结构优化设计的准则法

初始方案为：
A [1,1]T
0.1
A2 2A1
μ
1
2 A12
2 A1A2
2A1
4 3
A2
3）迭代计算
μ(0)
A(0) 2
1
2[
A(0) 1
]2
2 A1(0)
A(0) 2
2
A(0) 1
4 3
A(0) 2
2
A(0) 1
2 2 2 1
2(2 3
例1.3 同样考虑上述例子，结构布局、外载方向也 相同，但数值改为 P1 40000N P2 20000N ，此时需
取 A1 、A2 、A3 3个设计变量。
对应于外载P1情况的应力为
11 21
31
2 A1A3
P1 A1 A2
A2
A3
A2 2 A3
A2
2
A3
对应于外载P2情况的应力为
;
4
1.43
5 4.04
• 修正初始设计向量
Ai
A(0) i
*
(0) i i
A(0) i
*
(0) i
A1
1.43 1.43
A
A2 A3
A(0)
* (0)
1.043
10.4.83
A4
1.43
1.43
A5
4.04 4.04
其中第三元件的断面面积按计算为0，小 于规定的最小尺寸 Amin 0.8 ，因此应 取 Amin 0.8 。
/
A2,L , N2L / LL
A2
[ij ]
N n1
/
An
,
Nn2
/
An
,L
,
N nL
/
An
3）计算应力比矩阵
11 /[1 ],12 /[1 ],L ,1L /[1 ]
μ
[1, 2,L
, L]
21 /[ 2 ], 22
L
L
/[2 ],L ,2L /[2 ]
L L
[ij ]
n1 /[n ],n2 /[n ],L ,nL /[ n ]
始向量为：
A(0)
A(0) 1
A(0) 2
A3(
0)
1 11 ;
A(0) 4
1
A5(0) 1
• 根据平衡条件，求出各杆内力：
N1 10000
N
N2 N3
100000
;
N
4
10000
N5 14140
N1
N2
N3
A(0) 1
A(0) 2
A(0) 3
• 对于静定结构，由于其内力不随元件断 面尺寸的改变而改变，故只需进行一次 修正设计 ，各元件的工作应力便都达到
许用应力值，或元件的尺寸取为规定的 最小尺寸。各杆的断面尺寸不能取得比 上述尺寸小，否则将不满足强度要求或 几何约束条件。因此，满应力设计对静 定结构而言，就是最轻质量设计。
4.超静定结构
式中：ij为在第j种工况的作用下，第i根杆件的应力比。
我们来分析应力比取值情况：
ij 1
说明此杆的应力大于许用应力，需要增加 此杆的截面积；
ij 1 说明此杆的应力小于许用应力，需要减小 此杆的截面积；
可见可以选择 ij作为调整各杆截面积的 依据。
4）形成应力比列阵
1
2
M
n
5）调整方案及收敛判别
1.静定结构
例1.1 以5杆桁架为例。 外力 P 10000
许用拉应力 7000 许用压应力 3500
杆断面最小尺寸 Amin 0.8
求各截面最小尺寸并使 结构最轻
a④
a ①
⑤
③
② P 10000
• 首先假定一个初始设计（静定结构可以
不必这样做，但为了和静不定结构设计
统一，假定初始断面面积为1），设初
2 A2 A1A2 2 A1 A2 2 2
A3
4 1.5
A2
A1 A2
2 A1 A2
A3
2 A1 A2 A1A2 2 A1 A2
当 2A1 A2 2 2 0 时
A3
2 A2 A1A2 2 A1 A2 2 2
且需
A1A2 2 A2 0
A3
4 1.5
A2
A1
A2
2 A1 A2
10000 100000
;
N
4
A(0) 4
10000
N5 A5(0) 14140
• 计算应力比
(0) i
(0) i i
需根据 计算的应力为拉应力或压应力取
相应的许用应力
。 i
(0) i
和
i 两者
符号要一致，可取绝对值进行计算。
1 1.43
2 3
1.043
……
……
0.707 0.414
3.8284
0.094 0.227
0.0541 0.1847
……
2.414
2.5081
……
A(96)
0.9898 0.0144
1.0001 0.9898
0.0001 0.0101
2.8141
满足精度要求的设计：
A(96)
0.9898 0.0144
W 2.8141 l
i max ij 1 jL
若 1 i
否则 Ai i Ai
A* A
6）把调整方案作为初始方案A [ A1 A2 L An ]T 重新 迭代。转2）继续迭代。
图中ε是事先指定 的小正数。
对于静定桁架， 各杆的内力与杆 件的截面积无关， 因此，上面的迭 代公式只要一次 迭代。
对于超静定结构， 是一个重复迭代 的过程。
• 一般来说，只有静定结构在单一荷载作用 下，满应力设计才可能是最轻设计（由于 静定结构的的特点决定）；而超静定结构 的情况就完全不同了，由于超静定结构各 构件的内力与构件截面尺寸有关，每次调 整截面后，将产生内力重分布。近似解。
2.满应力准则法中一些概念 1）满应力
结构元件的应力达到容许应力或临界应力。
2）工况
结构是在多种荷载作用下，每一种荷载我们称为 一种工况。
3）应力比
元件的工作应力与容许应力之比。
i i /[i ]
3.满应力计算（应力比法） 下面我们以桁架为例，介绍满应力准则法。
设桁架是由n个杆件组成的，受到L种工况 的荷载作用：
设第i 杆在第j 工况下的内力为 Nij(i=1,2,…，n; j=1,2,…,l),第i杆在各种工 况下的最大内力为 Nimax，最小重量设计可归结
• 优点：收敛速度快，与优化问题的规模关 系不大,重分析次数与设计变量数目没有直 接关系
• 缺点：有局限性，适用于结构布局及几何 形状已定的情况，设计是接近最优。
2-1结构优化设计的满应力准则法
1.满应力设计基本思想
从结构力学的原理出发，以满应力为其准则，使杆件 的材料能够得到充分利用的一种方法。
我们可以利用图解法求解：
A2 2
2
A1
W
l
这是一族平行线，其斜率：
dA2 2 2
(a)
dA1
第1个约束方程的约束界面：
其斜率：
A2
2 A12
P1
[ ]
2 A1
P1
[
]
2
A1
(2 dA2 dA1
2
A1
P1
[
]
2
)(2
A1
P1
[
]
)
(2
(
P1
[
]
2
A1
)2
2
A1
P1
[
]
2
2 A12 )
所以除静定结构外，满应力设计并不一定具有最 小重量的。就其几何意义来说，每一约束方程就 相当于n维空间的一个超曲面，所以满应力设计 点就落在n个超曲面的交点上。
Hale Waihona Puke Baidu• 2)收敛性
• 对于静定结构，内力与设计变量无关，只要运行 一次设计运算就可以达到满应力设计，所以自然 是收敛的。
• 对于静不定结构，可以知道，如果对设计变量没 有几何约束要求，那么利用满应力设计时，结构 可能退化成若干种静定结构，它们仍能承受原来 的几种情况的载荷，因此，满应力设计的结果就 不是唯一的。这就引起人们对满应力设计收敛性 的疑问。
结构分析：
W l(2 2A1 A2)
A1A2 2 A12 2 A12 2 A1A2
P1
N
2 A1A2 2 A12 2 A1A2
P1
A1A2 2 A12 2 A1A2
P1
σ
A2 2 A12
2 A1 2 A1A2
P1
2 A12
A1 2 A1A2
,NL]
N
21
,
N
22
,L
,
N
2
L
L L L L L L
[Nij ]
N
n1,
N
n
2
,L
,
N
nL
式中：Nij为在第j种工况的作用下，第i根杆件的轴力。
进而求得各杆应力：
N11 / A1, N12 / A1,L , N1L / A1
σ
[1,2,L
,L]
N
21
/
L
A2, N22 L
如果继续一直迭代下去：
A( )
1 0
本题的数学模型：
可见退化为静定结构。
minW(A) l(2 2A1 A2)
A2 2 A12
2 A1 2 A1A2
P1
[ ]
s.t.
2 A12
A1 2 A1A2
P1
[ ]
2 A12
A1, A2
2 A2 2 A1A2 0,
P1
[ ]
12
22
32
A2
2 A1A3
P1 A1 A2
A2 A3
2A1
A2
2
A1
代入具体数据后，可写出不等式约束条件为
A3 2A1 A2 2 2 2 A2 A1A2 (a)
A3 2A1 A2 2 2 A1A2
(b)
A3
2 A1 A2
4 1.5
A2
A1 A2
(c)
例1.2：三杆桁架如图，进行最轻重量设计。两种工况：
（1） （2）
P1 20000N P2 0N P1 0N P2 20000N
[ ] 15000Pa [ ] 20000Pa
解：1）分析由于对称性及工况的
对称，优化结果显然 A1 A3 ；
2）结构重量作为目标函数；
A [ A1, A2 ]T
(b)
求（a）、(b)方程组：
6 A12
6 P1
[ ]
A1
( P1 )2
[ ]
0
6 A12 6 A1 1 0
A1* A2*
0.789 0.408
W * 2.639l
通过以上例子，我们可以发现： 1）单工况满应力解将退化为原结构的基本结构； 2）单工况满应力解不唯一； 3）满应力解不是最优解，只有近似解。
P1
2 A12
2 A2 2 A1A2
P1
应力比矩阵：
μ
A2 2 A12
2 A1 2 A1 A2
P1
[
]
2 A1
P1
2 A12
2 A1 A2
[ ]
A2
P1
2 A12
2 A1 A2
[
]
A2 2 A1
1
2 A12
2 A1 A2
2 A1
4
3 A2
A3
2 A1 A2
2 1.5
A2
A1 A2
(d )
A3 2A1 A2 2A1 A1A2
(e)
A3 2 A1 A2 2A1 A2 A1A2 ( f )
前3式对应于外载P1，后3式对应P2
通过对于主动约束与被动约束的分析可知当
2A1 A2 2 2 0
时，约束为：
A3
2)
收敛判别 1 i 0.1 迭代计算
A(1)
[ 1
A(0) 1
2
A(0) 2
]T
1[
2 2
2 1 ]T
设计变量 cm2
1
W (l)
A(0)
1 1
0.707 0.414
A(1)
0.707 0.414
1.094 0.774
A(2)
0.7735 0.3204
1.0541 0.8153
其设计思想就是对一个既定的结构布局，通过调整构 件的断面尺寸，使各构件承受荷载的能力得以充分发 挥。具体地，对布局已定的结构在多种荷载作用下， 使结构的每个构件至少在一种荷载情况下的应力达到 容许应力，此时就认为结构重量是最轻的。
• 满应力设计地解法不是按事后的结果来判 断是否达到最优，而是先行确定所谓优的 准则，严格来讲，它并不是最优设计。
A3
2 A1 A2 A1A2 2 A1 A2
目标函数为 W 2A1 A2 2A3 各元件应力比
11
21
31 12
22
32
2
A2
2 A3
2 2 A3
1
2.667
A1
2 A1A3 A1A2 A2 A3 1.333A1
2 A1
A2
2 A1
满应力设计方法中的几个问题
• 1）是否就是最轻质量设计 满应力设计中，目标函数与最优化条件没有任何 直接的联系。因此，对于一个满应力设计，其约 束方程必须全部满足。 对于静定结构，内力与元件剖面无关，因此进行 一次迭代循环元件就全部达到满应力，所以自然 是收敛的，而且满应力设计就是最轻设计。 可以看出，n个约束条件都是等式，可以唯一决 定n个变量Aj,因而这时Aj实际上和最小重量并无 数学上的联系，也就是说满应力设计并不保证使 结构质量最轻。除非将其约束方程变为不等式和 使f(A)为最小，联系起来求解Aj, 才能保证结构重 量为最轻。这就是数学规划的设计。
结构优化设计的准则法
第2章 结构优化设计的准则法
准则优化法的基本概念： 从结构力学原理出发，规定一些优化必须满
足的准则，然后根据这些准则建立达到优化设 计的迭代公式的方法。
最优化方法是最先发展起来的一种结构优 化设计方法，从上一世纪50年代开始应用于工 程结构设计。
• 满应力准则法、齿形法、能量准则法等
为：求设计变量
A A1 A2L An T
n
使桁架重量 W i Ai li 最小 i 1
1）假设桁架各杆初始截面积为：
X [x1, x2,L , xn ]T [ A1, A2,L , An ]T
2）进行结构分析，计算各杆轴力，得到 应力矩阵。
N11, N12,L , N1L
N
[N1, N2,L