1.2.6一元二次方程根的情况-江苏省新沂市钟吾中学苏科版九年级数学上册导学案
苏科版-数学-九年级上册-《一元二次方程的解法—根的判别式法》导学案
第5课时一元二次方程的解法一、学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中,进一步理解代数式b 2-4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2-4ac 的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中,体会严密的思维过程重点:一元二次方程根与系数的关系难点:由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的值二、知识准备1、一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)当240b ac -≥时,X 1,2 =2、运用公式法解下例方程:(1)x 2 -4x+4=0 (2)2x 2 -3x -4=0 (3) x 2+3x+5=0三、学习内容1、情境创设1、引导学生思考:不解方程,你能判断下列方程根的情况吗?⑴x 2+2x -8 = 0 ⑵x 2 = 4x -4 ⑶x 2-3x = -32、探索活动1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗?能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢?3、解下列方程:⑴x 2+x -1 = 0 ⑵x 2-23x +3 = 0 ⑶ 2x 2-2x +1 = 04、通过解上述方程你能得出什么结论?探索一元二次方程的根的情况与b 2-4ac 的符号有什么关系?四、知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)有两个不相等的实数根时,b 2-4ac有两个相等的实数根时, b 2-4ac没有实数根时,b 2-4ac2、反过来呢?3、方程的根与系数又有怎样的关系?五、达标检测1、不解方程,判断下列方程根的情况:(1)2260x x +-=;(2)242x x +=;(3)x x 3142-=+(4)3x 2-x +1 = 3x (5)5(x 2+1)= 7x (6)3x 2-43x =-4 2、方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac=,所以方程的根的情况是.3、一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定4、下列方程中,没有实数根的方程式()A.x 2=9B.4x 2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y 2+6y+7=05、方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根,那么总成立的式子是()A.b 2-4ac >0B. b 2-4ac <0C. b 2-4ac ≤0D. b 2-4ac ≥06、如果方程9x 2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根,那么k=.7、关于x 的方程x 2+2k x+1=0有两个不相等的实数根,则k =. 8、已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根,那么符合条件的一组m ,n 的值可以是m=,n=.9、若关于x 的一元二次方程2210mx x -+=有两个相等的实数根,则m 满足___________。
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册 二次根式的性质教案 苏科版
教学目标:(1) 使学生能通过具体问题探求并掌握二次根式的性质:2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. (2) 会用二次根式的性质进行根式的化简.. (3) 通过观察一些特殊的情形,获得一般结论,使学生感受归纳的思想方法。
教学重点:二次根式的性质的掌握.教学难点:二次根式的性质的应用..教学方法:讨论法教学过程:一.情景创设1.在化简2(4)-时,李明同学的解答过程是22(4)44-==;张后同学的解答过程是2(4)4-=-. 谁的解答正确?为什么? 2.2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ ? 二、探索活动1.请同学们观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律,再和同学们进行交流.2222242;(2)42;393;(3)93==-====-==; ……2.发现:当a ≥0时,2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ a,当a <0,2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩ - a 3.明确 师生共同归纳可得:2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩4.比较2(0)(0)a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩与()2a 的区别 三、实际应用,巩固新知1.尝试练习:(1)=4 __ (2)=-2)5.1( (3)=-2)1(x ____ (x ≥1)2.讨论. :⑴化简2)3(π-=____⑵求使2)3(-x = 3-x 成立的条件________⑶(a )2=2a 成立的条件________四、练习1.P 60 练习 1,22. 口答:(1)=25 (2)=-2)7( (3)94(4)=+-442x x (x ≤2) 五)拓展与延伸(1).若b b -=-3)3(2+b=3,则( )A .b>3B .b<3C .b ≥3D .b ≤3(2).若x<0,则xx x 2-的结果是( ) A .0 B .—2 C .0或—2 D .2(3).已知:实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,化简:(a+1)2+2(b-1)2 -|a-b| (4).若2<x <3,化简x x -+-3)2(2(5)已知a ,b ,c 为三角形的三边,则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+(6)、请你观察思考下列计算过程:∵121112= ∴11121= ∵123211112=∴11112321=因此猜想76543211234567898= 。
第1章 一元二次方程小结与思考2-江苏省新沂市钟吾中学苏科版九年级数学上册导学案
钟吾中学九年级(上)数学导学案(13 )课题 一元二次方程小结与思考2课型 新授 章节 1学生活动教学补充学习目标:1.能够熟练解方程2.在用方程解决实际问题的过程中,提高抽象、概括、分析问题的能力。
一、思想方法的考查 1、待定系数法如果一元二次方程x 2+ax +b= 0的两个根是0和—2,则a= 2 ;b= 0 。
2、换元法用换元法解分式方程21221x xx x --=-时,如果设21x y x-=,并将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是 .3、整体法:(1) 已知m是方程210x x --=的一个根,则代数式2m m -的值等于 ( A )A 、1B 、-1C 、0D 、2(2) 若(x+y )(1-x-y)+6=0. 则x+y 的值为__3、-2__。
(3)()()010322222=-+-+y x y x ,则=+22y x ______5___。
应用数学思想及方法解决问题y 2-2y-1= 0把x+y 看作一个整体把x 2+y 2看作一个整体,注意取舍4、分类讨论(1)关于x 的方程..2(2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根,求k 的取值范围。
(2)若等腰△ABC 的一边长为5a =,另两边长b 、c 恰好是方程2(21)60x k x k -++= 的两个根。
求△ABC 的周长和面积。
二、应用题考查例1、有n 支球队参加排球联赛,每对与其余各队比赛2场。
如果联赛的总场次是132,问共有多少支球队参加联赛?类似问题小结:(1)三(6)班共有n 名学生,共握手_n(n-1)÷2_次;(2)三(6)班共有n 名学生,互赠贺卡,共有_______n(n-1)_____张贺卡。
(3)n 个任意三点不在同一直线上的点共可作____n(n-1)÷2___条直线。
跟踪训练:在一次聚会中,每两个参加聚会的人都相互握了一次手,一共握了45次手,问参加这次聚会的人数是多少?例2、把一根长为80cm 的绳子剪成两段,并把每一段绳子围成一个正方形。
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册 一元二次方程的解法(配方法)教案 苏科版
一、教学目标:1、知识目标:经历探究将一般的一元二次方程化为(x+m)2= n(n≥0)形式的过程,进一步理解配方法的意义。
2、能力目标:会用配方法解一元二次方程。
3、情感目标:体会转化的思想方法。
二、教学重点:会用配方法解一元二次方程三、教学难点:不能直接开平方解一元二次方程转时,借助于配方法来解。
四、教学类型:新授。
五、教学过程:(一)、情境创设1、填空。
(在横线上填上适当的数,使之成为完全平方)⑴2x+8x+_____=(x+_____)2 ⑵2x-5x+_____=(x-_____)2思考:添上一个什么数,可化为完全平方?2、解一元二次方程(x+3)2 = 5思考:如何解方程x2+6x+4 = 0呢?(二)探索活动2我们能否将方程x2+6x+4 = 0转化为(x+m)2= n的形式呢?先将常数项移到方程的右边,得x2+6x = -4即 x2+2·x·3 = -4在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方,即32后,得x2+2·x·3 +32 = -4+32(x+3)2 = 5解这个方程,得 x+3 = ±5所以 x1 = ―3+5 x2 = ―5(注:可以多举几例,综合得出“两边加上一次项系数一半的平方”的结论)由此可见,在左边不能直接变形为完全平方式时,只要加上一次项系数一半的平方,就可以配成完全平方式,然后就可以把它变形为(x+m)2=n的形式(其中m、n都是常数),如果n≥0,再通过直接开平方法求出方程的解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
(三)例题教学1:例1、解下列方程:(1)x2+3x-1 = 0 (2) 3 x2+8x+1 = 0小结:用配方法解一元二次方程的一般步骤:1、方程两边同时除以二次项系数;2、把常数项移到方程右边;3、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方,使左边成为完全平方;4、利用直接开平方法解之。
练习1、用配方法解下列方程:(1)x 2-4x +3 = 0 (2)-3 x 2+4x +1 = 0 (3)281030x x --= 例2、将下列各式进行配方:⑴22x +8x +_____=2(x +_____)2⑵32x -5x +_____=3(x -_____)2例3、用配方法说明:对于任意实数x ,3x 2+2x-2的值不小于37-。
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册 一元二次方程及其解法(直.
一元二次方程及其解法(直接开平方法)一、 做一做:1.问题1 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少? 2.问题2学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.3.思考、讨论:这样,问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢? 共同特点:(1)__________________________;(2)__________________________;(3)__________________________。
二、 一元二次方程的概念:上述两个整式方程中都只含有____________,并且未知数的____________,这样的方程叫做一元二次方程。
通常可写成如下的一般形式:ax 2+bx +c =0(a 、b 、c 是已知数,a ≠0)。
其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数,c 叫做常数项。
.三、 例题讲解与练习巩固1.例1:下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。
(1)3523-=+x x (2)42=x (3)2112x x x =-+- (4)22)2(4+=-x x2.例2:将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:1)y y =26 2)(x-2)(x+3)=8 3)2)2()43)(3(+=-+x x x3.例3: 方程(2a —4)x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?4.例4:已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2,求m 。
5.练习:1、将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4()()()()2311222-+=+--y y y y 2、关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ,在什么条件下是一元二次方程?在什么条件下是一元一次方程?3、课本第81页练习四、思考:如何解方程022=-x 呢?思考:形如())0(2≥=+k k h x 的方程的解法。
九年级数学上册 1.2 一元二次方程的解法 一元二次方程求根公式的推导素材 苏科版(2021年整理)
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一元二次方程求根公式的推导创新是一个学生学习数学的灵魂,是学业成绩不断提高的不竭动力.因此,同学们在数学学习的过程中,要 怀疑权威—-书本和老师,不人云亦云.敢于对同一个问题要另辟途径,探求问题的存在规律,只有这样,我们的数学发展水平才能不断提高.比如,我们课本对一元二次方程求根公式的推导是通过配方法得到的,即:对于方程ax 2+bx+c=0(a≠0)(1)方程两边同除以a 得:x 2+a b x+ac =0 (2)将常数项移到方程的右边得:x 2+a b x=﹣ac (3)方程两边同时加上(a b 2)2得:x 2+a b x+(a b 2)2=(a b 2)2﹣ac (4)左边写成完全平方式,右边通分得:(x +a b 2)2=2244aac b - 由a≠0得,4 a 2>0,所以,当b 2-4ac≥0时,2244a ac b -≥0, 所以,x=aac b b 242-±- 除了上述推导方法外,不知道同学们是否思考过:还有其他方法吗?多思出智慧,多练出成绩.我们也可以这样推导:方法1:ax 2+bx+c=0(a≠0)方程两边同乘以4a 得:4 a 2x 2+4abx+4ac=0方程两边同时加上b 2得:4 a 2x 2+4abx+4ac+b 2=b 2把4ac 移到方程的右边得:4 a 2x 2+4abx+ b 2=b 2-4ac将左边写成完全平方式得:(2ax+b )2= b 2-4ac当b 2-4ac≥0时,有: 2ax+b=±ac b 42-所以,2ax=﹣b±ac b 42-因为,a≠0所以,x=aac b b 242-±- 方法2:ax 2+bx+c=0(a≠0)移项得:ax 2+bx=﹣c方程两边同乘以a 得:a 2x 2+abx=﹣ac 方程两边同时加上(2b )2得:a 2x 2+abx+(2b )2=(2b )2﹣ac 整理得:(ax+2b )2=42b ﹣ac 即:(ax+2b )2=442ac b - 当b 2-4ac≥0时, ax+2b =±242ac b - 即:x=a ac b b 242-±- 同学们,没有做不到,只怕想不到.对于任何问题,大家都要想一想:这个问题还有其他的解法吗?问题都可以得到圆满的解决.。
【最新】苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》小结导学案
新苏科版九年级数学上册第一章《一元二次方程》小结导学案一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念(1)一元二次方程的概念(2)一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0),(3)一元二次方程的根:一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
2、降次——解一元二次方程(1)直接开平方法(2)配方法①方程化为一般形式;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③化二次项系数为1;④配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,使方程左边是完全平方式,从而原方程化为(mx+n)2=p的形式;⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了,如果p<0,则原方程无实数根。
(3)公式法:利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.其方法为:先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当⊿=b2-4ac≥0时,•将a、b、c代入求根公式x=a2ac 4bb2-±-(b2-4ac≥0)就得到方程的根.(4)分解因式法:①通过移项将方程右边化为0;②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积;③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式(1)⊿=b2-4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
(2)运用根的判别式,在不解方程的前提下判别根的情况:①⊿=b 2-4ac >0 方程有两个不相等实数根;②⊿=b 2-4ac =0 方程有两个相等实数根;③⊿=b 2-4ac <0 方程没有实数根;④⊿=b 2-4ac ≥0 方程有两个实数根。
(3)应用:①不解方程,判别方程根的情况;②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围;③应用判别式证明方程的根的状况(常用到配方法);注意:运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程,即:a ≠0。
*4、一元二次方程根与系数的关系(本部分内容为选学内容)(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x , 那么ac x x a b x x =-=+2121, (2)应用:①验根,不解方程,利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根; ②已知方程的一个根,求另一根及未知系数的值;③已知方程的两根满足某种关系,求方程中字母系数的值或取值范围;④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值,通常利用到:2122122212)(x x x x x x -+=+212212214)()(x x x x x x -+=-()|a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0,两根互为相反数;当⊿≥0且21x x =1,两根互为倒数。
1.1一元二次方程-江苏省新沂市钟吾中学苏科版九年级数学上册导学案
钟吾中学九年级(上)数学导学案(1)课题一元二次方程课型新授章节 1.1学生活动教学补充【导预疑学】(一)预学导航1.认识学习目标:(1)通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律,经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程,进一步使学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型。
(2)通过观察归纳一元二次方程的概念,会将一元二次方程化为一般形式。
2.把握学习重点:(1)对一元二次方程概念的理解(2)灵活运用一元二次方程概念解题(二)预学成果预习作业:阅读书本P80-81,回答下列问题1.像这样,只,且的整式方程叫做一元二次方程。
2.关于x的一元二次方程的一般形式是:。
其中叫做二次项.叫一次项.叫做常数项。
a叫做,b叫做。
注意:一元二次方程的一般形式中二次项系数a ≠0不能漏。
预学质疑:通过本节课的预习,你对一元二次方程的概念理解还有哪些疑惑?预学检测:1.一正方形桌面的面积是22m,求它的边长是多少?(列出方程即可)2.如图,矩形花园一面靠墙,另三面所围的栅栏的总长度是19m。
如果花园的面积是242m,求花园的长和宽。
(列出方程即可)上述问题所列方程是一元二次方程吗?提高学生自主学习的能力只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的ax2+bx+c=0(a≠0)ax2 :二次项bx :一次项c :常数项a叫做二次项系数,b叫做一次项系数x2=2设花园的宽为x(19-2x)x=24【导问研学】 问题一:如何识别一元二次方程? 活动: 下列方程中,哪些是关于x 的一元二次方程。
(1)0122=+x (2)02=++c bx ax (3)02112=-+x x(4)1222-=+x x x (5)3)1(22=+x 问题二:如何将一元二次方程化为一般形式,并准确说出二次项系数.一次项系数和常数项? 活动:将下列关于x 的一元二次方程化为一般形式,并分别指出他们的二次项系数.一次项系数和常数项。
(1)222=-x x (2)214x x =+ (3)1322+-=x x (4)2)3(-=+x x 问题三:如何确定方程中字母的取值? 活动:k 为何值时,关于x 的方程03)1()1(22=--+-x k x k : (1)是一元二次方程? (2)是一元一次方程?【导法慧学】 1.一元二次方程与一元一次方程联系是什么?2.一元二次方程的认识的关键是什么?师生共同分析学生板演关于x 的一元二次方程(1) (5)(1) x 2-2x-2=0a=1 b=-2 c=-2(2) x 2-4x-1=0 a=1 b=-4 c=-1(3)2x 2+3x-1=0a=2 b=3 c=-1(4)x 2+3x+2=0 a=1 b=3 c=2k ≠±1k=-1【导评促学】 1.把方程(21)(2)53x x x +-=-整理成一般形式后,得___, 其中一次项系数为___。
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册《一元二次方》程复习教案苏科版
一元二次方程复习一、教学目标:1、能明确目前有几种常见的方法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
2、能活用上述解法解一元二次方程。
二、教学重点:灵活运用各种一元二次方程的解法。
三、教学类型:习题课四、教学过程:1.到目前为止,我们学过的一元二次方程的解法有几种?直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法2.求一元二次方程的根的方法的选用(1)先看方程的形式,若形式上能用直接开平方,则用直接开平方解方程(如第3题中的(1)(2)两题);若形式上能用因式分解法中的提公因式法,则用因式分解法中的提公因式法解方程(如第3题中的(3)题)。
注意:此时一般不去括号(2)若形式上不能使用以上两种方法,则有括号去括号,有分母去分母,化为一般式。
若化为一般式后,能用因式分解法(主要是十字相乘法),则优先选择用此种方法(如第3题中的(4)(5)(6)三题);反之用求根公式法(如第3题中的(7)题)。
(3)若题中要求用配方法,则用配方法解方程,否则一般不用(如第3题中的(8)题)。
3.用适当的方法解下列方程:(1)036)12(42=-+x (2)0)1(9)12(422=--+x x(3) 63)2(2+=+x x (4)8)2(=+x x(5)3)27(-=-x x (6)1)2(-=-x x(7)4)2(=+x x (8)022212=--x x (用配方法)4.用适当的方法解下列方程:(1)08)13(212=--x (2)03)3(=+--x x x(3)6)5(-=+x x (4)21)67(=+x x(5)1)2(=+x x (6)08722=--x x (用配方法)(7)03)(2)(222=----x x x x (用换元法)5、拓展延伸(1)自由下落的物体的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=4.9t 2。
现有一铁球从离地面19.6m 高的建筑物顶部作自由下落,到达地面需要的时间是 。
江苏省新沂市第二中学苏教版九年级数学中考复习教案一元二次方程及其应用
用案人
授课时间
2015年月日
总第课时
课题
一元二次方程及其应用
课型
复习课
教学目标
1.了解一元二次方程及相关概念,会用适当的方法解一元二次方程,能以一元二次方程为工具解决实际问题;
2.理解一元二次方程与根的判别式之间的关系;
3.在问题解决的过程中进一步理解“二次化为一次”与“实际问题化为数学问题”的思想方法,并体验“检验的必要性”.
3.请你写出一个有一根为1的一元二次方程:.
4.某公司2006年的产值为500万元,2008年的产值为720万元,则该公司产值的年平均增长率为.
5.用配方法解方程 时,原方程应变形为()
A B C D.
6.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程 的根,则该三角形的周长为()
A.14B.12C.12或14D.以上都不对
(用案人完成)
当堂作业
课外作业
教学札记
2.例题
例1:(1)关于x的方程(m+3) x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程,则m=.
(2)某产品的生产成本为1000元,进过两次改进技术后该产品的成本为720元,若第一次改进技术成本降低的百分率是第二次的2倍,求第二次成本降低的百分率?设第二次成本降低的百分率为x,则可列方程为.
例2.(1)已知反比例函数 ,当x>0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程 的根的情况是()
A.有两个正根B.有两个负根. C.有一个正根一个负根D.无实数根
1)2(x-1)2=32(开平方法与因式分解法)
(2)3x2+4x=2(配方法与公式法)
教
学
过
程
教学内容
个案调整
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册 二次根式教案 苏科版
二次根式教学目标:1.经历二次根式概念的发生过程;2.了解二次根式的概念;3.理解二次根式何时有意义,何时无意义,会用解一元一次不等式的方法下求根号内所含字母的取值范围;4.会求二次根式的值。
教学重点与难点:重点:是二次根式的概念难点:确定二次根式中字母的取值范围.设计教学程序:一、合作学习,引入课题1、 符号“”表示的意义。
2、 我们已经遇到过16,0,a 这样的式子,表示的意义是什么3、 二次根号下的数叫做什么?4、 在实数范围内,什么数有算术平方根?所以被开方数只能是正数或0,也就是说,被开方数只能是非负数。
5、 观察这些式子有什么共同的特点。
6、 一般的,式子a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
a 叫做什么。
7、 被开方数a 取值范围是什么?8、 因此二次根式要有意义的条件是什么?例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1x、x (x>0)、12+x 、b a +,1x y+、x y +(x ≥0,y•≥0). 归纳总结:从形式上看,二次根式必须具备以下两个条件:( 1 ) 必须有二次根号;( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义?应用拓展① 当x 是多少时, 132++x x 在实数范围内有意义? ② 当x 是多少时,1+x 在实数范围内有意义?③ 当x 是多少时,12+-x 在实数范围内有意义?例3、①当x 是多少时,33x -在实数范围内有意义? ②当x 是多少时,x x 2352--+在实数范围内有意义? ③已知y=2x -+2x -+5,求xy 的值.④ 若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值二、a (a ≥0)的非负性:议一议:(学生分组讨论,提问解答)a (a ≥0)是一个什么数呢?老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出a (a ≥0)是一个非负数.总结归纳。
归纳小结(学生活动,老师点评)本节课要掌握:布置作业。
1.2.5一元二次方程求根公式-江苏省新沂市钟吾中学苏科版九年级数学上册导学案
有哪些疑惑?
预学检测:
已知一元二次方程 x2 + 2x − 3 = 6 , 则 a = ____,b = _____, c = ____,b2 − 4ac = ____ ; 1 2 -9 40
已知一元二次方程 x2 − 2x + m = 0, b2 − 4ac = 0, 则 m = _____, x = ______ ;
用公式法解方程: 5x2 − x − 2 = 0
11
a=5 b=-1 c=-2 b2-4ac=41 x= 1 41
10
1/3
【导问研学】
问题一:如何用公式法解下列方程 活动 1:解下列方程 (1)x2-3x+2=0
(2)2x2+x-1=0
(3) x2-3=2x
(4)y2+3y=4
师生共同分析 学生板演 (1)x1=1 x2= 2
2.(1)方程 x2 − 2x = 0 的根为 x1=0 x2= 2 ;
(2)方程 x2 + 6x −1 = 0 的根为 x= - 3 10 ;
3.方程 (2x −1)(x + 3) = 2x
的根是
x= - 3 4
33 ;
4. 用公式法解下列方程: (1)3x2-1=0
(1)x1= 3 x2= - 3
x= − b b2 − 4ac 2a
一般形式 a,b,c
2、 方程 5x2 − 7x − 6 = 0 中,a=______,
5 -7 -6 169
b=________,c=________, b2 − 4ac = ______ ,
有
此方程______实数根。
预学质疑:通过本节课的预习,你对公式法求解方程还
苏科版数学九年级上册《一元二次方程根与系数的关系》word导学案
一元二次方程根与系数的关系学习 目标 1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系。
2.能根据根与系数的关系和已知一根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知系数。
3.会利用根与系数的关系求关于两根的代数式的值。
重点难 点一元二次方程根与系数的关系及应用 难点探索一元二次方程根与系数的关系学生活动过程教师导学过程一、自主学习(独学)任务1:探索一元二次方程根与系数的关系思考:1.解方程并观察x 1+x 2, x 1·x 2与系数的关系方 程x 1x 2x 1+x 2x 1·x 2x 2-5x +6=0 x 2+3x -4=0 x 2-x -2=0x 2+3x +2=02.问题:观察两根之和,两根之积与方程的系数之间有什么关系?a,b,c 之间的关系:___________.练习:不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:的一个根是12,求它的另一个根和2.写出以-2与1为根的一元二次方程。
3.利用根与系数的关系,求一元二次方程2x +3x -1=0的两个根的平方和与倒数和。
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)12x x + 1.对学:一对一检查自学、检测情况,交流问题,及时更正,疑难问题,小组交流。
2.群学:已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数。
对学中不能解决的问题。
小组讨论交流解决。
三、拓展提升问题1已知实数a 、b 满足等式012,01222=--=--b b a a ,求baa b +的值。
问题2已知1,2x x 是关于x 的一元二次方程22(23)0x k x k -++=的两个实数根,并且12111x x +=,求k 的值。
四、当堂检测:1.已知方程22230x x -+=的两根为1x 和2x ,则12x x += ,12x x =____2.已知方程2390x x m -+=的一个根是1,则m 的值是________,另一根为 . 3.若方程22(4)0x m x m --+=的两根互为相反数,则m = .4.两个不相等的实数m ,n 满足m 2-6m =4,n 2-6n =4,则mn 的值为( )A .6B .-6C .4D .-45.若一元二次方程02=+-m x x 有两个不相等的实数根x 1、x 2,且满足21121-=+x x ,则m 的值是( )A . 2- B . 21- C . 21 D .2 6. 已知x 1、x 2是方程x 2-3x +1=0的两个实数根,则1211x x +的值是()A.3B.-3C.13D.17.已知α、β是方程2320x x -+=的两根,求α2+αβ-3α的值.五、小结反思1.收获2.困惑六、作业 必做 习题1.3第1.2题选作:已知关于x 的方程260x x k -+=的两个实数根是1x 、2x ,且221212115x x x x --=(1)求k 的值; (2)求22128x x ++的值.反思: 亮点: 不足: 改进。
江苏省新沂市第二中学九年级数学上册 根的判别式教案 苏科版
教学目标:1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况.2、会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围.3、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力教学重点:运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.教学难点:培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力教学方法:讨论法教学过程:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0 方程有两个不等实数根.Δ=0 方程有两个相等实数根.Δ<0 方程没有实数根.反过来也成立即方程有两个不等实数根Δ>0.方程有两个相等实数根Δ=0.方程没有实数根Δ<0.如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
知识点的应用不解一元二次方程,判断根的情况。
不解方程,判别2x2-7x+3=0根的情况练习:x2+4x=2说明:解这类题目时,一般要先把方程化为一般形式,求出△,然后对△进行计算,使△的符号明朗化,进而说明△的符号情况,得出结论。
②根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。
例2.已知一元二次方程kx2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围。
说明:当二次项系数也含有待定的字母时,要注意二次项系数不能为0,还要注意题目中待定字母的取值范围.练习:1.已知关于x的一元二次方程x2 = 2(1-m)x-m2 有两个实数根,求m的取值范围.2.关于x的方程(a -5)x2-4x-1=0有实数根,求a的范围③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3.求证方程x2-(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。
说明:此类题目要先把方程化成一般形式,再计算出△,如果不能直接判断△情况,就利用配方法把△配成含用完全平方的形式,根据完全平方的非负性,判断△的情况,从而证明出方程根的情况练习:1.已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=(k 为常数).求证:方程有两个不相等的实数根;2:求证:关于x 的方程x 2-kx +k -5=0有两个不相等的实数根.知识点的迁移:1.关于x 的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1,求m 的值及该方程的根。
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课题
一元二次方程根的情况
课型
新授
章节
1.2
学生活动
教学补充
【导预疑学】
(一)预学导航
1式 对根的情况的判断作用。
(2)能通过 的值判别一元二次方程根的情况。
(3)会由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值。
2.把握学习重点:
(1)进一步理解代数式 对根的情况的判断作用。
(2)能通过 的值判别一元二次方程根的情况。
(二)预学成果
预习作业:(预习课本90-91页,然后完成下面填空)
1.一元二次方程 的根的情况由____决定,这个式子叫做一元二次方程的_____________。
2.一元二次方程的根的情况:
(1)当 >0时,方程有____________的实数根;
(2)当 =0时,方程有____________的实数根;
(3)当 <0时,方程有____________实数根。
预学质疑:
通过对本课的预学我有这些问题想问老师同学的
预学检测:
1.当k_______时,方程 有两个相等的实根。
2.若方程 无实根,则b应满足的条件是____。
(2)x1= x2=
(3)没有实数根
(1)没有实数根
(2)两个不相等的实根
(3)两个不相等的实根
(4)两个相等的实根
先独立完成,互相批阅,找出错误,教师点拨
两个不相等的实根
方程 有两个相等的实数根
b2-4ac=16-4c=0
C=4=b
是等腰三角形
教学反思:
3.不解方程,判断方程根的情况。
(1) (2)
【导问研学】
问题一:如何用公式法解方程
活动:解下列方程。(目标1)
(1)
(2)
(3)
问题二:根与系数的关系的应用
活动1:不解方程,判别方程根的情况。(目标2)
(1)
(2)
(2)
(4)
活动2:(目标3,第二小题着重理解“有实根”三个字)
(1)若关于x的方程 有两个相等的实根,则k=___2__.
(2)若关于x的方程 有实根,则k的取值范围是_____k≤2______.
【导法慧学】
1.如何通过 的值判别一元二次方程根的情况?
2.如何由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值?
【导评促学】
1.下列一元二次方程中,有实数根的是(C)
(A) (B)
(C) (D)
2.已知关于x的方程 有两个不相等的实数根,则m的取值范围是___m>-1_____.
3.关于x的方程 的根的情况是_______.
4.已知a,b,c分别是 的三边,其中a=1,b=4,且关于x的方程 有两个相等的实数根,试判断 的形状。
提高学生自主学习的能力
b2-4ac
根的判别式
两个不相等的
两个相等的
没有实数根
k=4
b>
(1)两个不相等的实根
(2)没有实数根
师生共同分析
学生板演
(1)x1= 1,x2=-1.5