圆的知识点归纳总结大全
圆的图形知识点总结
圆的图形知识点总结一、圆的定义圆是平面上的一种特殊图形，它的定义如下：在平面上取定一个点O，再取定一个与点O不重合的点A，作以OA为半径、O为圆心的圆，得到的图形就是一个圆。
圆可以用数学符号表示为圆O(A)，其中O表示圆心，A表示半径。
圆的定义也可以从点和圆心的距离来定义：平面上的一个点到另一点的距离等于圆心到该点的距离，则这个点在圆上。
二、圆的性质1. 圆的圆心和半径圆的圆心是圆的中心点，用O表示。
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
圆的半径长度相等。
2. 圆的直径圆的直径是通过圆心的直线段，它的长度是圆的两个边缘之间的最长距离。
圆的直径等于两个半径之和，即d=2r。
3. 圆的周长圆的周长是圆上所有点到圆心的距离之和。
圆的周长公式为C=2πr，其中π为圆周率，r为半径。
4. 圆的面积圆的面积是指圆内部的空间大小。
圆的面积公式为A=πr^2，其中π为圆周率，r为半径。
5. 圆的切线与圆相切的直线称为圆的切线。
圆的切线与半径的夹角是90度。
6. 圆的弦连接圆上两点的线段称为圆的弦。
圆的直径是圆的一个特殊弦，它同时也是圆的最长弦。
7. 圆的圆心角以圆心为顶点的角称为圆心角，圆心角的度数等于其所对的圆周弧所对的的圆心角度数。
8. 圆的内切圆和外切圆圆内切与给定的另一个圆，是指一个圆正好与另一个圆相切的情形；圆外切于给定的另一个圆，是指一个圆与另一个圆相切，并且只有一个公共切点的情形。
9. 圆的相似两个圆的半径比相等，而它们的圆心之间的距离比也相等，这两个圆就是相似的。
10. 圆的交线若两个圆的半径之和大于它们两圆心的距离，则两个圆相交，它们相交的部分称为交线。
11. 圆的点、弦、弧的关系圆的角度、弦长、圆周弧长、圆切线的长度等之间有一系列重要的关系。
三、圆的公式和定理1. 泰勒级数由圆上各个点的横纵坐标与半径的均方差为一，可得泰勒级数： x^2+y^2=r^2。
2. 勾股定理圆上的三角形，其勾股定理：若ΔABC为三角形，其中点A处于圆上，点B处于圆心，点O处于圆心，则有AC^2=BC^2+AB^2。
圆的知识点归纳总结大全
圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
d< r（r > d）点P在⊙O内d= r 点P在⊙O上d > r（r <d）点P在⊙O外7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。
29、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
圆知识点总结及归纳
第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。
圆知识点归纳总结
圆知识点归纳总结圆是平面几何中的重要图形，具有许多特殊的性质和应用。
在学习圆的相关知识时，我们需要了解圆的定义、性质、公式、相关定理等内容。
下面，我们将对圆的知识点进行归纳总结。
一、圆的定义和性质1.圆的定义圆是平面上到一个固定点距离不超过一定值的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，到圆心的距离叫做半径，通常以字母r表示。
2.圆的性质(1) 任意一条弦所对应的圆心角相等。
(2) 圆的半径垂直于弦，且以弦的中点为端点。
(3) 圆内接角在同一个弧上的两个弦等于一半的圆周角。
(4) 圆周角等于它所对的弧的一半。
(5) 等圆周角的两个弧所对的圆心角相等。
(6) 相交弦的外接角相等。
(7) 圆内切于另一圆的直径的两圆相交。
二、圆的公式和关系1. 圆的周长和面积(1) 圆的周长：C=2πr(2) 圆的面积：S=πr²2. 圆的弧长和扇形面积(1) 圆的弧长公式：L=2πr(α/360)，其中α为圆心角(2) 圆的扇形面积公式：A=1/2r²α，其中α为圆心角的度数3. 圆与直线、圆与直线的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相离、相切、相交(2) 圆与直线的位置关系：圆内切、圆外切、相交三、圆的相关定理和推论1. 弧长定理(1) 弧长定理1：圆的所有圆心角的度数和一定为360°(2) 弧长定理2：如果一个角的角度是一个圆的圆周角的1/2，那么这个角的对应弦长就是这个圆的半径。
2. 弦长定理(1) 弦长定理1：两条相等的弦所对的两条圆弧是相等的。
(2) 弦长定理2：相等弦等，相等弦所对的字母也相等。
3. 圆心角定理(1) 圆心角定理：这个角的角度是这个圆弧的角度的一半。
4. 圆的切线定理(1) 切线定理1：切线与半径垂直，且切点处的切线与圆的切线平行。
(2) 切线定理2：切线与半径的成正比，切线的长度等于切点到圆心的距离。
四、圆的相关应用1. 圆的综合应用(1) 圆的几何问题：例如圆心角、圆周角、弧长等问题(2) 圆的物理应用：例如汽车行驶的弧形路径、转动物体的圆周运动等(3) 圆的工程应用：例如建筑中的圆形构造、机械运动中的圆弧运动等2. 圆的新颖应用(1) 圆的信息技术应用：例如在计算机编程中的圆的相关算法和数据结构(2) 圆的工业应用：例如在制造工艺中的圆形零件加工、在生产中的圆形产品设计等以上就是圆的相关知识点的归纳总结。
圆有关的知识点总结公式
圆有关的知识点总结公式一、圆的定义圆的定义是平面上到一个定点距离恒定的点的集合。
这个定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的边界称为圆周。
圆可以用圆心和半径来描述，也可以用圆周上的点的坐标来描述。
圆的定义在数学中是基础性的概念之一。
二、圆的性质1. 圆的直径是圆周上任意两点之间的最长线段，它恰好等于圆周的两倍。
圆的半径是圆心到圆周上任意一点的距离。
2. 圆的周长公式为：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个数学常数，约等于3.14159。
3. 圆的面积公式为：A=πr²，其中A表示圆的面积。
4. 圆的内切和外切问题：一个图形是否能内切于圆，或外切于一个圆，是几何中一个重要的问题。
5. 圆的相关角度问题：圆周角、圆心角等概念与性质。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：C=2πr这个公式表示了圆的周长与半径之间的关系，即周长等于半径的两倍乘以π。
2. 圆的面积公式：A=πr²这个公式表示了圆的面积与半径之间的关系，即面积等于半径的平方乘以π。
3. 圆的弧长公式：L=θr这个公式表示了圆的弧长与圆心角的大小以及半径的关系，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。
4. 圆的扇形面积公式：A=1/2θr²这个公式表示了圆的扇形面积与圆心角的大小以及半径的关系，即扇形面积等于圆心角的大小乘以半径的平方再除以2。
5. 圆的相似性公式：S₁/S₂=r₁/r₂这个公式表示了两个相似圆的面积与半径的关系，即两个相似圆的面积之比等于它们半径的平方之比。
四、圆的应用圆在生活和工作中有许多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 圆的几何学应用：圆的几何性质是几何学中的重要内容，它们在建筑、绘图、地理等领域都有广泛的应用。
2. 圆的工程应用：在工程中，圆形轮胎、圆形齿轮、圆形管道等都是圆的应用场景。
3. 圆的数学模型应用：在数学建模中，圆常常被用来描述一些现实中的问题，如行星轨道、电子轨道等。
数学圆知识点总结
数学圆知识点总结在学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
下面是小编整理的数学圆知识点总结，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
数学圆知识点总结11、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r22、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35、①两圆外离d﹥R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r)⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pr/2p表示正n边形的周长，r为边心距42、正三角形面积√3a2/4a表示边长43、如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R/18045、扇形面积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/2外公切线长=d-(R+r)数学学习中常见问题分析大部分学生在学习中或多或少的都会积累一些问题，这些问题平时我们可能不是很在意，那么到了初二后就会突显出来。
(完整版)初三数学圆知识点复习专题经典
A
D
E
O
C
B
线长是这点到割
（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
（如上图） 。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线
∴PC PB PD PE
例 1. 如图 1，正方形 ABCD的边长为 1，以 BC为直径。在正方形内作半圆 于 E，求 DE： AE的值。
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称 1
推 3 定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的 1 个相等，则可以推出其它的 3 个结论，
即：① AOB DOE ；② AB DE ； ③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD
O A
C
E F D
∴C D
推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧
C
是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径
或∵ C 90
B
A
O
∴ C 90
∴AB 是直径
推论 3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是
C
直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB
B
A
推论 1：（ 1 ）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结
圆的所有知识点总结
圆的所有知识点总结圆是一个非常基础且重要的几何图形。
它在数学、物理、工程以及日常生活中都有广泛的应用。
下面是关于圆的一些知识点总结。
1. 定义和性质：圆是由平面上距离中心点相等的所有点组成的集合。
圆有以下性质：- 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用大写字母表示，如O。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用小写字母r表示。
- 直径：通过圆心两个端点的线段称为直径，通常用字母d表示。
- 弧长：圆的一段弧的长度称为弧长，通常记作s。
- 圆周：圆的边界称为圆周或圆周线。
2. 圆的元素关系：- 相切：两个圆的圆周上有且只有一个公共点时，称这两个圆相切。
- 相离：两个圆没有公共点时，称这两个圆相离。
- 内含：一个圆完全包含于另一个圆内部时，称这两个圆内含。
- 相交：两个圆有公共点但不相切时，称这两个圆相交。
3. 圆的重要公式：- 圆的周长：圆的周长是圆周上的线段的长度，可以用公式C = 2πr表示，其中π是一个数学常数，约等于3.14159，r是圆的半径。
- 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点所构成的区域的大小，可以用公式A = πr^2表示。
4. 圆的相关性质和定理：- 圆与直线的关系：如果一个直线与一个圆相交于两个不同的点，那么这条直线被称为圆的切线。
如果一个直线只与一个圆相切于一个点，那么这条直线被称为圆的切线。
- 切线的性质：切线与半径的关系是垂直的，即切线与半径的相交点是直角。
这个性质可以用于解决一些几何问题。
- 弦的性质：弦是圆上连接两个不同点的线段。
弦的性质包括：半径和弦垂直相交，相等弦对应的弧相等，且两个半径将相等的弧等分。
5. 圆的应用：- 圆是建模现实世界中很多问题的重要工具。
例如，轮胎、圆形房间、圆形池塘等都可以通过圆来进行建模和计算。
- 在物理学中，圆的运动是一种重要的运动方式。
例如，行星绕太阳的运动、钟摆的运动等都可以用圆的运动来描述和计算。
- 在工程学中，圆可以用于设计和构造，例如汽车工程、建筑设计中经常用到的圆形结构。
《圆》数学知识点归纳总结
《圆》数学知识点归纳总结《圆》数学知识点归纳总结在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点就是学习的重点。
为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编为大家整理的《圆》数学知识点归纳总结，仅供参考，大家一起来看看吧。
《圆》数学知识点归纳总结篇1一、认识圆1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的。
用字母表示为：d=2r或r=8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
(经过圆心的任意一条直线或直径所在的直线)9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：长方形只有3条对称轴的图形是：等边三角形只有4条对称轴的图形是：正方形;有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
二、圆的周长1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数(π)。
3.圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π(pai)表示。
(1)、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结圆是数学中一个非常重要的图形，在我们的日常生活和学习中都有着广泛的应用。
下面就来对圆的认识相关知识点进行一个全面的总结。
一、圆的定义1、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
2、以点 O 为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”。
二、圆的相关元素1、圆心圆心是圆的中心，决定了圆的位置。
2、半径连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
半径决定了圆的大小。
在同一个圆中，半径都相等。
3、直径通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径是圆内最长的线段。
在同一个圆中，直径等于半径的 2 倍，用字母表示为 d ＝ 2r 。
4、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
直径是圆中最长的弦。
5、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
6、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
7、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
2、圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、圆的周长和面积1、圆的周长圆的周长 C ＝2πr 或 C ＝πd ，其中π是圆周率，约等于 314 ，r 是半径，d 是直径。
2、圆的面积圆的面积 S ＝πr² 。
五、弧长和扇形面积1、弧长公式n°圆心角所对的弧长 l ＝（nπr）／180 ，其中 n 是圆心角度数，r 是半径。
2、扇形面积公式（1）S ＝（nπr²）／360 ，其中 n 是圆心角度数，r 是半径。
（2）S ＝ 1/2 lr ，其中 l 是弧长，r 是半径。
六、圆与其他图形的关系1、圆与直线的位置关系（1）相离：直线与圆没有公共点。
（2）相切：直线与圆有且只有一个公共点，此时圆心到直线的距离等于半径。
圆知识点总结归纳整理
圆知识点总结归纳整理圆是平面上各点到一个固定点的距离等于定长的轨迹。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
二、圆的基本性质1. 圆周圆的周长称为圆周，用C表示。
设圆的半径为r，则圆的周长C等于2πr。
2. 圆的面积圆的面积称为圆面积，用S表示。
设圆的半径为r，则圆的面积S等于πr²。
3. 圆的相关角圆内的两条弧所对的圆心角的大小只与这两段弧长有关，与这两段弧所在的圆的半径的长短无关。
4. 圆锥以半径OA为轴在O平面上旋转一全平面角为2π的射线所形成的图形称为圆锥，其中圆底称圆锥的底面。
5. 圆球以直径为轴在全部空间中旋转一全空间角为2π的半径OA所形成的图形称为圆球。
6. 圆的切线如不相交，则平行，如相交，则平行直线两条直线都位于同一边。
circlecut27. 圆与三角形的关系设有半径OA，OB相等的两圆。
①两圆内公共部分的面积等于第二个圆的面积减去两圆的要公共部分的面积②两圆公共部分的面积等于1/2两圆的要公共部分的面积和两圆外公共部分的面积之和。
8. 圆与多边形的关系（1）若多边形所有角所对的弧等都相等。
定理：多边形内接圆，一定存在。
（2）充要条件：多边形的内接圆唯一、多边形的外接圆唯一。
有且只有一个外切圆、内切圆。
ostringstream三、圆的相关定理1. 切线定理定理1：若直线t是圆O的切线，则切点P到圆心O的距离OA与直线t的夹角等于直线t到切点P的两线段的几何平均值。
定理2：首先设直线t是圆O的外切线，则切点P到圆心O的距离OA等于2. 直线t到切点P的两线段的几何平均值。
2. 切线与切线的位置关系（1）外公切线定义：相切的圆是指有公共切线的两个圆。
交定理：不同圆的外公切线只有一条。
外心定理：直线通三圆的外公切线的外部。
decoder（2）内公切线定理：不同有内公切线的两圆，一定相交。
内切角：两圆内公切线的夹角。
逆时针证明时针证明（3）共切线定义：两个圆有三条直线同时相交的直线。
圆的知识点总结归纳
圆的知识点总结归纳圆是几何学中最基本也是最重要的概念之一，它在生活中随处可见，应用广泛。
本文将从圆的定义、性质、相关定理以及应用等方面进行总结归纳。
一、圆的定义圆是由平面上距离某一定点（圆心）相等的所有点构成的图形。
二、圆的性质1. 圆心和圆的关系：圆的任意一点到圆心的距离相等。
2. 圆上任意两点之间的关系：圆上任意两点到圆心的距离相等。
3. 圆的直径：通过圆心的两个互相垂直的直线段称为圆的直径，直径的长度是圆的最大长度。
4. 圆的半径：圆的半径是由圆心到圆上任意一点所组成的线段，半径的长度是圆的特定长度。
5. 圆周：由圆上所有的点组成的曲线称为圆周，圆周是圆的重要组成部分。
三、圆的相关定理1. 圆心角定理：圆心角的度数等于其所对应的弧上的弧度数。
2. 弧长公式：弧长等于弧所对的圆心角的弧度数除以360度再乘以周长。
3. 弧与弦的关系：两个互相垂直的弦所对应的弧等于其所对应的圆心角的一半。
4. 弦与切线的关系：切线与其所对应的弦垂直，并且切线与半径的夹角等于所对应的弦与半径的夹角。
5. 切线定理：从圆外一点引圆的两条切线相交所决定的弦，其两端作角的正切等于该点到圆心的距离除以圆的半径。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过测量圆的直径、半径、弧长等参数，可以计算出圆的面积和周长。
2. 圆的描绘：利用圆的性质，可以在平面上准确地绘制出圆的形状，常见于建筑设计、机械制图等领域。
3. 圆的运动：机械系统中的转动运动常常套用圆的概念，通过控制圆的半径和角速度，实现物体的旋转。
4. 圆的光学应用：在光学系统中，例如望远镜、显微镜、摄影镜头等，通过对圆形透镜的设计和使用，可以实现光的聚焦、放大等功能。
5. 圆的几何推理：在几何证明中，圆的性质经常被应用，例如通过利用切线定理证明两条直线平行。
综上所述，圆作为几何学中重要的概念之一，其定义、性质、相关定理以及应用十分广泛。
对于学习和理解圆的知识点，我们可以通过理论的学习和实际的应用相结合，加深对圆的理解和应用能力，进一步发展几何学和数学的相关知识。
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圆的知识点归纳总结大全
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：
➢平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
➢平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距
五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。
7、（1
（2
个点的距离相等。
（直角三角形的外心就是斜边的中点。
）
8、直线与圆的位置关系。
d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。
2
9A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。
则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。
（1）d=r 时，直线是圆的切线。
切点不明确：画垂直，证半径。
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。
切点明确：连半径，证垂直。
11、圆的切线的性质（补充）。
（1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。
d = r 直线与圆相切。
d < r （r > d 直线与圆相交。
d > r （r <d 直线与圆相离。
d = r 点P 在⊙O 上
d < r （r > d 点P 在⊙O 内 d > r （r <d 点P 在⊙O 外
12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个
点到圆的切线长。
（2）切线长定理。
∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB ，∠1=∠2。
13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。
求：AD 、BE 、CF 的长。
分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3 （3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。
求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ，
得CD=CE=r
AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r b －r ＋a －r=c 得r=2
c
b a -+ 14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。
（2）相交弦定理。
圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。
（3）切割线定理。
12（2）图
P
13(2)图
6
如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB ·PC 。
（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC ·PD 。
15
（1）外离：d >r 1＋r 2，
交点有0
个； 外切：d=r 1＋r 2， 交点有1个；
相交：r 1－r 2<d <r 1＋r 2，交点有2个； 内切：d=r 1－r 2， 交点有1个； 内含：0≤d <r 1－r 2， 交点有0个。
（2）性质。
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。
L=
=
⨯R n π2360180
R
n π （2）扇形的面积用S 表示。
S=36036022
R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 2
12180=⨯π （3）圆锥的侧面展开图是扇形。
r 为底面圆的半径，a 为母线长。
✧ 扇形的圆心角α=0360⨯a
r
✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2
（1）图
（2）图 （3）图
（4）图 相
切 相离。