小学奥数 加乘法原理
(完整版)小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有n m1种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有m2 n m n种不同的方法．N=m1×m2×……×m n这就是乘法原理．例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？分析 在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法. ②要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法．例6.由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析 要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数，故个位上只有能取1、3、5中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有5种取法；百位上有4种取法；千位上有3种取法，故可由乘法原理解决．例7.右图中共有16个方格，要把A 、B 、C 、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析 由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A ，A 可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B ，由于A 已放定，那么放A 的那一行和一列中的其他方格内也不能放B ，故还剩下9个方格可以放B ，B 有9种放法；第三步放C ，再去掉B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C ，C 有4种放法；最后一步放D ，再去掉C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D ，D 有1种放法，本题要由乘法原理解决．例8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？分析 要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取2张一角的人民币和取1张贰角的人民币，得到的钱数是相同的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币4张和贰角的人民币2张统一起来考虑．即从中取出几张组成一种面值，看共可以组成多少种．分析知，共可以组成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8种情况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种情况；取4张壹角的人民币与取2张贰角的人民币是一种情况．）这样一来，可以把它们看成是8张壹角的人民币．整个问题就变成了从8张壹角的人民币和3张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从8张壹角的人民币中取；第二步，从3张壹元的人民币中取共4种取法，即0、1、2、3．但要注意，要求“至少取一张”.生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决． 例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法． 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数． 一般地，如果完成一件事有类方法，第一类方法中有种不同做法，第二类方法中有种 k m 1 m 2 不同做法，…，第类方法中有种不同的做法，则完成这件事共有种 k m k N =m 1+m 2+……+m k 不同的方法． 这就是加法原理．例1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？补充说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？分析 从甲地到丙地共有两大类不同的走法． 第一类，由甲地途经乙地到丙地． 第二类，由甲地直接到丙地．例4.如下页图，一只小甲虫要从A 点出发沿着线段爬到B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析 从A 点 到B 点有两类走法，一类是从A 点先经过C 点到B 点，一类是从A 点先经过D 点到B 点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A 到B 的全部走法时，只要用加法原理求和即可．例5.有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？分析 要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性相同，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，所以，要分两大类来考虑．例6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析 从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数． 一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9； 要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理． 要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个． 这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例7.如图，要从A 点沿线段走到B ，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析 观察下页左图，注意到，从A 到B 要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C 、D 、E 、F 四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A 到B 点的路线共分为四类，它们是分别经过C 、D 、E 、F 的路线．自我检测1.某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4.一个篮球队，五名队员A 、B 、C 、D 、E ，由于某种原因，C 不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2.书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？3.如下图中，沿线段从点A 走最短的路线到B ，各有多少种走法？4.在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？5.在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)
学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理：一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法？【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法？【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站（不包括北京、广州）,从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票？【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种？【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法？【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择？GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和．【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票？【试题来源】【题目】用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法？【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种．【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。
小学奥数基础教程(加法乘法原理)ppt课件
这也叫做加法原理
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例2:小红到学校有三条路，学校到小明家有四 条路，问小红想经过学校到小明家，有几条
路可以到达？
学校 小红家
小明家
小红家到学校有 3 条 学校到小明家有 4 条 小红家到小明家有（ ）条
3 ×4＝12（条）
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从刚才的例子可以看出： 做一件工作必须分两（或
借一本故事书，有几 种借法？
5 × 3＝15（种）
想：一共有多少种不 同的借法？
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运用1：四年1、2、3、4、5班排球队要进行比赛， 每个队都要和其他队比赛一场，一共有多少场比赛？
想：完成什么任务呢？
两个队进行一场比赛， 那1队和2队比赛完成 任务了吗？
完成了，1队和3队比 赛一场也完成了吗？
1队：1队－2队，1队－3队，1队－4 队，1队和5队 共4场
那2队有几场呢？注意不重复哦。
也完成了，那么，可 以分类完成，用什么 原理呢？
4+3+2+1＝10（场）
加法原理
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运用2：用0、2、3、6三个数字，可以组成几个不 同的三位数，其中最小的一个是几？
想：这道题是用分类还是分步骤？
第一步
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第一步
第三步
百位
十位
个位
小百 小十小个 位 位位 最 最最
2 03
3种2、 3种：余 3、6 下3个
2种：余下 2个
3 ×3 ×2＝18
注意：整数首位不 能为“0”哟
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练习2： 1、用0、7、3、6、4这几个数字可以组成几个不同 的在三位数？最大的是多少？ 2、平平到食堂吃饭，荤菜有4种，素菜有3种，汤有 2种。如果他只吃一种菜有几种吃法？如果他要吃一 菜一汤又有几种呢？ 3、用1角、2角和5角的人民币组成一元（张数无限 制），有多少种不同的组成方法？
乘法原理和加法原理(小学奥数5年级)
加法原理和乘法原理知识方法一、分类计数原理（加法原理）1、完成一件事情，有n类方法，在第1类方法中有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同的方法，……在第n类方法中有mn种不同的方法，则完成这件事有N=m1+m2+……+m n 种不同的方法2、分类计数原理的特点：针对的是“分类”问题，各类方法是相互独立的。
二、分步计数原理（乘法原理）1、完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事有N=m1×m2×……×m n 种不同的方法2、分不计数原理的特点：针对的是“分步”问题，各类方法是相互依存的。
例1：从资阳到成都可乘火车，也可乘汽车，一天中，火车有3列，汽车有12辆，一天中乘坐这些交通工具从资阳到成都有多少种不同的方法？例2：陈老师从资阳到美国，第1天，乘高铁到成都有3辆，次日，从成都乘飞机到美国有5班，陈老师从资阳到美国有多少种不同的乘车方法？变式：一个盒子里装有5个小球。
另一个盒子里装有9个小球。
所有这些小球的颜色各不相同。
（1）从两个盒子中任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个盒子中各取一个球，有多少种不同的取法？例3：4个数字3、5、6、8可以组成多少个没有重复数字的四位数？变式：有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数？（每个数字只能用1次）例4、用4种不同颜色给下面的图形涂色。
使相邻两个长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法？变式：在A 、B 、C 、D 四个长方形区域中涂上红黄蓝黑这4种不同颜色，使相邻两个长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法？例5、南京与上海的动车组特快列车，中途只停靠常州，无锡，苏州三个火车站。
共要准备多少种不同的车票？（考虑往返）变式：北京到广州的火车中间要停靠8个大站。
火车站要准备多少种不同的车票？有多少种不同的票价？（考虑往返）练习题1、小军小蓝和小红三个朋友排成一排照相，有多少种不同的排法？2、书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书，如果从中各取一本科技书，一本故事书和一本英语书，那么总共有多少种取法？3、有8、0、2、4、6五个数字，可以组成几个不同的五位数？4、五一前夕，学校举行亲子活动。
六年级奥数-22加法和乘法原理
加法和乘法原理1.了解加法原理和乘法原理的含义，理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.1.分类计数原理(加法原理)的准确理解与应用；2.分步计数原理(乘法原理)的准确理解应用；①加法原理：完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法，……第k 类方法中有k m 种不同的方法。
那么完成这件事共有1m ＋2m ＋…＋k m 种不同的方法；②乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有1m ×2m ×…×n m 中不同的方法。
在乘法原理中需要注意的是：（1）这件事要分几个独立步骤来完成；（2）每个步骤各有若干种不同的方法来完成。
解题方法①公式法：主要是直接运用加法原理公式与乘法原理公式进行解题，在运用公式的过程中需理解题意，不要把加法原理与乘法原理混淆。
②图示法：在一些过程较为复杂的加法乘法原理问题中，为了明确过程，可以采用画树状图进行解答。
××加法原理××例1.小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（）次，才能确保打开箱子．A．9B．8C．7D．6练习1.一次乒乓球比赛，共有512名乒乓球运动员参加比赛．比赛采用淘汰制赛法，两个人赛一场，失败者被淘汰，将不再参加比赛；获胜者进入下轮比赛，如此进行下去，直到决赛出第一名为止，这次乒乓球比赛一共要比赛（）场．A．1024B．511C．256D．174在典型例题1中，逐步分析所有可能的情况，再应用加法原理。
例2.某旅店招工考试，有一道题：“用20把不同钥匙开20个客房门，如果不知道哪把钥匙开哪一个门，最多要试开____次，才能把钥匙与门锁配对妥当．”练习1.艾迪、大宽、薇儿今天想要从北京去天津旅游，从北京到天津，可以乘火车，也可以坐大巴，如果乘火车，那么一天有23趟火车；如果坐大巴，一天有12辆大巴，那么宫宝今天去天津，不同的走法共有种．对于加法原理的应用要注意考虑所有的可能，做到不遗不漏不重。
奥数第四讲加法和乘法原理
奥数第四讲加法和乘法原理加法原理和乘法原理是数学中常用的计数原理。
它们适用于很多不同的问题，包括排列组合、事件的计数等等。
下面将详细介绍加法原理和乘法原理的定义和应用。
加法原理是指当两个事件A和B无重叠的时候，事件A或B发生的总数等于事件A发生的总数加上事件B发生的总数。
换句话说，如果A事件有m种可能的结果，B事件有n种可能的结果，并且A和B之间没有共同的结果，那么A或B事件的总数就是m+n。
例如，如果从1到6中选取一个数，结果可以是奇数或者大于4的数。
奇数的总数是3（1，3，5），大于4的数的总数是2（5，6）。
根据加法原理，奇数或者大于4的数的总数是3+2=5加法原理也可以扩展到多个事件之间。
如果有三个互不相交的事件A、B和C，它们发生的总数等于事件A发生的总数加上事件B发生的总数再加上事件C发生的总数。
同样的，对于更多的事件也可以类推。
乘法原理是指当两个事件A和B相互独立时，事件A和事件B同时发生的总数等于事件A发生的总数乘以事件B发生的总数。
换句话说，如果事件A有m种可能的结果，事件B有n种可能的结果，并且事件A和事件B之间没有任何依赖关系，那么事件A和事件B同时发生的总数就是m*n。
例如，如果从1到6中选取两个数，第一个数可以是奇数或者大于4的数，第二个数可以是正整数。
根据乘法原理，第一个数和第二个数同时满足条件的总数是3*6=18乘法原理也适用于更多的事件。
如果有三个独立的事件A、B和C，它们同时发生的总数等于事件A发生的总数乘以事件B发生的总数乘以事件C发生的总数，以此类推。
加法原理和乘法原理的应用非常广泛。
在排列组合中，加法原理可以用于计算所有情况的总数，而乘法原理则可以用于计算分成几个步骤的情况的总数。
例如，有两个装有红、白、蓝三种颜色球的箱子，一个球从两个箱子中挑选一个。
根据加法原理，总共有3+3=6种可能的结果。
而如果分成两个步骤，第一步从第一个箱子中挑选，有3种可能的结果，第二步从第二个箱子中挑选，同样有3种可能的结果。
用图片详细讲小学奥数题-加乘原理
加乘原理
加法原理：一般地，如果完成一件事有k类 方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类 方法中有m2种不同做法......,第 k 类方法中有mk 种不同做法，则完成这件事共有 m1+m2+......+mk种不同方法。
艾迪要从 3 件不同的外套和 5 条不同的裤子中各选一件穿好出门，他 有多少种不同的搭配方法。
3
第2棒选定后 还剩两人选其一
2
第2、3棒选定后 只剩下1人
1
题目解析：
甲不能跑第一棒，所以第一棒有3种可能；第二棒没有限制，从第一棒选剩下的三人种任意选一个，所以
第2棒有3种可能，以此类推，最终结果为：3 ×3 ×2 ×1 = 18（种） 7
特殊位置优先考虑（三）
例题：
运动会上，甲乙丙丁 4 名运动员组队参加 4 × 100 米 接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，一共有多少种不同的跑法？
第1棒
第2棒
第3棒
பைடு நூலகம்
第4棒
乙、丙、丁 3人选其2人， 因为要留一个跑第4棒
第1棒选定1人 还剩下3人选其1
第2棒选定后 还剩两人选其一
第2、3棒选定后 只剩下1人
2
3
2
1
题目解析：
甲不能跑第1棒，要从乙、丙、丁中三人挑一人，同时，甲也不能跑第4棒，要保留乙、丙、丁三人中的一人在第4棒；所以第1棒
只有2种人选。第2棒没有限制，从第1棒选剩下的三人种任意选一个，所以第2棒有3种可能；
第2棒的选择方法为3（种），以此类推，该题最终答案：1 ×3 ×2 ×1 = 6（种） 6
特殊位置优先考虑（二）
例题：
运动会上，甲乙丙丁 4 名运动员组队参加 4 × 100 米 接力赛，甲不能跑第一棒，一共有多少种不同的跑法？
小学奥数加法原理乘法原理
加法原理与乘法原理加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法。
运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。
要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。
合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有mn种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×mn种方法。
运用乘法原理计数，关键在于合理分步。
完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。
这两个基本原理是排列和组合的基础，与教材联系紧密（如四下《搭配的规律》），教学时要先通过生活中浅显的实例，如购物问题、行程问题、搭配问题等，帮助孩子理解两个原理，再让孩子学习运用原理解决问题。
运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。
计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。
灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。
小学阶段只学习两个原理的简单应用。
【题目1】：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法【解析】：运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。
②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。
四年级奥数加法原理和乘法原理
四年级奥数加法原理和乘法原理今天我们来聊一聊四年级数学里两个超级有趣的概念——加法原理和乘法原理。
听起来是不是有点高大上？别担心，这些东西一点也不难，关键是要懂得怎么去用，怎么去看待。
来吧，跟我一起看一看，加法原理和乘法原理到底是怎么回事，顺便也说几句我们平时不太注意的数学趣事。
你们知道吗？这些原理其实就像我们在厨房做饭一样，分步骤来，就能做好一锅好菜。
加法原理和乘法原理不就是生活中那些简单的道理嘛，只不过它们是用数学的语言告诉我们怎么做事，怎么计划。
好，先来说说加法原理。
说得简单点，就是当你在做事情的时候，如果选择了几种不同的方式，每一种方式都有若干个可能的结果，而你可以选择其中的一种结果，那么这些不同的选择加起来就是所有的可能性。
比如说，假设你今天早上有两种早餐选择：一个是煎饼果子，一个是包子。
如果你去买煎饼果子，你有三种不同口味可以选：甜的、咸的、辣的。
哦，别忘了包子，包子你有两种口味可以选：肉包或者菜包。
这时你一共能选择几种早餐呢？嘿嘿，简单！就是3种（煎饼果子的口味）加2种（包子的口味），一共是5种不同的选择。
这不就像你走进超市，看到架子上满是各种商品，你看着都眼花缭乱，最后你就能从每种商品里选出一个，合起来就是你能拿到的不同组合。
再说乘法原理。
这个呀，更简单了。
乘法原理告诉我们，如果一个事件有几种方式可以发生，而每一种方式都能与另外一些独立的事件组合成结果，那么所有可能的组合数就是各个事件方式数的乘积。
说得更直白点，就是每种选择背后可能会有更多的选择。
比方说，假如你有两个衬衫，三条裤子，和四双鞋子。
那么你穿上哪一件衬衫，都可以和三条裤子搭配，而且每条裤子又能和四双鞋子搭配。
你是不是已经开始在脑袋里琢磨，你能穿几套衣服了？对！你一共可以搭配2×3×4=24套衣服！这就是乘法原理啦！看，你平时是不是也有“拿起了筷子就要点菜”的那种冲动，恨不得所有的美食都尝个遍，那种把不同东西结合起来的感觉，想想就过瘾！这两种原理虽然名字不同，但它们就像是数学中的兄弟，互相配合，互相补充。
奥数讲义计数专题：加法原理、乘法原理
华杯赛计数专题：加法原理、乘法原理基础知识：1.加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数.加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法.2.乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数.乘法原理的关键在于分步，步与步之间用乘法.3.分类原则：分类要做到“不重不漏”.任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏.4.分步原则：分步要做到“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.例题：例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数1234567891011121314…997998999，请问：（1）这个多位数一共有多少位？（2）第999位数字是多少？（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？（4）数字0一共出现了多少次？问题（1）这个多位数一共有多少位？【答案】（1）2889；（2）9；（3）300；（4）189【解答】分析1：999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数.将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类是2位数；第3类是3位数.分别计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了.详解1：按照自然数的位数去分类.构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了9位；2位数有90个，占了2×90=180位；3位数有900个，占了3×900＝2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题（2）第999位数字是多少？详解2：1位数和2位数一共占了189位，999位数数字还需要3位数占据999－189=810位.由810÷3=270…0可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369，所以第999位数字是9.问题（3）在这个多位数中，数字9一共出现了多少次？分析3：前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类.但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9，2位数含有19个9，但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1—99；第2类100—199；第3类200—299；……；第10类900—999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了.注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含9的个数应该一样多，当然第10类900—999中9的个数比前9类要多100个.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3：按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的（1—99可以看成百位数为0）.考虑第1类1—99中包含了多少个9，个位包含9的有：9，19，29，39，49，59，69，79，89，99一共10个；十位包含9的有：90，91，92，93，94，95，96，97，98，99也是10个.这样在1—99中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，第2类100—199；第3类200—299；……；第9类800—899；每一类中也都包含20个9.第10类900—999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有20×9＋120=300个9.其实更快的方法是按9出现的位置去数，应用乘法原理.问题（4）数字0一共出现了多少次？详解4：按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为1~9，个位可以为0~9，根据乘法原理，共有9×10=90次；同理，当0出现在个位时，共有9×10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了99＋90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9最多可以组成多少个不同的三位数？【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5×6×6=180个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个2的偶数有________个.【答案】162【解答】①个位是2的有9×10=90个；②十位是2但个位不是2的偶数有9×4＝36个；③百位是2但十位和个位都不是2的偶数有9×4=36个，所以一共有90＋36＋36＝162个符合条件的三位数.例4.用1、2、3、4、5这5个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233和2454是满足条件的，而1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有________个.【答案】480个【解答】方法1：分类讨论.如果包含4个互不相同的数字，一共有5×4×3×2=120个；如果包含3个互不相同的数字，我们可以先从5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的3个数字中选1个可以重复，最后把这3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有个，所以一共有120＋360＝480个四位数.方法2：排除法.所有可能的四位数有5×5×5×5＝625个；只包含1个数字的有5个，包含2个数字的有5×4×（2×2×2－1）＝140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有625－5－140=480个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和7本不同的历史书.现在要从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？【答案】774【解答】因为一共要4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学书，根据乘法原理一共有1×9×9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有1×9×7种拿法，同理另外两种情况分别有1×9×7种和9×9×7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1×9×9＋1×9×7＋1×9×7＋9×9×7＝1×9×16＋10×9×7＝144＋630＝774种拿法.例6.用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.【答案】（1）120（个）；（2）96（个）；（3）36（个）.【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分四个步骤：第一步：选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位密码共有N=5×4×3×2=120（个）.（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，2，3，4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；第二步：从1，2，3，4中余下的三个数字和0中选取一个数字作百位数字，有4种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位数共有N=4×4×3×2=96（个）.（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤：第一步：从1，3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1，3中余下的一个数字和2，4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法；第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2×3×3×2=36（个）.例7.在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?【答案】90（种）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由乘法原理得（10×9）/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有（10×9）/2=45种取法.根据加法原理共有45＋45=90种不同取法.例8.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？【答案】150（种）【解答】5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆，可以分成3，1，1和2，2，1两类，第一类：分成3，1，1，完成此件事可以分成3步，第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个人，共有种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3，1，1时，根据乘法原理，共有3×10×2=60（种）；第二类：分成2，2，1，完成此件事可以分成3步，第1步：5个人中选出一个人，共有5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个，最后一个人去另外一个馆，共有（种），所以当分配成2，2，1时，根据乘法原理，共有5×3×6=90（种）；所以根据加法原理，不同的分配方案共有60＋90=150（种）.例9.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？【答案】40（个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2×2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有5种排法.根据乘法原理：共有2×4×5=40（种）.例10.在一个3行4列的方格表内放入4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？【答案】81（种）；1944（种）【解答】「问题1」4枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分4个步骤考虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置；第2步考虑第2列的棋子放在什么位置；第3步考虑第3列的棋子放在什么位置；第4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以方法数一共有3×3×3×3=81种.「问题2」假设4枚互不相同的棋子为A，B，C，D.将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子A，12个格子可以随便选择，一共有12种方法.第2步放棋子B，A那一列的3个格子不能选择，其它的格子都可以放B，所以一共有9种方法.第3步放棋子C，A、B那两列一共6个格子不能选，所以一共有6种方法.第4步放棋子D，A、B、C三列一共9个格子不能选，还剩3个格子，所以一共有3种方法.利用乘法原理，放入4个不同棋子的方法数一共有12×9×6×3=1944种方法.另外一种解法.「问题2」4个棋子要占4个方格，先选出放棋子的4个方格.实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有3×3×3×3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第1列的方格可以选择A，B，C，D中的任何一个棋子，所以有4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有3种方法；第3列的方格还剩下两个棋子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共是4×3×2×1=24种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有24种方法，所以将表格中放入4个互不相同的棋子的总方法数是81×24=1944种.例11. 如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色.那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？【答案】768（种）【解答】按照A，B，D，E，C，G，F，H的步骤进行染色.对A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对D进行染色的时候由于不能和A，B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和B，D同色，所以有2种染色的方法；对C进行染色时不能和B，E同色，所以有2种染色方法；对G进行染色时不能和D，E同色，所以有2种染色的方法；对F进行染色时不能和D，G同色，所以有2种染色的方法；对H进行染色时不能和E，G同色，所以有2种染色的方法.综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4×3×2×2×2×2×2×2=768种着色的方法.「评议」本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤进行染色会算出另外一个答案4×3×3×2×1×3×1×2=432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里要提到利用乘法原理一条重要的原则：“前不影响后”.无论前面步骤采取哪种染色方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关.而按照A，B，C，D，E，F，G，H的步骤来染色就违反了这个原则.请看下面图中的例子：在上面的例子中，左图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、蓝，第5步对E进行染色时只有1种方法；右图前4步采取的染色方法是红、黄、绿、绿，这样第5步对E进行染色时有2种方法.于是第5个步骤对E进行染色无法确定到底有几种染色的方法，前4步不同的染色方案影响到了第5步的方法数，既然不能确定是1种还是2种，乘法原理自然也就无法应用了.。
奥数：加法原理、乘法原理
题型一：乘法原理【知识要点】1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法。
2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
【典型例题】例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。
问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。
问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。
问：共有多少种不同的吃法？【同步训练】1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。
从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。
问：有多少种不同的装束？2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。
小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。
问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。
现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。
问：共有多少种不同的染色方法？题型二：加法原理（一）加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
五年级奥数加法乘法原理
加法原理和乘法原理是数学中常用的两个基本原理，它们在组合计数和概率问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍加法原理和乘法原理，并通过一些实际例子来帮助你更好地理解和应用这两个原理。
【加法原理】加法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件同时发生的可能结果有m+n种。
假设有一枚硬币，它的正反面各有两种可能结果，分别是“正面”和“反面”。
如果我们要计算这枚硬币抛掷两次的可能结果，根据加法原理，我们就可以得到2+2=4种可能的结果，即正-正、正-反、反-正、反-反。
这个原理可以用于求解各种组合计数问题。
对于一个实际问题，如果其中有几个独立事件，我们可以通过加法原理将这些独立事件的可能结果进行累加，从而得到整个问题的可能结果。
举一个例子，假设有一个箱子里面有3个红球和4个蓝球。
现在我们要从中随机抽取两个球，问有多少种可能的结果。
根据加法原理，我们可以将这个问题分成两个独立事件：第一个事件是从箱子中抽取一个球，可能有3种结果（红球、红球、蓝球）；第二个事件是从箱子中抽取另一个球，可能有4种结果（红球、红球、蓝球、蓝球）。
根据加法原理，这两个事件同时发生的可能结果有3+4=7种。
因此，从这个箱子中随机抽取两个球的可能结果为7种。
【乘法原理】乘法原理是指当两个事件分别有m种和n种可能结果时，这两个事件同时发生的可能结果有m×n种。
假设有一张扑克牌，其中有4个花色（红桃、方块、黑桃、梅花）和13个大小（2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、K、A）。
如果我们要计算从整副扑克牌中抽取一张牌的可能结果，根据乘法原理，我们就可以得到4×13=52种可能的结果。
乘法原理可以用于求解多个事件同时发生的可能结果。
对于一个实际问题，如果其中有几个相互独立的事件，我们可以通过乘法原理将这些事件的可能结果相乘，从而得到整个问题的可能结果。
举一个例子，假设有一个四位数的密码锁，每个位置上的数字都可以是0～9中的任意一个数字。
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理◆温故知新：1. 加法原理：如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.2.乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.3.分类是指完成一件事有几类不同的方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理.4.分步是指完成一件事情有几步不同步骤,每一步都必须执行,他们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理.5.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类,而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.6.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论；（2）步骤之间有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,直到最后.7.标数法的运用.◆练一练1.小明去吃午饭,发现附近的中餐厅有9个,西餐厅有3个,日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭,一共有多少种不同的选择？2.小明进入一家中餐厅后,发现主食有3种,热菜有4种.他打算主食和热菜各买一种,一共有多少种不同的买法？3.电影院里有10个空座位,小红和小丽去看电影,每个人坐一个座位,共有多少种不同的坐法？◆例题展示例题1小高一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画,大头要从书架上任意取一本书,有多少种不同的取法？例题2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的编写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同的涂色方法？练习2把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色,每个字母只能涂一种颜色.共有多少种涂色方法？例题3老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法？练习 3 （1）小高在练习本上写出一个加法算式,要求其中一个加数是四位数,另一个加数是两位数,请问小高一共有多少种不同的写法？（2）有6个不同的文具盒,5支不同的铅笔,3支不同的钢笔,2把不同的尺子.若从中各取一个,配成一套学习用具,最多可以配成多少套不同的学习用具.例题4 书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同.请问：（1）如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本,共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法？练习4商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔.铅笔有4种颜色,钢笔有3种颜色,圆珠笔有2种颜色.（1）要买任意一支笔,有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支,有多少种买法？（3）要买两支不同类的比,有多少种买法？◆拓展提高拓展1从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？练习1有两个不同的骰子,每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.任意摆放这两个骰子,如果要求朝上的面所标数字之和为偶数,共有多少种放法？拓展2 在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA练习2 图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA◆思维挑战挑战如图所示,蚂蚁在线段上爬行,只能按照箭头的方向行走.请问：从A点走到B点的不同路线有多少条？◆作业1、题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,要从三种类型的题目中取出一道题目,共有多少种不同的取法？2、传说地球上有7颗不同的龙珠,如果找齐这7颗龙珠,并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠,但是他不知道排列的特定顺序.请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？3、图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书.（1）小莫要去图书馆借1本书,有多少种不同的选择？（2）小莫三种书都要各借一本,有多少种不同的选择？4、萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法？5、图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA。
加法原理和乘法原理(奥数)
“＋” “×”
例1：服装小店有2件上 衣，3条裤子。任意买 一款，有几种买法？ 2+3=5（种） 答：有5种买法。
例2：服装小店有2件上 衣，3条裤子。上衣和 裤子有几种搭配方法？ 裤子1 2×3=6（种பைடு நூலகம் 上衣1 裤子2 答：有6种方法。 裤子3 上衣2
练习1：从甲地到乙地，可以乘汽车，可以乘火车，还 可以乘轮船。一天中，火车有5班，汽车有4班，轮船有 3班，那么一天中从甲地到乙地共有几种不同的走法？ 5+4+3=12（种） 答：共有12种不同的走法。
知识要点 1.加法原理：分类枚举，结果相加。 2.乘法原理：做一件事情如果需要分步， 总的方法数=每一步中的方法数相乘。
练习2：如下图所示，甲到乙有3条不同的道路，乙到 丙有4条不同的道路，那么从甲到丙有几种不同的走法？ 3×4=12（种）
甲 乙 丙
答：有12种不同的走法。
变式1：用2、3、4、5四张数字卡片能组成几个不同的三位数？
3种填法
4×3×2=24（个） 4种填法 2种填法 答：能组成24个不同的三位数。
变式2：有8个人参加一次乒乓球比赛，每两个人之间都要比 赛一场，一共要赛多少场？ B C 7+6+5+4+3+2+1=28（场） C D D B E 6场 A E 7场 答：一共要赛28场。 F F G G H H
2024加法与乘法原理(奥数专训)小学四年级数学竞赛通用版全解析
加法与乘法原理（奥数专训）小学四年级数学竞赛通用版全解析一．解答题1．把19写成若干个自然数的和，把这些自然数乘起来得到一个乘积，这个乘积最大是多少？2．六年级某毕业班56名同学互相赠一张照片作为留念，全班共赠送出多少张照片？3．用0﹣5这6个数字组成没有重复数字的多位数，一共可以组合成多少个能被3整除的数？4．用1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？5．两个班进行跳绳比赛，每班各出5名男生、3名女生，要求每方队员要与另一方每个队员比赛一次．共要比赛多少次？6．在一次击剑比赛中，16名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共比了多少场？（两名运动员之间比赛1次，称为1场）7．一条公路上，共有8个站点．如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？8．从学校到体育馆有4条东西的马路和4条南北的马路相通（如图），小林从学校出发到体育馆（只许向东或者向南进行），最多有多少种走法？9．按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法？10．从5×6的小方格中，取出一个由3个小方格组成的图形（如图），共有多少种不同的取法？11．从小刚家到学校有3条路可以走，从学校到公园有4条路可以走．从小刚家经过学校到公园，有几种不同的走法？12．用1﹣5这5个不同数字可以组成120个不同的五位数，把它们从小到大排列，第50个数是多少？13．如图是用铅丝围成的八面体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿铅丝爬行，经过每个顶点一次，共有几种不同的走法？并作简单说明．加法与乘法原理（奥数专训）小学四年级数学竞赛通用版全解析参考答案与试题解析一．解答题1．把19写成若干个自然数的和，把这些自然数乘起来得到一个乘积，这个乘积最大是多少？【答案】见试题解答内容【分析】分类讨论，将19进行拆分，即可得出结论．【解答】解：19＝6+6+7，6×6×7＝25219＝5+5+5+4，5×5×5×4＝50019＝4+4+4+4+3，4×4×4×4×3＝76819＝3+3+3+3+3+4，3×3×3×3×3×4＝972，19＝2+2+2+2+2+2+2+2+3，2×2×2×2×2×2×2×2×3＝768，所以这个乘积最大是972．2．六年级某毕业班56名同学互相赠一张照片作为留念，全班共赠送出多少张照片？【答案】见试题解答内容【分析】56名同学互相赠一张照片作为留念，每两个人互换一张，每个人得到55张，共送出56×55张．【解答】解：56×55＝3080（张）答：全班共赠送出3080张照片．3．用0﹣5这6个数字组成没有重复数字的多位数，一共可以组合成多少个能被3整除的数？【答案】见试题解答内容【分析】由于0+3＝3，1+2＝3，1+5＝6，2+4＝6，0+1+2＝3，0+1+5＝6，0+2+4＝6，1+2+3＝6，1+3+5＝9，2+3+4＝9，3+4+5＝12，0+1+2+3＝6，0+1+3+5＝9，0+2+3+4＝9，0+3+4+5＝12，1+2+4+5＝12，0+1+2+4+5＝12，1+2+3+4+5＝15，0+1+2+3+4+5＝15，根据能被3整除的数的特征，分别得到各自能被3整除的数，进一步即可求解．【解答】解：由于0+3＝3，有30；1+2＝3，有12，21；1+5＝6，有15，51；2+4＝6，有24，42；0+1+2＝3，有102，120，201，210；0+1+5＝6，有105，150，501，510；0+2+4＝6，有204，240，402，420；1+2+3＝6，有123，132，213，231，312，321；1+3+5＝9，有135，153，315，351，513，531；2+3+4＝9，有234，243，324，342，423，432；3+4+5＝12，有345，354，435，453，534，543；0+1+2+3＝6，有1023，1032，1203，1230，1302，1320，2013，2031，2103，2130，2301，2310，3012，3021，3102，3120，3201，3210；0+1+3+5＝9，有1035，1053，1305，1350，1503，1530，3015，3051，3105，3150，3501，3510，5013，5031，5103，5130，5301，5310；0+2+3+4＝9，有2034，2043，2304，2340，2403，2430，3024，3042，3204，3240，3402，3420，4023，4032，4203，4230，4302，4320；0+3+4+5＝12，有3045，3054，3405，3450，3504，3540，4035，4053，4305，4350，4503，4530，5034，5043，5304，5340，5403，5430；1+2+4+5＝12，有1245，1254，1425，1452，1524，1542，2145，2154，2415，2451，2514，2541，4125，4152，4215，4251，4512，4521，5124，5142，5214，5241，5412，5421；0+1+2+4+5＝12，有10245，10254，10425，10452，10524，10542，12045，12054，14025，14052，15024，15042，12405，12504，14205，14502，15204，15402，12450，12540，14250，14520，15240，15420，20145，20154，20415，20451，20514，20541，21045，21054，24015，24051，25014，25041，21405，21504，24105，24501，25104，25401，21450，21540，24150，24510，25140，25410，40125，40152，40215，40251，40512，40521，41025，41052，42015，42051，45012，45021，41205，41502，42105，42501，45102，45201，41250，41520，42150，42510，45120，45210，50124，50142，50214，50241，50412，50421，51024，51042，52014，52041，54012，54021，51204，51402，52104，52401，54102，54201，51240，51420，52140，52410，54120，54210；1+2+3+4+5＝15，有12345，12354，12435，12453，12534，12543，13245，13254，13425，13452，13524，13542，14235，14253，14325，14352，14523，14532，15234，15243，15324，15342，15423，15432，21345，21354，21435，21453，21534，21543，23145，23154，23415，23451，23514，23541，24135，24153，24315，24351，24513，24531，25134，25143，25314，25341，25413，25431，31245，31254，31425，31452，31524，31542，32145，32154，32415，32451，32514，32541，34125，34152，34215，34251，34512，34521，35124，35142，35214，35241，35412，35421，41235，41253，41325，41352，41523，41532，42135，42153，42315，42351，42513，42531，43125，43152，43215，43251，43512，43521，45123，45132，45213，45231，45312，45321，51234，51243，51324，51342，51423，51432，52134，52143，52314，52341，52413，52431，53124，53142，53214，53241，53412，53421，54123，54132，54213，54231，54312，54321；0+1+2+3+4+5＝15，有6×5×4×3×2×1﹣5×4×3×2×1＝5×5×4×3×2×1＝600个；一共2×3+4×3+6×4+18×4+24+96+120+600＝954（个）答：一共可以组合成954个能被3整除的数．4．用1，2，3，4，5这五个数字可以组成多少个没有重复数字的四位数？【答案】见试题解答内容【分析】根据乘法原理，从高位到低位排列分别有5、4、3、2种选择，然后相乘即可．【解答】解：5×4×3×2＝120（个）；答：用1，2，3，4，5这五个数字可以组成120个没有重复数字的四位数．5．两个班进行跳绳比赛，每班各出5名男生、3名女生，要求每方队员要与另一方每个队员比赛一次．共要比赛多少次？【答案】见试题解答内容【分析】每班各出5名男生、3名女生，共5+3＝8人，每两个人之间都要比赛一场，即进行循环赛，则每人都要与另外8人进行比赛，每人要参赛8次，两队共参赛8×8＝64次；据此解答即可．【解答】解：5+3＝8（人）8×8＝64（次）答：共要比赛64次．6．在一次击剑比赛中，16名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共比了多少场？（两名运动员之间比赛1次，称为1场）【答案】见试题解答内容【分析】根据在淘汰制中比赛场数＝参赛人数﹣1解答即可．【解答】解：16﹣1＝15（场）答：共比了15场．7．一条公路上，共有8个站点．如果每个起点到终点只用一种车票（中间至少相隔3个车站），那么共有多少种不同的车票？【答案】见试题解答内容【分析】中间至少相隔3个车站，那么从起点开始分别有4、3、2、1种车票，往返再乘2即可求出车票的种数．【解答】解：（4+3+2+1）×2＝10×2＝20（种）答：共有20种不同的车票．8．从学校到体育馆有4条东西的马路和4条南北的马路相通（如图），小林从学校出发到体育馆（只许向东或者向南进行），最多有多少种走法？【答案】见试题解答内容【分析】小林从学校出发到体育馆（只许向东或者向南进行），共要走6段，只要是确定了3条竖线，三条横线就确定了，利用组合知识可得结论．【解答】解：小林从学校出发到体育馆（只许向东或者向南进行），共要走6段，只要是确定了3条竖线，三条横线就确定了，所以最多有＝20种，答：小林从学校出发到体育馆（只许向东或者向南进行），最多有20种走法9．按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法？【答案】见试题解答内容【分析】直接利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：由题意，不同的连法有1×2×3×4＝24种．10．从5×6的小方格中，取出一个由3个小方格组成的图形（如图），共有多少种不同的取法？【答案】见试题解答内容【分析】先分析取2×2的正方形共有多少种不同的取法，然后分析共有多少种不同的取法．【解答】解：4×（5﹣1）×（6﹣1）＝80（种）答：共有80种不同的取法．11．从小刚家到学校有3条路可以走，从学校到公园有4条路可以走．从小刚家经过学校到公园，有几种不同的走法？【答案】见试题解答内容【分析】由题意，从家里到学校有3条路选择，然后到了学校后有4条路选择，利用乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，从家里到学校有3条路选择，然后到了学校后有4条路选择，利用乘法原理可得不同的走法有3×4＝12种，答：不同的走法有12种．12．用1﹣5这5个不同数字可以组成120个不同的五位数，把它们从小到大排列，第50个数是多少？【答案】见试题解答内容【分析】根据题意可知，最高位数字是1、2、3、4、5的五位数各有120÷5＝24个，所以第50个数应是从小到大依次排列以3开头的第2个数即4132．【解答】解：最高位数字是1、2、3、4、5的五位数各有120÷5＝24（个）50÷24＝2 (2)所以第50个数应是从小到大依次排列以3开头的第二个数；以3开头的数是：31245，31254，…第2个数就是31254；答：第50个数是31254．13．如图是用铅丝围成的八面体，一只蚂蚁从顶点A出发，沿铅丝爬行，经过每个顶点一次，共有几种不同的走法？并作简单说明．【答案】见试题解答内容【分析】从A点出发有四种走法，先考查一种走法，从A到B，接下去有3种走法：如果从B到C，接下去有2种走法（不能到D），如果到E，接下去只能走D、F，如果到F，接下去只能走D、E，所以路线是2种ABCEDF和ABCFDE；如果从B到E，接下去有2种走法（不能到A和B），那路线是ABECDF、ABECFD、ABEDCF、ABEDFC一共4种走法．如果从B到F，和从B到E相同，也是4种．从A到其他三个点的情况和上面相同．【解答】解：（2+4+4）×4＝40答：一共有40种不同的走法．。
奥数第四讲 加法和乘法原理
第四讲加法和乘法原理专题解析：加法原理：完成一件工作共有N类方法。
在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。
乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。
典型例题：例1从甲地到乙地，有3条公路和2条铁路可以直接到达。
从甲地到乙地共有多少种走法？【思路导航】加法原理。
分类：第一类，“走公路”，共有3种方法。
第二类，“走铁路”，共两种方法。
所以从甲地到乙地的方法总和是3+2=5（种）解答：从甲地到乙地共有5种走法。
练习11、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中火车中有4班、汽车有2班、轮船有3班。
那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？2、甲、乙、丙三个组，甲组6人、乙组5人、丙组4人，如果三组共同推选一个代表，有多少种不同选法？例2十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?【思路导航】任意取一把钥匙去试开锁，要试9次；其次，再从剩下的9把钥匙中任取一把去试开锁，要试8次…照此方法进行下去，最后，只剩下一把钥匙和一把锁，就不需要试了。
运用加法原理。
解：9+8+7+…+3+1=45答：最多试开45次，就能把锁和钥匙配起来。
练习21、15钥匙开15把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。
请问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来?2、在新年联欢会上，第一小组派了四位同学表演节目，他们每人都唱了一首歌，又每两人合唱一首歌，最后四个人又说了一段相声。
那么，第一小组的同学一共表演了多少个节目？例3由甲村去乙村有3条道路，由乙村去丙村有4条道路。
小学数学奥数知识点
小学数学奥数知识点小学数学奥数知识常见的知识点主要有以下方面：加法原理和乘法原理排列组合分数运算勾股定理简单的代数方程逻辑推理几何图形的性质和计算概率问题数列问题质数与合数因数与倍数最大公约数与最小公倍数平均数、中位数和众数简单的立体几何速度、时间和距离问题百分数和小数对称性与反射逆向思维和试错法等式和不等式等等这些内容，就不一一列举了，后面正文里面有详细描述。
一.加法原理和乘法原理：加法原理：指如果一个事件可以分为若干个互不相交的事件，那么这个事件发生的可能性等于这些互不相交事件发生的可能性之和。
乘法原理：指如果一个事件可以分为若干个步骤，每个步骤有若干个不同的选项，那么这个事件发生的可能性等于每个步骤选项数的积。
例题：一个商店出售5种颜色的T恤，6种颜色的裤子，和4种颜色的帽子。
一个顾客想购买一套衣服，包括一件T恤，一条裤子，和一顶帽子。
问有多少种不同的搭配？解答：根据乘法原理，共有5×6×4=120种不同的搭配。
学习方法：通过实际生活中的例子，让学生理解加法原理和乘法原理的应用，多做练习题提高运用能力。
二.排列组合：排列指的是从一组对象中选取若干个对象进行排列，而不同的排列方式被视为不同的情况。
一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行排列，那么不同的排列数为n 的k 次方，即A(n,k) = n! / (n-k)!。
组合指的是从一组对象中选取若干个对象进行组合，而不同的组合方式被视为同一种情况。
一般来说，如果从n 个对象中选取k 个对象进行组合，那么不同的组合数为C(n,k) = n!/((n-k)!k!)。
例题：有8个人参加比赛，前三名将获得奖品。
有多少种不同的获奖组合？解答：用排列公式，8×7×6=336种排名。
学习方法：学习排列组合的公式，通过例题演示如何运用公式解决问题，并进行大量实战练习。
三.分数运算：加减运算：对于两个分数进行加减运算，需要将分数的分母化为相同的数，然后将分子相加或相减即可。
小学四年级奥数竞赛班讲义第25讲加乘原理与归纳递推
加乘原理与归纳递推是奥数竞赛中非常重要的概念。
今天我们来讲解一下这两个概念。
首先是加乘原理。
加乘原理是指：假设有两个事件A和B，事件A有m种可能发生的方式，事件B有n种可能发生的方式，那么两个事件A和B同时发生的方式有m*n种。
这个概念可以用来解决一些计数问题，特别是当两个事件独立发生时。
例如，一件衣服有5种颜色选择，一条裤子有3种颜色选择，一双鞋子有2种颜色选择。
那么一套包括衣服、裤子和鞋子的搭配有5*3*2=30种可能。
接下来是归纳递推。
归纳递推是一种通过已知情况推导出未知情况的方法。
通常需要找到递推公式，然后利用已知情况通过递推公式计算得到未知情况。
例如，我们要计算斐波那契数列中的第n项。
斐波那契数列的前两项是1，第三项开始的每一项都是前两项之和。
根据这个规律，我们可以得到递推公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
根据已知情况F(1)=1和F(2)=1，我们可以通过递推公式计算得到未知情况的值。
通过加乘原理和归纳递推，我们可以解决一些奥数竞赛中的难题。
下面我们来看一个例子。
例题：小明有3个红色球、4个蓝色球和5个绿色球。
他想从这些球中挑选3个，问他一共有多少种挑法？解法：根据加乘原理，我们可以得到红色球的选择方式有C(3,1)种，蓝色球的选择方式有C(4,1)种，绿色球的选择方式有C(5,1)种。
根据乘法原理，一共有C(3,1)*C(4,1)*C(5,1)=3*4*5=60种挑法。
上面的题目可以通过加乘原理解决。
但是有些问题可能需要通过归纳递推来解决。
下面是一个需要用到归纳递推的例子。
例题：一只蜗牛在一个50级的楼梯上爬行。
蜗牛每次只能往上爬1级或者2级，问蜗牛爬到第50级楼梯的方法数是多少？解法：我们可以用F(n)表示蜗牛爬到第n级楼梯的方法数。
根据题目要求，蜗牛在第50级楼梯时，只能从第49级楼梯或者第48级楼梯爬上来。
所以，蜗牛爬到第50级楼梯的方法数等于蜗牛爬到第49级楼梯的方法数加上蜗牛爬到第48级楼梯的方法数。
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加乘法原理
加法原理：
完成一件事情，如果有n类办法，在第一类办法中有a种不同做法，第二类有b 种不同做法，第三类中有c中不同的做法。
那么完成这件事就有N=a+b+c+d+。
种不同的做法。
例1：小龙和小虎是亲戚，暑假小龙邀请小虎去另一城市玩，小虎所在城市每天有三趟火车、两班轮船、四班汽车去小龙的城市，请问小虎去的话有多少种选择方式？
乘法原理：做一件事情需要分n步骤，做第一步有a种不同方法，做第二步有b 种不同方法，第三步有c种不同方法。
那么完成这件事就有N=a×b×c×。
种不同方法。
例2：从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，试问从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？
练习：
1、小东到新华书店买书，他喜欢的书有5种数学书，3种科幻书，6种古典小说。
他带的钱只能买其中的一种，他有多少种不同的选择方法？
2、一条直线上标有ABCDE共5个点，问：用这5个点中的任意两点为端点，能数出多少条不同的线段？
3、从1~9这九个数中，每次取2个数的和大于10，能有几种取法？
4、某人有一个5分硬币，四个2分硬币，八个1分硬币，现在要拿出8分，有几种不同的拿法？
5、运行于杭州、上海之间的快车，中途要停靠六个站，这列快车要准备多少种不同的车票？
6、一只甲虫从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段都不重复经过，有多少种不同的走法？
A
B 7、小东到新华书店买书，他喜欢的书有5种数学书，3种科幻书，6种古典小说。
他各买一本有多少种不同的选择方法？
8、某市电话号码为8位，其中首位是8，这个市的电话号码最多有几个？
9、正方形有16个方格，要把ABCD四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？
10、由0、3、5、8组成三位数，（1）可以组成几个不相等的三位数，（2）可以组成几个没有重复数字的三位数
11、一个口袋装有3个小球，另一口袋装有8个小球，大小形状一样只颜色不同。
（1）从两口袋任取1个，有多少种取法？
（2）从两口袋各取1个，有多少种取法？
12、王芳有四件上衣，三条裤子，两双皮鞋，她能有多少天穿戴装束不同（一天一套）
13、王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、100米和实心球四项中的一项比赛，问报名的结果会出现多少种不同的情形？
14、甲乙两人在16个方格的正方形中各放一枚棋子，要求两枚棋子不在同行同列，共有多少种放法？
15、地图上ABCD四个国家（a和b），现有红蓝黄绿四种颜色给地图上色，使相邻国家的颜色不同，两图有多少种不同的染色方法？。