平面解析几何初步复习总结
平面解析几何-高考复习知识点
平面解析几何 高考复习知识点一、直线的倾斜角、斜率1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； （2）倾斜角的范围[)π,0。
2、直线的斜率（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？ （4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
例题：例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围解析： ∵， ∴．总结升华：在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.类型二：斜率定义例2．已知△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，求边AB 与AC 所在直线的斜率. 思路点拨：本题关键点是求出边AB 与AC 所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率.解析：如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°∴直线AB 的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC 的倾斜角为30°，∴k AB =tan150°= k AC =tan30°=总结升华：在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.类型三：斜率公式的应用例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．思路点拨： 已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可. 解析：且，经过两点的直线的斜率，即．即当时，为锐角，当时，为钝角．例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的值．【答案】由题意得：直线的斜率，故由斜率公式，解得或． 经检验不适合，舍去. 故．例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．思路点拨：如果过点AB ，BC 的斜率相等，那么A ，B ，C 三点共线.解析：∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴k AB =k AC ．即二、直线方程的几种形式1、点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
高考数学平面解析几何的复习方法总结
2021年高考数学平面解析几何的复习方法总结在高中数学知识体系中，平面解析几何是其中很大的一块，涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。
在高考的考查中，又可以将上述的7个知识点进行综合考查，更是增加了考查的难度。
要想学好这部分知识，在高考总不丢分，以下几点是很关键的。
突破第一点，夯实基础知识。
对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。
只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。
(一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。
在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。
倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。
②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。
角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。
角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。
以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。
直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。
(二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。
在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。
(三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。
对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。
只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。
平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳平面解析几何是研究平面上点、直线、圆及其相关性质和相互关系的数学分支。
在平面解析几何中，我们通过坐标系的建立和运用向量的概念，可以方便地描述和研究平面上的各种几何图形和问题。
本文将对平面解析几何中的一些重要知识点进行归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些知识。
1. 坐标系的建立平面解析几何中，坐标系是最基本的工具之一。
一般来说，我们可以建立直角坐标系、极坐标系或其他特定的坐标系来描述平面上的点。
以直角坐标系为例，我们用x轴和y轴分别表示水平和垂直方向，将一个点P的位置用有序数对(x, y)表示，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标。
2. 点的坐标计算对于已知坐标系的平面上的点P(x, y)，我们可以通过给定的信息计算出点的坐标。
例如，已知点A和点B的坐标，我们可以通过运用向量的加法和数乘运算，求得点P的坐标。
设向量OA的坐标为A(x1,y1)，向量OB的坐标为B(x2, y2)，则向量OP的坐标为P(x, y)，其中P 的坐标满足向量OP = 向量OA + 向量OB。
3. 向量的定义和运算在平面解析几何中，向量是重要的概念之一。
向量可以表示有大小和方向的量，并且可以与点一一对应。
向量的表示方法有很多种，常见的有坐标表示和位置向量表示。
在坐标表示中，向量通常用有序数对(x, y)表示。
在位置向量表示中，我们用一个固定点O与向量表示的点P的坐标差，来表示向量OP。
向量的运算包括加法、减法和数乘。
设向量u = (x1, y1)，向量v = (x2, y2)，实数k，向量u与v的加法定义为：u + v = (x1 + x2, y1 + y2)；向量u与v的减法定义为：u - v = (x1 - x2, y1 - y2)；向量u的数乘定义为：k * u = (kx1, ky1)。
4. 直线的方程直线是平面几何中的基本要素之一。
在平面解析几何中，我们可以通过直线上的点和直线的斜率来确定直线的方程。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点总结直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．说明：k 1＝k 2，且b 1≠b 2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 5．利用一般式方程系数判断平行与垂直设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 6．三种距离公式 (1)两点间距离公式点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离：|AB |＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式． (3)两平行线间距离公式两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0 (C 1≠C 2)间的距离为d ＝|C 2－C 1|A 2＋B 2. 说明：求解两平行线间距离公式时，两直线x ，y 前系数要化为相同．圆的方程1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．2. 圆的标准方程(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F4. (1) 当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2；(3) 当D2＋E2－4F＜0时，该方程不表示任何图形．4. 直线与圆的位置关系的判断方法设直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，圆为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.5.(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．圆心距O1O2＝d，则(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则(l2)2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2].注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．椭圆1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F 1F 2|．当到两定点的距离之和等于|F 1F 2|时，动点的轨迹是线段F 1F 2；当到两定点的距离之和小于|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax 2＋By 2＝1的形式，其中A ，B 是不相等的正常数，或设成x 2m 2＋y 2n2＝1(m 2≠n 2)的形式．3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. (2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .双曲线1．双曲线的概念把平面内到两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1，F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．用集合语言表示为：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.说明：定义中，到两定点的距离之差的绝对值小于两定点间距离非常重要．令平面内一点到两定点F1，F2的距离的差的绝对值为2a(a为常数)，则只有当2a<|F1F2|且2a≠0时，点的轨迹才是双曲线；若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；若2a>|F1F2|，则点的轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上．3．双曲线与椭圆的区别(1) 定义表达式不同：在椭圆中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在双曲线中||PF1|－|PF2||＝2a；(2) 离心率范围不同：椭圆的离心率e∈(0，1)，而双曲线的离心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的关系不同：在椭圆中a2＝b2＋c2，a＞c；而在双曲线中c2＝a2＋b2，c＞a．抛物线1．抛物线的概念把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F 叫作抛物线的焦点，这条定直线l 叫作抛物线的准线． 用集合语言描述：P ＝{M ||MF |d＝1}，即P ＝{M ||MF |＝d }．注意：抛物线的定义中不可忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质。
平面解析几何知识点总结
第一部分直线一、直线的斜率和倾斜角1.倾斜角α（1）定义：直线l 向上的方向与x 轴正方向所称的角叫直线的倾斜角（2）范围：1800<≤α2.斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记作αtan =k （1）倾斜角为 90的直线没有斜率（2）每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直x 轴时，其斜率不存在），这就决定了我们在研究直线的有关问题时应考虑到斜率的存在与不存在两种情况，否则会产生漏解。
（3）经过),(),,(2211y x B y x A 两点的直线的斜率为k ，则当21x x ≠时，1212tan x x y y k --==α；当21x x =时， 90=α，斜率不存在（4）切线斜率的求法：设平面曲线的方程为0),(=y x F ，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)(')('00y F x F k -=，其中)('0x F 表示),(y x F 对x 求导得到的函数在0x x =下的值，)('0y F 表示),(y x F 对y 求导得到的函数在0y y =下的值。
若平面曲线方程为)(x f y =，则该曲线在),(00y x 点的斜率为)('0x f k =，其中)('0x f 表示)(x f 对x 求导得到的函数在0x x =下的值。
若平面曲线的参数方程为)(),(t y y t x x ==，则该曲线在0t t =时的点的斜率为)(')('00t x t y k =，其中)('0t y 表示)(t y 对t 求导得到的函数在0t t =下的值,其中)('0t x 表示)(t x 对t 求导得到的函数在0t t =下的值。
3.定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x.线性规划问题平面区域的非线性规划第二部分解析几何中的范围问题（研究性学习之二）在直线与圆锥曲线相交问题中，关于直线的斜率或纵截距的取值范围，关于圆锥曲线的离心率、长轴长（或实轴长）、短轴长（或虚轴长）等有关参量的取值范围，是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。
平面解析几何复习1
第1讲 │ 要点探究
已知 A(－3,1)，B(1,1)，过点 P(3,1＋2 3)作直线 l 与线段 AB 恒有交点，求直线 l 的倾斜角的取值范围．
[思路] 作出图形， 观察有交点时， 直究
[解答] 如图当 l 绕点 P 由直线 PA 旋转到 PB 时，倾斜角 由最小角 α 变到最大角 β， 1－1－2 3 3 π 由斜率公式得 kPA＝tanα＝ ＝ ，所以 α＝ ， 3 6 －3－3 1＋2 3－1 π kPB＝tanβ＝ ＝ 3，所以 β＝ . 3 3－1 所以直线 l
第1讲 │ 要点探究
► 探究点3 综合应用
例 3 已知直线 l 经过点 P(t，t)，Q(t－1,2t)，t≠0.问直线 l 能 否经过点 A(－1,15)和点 B(2，－2)？若经过，分别求出 t 的值， 若不能，请说明理由．
[思路] 由两点式求得直线 l 的方程，再将点 A 和 B 的 坐标代入方程，解关于参数 t 的方程．
第1讲 │ 知识梳理
3．经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜 y2－y1 x2－x1 率公式 k＝______________. 4．直线方程的三种形式 (x1，y1) (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)表示经过点________且斜 (0，b) k 率为____的直线．特例：y＝kx＋b 表示过点______且斜率 截距 为____的直线．其中 b 表示直线在 y 轴上的______．该方 k 斜截式方程 程叫直线方程的________．
倾斜角的范围得 0<k≤1，解不等式即可． y2－y1 a C [解析] 由 k＝ 得 k＝ (a≠2，当 a＝2 时 x2－x1 a－2
倾斜角为 90° 大于 45° )，因为直线 l 的倾斜角 θ∈(0,45° ]， a 所以 0<k≤1，即 0< ≤1，解之得 a<0，选 C. a－2
平面解析几何初步复习总结
教学内容：平面解析几何初步复习教学目的1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用2. 掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析（一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。
这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。
通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。
（二）直线的方程1. 直线的方程和方程的直线=，则需满足两条：若直线l的方程记为f(x,y)0=的解；（1）直线l上的每一个点，其坐标都是方程f(x,y)0（2）坐标满足方程f(x,y)0=的点都在直线l上。
2. 直线的方程（1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。
在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。
以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。
一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式。
与直线的截距式有关的问题：①与坐标轴围成的三角形的周长|a||b|+②直线与坐标轴围成的三角形的面积为1|ab| 2；③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。
（2）直线方程的一般形式和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当B＝0，且A≠0时，可化为x＝－CA，它是一条与x轴垂直的直线；当A＝0且B≠0时，可化为y＝－CB，它是一条与y轴垂直的直线。
平面解析几何知识总结
1、直线的斜率：αtan ),(211212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）2、一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：BCx B A y --=，即，直线的斜率：BAk -=． 3、两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．4、平面两点距离公式：(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=22210210y y y x x x ． 5．点到直线的距离公式：点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200BA C By Ax d +++=．6．两平行直线间的距离：两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：2221BA C C d +-=．7．直线系方程：（1）平行直线系方程：① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．． ② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=． （2）垂直直线系方程：① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=． （3）定点直线系方程：① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数． ② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．8．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组{(,)0(,)0f x y g x y ==（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ． 注)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． 1、圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2(r d l =+；（2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k x x k AB -+=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解）2.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA C Bb Aa d +++=):圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆．0<∆⇔⇔>相离r d ；0=∆⇔⇔=相切r d ；0>∆⇔⇔<相交r d3.圆的切线方程：（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ． （3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径，即r d =，求出k ；或利用0=∆，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =． 4.把两圆011122=++++F y E x D y x 与022222=++++F y E x D y x 方程相减即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 三、求曲线方程的步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{}()P M p M =； （3）用坐标表示条件()p M ，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.简言之：①建系、取点 ②列式 ③代换 ④化简 ⑤证明.四、椭圆1、椭圆的定义可用集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =+=>注意：当122a F F =时，表示线段12F F ；当122a F F <时，轨迹不存在. 2（e 可以刻画椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆.）222a b c =+ 2.点P 是椭圆上任一点，F 是椭圆的一个焦点，则max PF a c =+，min PF a c =-. 3.点P 是椭圆上任一点，当点P 在短轴端点位置时，12F PF ∠取最大值.4.椭圆的第二定义：当平面内点M 到一个定点(,0)(0)F c c >的距离和它到一条定直线l ：2a x c=的距离的比是常数(01)ce e a=<< 时，这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的 离心率.5直线与椭圆位置关系（1）直线与椭圆的位置关系及判定方法（2）弦长公式：设直线y kx b =+交椭圆于111222(,),(,)P x y P x y则1212||PP x =-，或1212||PP y =-(0)k ≠. .椭圆方程22221(0)x y a b a b+=>> 常用三角换元为cos ,sin x a y b θθ==五、双曲线1.双曲线的定义可用集合语言表示为：{}12122,2P M MF MF a a F F =-=<.注意：当122a F F =时，表示分别以1F 、2F 为端点的两条射线；当122a F F <时，轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程与几何性质：（注：222c a b =+； e 越大，双曲线的张口就越大.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e =3.双曲线的第二定义：当平面内点M 到一个定点(,0)(0)F c c >的距离和它到一条定直线l ：2a x c=的距离的比是常数(1)ce e a=> 时，这个点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是 双曲线的离心率.4.直线与双曲线位置关系同椭圆. 特别地，直线与双曲线有一个公共点，除相切外还有当直线与渐进线平行时，也是一个公共点.5.共渐近线的双曲线可写成2222(0)x y a b λλ-=≠ ；共焦点的双曲线可写成2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+. 六、抛物线抛物线的标准方程与简单几何性质：注意：1. p 的几何意义：p 表示焦点到准线的距离. 2p 表示抛物线的通径（过焦点且垂直于轴的弦）.2. 若点00(,)M x y 是抛物线22(0)y px p =>上任意一点，则02p MF x =+. 3.若过焦点的直线交抛物线22(0)y px p =>于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则弦长12AB x x p =++.。
高考数学平面解析几何的复习方法总结
2019年高考数学平面解析几何的复习方法总结在高中数学知识体系中，平面解析几何是其中很大的一块，涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。
在高考的考查中，又可以将上述的7个知识点进行综合考查，更是增加了考查的难度。
要想学好这部分知识，在高考总不丢分，以下几点是很关键的。
突破第一点，夯实基础知识。
对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。
只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。
(一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。
在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。
倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα；当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。
②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。
角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。
角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。
以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。
直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。
(二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。
在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点；如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。
(三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。
对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。
只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结在高中数学的学习中，平面解析几何是一个重要的板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决各种几何问题提供了有力的工具。
下面就让我们来详细总结一下这部分的知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π) 。
倾斜角为 0 时，直线与 x 轴平行或重合；倾斜角为π/2 时，直线与 x 轴垂直。
2、直线的斜率过两点 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)（x₁ ≠ x₂）的直线的斜率 k ＝（y₂y₁) ／（x₂ x₁) 。
当直线与 x 轴垂直时，斜率不存在。
3、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁) ，其中（x₁, y₁) 是直线上一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁) ／（y₂ y₁) ＝（x x₁) ／（x₂ x₁) ，其中（x₁, y₁)，（x₂, y₂) 是直线上两点。
（4）截距式：x ／ a ＋ y ／ b ＝ 1 ，其中 a ，b 分别是直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 （A，B 不同时为 0）。
4、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不同。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1 （当其中一条直线斜率为0 ，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
5、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀) 到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
二、圆1、圆的标准方程（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中（a, b) 是圆心坐标，r 是半径。
2、圆的一般方程x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 （D²＋ E² 4F ＞ 0 ），圆心坐标为（D/2, E/2) ，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 2 。
高中数学平面解析几何初步全章总结新人教B版必修2
平面分析几何初步总结1.详析直线的倾斜角与斜率（ 1）定义：把直线y kx b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x 轴的直线的斜率不存在．x 轴正向与直线向上的方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角．经过两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2, y2 )x1 x2的直线的斜率k y2y 1 ．x2x1（ 2）斜率k与倾斜角的关系：k 0 时，0 ； k 0时，0 ,90 且随k的增大而增大；k 不存在时，90 ； k 0时，90 ,180且随k的增大而增大．2.比较直线的五种方程名称方程常数的几何意义合用条件点斜式y y0k( x x )( x0 , y0 ) 是直线上的一个定点，k 是斜直线不垂直于x 轴率斜截式y kx b k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于x 轴两点式y y1x x1( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) 是直线上的两个定点直线不垂直于x 轴和y 轴y2y1x2x1截距式x y1 a ，b分别是直线在 x 轴，y轴上的非直线不垂直于x 轴和a b y 轴，且可是原点零截距一般式Ax By C0（ A ，A， B，C为系数任何状况B 不一样时为0）特别直线x a （y轴：x0 ）垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在y b （x轴： y0 ）垂直于 y 轴且过点 (0, b)斜率 k 03.辨析两条直线订交、平行、重合、垂直的两种条件直线方程b1，l1： A1x B1 y C1 0，l1： y k1xl 2： y k2 x b2l2： A2 x B2 y C20 ，订交的等价条件k1 k2l1与 l2订交A1B2A2 B10l1与 l 2订交平行的等价条件k2且 b1 b2l1//l 2A1 B2A2 B10 且l1// l2k1B 1C 2 B 2 C 1 0重合的等价条件l 1 与 l 2 重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 l 1 与 l 2 重 合 A 1 B 2 A 2 B 1 0 且B 1C 2 B 2 C 1 0垂直的等价条件l 1 l 2k 1 k 2 1 l 1 l 2 A 1A 2 B 1 B 2 0说明： 两直线的交点坐标即为对应方程构成的方程组的解．方程组有一组解，则两直线有一个交点；方程组无解，则两直线平行．4. 依据直线地点关系妙设直线方程（ 1）与直线 Ax By C 0平行的直线方程可设为Ax Bym 0 （ m 为参数，且 m C ）；与直线 AxBy C 0 垂直的直线方程可设为 Bx Ay m 0 （ m 为参数）．（ 2）与直线 ykx m 平行的直线方程可设为y kx b (bm) ；与直线 y kxm 垂直的直线方程可设为 y1x b ．k（3） 过 直 线A 1 xB 1 y 1C0 与 A 2 x B 2 yC 2 0 的 交 点 的 直 线 方 程 可 设 为A 1 xB 1 y1CA 2 xB 2 y2C0 （ 为参数）．注意此方程中不包含直线A 2 xB 2 yC 2 0，在解题时要考证该直线能否切合题意．特别地，直线过定点问题，一般将直线方程整理为A 1 xB 1 yC 1A 2 xB 2 yC 20 的形式，将定点转变成直线A 1xB 1 yC 1 0与 A 2x B 2 y C 20 的交点．5. 记忆重要公式，重视坐标法思想（ 1）四个距离公式和中点坐标公式种类 已知条件公式中点坐标A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2x 0x 1 x 2， y 0 y 1 y 222 数轴上的点A x 1 ， B(x 2 )| AB | | x 2 x 1 |两点间的距离A x 1 , y 1 ，B x 2 , y 2|AB|(x 2 x 1 )2( y 2 y 1 )2点到直线的距离P x 0 , y 0 ， l ： Ax By C 0| Ax 0By 0 C |dA2B2两平行直线的距离l 1 ： Ax By C 10 ，| C 2 C 1 |dA2B2l 2 ：Ax By C 20 ，（ A ，B 不一样时为零）（ 2）坐标法思想：即依据图形特色，成立适合的直角坐标系，用坐标表示有关量，利用坐标间的代6.明确圆的两种方程，掌握待定系数法（ 1）圆的标准方程：( x a) 2( y b)2r 2，此中，圆心是 C (a, b) ，半径是r．圆的一般方程： x2y2Dx Ey F0 ( Dx Ey F0) ．此中圆心是 ( D,E) ，半径是122 D 2 E 24F ．2注意：二元二次方程表示圆的条件是x2和y2项的系数相等且不为零；没有xy 项．（ 2）圆的标准方程和一般方程中都含有三个参变量（a,b, r 或 D , E, F），求圆的方程时，由题意得到三个独立的条件，利用待定系数法求出三个参变量的值即可．7.点击圆的有关地点关系（ 1）点与圆的地点关系点与圆的地点关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外，可经过点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．（ 2）直线与圆的地点关系直线圆的地点关系有三种：订交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法（经过解直线方程与圆的方程构成的方程组，依据解得个数来判断）、几何法（由圆心到直线的距离 d 与半径r的大小关系来判断）．（3）圆与圆的地点关系圆与圆的地点关系有五种：外离、外切、订交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法（依据两圆方程联立的方程组解的状况判断）、几何法（依据两圆的圆心距 d 与两圆半径r1， r2之间的关系判断）．8.切记圆的切线求法，细解弦长问题（ 1）圆的切线求法：①设切线斜率，获得切线方程，与圆联立化为一元二次方程，依照鉴别式为0求解；②设切线斜率，获得切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求解．解题时，注意切线斜率不存在的状况．（2）当直线与圆订交时，圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．（3）求订交两圆的公共弦长时，可经过两圆方程相减求出两圆公共先所在的直线方程，从而求出此中一圆心到直线的距离及该圆的半径，利用勾股定理求出弦长的一半，从而求得弦长．9.清晰空间直角坐标系的成立法例，直击距离公式（ 1）建林的空间直角坐标系要按照右手法例．222（ 2）空间中P1( x1, y1, z1)，P2( x2, y2, z2)之间的距离| PP12|x2 x1y2 y1z2 z1．专题概括研究专题一巧设直线方程解题在本章中，常常要用直线方程解决问题，但好多时候直线方程并不是已知，而是要设出方程从而解决问题，这时，怎样选择方程形式将决定解题过程中的好坏简繁．典例 1直线l过点P(8,6)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．研析由题意知，直线l 在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0．方法一设直线 l 的方程为xy 1 或x y 1 (a0)．当直线 l 的方程为xya a a a1时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴86 1 ，解得 a14 ，a a∴直线 l 的方程为 x y140 ；当直线 l 的方程为xy 1 时，a a∵点 P(8,6) 在 l 上，∴861，解得 a 2 ，a a∴直线 l 的方程为 x y 2 0 ．综上所述，所求直线l 的方程为 x y20或 x y140 ．方法二设直线 l 的方程为 y kx b(k0, b0) ．令 x0 ，得 y b；令 y 0 ，得 x b．kb|，∵ b由题意，得 | b | |0 ，∴ k1．k当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b ，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ，b2，∴直线 l 的方程为 y x 2 ，即 x y20 ；当 k 1 时，直线 l 的方程为 y x b，∵点 P(8,6) 在 l 上，∴ 68 b ， b14 ，∴直线 l 的方程为 x y140．综上所述，所求直线l 的方程为x y20或 x y140 ．方法研究凡波及直线与坐标轴所围成三角形的面积或周长等与截距有关的问题，用截距式较简单，但要注意截距式应用的前提是截距存在且不为零．典例 2已知直线 l 过点 P(1,2) ，且点 A(4,1) ， B(2,5) 到直线 l 的距离相等，求直线l 的方程．研析设直线 l 的方程为m( y2) x 1，即 x my2 m 1 0．由点到直线的距离公式可得| 4 m2m 1|| 2 5m2m 1|，解得 m0 或 m3．m21m212故直线 l 的方程为 x10 或 2x3y80 ．方法研究设直线方程为 x x0m( y y0 ) ，防止了遗漏斜率不存在的状况（斜率不存在即m0 ）．典例 3已知圆 C : x2y26x8y210 ，求过点(1,1)的圆 C 的切线方程．研析设所求切线的方程为m( y1)x 1 ，即 x my m 1 0 ．圆的圆心坐标为 (3, 4) ，半径r1( 6)2( 8)24212．2由题意可知| 3 m4 m 1 |2 ，解得 m 0 或 m20，故所求直线方程为 z 1 或1m22121x20 y410 ．方法研究过圆上一点 ( x0 , y0 ) 求圆的切线方程，都可能存在切线斜率不存在的情况．为了防止议论斜率和判断点与圆的地点关系，可直接设切线方程为m( y y0 ) x x0．专题二商讨两类圆方程的求解方法1.求过直线与圆的交点的圆的方程解此类问题的方法是：联立直线与圆的方程，求出交点坐标，依据点在圆上及其余条件求圆的方程．典例 1求经过直线 x y0 与圆x2y22x 4y 80 的交点，且经过点P( 1,2) 的圆的方程．研析x y0,x1,x 4,A(1, 1) 和点解方程组y22x 4 y 8 0.得或即直线与圆交于点x2y 1.y 4.B(4,4)．设所求圆的方程为 x2y2Dx Ey F 0 ，分别将A，B，P的坐标代入，得方程组11D E F0,D3,16164D4E F 0,解得E3, ∴所求圆的方程为x2y23x 3 y 8 0 ．14D2E F0.F8.2.求过两圆交点的圆的方程求过两圆交点的圆的方程，一般先求出两圆的交点坐标，在利用圆的几何性质确立所求圆的圆心坐标和半径；也可由题意设出所求圆的方程，再依据条件成立方程组求参即可．典例 2 求圆心在直线x y40 上，且经过两圆x2y24x60 和 x2y24y 60 的交点的圆的方程．研析方法一x2y2 4 x 6 0,x11,或x23,由22解得y 1.y2 3.x y 4 y60.1故两圆 x2y24x60 和 x2y2 4 y 60 的交点分别为A(1,1) ， B(3,3) ．线段 AB 的垂直均分线的方程为y 1( xy 1 ( x 1),x 3,1) ，由y4 0. 解得y1.x∴所求圆的圆心坐标为(3, 1) ，半径为(3 3)2(3 1)24 ，∴所求圆的方程为 ( x 3)2 ( y1)2 16 ．方法二同方法一求得 A( 1, 1) ， B(3,3) ，设所求圆的方程为 ( xa)2 ( y b)2 r 2 (r 0) ，由a b 4 0,a 3,( 1 a)2(1 b)2r 2 ,解得 b 1, (3 a) 2 (3 b)2r 2 .r 216.∴所求圆的方程为 ( x 3)2( y1)2 16 ．接下来介绍利用过两圆交点的曲线方程来解决上述问题的方法．这里谈的过两圆交点的曲线方程是指过两圆交点的圆的方程及它的特例—直线的方程．经过两点的圆有无数个，这些圆有一共同的性质：圆心都在已知两点连线的垂直均分线上，构成了一个圆的会合，记这个会合为M ．我们把拥有某一共同性质的全部的圆的会合成为圆系，它的方程叫做圆系方程．（ 1）设圆 C 过圆 C 1 ：x 2y 2 D 1x E 1 y F 1 0 与圆 C 2 ：x 2 y 2 D 2xE 2 yF 2 0的交点 P ，Q ，则与圆 C 齐心的圆系方程为 x 2y 2 D 1x E 1 y F 1x 2 y 2 D 2 x E 2 yF 2①，此中为参数且1．该圆系方程不包含圆C 2 ．方程①的特例：当1 时，方程①变成 ( D1D )x (EE ) yF F② ,21212若圆 C 与圆 C 2 相切，这时点P ， Q 重合为一点，则方程②表示两圆公切线的方程（切点为P ）．1（ 2）若直线 l ： Ax By C 0与圆 C ： x 2y 2 Dx Ey F 0 订交于不一样的两点 P ，Q ，则 过 P ， Q 两点的圆系方程为x 2y 2 Dx Ey F( Ax By C) 0 （ 为参数）．典例 3求圆心在直线x y0上，且过两圆x 2y 2 2x10y 24 0 ，x 2 y 22x 2 y 8 0交点的圆的方程．研析设所求圆的方程为x 2 y 2 2x10y 24x 2 y 2 2 x 2 y 80 (1) ，即 x2y 22(1) 2 5y8(3 )0，可知圆心坐标为(1, 5) ．11111由于圆心在直线 xy 0 上，因此15 0 ，解得2 ．11将2 代入所设方程并化简，可得所求圆的方程为x 2 y 2 6x 6 y 8 0 ．。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、理清知识框架平面解析几何是高中数学的重要内容，复习时首先要理清知识框架，明确各个知识点的内容和重点。
可以根据教材或参考书的章节来进行分类整理，将知识点归纳为直线方程、圆方程、二次曲线方程等等，并注意各个知识点之间的联系和线索。
二、复习关键知识点1. 直线方程：掌握直线的点斜式、斜截式、一般式等多种表示方法，能够灵活转换直线方程，解决直线的位置关系、距离、角平分线等相关问题。
2. 圆方程：了解标准方程和一般方程的定义和性质，能够根据给定条件列出圆的方程，解决圆与直线、圆与圆之间的位置关系、切线、切点等问题。
3. 二次曲线方程：熟练掌握抛物线、双曲线和椭圆的方程表示方法，注意各个二次曲线的基本性质和特点，能够画出二次曲线的图像，解决与二次曲线相关的各种问题。
4. 曲线的判别：掌握判别方程的基本方法，了解直线与二次曲线的位置关系的判别式和条件，能够根据判别式解决相关的问题。
三、掌握基本解题思路1. 了解解题步骤：解决平面解析几何问题通常遵循以下步骤：确定已知条件；列出方程或不等式；解方程或不等式得到未知量的取值范围；根据问题要求，对方程的解或取值范围进行判断与选择。
2. 注意问题的本质：平面解析几何考察的是几何图形的性质和位置关系，因此，在解答问题时要分析问题的本质，结合具体的几何意义去解决。
四、多练习典型题目1. 题海战术：平面解析几何的题目类型较多，考察灵活性较强，因此，在复习过程中要多做一些典型题目，掌握不同类型题目的解题思路和技巧。
2. 整理常见题型：将遇到的题目整理成不同的题型，比如直线方程的求法、圆方程的求法、二次曲线图像的分析等，通过总结常见的题型，加深对知识点的理解，提高解题效率。
五、查缺补漏1. 平时及时记录：在复习过程中，及时记录自己遇到的问题和不理解的知识点，并寻找相关的资料进行补充和学习。
2. 寻求帮助：如果自己在复习过程中遇到难题或困惑，可以向老师、同学或家长寻求帮助，共同解决问题。
平面解析几何知识点总结
平面解析几何知识点总结在平面解析几何中，我们研究的是平面上的点、线和图形之间的关系，通过运用代数和几何的方法来解决相关问题。
本文将对平面解析几何的一些重要知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
一、点的坐标表示平面解析几何中，用坐标表示点的位置是非常常见的。
一般情况下，我们使用直角坐标系来描述平面空间。
直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，通常记作x轴和y轴。
点在该坐标系中的位置可以通过一个有序数对(x, y)来表示，其中x是该点在x轴上的投影，y是该点在y轴上的投影。
二、直线的表示与性质1. 点斜式方程：对于已知一点P(x1, y1)和斜率k的直线L，可以使用点斜式方程y - y1 = k(x - x1)来表示该直线的方程式。
2. 截距式方程：对于已知直线L与x轴的截距a和与y轴的截距b的情况，可以使用截距式方程x/a + y/b = 1来表示该直线的方程式。
3. 斜截式方程：对于已知直线L的斜率k和与y轴的截距b的情况，可以使用斜截式方程y = kx + b来表示该直线的方程式。
4. 直线的性质：在平面解析几何中，直线有许多重要的性质，如平行、垂直、相交等。
其中，两条直线平行的条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
三、图形的表示与性质1. 点与点之间的距离：对于平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们之间的距离可以使用勾股定理来计算，即d = √[(x2 - x1)² + (y2 -y1)²]。
2. 中点坐标：对于平面上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们连线的中点的坐标可以通过取x轴和y轴的平均值来计算，即中点M的坐标为[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
3. 直线与直线的交点：两条直线的交点可以通过求解它们的方程组来确定。
如果两条直线有唯一交点，则它们必定相交于一点；如果两条直线重合，则它们有无数个交点；如果两条直线平行，则它们没有交点。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、复习前的准备1. 了解考纲：仔细阅读高考数学的考纲，明确平面解析几何部分的重点和难点，有针对性地进行复习。
2. 整理知识框架：将平面解析几何的知识点进行整理和归纳，建立知识框架，便于全面复习和查漏补缺。
3. 完善笔记：对之前学过的平面解析几何知识进行复习，逐一检查自己的笔记是否完整，如有漏洞或不理解的地方，及时补充或向同学、老师请教。
4. 制定学习计划：合理分配复习时间，将平面解析几何的复习内容分成小块，按照计划逐一进行复习。
二、基础知识的复习1. 了解基础概念：回顾平面解析几何的基本概念，如点、直线、平面等，并熟悉它们之间的关系和性质。
2. 复习坐标系：重点复习直角坐标系和极坐标系的原理和使用方法，能够熟练转换坐标系和进行坐标计算。
3. 复习向量：回顾向量的定义、运算法则和性质，同时重点理解向量的几何意义和应用。
4. 复习直线与圆的方程：回顾直线的一般方程、斜截式方程和点斜式方程的互相转换，同时复习圆的标准方程和一般方程的建立方法。
三、常见题型的练习1. 直线与圆的方程的联立：熟练掌握直线与圆的方程的联立方法，能够灵活运用，解决实际问题。
2. 直线与圆的位置关系：理解直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的切点、交点等性质，能够准确判断直线与圆的位置关系。
3. 三角形的性质：回顾三角形的基本性质，如三角形的内心、外心、重心、垂心等，并理解它们之间的联系，能够应用这些性质解决三角形相关问题。
4. 镜面对称与旋转：通过练习镜面对称和旋转的题目，理解镜面对称和旋转的概念，并能够快速判断图形的镜面对称性和旋转对称性。
5. 预习未学内容：对于一些未学过的内容（如圆锥曲线、二次函数等），可以进行简单的预习，了解基本概念和性质，为高考后的复习打下基础。
四、真题的训练与模拟考试1. 做高考真题：通过做历年高考真题，了解平面解析几何在高考中的考查点和形式，熟悉解题思路和答题技巧，查漏补缺，增强信心。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学中的一门重要的数学分支，它研究平面上的点、直线和圆等几何图形的性质和关系。
本文将对高中数学中常见的平面解析几何知识点进行总结和归纳，以便于同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、坐标与坐标系在平面解析几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面上的点的位置。
在直角坐标系中，平面上的每个点都可以用一对有序实数（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
这就是点的坐标。
1.1 直角坐标系的建立建立直角坐标系的方法有很多，其中一种常见的方法为选取两条相互垂直的直线作为坐标轴，它们的交点作为原点。
这两条直线称为x 轴和y轴，它们的正方向分别规定为向右和向上，形成了一个右手坐标系。
1.2 坐标的性质与运算在直角坐标系中，点的坐标具有以下性质：（1）两个点的坐标相等，当且仅当这两个点重合；（2）两个点的横坐标（纵坐标）相等，当且仅当这两个点在同一条竖直线（水平线）上；（3）两个点的坐标互为相反数，当且仅当这两个点关于坐标原点对称。
在直角坐标系中，我们可以进行坐标的运算，包括加减、数乘、求中点等。
比如，对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的中点C的坐标为[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
二、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
我们可以通过直线上的一个点和直线的斜率来确定直线的方程。
在此基础上，本单位还会对三角函数解析式中的三角函数、三角方程进行探讨，希望对同学们理解和掌握这一知识点有所帮助。
2.1 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0。
该方程中的A、B、C可以称为方程的系数。
2.2 斜率截距式方程直线的斜率截距式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2.3 点斜式方程如果知道直线上的一点P(x0, y0)和直线的斜率k，我们可以利用点斜式方程来表示直线的方程，即y - y0 = k(x - x0)。
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结高中数学知识点：平面解析几何初步知识点总结
平面解析几何初步：
①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、
直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现
在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆
的集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为
圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要
的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是
解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排
除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学必修2(人教B版)第二章平面解析几何初步2.2知识点总结含同步练习题及答案
|a| = |b|
⋯⋯②
由 ①② 解得 a = b = 5 或 a = −1 ，b = 1 ，所以直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0． （ii）当 a = b = 0 时，直线过原点和 P (2, 3) ，所以直线方程为 3x − 2y = 0 ． 综上可知，所求直线方程为 x + y − 5 = 0 或 x − y + 1 = 0 或 3x − 2y = 0 ． 已知三角形的顶点是 A(−5, 0) ，B(3, −3) ，C (0, 2) ，求 AC 边所在直线的方程，以及该边上的 中线所在直线的方程． 解：过点 A(−5, 0) ，C (0, 2) 的两点式方程为
直线的基本量与方程 直线与直线的位置关系 直线的相关计算
三、知识讲解
1.直线的基本量与方程 描述： 直线的倾斜角 当直线l 与x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直 线l 的倾斜角（angle of inclination）．直线倾斜角α 的取值范围为0 ∘ ≤ α < 180 ∘ ．
2 y − (−3) x−3 由两点式得直线 BD 的方程为 ，整理可得 8x + 11y + 9 = 0 ，这就是 = 1 − (−3) −5 − 3 2 AC 边上的中线所在直线的方程．
⎪ ⎩
2.直线与直线的位置关系 描述： 直线 l 1 ：y = k1 x + b 1 ，l 2 ：y = k2 x + b 2 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 k1 = k2 且 b 1 ≠ b 2 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 k1 = k2 且 b 1 = b 2 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 k1 ≠ k2 ，特别地，若两直线垂直，则 k1 ⋅ k2 =#43; B 1 y + C1 = 0, A 2 1 + B 1 ≠ 0 ，l 2 ：A 2 x + B 2 y + C2 = 0, A 2 + B 2 ≠ 0 ． 当 l 1 与 l 2 平行时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 ≠ B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 重合时，则 A 1 B 2 = A 2 B 1 且 B 1 C2 = B 2 C1 ； 当 l 1 与 l 2 相交时，则 A 1 B 2 ≠ A 2 B 1 ，特别地，若两直线垂直，则 A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0 ． 例题： 直线 3x − 2y + m = 0 和 (m 2 + 1)x + 3y − 3m = 0 的位置关系是（ A．平行 B．重合 C．相交 D．不确定 解：两直线的斜率分别为 交． ）
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结如下：
1. 理清知识框架：首先，需要理解平面解析几何的基本概念和公式，包括直线的方程、直线的性质、圆的方程、圆的性质等。
建立起完整的知识框架可以帮助你对各个知识点进行系统学习和理解。
2. 刷题巩固：做大量的题目是复习的关键。
刷题可以帮助你提高对各类题型的解题技巧和策略，以及加深对知识点的理解。
可以选择做一些基础题帮助你巩固基础知识，然后再逐渐提高难度做一些模拟试题和历年高考试题。
3. 整理笔记：在复习过程中，及时整理笔记是非常重要的。
将每个知识点的公式、性质、解题步骤等整理出来，可以帮助你更好地回顾知识点，也可以方便你在考场上查阅。
4. 合理利用工具：在复习过程中，可以合理利用计算器和数学软件等工具，帮助你更好地理解和应用解析几何的知识。
但是，也要注意不过度依赖工具，还是要培养自己的手算能力。
5. 多维度理解：解析几何的知识点通常可以从几何、代数和物理多个维度进行理解和应用。
可以尝试从不同的角度来理解和解答问题，这样可以帮助你拓宽思路和方法。
6. 考点分析：查阅往年高考试题和模拟试卷，分析近几年的考点和命题趋势，了解哪些知识点和题型比较重要，及时调整复习重点。
总之，高考数学平面解析几何的复习方法需要通过理清知识框架、刷题巩固、整理笔记、合理利用工具、多维度理解和考点分析等步骤，全面提升解析几何的学习水平。
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平面解析几何知识点归纳
平面解析几何知识点归纳直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=倾斜角 斜率 方向向量 2πα≠⇒ t a nk α= ⇒ d =(cos ,sin )αα 或d =(1,)karctan ,0arctan ,0k k k k απ≥⎧=⎨+<⎩⇐ k =vu ⇐ (,)d u v =(0)u ≠3.直线方程的几种形式 名称方程方向向量法向量斜率 适用条件点方向式 00x x y y u v--= ()v u , ()u v ,- uv与坐标轴不垂直的直线点法向式 00()()0a x x b y y -+-=()a b ,-()a b ,所有直线斜截式 b kx y +=()k ,1 ()1,k - k 与x 轴不垂直的直线点斜式 )(00x x k y y -=-()k ,1 ()1,k - k截距式 1=+bya x 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式0=++C By Ax )0(22≠+B A所有直线例1．已知直线斜率2k =，则倾斜角α= ，一个方向向量是 ，一个法向量是 。
2．过(1,4)A 、(3,1)B 的直线的一个方向向量是 ，斜率是 ，倾斜角是 。
3．直线)0,0(>>=+b a ab by ax 的倾斜角是 ，且不经过第 象限。
两直线位置关系 两条直线的位置关系位置关系222111::b x k y l b x k y l +=+= 0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l平行 ⇔ 21k k =，且21b b ≠ A 1B 2-A 2B 1=0（验证）重合 ⇔ 21k k =，且21b b =D=Dx=Dy=0 相交 ⇔ 21k k ≠A 1B 2-A 2B 1≠0垂直⇔121-=⋅k k 02121=+B B A A设两直线的方程分别为：222111::b x k y l b x k y l +=+=或0:0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的夹角，②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ（斜率都存在且121-≠k k ）；③当0121=+k k 或02121=+b b a a 时，o90=θ；例1.过点)2,2(-P 且与0143=++y x 平行的直线方程是 。
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平面解析几何知识点归纳◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
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教学内容：平面解析几何初步复习教学目的1.复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用2.掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法知识分析（一）平面直角坐标系中的基本公式主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。
这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线的基础，要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式解决较为复杂的数学问题，这就需要对问题进行适当的转化。
通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。
（二）直线的方程1. 直线的方程和方程的直线若直线l的方程记为f（x, y） 0，则需满足两条：1）直线l 上的每一个点，其坐标都是方程 f （x, y） 0的解；（2）坐标满足方程 f （x, y） 0的点都在直线l 上。
2. 直线的方程（1）直线方程的几种特殊形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式。
在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出。
以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式。
一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式。
与直线的截距式有关的问题：①与坐标轴围成的三角形的周长|a| |b| a b；|ab|12②直线与坐标轴围成的三角形的面积为2 ；③直线在两坐标轴上的截距相等，则k＝－1，或直线过原点。
（2）直线方程的一般形式和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当CB＝0，且A ≠0时，可化为x＝－A ，它是一条与x轴垂直的直线；当A＝0且B≠0时，C可化为y＝－B ，它是一条与y 轴垂直的直线。
（3）直线在坐标轴上的截距直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而“距离”是一个非负数。
如直线y＝3x－6在y 轴上的截距是－6，在x 轴上的截距是2。
因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异号等这三种情形进行讨论，以防丢根。
3.两条直线的位置关系对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直。
因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则。
两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用。
因此，两条直线的平行和垂直的条件要熟练掌握，并充分认识到它的地位和作用。
4.点到直线的距离解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点（定点）或直线（定直线）相对位置关系。
点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不可替代的作用。
熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度。
5.圆的方程 圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数， 因此， 要确定一个圆必须具备三个独立的条件，确定这三个参数的方法一般要用待定系数法。
由于圆是对称优美的图形， 具有丰富的几何性质， 因此， 充分利用圆的几何性质可以找 到更为简洁优美的解题方法。
直线与圆的位置关系问题在初中几何的学习中已经得出了结论， 现在就是要把这些几何 形式的结论转化为代数方程的形式。
但是， 在解决直线与圆的位置关系的问题的时候， 还要 充分考虑圆的几何性质， 以便使问题获得更快、更好的解决。
同样，在解决有关圆与圆的位 置关系的问题时，也遵循这个基本思想。
6. 空间直角坐标系 为了沟通空间图形与数的关系的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的关系， 为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。
用坐标来刻画空间中点的位置， 需要建立起较强 的空间观念和较强的抽象思维能力，这正是学习空间坐标系的重要目的之所在。
在学习和应用空间直角坐标系的过程中， 要注意与平面直角坐标系进行类比， 体会二者 之间的联系与区别。
这对于这两部分的学习和掌握都有着积极的作用。
7. 基本思想方法 （1）坐标法用代数的语言描述几何要素及其关系， 通过解决代数问 这种处理问题的方法叫做坐标法（又叫做解析法） 。
这通过这种方法， 可以把点与坐标， 曲线和方程联系起 来，实现空间形式与数量关系的结合和统2）数形结合的思想方法解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门数学学科。
因此，解析几何本身就内在的 包含着把数量关系和几何图形结合起来的方法， 即数形结合的思想方法。
在解决解析几何问 题的过程中，一定要注意画好图形，通过图形使各个量之间的关系表达的更清晰、更形象、 更具体，使问题的解决更容易。
（3）函数与方程的思想 解析几何问题与函数方程有着密切的关系。
例如， 一次函数的图像都是直线， 一般的直 线方程（垂直于 x 轴或 y 轴的直线除外）都可以写成一次函数的形式。
另外， 在解决解析几何问题的过程中， 经常需要解二元二次方程组， 用到方程的根与系 数的关系。
解析几何的最值问题，经常可以通过研究函数的最值而获得解决。
（ 4）分类讨论的思想方法 解析几何本身的学科特点——用代数方法解决几何问题——决定了解析几何的问题往 往具有一定的综合性和复杂性， 例如直线方程的一些常用的形式尽管比较好用， 但又不能表 示所有的直线， 而能表示所有直线的方程形式——一般式方程——又不太好用。
因此， 经常会涉及到直线斜率存在与否、直线与两坐标轴截距的正负、是否为 0 等的讨论。
几何问题可以转化为代数问题， 题达到等价地解决几何问题的目的。
种基本思想贯穿平面解析几何的始终，【典型例题】例 1. 如图所示，已知两条直线 l 1： x － 3y ＋ 12＝ 0， l 2： 3x ＋ y － 4＝ 0，过定点 P (－ 1，2) 作一条直线 l ，分别与直线 l 1、l 2 交于 M 、 N 两点，若点 P 恰好是 MN 的中点，求直线 l 的 方程。
∴所求直线 l 的方程为x 2y 3 0。
解法三 求 M 、N 中的一点，运用“两点确定一条直线”求 l 的方程。
如图所示，解析： 解法设所求直线 l 的方程为y k(x 1) 2， y k(x 1) 2 由x 3y 12 0得交点 M 的横坐标为xM3k 6 1 3k ， y k(x 1) 2由3x y 4 0得交点 N 的横坐标为2k 3 k ，∵点 P 恰好是 MN 的中点，3k 6 2 k 2 k ∴ 1 3k 3 k ，解得2。
∴所求直线 l 的方程为x 2y 3 0。
y解法二 以 x 确定斜率 k ，如图所示，设M( 1 x ，2 y)，则 N( 1 x ，2 y)( 1 x) 3(2 y) 12 0 3( 1 x) (2 y) 4 0 x 3 y 5 03 x y 5 0 ，∴ 2 x4 y 0 kyx1 2，设M(x，y)，N( 2 x，4 y)∴x 3y 12 0∴3( 2 x) (4 y) 4 0x 3y 12 0即3x y 6 0x3解得y 3，即M(－3，3)kMN3 2kMN∴直线MN 的斜率为3 1∴所求直线l 的方程为x 2y 3 0。
点评：解法一、解法二都是求斜率k，显然解法二中引入中点坐标的增量△x、△ y，建立关于△ x，△ y，k 的三个方程构成的方程组，消去△ x、△ y，很快就求出了k，△ x、△ y 在此扮演了参数的角色，可以看成是解法三的演变。
不同的解题方法就是对同一个题目的不同角度的理解，通过对同一个题目的多种解法的研究，不仅有利于提高解题能力，也有利于提高对数学问题和数学概念、思想的理解深度。
从而提高数学素质。
例2. 圆与y 轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为 2 7，求此圆的方程。
解析：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x 3y 0上，故设2 2 2圆方程为(x 3b)2 (y b) 2 9b2又因为直线y x截圆得弦长为2 7(|3b b|)2( 7)29b2则有2解得b＝± 1。
故所求圆方程为2 2 2 2(x 3)2 (y 1)2 9或(x 3)2 (y 1)2 9。
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点： (1)确定圆方程首先明确标准方程还是一般方程。
(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a , b , r 或D , E , F。
(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的数。
22例3. 已知圆C：(x 1) (y 2) 25，直线l：(2m 1)x (m 1)y 7m 4＝0 m R )。
（1）证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程。
解析：（1）直线l 的方程化为：（x y 4） m（2x y 7） 0。
因此，直线l 过两条直线x y 4 0和2x y 7 0的交点，联立这两条直线的方程中解得交点为A（3，1），即直线l 恒过定点A（3，1）。
又因|AC|2（3 1）2（1 2）2 5 25，故点A（3，1）在圆C的内部，直线l与圆C恒交于两点；1 k AC（2）圆心为C（1，2），当直线l 被圆C 截得的弦长最小时，有l⊥AC ，由 2 可得k1 2，因此直线l 的方程为y 1 2（x 3），即2x y 5 0。
点评：本题（1）的常规解法是联立直线与圆的方程，证明方程组一定有解，或证明圆心到直线的距离小于圆的半径；（2）的常规解法是联立方程运用弦长公式讨论何时取得最小值。
这些做法的过程都非常复杂。
因此，在解直线与圆的位置关系的问题时一定要充分利用圆的几何性质，以便尽快找到简洁的解法，使问题的解决事半功倍。
例4. 自点A （－3,3 ）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y ＋7＝0 相切，求光线l 所在直线的方程。
2 2 2 2解析：圆x y 4x 4y 7 0的方程可化为（x 2）（y 2） 1，由光学原理可知，圆关于x轴的对称圆必与l 相切，22对称圆方程为（x 2）（y 2） 1设l 的斜率为k（k 必然存在）。