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函数与导数综合练习题

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函数与导数二模练习题

函数与导数二模练习题
（1）求实数 的值；
（2）对任意 ，不等式 ＜ 恒成立，求实数 的取值范围。
9某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式 ，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（1）求a的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
10已知函数 ，函数 的图像在点 的切线方程是 ．
（1）求函数 的解析式：
（2）若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围．
11已知函数 (x>0)在x= 1处取得极值 ，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）求函数f(x)的单调增区间；
（3）若对任意x>0，不等式f(x)≥－(c－1)4+(c－1)2－c+9恒成立，求c的取值范围.
(A)[0, ) (B) （C） (D)
4设a>0，b>0 ()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB．若2a＋2a＝2b＋3b，则a<b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a>bD．若2a－2a＝2b－3b，则a<b
5已知x0是函数f(x)=2x+ 的一个零点.若 ∈（1， ），
∈（ ，+ ），则（）
（A）f( )＜0，f( )＜0（B）f( )＜0，f( )＞0
（C）f( )＞0，f( )＜0（D）f( )＞0，f( )＞0
6抛物线 上两点 处的切线交于 点，则 的面积为
7已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题

高中数学导数练习题一、基础题1. 求函数 $f(x) = x^3 3x$ 的导数。

2. 求函数 $f(x) = \sqrt{1+x^2}$ 的导数。

3. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 的导数。

4. 求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。

5. 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 的导数。

二、应用题1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，求 $f'(x)$ 并说明其几何意义。

2. 某物体做直线运动，其位移 $s$ 与时间 $t$ 的关系为 $s =t^2 2t + 1$，求物体在 $t=2$ 时的瞬时速度。

3. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$，求曲线在$x=4$ 处的切线方程。

4. 求函数 $f(x) = \sin(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上的最大值和最小值。

5. 已知函数 $f(x) = \ln(x 1)$，求 $f(x)$ 的单调区间。

三、综合题1. 设函数 $f(x) = (x^2 1)^3$，求 $f'(x)$。

2. 已知函数 $f(x) = \frac{2x + 3}{x 1}$，求 $f'(x)$。

3. 求函数 $f(x) = \sqrt{1 + \sqrt{1 + x^2}}$ 的导数。

4. 已知函数 $f(x) = e^{x^2}$，求曲线在 $x=0$ 处的切线方程。

5. 设函数 $f(x) = \ln(\sin^2 x)$，求 $f'(x)$。

四、拓展题1. 已知函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，求 $f''(x)$。

2. 设函数 $f(x) = (x^3 + 1)^4$，求 $f'''(x)$。

3. 已知函数 $f(x) = \arctan(x)$，求 $f'(x)$。

三角函数与导数练习题

三角函数与导数练习题

三角函数与导数练习题在微积分学习的过程中，三角函数与导数是非常重要的概念。

理解和掌握它们对于解决各种微积分问题至关重要。

本文将为你提供一些与三角函数和导数相关的练习题，帮助你巩固这些知识点。

练习题一：三角函数的导数计算计算下列函数的导数：1. y = sin(x)2. y = cos(x)3. y = tan(x)4. y = cot(x)解答：1. y = sin(x)y' = cos(x)2. y = cos(x)y' = -sin(x)3. y = tan(x)y' = sec^2(x)4. y = cot(x)y' = -csc^2(x)练习题二：三角函数与导数的应用1. 求函数 y = sin(x) 在点x = π/2 处的导数值，并说明其物理意义。

2. 设 y = cos(x)，求函数 y' 的最小正周期是多少？3. 对函数 y = atan(x) ，求其在点 x = 0 处的导数，并说明其物理意义。

解答：1. 在点x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的导数为y' = cos(x) = cos(π/2) = 0。

这表示在x = π/2 处，函数 y = sin(x) 的变化率为零。

物理上，这可以理解为在该点附近，物体的运动速度不再发生变化。

2. 函数 y = cos(x) 的最小正周期是2π。

这是因为在区间[0, 2π] 内，cos(x) 展现出了与整个函数图像相似的特征。

3. 求函数 y = atan(x) 在点 x = 0 处的导数：y' = 1 / (1 + x^2)当 x = 0 时，函数的导数为 y' = 1 / (1 + 0^2) = 1。

物理上，这表示函数 y = atan(x) 在 x = 0 处的变化率为1。

练习题三：三角函数与导数的求解1. 求函数 y = 3sin(2x) 的导数。

2. 求函数 y = 2cos(3x) 的导数。

函数与导数 大题练习(含解析)

函数与导数 大题练习(含解析)

函数与导数 大题专练1．已知函数f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x (a ∈R )．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若a ＝5，求f (x )的单调区间；(3)若3<a ≤4，证明：f (x )在x ∈[1，e]上有唯一零点．解析：(1)若a ＝0，则f (x )＝2x 2＋1＋ln x ，f ′(x )＝4x ＋1x ，故f ′(1)＝5，即曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为5，又f (1)＝3，所以所求切线方程为y －3＝5(x －1)，即5x －y －2＝0.(2)当a ＝5时，f (x )＝2x 2－5x ＋1＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，f (x )＝4x －5＋1x ＝(4x －1)(x －1)x， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14和(1，＋∞)上单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫14，1时，f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫14，1上单调递减． (3)由f (x )＝2x 2－ax ＋1＋ln x 得f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝4x 2－ax ＋1x. 设h (x )＝4x 2－ax ＋1，Δ＝a 2－16，当3<a ≤4时，Δ≤0，有h (x )≥0，即f ′(x )≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (1)＝3－a <0，f (e)＝2e 2－a e ＋2＝e(2e －a )＋2>0，所以f (x )在x ∈[1，e]上有唯一零点．2．设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．解析：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1.此时f (1)＝3e ≠0.所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.3．已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0.解析：解法一 (1)f ′(x )＝e x－a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②若a >0，则当0<x <e a 时，f ′(x )>0；当x >e a 时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，e a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫e a ，＋∞上单调递减． (2)证明：因为x >0，所以只需证f (x )≤e x x －2e ，由(1)知，当a ＝e 时，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－e.设g (x )＝e x x －2e(x >0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2，所以当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e.所以当x >0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e x x－2e ， 即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.解法二 (1)同解法一．(2)证明：由题意知，即证e x ln x －e x 2－e x ＋2e x ≤0(x >0)，从而等价于ln x －x ＋2≤e xe x. 设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x－1. 所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1.设函数h (x )＝e xe x ，则h ′(x )＝e x (x －1)e x 2.所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0.故h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1.综上，当x >0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.4．已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x (x ＋1)2，其中a 为常数． (1)当1<a ≤2时，讨论f (x )的单调性；(2)当x >0时，求g (x )＝x ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1x ln(1＋x )的最大值． 解析：(1)函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x (x －2a ＋3)(x ＋1)3，x >－1.①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即a >32时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增， 当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0,2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1,2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3,0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a ≤2时，f (x )在(－1,0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0,2a －3)上单调递减．(2)∵g (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln(1＋x )－x ln x ＝g ⎝⎛⎭⎫1x ， ∴g (x )在(0，＋∞)上的最大值等价于g (x )在(0,1]上的最大值．令h (x )＝g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x ·11＋x －(ln x ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－1x 2ln(1＋x )－ln x ＋1x －21＋x ， 则h ′(x )＝2x 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (1＋x )－2x 2＋x (x ＋1)2. 由(1)可知当a ＝2时，f (x )在(0,1]上单调递减，∴f (x )<f (0)＝0，∴h ′(x )<0，从而h (x )在(0,1]上单调递减，∴h (x )≥h (1)＝0，∴g (x )在(0,1]上单调递增，∴g (x )≤g (1)＝2ln2，∴g (x )的最大值为2ln2.5．已知函数f (x )＝x ln x －ax ＋a (a ∈R )．(1)f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－x ＋t ，求a 和t 的值；(2)对任意的x >1，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解析：(1)函数定义域为x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1－a ，由已知f ′(1)＝－1，则1－a ＝－1，即a ＝2，所以f (1)＝0－2＋2＝0，将(1,0)代入切线方程有t ＝1，所以a ＝2，t ＝1.(2)对任意x ∈(1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，即ln x ＋a x－a ≥0恒成立， 令g (x )＝ln x ＋a x －a ，有g ′(x )＝x －a x 2，①当a >1时，g (x )，g ′(x )随x 的变化情况为由表可知g (x )min 又因为在函数h (x )＝ln x ＋1－x 中，h ′(x )＝1－x x ，所以h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，所以g (x )min ＝g (a )＝h (a )<h (1)＝0，与“对任意x ∈(1，＋∞)，ln x ＋a x －a ≥0恒成立”矛盾，故a >1不合题意；②当a ≤1时，g ′(x )＝x －a x 2≥0，则g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )≥g (1)＝0，即对任意x ∈(1，＋∞)，ln x ＋a x－a ≥0恒成立， 故a ≤1满足题意，综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]．6．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数，a ∈R )．(1)判断函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x ∈R ，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求a 的取值范围．解析：(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )有1个极值点；当0<a <12时，f (x )在(－∞，ln(2a ))上单调递增，在(ln(2a )，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )在R 上单调递增，此时f (x )没有极值点；当a >12时，f (x )在(－∞，0)上单调递增， 在(0，ln(2a ))上单调递减，在(ln(2a )，＋∞)上单调递增，∴f (x )有2个极值点，综上所述，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；当a ＝12时，f (x )没有极值点．(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x ，得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，即a ≤e x －x 2－1x对∀x >0恒成立． 设g (x )＝e x －x 2－1x (x >0)，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2. 设h (x )＝e x －x －1(x >0)，则h ′(x )＝e x －1.∵x >0，∴h ′(x )>0，∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2；当x ＝0时，原不等式恒成立，a ∈R ；当x <0时，e x －x 2－ax －1≤0，设m (x )＝e x －x 2－ax －1(x <0)，则m ′(x )＝e x －2x －a .设φ(x)＝e x－2x－a(x<0)，则φ′(x)＝e x－2<0，∴m′(x)在(－∞，0)上单调递减，∴m′(x)>m′(0)＝1－a，若a≤1，则m′(x)>0，∴m(x)在(－∞，0)上单调递增，∴m(x)<m(0)＝0；若a>1，∵m′(0)＝1－a<0，∴∃x0<0，使得x∈(x0,0)时，m′(x)<0，即m(x)在(x0,0)上单调递减，∴m(x)>m(0)＝0，不符合题意，舍去．∴a≤1.综上，a的取值范围是(－∞，e－2]．。

导数复习导数大题练习(含详解答案)

导数复习导数大题练习(含详解答案)

1、函数f(*)=(2*2―k*＋k)·e -*(Ⅰ)当k 为何值时，)(x f 无极值；(Ⅱ)试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0 2、函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)假设2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；〔Ⅲ〕设2()22g x x x =-+，假设对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值围. 3、设函数()1x f x x ae -=-。

〔I 〕求函数()f x 单调区间； 〔II 〕假设()0R f x x ≤∈对恒成立，求a 的取值围；〔III 〕对任意n 的个正整数1212,,nn a a a a a a A n++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=记〔1〕求证：()11,2,i a iAa e i n A-≤=⋅⋅⋅〔2〕求证：A ≥4、函数b x x a x a x f +++-=23213)(，其中,a b ∈R ． 〔Ⅰ〕假设曲线)(x f y =在点))2(,2(f P 处的切线方程为45-=x y ，求函数)(x f 的解析式； 〔Ⅱ〕当0>a 时，讨论函数)(x f 的单调性． 5、函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I)当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)假设函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值围． 6、函数2()(33)x f x x x e =-+⋅，设2t >-,(2),()f m f t n -==.〔Ⅰ〕试确定t 的取值围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；〔Ⅱ〕试判断,m n 的大小并说明理由；〔Ⅲ〕求证：对于任意的2t >-,总存在0(2,)x t ∈-，满足0'20()2(1)3x f x t e =-,并确定这样的0x 的个数.7、函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-．〔Ⅰ〕假设()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；〔Ⅱ〕求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值． 8、函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . 〔I 〕当0a =时，求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程〔e 2.718...=〕； 〔II 〕求函数()f x 的单调区间.9、函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.〔Ⅰ〕当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积；〔Ⅱ〕假设函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.10、函数36)2(23)(23-++-=x x a ax x f . 〔1〕当1=a 时，求函数)(x f 的极小值；〔2〕试讨论曲线)(x f y =与x 轴的公共点的个数。

函数求导练习题(含解析)

函数求导练习题(含解析)

一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝，C为常数；（2）（xα）′＝，α为常数；（3）（a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝；（6）（cos x）′＝．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．6．求下列函数的导数．（Ⅰ）；（Ⅱ）．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．9．求下列函数的导数：（1）；（2）．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）解析一．解答题（共15小题）1．请默写基础初等函数的导数公式：（1）（C）′＝0，C为常数；（2）（xα）′＝αxα﹣1，α为常数；（3）（a x）′＝a x lna，a为常数，a＞0且a≠1；（4）（log a x）′＝，a为常数，a＞0且a≠1；（5）（sin x）′＝cos x；（6）（cos x）′＝﹣sin x．分析：根据初等函数的导数公式，直接求解即可．解答：解：（1）（C）′＝0，（2）（xα）′＝αxα﹣1，（3）（a x）′＝a x lna，（4）（log a x）′＝，（5）（sin x）′＝cos x，（6）（cos x）′＝﹣sin x．故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）a x lna；（4）；（5）cos x；（6）﹣sin x．点评：本题主要考查初等函数的导数公式，比较基础．2．求下列函数的导数（1）y＝x2﹣7x+6；（2）y＝x+2sin x，x∈（0，2π）．分析：利用导数的运算性质逐个化简即可求解．解答：解：（1）由已知可得y′＝2x﹣7；（2）由已知可得y′＝1+2cos x．点评：本题考查了导数的运算性质，属于基础题．3．求下列函数的导数：（1）f（x）＝3x4+sin x；（2）．分析：（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．解答：解：（1）f（x）＝3x4+sin x则f′（x）＝12x3+cos x；（2），则f′（x）＝+﹣2e2x﹣1．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．4．求下列函数的导数：（1）y＝ln（2x+1）；（2）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（1）∵y＝ln（2x+1），∴y′＝×2＝，（2）∵，∴y′＝﹣sin（﹣2x）×（﹣2）＝2sin（﹣2x）＝﹣2sin（2x﹣）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．5．求下列函数的导数：（1）；（2）g（x）＝（8﹣3x）7；（3）p（x）＝5cos（2x﹣3）；（4）w（x）＝ln（5x+6）2．分析：根据复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式求导计算即可．解答：解：（1）∵，∴．（2）∵g（x）＝（8﹣3x）7，∴g'（x）＝7（8﹣3x）6⋅（8﹣3x）'＝﹣21（8﹣3x）6．（3）∵p（x）＝5cos（2x﹣3），∴p'（x）＝﹣5sin（2x﹣3）⋅（2x﹣3）'＝﹣10sin（2x﹣3）．（4）∵w（x）＝ln（5x+6）2，∴点评：本题考查导数的计算，注意复合函数的导数计算，属于基础题．（Ⅰ）；（Ⅱ）．分析：根据导数的公式即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）＝．（Ⅱ）．点评：本题主要考查导数的基本运算，比较基础．7．求下列函数的导数．（1）f（x）＝sin x cos x；（2）y＝．分析：利用导数的运算性质化简即可求解．解答：解：（1）因为f（x）＝sin x cos x＝sin2x，所以f′（x）＝cos2x×＝cos2x，（2）∵y＝，∴y′＝＝．点评：本题考查了导数的运算性质，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8．求下列函数的导数．（1）y＝；（2）y＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：根据导数的公式，即可依次求解．解答：解：（1）y'＝＝．（2）因为y＝（2x2+3）（3x﹣2）＝6x3﹣4x2+9x﹣6，所以y′＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查导数的运算，属于基础题．（1）；（2）．分析：（1）先展开f（x），然后求导即可；（2）根据基本初等函数和商的导数的求导公式求导即可．解答：解：（1），；（2）．点评：本题考查了基本初等函数和商的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．10．求下列函数的导数：（1）S（t）＝；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2）．分析：结合基本初等函数的求导公式及求导法则求解即可．解答：解：（1）S（t）＝＝t+，所以S′（t）＝1﹣；（2）h（x）＝（2x2+3）（3x﹣2），所以h′（x）＝4x（3x﹣2）+3（2x2+3）＝18x2﹣8x+9．点评：本题主要考查了基本初等函数的求导公式及求导法则，属于基础题．11．求下列函数的导数．（1）；（2）．分析：利用复合函数的导函数的求法，结合导数的运算求解即可．解答：解：（1），所以；（2）所以．点评：本题考查了导函数的求法，重点考查了导数的运算，属基础题．12．求下列函数的导数：（1）y＝；（2）y＝．分析：直接利用基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算求解即可．解答：解：（1）令t＝1﹣2x2，则，所以；（2）．点评：本题考查了导数的运算，解题的关键是掌握基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算，考查了运算能力，属于基础题．13．求下列函数的导数：（1）y＝sin x+lnx；（2）y＝cos x+x；（3）y＝x sin x；（4）；（5）y＝3x2+x cos x；（6）．分析：由已知结合函数的求导公式即可求解．解答：解：（1）y′＝cos x+；（2）y′＝﹣sin x+1；（3）y′＝sin x+x cos x；（4）y′＝＝；（5）y′＝6x+cos x﹣x sin x；（6）y′＝＝﹣．点评：本题主要考查了函数的求导公式的应用，属于基础题．14．求下列函数的导数．（1）y＝x3﹣2x+3；（2）y＝x sin（2x+5）．分析：根据基本初等函数和复合函数的求导公式求导即可．解答：解：（1）y′＝3x2﹣2；（2）y′＝sin（2x+5）+2x cos（2x+5）．点评：本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．15．求下列函数的导数：（1）y＝（x2+3x+3）e x+1；（2）．分析：利用导数的运算法则以及常见函数的导数进行求解即可．解答：解：（1）因为y＝（x2+3x+3）e x+1，所以y'＝[（x2+3x+3）e x+1]'＝（x2+3x+3+2x+3）e x+1＝（x2+5x+6）e x+1＝（x+2）（x+3）e x+1；（2）因为，所以．点评：本题考查了导数的运算，主要考查了导数的运算法则以及常见函数的导数公式，考查了化简运算能力，属于基础题．。

函数与导数练习题(含解析)

函数与导数练习题(含解析)

函数与导数一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（ ）A ．8-B ．4-C ．5-D ．114．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（ ）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．2 C ．e -D ．e9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围. 24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+.（Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0xxe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e 内有两个零点，求a 的取值范围.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围．一、单选题1．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数21()log f x x x=-的零点所在区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．1(0,)2D ．1(2，1)【答案】A 【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且函数()f x 单调递增，f （1）2log 1110=-=-<，f （2）2111log 210222=-=-=>， ∴在(1,2)内函数()f x 存在零点，故选：A .2．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()0(3)1f x f x ++-=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】因为函数()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 为奇函数， 因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，所以由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)log (31)3f f m =-=--=， 解得43m =-. 故选：C .3．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()f x 是奇函数，当0x >时()22xf x x =+，则()()12f f +-=（ ）A ．8-B ．4-C ．5-D ．11【答案】C【解析】：因为0x >时，()22x f x x =+，所以12(1)213f =+=；又因为()f x 是奇函数，所以()()()22448f f -=-=-+=-， 即()()51238f f +-=-=-， 故选：C.4．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=-B ．tan y x x =C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 【答案】D【解析】对A ，函数22xxy -=-在()0,∞+单调递增，故A 不符合；对B ，函数tan y x x =为偶函数，故B 不符合；对C ，函数'1cos 0y x =-≥在()0,∞+恒成立，所以在()0,∞+单调递增，故C 不符合； 对D ，函数既是奇函数又在()0,∞+单调递减，故D 符合； 故选：D5．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()sin ln f x x x x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()sin()ln sin ln ()f x x x x x x x f x -=----=-=，()f x ∴为偶函数，排除A ，C 选项；当(0,1)x ∈时，sin 0,ln 0x x x ><，()0f x ∴>，排除D 选项，故选B ．故选B6．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()f x 的定义域为R ，对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且函数()1f x +为偶函数，则（ ）A ．()()()123f f f <-<B ．()()()321f f f <-<C ．()()()231f f f -<<D ．()()()213f f f -<<【答案】C【解析】因为对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，所以对任意的[)()1212,1,x x x x ∈+∞≠，21x x -与21()()f x f x -均为异号， 所以()f x 在[1,)+∞上单调递减，又函数()1f x +为偶函数，即(1)(1)f x f x +=-，所以(2)(4)f f -=，所以()()()2(4)31f f f f -=<<. 故选：C.7．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））若函数2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】因为2()ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间， 所以1()20f x ax x '=+>在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上成立， 即212a x >-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭上有解，因此，只需212412a >-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得2a >-.故选D8．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,e -，且与曲线()y f x =相切，则直线l 的斜率为（ ） A ．2- B ．2 C ．e - D ．e【答案】B【解析】设切点坐标为(),ln t t t ，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，直线l 的斜率为()ln 1f t t '=+，所以，直线l 的方程为()()ln ln 1y t t t x t -=+-，将点()0,e -的坐标代入直线l 的方程得()ln ln 1e t t t t --=-+，解得t e =， 因此，直线l 的斜率为()2f e '=. 故选：B.9．（2020·吉林高三其他（文））已知函数2()2f x x x =-，若8log 27a =，5log 11b =，0.25log 8c =-，则（ ）A ．f （b ）f <（c ）f <（a ）B ．f （b ）f <（a ）f <（c ）C ．f （c ）f <（a ）f <（b ）D ．f （c ）f <（b ）f <（a ）【答案】A【解析】27982443log log 3log log 82a ===>=，5553log 11log log 2b ==<=，0.2543log 8log 82c =-==，又55log 11log 51b =>=，1b c a ∴<<<，又2()2f x x x =-在[1，)+∞上单调递增，f ∴（b ）f <（c ）f <（a ）．故选：A ．10．（2020·四川其他（文））已知函数()sin f x x x =-，则下列关系不正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 在R 上单调递减C ．0x =是函数()f x 的唯一零点D ．函数()f x 是周期函数【答案】D【解析】因为()sin f x x x =-的定义域为R ，()sin()()sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以函数为奇函数，故A 正确；因为()cos 10f x x '=-≤，所以()sin f x x x =-在R 上为减函数，故B 正确；因为(0)sin 000f =-=，且()sin f x x x =-在R 上为减函数，所以函数()f x 的唯一零点是0，故C 正确；因为()sin f x x x =-,不存在0T ≠,使得()sin()()f x T x T x T f x +=+--=，故D 错误. 故选：D11．（2020·四川其他（文））已知函数ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(4)(23)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[2,)+∞C ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．[4,)+∞【答案】C【解析】：因为ln(1),0()0,0x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，当0x ≥时，()()ln 1f x x =+在定义域上单调递增，且()00f =，当0x <时()00f =，要使(4)(23)f x f x -<-，则423230x x x -<-⎧⎨->⎩解得32x >，即3,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭故选：C12．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高三月考（文））若定义域1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的函数()f x 满足()()xef x f x x'-=且()1f e =-，若13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．21,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】函数()f x 满足()()x e f x f x x '-=，()(1)x f x f x e x '-∴=，则()1x f x e x'⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可设()ln xf x x c e=+，c 为常数，故()()ln x f x x c e =+，()11f c e e ∴=⋅=-， 1c ∴=-，故()()ln 1xf x x e =-，1()ln 1x f x e x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令1()ln 1g x x x =+- ，1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，则22111()x g x x x x -'=-=， 1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<，故()g x 单调递减；()1,∈+∞x 时，()0g x '>，故()g x 单调递增，()g x ∴在1x =时取得最小值(1)0g =，()0g x ∴≥恒成立，1()ln 10x f x e x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭在1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭成立，故()f x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增，又()1f e =-，所以不等式13f e m ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭即13(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，根据单调性得11312m ≤-≤，解得2152m ≤≤. 故选：D.13．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知()13,03,0x x e x f x x x x +⎧⋅≤=⎨->⎩，若关于x 的方程()()210f x a f x -⋅-=有5个不同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．30,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】设()t f x =，则方程为210t at --=，解得t =，且10t =>，20t =<，当0x ≤时，()1x f x xe+=，则()()11x f x x e+'=+，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增， 可知()f x 在1x =-处取得极小值()11f -=-；当0x >时，()33=-f x x x ，则()()()233311f x x x x '=-=-+，当()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减， 可知()f x 在1x =处取得极大值()12f =， 如图作出函数()f x 的图象，要使关于x 的方程()()210fx a f x -⋅-=有5个不同的实根，有1221t t <⎧⎨>-⎩，解得302a <<.故选：B.14．（2020·广西南宁二中月考（文））已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上递减，若不等式(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(2,)eB ．1[,)e+∞C ．1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12ln 3,3e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】由于定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，则()f x 在(,0)-∞上递增，又ln 1(ln 1)ax x ax x --=--++，则(ln 1)(ln 1)2(1)f ax x f ax x f -+++--≥ 可华化为： 2(ln 1)2(1)f ax x f --≥，即(ln 1)(1)f ax x f --≥对[]1,3x ∈恒成立，则1ln 11ax x -≤--≤，所以：ln x a x ≥且ln 2x a x+≤ 对[1,3]x ∈同时恒成立. 设ln ()xg x x =，21ln ()x g x x -'=，则()g x 在[1,e)上递增，在(,3]e 上递减，max1()()g x g e e ∴==. 设ln 2()x h x x+=，21ln ()0x h x x --'=< ，()h x 在[1,3] 上递减，min2ln 3()(3)3h x h +== . 综上得：a 的取值范围是12ln 3[,]3e +.15．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()g x x =，实数a ，b 满足3b a >>.若[]1,x a b ∀∈，2x ⎡⎤∃∈⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则b a -的最大值为（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】B【解析】当)x ⎡∈⎣时，()(g x ∈，令2x =12x =±.∵()()2f x f x =+，∴()f x 的周期为2，所以()f x 在[－1，5]的图象所示：结合题意，当17422a =-+=，19422b =+=时，b a -取得最大值.最大值为1. 故选：B.二、填空题16．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为20x y -=，则a =________. 【答案】3 【解析】()ln 1y ax x =-+，11y a x '∴=-+. 由题意可知，当0x =时，12y a '=-=，解得3a =. 故答案为：3.17．（2020·云南昆明一中高三月考（文））函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩.若关于x 的方程()()0f x m m =< 有且只有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的值是_________.【答案】3【解析】画出()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图像如下，因为()(0)f x m m =<有且只有两个不等实根， 即函数()y f x =与y m =有两个不同交点，由图像可得，112m -<<-， 所以1x ，2x ，关于直线32x =对称， 则123232x x +=⨯=. 故答案为：3.18．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数(),0,ln ,0,x e x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()102f x a f x a ⎡⎤-⋅--=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦恰有5个不相等的实数根，则实a 的取值范围是______. 【答案】1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】作出函数()f x 的大致图象如图所示，由已知关于x 的方程()f x a =或()12f x a =+恰有5个不相等的实数根，则01,11,2a a <<⎧⎪⎨+≥⎪⎩解得1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭19．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是_________．【答案】(),0-∞【解析】由220x x ->， 可得2x >或0x <， 所以函数的定义域为()(),02,-∞+∞又()211t x =--在区间(),0-∞的单调递减，13log y t =单调递减,∴函数()212log 2y x x =-的单调递增区间是(),0-∞, 故答案为(),0-∞．20．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是________．【答案】(,1)(0,1)-∞-【解析】 令3()()f x g x x =，0x >， 因为当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则当0x >时，4()3()()0xf x f x g x x'-'=<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减， 又因为()f x 为奇函数，即()()f x f x -=-，则33()()()()()f x f x g x g x x x--===-， 故()g x 为偶函数且在(,0)-∞上单调递增， 因为()10f -=，故()()110g g -==，由()0f x >可得3()0x g x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩，所以001x x >⎧⎨<<⎩或01x x <⎧⎨<-⎩. 解可得，1x <-或01x <<. 故答案为：()(),10,1-∞-⋃.21．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知1240x x a ++⋅>对一切(],1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】3,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】1240xxa ++⋅>可化为212224xx x xa --+>-=--， 令2x t -=，由(],1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭， 则2a t t >--，2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，所以34a >-． 故答案为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．三、解答题22．（2020·云南昆明一中高三月考（文））已知函数()xf x e ax =-，()1lng x x x =+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若当0x >时，方程()()f x g x =有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）[e 1,)-+∞.【解析】 【分析】（1）先对函数求导，分0a ≤和0a >两种情况讨论，可求解函数的单调性；（2）由已知得e 1ln x a x x x=--有实数解，构造函数，利用函数的单调性及函数的性质求得a 的范围.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()e '=-xf x a当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a >时，令()xf x e a '=-，得ln x a =，则()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.（2）由()()f x g x =，得e ln 1xax x x =--，因为0x >，所以e 1ln x a x x x=--.令e 1()ln x h x x x x=--，0x >，则()22e 1(1)e e 1()x x x x x x h x x x----+'==. 令()0h x '=，得1x =.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 为增函数.所以min ()(1)e 1h x h ==-.又因为e 1e 1()ln ln x x h x x x x x x -=--=-，因为0x >，e 1x>，所以e 10x x->，所以当0x →时，()h x →+∞. 所以函数()h x 的值域为[e 1,)-+∞，因此实数a 的取值范围为[e 1,)-+∞.23．（2020·甘肃城关·兰州一中月考（文））已知函数()()ln f x x x a =-，()12x g x e =-（e为自然对数的底）.（1）讨论()f x 的极值；（2）当1a =时，若存在(]00,x m ∈，使得()()00f x g m -≤，求实数m 取值范围.【答案】（1）1a f e -=-极小值，()f x 无极大值；（2）0ln3m <≤.【解析】 【分析】（1）对函数进行求导得()ln 1f x x a '=-+，令()10a f x x e -'=⇒=，再列表，从而求得函数的极值；（2）利用导数研究函数的最值，对m 分两种情况讨论，即01m <≤和1m ，即可得答案； 【详解】（1）依题()ln 1f x x a '=-+，()10a f x x e-'=⇒=，x ，()f x '，()f x 的变化如下：列表分析可知，()11a a f f ee --==-极小值，()f x 无极大值. （2）对于()()ln 1f x x x =-，可得()ln f x x '=.因此，当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()f x 单调递增. （1）当01m <≤时，()()()min ln 1ln f x f m m m m m m ==-=-. 依题意可知()()()02ln 210mf mg m m m e m -≤⇒+--≤.构造函数：()21mm e m ϕ=--（01m <≤），则有()2mm e ϕ'=-.由此可得；当()0,ln 2m ∈时，()0m ϕ'<；当()ln 2,1m ∈时，()0m ϕ'>， 即()m ϕ在()0,ln 2m ∈时单调递减，()ln 2,1m ∈单调递增. 注意到：()00ϕ=，()13e ϕ=-，因此()0m ϕ<.同时注意到2ln 0m m ≤，故有()2ln 210mm m e m +--≤. （2）当1m 时，()()min 11f x f ==-.依据题意可知()()101031ln 322m me f m g m e m ⎛⎫-≤⇒---≤⇒≤⇒<≤ ⎪⎝⎭.综上（1）、（2）所述，所求实数m 取值范围为0ln3m <≤.24．（2020·陕西西安·月考（文））已知函数()ln 1,f x x ax a R =-+∈. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当*n N ∈时，求证：111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n. 【答案】（1）答案见解析；（2）1a ≥；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，然后分0a ≤，0a >两种情况，由导函数的正负可求得其单调区； （2）利用导数求()f x 的最大值小于零即可，或()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >，然后构造函数ln 1()x g x x+=，利用导数求其最大值即可； （3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k+=∈时，有11lnk k k +<，然后利用累加法可得111ln(1)123n n +<+++…+，当*,1kx k N k =∈+时，有11ln 1k k k +>+，再利用累加法可得1111ln(1)2341n n +>+++…+，从而可证得结论【详解】（1）()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上递增；．当0a >时，令()0f x '=，则1x a=， 当10x a <<时，()0f x '>；当1x a>时，()0f x '<， 所以()f x 在区间1(0,)a上递增，在1(,)a+∞上递减.（2）方法1：构造函数()ln 1,0f x x ax x =-+>，1()f x a x'=- ．当0a ≤时，由（1）()f x 在(0,)+∞上递增，又(1)10f a =->，不符合题意，舍；．当0a >时，由（1）知()f x 在区间1(0,)a 上递增，在1(,)a+∞上递减；所以max 11()()ln()0f x f a a==≤，解得：1a ≥. 综上：1a ≥ 方法2：分离参数()ln 10f x x ax =-+≤恒成立，等价于ln 1x a x+≥，0x >设ln 1()x g x x+=，0x >，2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，1x =，则 当01x <<时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在区间(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减；所以max ()(1)1g x g ==，所以：1a ≥（3）由(2)知，当1a =时，()0f x ≤恒成立，即ln 1≤-x x (仅当1x =时等号成立)．当*1,k x k N k +=∈时，11ln 1k k k k ++<-，即11ln k k k +<； 所以，2ln11<，31ln 22<，41ln 33<，……，11ln n n n +<； 上述不等式相加可得：2341111lnln ln ln112323n n n+++++<+++…+， 即：2341111ln112323n n n +⋅⋅<+++…+， 即：111ln(1)123n n+<+++…+，*n N ∈； ．当*,1k x k N k =∈+时，ln 111k k k k <-++，即111ln 1k k k -+⎛⎫<- ⎪+⎝⎭，即11ln 1k k k +>+ 所以，21ln12>，31ln 23>，41ln 34>，……，11ln 1n n n +>+；上述不等式相加可得：23411111lnln ln ln1232341n n n +++++>+++…+， 即：23411111ln1232341n n n +⋅⋅>+++…+， 即：1111ln(1)2341n n +>+++…+，*n N ∈； 综上：当*n N ∈时，111111ln(1)123123+++<+<+++++n n n.25．（2020·广西南宁二中月考（文））已知函数3211()(1)132f x ax a x x =-+++（1a ≥）. （I ）若3a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （II ）若()f x 在R 上无极值点，求a 的值；（III ）当(0,2)x ∈时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由.【答案】（1）1y =； （2）19a ≤<时函数()f x 在(0,2)上无零点；当9a =时，函数()f x 在(0,2)上有一个零点；当9a >时，函数()f x 在(0,2)上有两个零点. 【解析】（I ）当3a =时，()3221f x x x x =-++，()2'341f x x x =-+，()'10f =，()11f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y =.（II ）()()2'11f x ax a x =-++，1a >，依题意有()'0f x ≥，即0∆≤，()2140a a +-≤，解得1a =.(III)（1）1a =时，函数()f x 在R 上恒为增函数且()01f =，函数()f x 在()0,2上无零点. （2）1a >时：当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >，函数()f x 为增函数；当1,1x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 为减函数； 当()1,2x ∈，()'0f x >，函数()f x 为增函数. 由于()22103f a =+>，此时只需判定()3162a f =-+的符号：当19a <<时，函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点. 综上，19a ≤<时函数()f x 在()0,2上无零点； 当9a =时，函数()f x 在()0,2上有一个零点； 当9a >时，函数()f x 在()0,2上有两个零点.26．（2020·四川其他（文））已知曲线()(3)(2ln )xf x x e a x x =-+-（其中e 为自然对数的底数）在1x =处切线方程为(1) y e x b =-+. （Ⅰ）求a ，b 值；（Ⅱ）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()0215e f x --<<-. 【答案】（1）1a =，2b e =--；（2）证明见详解【解析】(1) ()f x 在1x =处切线方程为(1)y e x b =-+，而2()(2)(1)xf x x e a x'=-+-∴(1)1f e a e '=-+=-，即1a =而(1)21f e =--，故切点为(1,21)e -- ∴121e b e -+=--，即2b e =-- 故有：1a =，2b e =--(2)由(1)知：()(3)2ln x f x x e x x =-+-且定义域(0,)x ∈+∞∴(2)2(1)(2)()x x x x e x xe x f x x x--+--'==，若()(2)(1)xg x x xe =-- 令()1x h x xe =-，即()(1)x h x x e '=+在(0,)x ∈+∞有()0h x '>恒成立∴()h x 单调增，又(0)10h =-<，(1)10h e =->：即()h x 的零点1x 在(0,1)内 ∴1(0,)x 上()0h x <，1(,)x +∞上()0h x > 故在()g x 中1(0,1)x ∈，(0,)x ∈+∞上有当10x x <<时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 当12x x <<时，()0<g x ，即()0f x '<，()f x 单调减 当2x >时，()0>g x ，即()0f x '>，()f x 单调增 ∴()f x 存在唯一的极大值点0x =1(0,1)x ∈又有01()()(1)21f x f x f e =>=--而001xx e =，000000003()32ln 13x x f x x e e x x x x =-+-=--且0(0,1)x ∈ ∴0()5f x <-(利用均值不等式，但等号不成立，因为0x 无法取1)综上，得证：021()5e f x --<<-27．（2020·河南洛阳·高三月考（文））已知函数()()2122xf x x e x x =-+-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭对任意()2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞；（2）31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）依题意()()()()()1111xx f x ex x x e '=-+-=-+，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞.（2）当2x >时，()()21442a af x x a x ⎛⎫≥+-++⎪⎝⎭恒成立， 即()()222e 14422xa a a x x ax x a x ⎛⎫-+-≥+-++ ⎪⎝⎭， 即()()222e 442x a x x x x --+=-≥，即2e xx a -≥恒成立，即max 2e x x a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭.令()()22e x x h x x -=>，则()()123e exx x x h x ---'==， 易知()h x 在区间()2,3内单调递增，在区间()3,+∞内单调递减， 所以()()3max 13e h x h ==，所以31e a ≥. 所以实数a 的取值范围是31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 28．（2020·广东天河·华南师大附中高三月考（文））设2()g x lnx x x =+-.（1）求()g x 的单调区间；（2）当0a >时，2()0x xe a x a g x --≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；（2）(]0e ，. 【解析】（1）函数的定义域为()0,+∞，()()()211112x x g x x x x-+-=+-='， 令()0g x '>即()()2110x x +-<，解得112x -<<， 当()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故()g x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞. （2）依题意得()222()ln ln x x x xe a x a g x xe a x a x ax ax xe a x ax --=--+-=--设()()ln 0xh x xe a x ax x =--∈∞，，+，则()()()()+111xx a x a h x x e x e x x ⎛⎫=+-=+- ⎝'⎪⎭， 0a >，∴设()0h x '=的根为0x ，即有00xae x =，可得00x lna lnx =-， 当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，∴()()()00000000min 0ln ln xah x h x x e a x ax x a x a ax x ==--=+--⋅ln 0a a a =-≥解得a e ≤，∴实数a 的取值范围是(]0e ，. 29．（2020·湖北宜昌·高三期末（文））已知函数22()ln f x x a x ax =--．（1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若对于定义域内任意的x ，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）记()()g x f x a x =+，若()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减；(2)342,1a e ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；(3)[,]a e e ∈-⋃.【解析】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞，1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--= 令()0f x '>，得1x >；令()0f x '<，得01x <<，所以()f x 的单调减区间(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞.(2) ()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x--+-'=--==, 当0a =时，2()0f x x =≥恒成立；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，(,)a +∞上单调递增，所以2min ()()ln 0f x f a a a ==-≥，解得01a <≤；当0a <时，()f x 在(0,)2a -上单调递减，(,)2a-+∞上单调递增， 所以222min()()ln()02422a a a af x f a =-=+--≥，解得3420-≤<e a ；综上，a 的取值范围34[2,1]e -. (3)法一：显然，1x =不是()g x 的零点，所以1x ≠由()0g x =，得22ln x a x =，令2()ln x h x x=，2(2ln 1)()(ln )x x h x x '-=，令()0h x '=得12x e =， 当121[,1)(1,]x e e∈时，()0f x '<；当12(,]e x e ∈时，()0f x '>，所以()h x 在1[,1)e和12(1,]e 单调递减，12(,]e e 单调递增，又1[,1)x e ∈时，()0h x <，22ln x a x=不成立，所以只需12222()2()a h e e a h e e⎧⎪>=⎨⎪≤=⎩，故a 的取值范围[,]e e -⋃．法二：22222()ln ,()x a g x x a x g x x-'=-=，当0a =时，不合题意，舍去；当0a >时，()g x在上单调递减，)+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)01()0()0e e g g e g e ⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln 0211ln 0ln 0a e a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得]a e ∈； 当0a <时，()g x在(0,上单调递减，()+∞上单调递增，要使()g x 在区间1[,]e e内有两个零点，则需满足1(,)(01()0()0e e g g e g e ⎧⎪⎪⎪<⎪⎨⎪⎪≥⎪⎪≥⎩，即222222ln(0211ln 0ln 0a a a a e e e a e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎪⎨⎪⎪-≥⎪⎪-≥⎩，解得[,a e ∈-； 综上，a的取值范围[,]e e -⋃.30．（2020·吉林高三其他（文））已知函数()32ln f x ax bx x =--．（1）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（2）若1a b ==，且()f x m ≥恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）(],0-∞．【解析】（1）当0b =时，函数()3ln f x ax x =-，可得()f x 的定义域为()0,∞+，则()321313ax f x ax x x-'=-=，①当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减．②当0a >时，由()0f x '>，得x >()f x 在⎫+∞⎪⎭上单调递增；由()0f x '<，得0x <<，则()f x 在⎛ ⎝上单调递减． （2）由1a b ==，知()32ln f x x x x =--，可得()322132132x x f x x x x x--'=--=，又由()()()()()32322223213313111131x x x x x xx x x x x x --=-+-=-+-+=-++，当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()()min 10f x f ==，则0m ≤，故m 的取值范围为(],0-∞．。

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案

完整版)导数大题练习带答案1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。

Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。

+\infty)$。

Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。

m+3]$ 上的最值。

$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。

m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为$f(m)=me^{m}$。

Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\lnx+1>\frac{1}{x}$。

证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$，$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有$x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。

2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。

Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。

$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+a$，在点 $P(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $f'(1)=a-2$，由于切线垂直于直线 $y=x+2$，所以 $a-2=-\frac{1}{1}=-1$，解得 $a=1$。

专题 函数与导数(练习)

专题 函数与导数(练习)

（新高考地区）2023届高三数学一轮复习 同步练习函数与导数____班____号 姓名_________一、选择题（1-6单选，7-8多选）1. 已知函数()f x 的导数为()f x ‘，且()()220sin f x x f x x '=++，则()'0f =A ．-2B ．-1C ．1D ．22.函数f (x )＝2|sinx |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为 A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 3. 设函数()219ln 2f x x x =-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是A ．(]1,2B ．[)4,+∞C ．(],2-∞D ．(]0,34. 已知过点(),0A a 作曲线()1e x y x =-的切线有且仅有1条，则=aA ．3-B ．3C ．3-或1D ．3或15. 已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，（e 为自然对数的底数），则函数()()()211e =--⎡⎤⎣⎦F x f f x f x 的零点个数为A ．8B ．7C ．6D ．46. 设a ,b 都为正数,e 为自然对数的底数,若1a ae b ++ln b b <,则A .ab e >B .1a b e >＋C .ab e <D .1a b e <＋7.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是 A ． B ． C ． D ． 8. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，121,02()1(2),22x x f x f x x -⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩,下列结论中正确的有A.函数()f x 在()6,5--上单调递增0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.函数()f x 的图象与直线y x =有且仅有2个不同的交点C.若关于x 的方程2[()](1)()0()f x a f x a a -++=∈R 恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8D.记函数()f x 在[]()*21,2k k k -∈N 上的最大值为k a ，则数列{}n a 的前7项和为12764. 二、填空题9. 若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝________，b ＝________.10. 已知函数()ln 2f x x ax =--在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为___________.11.已知不等式e (3)20(1)+--<<x a x x a 恰有2个整数解，则a 的取值范围为___________.12．已知函数()()ln 1f x x x a x a =+-+，.a Z ∈若存在01x >，使得()00f x <，则实数a 的最小值为________．三、解答题13. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++．(1)当2a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程；(2)设2a ≤-，证明：对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-．14. 已知函数()()x f x e ln x m =-+．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）当2m 时，证明：()0f x >．15.已知函数()()2ln 21f x x ax a x =++++，其中a ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间；(2)设Z a ∈，若对任意的0x >，()0f x ≤恒成立，求a 的最大值.1ln22n++<17. 已知函数()()ln 1f x x =+，2()1g x x bx =++（b 为常数），()()()h x f x g x =-.(1)若存在过原点的直线与函数()f x ､()g x 的图象相切，求实数b 的值；(2)当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立，求M 的最大值；(3)若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点()1,0A x ､()2,0B x ，且120x x <<，求证：12'02x x h +⎛⎫< ⎪⎝⎭.。

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。

3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。

4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。

5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。

6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。

7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。

8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。

9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。

10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。

11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。

12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。

13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。

14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。

【考研数学】函数求导数巩固练习及答案

【考研数学】函数求导数巩固练习及答案

巩固练习一、选择题1.若极限2220lim1h h f a h f a h A e ，则函数 f x 在x a 处（A ）不一定可导.（B ）不一定可导，但 f a A .（C ）不一定可导，但 f a A（D ）可导，且 f a A .2.设 223f x x x x ，则使 0n f 存在的最高阶数n （A ）0.（B ）1.（C ）2.（D ）3.3.设 21sin , 0,, 0x x f x xax b x 在0x 处可导，则,a b 满足（A ）0a ，0b .（B ）1a ，1b .（C ）a 为任意常数，0b .（D ）a 为任意常数，1b .4.设0,0x f x x 则（A ） f x 在0x 处不连续.（B ） 0f 存在.（C ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处不存在切线.（D ） 0f 不存在，曲线 y f x 在点 0,0处存在切线.二、填空题1.若函数 f x 在1x 处的导数存在，则极限112sin 213tan limx f x f x f x x______________.2.设 01f ， 00f ，则 21cos limtan x f x x ____________.3.设3232x y f x，且 2arctan f x x ，则0x dy dx _____________.4.设2sin y x ，则3dyd x ______________.5.设 f x 有任意阶导数且 3f x f x ，1n ，则 n f x _____________.6.设 2ln 1y x ，则 50y __________________.7.设21,cos ,x t y t则22d ydx _____________.8.曲线 321x y 上点 5,8处的切线方程是______________.9.曲线ln y x 上与直线1x y 垂直的切线方程为_____________.10.曲线231,x t y t上对应点2t 处的切线方程为______________.11.设函数 21sin , 0,0, 0x x f x xx的导函数在0x 处连续，则 的取值为____________.三、计算题1.计算下列各题：（Ⅰ）设2sin xy e dydx；（Ⅱ）设2x y，其中0a b ，求y .2.设 ,,x f t y tf t f t其中 f t 三阶可导，且 0f t ，求d d y x ，22d d y x ，33d d y x ；3.计算下列各题（提示，等式两边取对数后再求导）：（Ⅰ）由方程y x x y 确定 x x y ，求d d xy；（Ⅱ）方程1x y y e 确定 y y x ，求 y x ；4.设函数 y f x 有反函数 x g y ，且 3f a ， 1f a ， 2f a ，求 3g .5.设函数 cos ,0,0g x xx f x xa x其中 g x 二阶连续可导，且 01g .（1）确定常数a ，使得 f x 在0x 处连续；（2）求 f x ；（3）讨论 f x 在0x 处的连续性.答案解析一、选择题1.【分析】只有极限222222limlim1h h h f a h f a h f a h f a h A Ah e 存在并不能保证极限22limh f a h f a h 与22limh f a h f a h 都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选（A ）.例如：设()f x x a ，则222222limlim01h h h f a h f a h h h h e ，极限存在，但f x 在x a 处不可导.2.【分析】设 323,0,,0x x g x x x x x，所以22023,0,0lim 0,0,303,0x x x x x g x x x x x x x，06,0,30lim0,0,606,0x x x x x g x x x x x x，由于x 在0x 处不可导，因此2n .选（C ）.3.【分析】首先， f x 在0x 连续 00lim lim 0x x f x f x f，即0b .然后， f x 在0x 可导 00f f .当0b 时， 21sin ,0,, 0.x x f x xax x 按定义求出2001sin 00limlim0x x x f x f x f xx.由求导法则知 00x f ax a.由 00f f 得0a ，因此选（A ）.4.【分析】显然 0lim 00x f x f ，又000limlimx x f x f xx，000lim lim x x f x f x x，y f x 的图形如图：因此， 0f 不存在，但 y f x 在 0,0处存在切线0x （y 轴），选（D ）.二、填空题1.【分析】按导数定义，将原式改写成原式 01112sin 113tan 1sin tan lim 262sin 3tan x f x f f x f f x f x x x x x x x1216191f f f f .2.【分析】原式 22001cos 01cos 1cos 1lim0lim 1cos tan 2x x f x f x x f x x x .3.【分析】 y f u ，32413232x u x x，01x u . 02d 443111d 3232x x x yf f xx x3344.4.【分析一】设3u x，则x ，223x u ，23sin y u ，于是由复合函数求导法则即得2123322cos cos 33u x y u u x.【分析二】用微分来求.22233d d /cos 22cos 33d d /y y dx x x x x x x x dx.5.【分析】 2533f x f x f x f x ， 473535f x f x f x f x ，找规律得：2121!!n n f x n f x .6.【分析】 224611ln 123y x x x x ，由泰勒公式的唯一性可知：(5)(0)05!f，所以(5)(0)0f .7.【分析】d sin d 2t t y y t x t x ，2223d 1cos sin 1sin cos sin d 2d d 224ty t t t t t t t xt t x t t t.8.【分析】由隐函数求导法，将方程 321x y 两边对x 求导，得2312x yy .令5x ，8y 即得 53y .故曲线 321x y 在点 5,8处的切线方程是83537y x y x .9.【分析】与直线1x y 垂直的直线族为y x c ，其中c 是任意常数，又因ln y x 上点00000,,ln 0x y x x x 处的切线方程是 0000011ln ln 1y x x x x x x x，从而，切线与1x y 垂直的充分必要条件是00111x x ，即该切线为1y x .10.【分析】2t 时 ,5,8x y ，2d 333d 22t t y y t t x t x .切线方程为 835y x ，即37y x .11.【分析】由导数定义可求得21201sin10limlim sin x x x x f x x x .上述极限只在1 时存在，且此时 00f ，于是 f x 的导函数为132211sin 2cos ,0,0, 0.x x x f x x xx欲使 f x 在0x 处连续，必须有13220011lim lim sin 2cos 0x x f x x x x x，而这一极限为零应满足3 .三、计算题1.【解】（Ⅰ）2sin d 2sin cos ln 2d x y e x x x2sin sin212xe x（Ⅱ）12y221tan cos22a bx xa ba b a b221cos sin2211cos1cos221cosx xa b a bx xa b a ba b x.2.【解】ddtttf t f t tf tyytx f t f tx，22d dd d dd1d d d/dy yty dx dxx x x t f t，22223332d dd d dd dd1d d d/dy ytf t f tx xyx x x t f t f t f t.3.【解】（Ⅰ）两边取对数得ln lny x x y，两边对y求导，并注意x x y，得d dln lnd dy x x xx yx y y y.上式两边乘xy，并移项得22dln lndxy xy y x xy xy.解出ddxy得22d lnd lnx x xy xy y xy y.（Ⅱ）y xe y，两边取对数得lny x y.对x求导d dlnd dy x yyx y x，d d d lnlnd d dy y y yy y y xx x x y x.将ddyx的方程d dlnd dy yy y y xx x两边对x求导得22222d d d d dln2d d d d dy y y y yy y xx x x x x.解出22ddyx并代入ddyx表达式得222222ln 2ln ln d ln ln ln 2d y y x y y y y y y y y y y x y x y x y x y x 注意ln y x y ，于是 2322ln d d y x y yy x y x .4.【解】 1g y f x， 3()()f x dg y dg y dx g y dy dy dx f x.因为 3f a ，所以当3y 时，x a ，所以 332f a g f a.5.【解】（1） 00cos 01cos lim limlim 0x x x g x xg x g x f x g xx x，当 0a g 时， f x 在0x 处连续。

导数与函数的最值问题的综合练习题

导数与函数的最值问题的综合练习题

导数与函数的最值问题的综合练习题在微积分学中，导数和函数的最值问题是非常重要的内容。

通过求解导数和应用极值理论，我们可以找到函数的最大值和最小值，从而解决各种实际问题。

本文将为大家提供一系列综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用导数与函数的最值问题。

题目一：求函数f(x)=x^3-3x^2的极值点及极值。

题目二：求函数g(x)=x^2e^x在定义域[-1,2]上的最大值和最小值。

题目三：函数h(x)在开区间(0,2π)上连续。

当x∈(0,2π)时，h(x)满足h'(x)=4sin2x-2sinx，且h(π/6)=0。

求h(x)在(0,2π)上的最大值和最小值。

解答一：首先，我们需要求函数f(x)的导数。

对f(x)进行求导得到f'(x)=3x^2-6x。

要确定极值点，我们需要找出f'(x)=0的解。

将f'(x)置零，我们得到3x^2-6x=0，简化得到x(x-2)=0。

解这个方程可得x=0或x=2。

接下来，我们可以通过求解二阶导数来判断极值的类型。

f''(x)=6x-6，当x=0时f''(x)=-6，当x=2时f''(x)=6。

当f''(x)<0时，函数在该处取得极大值；当f''(x)>0时，函数在该处取得极小值。

所以，当x=0时，函数取得极大值；当x=2时，函数取得极小值。

代入f(x)得到f(0)=0和f(2)=-4。

因此，函数f(x)=x^3-3x^2在x=0处取得极大值0，在x=2处取得极小值-4。

解答二：首先，我们需要求函数g(x)在定义域内的导数。

对g(x)进行求导得到g'(x)=(2x+1)e^x。

要找到定义域[-1,2]上的最大值和最小值，我们需要判断极值点。

首先，我们需要找到g'(x)=0的解。

将g'(x)置零，我们得到(2x+1)e^x=0。

函数与导数习题及答案

函数与导数习题及答案

函数与导数 一、选择题1．已知f(x)＝xln x ，若00',2)(x x f 则=等于( )A ．2eB ．eC.ln 22D ．ln 22、设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．若函数c bx ax x f ++=24)(满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1 D.135．设f (x )为可导函数，且lim h →∞ f (3)－f (3＋h )2h＝5，则f ′(3)等于( )A ．5B ．10C ．－5D ．－106．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝7x ＋2 C ．y ＝x －4D ．y ＝x －2 7．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116)D ．(12，14)8．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点(π2，1)处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．29．已知f (x )＝12x 2－cos x ，]1,1[-∈x ，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数10．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.1211．设函数f (x )＝－2x1＋x2，则f (x )( ) A ．在(－∞，＋∞)内单调递增 B ．在(－∞，＋∞)内单调递减C ．在(－1,1)内单调递减，其余区间单调递增D ．在(－1,1)内单调递增，其余区间单调递减12.如图所示是函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B ．函数f (x )在区间(－3,2)上是减函数C ．函数f (x )在区间(0,2)上是减函数D ．函数f (x )在区间(－3,2)上是单调函数13．已知函数f (x )＝mx 3＋3(m －1)x 2－m 2＋1(m >0)的单调递减区间是(0,4)，则m 等于( )A ．3 B.13 C ．2 D.1214．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间是( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞) 15．若f (x )是定义在R 上的可导函数，且对任意x ∈R ，满足f (x )＋f ′(x )>0，则对任意实数a ，b ( )A ．a >b ⇔e a f (b )>e b f (a )B ．a >b ⇔e a f (b )<e b f (a )C ．a >b ⇔e a f (a )<e b f (b )D ．a >b ⇔e a f (a )>e b f (b )16．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)17.已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．418．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．219．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－1，12)C ．(12，2)D ．(－2,1)20．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α为( ) A.π4 B ．0 C.3π4D ．1 21．已知点A (1,2)在函数f (x )＝ax 3的图象上，则过点A 的曲线C ：y ＝f (x )的切线方程是( ) A ．6x －y －4＝0 B ．x －4y ＋7＝0C ．6x －y －4＝0或x －4y ＋7＝0D ．6x －y －4＝0或3x －2y ＋1＝022．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)内存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0) B ．(－5,0) C ．[－3,0)D ．(－3,0)23．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2 B ．1<a <4 C ．2<a <4D ．a >4或a <124．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2 (a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[3，2)D ．(3，2)25．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)26．当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]27．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．228．曲线y ＝ln x 在x ＝3处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π229．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1，0)B ．(2，8)C ．(2，8)或(－1，－4)D ．(1，0)或(－1，－4)30．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12B ．1C ．－2D ．3 31．若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝( )A ．1 B.12C ．0D ．－132．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )A B C D33．定义域为R 的函数f (x )，满足f (0)＝1，f ′(x )＜f (x )＋1，则不等式f (x )＋1＜2e x 的解集为( )A ．{x ∈R |x >1}B ．{x ∈R |0＜x ＜1}C ．{x ∈R |x ＜0}D ．{x ∈R |x ＞0}34．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在区间[－1，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜34 B.12＜a ＜34 C ．a ≥34 D ．0＜a ＜1235．设1＜x ＜2，则 ln x x ，⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2，ln x 2x 2的大小关系是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x x ＜ln x2x 2B.ln x x ＜⎝⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x2x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln x 2x 2＜ln xxD.ln x 2x 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＜ln xx36．函数214y x x=+的单调增区间为（ ） A ．(0,)+∞B ．1(,)2+∞C ．(,1)-∞-D ．1(,)2-∞-37．如果函数()y f x =的图象如左下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）38．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为（ ） A ．eB ．e -C ．1eD ．1e-39．函数f （x ）＝ax 3－x 在R 上为减函数，则（ ） A ．0a ≤B ．1a <C ．0a <D ．1a ≤40．函数()f x 的定义域为R ，(1)2f -=，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,)-∞+∞41．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．(,3)(6,)-∞-+∞ C ．(3,6)-D ．(,1)(2,)-∞-+∞42．函数2ln xy x=的极小值为（ ）A ．24e B ．0 C ．2eD ．143．函数,[0,4]x y xe x -=∈的最小值为（ ） A ．0B ．1eC ．44e D ．22e 44．设直线x t =与函数2()f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12C D 45．设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R ．若1x =-为函数()x f x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（ ）二、填空题1．曲线y ＝ln x －1在x ＝1处的切线方程为____________．2．已知函数3()3f x x ax a =--在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是___________．3．若曲线5()l n f x a x x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．4．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为________．5． 已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．6．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________．7．设函数f(x)＝(x2＋2x－2)e x(x∈R)，则f(x)的单调递减区间是________．) 8．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是____________．10．设函数f(x)＝ax＋1x＋b(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.则函数f(x)的解析式为____________．11．已知函数f(x)＝ln x－f′(－1)x2＋3x－4，则f′(1)＝________.12．已知曲线y＝13x3上一点P(2，83)，则过点P的切线方程为____________________________________．13．已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________．14．已知函数f(x)＝x2＋3x－2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为__________．15．已知函数f(x)＝12x2－2ax－a ln x在(1,2)上单调递减，则a的取值范围是________．16．设函数y＝f(x)，x∈R的导函数为f′(x)，且f(x)＝f(－x)，f′(x)<f(x)．则下列三个数：e f(2)，f(3)，e2f(－1)从小到大依次排列为________________．17．曲线y＝x(x＋1)(2－x)有两条平行于直线y＝x的切线，则两切线之间的距离是________．18．已知函数f(x)＝x ln k－k ln x(k>1)的图象不经过第四象限，则函数g(x)＝f(x)＋k的值域为________．19．若函数f(x)＝ln x＋ax存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________________．20．函数f(x)＝ax－cos x，x∈[π4，π3]，若∀x1，x2∈[π4，π3]，x1≠x2，f(x2)－f(x1)x2－x1<0，则实数a的取值范围是________．21．若f (x )＝13x 3－ax 2＋x 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________________．22．已知函数f (x )＝e x1＋ax 2(a >0)，若f (x )为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是________．23．函数f (x )＝2ln x ＋x 2在点x ＝1处的切线方程是________．24．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (1)＝0，f ′(1)＝0，但x ＝1不是函数f (x )的极值点，则abc 的值为________． 25．已知函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围为___________． 三、解答题1．已知函数2()(2),(,)x f x x ax e x a R =++∈．（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的图像在点(1,(1))A f 处的切线方程； （Ⅱ）若()f x 在R 上单调，求a 的取值范围； （Ⅲ）当52a =-时，求函数()f x 的极小值．2．已知函数f (x )＝ln 2x －kx 在定义域内单调递减，求实数k 的取值范围．3．已知函数f (x )＝(x ＋1)2(x －2)，当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )的最大值为0，求实数a 的取值．4．已知x＝0是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的一个极值点，f(x)的图像经过点A(3，0)．设f(x)在其图像上不同两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)处的切线分别为l1，l2.当l1∥l2时，求证x1＋x2为定值．5．已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x(a∈R)．若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并说明f(x)的极小值小于－3 2.6．设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a<b<c)，在x＝1处取得极值，其图像在x ＝m处的切线的斜率为－3a.(1)求证：0≤ba<1；(2)若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围．7．已知函数f(x)＝e x2－1e x－ax(a∈R)．(1)当a＝32时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，求实数a的取值范围．8．若x0是函数y＝f(x)的极值点，同时也是其导函数y＝f′(x)的极值点，则称x0是函数y＝f(x)的“致点”．(1)已知a>0，求函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x的极值和单调区间；(2)函数f(x)＝(x2＋ax＋1)e x是否有“致点”？若有，求出“致点”；若没有，试说明理由．9．设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．10．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象在点(1，f(1))处的切线方程为6x－2y－1＝0，f′(x)为f(x)的导函数，g(x)＝a e x(a，b，c∈R，e为自然对数的底数)．(1)求b，c的值；(2)若∃x0∈(0,2]，使g(x0)＝f′(x0)成立，求a的取值范围．12．(2015·南平质检)已知函数f (x )＝sin x ，g (x )＝mx －x 36(m 为实数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点P (π4，f (π4))处的切线方程； (2)求函数g (x )的单调递减区间；(3)若m ＝1，证明：当x >0时，f (x )<g (x )＋x 36.13．(2015·北京)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．14．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋sin 2x cos 2x －sin x cos x 的值．15．已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )的单调区间； (2)当1≤a ≤1＋e 时，求证：f (x )≤x .16．已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，a ∈R ， (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－2x ＋1，若对任意x 1∈(0，＋∞)，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求实数a 的取值范围．17．(2015·陕西)设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n .18．(2015·山东济宁育才中学上学期期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝12ax 2－ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)讨论f (x )的单调性；(3)是否存在实数a ，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(a－2)x.(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．20．已知函数f(x)＝e x－ax－1(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)函数F(x)＝f(x)－x ln x在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由．(3)若g(x)＝ln(e x－1)－ln x，当x∈(0，＋∞)时，不等式f(g(x))＜f(x)恒成立，求a的取值范围．21．已知函数f(x)＝e x－a2x2e|x|.(1)若f(x)在[0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)证明：当a≥1时，不等式f(x)≤x＋1对x∈R恒成立；(3)对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0>0，使得f(x0)>x0＋1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x－ln x－1.(1)求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；(2)若x∈(0，＋∞)时，f(x)≥ax－2恒成立，求实数a的取值范围．23．已知函数f(x)＝x2－3x＋a ln x(a＞0)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)设函数f(x)图像上任意一点处的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．24．设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x (p >1，e 是自然对数的底数)．(1)若对任意x ∈[2，e]，不等式f (x )>g (x )恒成立，求p 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[2，e]，总存在x 2∈[2，e]，使不等式f (x 1)>g (x 2)成立，求p 的取值范围．25．已知函数f (x )＝1＋ln xx .(1)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1，a ＋14内有极值，求实数a 的取值范围；(2)当x ≥1时，不等式f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)求证：[(n ＋1)！]2＞(n ＋1)e n －2＋2n ＋1.(n ∈N *，e 为自然对数的底数)26．已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，g (x )＝e x －x ＋1.(a 为常数，e 为自然对数的底数)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上无零点，求a 的最小值；(3)若对任意给定的x 0∈(0，1]，在(0，e]上总存在两个不同的x i (i ＝1，2)，使得f (x i )＝g (x 0)成立，求a 的取值范围．27．设a ∈R ，函数2()()e x f x x ax a =--．（1）若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在[2,2]-上的最小值．28．已知函数3()1f x x ax =--．（Ⅰ）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a ，使()f x 在(1,1)-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．29．已知函数()ln 3()f x a x ax a =--∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()['()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围．30．已知函数()()x f x x k e =-．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值．31．已知函数2()ln(1)(1)f x a x x =+++在1x =处有极值． （Ⅰ）求实数a 值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）令()'()gx f x=，若曲线()g x 在(1,(1))g 处的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点（O 为坐标原点），求AOB ∆的面积．32．已知函数()ln(21)1f x a x bx =+++．（Ⅰ）若函数()y f x =在1x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线230x y +-=平行，求a 的值；（Ⅱ）若12b =，试讨论函数()y f x =的单调性．33．已知函数2()1x af x x +=+（其中a R ∈）．（Ⅰ）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线为12y x b =+，求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间．34．已知函数()ln a f x x x=+．（Ⅰ）当0a <时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是32，求a 的值．35．已知函数()2ln pf x px x x=--． （Ⅰ）若2p =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围．36．已知函数()32331f x ax x a=-+-(R a ∈，且0)a ≠，求()f x '及函数()f x 的极大值与极小值．37．已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x -≤-．38．已知函数()ln a xf x x x-=+，其中a 为大于零的常数． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线1-2y x =平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间[1,2]上的最小值．39．已知函数22()ln axf x x e=-(a ∈R ,e 为自然对数的底数)． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0,)()P t t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x 和22212(,())()P x f x x x ≠，求证：120x x +=．一、选择题1-5 BDBCD 6-10 DDADB 11-15 CABBD 16-20 BBCAA21-25 DCBDC 26-30 CBADA 31-35 BADCA 36-40 BACAB 41-45 BBADD 二、填空题1、x －y －2＝02、（0,1）3、（－∞，0）4、25、86、a ＝37、(－4，0) 8、a ＝8 9、(－∞，－1)∪(0，1) 10、f (x )＝x ＋1x －111、a ＝3. 12、[45，＋∞) 13、(－π，－π2]和[0，π2] 14、.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 15、12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0 16、f (3)<e f (2)<e 2f (－1) 17、16227 18、[e ，＋∞) 19、(－∞，2－1e )∪(2－1e，2) 20、(－∞，－1)∪(1，＋∞) 21、(－∞，－32] 22、[e ，＋∞）23、4x －y －3＝0 24、9 25、(0,1] 三、解答题1、解:2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++（Ⅰ）当a=0时，2()(2),x f x x e =+2()(22)x f x e x x '=++,(1)3f e =,(1)5f e '=,∴函数f （x ）的图像在点A （1,f （1））处的切线方程为y-3e=5e （x-1）,即5ex-y-2e=0（Ⅱ）2()[(2)2]x f x e x a x a '=++++,考虑到0x e >恒成立且2x 系数为正，∴f （x ）在R 上单调等价于 2(2)20x a x a ++++≥恒成立. ∴（a+2）2-4（a+2）≤0,∴-2≤a ≤2 ， 即a 的取值范围是[-2，2]， （若得a 的取值范围是（-2，2），可扣1分）（Ⅲ）当52a =-时, 25()(2),2x f x x x e =-+211()()22x f x e x x '=--,令()0f x '=，得12x =-，或，令()0f x '>，得12x <-，或，令()0f x '<，得112x -<<x,()f x ',f （x ）的变化情况如下表所以，函数f （x ）的极小值为f （1）=2e2.．解：∵函数f (x )在定义域内单调递减，∴f ′(x )＝2ln xx －k ≤0在(0，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝ln xx ，则φ′(x )＝1－ln x x 2，∴φ(x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2e ，＋∞3．解：f ′(x )＝2(x ＋1)(x －2)＋(x ＋1)2＝3(x －1)(x ＋1)，所以f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减， 所以极大值为f (－1)＝0.又f (2)＝0，所以a ＋2＝2或⎩⎨⎧a ≤－1，a ＋2≥－1，得a ＝0或－3≤a ≤－1.4．证明：由f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由x ＝0是函数f (x )的一个极值点知f ′(0)＝c ＝0.又由f (x )的图像经过点A (3，0)，得f (3)＝27＋9b ＋3c ＝0， 所以b ＝－3，所以f (x )＝x 3－3x 2.由l 1∥l 2，得f ′(x 1)＝f ′(x 2)，即3x 21－6x 1＝3x 22－6x 2， 即3(x 1－x 2)(x 1＋x 2－2)＝0.因为x 1－x 2≠0，所以x 1＋x 2＝2， 所以当l 1∥l 2时，x 1＋x 2为定值．5．解：f ′(x )＝2ax 2－2x ＋1x，由题知2ax 2－2x ＋1＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实根．设方程2ax 2－2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2，根据题意得0<a <12， 所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减， 在(x 2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )极小值＝f (x 2)．f (x 2)<－32的证明如下：由f ′(x 2)＝0，得2ax 22－2x 2＋1＝0，则a ＝2x 2－12x 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，解得x 2>12且x 2≠1.f (x 2)＝x 22·2x 2－12x 22－2x 2＋ln x 2＝－x 2－12＋ln x 2，令g (x )＝－x －12＋ln x ，g ′(x )＝－1＋1x ＝1－x x ，则g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max <g (1)＝－32，所以f (x )的极小值小于－32.6．解：(1)证明：f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设，得f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，① f ′(m )＝3am 2＋2bm ＋c ＝－3a .②∵a <b <c ，∴6a <3a ＋2b ＋c <6c ，∴a <0，c >0.将①代入②得3am 2＋2bm －2b ＝0，∴Δ＝4b 2＋24ab ≥0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋6ba ≥0，∴b a ≤－6或b a ≥0③.将c ＝－3a －2b 代入a <b <c 中，得－1<ba <1.④ 由③④得0≤ba <1.(2)由(1)知，f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a <0)，Δ＝4b 2－12ac >0，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不等的实根，不妨设其为x 1，x 2，又f ′(1)＝3a ＋2b ＋c ＝0，∴不妨令x 1＝1，则x 2＝－2b3a －1， ∴x 2<0<x 1，∴当x <x 2或x >x 1时，f ′(x )<0；当x 2<x <x 1时，f ′(x )>0.∴函数f (x )的单调递增区间是[x 2，x 1]．∵|x 1－x 2|＝2＋2b3a ，0≤b a <1，∴2≤|x 1－x 2|<83.∵函数f (x )在区间[s ，t ]上单调递增，∴[s ，t ]⊆[x 2，x 1]，∴0<|s －t |<83，即|s －t |的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83.7．解 (1)当a ＝32时，f (x )＝e x 2－1e x －32x ， f ′(x )＝12e x [(e x )2－3e x ＋2]＝12e x (e x －1)(e x －2)， 令f ′(x )＝0，得e x ＝1或e x ＝2，即x ＝0或x ＝ln 2； 令f ′(x )>0，得x <0或x >ln 2； 令f ′(x )<0，得0<x <ln 2.∴f (x )的增区间是(－∞，0]，[ln 2，＋∞)，减区间是(0，ln 2)． (2)f ′(x )＝e x 2＋1e x －a ， 令e x ＝t ，由于x ∈[－1,1]， ∴t ∈[1e ，e]．令h (t )＝t 2＋1t (t ∈[1e ，e])，h ′(t )＝12－1t 2＝t 2－22t 2，∴当t ∈[1e ，2)时，h ′(t )<0，函数h (t )为单调递减函数； 当t ∈(2，e]时，h ′(t )>0，函数h (t )为单调递增函数．故h(t)在[1e，e]上的极小值点为t＝2，且h(2)＝ 2.又h(e)＝e2＋1e<h(1e)＝12e＋e，∴2≤h(t)≤e＋12e.∵函数f(x)在[－1,1]上为单调函数，①若函数在[－1,1]上单调递增，则a≤t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≤2；②若函数f(x)在[－1,1]上单调递减，则a≥t2＋1t对t∈[1e，e]恒成立，所以a≥e＋12e，综上可得a的取值范围是(－∞，2]∪[e＋12e，＋∞)．8．解(1)由已知得，f′(x)＝(x2＋ax＋1)e x＋e x(2x＋a)＝[x2＋(a＋2)x＋a＋1]e x＝(x ＋a＋1)(x＋1)e x.∵a>0，∴－a－1<－1.∴当x∈(－∞，－a－1)时，f′(x)>0；当x∈(－a－1，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0.f(x)的单调递增区间为(－∞，－a－1)和(－1，＋∞)，单调递减区间为(－a－1，－1)．且当x＝－1时，f(x)有极小值(2－a)e－1，当x＝－a－1时，f(x)有极大值(a＋2)e－a－1.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)(x＋1)e x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝[x2＋(a＋4)x＋2a＋3]e x.假设f(x)有“致点”x0，则x0首先应是f(x)的极值点，即f′(x0)＝0，∴x0＝－1或x0＝－a－1.当a＝0时，－a－1＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，f(x)无极值．∴要使f(x)有极值，须a≠0.若x0＝－1，则由题意可知g′(－1)＝0，∴1－(a＋4)＋2a＋3＝0，解得a＝0，与a≠0矛盾，即－1不是f(x)的“致点”．若x0＝－a－1，则g′(－a－1)＝0，即(a＋1)2－(a＋4)·(a＋1)＋2a＋3＝0，解得a ＝0，与a≠0矛盾，即－a－1也不是f(x)的“致点”．∴函数f(x)无“致点”．9．解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2，∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)．令f′(x)>0，即x(e x－2)>0，∴x>ln 2或x<0.令f′(x)<0，即x(e x－2)<0，∴0<x<ln 2.因此函数f(x)的单调递减区间是(0，ln 2)；单调递增区间是(－∞，0)和(ln 2，＋∞)．(2)易知f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2kx＝x(e x－2k)．∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，f′(x)＝x(e x－2k)≥0恒成立．∴e x－2k≥0，即2k≤e x在[0，＋∞)上恒成立．由于e x≥1，∴2k≤1，则k≤12.又当k ＝12时，f ′(x )＝x (e x －1)≥0，当且仅当x ＝0时取等号． 因此，实数k 的取值范围是(－∞，12]． 10．解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ， 故f ′(x )＝3ax 2＋b .由于f (x )在x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3， f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.11．解(1)由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋c，∴f′(1)＝2b＋c＋3＝3.又f(1)＝b＋c＋1，点(1，f(1))在直线6x－2y－1＝0上，∴6－2(b＋c＋1)－1＝0，故b＝－32，c＝3.(2)∵g(x0)＝f′(x0)，∴a e x0＝3x20－3x0＋3，∴a＝3x20－3x0＋3e x0.令h(x)＝3x2－3x＋3e x，则h′(x)＝－3(x2－3x＋2)e x，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝2.当x变化时，h(x)与h′(x)在x∈(0,2]上的变化情况如下表所示：∴h(x)在x∈(0,2]上有极小值h(1)＝3e ，又h(2)＝9e2，h(0)＝3>9e2，∴h(x)在x∈(0,2]上的取值范围为[3e，3)，∴a的取值范围为[3e，3)．12．(1)解 由题意得所求切线的斜率k ＝f ′(π4)＝cos π4＝22. 切点P (π4，22)，则切线方程为y －22＝22(x －π4)， 即x －2y ＋1－π4＝0. (2)解 g ′(x )＝m －12x 2.①当m ≤0时，g ′(x )≤0，则g (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)； ②当m >0时，令g ′(x )<0， 解得x <－2m 或x >2m ，则g (x )的单调递减区间是(－∞，－2m )，(2m ，＋∞)． (3)证明 当m ＝1时，g (x )＝x －x 36.令h (x )＝g (x )＋x 36－f (x )＝x －sin x ，x ∈(0，＋∞)， h ′(x )＝1－cos x ≥0，则h (x )是(0，＋∞)上的增函数，故当x >0时，h (x )>h (0)＝0，即sin x <x ，f (x )<g (x )＋x 36. 13．(1)解 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x ，k (k f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值．(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1， e ]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0， e )上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0， 所以f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1， e ]上仅有一个零点14．解 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ， 则f ′(x )＝cos x －sin x ， 代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋(f (x ))2，可得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， 当2x ＋π4＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1，其最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由f (x )＝2f ′(x )，易得sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ，解得tan x ＝13.∴1＋sin2xcos2x－sin x cos x ＝2sin2x＋cos2xcos2x－sin x cos x＝2tan2x＋11－tan x＝116.15．(1)解当a＝12时，f(x)＝12x－ex.f′(x)＝12－e x，令f′(x)＝0，得x＝－ln 2.当x<－ln 2时，f′(x)>0；当x>－ln 2时，f′(x)<0，∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－ln 2)；单调递减区间为(－ln 2，＋∞)．(2)证明令F(x)＝x－f(x)＝e x－(a－1)x，①当a＝1时，F(x)＝e x>0，∴f(x)≤x成立．②当1<a≤1＋e时，F′(x)＝e x－(a－1)＝e x－e ln(a－1)，∴当x<ln(a－1)时，F′(x)<0；当x>ln(a－1)时，F′(x)>0，∴F(x)在(－∞，ln(a－1))上单调递减，在(ln(a－1)，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(ln(a－1))＝e ln(a－1)－(a－1)·ln(a－1)＝(a－1)[1－ln(a－1)]，∵1<a≤1＋e，∴a－1>0,1－ln(a－1)≥1－ln[(1＋e)－1]＝0，∴F(x)≥0，即f(x)≤x成立．综上，当1≤a≤1＋e时，f(x)≤x.16．解(1)f′(x)＝a＋1x＝ax＋1x(x>0)．①当a≥0时，由于x>0，故ax＋1>0，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a ，在区间(0，－1a )上，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 在区间(－1a ，＋∞)上，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(0，－1a )，f (x )的单调递减区间为(－1a ，＋∞)． (2)由已知，转化为f (x )max <g (x )max ， 又g (x )max ＝g (0)＝1.由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意． 当a <0时，f (x )在(0，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减， 故f (x )的极大值即为最大值，即f (x )max ＝f (－1a )＝－1＋ln(－1a )＝－1－ln(－a )， 所以1>－1－ln(－a )，解得a <－1e 2. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1e 2)．17．(1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1， 所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n 2n －1，① 则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n 2n ，②①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n 2n ＝1＋2－2n 1－2－n 2n ＝(1－n )2n －1，所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2， 可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n＋1. (2)证明 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23－1＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≥1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＞0， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0， 所以f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内单调递增，因此f n (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12， 故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.18．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x (x >0)， f ′(x )＝x －1x ，x >0，∴k ＝f ′(1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为0.(2)f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x >0.当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝aa (负值舍去)． 当x ∈(0，a a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，aa )上单调递减； 当x ∈(a a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(aa ，＋∞)上单调递增． (3)存在a ∈(0，e 3)，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根． 理由如下：由(2)可知当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，方程f (x )＝2不可能有两个不等的实数根；当a >0时，函数f (x )在(0，a a )上单调递减，在(aa ，＋∞)上单调递增，使得方程f (x )＝2有两个不等的实数根，等价于函数f (x )的极小值f (a a )<2，即f (a a )＝12＋12ln a <2，解得0<a <e 3，所以a 的取值范围是(0，e 3)．19．解： (1)∵f (x )＝ln x －ax 2＋(a －2)x ，∴函数的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x ＝－（2x －1）（ax ＋1）x.∵f (x )在x ＝1处取得极值， 即f ′(1)＝－(2－1)(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.当a ＝－1时，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1内f ′(x )＜0，在(1，＋∞)内f ′(x )＞0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )的极小值点．∴a ＝－1.(2)∵a 2＜a ，∴0＜a ＜1.f ′(x )＝1x －2ax ＋(a －2)＝1－2ax 2＋（a －2）x x＝－（2x －1）（ax ＋1）x，∵x ∈(0，＋∞)，∴ax ＋1＞0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增；在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上递减，①当0＜a ≤12时，f (x )在[a 2，a ]上单调递增，∴f (x )max ＝f (a )＝ln a －a 3＋a 2－2a ；②当⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12，a 2＜12，即12＜a ＜22时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，a 上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－ln 2－a 4＋a －22＝a 4－1－ln 2；③当12≤a 2，即22≤a ＜1时，f (x )在[a 2，a ]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (a 2)＝2ln a －a 5＋a 3－2a 2.20．解： (1)由f (x )＝e x －ax －1，得f ′(x )＝e x －a .当a ≤0时，对∀x ∈R ，有f ′(x )＞0，所以函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，由f ′(x )＞0，得x ＞ln a ；由f ′(x )＜0，得x ＜ln a ，此时函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＞0时，函数f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)，单调减区间为(－∞，ln a )．(2)函数F (x )＝f (x )－x ln x 的定义域为(0，＋∞)，由F (x )＝0，得a ＝e x－1x －ln x (x ＞0)，令h (x )＝e x －1x －ln x (x ＞0)，则h ′(x )＝（e x －1）（x －1）x 2，由于x ＞0，e x －1＞0，可知当x ＞1时，h ′(x )＞0；当0＜x ＜1时，h ′(x )＜0， 故函数h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故h (x )≥h (1)＝e －1.(随着x ＞0的增长，y ＝e x －1的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x 的增长速度，而y ＝ln x 的增长速度则会越来越慢．则当x ＞0且x 无限接近于0时，h (x )趋向于正无穷大．)故当a ＞e －1时，函数F (x )有两个不同的零点； 当a ＝e －1时，函数F (x )有且仅有一个零点； 当a ＜e －1时，函数F (x )没有零点.(3)由(1)知当a ＝1时，对∀x ＞0，有f (x )＞f (ln a )＝0，即e x －1＞x ，当x ＞0时，e x －1＞x ，故对∀x ＞0，g (x )＞0，先用分析法证明：∀x ＞0，g (x )＜x .要证对∀x ＞0，g (x )＜x ，只需证对∀x ＞0，e x －1x ＜e x，即证对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0，构造函数H (x )＝x e x －e x ＋1(x ＞0)，则H ′(x )＝x e x ＞0，故函数H (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以H (x )＞H (0)＝0，则对∀x ＞0，x e x －e x ＋1＞0成立．当a ≤1时，由(1)知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则f (g (x ))＜f (x )在(0，＋∞)上恒成立；当a ＞1时，由(1)知，函数f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，故当0＜x ＜ln a 时，0＜g (x )＜x ＜ln a ，所以f (g (x ))＞f (x )，则不满足题意． 所以满足题意的a 的取值范围是(－∞，1]．21．解： (1)∵x ∈[0，＋∞)，∴f (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2x 2， ∴f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2x 2－ax ＋1 .由题意，f ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，当a ＝0时，f ′(x )＝e x >0恒成立，即满足条件． 当a ≠0时，要使f ′(x )≥0，而e x >0恒成立，故只需－a2x 2－ax ＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＞0，－a 2·02－a ·0＋1≥0，解得a <0. 综上，a 的取值范围为a ≤0.(2)证明：由题知f (x )≤x ＋1即为e x －a2x 2e |x |≤x ＋1.在x ≥0时，要证明e x－a 2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2＋x ＋1e x ，①令g (x )＝a 2x 2＋x ＋1e x ，得g ′(x )＝ax ＋1·e x －（x ＋1）e x （e x ）2＝ax －xe x ，整理得g ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，∵x ≥0时，1e x ≤1，结合a ≥1，得g ′(x )≥0，∴g (x )在[0，＋∞)上是增函数，故g (x )≥g (0)＝1，从而①式得证．在x ≤0时，要使e x －a2x 2e |x |≤x ＋1成立，只需证e x ≤a 2x 2e －x ＋x ＋1，即证1≤a2x 2e －2x ＋(x ＋1)e －x ，②令m (x )＝ax 22e －2x＋(x ＋1)e －x ，得m ′(x )＝－x e －2x [e x ＋a (x －1)]， 而φ(x )＝e x ＋a (x －1)在x ≤0时为增函数， 故φ(x )≤φ(0)＝1－a ≤0，从而m ′(x )≤0，∴ m (x )在x ≤0时为减函数，则m (x )≥m (0)＝1，从而②式得证．综上所述，原不等式e x －a2x 2e |x |≤x ＋1，即f (x )≤x ＋1在a ≥1时恒成立．(3)要使f (x 0)>x 0＋1成立，即e x 0－a 2x 20e x 0＞x 0＋1，变形为ax 202＋x 0＋1e x 0－1<0，③要找一个x 0>0使③式成立，只需找到函数t (x )＝ax 22＋x ＋1e x －1的最小值，满足t (x )min ＜0即可．∵t ′(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ， 令t ′(x )＝0得e x ＝1a ，则x ＝－ln a ，在0<x <－ln a 时，t ′(x )＜0，在x >－ln a 时，t ′(x )＞0，即t (x )在(0，－ln a )上是减函数，在(－ln a ，＋∞)上是增函数，∴ 当x ＝－ln a 时，t (x )取得最小值t (－ln a )＝a2(ln a )2＋a (－ln a ＋1)－1.下面只需证明：a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0在0＜a ＜1时恒成立即可．令p (a )＝a2(ln a )2－a ln a ＋a －1,则p ′(a )＝12(ln a )2≥0，从而p (a )在(0，1)上是增函数，则p (a )＜p (1)＝0，从而a2(ln a )2－a ln a ＋a －1＜0，得证． 于是t (x )的最小值t (－ln a )＜0，因此可找到一个常数x 0＝－ln a (0＜a ＜1)，使得③式成立．22．解： (1)由题意得，f ′(x )＝1－1x ，∴f ′(2)＝1－12＝12，f (2)＝1－ln 2，∴曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y －(1－ln 2)＝12(x －2)⇒x －2y －2ln 2＝0.(2)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥ax －2恒成立，∴a ≤1＋1x －ln xx ，令g (x )＝1＋1x －ln xx ，则g ′(x )＝ln x －2x 2，令g ′(x )＝0⇒x ＝e 2， 可得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，∴g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2，即a ≤1－1e 2，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1－1e 223．解： (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x，由f ′(x )＞0得x ＜12或x ＞1，由f ′(x )＜0得12＜x ＜1，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.∴f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－54－ln 2；极小值为f (1)＝－2.(2)由题意知f ′(x )＝2x －3＋ax ≥22a －3＝1，∴a ＝2，此时2x ＝a x ，即2x ＝2x ，∴x ＝1，切点为(1，－2), ∴此时的切线l 的方程为x －y －3＝0.24．解： (1)由不等式f (x )－g (x )＝p ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x －2e x ＞0对x ∈[2，e]恒成立， ∴p ＞2x ln x ＋2e x 2－1对x ∈[2，e]恒成立．令h (x )＝2x ln x ＋2ex 2－1，x ∈[2，e]，则p ＞h (x )max .∵h ′(x )＝－2（1＋x 2）ln x －2x （2e －x ）－2（x 2－1）2＜0.∴h (x )在区间[2，e]上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝4ln 2＋2e 3，故p ＞4ln 2＋2e3.(2)依题意f (x )min ＞g (x )min .∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ＞0，∴f (x )在[2，e]上单调递增，故f (x )min ＝f (2)．又g (x )＝2ex 在[2，e]上单调递减，故g (x )min ＝g (e)，由f (2)>g (e)，解得p ＞4＋4ln 23. 25．解： (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－ln xx 2，由f ′(x )＝0得x ＝1，当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f (x )在x ＝1处取得唯一的极值，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14＞2a －1，2a －1＜1＜a ＋14⇒34＜a ＜1，故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1.(2)x ≥1时，不等式f (x )≥k x ＋1化为1＋ln x x ≥kx ＋1⇒k ≤（x ＋1）（1＋ln x ）x ，令g (x )＝（x ＋1）（1＋ln x ）x，由题意知k ≥g (x )在[1，＋∞)上恒成立，g ′(x )＝x －ln x x 2，再令h (x )＝x －ln x (x ≥1)，则h ′(x )＝1－1x ≥0，当且仅当x ＝1时取等号， 因此h (x )＝x －ln x 在[1，＋∞)上递增，所以h (x )≥h (1)＝1＞0，故g ′(x )＝x －ln xx 2＞0，所以g (x )在[1，＋∞)上递增，g (x )min ＝g (1)＝2， 因此k ≤2，即k 的取值范围为(－∞，2]．(3)由(2)知，当x ≥1时，f (x )≥2x ＋1恒成立，即1＋ln x x ≥2x ＋1，∴ln x ≥1－2x ＋1＞1－2x .令x ＝k (k ＋1)，k ∈N *，则有ln[k (k ＋1)]＞1－2k （k ＋1）＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1，分别令k ＝1，2，3，…，n ，。

高一数学函数与导数练习题及答案

高一数学函数与导数练习题及答案

高一数学函数与导数练习题及答案一、单选题1. 设函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 是奇函数B. f(x) 是偶函数C. f(x) 是周期函数D. f(x) 是单调递增函数答案：D2. 已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x) = 3x^2 + 2x - 1，下列哪个命题是正确的？A. f(x) 的图像在点 (-1, 0) 处有极小值B. f(x) 的图像在点 (1, 0) 处有极大值C. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有拐点D. f(x) 的图像在点 (0, 0) 处有水平切线答案：C二、填空题1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，则 f'(x) = ______。

答案：3x^2 - 4x + 32. 已知函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 - 6x + 12，其中 a 是常数，若 f(x) 在x = 1 处取得极值，则 a 的值为 ______。

答案：-3三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的导函数。

解答：f'(x) = 3x^2 - 32. 求函数 f(x) = (3x - 1) / (2x + 3) 的导函数。

解答：通过分子分母求导法则计算得到 f'(x) = (3(2x + 3) - (3x - 1) * 2) / (2x + 3)^2四、解答题1. 已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求 f(x) 的极大值和极小值点。

解答：首先求导得到 f'(x) = 3x^2 - 6x，令 f'(x) = 0，解得 x = 0 和 x = 2。

再求二阶导数得到 f''(x) = 6x - 6，代入 x = 0 和 x = 2，得到 f''(0) = -6 和 f''(2) = 6。

(完整版)导数大题练习带答案

(完整版)导数大题练习带答案

导数解答题练习1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 21-成立．2、已知函数2()ln 2(0)f x a x a x=+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.4、已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.5、已知函数1ln ()xf x x+=． (1)若函数在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1kf x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2--≥-x ax x x 恒成立.也就是++≤x x a ln x2在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令xx x x F 2ln )(++= ， 则F '2222)1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分在)10(，上F '0)(<x ，在)1(∞+，上F '0)(>x ， 因此，)(x F 在1=x 处取极小值，也是最小值， 即3)1()(min ==F x F ，所以3≤a .……4分(Ⅱ)当时，1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21ex =. ………6分 ①当210em <<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)(<x ，在]3,1(2+∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 2min 1)(ex f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+<m m m f m f 因此，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f………8分②当时21em ≥，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ，]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2ln +∞∈->+x ee x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x xf +=ln )(的最小值是21e-，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-=x e e x x G x ，则G 'xexx -=1)(，易知eG x G 1)1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分但，e e112->-从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有exe x x 211ln ->+成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x=-+，所以22'(1)111af =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由'()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）.…… 4分（Ⅱ）2222'()a ax f x x x x -=-+=， 由'()0f x >解得2x a>；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2x a=时，函数f (x )取得最小值，min 2()y f a=. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a >-即可. 则22ln 22(1)2a a a a+->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所以a 的取值范围是2(0,)e. ……………… 8分（Ⅲ）依题得2()ln 2g x x x b x=++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1；由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数()g x 在区间[e －1，e]上有两个零点，所以1()0()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩.解得21e 1e b <≤+-.所以b 的取值范围是2(1,e 1]e+-. (13)分3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）.……………… 1分因为1'()20f x x x=+>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1.……………… 3分（Ⅱ）解法一：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=设g (x )=2x 2―2ax +1，……………… 4分依题意，在区间1[,2]2上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立.…… 5分注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02g >即可……………… 6分由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94a <， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <，所以94a <，所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分解法二：21221'()2()x ax f x x a x x-+=+-=，……………… 4分依题意得，在区间1[,2]2上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x<+. ……………… 5分设1()2g x x x =+，所以2a 小于函数g (x )在区间1[,2]2的最大值. 又因为1'()2g x x=-，由21'()20g x x=->解得2x >；由21'()20g x x =-<解得02x <<.所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22上递减. 所以函数g (x )在12x =，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，94a <所以实数a 的取值范围是9(,)4-∞.……………… 8分（Ⅲ）因为2221'()x ax f x x-+=，令h (x )=2x 2―2ax +1①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时，（i ）当Δ≤0，即0a <≤时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此时，函数f (x )没有极值点；……………… 10分（ii ）当Δ＞0时，即a >x <<h (x )＜0，这时f '(x )＜0；当02a x <<或2a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0；所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2a x +=是函数f (x )的极小值点.……………… 12分综上，当a ≤f (x )没有极值点；当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极小值点.4．解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得23a =. ………3分(Ⅱ)(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a. ………6分③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a >时，102a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a. ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.……10分 ②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0因为x a x x f +-=2'2)(，所以()111212'-=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2,2ln 2xx x f x x x f -=-+= 由()0'>x f解得x ＞2 ； 由()0'<x f 解得0＜x ＜2所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分(Ⅱ)22'22)(x ax x a x x f -=+-= 由()0'>x f 解得;2a x >由()0'<x f 解得a x 20<<所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2,0(a 上单调递减所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2(min af y =因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a af 即可则)1(222ln 22->-+a a a a，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e……… 8分(Ⅲ)依题意得b x xx g --+=2ln 2)(，则22'2)(x x x x g -+= 由()0'>x g 解得x ＞1，由()0'<x g 解得0＜x ＜1所以函数g (x )在区间[]e ,e 1-上有两个零点，所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥-0)1(0)(0)(1g e g e g 解得121-+≤<e e b所以b 得取值范围是]12,1(-+e e……… 12分6、解：(1)因为1ln ()x f x x +=，0x >，则2ln ()xf x x'=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分∵函数()f x 在区间1(,)2a a +(其中0a >)上存在极值，∴1,11,2a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得112a <<．……….5分(2)不等式()1k f x x ≥+，即为(1)(1ln )x x k x++≥， ………7分记(1)(1ln )()x x g x x ++=∴22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x xg x x x'++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x=-，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分。

导数和三角函数练习题(有答案)

导数和三角函数练习题(有答案)

复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则（ ）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（ ） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ）A ．1B ．0 C9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f 10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象 （ ）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数， 所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ） 【解析】 试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭， 所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴= 10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ） 【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数； B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数； C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i n 2α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题(含答案)

高三数学一轮复习《函数与导数》练习题（含答案）一、单选题1．已知()()12222x x a a a a -++>++，则x 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(0，2)D ．R 2．函数()()2108210x f x x x x +=≤≤++的值域为 A ．11,86⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]6,8 C ．11,106⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]6,103．已知函数()22,0,()2,0x x x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（ ）A ．ln33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1- 4．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]1,1-是()f x 的一个“完美区间”B ．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+5．函数()f x 对任意x ∈R ，都有()()()12,1f x f x y f x =+=-的图形关于()1,0对称，且()71f =- 则()2021f =（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．26．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无数7．若函数()()ln 1x f x ke x =-+的值域为R ，则实数k 的最大值为（ ） A ．1e - B ．2e - C ．e D ．2-8．已知()f x 为偶函数，当0x ≤时，1()e x f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线斜率是（ ）A ．1B ．2C ．eD ．2e 1---二、多选题9．已知函数()21e x x x f x +-=，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 既存在极大值又存在极小值B ．函数()f x 存在3个不同的零点C ．函数()f x 的最小值是e -D ．若[),x t ∈+∞时，()2max 5e f x =，则t 的最大值为2 10．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且2()()(32)()x x f x x f x +'<+恒成立，则必有（ ）A ．()(3)181f f >B ．()()261f f <C ．()131162f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭D ．()()332f f <11．若曲线()20y ax a =≠与ln 1y x =+存在公共切线，则实数a 的可能取值是（ ）A ．－1B ．eC ．e 2D ．12 12．下列各式比较大小，正确的是（ ）A ．1.72.5＞1.73B ．24331()22->C ．1.70.3＞0.93.1D ．233423()()34> 三、填空题 13．已知函数23,0()21,0x x x f x x +≤⎧=⎨+>⎩，则()()1f f -的值为______． 14．函数()()2ln 3x x f x x +=-的零点是__________． 15．已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,m m x y x y x y ，则1ni i x ==∑___________.16．已知函数()f x ，给出下列四个结论：①函数2y x 是偶函数；②函数1y x x=-是增函数；③函数()f x 定义域为I ，区间D I ⊆，若任意12,x x D ∈，都有1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在区间D 上单调递增； ④()f x 定义域为I ， “对于任意x I ∈，总有()f x M ≥ (M 为常数)”是“函数()f x 在区间I 上的最小值为M ”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是___________.四、解答题17．已知函数()sin x f x e x =⋅．（1）求函数在()()0,0f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值．18．近日，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数()f x 与空气污染指数()p x 的关系为：()()()()10244f x p x p x k x =-+<≤，其中空气污染指数()p x 与时刻x （小时）和1x 的算术平均数成反比，且比例系数为12，k 是与气象有关的参数，10,2k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求空气污染指数()p x 的解析式和最大值；(2)若用每天环境综合污染指数()f x 的最大值作为当天的综合污染指数，该市规定：每天的综合污染指数最大值不得超过1．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？请说明理由．19．某汽车租赁公司有200辆小汽车.若每辆车一天的租金为300元，可全部租出;若将出租收费标准每天提高10x 元(1≤x ≤50，x ∈N *)，则租出的车辆会相应减少4x 辆.（1）求该汽车租赁公司每天的收入y (元)关于x 的函数关系式；（2）若要使该汽车租赁公司每天的收入超过63840元，则每辆汽车的出租价格可定为多少元?20．已知幂函数()223m m f x x -++=，()m Z ∈为偶函数，且在区间()0,∞+上是增函数.函数()()224log log m g x x x =-，1,2x ⎡⎤∈⎣⎦（1）求m 的值；（2）求()g x 的最小值.21．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域22．为了美化校园环境，学校打算在兰蕙广场上建造一个矩形花园，中间有三个完全一样 的矩形花坛，每个花坛的面积均为294平方米，花坛四周的过道宽度均为2米，如图所示，设矩形花坛的长为x 米，宽为y 米，整个矩形花园的面积为S 平方米.（1）试用x 、y 表示S ；（2）为了节约用地，当矩形花坛的长为多少米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为多少平方米?参考答案1．B2．C3．A4．C5．B6．B7．B8．B9．ACD10．BD11．ABC12．BC13．314．1.15．m16．①③④17．（1）0x y -=．（2）()max 0f x =．()π4min 22f x e -=- 18．(1)()21x p x x =+，(]0,24x ∈，()max 12p x =; (2)没有超标；19．（1）y=-40x 2+800x +60000(1≤x ≤50，x ∈N *)；（2）390元或400元或410元.20．（1）1m =；（2）116-. 21．[]4,-+∞.22．（1）312832S xy y x =+++；（2）矩形花坛的长为21米时，新建矩形花园占地最少，占地最少为1250平方米。

高中数学总复习函数与导数专题练习

高中数学总复习函数与导数专题练习

一、选择题1.设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A∩(B)等于（ ）A.{2}B.{2，3}C.{3}D.{1，3}2.设有三个命题，甲：相交直线l 、m 都在平面α内,并且都不在平面β内；乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交.那么，当甲成立时（ ） A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件3.已知命题p ：“|x -1|＞2”，命题q ：“x ∈Z ”，如果“p 且q”与“非q”同时为假命题，则满足条件的x 为（ ）A.{x|x≥3或x≤-1,x ∉Z }B.{x|-1≤x≤3,x Z }C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}4.有限集合 S 中元素的个数记作card(S)，设 A,B 都为有限集合，给出下列命题,其中真命题的序号是（ ）①A∩B=φ的充要条件是card(A ∪B)=card(A)+card(B) ②A ⊆B 的必要条件是card(A)≤ card(B) ③A ⊄B 的充分条件是card(A)≤card(B) ④A=B 的充要条件是card(A)=card(B)A.③④B.①②C.①④D.②③5.（理）已知集合A={t|使{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R }，B={t|使{x|x 2+2tx-2t=0}≠φ}，其中x ，t ∈R ，则A∩B 等于（ ）A.[-3，-2]B.（-3，-2）C.（-3，-2）D.（-∞，0）∪[2，-∞)（文）已知集合M={（x,y ）|y-1=k(x-1),x 、y ∈R }，集合N={(x,y)|x 2+y 2-2y=0,x 、y ∈R }，那么M∩N 中（ ）A.恰有两个元素B.恰有一个元素C.没有元素D.至多有一个元素6.已知f(x)=-24x -在区间M 上的反函数是其本身，则M 可以是（ ） A.[-2，2] B.[-2，0] C.[0，2] D.(-2，2)7.设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤++.0,2,0,2x x c bx x 若f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，则关于x 的方程f(x)=x 的解的个数为( )A.1B.2C.3D.48.（理）已知x ∈(-∞,1)时，不等式1+2x +(a-a 2)4x >0恒成立，则a 的取值范围是（ ） A.(-1,14) B.(-12,32) C.(-∞,14] D.(-∞,6］ （文）函数f(x)=ax 2-(3a-1)x+a 2在区间（1，+∞）上是增函数，那么实数a 的取值范围是( )A.[0,1]B.(-∞,-1)C.{-1}D.(-∞,5］ 9.若x<0，则函数y=x 2+21x-x-x1的最小值是（ ）A.-94B.0C.2D.410.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y=2x 2+1，值域为{5，19}的“孪生函数”共有( ) A.10个 B.9个 C.8个 D.7个 11.已知函数f(x)=log 2x,F(x,y)=x+y 2，则F （f(41),1）等于（ ）A.-1B.5C.-8D.312.(理)指数函数f(x)=a x （a ＞0，且a≠1）的图象如图所示，那么方程［f -1(x)］2-2f -1(x)-3=0的解集为（ ）A.｛-1，3｝B.｛271，3｝C.｛271｝ D.｛31，27｝（文）已知函数f(x)=3x-1，则它的反函数y=f -1(x)的图象是（ ）13.定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x ∈［0,2π］时，f(x)=sinx ，则f(35π)的值为( )A.-21 B.21 C.-23 D. 2314.函数y=(21)x与函数y=-162x的图象关于（ ）A.直线x=2对称B.点（4，0）对称C.直线x=4对称D.点（2，0）对称15.已知函数f(x)=⎩⎨⎧≥<,1x,log 1,x 1),-0.5)(x -(a a x 在(-∞,+∞)内是减函数，则a 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（0，0.5）C.（-∞，0.5）D.（0.5，1） 16.函数f(x)=32x 3-2x+1在区间[0,1]上是（ ）A.单调递增的函数B.单调递减的函数C.先减后增的函数D.先增后减的函数 17.曲线y=31x 3-x 2+5在x=1处的切线的倾斜角是（ ）A.6πB.3πC.4πD.34π18.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值和最小值分别是( ) A.5,-15 B.5,4 C.-4,-15 D.5,-16 19.下列图象中，有一个是函数f(x)=31x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R ，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(-1)等于（ ）A.31 B.-31 C.37 D.-31或3520.点P 的曲线y=x 3-x+32上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）A.［0,2π］ B.［0,2π］∪［43π,π］C.［43π,π］ D.(2π,43π］21.已知f(x)=-x 3-x,x ∈［m,n ］且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)=0在区间［m,n ］上( )A.至少有三个实数根B.至少有两个实根C.有且只有一个实数根D.无实根22.函数f(x)的图象无论经过平移还是关于某条直线对称翻折后仍不能与y=log 21x 的图象重合，则f(x)是（ ）A.y=2-xB.y=2log 4xC.y=log 2(x+1)D.y=21·4x23.已知函数 f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在间(1，+∞)上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数24.已知函数f(x)=x 2(ax+b)(a,b ∈R )在x=2时有极值，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f(x)的单调减区间为（ ） A.（-∞，0） B.（0，2） C.（2，+∞） D.（-∞，+∞）25.设点P 是曲线：y=x 3-3x+b(b 为实常数)上任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A.［32π,π］B.(2π,65π) C.［0,2π］∪［65π,π］ D.［0,2π)∪［32π,π)二、填空题26.下列判断：（1）命题“若q 则p”与命题“若」p 则」q”互为逆否命题；（2）“am 2<bm 2”是“a<b”的充要条件；（3）“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；（4）命题“⊂φ{1，2}”为真.则正确说法的序号为_________________.27.（理）已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0，要使同时满足①和②的所有x 的值都满足③，则实数m 的取值范围是___________.（文）已知二次函数f(x)=4x 2-2(p-2)x-2p 2-p+1,若在区间［-1，1］内至少存在一个实数c,使f(c)>0,则实数p 的取值范围是_______________.28.已知定义在区间[0，1]上的函数y=f(x)，图象如图所示.对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论：①f(x 1)-f(x 2)＞x 1-x 2； ②x 2f(x 1)＞x 1f(x 2)； ③2)()(21x f x f +＜f(221x x +).其中正确结论的序号是________________（把所有正确结论的序号都填上）.29.若函数y=f(x)=ax 3-bx 2＋cx 的图象过点A(1，4)，且当x=2时，y 有极值0，则f(-1)=_______. 30.写出一个函数的解析式f(x)=_________,使它同时满足下列条件：①定义域为R ，②是偶函数，③值域是（0，1］，④不是周期函数.（只写出满足条件的一个答案即可）三、解答题31.在M={x||x-1|>4}，P={x|x 2+(a-8)x-8a≤0}的前提下：（1）求a 的一个值，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；（2）求a 的取值范围，使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.32.在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ,S m+2,S m+1成等差数列，则a m ,a m+2,a m+1成等差数列.(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断逆命题是否为真，并给出证明.33.已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在[0，2]上有最小值3，求a 的值.34.已知对于x 的所有实数值，二次函数f(x)=x 2-4ax+2a+12(a ∈R)的值都是非负的，求关于x 的方程2+a x =|a-1|+2的根的取值范围.35.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=193x+x-21.（1）判断并证明y=f(x)在(-∞,0)上的单调性； （2）求y=f(x)的值域； （3）求不等式f(x)>31的解集.36.定义在（-1，1）上的函数f(x)，①对任意x ，y ∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)=f(xyy x ++1)；②当x ∈（-1，0）时，f(x)>0，回答下列问题:（1）判断f(x)在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由; （2）判断函数f(x)在（0，1）上的单调性，并说明理由; （3）（理）若f(51)=21，试求f(21)-f(111)-f(191)的值．37.已知函数f(x)=x 3+3ax 2-3b ，g(x)=-2x 2+2x+3(a≠0)(1)若f(x)的图象与g(x)的图象在x=2处的切线互相平行，求a 的值；(2)若函数y=f(x)的两个极值点x=x 1,x=x 2恰是方程f(x)=g(x)的两个根，求a 、b 的值；并求此时函数y=f(x)的单调区间．38.一水渠的横截面如下图所示，它的横截面曲线是抛物线形，AB 宽2m ，渠OC 深为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m.（1）求截面图中水面宽度；（2）如把此水渠改造成横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下边长为多大时，才能使所挖的土最少？ 39.已知平面向量a=(23,-21),b=(21,23).(1)证明:a ⊥b;(2)若存在不为零的实数t,x,y ,使得c=a+2xb,d=-ya+(t-2x 2)b,且c ⊥d,试求函数y=f(x)的表达式； (3)若t ∈［6,+∞］,当f(x)在区间［0,1］上的最大值为12时,求此时t 的值. 40.(理)已知函数f(x)=bx ax +2，在x=1处取得极值为2.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围； （3）若P （x 0，y 0）为f(x)=bx ax +2图象上的任意一点，直线l 与f(x)=bx ax +2的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围.（文）已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12. （1）求f(x)-f(0)的表达式； （2）若对任意的x ∈［-1,4］,都有f(x)>f′(x)成立，求f(0)的取值范围.高中总复习数学函数与导数专题练习参考答案一、选择题 1. D解析：∵B={1,3,4}，∴A∩(B)={1,3}.2. C解析：乙成立时，平面α、β有交点，即丙成立；当丙成立时，若直线l 、m 均不相交，则l 、m 与平面α、β的交线平行，此时l ∥m ，与甲矛盾，故乙也成立，即乙是丙的充要条件. 3. C解析：∵“p 且q”与“非q”同时为假命题⇒p 为假，q 为真，又|x-1|＞2⇔x<-1或x>3， ∴满足条件的x 为-1≤x≤3,x ∈Z ，即x=-1,0,1,2,3. 4. B解析：令A={1},B={2}，则card(A)=card(B)，故④为假，排除A 、C ；又令A={1},B={1,2}，则card(A)≤card(B),A ⊆B ，排除③，故选B. 5.（理）B解析：{x|x 2+2tx-4t-3≠0}=R 等价于方程x 2+2tx-4t-3=0无解， 故Δ1=(2t)2+4(4t+3)<0,-3<t<-1,∴A={t|-3<t<-1}. {x|x 2+2tx-2t=0}≠φ等价于方程x 2+2tx-2t=0有解， 故Δ2=4t 2+8t≥0,t≤-2或t≥0， ∴B={t|t≤-2或t≥0}，A∩B=(-3,-2]. （文）A解析：直线y-1=k(x-1)过圆x 2+y 2-2y=0上的点（1,1）且斜率存在，故直线与圆相交（不相切），即选A.6. B解析：∵-4-x 2∈［-2,0］,∴M ⊆［-2,0］,故选B. 7. C 解析：⎩⎨⎧-=-=-2)2()0()4(f f f ⇒f(x)=x 2+4x+2(x≤0)，f(x)=x ⇒x=2,-1,-2.8.（理）B解析：设t=2x,t ∈(0,2］，则1+2x+(a-a 2)4x>0⇔a 2-a<21tt +=(t1+21)2-41.∵t ∈(0,2)，t 1∈［21,+∞］, ∴(t 1+21)2-41∈［43,+∞］，∴ a 2-a<43⇔-21<a<23.（文）A解析：令a=-1，则f(x)=-x 2+4x+1，易知不满足题意，排除B 、C 、D ，选A. 9. D 解析：y=(x+x 1)2-(x+x1)-2=(x+x1-21)2-49，令t=x+x1，因x<0，故t≤-2. 又y=(t-21)2-49在（-∞,-2）递减，∴ y min =(-2-21)2-49=4.10. B解析：令2x 2+1=5，则x=±2；令2x 2+1=19，则 x=±3.则集合A={-2,2},B={-3,3}中各至少有一个元素为定义域中的元素，故定义域有)()(22122212C C C C +⨯+×=9种，即“孪生函数”有9个. 11. A 解析：f(41)=log 241=-2,F(f(41),1)=F(-2,1)=-2+1=-1.12.(理) B 解析：f(x)=(31)x ,f -1(x)=31log x ，由原方程得 f -1(x)=-1或3，故x=3或271.（文）D解析：根据 f -1(x)=log 3x+1的定义域及值域观察可得. 13. D 解析：f(535π)=f(32π)=f(-32π)=f(3π)=sin3π=23.14. D解析：设点(x 0,y 0)是y=(21)x图象上的点，关于点（2，0）对称点为（x,y ），则x 0=4-x,y 0=-y,又y 0=(21)x0，故-y=(21)4-x,即y=-2x-4=-162x,故选D.15. B解析：⎩⎨⎧<<<-1005.0a a ⇒0<a<0.5.16. B解析：f′(x)=2x 2-2，当 x ∈［0,1］时，f′(x)<0， 故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减.17. D 解析：∵y′|x=1=（x 2-2x ）|x=1=1-2=-1,由导数的几何意义知,曲线在该点的切线斜率为-1,∴倾斜角为43π.18. A解析：y′=6x 2-6x-12=6(x-2)(x+1), 令y ′=0,得x=2或x=-1（舍）.∵f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,∴y max =5,y min =-15. 19. B 解析：∵f′(x)=x 2+2ax+a 2-1=(x+a)2-1，又a≠0, ∴f′(x)的图象为第三个，知f′(0)=0，故a=-1，f(-1)=-31+a+1=-31.20. B解析：设点P(x 0,y 0)，在点P 处的切线的斜率为k=tanα=(x 3-x+32)′|x=x0=3x 02-1≥-1,又∵0≤α≤π，∴α∈［0,2π］∪［43π,π］.21. C解析：f′(x)=-3x 2-1<0,故f(x)在［m,n ］单调递减，又f(m)·f(n)<0,故f(m)>0,f(n)<0, ∴f(x)=0在区间［m,n ］上有且只有一个实数根. 22. D解析：y=2-x 与y=21logx 的图象关于直线y=x 对称；y=2log 4x=log 2x 与y=21log x 的图象关于x 轴对称；y=log 2(x+1)的图象向右平移一个单位即为y=21logx 的图象，故排除A 、B 、C ，选D.23. C解析：f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞，1)上有最小值，故a<1， 而g(x)=x+xa -2a ，g′(x)=1-2xa .∵x>1，a<1,∴g′(x)<0,即g(x)在（1，+∞）递减. 24. B解析：∵f(x)=ax 3+bx 2,f′(x)=3ax 2+2bx, ∴⎩⎨⎧-=+=⨯+⨯,323,022232b a b a即⎩⎨⎧-==.3,1b a令f′(x)=3x 2-6x<0,则0<x<2,即选B. 25. D解析：∵y′=3x 2-3≥-3，∴tanα≥-3， 又α∈［0,π］，∴α∈［0,2π］∪［32π,π］.二、填空题26.（1）（3）（4） 解析：（2）错在当m=0时不成立，其他根据概念即可判断. 27.（理）m≤9解析：同时满足①②的x 的范围为2<x<3，要令f(x)=2x 2-9x+m<0在(2,3)上恒成立，则f(x)=0的两根x 1、x 2(x 1≤x 2)应满足x 1≤2且x 2≥3.则f(2)≤0且f(3)≤0，解得m≤9. （文）(-3，23)解析：只需f(1)=-2p 2-3p+9>0或f(-1)=-2p 2+p+1>0 即-3＜p ＜23或21-＜p ＜1,∴p ∈(-3,23).28.②③解析：设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)由图象知k PQ ∈(0,+∞),k OP >k OQ ，故①错，②对，又直线x=221x x +与函数f(x)的图象的交点在线段PQ 的中点上方，故③正确. 29. -4解析：∵f′(x)=3ax 2-2bx+c,∴f′(2)=12a -4b+c=0. 又f(1)=a-b+c=4, ∴b=5411+a ,c=51616a-.所以f(-1)=-(a+b+c)=-(a+5411+a +51616a-)=-4.30.（21）|x|等解析：f(x)=(21)|x|或y=(31)|x|或y=a |x|(0<a<1).三、解答题31.解：由题意，M={x|x<-3或x>5}，P={x|(x+a)(x-8)≤0}.则 M∩P={x|5<x≤8}⇔-3≤-a≤5⇔-5≤a≤3.（1）只要是满足-5≤a≤3的一个数即可作为答案.（2）只要使集合{x|-5≤a≤3}成为所得范围集合的真子集即可作为答案. 32.解：（1）逆命题：在等比数列 {a n }中，前n 项和为S n ，若a m ,a m+2,a m+1成等差数列，则S m ,S m+2,S m+1成等差数列；（2）设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则2a m+2=a m +a m+1，于是2a 1q m+1=a 1q m-1+a 1q m . 由a 1≠0,q≠0，化简上式得2q 2-q-1=0， 解得q=1或q=-21,当q=1时，∵S m =ma 1,S m+2=(m+2)a 1,S (m+1)=（m+1）a 1, ∴S m +S m+1≠2S m+2,即S m ,S m+2,S m+1不成等差数列；当q=-21时,∵S m +S m+1=])21(1[34211])21(1[211])21(1[21111++--=+--++--m m ma a a而2S m+2=])21[(34211])21(1[2221212+++-=+--=m m m a a S ，∴S m +S m+1=2S m+2，即S m ,S m+2,S m+1成等差数列；综上得，当公比q=1时，逆命题为假，当q=-21时，逆命题为真.33.解：函数图象的对称轴为x=2a ，①当2a <0即a<0时，f(0)=3,即a 2-2a+2=3,∴a=1-2或a=1+2（舍），②当0≤2a ≤2即0≤a≤4时，f(2a )=3,∴a=-21（舍），③当2a >2即a>4时，f(x)min =f(2)=3即a 2-10a+18=3，∴a=5+10或5-10（舍），综上可知a=1-2或a=5+10.34.解析:由条件知Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-23≤a≤2,(1)当-23≤a ＜1时，原方程化为x=-a 2+a+6,∵-a 2+a+6=-(a-21)2+425, ∴当a=-23时，x min =49,当a=21时,x max =425.∴49≤x≤425.(2)当1≤a≤2时，x=a 2+3a+2=(a+23)2-41,∴当a=1时，x min =6,当a=2时，x max =12,∴6≤x≤12. 综上所述，49≤x≤12.35.解：（1）设 x 1<x 2<0，则31x <32x ,321x x +<1，∵f(x 1)-f(x 2)=19311+x x -19311+x x =)1)(1(3993332122112122++-+-++x x x x x x x x =)1)(1()1)((99333112121++--+x x x x x x <0,∴f(x 1)<f(x 2)，即y=f(x)在(-∞,0)上是增函数. （2）∵0<193+xx =xx3131+≤21，∴当x≤0时， f(x)=193+x x-21∈(-21,0]；当x>0时，f(x)=21-193+xx+1∈(0,21).综上得y=f(x)的值域为(-21,21).（3）∵f(x)=(-21,21)，又∵f(x)>31，∴f(x)∈(31,21)，此时f(x)=21-193+xx(x>0)，令21-193+xx>31，即193+xx<61⇒32x-6·3x +1>0⇒3x>3+22⇒x>log 3(3+22)， ∴不等式 f(x)>31的解集是(log 3(3+22),+∞).36.解：（1）令x=y=0⇒f(0)=0，令y=-x ，则f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x)⇒f(x)在（-1,1）上是奇函数.(2)设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(21211x x x x --)，而x 1-x 2<0,0<x 1x 2<1⇒-1<21211x x x x --<0⇒f(21211x x x x --)>0.即当x 1<x 2时，f(x 1)>f(x 2)． ∴f （x ）在（0，1）上单调递减．（3）（理）由于f(21)-f(51)=f(21)+f(-51)=f(52115121⨯--)=f(31)，f(31)-f(111)=f(41),f(41)-f(191)=f(51)，∴f(21)-f(111)-f(191)=2f(51)=2×21=1．37.解：f′(x)=3x 2+6ax,g′(x)=-4x+2. （1）f′(2)=12+12a,g′(2)=-6. ∵12+12a=-6,∴a=-23.（2）令f′(x)=0得x 1=0或x 2=-2a,分别代入g(x)=-2x 2+2x+3得g(0)=3或g(-2a)=-8a 2-4a+3, ∴⎩⎨⎧-+-=+---=.3128348,33332b a a a a b ∴⎩⎨⎧-=-=.1,1a b此时f′(x)=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,∴f(x)的单调递减区间是［0，2］，递增区间是（-∞,0）,［2,+∞］. 38.解：（1）建立如图所示坐标系，则抛物线方程为x 2=32(y+23)，当y=-0.5时，x=±36，∴水面宽EF=362m.（2）如上图，设抛物线一点M(t,23t 2-23)（t>0），因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿过点M 与抛物线相切的切线挖土.由y=23x 2-23,求导得y′=3x ，∴过点M 的切线斜率为3t ，切线方程为y-(23t 2-23)=3t(x-t).令y=0，则x 1=tt 212+,令y=-23,则x 2=2t ,故截面梯形面积为S=21(2x 1+2x 2)·23=23(t21+t)≥223,当且仅当t=22时所挖土最少，此时下底宽22m.答：故截面梯形的下底边长为0.707米宽时，才能使所挖的土最少. 39.(1)证明：∵a·b=23⨯21-21⨯23=0，∴a ⊥b.(2)解：c·d=-y+2x(t-2x 2)=0⇒f(x)=2tx-4x 3.(3)解：若存在t 满足条件，则f′(x)=2t -12x 2(t≥0),由f′(x)=0⇒x=6t ,当0≤x<6t ,f′(x)>0,f(x)在［0，6t ］上递增;当x>6t时，f′(x)<0,f(x)在（6t ,+∞）上递减.∴t≥6时，f(x)在［0，1］递增，f(x)max =f(1)=2t-4=12,∴t=8∈［6,+∞).综上，存在常数t=8，使f(x)有最大值为12. 40.(理)解：（1）已知函数f(x)=bx ax +2，∴f′(x)=222)()2()(b x x ax b x a +-+,又函数f(x)在x=1处取得极值2，∴⎩⎨⎧==',2)1(,0)1(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a ⇒⎩⎨⎧==.1,4b a ∴f(x)=142+x x .（2）∵f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x =222)1(44+-x x.由f′(x)>0，得4-4x 2>0，即-1<x<1, 所以f(x)=142+x x 的单调增区间为（-1，1）.因函数f(x)在（m ，2m ＋1）上单调递增，则有⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-≥,12,112,1m m m m 解得-1<m≤0，即m ∈(-1,0)时，函数f(x)在（m ，2m ＋1）上为增函数. （3）f(x)=142+x x ,∴f′(x)=222)1()2(4)1(4+-+x x x x ,直线l 的斜率为k=f′(x 0)=220220)1(8)1(4+-+x x x =4［11)1(220220+-+x x ］.令1120+x =t ，t ∈(0,1),则直线l 的斜率k=4(2t 2-t),t ∈(0,1)∴k ∈［-21,4］，即直线l 的斜率k 的取值范围是［-21,4］［或者由k=f′(x 0)转化为关于x 02的方程，根据该方程有非负根求解］. （文）解：（1）设f(x)=ax 3+bx 2+cx+d,则f′(x)=3ax 2+2bx+c. ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,12627,3412,023c b a c b a c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=-==.3,3,1c b a ∴f(x)-f(0)=x 3-3x 2+3x.（2）f′(x)=3x2-6x+3.对任意的x∈［-1,4］,f(x)>f′(x)⇔f(x)-f′(x)=x3-6x2+9x+f(0)-3>0⇔f(0)>F(x)=-x3+6x2-9x+3.∵F′(x)=-3x2+12x-9,当x∈［-1,1)时，F′(x)<0;当x=1或3时，F′(x)=0,当x∈(1,3)时，F′(x)>0;当x∈(3,4］时，F′(x)<0,又F（-1）>F(3),F(-1)>F(1),F(-1)>F(4).∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F（-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.。

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函数与导数数学专题练习 21.14二卷（本小题满分12分）
已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.
（1）求a ；
（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点. 21．15二卷（本小题满分12分）
已知函数()ln (1)f x x a x =+-。

（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 有最大值，且最大值大于2a - 2时，求a 的取值范围。

21．13二卷(本小题满分12分)
己知函数f(X) = x 2e -x
(I)求f(x)的极小值和极大值；(II)当曲线y = f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围.
21. 12二卷（本小题满分12分）
设函数f (x )= e x －ax －2
(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x －k ) f ´(x )+x +1>0，求k 的最大值。

21.11二卷(本小题满分l2分)
已知函数()32()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈
(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围。

21. 14一卷（12分） 设函数()()21ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜率为0
（1）求b;
（2）若存在01,x ≥使得()01a f x a <-，求a 的取值范围。

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