《数学物理方程》第章典型方程和定解条件

Ou方向受力: T2 sin2 T1sin1 Fs ma sutt
s x, sin tg ux , cos 1
有T1 T2 T
utt
T (ux )M2 (ux )M1 x
F
令x 0 得utt Tuxx F
一维波动方程 utt a2uxx f ( x, t)
强迫振动 f ( x, t) 0, 线性非齐次方程
n
1 导热体内温度u( x, y, z, t)的方程
用k表示导热系数，F( x, y, z, t)表示热源强度
任取体积V包含M( x, y, z)点.考虑[t1, t2 ]时段内传热量
1) 通过表面传入Q1
t2 (
t1
u k ds)dt
n
n
2) V内热源产生Q2
(t2
t1
Fdv)dt
•
自由振动 f ( x, t) 0, 线性齐次方程
2.膜振动方程 utt a2 (uxx uyy ) f (x, y, t) 三维波动方程 utt a2 (uxx uyy uzz ) f (x, y, z, t)
3.传输线方程
基尔霍夫定律vixxxx
LCitt LCvtt
( RC ( RC
柔软—只承受沿切线方向的张力，不产生抗弯曲力
假 均匀— 线密度ρ为常数。 设 横向—质点的位移 u( x, t) 和外力F( x, t) 沿垂直方向。
振动微小—振幅及切线角度很小,高阶项可忽略.
u
M1
T1 1
o
x1
Fs
M2
ds
x
x2
微元分析法
2 T2
lx
Ox方向受力:T1cos1 T2cos2 0
3. 定解问题适定 解存在、唯一, 且稳定
二 三种适定的定解问题
各定解问题的适定性已在数学上给出了理论证明
§3 定解问题的适当提法
一 定解问题的适定性
1.定解问题 : 偏微分方程 DE 定解条件( BC 和/或 IC )
2. 描述确定物理过程：定律+相应约束条件
建立数学定解问题：方程+适当定解条件, 解唯一
定 解 问 题 的 解 必 须唯存一在
—无解表明“过定” —多解表明“不定”
稳定 : 对定解条件连续依赖
3 课程特点
涉及高等数学知识多 ：偏导, 积分, F 级数, 常微方程 作业计算量大，运算较繁
4 课程成绩
考试占70%，闭卷考试
平时作业30%
第1章 典型方程和定解条件
基本概念 三种基本类型方程, 三种典型定解问题
§1 典型方程的建立
一 波动方程 双曲型方程
1.弦振动方程 微小横振动中位移u(x,t)的方程
三维热传导方程 ut a2 (uxx uyy uzz ) f (x, y, z, t)
有热源 f ( x, y, z, t) 0(非齐), 无热源 f ( x, y, z, t) 0 (齐次)
2 导热板 ut a2 (uxx uyy ) f (x, y, t) 二维热传导方程
3 导热杆 ut a2uxx f (x, t)
3 Laplace方程 uxx uyy uzz f ( x, y, z)
过程是与t无关的问题, 不给初始条件
0个
二 边界条件BC 有限远边界上的状态
1 边界 一维 — 两端点x 0和x l
二维 三维
— —
平 空
面 间
封闭 封闭
曲 曲 面 线
n表 示 外 法 线 方 向
2 边界条件的提法 设M是边界上 — 点
第1类BC 给定未知函数u在边界上的值
u( M , t) ( M , t) M
第2类BC 给定未知函数u在边界上的空间导数值
一维 ux (M , t) u0 (t)
二三维 u (M, t) (M, t)
n
M
第3类BC 给定未知函数u在边界上的组合值
齐次杆B一C的维:热给(u量x定自函u由 数) x发M散0u的到M (边周t)围界三温条维度(件nu是uMu度) M的 介 质(M中, t去)
《数学物理方程》课程介绍
1 研究对象 数学物理方程—物理问题中的偏微分方程
物理场特点 以空间+时间为自变量 ( x, y, z, t) 个数 4 微分方程最高阶数通常 2
空间坐标 x,y,z 为双向，时间坐标 t 为单向
2 研究内容 二元二阶线性偏微分方程的求解方法
分离变量法ch2 行波法 积分变换法ch3 格林函数法ch4 不介绍相关数学理论问题
一维热传导方程
三 Laplace方程 椭圆型方程
1 热传导的稳定状态
若热传导趋于平衡,温度u(x,y,z,t)趋于u(x,y,z)
当t ,有 u 0,热传导方程转化成为 t
Laplace方程 uxx uyy uzz 0
Poisson方程 2 静电场电位
uxx uxx
uyy uyy
uzz uzz
1 波动方程 utt a2 uxx f ( x, t) t 0
பைடு நூலகம்
给定t 0时刻的初始位移u(x,0) (x) 给定t 0时刻的初始速度ut ( x,0) (x)
2个
2 热 传 导方 程ut a2 uxx f ( x, t) t 0
设过程给定t 0的初始温度u( x,0) ( x) 1个
GL)it GL)v t
GRi GRv
当G
R
0时，itt
1 LC
i
，
xx
vtt
1 LC
v xx
一维波动方程
4.电磁场Maxwell
方程
utt
1 (uxx
uyy
uzz )
u( x, y, z, t )可表示E和H的任一分量
二 热传导方程 抛物型方程
能量守恒定律 传热Fourier定律 Q k u ds
f ( x, y, z) 0 0
实际中很多问题都归结为上述三种类型的方程
§2 初始条件与边界条件
偏微分方程描述某一类现象的一般规律, 有无数多个解
描述具体物理过程 一般规律+特定附加条件
描述具体的弦振动问题
波动方程+开始时的位移与速度+端点的状况
后两者是附加条件, 数学上称为定解条件
一 初始条件IC 初始时刻 t=t0 的(能量)状态
VM
3) V内温升吸热Q3
c( t2 u dt)dv
t1 t
Q1
Q2
Q3和
k
u n
ds
(ku)dv
控制体法
[t2 t1
(cut (ku) F )dv]dt 0
由于V和[t1 , t2 ]是任意取的,所以在M( x, y, z)处必然有
cut (ku) F 0
若k为常数, cut k (u) F