a-=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||M x M x M M x x =-． （4）一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布． 设一元二次方程20(0)axbx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出． （5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =02a )q()f p) ②若③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．xxxx xxfx。
高一数学必修一第二章知识点总结
高一数学必修一第二章知识点总结在高一学习数学的过程中，必修一是重要的基础课程之一。
第二章是其中的一个重要部分，以下是对该章节的知识点总结。
1. 二次函数二次函数是高中数学中的重要内容，它是由形如y=ax^2+bx+c的函数所组成。
其中，a、b、c分别代表二次函数的系数，a决定了二次函数的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了二次函数的纵坐标截距。
需要特别注意的是，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 二次函数的图像与性质二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置与二次函数的系数有关。
可以通过求解二次函数的顶点、轴对称线、零点等内容来探究二次函数的性质。
顶点是抛物线的最低点（最高点），轴对称线是通过顶点的一条垂直线，零点是函数与x轴的交点。
利用顶点坐标可以得到二次函数的最值，即最大值或最小值。
3. 二次函数的变化规律通过改变二次函数的系数，可以观察到其图像的变化规律。
例如，改变a的值可以改变抛物线的开口方向；改变b的值可以改变抛物线的位置；改变c的值可以改变抛物线的纵坐标截距。
此外，二次函数还可以通过平移、伸缩等变换来改变其图像。
4. 二次函数的解及其应用解二次函数的方法包括配方法和求根公式。
通过配方法，将二次函数转化为完全平方的形式，然后求解方程。
求根公式是通过根据二次函数的系数来计算零点的方法。
在实际应用中，二次函数经常用于解决最值、距离、速度等问题。
5. 二次函数与一次函数的关系一次函数是高中数学中的基础内容，而二次函数可以看作是一次函数的补充和扩展。
可以通过观察二次函数与一次函数的图像和性质，探讨二者之间的关系。
一次函数的图像是一条直线，而二次函数则是一个抛物线。
此外，二次函数与一次函数的图像有关系。
以上是高一数学必修一第二章的知识点总结。
通过对这些知识点的理解和掌握，同学们可以更好地应对数学学习和应用中的问题。
希望同学们在学习数学的过程中，能够更加深入地理解和应用这些内容，提升数学思维能力。
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高中数学第二章-函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
§02.
函数 知识要点
一、本章知识网络结构：
F:A →B
对数函数
指数函数二次函数
二、知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数
反函数的定义
设函数
))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表
示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一
的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数
))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成
)(1x f y -=
（二）函数的性质 ⒈函数的单调性
定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),则说f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),则说f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性
⑴偶函数：)()(x f x f =-
设（b a ,）为偶函数上一点，则（b a ,-）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于y 轴对称，例如：12+=x y 在)1,1[-上不是偶函数. ②满足)()(x f x f =-，或0)()(=--x f x f ，若0)(≠x f 时，1)
()
(=-x f x f . ⑵奇函数：)()(x f x f -=-
设（b a ,）为奇函数上一点，则（b a --,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数. ②满足)()(x f x f -=-，或0)()(=+-x f x f ，若0)(≠x f 时，
1)
()
(-=-x f x f . 3. 对称变换：①y = f （x ））（轴对称x f y y -=−−−→−
②y =f （x ））（轴对称x f y x -=−−−→−
③y =f （x ））（原点对称x f y --=−−−→−
4. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
5. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f （x ）= 1+
x
x
-1的定义域为A ，函数f [f （x ）]的定义域是B ，则集合A 与集合B 之间的关系是 .
22
1222121222
22121)()()(b x b x x x x x b x b x x f x f x ++++-=+-+=-）
（
解：)(x f 的值域是))((x f f 的定义域B ，)(x f 的值域R ∈，故R B ∈，而A {}1|≠=x x ，故A B ⊃. 6. 常用变换：
①)
()
()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+. 证：)()(])[()()
()
()(y f y x f y y x f x f x f y f y x f -=+-=⇔=
- ②)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x
f +=⋅⇔-=
证：)()()()(y f y
x
f y y x f x f +=⋅=
7. ⑴熟悉常用函数图象：
例：|
|2x y =→||x 关于y 轴对称. |
2|21+⎪
⎭
⎫
⎝⎛=x y →||21x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=→|
2|21+⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x y
|122|2
-+=x x y →||y 关于x 轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例：3
7
2312-+
=-+=x x x y ⇒定义域,3|{x x ≠值域},2|{R y y y ∈≠→值域≠x 前的系数之比. （三）指数函数与对数函数
指数函数
)10(≠>=a a a y x
且
对数函数y =log a x 的图象和性质: 对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a a a a a a a a a c
b a N
N N
a M
n M M n M N
M N M N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅=
==±=-=+=⋅-推论：换底公式：
（以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ）
注⑴：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅.
⑵：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”.
例如：x x x a a a log 2(log 2log 2
≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）.
⑵x a y =（1,0≠a a ）与x y a log =互为反函数.
当1 a 时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同. ⑴对数运算：
()n
a n a a a c
b a b b a N
a n a a n a a a a
a a a a a a a a c
b a
N N N
a M n
M M n M N M N
M
N M N M n a
1121log log ...log log 1
log log log log log log log 1
log log log log log log log log )(log 32log )12)1(=⋅⋅⋅⇒=⋅⋅=
==±=-=+=⋅-推论：换底公式：
（以上10且...a a ,a 1,c 0,c 1,b 0,b 1,a 0,a 0,N 0,M n 21≠≠≠≠ ）
注⑴：当0, b a 时，)log()log()log(b a b a -+-=⋅.
⑵：当0 M 时，取“+”，当n 是偶数时且0 M 时，0 n M ，而0 M ，故取“—”. 例如：x x x a a a log 2(log 2log 2 ≠中x ＞0而2log x a 中x ∈R ）. ⑵x a y =（1,0≠a a ）与x y a log =互为反函数.
当1 a 时，x y a log =的a 值越大，越靠近x 轴；当10 a 时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解x,互换x 、y ，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f(x 1)与f(x 2)的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0
为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.。