2010年高考理科数学(重庆)卷
重庆市历年数学(2005~2010)高考试题真题及答案
2005年高考理科数学第一部分（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆5)2(22=++y x 关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ） A ．5)2(22=+-y x B ．5)2(22=-+y xC ．5)2()2(22=+++y xD ．5)2(22=++y x2．200511i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．iB ．－iC ．20052D ．－200523．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞YD ．（－2，2）4．已知A （3，1），B （6，1），C （4，3），D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA 的夹角为（ ）A ．54arccos 2-πB ．54arccos C ．)54arccos(-D ．－)54arccos(-5．若x ，y 是正数，则22)21()21(x y y x +++的最小值是（ ） A ．3 B ．27 C ．4D ．29 6．已知α、β均为锐角，若q p q p 是则,2:),sin(sin :πβαβαα<++<的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ； ②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l 、m ，使得l //α，l //β，m //α，m //β， 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．若)12(x x -n 展开式中含21x 项的系数与含41x项的系数之比为－5，则n 等于 （ ）A ．4B ．6C ．8D ．109．若动点（y x ,）在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2),40(442b b b bB ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2),20(442b b b bC ．442+bD ．2b10．如图，在体积为1的三棱锥A —BCD 侧棱AB 、AC 、AD上分别取点E 、F 、G ， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O 为三平面BCG 、CDE 、DBF 的交点，则三棱锥O —BCD 的体积等于 （ ）A ．91B ．81C ． 71D ．41第二部分（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 11．集合∈=<--∈=x B x x R x A {},06|{2R| }2|2|<-x ，则B A I = .12．曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= 13．已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+=14．n n n n n 231233232lim +-+∞→= 15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为OGFABC DE16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号） ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）若函数)2cos(2sin )2sin(42cos 1)(x x a x x x f --++=ππ的最大值为2，试确定常数a 的值.18．（本小题满分13分） 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE19．（本小题满分13分）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x 的极值点的个数20．（本小题满分13分） 如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求： （Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值.C 1B 1AB CA 1E21．（本小题满分12分）已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.22．（本小题满分12分）数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….2006年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合U ={1，2，3，4，5，6，7}，A = {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（C U A ）∪（C U B ）=（A ）{1，6}（B ）{4，5}（C ）{2，3，4，5，7}（D ）{1，2，3，6，7}（2）在等差数列{a n }中，若a 4+ a 6=12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 9的值为（A ）48（B ）54（C ）60（D ）66（3）过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 （A ）y =－3x 或x y 31=（B ）y = 3x 或x y 31-=（C ）y =－3x 或x y 31-=（D ）y = 3x 或x y 31=（4）对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l（A ）平行 （B ）相交（C ）垂直（D ）互为异面直线（5）若nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 （A ）－540 （B ）－162（C ）162（D ）540（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是（A ）20 （B ）30 （C ）40（D ）50（7）与向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=27,21,21,27b a 的夹角相等, 且模为1的向量是（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（B ）⎪⎭⎫⎝⎛-53,54或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（C ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,322或⎪⎪⎭⎫⎝⎛-31,322（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配 方案有 （A ）30种 （B ）90种 （C ）180种（D ）270种（9）如图所示, 单位圆中弧AB的长为)(,x f x 表示弧AB 与弦AB 所围 成的弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是⌒ ⌒（10）若a , b , c > 0且324)(-=+++bc c b a a ,则c b a ++2的最小值为（A ）13-（B ）13+（C ）232+（D ）232-二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）复数 的值是_______．（12）=+--+++∞→12)12(312lim n n n n Λ_______． （13）已知=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫⎝⎛∈4cos ,13124sin ,53)sin(,,43,παπββαππβα则_______． （14）在数列{}n a 中, 若32,111+==+n n a a a （n ≥1）, 则该数列的通项=n a _______． （15）设,1,0≠>a a 函数)32lg(2)(+-=x x ax f 有最大值, 则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为_______．（16）已知变量y x ,满足约束条件41≤+≤y x ,22≤-≤-y x , 若目标函数yax z +=（其中0>a ）仅在点（3,1）处取得最大值，则a 的取值范围为_______．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分13分) 设函数2cos 3)(=x f ωx + sin ωxcos ωx + a （其中ω> 0, a ∈R ）, 且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3, 求a 的值．1 + 2i 3 + i 3某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为31, 用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求： （Ⅰ）随机变量ξ的分布列；（Ⅱ）随机变量ξ的期望．（19）(本小题满分13分)如图, 在四棱锥ABCD P -中, ⊥PA 底面ABCD ,DAB ∠为直角, ,2,//AB CD AD CD AB == E 、F 分别为PC 、CD 的中点．（Ⅰ）试证：⊥CD 平面BEF ；（Ⅱ）设AB k PA ⋅=, 且二面角C BD E --的平面角大于30°, 求k 的取值范围．（20）(本小题满分13分)已知函数xe c bx x xf )()(2++=, 其中R c b ∈,为常数．（Ⅰ）若)1(42->c b , 讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)1(42-≤c b , 且,4)(lim 0=-→xcx f x 试证：26≤≤-b ．已知定义域为R 的函数)(x f 满足x x x f x x x f f +-=+-22)())((． （Ⅰ）若3)2(=f , 求)1(f ； 又若)(,)0(a f a f 求=；（Ⅱ）设有且仅有一个实数0x , 使得00)(x x f =,求函数)(x f 的解析表达式．（22）(本小题满分12分)已知一列椭圆,1:222=+nn b y x C10<<n b , n = 1, 2, …, 若椭圆C n 上有一点P n , 使P n 到右准线l n 的距离d n 是| P n F n |与 | P n G n |的等差中项, 其中F n 、G n 分别是C n 的左、右焦点．（Ⅰ）试证：23≤n b （n ≥1）； （Ⅱ）取232++=n n b n ,并用S n 表示△P n F n G n 的面积,试证：121+><n n S S S S 且 （n ≥3）．2007年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若等比数列{}n a 的前3项和39S =且11a =，则2a 等于（ ）Ａ．3 Ｂ．4Ｃ．5 Ｄ．62．命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ） Ａ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤ Ｂ．若11x -<<，则21x < Ｃ．若1x >或1x <-，则21x >Ｄ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ） Ａ．5部分 Ｂ．6部分 Ｃ．7部分 Ｄ．8部分4．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）Ａ．10Ｂ．20Ｃ．30Ｄ．1205．在ABC △中，3AB =，45A =o ，75C =o，则BC =（ ）Ａ．33- Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．33+6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（ ） Ａ．14Ｂ．79120Ｃ．34Ｄ．23247．若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（ ）Ａ．2515Ｂ．24Ｃ．55Ｄ．228．设正数a b ，满足22lim()4x x ax b →+-=，则111lim 2n n n nn a ab a b +--→∞+=+（ ） Ａ．0Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．19．已知定义域为R 的函数()f x 在(8)+∞，上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ） Ａ．(6)(7)f f >Ｂ．(6)(9)f f >Ｃ．(7)(9)f f >Ｄ．(7)(10)f f >10．如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=u u u r u u u r u u u r， 4AB BD BD DC +=u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，0AB BD BD DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r g g ， 则()AB DC AC +u u u r u u u r u u u rg 的值为（ ）Ａ．2Ｂ．22Ｃ．4Ｄ．42DCAB题（10）图二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．复数322ii +的虚部为______． 12．已知x y ，满足1241x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥．则函数3z x y =+的最大值是______．13．若函数22()21x ax nf x --=-的定义域为R ，则α的取值范围为______．14．设{}n a 为公比1q >的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则20062007a a +=______．15．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方程有______种．（以数字作答）16．过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为105o的直线，交双曲线于P Q ，两点，则FP FQ g 的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）设2()6cos 3sin 2f x x x =-．（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若锐角α满足()323f α=-，求4tan 5α的值．18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分） 某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19，110，111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中： （Ⅰ）获赔的概率；（Ⅱ）获赔金额ξ的分布列与期望．19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分） 如题（19）图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB =，90ABC =o ∠；点D E ，分别在1BB ，1A D 上，且11B E A D ⊥， 四棱锥1C ABDA -与直三棱柱的体积之比为3:5． （Ⅰ）求异面直线DE 与11B C 的距离； （Ⅱ）若2BC =，求二面角111A DC B --的平面角的正切值．20．（本小题满分13分，其中（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）小问分别为6，4，3分．）已知函数44()ln (0)f x ax x bx c x =+->在1x =处取得极值3c --，其中a b ，为常数． （Ⅰ）试确定a b ，的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若对任意0x >，不等式2()2f x c -≥恒成立，求c 的取值范围． 21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，n ∈N ．ABCDE 1B1C1A题（19）图（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ->+∈N ，．22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）如题（22）图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(30)F ，，右准线l 的方程为：12x =． （1）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点1P ，2P ，3P ，使122331PFP P FP P FP ==∠∠∠，证明：123111FP FP FP ++为定值，并求此定值．2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷（理工农医类）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.O F2P1Pxl3Py题（22）图（1）复数1+32i = (A)1+2i(B)1-2i(C)-1(D)3(2)设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(3)圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切(4)已知函数y=13x x -++的最大值为M ,最小值为m ,则mM的值为 (A)14(B)12(C)22(D)32(5)已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝ (A)15(B)14(C)13(D)12(6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数 (C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数(7)若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP u u u u r 所成的比λ的值为 (A)－13(B) －15(C)15(D)13(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e =5k ,则双曲线方程为（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a-=(C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=(9)如解（9）图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V 1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（A ）V 1=2V (B) V 2=2V （C ）V 1> V 2（D ）V 1< V 2(10)函数f(x)=sin 132cos 2sin x x x---(02x π≤≤) 的值域是（A ）[-2,02] (B)[-1,0] （C ）[-2,0]（D ）[-3,0]二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上 （11）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A ⋃B)()C ⋂⋃ð= .（12）已知函数()()()23x f x a ⎧+≠⎪=⎨⎪⎩当x 0时当x=0时，在点在x =0处连续，则2221lim x an a n n→∞+=+ . (13)已知1249a =(a>0) ，则23log a = . (14)设n S 是等差数列{a n }的前n 项和，1298,9a S =-=-,则16S = .（15）直线l 与圆22240x y x y a ++-+=(a<3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 .(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o，c =3b.求： （Ⅰ）ac的值； （Ⅱ）cot B +cot C 的值.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数ξ的分别列与期望E ξ.（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，在ABC V 中，B=90o,AC =152,D 、E 两点分别在AB 、AC 上.使 2AD AEDB EC==,DE=3.现将ABC V 沿DE 折成直二角角，求： （Ⅰ）异面直线AD 与BC 的距离；（Ⅱ）二面角A-EC-B 的大小（用反三角函数表示）.（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）设函数2()(0),f x ax bx c a =++≠曲线y =f (x )通过点（0，23a +），且在点()()1,1f --处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ）用a 分别表示b 和c ；（Ⅱ）当bc 取得最小值时，求函数()()x g x f x e -=-的单调区间. （21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=（Ⅰ）求点P 的轨迹方程； （Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足321122,(N*)n a a a a aa n ++==∈.（Ⅰ）若214a =，求34,a a ，并猜想2008a 的值（不需证明）； （Ⅱ）记12(N*),22n n n b a a a n b =∈≥g g g 若对n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
2010年重庆卷理科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理综化学本试卷共21题，共150分。
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4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量b a ,满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=−|2|b a （ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛−−−→2144lim 22x x x （ ）A 、1−B 、41−C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2−B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω−==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω−==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A 、π67 B 、π45 C 、π34 D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A 、直线 B 、椭圆 C 、抛物线 D 、双曲线 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=−z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++−（,x y R ∈），则=)2010(f __________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.M题（20）图GENHO （18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++−=x ax x x f ，其中实数1−≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 如题（19）图，四棱锥ABCD P −为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A −−的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 25=e . 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率 （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与两条渐近线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca cn ++=++（n N *∈），其中实数0≠c . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122−>k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)理科数学(参考答案)1.【命题意图】本题考查等比数列的概念，基础题. 【解析】∵8320072010==q a a ，∴2q =，选A. 2.【命题意图】本题考查向量的有关概念和基本运算.【解析】∵|2|(2a b a −=−===，∴选B.3.【命题意图】本题考查函数极限的概念、运算法则、型极限的求法以及转化与化归思想. 【解析】2222241211lim lim lim 42(4)(2)24x x x x x x x x x →→→−−⎛⎫−===−⎪−−−++⎝⎭，选B. 4.【命题意图】本题考查线性规划的求解问题.作为选择题，要准确快速求解，可利用端点处取得最值（函数的思想）来求解则更好，从而要求考生对性规划的问题有较深刻的认识.【解析】不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤−+≥+−≥,03,01,0y x y x y 表示的平面区域是如图所示的ABC ∆，当直线y x z +=2过点(3,0)A 的时，z 取得最大值6，故选C. 5.【命题意图】本题考查函数的概念和奇偶性、幂的运算性质和计算能力.【解析】∵)(241214)(x f x f xxx x =+=+=−−−，∴()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，选D 6.【命题意图】本题考查sin()y A x ωϕ=+的图像和性质，数形结合思想等，这是高考的常考题型，但又是学生的软肋，注意复习，多加训练. 【解析】由图像可知，周期74()123T πππ=−=，∴2ω=，由五点作图法知232πϕπ=+⨯，解得6πϕ=−，所以2ω=，6πϕ=−，选D.7.【命题意图】本题考查均值不等式的灵活应用、一元二次不等式的解法以及整体思想.【解析】由均值不等式，得2228)2(82⎪⎭⎫⎝⎛+−≥⋅−=+y x y x y x ，整理，得()()0322422≥−+++y x y x ，即()()08242≥++−+yx y x ，又02>+y x ，所以24x y +≥，选B.8.【命题意图】本题考查直线的倾斜角、斜率、方程，圆的标准方程和参数方程，直线与圆的位置关系以及数形结合的思想方法.【解析】画出图形，301−=∠α，βπ−+=∠302由圆的性质可知21∠=∠βπα−+=−∴ 3030，故=+βα43π，选C. 9.【命题意图】此题是一个排列组合问题.既考查了分析问题，解决问题的能力，更侧重于考查学生克服困难解决实际问题的能力和水平.【解析】分两类：①甲乙排1、2号或6、7号，共有4414222A A A ⨯种不同的安排方法；②甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法，故共有1008种不同的排法，选C.10.【命题意图】本题考查空间中线与线，线与面的垂直，动点的轨迹的求法，同时考查空间想象力.【解析】（直接法）记这两直线为1l ，2l ，异面直线的距离为k ，平面α为过1l 且平行于2l 的平面，设α上某个点P 满足条件。
重庆高考数学2010
绝密★启用前解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，200720108a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,满足2||,1||,0===⋅，则=-|2|（ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （ ）A 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y的部分图象如题（6）图所示，则（ ） A 、6,1πϕω== B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==（7）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D 的圆))2,0[(,sin 31,cos 33πθθθ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3=，则弦AB 的中点到准线的距离为___________. （15）已知函数)(x f 满足：),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f __________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数R x xx x f ∈++=,2cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记A B C ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离； （Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，))(12(,1111*++∈++==N n n c ca a a n n n ，其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一．选择题：每小题5分，满分 50分. （1）A （2）B （3）C （4）C （5）D（6）D（7）B（8）C（9）C（10）D二．填空题：每小题5分，满分25分. （11）i 2-（12）3-（13）53 （14）38 （15）21 三．解答题：满分75分. （16）（本题13分）解：（Ⅰ）1cos 32sinsin 32cos cos )(++-=x x x x f ππ1cos sin 23cos 21++--=x x x1sin 23cos 21+-=x x1)65sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[.（Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)65sin(=+πB ，又因π<<B 0， 故6π=B .解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.解法二：由正弦定理C c B b sin sin =，得3,23sin π==C C 或32π. 当3π=C 时，2π=A ，从而222=+=c b a ；当32π=C 时，6π=A ，又6π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.（17）（本题13分） 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623=-=-=-=C C A P A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662=========C P C P C P ξξξ，1511)4(,1522)3(2626======C P C P ξξ.从而知ξ有分布列所以，34151415235121541310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（18）（本题13分）解：（Ⅰ）11)(111)()1()(22/++++=+++--+=x a x a x a x x a x x f .当1=a 时，47101)20(12)0(2/=++++=f ，而21)0(-=f ，因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(47)21(-=--x y 即0247=--y x .（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/++=++++=a a a x f ，即02111=++a ，解得3-=a .此时)1ln(31)(++--=x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/+---=++--=x x x x x x x f ，由0)(/=x f 得7,121==x x .当 11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<<x 且3≠x 时，0)(/<x f .由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-函数.（19）（本题12分） 解法一：（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面 故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC因⊥PA 底面ABCD ，故，由AB PA =知PAB ∆形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD与平面PBC 的距离.（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .在CBE Rt ∆中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE ∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且2233sin=⋅=πCD DF . 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知AE FG 21//，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在ADC Rt ∆中，23212122=+==CD AD AC DG .所以362cos 222=⋅⋅-+=FG DF DG FG DF DFG .解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -.设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===PC a BC AE 则0,0=⋅=⋅PC AE BC AE ，所以⊥AE 平面PBC. 又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面 PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=.（Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D .设平面AEC 的法向量),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅n n .又)26,0,26(),0,3,6(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z ，则)2,2,2(-=. 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则0,022=⋅=⋅n n . 又26,3,26(),0,0,6(-==，故 所以2222,0y z x ==. 可取12=y ，则)2,1,0(2=n .故36,cos 212121=>=<n n .所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （20）（本题12分）解：（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(122>>=-b a y x ，则由题意25,5===a c e c ， 因此1,222=-==a c b a ，C 的标准方程为1422=-y x.C 的渐近线方程为x y 21±=，即02=-y x 和02=+y x .（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=-=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E解得EE H E E G y x y y x y 22,22--=+=.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x . 注意到4422=-E E y x ，得2|4|||2||4|2121|||4||||2122=-⋅=-++⋅=-⋅⋅=∆E E E E E E E E E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S.解法二：设),(E E y x E ，由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得122121122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x EE --=--=， 因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=.故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-， 注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 下同解法一. （21）（本题12分） （Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=⋅+==2222121)12(33,1，23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=⋅+=， 34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=⋅+=，猜测*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.下用数学归纳法证明. 当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k kk k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(，综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*∈N n 都成立.解法二：由原式得)12(11++=++n ca c a n nn n .令nn n c a b =，则)12(,111++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---cn n 13)32()12(+++-+-= cn 112+-=，因此12)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n .又当1=n 时上式成立.因此*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得 221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c，所以01)144()14(222>-----c k k c k .解此不等式得：对一切*∈N k ，有k c c >或/k c c <，其中)14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，)14(2)14(4)144()144(22222/--+-----=k k k k k k c k .易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ，因此由k c c >对一切*∈N k 成立得1≥c .又0)14(4)144()144(22222/<-+--+---=k k k k k c k ，易知/k c 单调递增，故/1/c c k ≥对一切*∈N k 成立，因此由/k c c <对一切*∈N k 成立得6131/1+-=<c c .从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . 解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.（ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴)1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c .结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c . 综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .。
2010年普通高考数学试题(重庆)
2010年普通高考数学试题（重庆）数学 (文史类)数学试题卷（文史类）共4页。
满分150分。
考试时间l20分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的． （1）4(1)x +的展开式中2x 的系数为（A ）4（B ）6（C ）10（D ）20（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5（B ）6（C ）8（D ）10（3）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（A ）32-（B ）32（C ）2 （D ）6（4）函数y =（A ）[0,)+∞（B ）[0,4]（C ）[0,4)（D ）(0,4)（5）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（A ）7（B ）15（C ）25（D ）35（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+（B ）cos(2)2y x π=+（C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+（7）设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y =-的最大值为（A ）0（B ）2（C ）4（D ）6（8）若直线y x b =-与曲线2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（[0,2)θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为（A ）(2（B ）[2（C ）(,2(2)-∞+∞（D ）(2（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（A ）只有1个（B ）恰有3个（C ）恰有4个（D ）有无穷多个（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（A ）30种（B ）36种（C ）42种（D ）48种二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）设{}{}|10,|0A x x B x x =+>=<，则A B =____________ .（12）已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为____________ .（13）已知过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，2AF =，则BF =_ _ .（14）加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品 率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等. 设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则232311coscossinsin3333αααααα++-=____________ .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）已知{}n a 是首项为19，公差为-2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n项和n T .（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.（18）（本小题满分13分），（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)已知函数32()f x ax x bx =++(其中常数a,b ∈R),()()()g x f x f x '=+是奇函数. (Ⅰ)求()f x 的表达式;(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间上的最大值和最小值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB ==，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）已知以原点O 为中心，F 为右焦点的双曲线C 的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题（21）图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OG OH的值.参考答案1-10 BADCB ACDDC二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． （11）解析：{}{}{}|1|0|10x x x x x x >-⋂<=-<<（12）解析：241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ，当且仅当1t =时，min 2y =-（13）解析：由抛物线的定义可知12AF AA KF === AB x ∴⊥轴 故AF =BF =2（14）解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=（15）解析：232312311cos cos sin sin cos 33333ααααααααα++++-= 又1232αααπ++=，所以1231cos 32ααα++=-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）解：（I ）因为}{n a 是首项为,191=a 公差2-=d 的等差数列，所以,212)1(219+-=--=n n a n2)1(19++=∆n n n S （II ）由题意,31+=-n n n a b 所以,1+=n n b b.21320)331(21-++-=++++=-n n n n n n S T（17）解：考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任两个，有3026=A 种等可能的结果。
2010年重庆高考理科数学试题Word版
绝密*启用前 解密时间：2010年6月7日 17:00 [ 考试时间：6月7日15:00—17:00]2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名和考生号、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答非选择题时必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8(2) 已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ∙===，则2a b -= A. 0 B.C. 4D. 8 （3）2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭= A. —1 B. —14C.14D. 1（4）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=2x+y 的最大值为A.—2B. 4C. 6D. 8 (5) 函数()412xx f x +=的图象A. 关于原点对称B. 关于直线y=x 对称C. 关于x 轴对称D. 关于y 轴对称（6）已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则A. ω=1 ϕ=6πB. ω=1 ϕ=-6πC. ω=2 ϕ=6πD. ω=2 ϕ= -6π（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4 C.92D.112(8) 直线y=3x +D的圆,1x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩())0,2θπ⎡∈⎣交与A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 A.76π B. 54π C. 43π D. 53π(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙部排在10月1日，也不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置上。
全国高考理科数学试题及重庆
绝密★启用前解密时间： 2010 年 6 月 7 日 17： 00【考试时间： 6 月 7 日 15：00— 17：00】2010 年一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）数学试题卷（理工农医类）共 4 页。
满分150 分。
考试时间120 分钟。
注意事项：1.答题前，务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡规定的地点上。
2.答选择题时，一定使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其余答案标号。
3.答非选择题时，一定使用 0.5 毫米黑色署名笔，将答案书写在答题卡规定的地点上。
4.全部题目一定在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 . 在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（ 1）在等比数列{ a n} 中，a2010 8a2007，则公比q的值为（）A、 2B、 3C、 4D、 8 （ 2）已知向量a, b知足a b 0,| a | 1,| b | 2 ，则 | 2a b | （）A、 0B、2 2C、 4D、 8 （ 3）lim 4 1 （）x 2 4 xx 2 2A、 1B、1 1D、 1 4C、4y 0,（ 4）设变量x, y知足拘束条件x y 1 0, 则 z 2x y 的最大值为（）x y 3 0,A、 2B、 4C、 6D、 8（ 5）函数 f ( x) 4 x 1）2x的图象（A、对于原点对称B、对于直线y x 对称yC 、对于 x 轴对称D 、对于 y 轴对称1（ 6）已知函数 ysin( x)(0,|| )2的部分图象如题（6）图所示，则（）7O A 、1,6 B 、1,6312xC 、2,6 D 、2,6题（ 6）图（ 7）已知 x 0, y 0, x 2y2xy 8 ，则 x2 y 的最小值是（）A 、 3B 、 4C 、9D 、1122（ 8）直线 y3 x x 3 3 cos , [0,2 )) 交于 A 、B 两2 与圆心为 D 的圆13 sin , (3y点，则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为（）A 、7B 、5C 、4D 、56433（ 9）某单位安排 7 位职工在 10 月 1 日至 7 日值班，每日安排 1 人，每人值班 1 天. 若 7 位职工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不一样的安排方案共有（）A 、 504 种B 、 960 种C 、 1008 种D 、 1108 种（ 10）到两相互垂直的异面直线的距离相等的点，在过此中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共 5 小题，每题5 分，共 25 分 . 把答案填写在答题卡相应地点上.（ 11）已知复数 z 1 i, 则 2z____________.z（ 12 ） 设 U { 0,1,2,3}, A{ x U | x 2mx 0} ， 若 C U A {1,2}， 则 实 数m _________.（ 13）某篮球队员在竞赛中每次罚球的命中率同样，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16，则该队员每次罚球的命中率为 _____________.25（ 14）已知以 F 为焦点的抛物线y 2 4x 上的两点 A 、 B 知足 AF 3FB ，则弦 AB 的中点到准线的距离为 ___________.（ 15）已知函数 f ( x)知足：f (1) 1,4f( ) (y)f(x y)f(x y)( , )，则4 x f x y Rf (2010 ) __________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （ 16）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问7 分，（Ⅱ）小问6分.）设函数 f ( x) cos(x 2) 2 cos2x, x R .3 2（Ⅰ）求 f ( x) 的值域；（Ⅱ）记 A B C的内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c ，若f ( B) 1,b 1,c 3 ，求 a 的值.（ 17）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问8 分 . ）在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一同 .若采纳抽签的方式随机确立各单位的演出次序（序号为1，2，， 6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号起码有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数的散布列与希望.（ 18）（本小题满分13 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问8 分 . ）x 1ln( x 1) ，此中实数 a1.已知函数 f ( x)ax（Ⅰ）若 a 2，求曲线 y f ( x) 在点 ( 0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）若 f ( x) 在 x 1处获得极值，试议论 f (x) 的单一性.（ 19）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问7 分 . ）如题（ 19 ）图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA底面ABCD，PA AB 6 ，点E是棱PB的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面 PBC 的距离；（Ⅱ）若 AD 3 ，求二面角 A EC D 的平面角的余弦值.PEA DB C题（ 19）图（ 20）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问7 分 . ）已知以原点 O 为中心， F ( 5,0) 为右焦点的双曲线C的离心率 e5. 2（Ⅰ）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（ 20）图，已知过点M (x1, y1)的直线l1: x1x 4 y1y 4 与过点 N (x2 , y2 ) （此中x2 x1）的直线 l 2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近y线分别交于 G、 H 两点，求OGH 的面积.l 2GNO H xM El 1题（ 20）图（ 21）（本小题满分12 分，（Ⅰ）小问 5 分，（Ⅱ）小问7 分 . ）在数列 { a n } 中， a11, a n 1ca n c n 1 (2n 1)(n N ) ，此中实数c0 .（Ⅰ）求 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）若对全部k N 有a2k a2k 1，求 c 的取值范围.绝密★启用前2010 年一般高等学校招生全国一致考试（重庆卷）数学试题（理工农医类）答案一．选择题：每题 5 分，满分 50 分.（1）A （ 2）B （3）C （ 4）C （5）D（6） D（7）B（ 8）C（9）C（ 10）D二．填空题：每题 5 分，满分 25 分.（ 11） 2i（12） 3（13）3（14）8（15）1532三．解答题：满分 75 分 .（ 16）（此题 13 分）解：（Ⅰ） f (x)cos x cos2sin x sin2cos x 1331 cos x3sin xcos x 1221 cos x3sin x 1225sin( x ) 1，6所以 f ( x) 的值域为 [0,2] .（Ⅱ）由 f ( B) 1得sin( B5 ) 1 1，即 sin( B 5 ) 0，又因 0 B，66故 B .6解法一： 由余弦定理 b 2a 2 c 2 2ac cos B ，得 a 2 3a 2 0，解得 a1 或2 .解法二：由正弦定理b c，得 sin C 3,C或 2 .sin B sin C 23 3当 C3 时， A，进而 ab 2c 22 ；2当2AB，进而 a.C时，，又3 b 166故 a 的值为 1 或 2.（ 17）（此题 13 分）解：只考虑甲、乙两单位的相对地点，故可用组共计算基本领件数.（Ⅰ）设 A 表示“甲、乙的演出序号起码一个为奇数”，则 A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A) 1 P( A) 1 C321 1 4 C62 5.5（Ⅱ）的全部可能值为0， 1， 2， 3， 4，且P( 0) 5 1,P( 1) 44,P( 2) 3 1 ，C 26 3 C 62 15 C 62 5P( 3) 2 2,P( 4) 1 1 .C 62 15 C 62 15进而知有散布列0 1 2 3 4P 1 4 1 2 13 15 5 15 15 所以，E 0 114 13241 4 3 15215 15.5 3（ 18）（此题 13 分）解：（Ⅰ） f / ( x) x a ( x 1) 1 a 1 1 .(x a) 2 x 1 (x a) 2 x 1当 a 1 时， f / (0) 2 10 17，而 f (0)1，所以曲线(0 2) 2 1 4 2y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程为y ( 1 ) 7( x 0) 即 7x 4 y 2 0 .2 4（Ⅱ） a 1，由（Ⅰ）知 f / (x) a 11 1 111 ，(1 a)2 1 a 2 即 1 1 0 ，解得 a 3 .1 2ax 1此时 f ( x) ln( x 1) ，其定义域为 ( 1,3) (3, ) ，且x 3f / ( x) 2 1 ( x 1)( x 7) ，由 f / (x) 0 得 x1 1, x2 7 .当( x 3)2 x 1 ( x 3) 2 ( x 1)1 x 1 或 x 7 时，f/ (x) 0；当1 x 7 且 x 3 时，f/(x) 0 .由以上议论知， f ( x) 在区间 ( 1,1], [7, ) 上是增函数，在区间[1,3), (3,7] 上是减P 函数 .（19）（此题 12 分）解法一：E（Ⅰ）如答（19）图 1 ，在矩形ABCD中， AD // 平面 PBC ，故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离.因 PA底面ABCD，故，由PA AB 知PAB 为等腰三角形，又点 E 是棱 PB 中点，故 AE PB .又在矩形 ABCDB 中， BC AB ，而 AB 是 PB 在底面 ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC PB ，进而 BC平面PAB，故BC AE .进而 AE平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面 PBC 的距离.FA DGC答（ 19）图 1（Ⅱ）过点D作DF CE ，交CE于F，过点F作 FG CE ，交AC于G，则DFG 为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知BC平面PAB，又AD // BC，得AD平面PAB，故AD AE ，进而DE AE 2 AD 2 6 .在 Rt CBE 中，CE BE 2 BC2 6.由CD 6 ，所以CDE 为等边三角形，故 F 为 CE的中点，且DF CD sin3 2 .23由于AE 平面，故AE CE ，又FG CE ，知 FG // 1 A E ，进而 FG 3PBC2 ，2 且 G点为 AC的中点 .连结 DG，则在Rt ADC中，DG 1AC 1 AD 2 CD 2 3 .2 2 2所以 cos DFG DF 2 FG 2 DG 2 6.解法二：（Ⅰ）如答（ 19）图 2，以 A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为 x 轴、 y 轴、zAxyz .z轴正半轴，成立空间直角坐标系P设 D (0, a,0) ，则 B(6,0,0),C( 6 , a,0) ，P(0,0, 6), E(6,0, 6) .E22所以 AE( 6 ,0, 6),BC (0, a,0), PC ( 6,0,6) ，FD2 2Ay则AE BC 0, AE PC0 ，所以 AE 平面 PBC.G又由 AD // BC 知 AD // 平面 PBC ，故直线 AD 与平面BC答（ 19）图 2xPBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为 | AE | 3 .（Ⅱ）由于 | AD | 3 ，则 D(0, 3,0), C( 6, 3,0) .设平面 AEC 的法向量n 1( x 1 , y 1 , z 1 ) ，则 n 1 AC 0, n 1 AE 0 .6 ,0, 6) ，故6x 13y 1 0,又 AC( 6,3,0), AE(6x 16z 12 20,22所以 y 12 x 1 , z 1x 1 . 可取 z 1 2 ，则 n( 2,2, 2 ) .设平面 DEC 的法向量 n 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) ，则 n 2 DC0, n 2 DE 0 .又 DC( 6,0,0), DE( 6 ,3, 6)，故22所以 x 2 0, z 22 y 2 . 可取 y 2 1 ，则 n 2(0,1, 2 ) .故 cos n 1, n 2n 1 n 2 6 .| n 1 | | n 2 |3所以二面角 AEC D 的平面角的余弦值为6 .3（ 20）（此题 12 分）10解 ：（ Ⅰ ） 设 C 的 标 准 方 程 为 x2y 2 1(a 0, b0)，则由题意a2 b 2yc5, ec5l 2Ga，2所以 a2, bc 2 a 2 1，x 2NC 的标准方程为 y 2 1.OQx4HC 的渐近线方程为 y1x ，即Ml 1E2x2 y 0 和 x 2 y 0 .答（ 20）图（Ⅱ）解法一：如答（ 20）图，由题意点E( x E , y E ) 在直线 l 1 : x 1 x 4y 1 y 4 和l 2 : x 2 x 4y 2 y 4 上，所以有 x 1 x E 4 y 1 y E4 ， x 2 x E 4 y 2 y E 4 ，故点 M 、 N 均在直线 x E x 4 y E y 4 上，所以直线 MN 的方程为 x Ex 4y E y4 .设 G 、H 分别是直线 MN 与渐近线 x 2 y 0 及 x 2 y 0的交点，由方程组 x E x 4 y E y 4,x E x 4 y E y 4,x 2 y 0及2 y 0,x解得y G2, y H2.x E 2 y Ex E2 y E设 MN 与 x 轴的交点为 Q ，则在直线 x E x4 y E y 4 中，令 y0 得 x Q4（易知x Ex E 0) . 注意到 x E 2 4 y E 2 4 ，得SOGH1 |OQ | | y G y H | 4| 11| 42 | x E |22y E222| x E | x E x E 2 y E| x E || x E4 y E |.解法二：设 E( x E , y E ) ，由方程组x 1 x 4 y 1 y 4, 4( y 2y 1 ), y E x 1 x 2解得x E，因 x 2x 1 ，则直线 MN 的斜率 ky 2 y 1xE.x 2 x 14 y E故直线 MN 的方程为 yy 1x E (x x 1 ) ，4 y E注意到 x 1 x E 4 y 1 y E4 ，所以直线 MN 的方程为 x E x 4 y E y4 .下同解法一 .（ 21）（此题 12 分）（Ⅰ）解法一：由aa ca c 2c 2 c 2 c 2 c ，1 1, 2133 (2 1)a 3 ca 2 c 3 5 8c 3 c 3 (32 1)c 3c 2 ，a 4ca 3 c 4 7 15c 4c 3 (4 2 1)c 4 c 3 ，猜想a n(n21)cnc n 1 , n N .下用数学概括法证明 .当 n 1时，等式成立；假定当 nk 时，等式成立，即 a k( k 2 1)c kc k 1 ，则当 n k 1时， ak 1ca k c k` 1(2 1) c [( k 2 1) c kc k 1]c k 1(2 k 1)k( k 22k )c k 1 c k [( k1) 2 1]c k 1 c k ，综上，a n( n 2 1)c n c n 1 对任何 nN 都成立.解法二：由原式得a n 1 a n( 2n 1) .cn1cn令 b na n n ，则b 11, b n 1 b n (2n 1) ，所以对 n 2 有 ccb n (b n b n 1 ) (b n 1 b n 2 )(b 2 b 1 ) b 1(2n 1)(2n 3)31c1n 2 1 ，c所以a n(n 2 1) c n c n 1 ， n 2.又当 n 1 时上式成立 .所以 a n(n 2 1)c n c n 1 , n N .（Ⅱ）解法一：由a2ka2k1 ，得[( 2k) 2 1]c 2 kc 2k 1 [( 2k1) 2 1]c 2k 1c 2k2 ，因 c 2k20 ，所以 (4k 2 1)c 2 (4k 2 4k1)c 1 0.解此不等式得：对全部kN ，有 c c k 或 c c k /，此中c k(4k 2 4k 1)( 4k 2 4k 1)2 4(4k 2 1)，2(4k21)c k /( 4k 2 4k 1)(4k 2 4k 1) 2 4( 4k 2 1) .2( 4k21)易知 lim c k1，k又由 (4k 24k 1) 2 4(4 2 1) (4k 21) 24( 4 k 21)44 k 2 1，k知c k (4k 2 4k 1) 4k 2 1 8k 2 4k1 ，2(4k 2 1)8k22所以由 cc k 对全部 k N 成立得 c1./2/单一递加，又 c k( 4k 2 4k1) (4k24k 1)24(4k21) ，易知 c k故c k //N 成 立 ， 因 此 由 c/对 一 切 k Nc 1 对 一 切 kc k成 立 得c c 1 /16 13 .进而 c 的取值范围为 (, 1 6 13 )[1, ) .解法二：由 a 2ka2k1 ，得[( 2k) 2 1]c 2 k c 2k 1 [( 2k 1) 2 1]c 2k 1 c 2k 2 ，因 c 2k 2 0 ，所以4(c2 c)k 2 4ck c 2 c 1 0 对k N 恒成立 .记( ) 4( 2 ) 2 4 2 1，下分三种状况议论.f x c c x cx c c（ⅰ）当c2 c 0 即 c 0 或 c 1 时，代入考证可知只有 c 1知足要求.（ⅱ）当 c2 c 0 时，抛物线 y f ( x) 张口向下，所以当正整数k 充分大时，f ( x) 0不切合题意，此时无解 .（ⅲ）当c2 c 0 即 c 0 或 c 1 时，抛物线 y f ( x) 张口向上，其对称轴x 1 必在直线 x 1的左侧. 所以， f (x) 在 [1, ) 上是增函数.2(1 c)所以要使 f ( k ) 0 对 k N 恒成立，只要 f (1) 0即可.由f (1) 3 2c1 0 解得c1 13 或c1 13 .c 6 6联合 c 0 或 c 1 得 c 1 13或c 1.6综合以上三种状况， c 的取值范围为( , 1613 ) [1, ) .。
2010年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B． C．4 D．8【考点】向量的模．【专题】计算题．【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．【点评】本题考查向量模的求法，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．5．（5分）（2010•重庆）函数的图象（）A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称【考点】奇偶函数图象的对称性．【专题】计算题．【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；综合题．【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A． B． C． D．【考点】圆的参数方程；直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．【点评】本题主要考查了圆的参数方程，以及直线的倾斜角和直线和圆的方程的应用，属于基础题．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【考点】排列及排列数公式；排列、组合的实际应用．【专题】压轴题．【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．【点评】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线D．双曲线【考点】抛物线的定义；双曲线的标准方程．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D【点评】本题主要考查了双曲线的方程．考查了学生分析归纳和推理的能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则= ﹣2i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的运算法则．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m= ﹣3 ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题考查集合的运算即补集的运算及根与系数之间的关系，关键是由题意得出集合A．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．【点评】对立事件公式的应用经常在概率计算中出现，从正面做包含的事件较多，可以从反面来解决，注意区分互斥事件和对立事件之间的关系．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB 的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了直线与抛物线的关系及焦点弦的问题．常需要利用抛物线的定义来解决．15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）= ．【考点】抽象函数及其应用；函数的周期性．【专题】计算题；压轴题．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．【点评】准确找出周期是此类问题（项数很大）的关键，分别可以用归纳法和演绎法得出周期，解题时根据自己熟悉的方法得出即可．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【考点】正弦函数的定义域和值域；正弦定理；余弦定理．【专题】计算题．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=2【点评】考查利用三角函数的有界性求值域与利用余弦定理解三角形，属基本题型，用来训练答题者熟练三角恒等变形公式与余弦定理．17．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【考点】等可能事件的概率；排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．【点评】本题主要考查古典概型和对立事件，正难则反是解题时要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加容易．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．【点评】掌握函数的导数与极值和单调性的关系．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【考点】点、线、面间的距离计算；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；综合题；空间角．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC 的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG 平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•s in=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==【点评】本题主要考查了点，线，面的距离计算．在求两面角问题时关键是找到两个面的平面角．20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN 与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【考点】数列递推式；数学归纳法．【专题】计算题；压轴题；探究型；归纳法．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k+1=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合运用所学知识和实际的运算能力．。
高中数学2010年重庆高考试卷试题
高中数学2010年重庆高考试卷 试题 2019.091,设 ,x y 满足约束条件30,0,2,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则 22x y + 的最大值为 ．2,右侧算法框图中所输出的结果S 的值为________．3,若等差数列na 的前n 项和为n S ， 3530a a +=-，15939a a a ++=-，nS 则使取最小值的n = _____4,三棱锥ABC P -的各顶点都在一半径为 2 的球面上，球心O 在AB 上，且PO ⊥ 底面ABC ∆，AC = ． 5,已知函数()sin()(0,0,0,)f x A x A x ωϕωϕπ=+>><<∈R 的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的坐标分别为(0,2)M ，2(,2)3N π-．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移29π个单位得到函数()g x 图象，直线x t =（0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）与()f x ，()g x 的图象分别交于,P Q 两点，求 PQ 的最大值．6,对甲、乙两种商品的重量的误差进行抽查，测得数据如下（单位：mg ）：甲：13 15 14 14 9 14 21 9 10 11 乙：10 14 9 12 15 14 11 19 22 16（Ⅰ）画出样本数据的茎叶图，并指出甲，乙两种商品重量误差的中位数；（Ⅱ）计算甲种商品重量误差的样本方差；（Ⅲ）现从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件，求重量误差为19的商品被抽中的概率．7,已知四棱锥 P ABCD - 的直观图和三视图如图所示，E 是 PB 的中点.（Ⅰ）求三棱锥C PBD -的体积；（Ⅱ）若 F 是 BC 上任一点，求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）边PC 上是否存在一点M ，使DM ∥平面EAC ，试说明理由．8,已知 {}n a 是各项都为正数的数列，其前 n 项和为 n S ，且满足221n n n a S a -=．（Ⅰ）求 1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明 {}2nS是等差数列，并求数列 {}na 的通项公式；（Ⅲ）求数列 2211n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 的前n 项和．9,如图所示，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> 的两个焦点为 1F 、2F ，短轴两个端点为 A 、B ．已知 OB 、1F B 、12F F成等比数列，1122F B F F ⋅=，与 x 轴不垂直的直线 l 与 C 交于不同的两点 M 、N ，记直线 AM 、AN的斜率分别为 1k 、2k ，且 1232k k ⋅=．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）求证直线 l 与 y 轴相交于定点，并求出定点坐标．10,已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．（Ⅰ）当 2m = 时，求函数 ()f x 的最小值；（Ⅱ）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；（Ⅲ）求证：当 1m =- 时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有2121()()1f x f x x x ->--．11, 在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4（D ） 8 12, 已知向量a,b 满足a ·b ＝0，|a|=1，|b|=2，则|2a －b|＝ （A ） 0 （B ） （C ） 4 （D ） 813,224142limx x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭＝ （A ） －1（B ） －14 （C ） 14（D ） 114,设变量x,y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值为（A ） －2 （B ） 4 （C ） 6 （D ） 815,函数41()2x xf x +=的图象 （A ） 关于原点对称 （B ） 关于直线y ＝x 对称 （C ） 关于x 轴对称 （D ） 关于y 轴对称 16,已知函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题(6)图所示，则（A ） 1,6πωϕ==（B ）1,6πωϕ==-17,已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 （A ） 3 （B ） 4（C ） 92（D ） 11218,直线3y x =+D的圆,([0,2))1x y θθπθ⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩交于A 、B两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（A ） 76π（B ） 54π （C ） 43π（D ） 53π19,某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（A ） 504种 （B ） 960种 （C ） 1008种 （D ） 1108种 20,到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（A ） 直线 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ） 双曲线试题答案1, 29 2, 1- 3, 11 4, 4:1π5, 解：（Ⅰ）由题意知2A =，()f x 的周期43T π=, ∴32ω=．∵ (0,2)M 是最高点坐标，∴2πϕ=．∴33()2sin()2cos 222f x x xπ=+=． 5分（Ⅱ）323()2cos ()2cos()2923g x x x ππ=-=-． 7分∴333()()2cos cos()2cos()22323PQ f t g t t t t ππ=-=--=+．∵ 0,2t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ 313,23312t πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴ []1,2PQ ∈． ∴ PQ 的最大值为2．6, 解：（Ⅰ）茎叶图如右图． 甲 乙甲，乙两种商品重量误差的中位数分别为13.5，14． 4分 （Ⅱ）1315141491421111091310x +++++++++==．∴ 甲种商品重量误差的样本方差为()()()()222221[(1313)15131413141391310-+-+-+-+-()()()()()222221413211311131013913]+-+-+-+-+-＝11.68分（Ⅲ）设重量误差为19的乙种商品被抽中的事件为A ．从重量误差不低于15的乙种商品中随机抽取两件共有（15，16），（15，19），（15，22），（16，19），（16，22），（19，22）6个基本事件，其中事件A 含有3个基本事件． ∴()3162P A ==．12分 7,解：（Ⅰ）由该四棱锥的三视图可知，四棱锥P ABCD - 的底面是边长为2和1的矩形，侧棱PA ⊥平面ABCD ， 且2PA =.∴112122323C PBD P BCD V V --==⨯⨯⨯⨯=. 4分 （Ⅱ）∵,,,BC AB BC PA AB PA A ⊥⊥= ∴BC ⊥平面PAB . ∴BC AE ⊥．又在PAB ∆中，∵PA AB =,E 是PB 的中点， ∴AE PB ⊥．∵BC PB B =, ∴AE ⊥平面PBC ．∴AE PF ⊥. 8分 （Ⅲ）存在点M ，可以使DM ∥平面EAC . 连接BD ，设AC BD O =,连结EO .在PBD ∆中，EO 是中位线，∴PD ∥EO ． 又∵EO ⊂平面EAC ,PD ⊄平面EAC ， ∴PD ∥平面EAC ．∴ 当点M 与点P 重合时，可以使DM ∥平面EAC .8, 解：（Ⅰ）解：（I ）令1n =，则有221121,a a -=111(1a a ⇒==-舍去）．令2n =，得212222()1a a a a +-=，即222210a a +-=．∴21a =（舍去负值）． 3分 （Ⅱ）∵221n n n S a a -=，① 又n ≥2时有1n n n a S S -=-，代入①式并整理得221nn S S --＝1．∴ 2{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列.6分∴211n S n n=+-=，∴1n n n a S S -=-n ≥2），又11a =∴n a =8分（Ⅲ）设2211n n s s +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．由（Ⅱ）知n T =111223++⨯⨯1(1)n n ++ 111(1)()223=-+-+…＋111()1111n n n n n -=-=+++． 即2211n n s s +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1nn +． 12分9, 解: （Ⅰ）易知OB b=、1F B a=、122F F c=（其中c =，则由题意知有22a bc =．又∵222a b c =+，联立得b c =．∴a =．∵1122F B F F ⋅=，∴ 2cos452ac ︒=．∴221,2b a ==． 故椭圆C 的方程为2212x y +=． 4分（Ⅱ）设直线l的方程为y kx b =+，M 、N 坐标分别为11(,)M x y 、22(,)N x y ．由222221(12)42202x y k x kbx b y kx b ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩．∴2121222422,1212kb b x x x x k k -+=-⋅=++． 7分∵12121211,y y k k x x ++==．∴22121212121212(1)(1)(1)()(1)kx b kx b k x x b k x x b k k x x x x ++++++++++⋅=⋅=＝32．将韦达定理代入，并整理得2222(1)4(12)(1)31k b k b k b b --+++=-，解得2b =．∴直线 l 与 y轴相交于定点（0，2）．10, 解：（Ⅰ）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞．当22(1)(2)2,()x x x x m f x x x +--+'===时．∴ 当()0,1,()0x f x '∈<时，()1,,()0x f x '∈+∞>．∴()f x 在1x =时取得最小值，其最小值为(1)f =32． 4分（Ⅱ）∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x +---+'=-+-==，∴（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数．（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数； ()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数． 9分 （Ⅲ）当1m =-时，函数21()ln 22f x x x x =+-．构造辅助函数()()g x f x x =+，并求导得2213()1124()1x x x g x x x x x -+-+'=+-==．∴()0g x '>，()g x 为增函数．∴ 对任意120x x <<，都有12()()g x g x <成立，即1122()()f x x f x x +<+．即2112()()f x f x x x ->-．又∵120x x -<，∴ 2121()()1f x f x x x ->--． 14分11, A 12, B 13, B 14, C 15, D 16, D 17, B 18, C 19, C 20, D。
2010年高考重庆理科数学试题及答案(精校版)
绝密★启用前 解密时间：2010年6月7日17：00 【考试时间：6月7日15：00—17：00】2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）在等比数列}{n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,满足2||,1||,0===⋅，则=-|2|（ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （ ）A 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数sin()y x ωϕ=+（0,||2πωϕ><）的部分图象如题（6）图所示，则（ ）A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==（7）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D的圆,1,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（[0,2)θπ∈）A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________.（15）已知函数)(x f 满足：1(1)4f =，4()()()()f x f y f x y f x y =++-（,x y R ∈），则=)2010(f __________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数22()cos()2cos 32xf x x π=++，x R ∈.（Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离； （Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，11a =，11(21)n n n a ca c n ++=++（n N *∈），其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（理工农医类）解析数学试题卷（理工农医类）共4页。
重庆市2010年高考仿真试卷三数学理(附答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学(理工类)模拟试卷（三）数学试题(理工类)共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 设条件p ：||x x =；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 2． 已知2120012224(1),(1)()n n nn n n a a a a x b b x b x b x n N x x xx+-=+++++=++++∈， 记0120122,n n M a a a a N b b b b =++++=++++，则→∞n lim 23lim n M N M N →∞-+的值是 A ．2 B ．13- C ．0 D ．233． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，2007200512008,220072005S Sa =--=，则2008S 的值为A ．-2007B ．-2008C ．2007D ．20084． 已知23tan sin =αα，则αα44cos sin -的值是A ．-7B ．21-C ．43D ．21 5． 已知函数32()32,(0,2)f x x x x =-+∈的反函数为1()f x -，则A ．1113()()22ff --< B ．1113()()22ff --->- C ．1113()()22f f -->D ．1135()()22f f --< 6． 已知(),()f xg x 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0,''()()()()f x g x f x g x <，()()x f x a g x =，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，在有穷数列(){}()f ng n ( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是A ．15B ．25C ．45D ．357． 从M 点出发三条射线MA ，MB ，MC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为323π，则OM 的距离为 A．B．C ．3D ．48． 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 A ．3B ．21+C ．13+D ．29． 如图所示，已知D 是面积为1的ABC ∆的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设123,,AD AB AE AC DF DE λλλ===，且23112λλλ+-=，记BDF ∆的面积为123(,,)s f λλλ=，则S 的最大值是【注：必要时，可利用定理：若,,,+∈R c b a 则3)3(c b a abc ++≤， （当且仅当c b a ==时，取“=”）】A ．12B ．13 C ．14D ．18 10．已知实数,x y 满足20200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，每一对整数(,)x y 对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆A ．70B ．61C ．52D ．43二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，向量),sin ,2(cos ),sin ,2(sinB Cb A B A =+= 12a b ⋅=，则tan tan A B ⋅= ． 12．设20)()(0)x f x a x x <=⎨⎪+≥⎩，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为 ． 13．如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB +=，类比到平面的情形；若O 是ABC ∆内一点，有O OB S OA S OC S OCA OBC OAB =⋅+⋅+⋅∆∆∆，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD 内一点，则有 ． 14．若,x y 满足条件||||1(0)ax y a +≤>，则（a ）(,)P x y 的轨迹形成的图形的面积为1，则a = ． （b ）2222xx y y a+++的最大值为 ． 15．第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行．29和2008是两个喜庆的数字，若使200829n n ++与200829之间所有正整数的和不小于2008，则n 的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅． （Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若||2BA BC +=且2[,]33B ππ∈，求BA BC ⋅的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位参赛者都从备选项中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．18．（本小题满分13分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，C 1C =CB =CA =2，AC ⊥CB ．D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求A 1B 与平面A 1C 1CA 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -A 1D -A 的大小；（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ．如图，已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 的直线（非x 轴）交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ．（Ⅰ）求证：KF 平分∠MKN ；（Ⅱ）直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示 线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．20．（本小题满分12分）函数ln y x =关于直线1x =对称的函数为()f x ，又函数211(0)2y ax a =+>的导函数为()g x ，记()()()h x f x g x =+．（Ⅰ）设曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线为l ， l 与圆22(1)1x y ++=相切，求a 的值；（Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）求函数()h x 在[0，1]上的最大值．已知函数+∈=N x x f y ),(，满足：①对任意,a b N +∈，都有)()()(b af b bf a af >+)(a bf +；②对任意n ∈N *都有[()]3f f n n =．（Ⅰ）试证明：()f x 为N +上的单调增函数； （Ⅱ）求(1)(6)(28)f f f ++； （Ⅲ）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+2010级高三数学（理）模拟试题（三）参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工类)模拟试卷(三)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学(理工类)模拟试卷（三）数学试题(理工类)共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 设条件p ：||x x =；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 2． 已知2120012224(1),(1)()n n nn n n a a a a x b b x b x b x n N x x xx+-=+++++=++++∈， 记0120122,n n M a a a a N b b b b =++++=++++，则→∞n lim 23lim n M NM N →∞-+的值是 A ．2 B ．13- C ．0 D ．233． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，2007200512008,220072005S Sa =--=，则2008S 的值为A ．-2007B ．-2008C ．2007D ．2008 4． 已知23tan sin =αα，则αα44cos sin -的值是A ．-7B ．21-C ．43D ．21 5． 已知函数32()32,(0,2)f x x x x =-+∈的反函数为1()f x -，则A ．1113()()22ff --< B ．1113()()22ff --->- C ．1113()()22f f -->D ．1135()()22f f --< 6． 已知(),()f xg x 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0,''()()()()f x g x f x g x <，()()x f x a g x =，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，在有穷数列(){}()f ng n ( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是A ．15B ．25C ．45D ．357． 从M 点出发三条射线MA ，MB ，MC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为323π，则OM 的距离为 A．B．C ．3D ．48． 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 A ．3B ．21+C ．13+D ．29． 如图所示，已知D 是面积为1的ABC ∆的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设123,,AD AB AE AC DF DE λλλ===，且23112λλλ+-=，记BDF ∆的面积为123(,,)s f λλλ=，则S 的最大值是【注：必要时，可利用定理：若,,,+∈R c b a 则3)3(c b a abc ++≤， （当且仅当c b a ==时，取“=”）】A ．12B ．13 C ．14 D ．1810．已知实数,x y 满足20200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，每一对整数(,)x y 对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆A ．70B ．61C ．52D ．43二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，向量),sin ,2(cos ),sin ,2(sinB Cb A B A =+= 12a b ⋅=，则tan tan A B ⋅= ． 12．设21(0)()(0)x f x xa x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为 ． 13．如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB +=，类比到平面的情形；若O 是ABC ∆内一点，有S S S OCA OBC OAB =⋅+⋅+⋅∆∆∆，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD 内一点，则有 ． 14．若,x y 满足条件||||1(0)ax y a +≤>，则（a ）(,)P x y 的轨迹形成的图形的面积为1，则a = ． （b ）2222xx y y a+++的最大值为 ． 15．第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行．29和2008是两个喜庆的数字，若使200829n n ++与200829之间所有正整数的和不小于2008，则n 的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅． （Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若||2BA BC +=且2[,]33B ππ∈，求BA BC ⋅的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位参赛者都从备选项中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．18．（本小题满分13分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，C 1C =CB =CA =2，AC ⊥CB ．D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求A 1B 与平面A 1C 1CA 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -A 1D -A 的大小；（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ．如图，已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 的直线（非x 轴）交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ．（Ⅰ）求证：KF 平分∠MKN ；（Ⅱ）直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示 线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．20．（本小题满分12分）函数ln y x =关于直线1x =对称的函数为()f x ，又函数211(0)2y ax a =+>的导函数为()g x ，记()()()h x f x g x =+．（Ⅰ）设曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线为l ， l 与圆22(1)1x y ++=相切，求a 的值；（Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）求函数()h x 在[0，1]上的最大值．已知函数+∈=N x x f y ),(，满足：①对任意,a bN +∈，都有)()()(b af b bf a af >+)(a bf +；②对任意n ∈N *都有[()]3f f n n =．（Ⅰ）试证明：()f x 为N +上的单调增函数； （Ⅱ）求(1)(6)(28)f f f ++；（Ⅲ）令(3),nn a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+2010级高三数学（理）模拟试题（三）参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。
2010年重庆高考数学理科卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中．只有一项是符合题目要求的．1.在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为 ( ) A ．2 B. 3C. 4D. 8【测量目标】等比数列的性质. 【难易程度】容易【考查方式】利用等比数列的通项公式分别表示出2010a ，2007a ，两式相除即可求得3q ，进而求得q . 【参考答案】A 【试题解析】8320072010==q a a 2=∴q 2．已知向量a ，b 满足 a b ＝0，|a |=1，|b |=2，则|2-a b |＝ ( )A ． 0C. 4D. 8【测量目标】平面向量的数量积运算. 【考查方式】把所求式平方再开方即可. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】2-=ab === 3. 2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭＝ ( ) A ． －1B. －14C.14D.1【测量目标】极限及其运算.【考查方式】通分后消除相同因子，由此得到答案. 【难易程度】容易 【参考答案】B 【试题解析】：2241lim 42x x x →⎛⎫-⎪--⎝⎭=222211lim lim 424x x x x x →→--==--+ 4. 设变量x ,y 满足约束条件01030y x y x y ⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≥≥≤，则z ＝2x ＋y 的最大值为 ( )A. －2B. 4C. 6D. 8【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线过点B 时，z 最大值即可. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点(3,0)B 的时候，z 取得最大值6.第4题图5. 函数41()2x xf x +=的图象( )A.关于原点对称B.关于直线y ＝x 对称C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称 【测量目标】函数奇偶性的综合运用.【考查方式】先验证奇偶性，然后判断图象性质. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】)(241214)(x f x f xxx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称. 6. 已知函数πsin(),(0,||)2y x ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，则 ( )第6题图A. π1,6ωϕ==B. π1,6ωϕ==- C. π2,6ωϕ== D. π2,6ωϕ==-【测量目标】三角函数的图象、由图象求解析式.【考查方式】先求出周期，然后求出ω，由（0,1）确定ϕ. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】π2T ω=∴= ,由五点作图法知ππ232ϕ⨯+=，ϕ= π6-. 7. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 ( ) A. 3B. 4C.92D.112【测量目标】基本不等式求最值.【考查方式】根据基本不等式性质逐步推导求出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】2228(2)82x y x y x y +⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭≥，整理得()()2242320x y x y +++-≥ 即()()24280x y x y +-++≥，又02>+y x ，24x y ∴+≥8.直线3y x =+D的圆,([0,2π))1x y θθθ⎧=⎪∈⎨=⎪⎩交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为 ( ) A.7π6 B. 5π4C.4π3D.5π3【测量目标】圆的参数方程；直线的倾斜角.【考查方式】画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立2个倾斜角的等量关系，化简求出结果.【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】数形结合301-=∠α，230πβ∠=+-由圆的性质可知21∠=∠,3030παβ∴-=+- 故=+βα4π3第8题图9. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种 【测量目标】排列、组合的实际应用.【考查方式】针对实际问题运用分类原理的相关性质求解得出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2142442A A A ⨯种方法甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有24113243334A (A A A A )+种方法,故共有1008种不同的排法.10. 到两互相垂直的异面的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线 【测量目标】抛物线的定义；双曲线的标准方程. 【考查方式】根据题意采用排除法逐个排除得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】排除轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11. 已知复数1i z =+，则2z z-=____________． 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】把1i z =+代入化简计算得到结果. 【难易程度】容易 【参考答案】2i - 【试题解析】21i 1i 1i 2i 1i--=---=-+. 12. 设{0,1,2,3}U =，2{|0}A x U x mx =∈+=，若{1,2}U A =ð，则实数m =________． 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】由题意分析得到A 点坐标，进而求出m 值. 【难易程度】容易 【参考答案】3-【试题解析】 {1,2}U A =ð,∴{}0,3A =,故3m =-. 13. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________． 【测量目标】互斥事件的概率.【考查方式】根据互斥事件的性质求出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】35【试题解析】由251612=-p 得53=p 14. 已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A 、B 满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为____________．【测量目标】抛物线的简单几何性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义.【考查方式】先求出1AA 和1BB ，进而判断出直线AB 斜率求出方程，联立方程求得结果.【难易程度】容易 【参考答案】83【试题解析】设BF m =,由抛物线的定义知m BB m AA ==11,3ABC ∴△中，AC =2m ,AB =4m ,3=AB k （步骤1）直线AB 方程为)1(3-=x y ,与抛物线方程联立消y 得031032=+-x x 所以AB 中点到准线距离为381351221=+=++x x . （步骤2）第14题图15. 已知函数()f x 满足：1(1)4f =，4()()()(),(,)f x f y f x y f x y x y =++-∈R ，则(2010)f =____________．【测量目标】函数的周期性；抽象函数及其应用.【考查方式】先推理函数周期性，然后根据周期性求出结果. 【难易程度】容易 【参考答案】12【试题解析】取1,0x y ==得21)0(=f （步骤1） 法一：通过计算(2),(3),(4),f f f …，寻得周期为6 （步骤2） 法二：取,1,x n y ==有()(1)(1)f n f n f n =++-, 同理(1)(2)()f n f n f n +=++（步骤3）联立得(2)(1)f n f n +=--所以6T =故()12010(0)2f f ==. （步骤4） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分．) 设函数22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R ．(Ⅰ) 求()f x 的值域；(Ⅱ) 记ABC △的内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1f B =，1b =，c =a 的值．【测量目标】三角函数的定义域、值域；正弦定理；余弦定理.【考查方式】化简求出()f x 最简式，然后求出值域；利用余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ) 22()cos(π)2cos ,32xf x x x =++∈R =22()cos cosπsin sin πcos 133f x x x x =-++=1cos cos 12x x x -++=1cos 12x x +=5πsin()16x ++ （步骤1）因此()f x 的值域为[0,2]. （步骤2）(Ⅱ)由()1f B =得5πsin()116B ++=，即5πsin()06B +=， 又因为0πB <<，故π6B =. （步骤3）解法一：余弦定理2222cos b a c ac B =+-得2320a a -+=，解得1a =或2.（步骤4）解法二：由正弦定理sin sin b c B C =，得πsin 23C C ==或2π3. （步骤5）当π3C =时，π2A =，从而2a ==； （步骤6） 当2π3C =时，π6A =,又π6B =，从而1a b ==. （步骤7）17. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望． 【测量目标】排列、组合及其应用；离散型随机分布列和期望.【考查方式】根据等可能事件的概率公式求出结果；根据对立事件性质求出结果. 【难易程度】中等【试题解析】(Ⅰ)只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. 设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号均为偶数”， 由等可能事件的概率计算公式得()()2326C 14111C 55P A P A =-=-=-=. （步骤1）(Ⅱ)ξ的所有可能值为0，1, 2, 3, 4，且()26510C 3P ξ===,()26441C 15P ξ===,()26312C 5P ξ===, ()26223C 15P ξ===,()26114C 15P ξ===. （步骤2） 从而知ξ有分布列所以01234315515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤3） 18. (本小题满分13分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分．)已知函数1()ln(1)x f x x x a-=+++，其中实数1a ≠-.(Ⅰ) 若2a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ) 若()f x 在1x =处取得极值，试讨论()f x 的单调性． 【测量目标】利用导数判断函数的单调性；导数的几何意义.【考查方式】根据导数在点(0,(0))f 处值求出切线方程；先求出a 值，然后利用导数研究单调性.【难易程度】中等 【试题解析】 (Ⅰ)()22(1)111=()1()1x a x a f x x a x x a x +--+'+=+++++.（步骤1） 当2a =时，()221170(02)014f +'=+=++，而()102f =-，（步骤2） 因此曲线()y f x =在点(0,(0)f 处的切线方程为17()(0)24y x --=- ，即7420x y --=. （步骤3）(Ⅱ)因1a ≠-，由(Ⅰ)知()2111(1)11a f a +'=+++,又因()f x 在1x =处取得极值，所以()10f '=，（步骤4）即11012a +=+，解得3a =-. （步骤5） 此时()1ln(1)3x f x x x -=++-，其定义域为(1,3)(3,)-+∞ ，且()2221(1)(7)(3)1(3)(1)x x f x x x x x ---'=+=-+-+，由()0f x '=得11x =，27x =. （步骤6） 当11x -<<或7x >时，()0f x '>； 当17x <<且3x ≠时，()0f x '<. （步骤7） 综上所述，()f x 在区间(1,1]-,[7,)+∞上是增函数， 在区间[1,3)，(3,7]上是减函数.（步骤8）19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB E 是棱PB 的中点．(Ⅰ) 求直线AD 与平面PBC 的距离；(Ⅱ) 若AD A －EC －D 的平面角的余弦值．第19题图【测量目标】线面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；二面角；空间直角坐标系. 【考查方式】先证线面垂直然后求出距离；根据法向量求出二面角余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(Ⅰ) 如图1 ，在矩形ABCD 中，//AD BC ，从而//AD 平面PBC ， 故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离. （步骤1）因⊥PA 底面ABCD ，故P A A B ⊥，由AB PA =知PAB △为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥. （步骤2）又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，（步骤3） 故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离 （步骤4）在Rt PAB △中，PA PB ==12AE PB ===（步骤6）第19题图1(Ⅱ)过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过F 点作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又AD BC ，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .（步骤7）在Rt CBE △中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE △为等边三角形，故F 为CE 的中点，且πsin32DF CD ==. （步骤8） 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知12FG A E ，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点. （步骤9）连接DG ，则在Rt ADC △中，23212122=+==CD AD AC DG .所以222cos 2DF FG DG DFG DF FG +-∠== （步骤10）解法二：（Ⅰ）如图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -. （步骤11）设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===a ，则0,0AE BC AE PC == ，所以⊥AE 平面PBC .又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=. （步骤12）第19题图2（Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D . 设平面AEC 的法向量1111(,,)x y z =n ，则110,0AC AE ==n n .又)26,0,26(),0,3,6(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x （步骤13） DEC 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z，则(=n .设平面的法向量2222(,,)x y z =n ，则220,0DC DE ==n n .又)26,3,26(),0,0,6(-==，故222200x x z =⎧-= 所以2222,0y z x ==. 可取12=y，则2(0,1=n .故121212cos ,||||==n n n n n n （步骤14） 所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （步骤15） 20. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率e =（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OGH △的面积．第20题图【测量目标】双曲线的标准方程；双曲线的简单几何性质.【考查方式】设出标准方程，根据已知条件求出未知参数；根据直线方程联立求出面积.【难易程度】较难【试题解析】（I ）设C 的标准方程是)0,0(12222>>=-b a by a x ，(步骤1) 则由题意.25,5===a c e c 因此,1,222=-==a c b a C 的标准方程为.1422=-y x （步骤2） C 的渐近线方程为,21x y ±=即02=-y x 和02=+y x .（步骤3） （II ）解法一：由题意点),(E E y x E 在直线111:44l x x y y +=和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y （步骤4）设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组44,20E E x x y y x y +=⎧⎨-=⎩及44,20,E E x x y y x y +=⎧⎨+=⎩解得4,22,2G E E G E E x x y y x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩42.22H E E H E E x x y y x y ⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ （步骤5）解得22,22G H E E E Ey y x y x y ==-+-设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44E E x x y y +=中，令0y =得4Q E x x =（易知0E x ≠）.注意到2244E E x y -= 得：1411222OGH G H E E E E ES OQ y y x x y x y =-=++- △ =222424EE E Ex x x y =- .解法二：设),(E E y x E ，由方程组得⎩⎨⎧=+=+,44,442211yy x x y y x x （步骤6） 解得,,)(4122121122112y x y x x x y y x y x y y x E E --=--=（步骤7）因21x x ≠，则直线MN 的斜率21214EEy y x k x x y -==--.故直线MN 的方程为11()4EEx y y x x y -=--，注意到1144x x y y +=，因此直线MN 的方程为44E E x x y y +=.下同解法一. （步骤8）21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分．)在数列{}n a 中，11a =，1*1(21),()n n n a ca c n n ++=++∈N 其中实数0c ≠．(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若对一切*k ∈N 有221k k a a ->，求c 的取值范围．【测量目标】数学归纳法.【考查方式】根据归纳法求出通项公式；分类讨论求出c 的取值范围．【难易程度】较难【试题解析】(Ⅰ)解法一：由11a =，22222133(21)a ca c c c c c =+=+=-+ . 3322323258(31)a ca c c c c c =+=+=-+ ,44324343715(41)a ca c c c c c =+=+=-+ ,猜测21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N .下面用数学归纳法证明.当1n =时，等式成立；假设当n k =时，即21(1)k k k a k c c -=-+， （步骤1）则当1n k =+时，12111(21)(1)(21)k k k k k k a ca c k c k c c c k +-++⎡⎤=++=-+++⎣⎦21(2)k k k k c c +=++21(1)1k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦. 综上，21(1)n n n a n c c -=-+对任何*n ∈N 都成立. （步骤2） 解法二：由原式得11(21)n n n n a a n c c++=++. （步骤3） 令n n n a b c =，则11b c =，1(21)n n b b n +=++，因此对n 2…有 112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…1(21)(23)3n n c =-+-+++…=211n c-+， 因此21(1)n n n a n c c -=-+，2n ….又当1n =时上式成立，所以21*(1),n n n a n c c n -=-+∈N . （步骤4）(Ⅱ)解法一：由221k k a a ->，得222122122(2)1(21)1k k k k k c c k c c ---⎡⎤⎡⎤-+>--+⎣⎦⎣⎦， 因022>-k c ，所以01)144()14(222>-----c k k c k . （步骤5）解此不等式得：对一切k *∈N ，有k c c >或k c c '<，其中 )14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，k c '=. （步骤6）易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ， 因此由k c c >对一切k *∈N 成立得1c …. （步骤7）又0k c '=<，易知k c '单调递增，故1k c c ''…对一切k *∈N 成立，因此由k c c '<对一切k *∈N 成立得116c c +'<=-从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . （步骤8）解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对k *∈N 恒成立.（步骤9）记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求. （ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴 )1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数. 所以要使0)(>k f 对k *∈N 恒成立，只需0)1(>f 即可.（步骤10）由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c . 结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c .综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ （步骤11）。
最新重庆高考数学(理)试题及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）在等比数列}{n a 中，200720108a a =，则公比q 的值为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,满足2||,1||,0===⋅，则=-|2|（ ） A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x x （ ）A 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为（ ）A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象（ ）A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y的部分图象如题（6）图所示，则（ ） A 、6,1πϕω== B 、6,1πϕω-==C 、6,2πϕω==D 、6,2πϕω-==（7）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是（ ）A 、3B 、4C 、29 D 、211 （8）直线233+=x y 与圆心为D 的圆))2,0[(,sin 31,cos 33πθθθ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ）A 、π67B 、π45 C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m _________.（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________.（14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3=，则弦AB 的中点到准线的距离为________.（15）已知函数)(x f 满足：),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f __________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.）设函数R x xx x f ∈++=,2cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a的值.（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离；（Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --的平面角的余弦值.（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 的交点E 在双曲线C 的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 在数列}{n a 中，))(12(,1111*++∈++==N n n c ca a a n n n ，其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题答案一．选择题：每小题5分，满分 50分. （1）A （2）B （3）C（4）C（5）D（6）D （7）B（8）C（9）C（10）D二．填空题：每小题5分，满分25分. （11）i 2-（12）3-（13）53（14）38 （15）21 三．解答题：满分75分.（16）（本题13分）解：（Ⅰ）1cos 32sinsin 32cos cos )(++-=x x x x f ππ1cos sin 23cos 21++--=x x x 1sin 23cos 21+-=x x 1)65sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[.（Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)65sin(=+πB ，又因π<<B 0，故6π=B .解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.解法二：由正弦定理C cB b sin sin =，得3,23sin π==C C 或32π. 当3π=C 时，2π=A ，从而222=+=c b a ；当32π=C 时，6π=A ，又6π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.（17）（本题13分）解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623=-=-=-=C C A P A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662=========C P C P C P ξξξ，1511)4(,1522)3(2626======C P C P ξξ.从而知ξ有分布列所以， 31541535215130=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （18）（本题13分）解：（Ⅰ）11)(111)()1()(22/++++=+++--+=x a x a x a x x a x x f .当1=a 时，47101)20(12)0(2/=++++=f ，而21)0(-=f ，因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(47)21(-=--x y 即0247=--y x .（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/++=++++=a a a x f ，即02111=++a ，解得3-=a .此时)1ln(31)(++--=x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/+---=++--=x x x x x x x f ，由0)(/=x f 得7,121==x x .当 11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<<x 且3≠x 时，0)(/<x f .由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-（19）（本题12分） 解法一：（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面 故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC因⊥PA 底面ABCD ，故，由AB PA =知PAB ∆形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD与平面PBC 的距离.（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角. 由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .在CBE Rt ∆中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE ∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且2233sin=⋅=πCD DF . 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥，又CE FG ⊥，知AE FG 21//，从而23=FG ，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在ADC Rt ∆中，23212122=+==CD AD AC DG . 所以362cos 222=⋅⋅-+=FG DF DG FG DF DFG .解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB 角坐标系xyz A -.设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B ，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此)6,0,6(),0,,0(),26,0,26(-===a 则0,0=⋅=⋅PC AE BC AE ，所以⊥AE 平面PBC. 又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面 PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为3||=AE . （Ⅱ）因为3||=，则)0,3,6(),0,3,0(C D .设平面AEC 的法向量),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅n n .又)26,0,26(),0,3,6(==，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z x y x 所以1111,2x z x y -=-=. 可取21-=z ，则)2,2,2(-=n . 设平面DEC 的法向量),,(2222z y x n =，则0,022=⋅=⋅n n . 又)26,3,26(),0,0,6(-==DE DC ，故所以2222,0y z x ==. 可取12=y ，则)2,1,0(2=n .故36||||,cos 212121=⋅>=<n n n n .所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36.（20）（本题12分） 解：（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(122y x ，则由题意25,5==a c e ，因此1,222=-==a c b a ，C 的标准方程为1422=-y x .C 的渐近线方程为x y 21±=，即02=-y x 和02=+y x .（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=-=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E 解得E E H E E G y x y y x y 22,22--=+=.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x . 注意到4422=-E E y x ，得2|4|||2||4|2121|||4||||2122=-⋅=-++⋅=-⋅⋅=∆E E E E E E E E E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S . 解法二：设),(E E y x E ，由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得122121122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x EE --=--=， 因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=.故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-， 注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E .下同解法一.（21）（本题12分）（Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=⋅+==2222121)12(33,1， 23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=⋅+=，34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=⋅+=， 猜测*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.下用数学归纳法证明.当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k k k c c k a ，则当1+=k n 时，)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k k k k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(，综上， 12)1(-+-=n n n c c n a 对任何*∈N n 都成立.解法二：由原式得)12(11++=++n c a c a n n n n . 令nn n c a b =，则)12(,111++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有 112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- c n n 13)32()12(+++-+-= cn 112+-=，因此12)1(-+-=n n n c c n a ，2≥n .又当1=n 时上式成立.因此*-∈+-=N n c c n a n n n ,)1(12.（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k cc k ， 因022>-k c，所以01)144()14(222>-----c k k c k .解此不等式得：对一切*∈N k ，有k c c >或/k c c <，其中)14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，)14(2)14(4)144()144(22222/--+-----=k k k k k k c k .易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ，因此由k c c >对一切*∈N k 成立得1≥c .又0)14(4)144()144(22222/<-+--+---=k k k k k c k ，易知/k c 单调递增，故/1/c c k ≥对一切*∈N k 成立，因此由/k c c <对一切*∈N k 成立得6131/1+-=<c c .__________________________________________________收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . 解法二：由122->k k a a ，得 221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c ，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求.（ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f不符合题意，此时无解. （ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴 )1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数. 所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c . 结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c . 综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .高考试题来源：/zyk/gkst/。
2010年重庆市高考数学试卷(理科)及答案
2010年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．82．（5分）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．83．（5分）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．85．（5分）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称6．（5分）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣7．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．8．（5分）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．9．（5分）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种10．（5分）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知复数z=1+i，则=．12．（5分）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=．13．（5分）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．14．（5分）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．15．（5分）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．17．（13分）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．18．（13分）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．21．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c ≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．2010年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2010•重庆）在等比数列{a n}中，a2010=8a2007，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8【分析】利用等比数列的通项公式，分别表示出a2010和a2007，两式相除即可求得q3，进而求得q．【解答】解：∴q=2故选A2．（5分）（2010•重庆）已知向量，满足•=0，||=1，||=2，则|2﹣|=（）A．0 B．C．4 D．8【分析】利用题中条件，把所求|2|平方再开方即可【解答】解：∵=0，||=1，||=2，∴|2|====2故选B．3．（5分）（2010•重庆）=（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【分析】先进行通分，然后消除零因子，可以把简化为，由此可得答案．【解答】解：===﹣，故选B．4．（5分）（2010•重庆）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【分析】先根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y 过点B时，z最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，设z=2x+y，∵直线z=2x+y过可行域内B（3，0）的时候z最大，最大值为6，故选C．5．（5分）（2010•重庆）函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．6．（5分）（2010•重庆）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ= D．ω=2，φ=﹣【分析】通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．【解答】解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．7．（5分）（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3 B．4 C．D．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．8．（5分）（2010•重庆）直线y=与圆心为D的圆（θ∈[0，2π））交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为（）A．B．C．D．【分析】根据题目条件画出圆的图象与直线的图象，再利用圆的性质建立两个倾斜角的等量关系，化简整理即可求出．【解答】解：数形结合，∠1=α﹣30°，∠2=30°+π﹣β，由圆的性质可知∠1=∠2，∴α﹣30°=30°+π﹣β，故α+β=，故选C．9．（5分）（2010•重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（）A．504种B．960种C．1008种D．1108种【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．【解答】解：分两类：第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2×种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2×A22A41A44=384种方法第二类：甲乙相邻排中间，若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4×种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，因此共有（4A22A44+4A22A31A31A33）=624种方法，故共有1008种不同的排法故选C．10．（5分）（2010•重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【分析】先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程可得，设空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）根据它到两条异面直线的距离相等，求得z的表达式，把z=0和z=a代入即可求得x和y的关系，根据其方程判断轨迹．【解答】解：先做出两条异面直线的公垂线，以其中一条直线为x轴，公垂线与x轴交点为原点，公垂线所在直线为z轴，过x且垂直于公垂线的平面为xoy平面，建立空间直角坐标系，则两条异面直线的方程就分别是y=0，z=0 和x=0，z=a（a是两异面直线公垂线长度，是个常数）空间内任意点设它的坐标是（x，y，z）那么由已知，它到两条异面直线的距离相等，即=两边平方，化简可得z=（y2﹣x2+a2）过一条直线且平行于另一条直线的平面是z=0和z=a分别代入所得式子z=0时代入可以得到y2﹣x2=﹣a2，图形是个双曲线z=a时代入可以得到y2﹣x2=a2，图形也是个双曲线故选D二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2010•重庆）已知复数z=1+i，则=﹣2i．【分析】把复数z=1+I代入要求的式子，应用复数相除的法则化简得到结果．【解答】解：=，故答案为﹣2i．12．（5分）（2010•重庆）设U={0，1，2，3}，A={x∈U|x2+mx=0}，若∁U A={1，2}，则实数m=﹣3．【分析】由题意分析，得到A={0，3}，后由根与系数直接间的关系求出m的值【解答】解；∵U={0，1，2，3}、∁U A={1，2}，∴A={0，3}，∴0、3是方程x2+mx=0的两个根，∴0+3=﹣m，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．13．（5分）（2010•重庆）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为．【分析】在两次罚球中至多命中一次的对立事件是两次都命中，设出命中的概率P，由对立事件的概率公式列出方程，求出命中一次的概率．【解答】解：设罚球的命中的概率为P，由两次罚球中至多命中一次的概率为，得∴，故答案为：．14．（5分）（2010•重庆）已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为．【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知AA1=3m，BB1=m∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，直线AB方程为与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0所以AB中点到准线距离为故答案为15．（5分）（2010•重庆）已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（2010）=．【分析】由于题目问的是f（2010），项数较大，故马上判断函数势必是周期函数，所以集中精力找周期即可；周期的寻找方法可以是不完全归纳推理出，也可以是演绎推理得出．【解答】解：取x=1，y=0得法一：根据已知知取x=1，y=1得f（2）=﹣取x=2，y=1得f（3）=﹣取x=2，y=2得f（4）=﹣取x=3，y=2得f（5）=取x=3，y=3得f（6）=猜想得周期为6法二：取x=1，y=0得取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n﹣1），同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）联立得f（n+2）=﹣f（n﹣1）所以f（n）=﹣f（n+3）=f（n+6）所以函数是周期函数，周期T=6，故f（2010）=f（0）=故答案为：．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2cos2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．【分析】（I）将f（x）=cos（x+π）+2化简，变形后可以用三角函数的有界性求值域．（II）由f（B）=1 求出∠B，利用余弦定理建立关于a的方程求出a．【解答】解：（I）f（x）=cos（x+π）+2=cosxcosπ﹣sinxsinπ+cosx+1=﹣cosx﹣sinx+cosx+1=cosx﹣sinx+1=sin（x+）+1因此函数f（x）的值域为[0，2]（II）由f（B）=1 得sin（B+）+1=1，即sin（B+）=0，即B+=0或π，B=或﹣又B是三角形的内角，所以B=由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB即1=a2+3﹣3a，整理a2﹣3a+2=0解得a=1或a=2答：（I）函数f（x）的值域为[0，2]（II）a=1或a=217．（13分）（2010•重庆）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．【分析】（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，满足条件的事件是甲和乙的演出序号都是偶数，根据等可能事件的概率公式得到结果．（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，甲和乙两个单位的演出序号不相邻，的对立事件是甲和乙两个单位的演出序号相邻，根据对立事件的概率公式得到结果．【解答】解：（1）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设A表示甲和乙的演出序号都是偶数，共有A32=6种结果，∴所求的概率P（A）==（2）考虑甲和乙两个单位的排列，甲、乙两个单位可能排列在6个位置中的任两个，有A62=30种等可能的结果，设B表示甲和乙两个单位的演出序号不相邻，则表示甲和乙两个单位的演出序号相邻，共有5A22=10种结果∴P（B）=1﹣P（）=1﹣=．18．（13分）（2010•重庆）已知函数，其中实数a≠1．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在x=1处取得极值，试讨论f（x）的单调性．【分析】首先求出函数的导数及在点f（0）处的值，然后求出在该点的切线方程，第二问根据函数的导数与极值的关系求出a的值，然后根据函数的导数与单调性的关系讨论函数的单调性．【解答】解：（1）=，当a=2时，f′（0）=，而f（0）=﹣，所以曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣（﹣）=（x﹣0），即7x﹣4y ﹣2=0．（2）因为a≠1，由（1）可知=；又因为f（x）在x=1处取得极值，所以，解得a=﹣3；此时，定义域（﹣1，3）∪（3，+∞）；=，由f′（x）=0得x1=1，x2=7，当﹣1＜x＜1或x＞7时f′（x）＞0；当1＜x＜7且x≠3时f′（x）＜0；由上讨论可知f（x）在（﹣1，1]，[7，+∞）时是增函数，在[1，3），（3，7]上是减函数．19．（12分）（2010•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点．（1）求直线AD与平面PBC的距离；（2）若AD=，求二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值．【分析】（1）先根据AD∥BC，推断出AD∥平面PBC，进而可知直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，根据PA⊥底面ABCD，判断出PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，进而可知AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，进而可推断出AE 之长即为直线AD与平面PBC的距离．Rt△PAB中，根据PA和AB求得AE．（2）过点D作DF⊥CE，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而求得DE在Rt△CBE中，利用勾股定理求得CE，进而可知CE=CD推断出△CDE为等边三角形，求得DF，因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG平行且等于AE的一半，从而求得FG，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，求得DG，最后利用余弦定理求得答案．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，从而AD∥平面PBC，故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，知△PAB为等腰直角三角形，又点E是棱PB的中点，故AE⊥PB，又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB 的底面ABCD内的射影，由三垂线定理得BC⊥PB，从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，从而AE⊥平面PBC，故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离，在Rt△PAB中，PA=AB=，所以AE=PB==（2）过点D作DF⊥CE于F，过点F做FG⊥CE，交AC于G，则∠DFG为所求的二面角的平面角．由（1）知BC⊥平面PAB，又AD∥BC，得AD⊥平面PAB，故AD⊥AE，从而DE==在Rt△CBE中，CE==，由CD=，所以△CDE为等边三角形，故F为CE的中点，且DF=CD•sin=因为AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知FG∥AE．且FG=AE，从而FG=，且G点为AC的中点，连接DG，则在Rt△ADC中，DG==，所以cos∠DFG==20．（12分）（2010•重庆）已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率．（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点M（x1，y1）的直线l1：x1x+4y1y=4与过点N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直线l2：x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．【分析】（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），由题意知a=2，b=1，由此可求出C的标准方程和渐近线方程．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，则，设MN与x轴的交战为Q，则，由此可求△OGH的面积．【解答】解：（1）设C的标准方程为（a＞0，b＞0），则由题意知，，∴a=2，b=1，∴C的标准方程为．∴C的渐近线方程为，即x﹣2y=0和x+2y=0．（2）由题意知，点E（x E，y E）在直线l1：x1x+4y1y=4和l2：x2x+4y2y=4上，因此有x E x+4y E y=4上，因此直线MN的方程为x E x+4y E y=4．设G，H分别是直线MN与渐近线x﹣2y=0及x+2y=0的交点，由方程组及，解得，设MN与x轴的交点为Q，则在直线x E x+4y E y=4k，令y=0得，∵x E2﹣4y E2=4，∴==．21．（12分）（2010•重庆）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=ca n+c n+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞a zk﹣1，求c的取值范围．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的a n代入a2k＞a zk﹣1，整理得（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0，分别表示c k和又c k'，根据c k＜＜1求得c≥1，再根据c k'＜0，判断出单调递增知c k'≥c1'求得＜﹣，最后综合答案可得．【解答】解：（1）由a1=1，a2=ca1+c23=（22﹣1）c2+ca3=ca2+c3•5=（32﹣1）c3+c2，猜测a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，下面用数学归纳法证明，当n=1是，等式成立假设当n=k，等式成立即a k=（k2﹣1）c k+c k﹣1，则当n=k+1时a k=ca k+c k+1（2k+1）=（k2+2k）c k+1+c k=[（k+1）2﹣1]c k+1+c k，+1综上a n=（n2﹣1）c n+c n﹣1，对任意n∈N都成立．（2）由a2k＞a zk﹣1得[（2k）2﹣1]c2k+c2k﹣1＞[（2k﹣1）2﹣1]c2k﹣1+c2k﹣2，因c2k﹣2＞0，所以（4k2﹣1）c2﹣（4k2﹣4k﹣1）c﹣1＞0解此不等式得c＞c k，或c＜c k'，其中c k=c k'=易知c k=1又由＜=4k2+1，知c k＜＜1因此由c＞c k对一切k∈N成立得c≥1又c k'=＜0，可知单调递增，故c k'≥c1'对一切k∈N*成立，因此由c＜c k'对一切k∈N*成立得c＜﹣从而c的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞]。
2005-2010年高考理科数学重庆卷试题参考答案
原点（0，0）对称的圆的方程为（）A．(x?2)2?y2?5 B．x2?(y?2)2?5 C．(x?2)?(y?2)?520052222D．x?(y?2)?5221?i?2．????1?i??（） A．iB．－iC．22005 D．－220053．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取值范围是（）A．(??,2)B．(2,??)C．(??,?2)?(2,??)D．（－2，2）4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与DA的夹角为（）A．?44?arccos B．arccos 255C．arccos(?)45D．－arccos(?)455．若x，y是正数，则(x?121)?(y?)2的最小值是（） 2y2x7 2C．4D．A．3 B．9 2（）D．既不充分也不必要条件6．已知?、?均为锐角，若p:sin??sin(???),:????A．充分而不必要条件?2,则p是的B．必要而不充分条件 C．充要条件7．对于不重合的两个平面?与?，给定下列条件：①存在平面?，使得?、?都垂直于?；②存在平面?，使得?、?都平行于?；③?内有不共线的三点到?的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//?，l//?，m//?，m//?，其中，可以判定?与?平行的条件有（） A．1个B．2个C．3个D．4个8．若(2x?A．41n11)展开式中含2项的系数与含4项的系数之比为－5，则n等于（） xxxB．6C．8D．10（）x2y2?2?1(b?0)上变化，则x2?2y的最大值为 9．若动点（x,y）在曲线4。
重庆市2010年高考仿真试卷三数学理(附答案) (1)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学(理工类)模拟试卷（三）数学试题(理工类)共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1． 设条件p ：||x x =；条件q ：20x x +≥，那么p 是q 的什么条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分非必要条件 2． 已知2120012224(1),(1)()n n nn n n a a a a x b b x b x b x n N x x x x+-=+++++=++++∈ ， 记0120122,n n M a a a a N b b b b =++++=++++ ，则→∞n lim 23lim n M N M N →∞-+的值是 A ．2 B ．13- C ．0 D ．233． 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，2007200512008,220072005S Sa =--=，则2008S 的值为A ．-2007B ．-2008C ．2007D ．20084． 已知23tan sin =αα，则αα44cos sin -的值是A ．-7B ．21-C ．43D ．21 5． 已知函数32()32,(0,2)f x x x x =-+∈的反函数为1()f x -，则A ．1113()()22ff --< B ．1113()()22ff --->- C ．1113()()22f f -->D ．1135()()22f f --< 6． 已知(),()f xg x 都是定义在R 上的函数, g (x )≠0,''()()()()f x g x f x g x <，()()x f x a g x =，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-，在有穷数列(){}()f ng n ( n =1,2,…,10）中，任意取前k 项相加，则前k 项和大于1516的概率是A ．15B ．25C ．45D ．357． 从M 点出发三条射线MA ，MB ，MC 两两成60°，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为323π，则OM 的距离为 A．B．C ．3D ．48． 点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为 A ．3B ．21+C ．13+D ．29． 如图所示，已知D 是面积为1的ABC ∆的边AB 上任一点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，F 是线段DE 上一点，连结BF ，设123,,AD AB AE AC DF DE λλλ===，且23112λλλ+-=，记BDF ∆的面积为123(,,)s f λλλ=，则S 的最大值是【注：必要时，可利用定理：若,,,+∈R c b a 则3)3(c b a abc ++≤， （当且仅当c b a ==时，取“=”）】A ．12B ．13 C ．14D ．18 10．已知实数,x y 满足20200x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，每一对整数(,)x y 对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆A ．70B ．61C ．52D ．43二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，向量),sin ,2(cos ),sin ,2(sinB Cb A B A =+= 12a b ⋅= ，则tan tan A B ⋅= ．12．设20)()(0)x f x a x x <=⎨⎪+≥⎩，要使函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则a 的值为 ． 13．如果O 是线段AB 上一点，则||||0OB OA OA OB +=，类比到平面的情形；若O 是ABC ∆内一点，有O OB S OA S OC S OCA OBC OAB =⋅+⋅+⋅∆∆∆，类比到空间的情形：若O是四面体ABCD 内一点，则有 ． 14．若,x y 满足条件||||1(0)ax y a +≤>，则（a ）(,)P x y 的轨迹形成的图形的面积为1，则a = ． （b ）2222xx y y a+++的最大值为 ． 15．第29届奥林匹克运动会于2008年在北京举行．29和2008是两个喜庆的数字，若使200829n n ++与200829之间所有正整数的和不小于2008，则n 的最小值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)在ABC ∆中，设BC CA CA AB ⋅=⋅ ．（Ⅰ）求证：ABC ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若||2BA BC += 且2[,]33B ππ∈，求BA BC ⋅ 的取值范围．17．（本小题满分13分）甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位参赛者都从备选项中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．18．（本小题满分13分）如图，直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，C 1C =CB =CA =2，AC ⊥CB ．D 、E 分别为棱C 1C 、B 1C 1的中点． （Ⅰ）求A 1B 与平面A 1C 1CA 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角B -A 1D -A 的大小；（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ．如图，已知椭圆22143x y +=的右焦点为F ，过F 的直线（非x 轴）交椭圆于M 、N 两点，右准线l 交x 轴于点K ，左顶点为A ．（Ⅰ）求证：KF 平分∠MKN ；（Ⅱ）直线AM 、AN 分别交准线l 于点P 、Q ，设直线MN 的倾斜角为θ，试用θ表示 线段PQ 的长度|PQ |，并求|PQ |的最小值．20．（本小题满分12分）函数ln y x =关于直线1x =对称的函数为()f x ，又函数211(0)2y ax a =+>的导函数为()g x ，记()()()h x f x g x =+．（Ⅰ）设曲线()y h x =在点(1,(1))h 处的切线为l ， l 与圆22(1)1x y ++=相切，求a 的值；（Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；（Ⅲ）求函数()h x 在[0，1]上的最大值．已知函数+∈=N x x f y ),(，满足：①对任意,a b N +∈，都有)()()(b af b bf a af >+)(a bf +；②对任意n ∈N *都有[()]3f f n n =．（Ⅰ）试证明：()f x 为N +上的单调增函数； （Ⅱ）求(1)(6)(28)f f f ++； （Ⅲ）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+2010级高三数学（理）模拟试题（三）参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学试题卷（理工农医类）本试卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）在等比数列}{n a 中，2007201010a a =，则公比q 的值为A 、2B 、3C 、4D 、8（2）已知向量,a b 满足0,||1,||2a b a b ⋅=== ，则|2|a b -=A 、0B 、22C 、4D 、8（3）=⎪⎭⎫⎝⎛---→2144lim 22x x xA 、1-B 、41-C 、41 D 、1（4）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥,03,01,0y x y x y 则y x z +=2的最大值为A 、2-B 、4C 、6D 、8（5）函数xx x f 214)(+=的图象A 、关于原点对称B 、关于直线x y =对称C 、关于x 轴对称D 、关于y 轴对称（6）已知函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的部分图象如题（6）图所示，则A 、6,1πϕω==B 、6,1πϕω-== C 、6,2πϕω== D 、6,2πϕω-==（7）已知822,0,0=++>>xy y x y x ，则y x 2+的最小值是 A 、3B 、4C 、29D 、211（8）直线233+=x y 与圆心为D 的圆))2,0[(,sin 31,cos 33πθθθ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为A 、π67B 、π45C 、π34D 、π35（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天. 若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有A 、504种B 、960种C 、1008种D 、1108种（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A 、直线B 、椭圆C 、抛物线D 、双曲线二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填写在答题卡相应位置上. （11）已知复数,1i z +=则=-z z2____________. （12）设}0|{},3,2,1,0{2=+∈==mx x U x A U ，若}2,1{=A C U ，则实数=m ___. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2516，则该队员每次罚球的命中率为_____________. （14）已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点B A 、满足3AF FB =，则弦AB 的中点到准线的距离为___________. （15）已知函数)(x f 满足：),)(()()()(4,41)(R y x y x f y x f y f x f x f ∈-++==，则=)2010(f __________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分.） 设函数R x xx x f ∈++=,2cos 2)32cos()(2π. （Ⅰ）求)(x f 的值域；（Ⅱ）记ABC ∆的内角C B 、、A 的对边长分别为c b a 、、，若3,1,1)(===c b B f ，求a 的值.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求： （Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （Ⅱ）甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望.（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.） 已知函数)1ln(1)(+++-=x ax x x f ，其中实数1-≠a . （Ⅰ）若2=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处取得极值，试讨论)(x f 的单调性.（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）如题（19）图，四棱锥ABCD P -为矩形，⊥PA 底面ABCD ，6==AB PA ，点E 是棱PB 的中点.（Ⅰ）求直线AD 与平面PBC 的距离； （Ⅱ）若3=AD ，求二面角D EC A --已知以原点O 为中心，)0,5(F 为右焦点的双曲线C 的离心率25=e . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题（20）图，已知过点),(11y x M 的直线44:111=+y y x x l 与过点),(22y x N （其中12x x ≠）的直线44:222=+y y x x l 线分别交于H G 、两点，求OGH ∆的面积.（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分， 在数列}{n a 中，))(12(,1111*++∈++==N n n c ca a a n n n ，其中实数0≠c .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若对一切*∈N k 有122->k k a a ，求c 的取值范围.参考答案及解析一．选择题：每小题5分，满分 50分.1.Ａ解析：本题考查了等比数列的通项公式与性质，基础题. ∵20072007320108a a q a == ，∴2,83==q q 即.故选Ａ. 2. Ｂ解析：本题考查了平面向量数量积的运算，基础题.∵a ·b =0，|a |=1,|b |=2,∴|2a -b |2=4a 2+b 2-4a ·b=4+4=8, ∴|2a -b |=22.故选Ｂ. 3.Ｂ 解析：本题考查了函数极限，基础题. ∵ ()()()()4121lim 2224lim 2144lim 2222-=+-=-++-=⎪⎭⎫⎝⎛---→→→x x x x x x x x x ，∴选Ｂ. 4.Ｃ 解析：本题考查了目标函数的最值，基础题. 作出如图可行域， 目标函数线02=+y x 平移至过可行域内Ａ（３,０）时，61032m ax =⨯+⨯=z ,∴选Ｃ.5. Ｄ解析：本题考查了函数的奇偶性与图象的关系，属基础题.∵x x xx x f -+=+=22214)( ，∴)(x f 为偶函数，其图象关于y 对称.故选Ｄ. 6. Ｄ解析：本题考查了三角函数图象与解析式的关系. ∵431274πππ=-=T ，∴2,==ωπT .又∵223πϕπ=+⨯，∴6πϕ-=.故选Ｄ. 7. Ｂ解析：本题考查了均值不等式的应用. ∵,822,0,0=++>>xy y x y x ，∴()842)2(2≥+++y x y x ，解之得()舍或8242-≤+≥+y x y x .故选Ｂ.8. Ｃ解析：本题考查了直线的倾斜角与圆的相关性质，属中档题. 由题意作图 圆的方程可化为()()31322=-+-y x ，∴圆心到直线的距离为26331|12333|2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⨯，∴22326sin ==∠DBA ，2,4ππ=∠=∠ADB DBA , 344226222ππππβα=⨯++⨯=∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=+ABD ADB BCO ABD BCO ABD ADB BCO ABDBCO CAD BCO .∴选Ｃ.9. Ｃ解析：本题考查了排列组合的应用，属中档题.丁排在１０月１日的排法有2255A A ＝240种；丁不排在首位的排法有76822441414=A A A A 种,∴满足条件的排法共有240+768＝1008种 .故选Ｃ. 10. 解析：本题考查了。
∵ ，∴ .11. i 2-解析：本题考查了复数的四则运算. ∵i z +=1，∴()()()()()()()i i i i i i i i iz z 211111121122-=+--=+--+-=+-+=-.12. -3解析：本题考查了集合间的关系及运算.∵ {}{}{}2,1,,0,3,2,1,0=-==A C m A U U ，∴3=-m 即3-=m . 13.53解析：本题考查了独立事件的概率. 设每次罚球的命中率为p ，“两次全罚中”是“至少一次罚中”的对立事件，∴至少一次罚中的概率为１25162=-p ，解之得53=p .14. 38解析：本题考查了抛物线焦点弦的相关性质与平面向量的运算.设()()2211,,,y x B y x A ，∵ 3=， ∴()()⎩⎨⎧+=+-=-,131,1312121x x x x 解之得31,321==x x .∴线段ＡＢ的中点到准线的距离为381231322221=++=++x x . 15.21解析：本题考查了抽象函数，归纳推理以及函数的周期性.令0,1==y x ，)1(2)01()01()0()1(4f f f f f =-++=，∴21)0(=f . 令1,1=+=y x x ，则)()2()11()2()1()1(4x f x f x f x f f x f ++=-+++=+， 整理得)()2()1(x f x f x f ++=+， ① 同理可得)1()3()2(+++=+x f x f x f ， ② ①+②得)()3(x f x f -=+，∴)()3()3)3(()6(x f x f x f x f =+-=++=+，∴)(x f 是以６为周期的函数，21)0()3356()2010(==⨯=f f f . 三．解答题：满分75分. （16）（本题13分）解：（Ⅰ）1cos 32sin sin 32cos cos )(++-=x x x x f ππ1cos sin 23cos 21++--=x x x1sin 23cos 21+-=x x1)65sin(++=πx ，因此)(x f 的值域为]2,0[.（Ⅱ）由1)(=B f 得11)65sin(=++πB ，即0)65sin(=+πB ，又因π<<B 0，故6π=B .解法一：由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得0232=+-a a ，解得1=a 或2.解法二：由正弦定理C cB b sin sin =，得3,23sin π==C C 或32π. 当3π=C 时，2π=A ，从而222=+=c b a ；当32π=C 时，6π=A ，又6π=B ，从而1==b a .故a 的值为1或2.（17）（本题13分）解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数.（Ⅰ）设A 表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得545111)(1)(2623=-=-=-=C C A P A P .（Ⅱ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4，且513)2(,1544)1(,315)0(262662=========C P C P C P ξξξ，1511)4(,1522)3(2626======C P C P ξξ.从而知ξ有分布列所以，34151415235121541310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .（18）（本题13分）解：（Ⅰ）11)(111)()1()(22/++++=+++--+=x a x a x a x x a x x f .当1=a 时，47101)20(12)0(2/=++++=f ，而21)0(-=f ，因此曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为)0(47)21(-=--x y 即0247=--y x .（Ⅱ）1-≠a ，由（Ⅰ）知2111111)1(1)(2/++=++++=a a a x f ， 即02111=++a ，解得3-=a .此时)1ln(31)(++--=x x x x f ，其定义域为),3()3,1(+∞- ，且)1()3()7)(1(11)3(2)(22/+---=++--=x x x x x x x f ，由0)(/=x f 得7,121==x x .当11<<-x 或7>x 时，0)(/>x f ；当71<<x 且3≠x 时，0)(/<x f .由以上讨论知，)(x f 在区间),7[],1,1(+∞-上是增函数，在区间]7,3(),3,1[上是减函数.（19）（本题12分） 解法一：（Ⅰ）如答（19）图1 ，在矩形ABCD 中，//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离.因⊥PA 底面ABCD ，故，由AB PA =知PAB ∆为等腰三角形，又点E 是棱PB 中点，故PB AE ⊥.又在矩形ABCD 中，AB BC ⊥，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得PB BC ⊥，从而⊥BC 平面PAB ，故AE BC ⊥.从而⊥AE 平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离.（Ⅱ）过点D 作CE DF ⊥，交CE 于F ，过点F 作CE FG ⊥，交AC 于G ，则DFG ∠为所求的二面角的平面角.由（Ⅰ）知⊥BC 平面PAB ，又BC AD //，得⊥AD 平面PAB ，故AE AD ⊥，从而622=+=AD AE DE .在CBE Rt ∆中，622=+=BC BE CE .由6=CD ，所以CDE ∆为等边三角形，故F 为CE 的中点，且2233sin=⋅=πCD DF . 因为⊥AE 平面PBC ，故CE AE ⊥， 又CE FG ⊥，知AE FG 21//， 从而23=FG ，且G 点为AC 的中点.连接DG ，则在ADC Rt ∆中，23212122=+==CD AD AC DG .所以362cos 222=⋅⋅-+=FG DF DG FG DF DFG .解法二：（Ⅰ）如答（19）图2，以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴，建立空间直角坐标系xyz A -.设)0,,0(a D ，则)0,,6(),0,0,6(a C B，)26,0,26(),6,0,0(E P . 因此((0,,0),22AE BC a PC ===， 则0,0AEBC AE PC ⋅=⋅=，所以⊥AE 平面PBC.又由BC AD //知//AD 平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离，即为||AE =. （Ⅱ）因为||AD =)0,3,6(),0,3,0(C D .设平面AEC 的法向量1111(,,)nx y z =，则110,0n AC n AE ⋅=⋅= . 又AC AE == ， 故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+,02626,0361111z xy x 所以1111,2x z x y -=-=.可取21-=z ，则(n =. 设平面DEC 的法向量2222(,,)n x y z=， 则220,0n DC n DE ⋅=⋅=.又DC DE == ， 所以2222,0y z x ==. 可取21y =，则2n =.故121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅.所以二面角D EC A --的平面角的余弦值为36. （20）（本题12分）解：（Ⅰ）设C 的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则由题意25,5===a c e c ， 因此1,222=-==a c b a ，C 的标准方程为1422=-y x .C 的渐近线方程为x y 21±=，即02=-y x 和02=+y x .（Ⅱ）解法一：如答（20）图，由题意点),(E E y x E 在直线44:111=+y y x x l 和44:222=+y y x x l 上，因此有4411=+E E y y x x ，4422=+E E y y x x ，故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=-=+02,44y x y y x x E E 及⎩⎨⎧=+=+,02,44y x y y x x E E解得EE H E E G y x y y x y 22,22--=+=.设MN 与x 轴的交点为Q ，则在直线44=+y y x x E E 中，令0=y 得EQ x x 4=（易知)0≠E x . 注意到4422=-E E y x ，得2|4|||2||4|2121|||4||||2122=-⋅=-++⋅=-⋅⋅=∆E E E E E E E E E H G OGH y x x x y x y x x y y OQ S 解法二：设),(E E y x E ，由方程组⎩⎨⎧=+=+,44,442211y y x x y y x x 解得122121122112,)(4y x y x x x y y x y x y y x E E --=--=， 因12x x ≠，则直线MN 的斜率EE y xx x y y k 41212-=--=.故直线MN 的方程为)(411x x y x y y EE--=-， 注意到4411=+E E y y x x ，因此直线MN 的方程为44=+y y x x E E . 下同解法一. （21）（本题12分） （Ⅰ）解法一：由c c c c c ca a a +-=+=⋅+==2222121)12(33,1，23233323)13(85c c c c c ca a +-=+=⋅+=， 34234434)14(157c c c c c ca a +-=+=⋅+=，猜测*-∈+-=N n c c n a n nn ,)1(12.下用数学归纳法证明. 当1=n 时，等式成立；假设当k n =时，等式成立，即12)1(-+-=k kk cc k a ，则当1+=k n 时，)12(])1[()12(1121`1+++-=++=+-++k c c c k c k c ca a k k k k k kk k k k c c k c c k k +-+=++=++1212]1)1[()2(，综上， 12)1(-+-=n nn c c n a 对任何*∈N n 都成立.解法二：由原式得)12(11++=++n ca c a n nn n .令nn n c a b =，则)12(,111++==+n b b c b n n ，因此对2≥n 有 112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---cn n 13)32()12(+++-+-=cn 112+-=， 因此12)1(-+-=n nn c c n a ，2≥n .又当1=n 时上式成立. 因此*-∈+-=N n cc n a n nn ,)1(12.（Ⅱ）解法一：由122->k k a a ，得 221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c，所以01)144()14(222>-----c k k c k .解此不等式得：对一切*∈N k ，有k c c >或/k c c <，其中)14(2)14(4)144()144(22222--+--+--=k k k k k k c k ，)14(2)14(4)144()144(22222/--+-----=k k k k k k c k .易知1lim =∞→k k c ，又由144)14(4)14()14(4)144(2222222+=+-+-<-+--k k k k k k ，知12848)14(214)144(22222<--=-++--<k k k k k k k c k ，因此由k c c >对一切*∈N k 成立得1≥c . 又0)14(4)144()144(22222/<-+--+---=k k k k k c k ，易知/k c 单调递增，故/1/c c k ≥对一切*∈N k 成立，因此由/k c c <对一切*∈N k 成立得6131/1+-=<c c . 从而c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ . 解法二：由122->k k a a ，得221221222]1)12[(]1)2[(---+-->+-k k k k c c k c c k ，因022>-k c，所以014)(4222>-+-+-c c ck k c c 对*∈N k 恒成立.记14)(4)(222-+-+-=c c cx x c c x f ，下分三种情况讨论.（ⅰ）当02=-c c 即0=c 或1=c 时，代入验证可知只有1=c 满足要求. （ⅱ）当02<-c c 时，抛物线)(x f y =开口向下，因此当正整数k 充分大时，0)(<x f 不符合题意，此时无解.（ⅲ）当02>-c c 即0<c 或1>c 时，抛物线)(x f y =开口向上，其对称轴)1(21c x -=必在直线1=x 的左边. 因此，)(x f 在),1[+∞上是增函数.所以要使0)(>k f 对*∈N k 恒成立，只需0)1(>f 即可.由013)1(2>-+=c c f 解得6131--<c 或6131+->c .结合0<c 或1>c 得6131+-<c 或1>c .综合以上三种情况，c 的取值范围为),1[)6131,(+∞+--∞ .。