士兵军考试题：军队院校招生文化科目统一考试——士兵高中数学模拟试题

阶段性检测试题

一、选择题（共9小题，每题4分）

1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg x ≤0}，B ＝{x |2x ≤3

2}，则A ∪B ＝( D )

A ．∅

B ．(0，13]

C ．[1

3，1] D ．(－∞，1]

(1)由题意知，A ＝(0，1]，B ＝(－∞，1

3]，∴A ∪B ＝(－∞，1]．故选D.

2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a 3a 9＝2a 52，a 2＝2，则a 1＝( C )

D ．2

解析：选C.由等比数列的性质得 ， ∵q>0，

∴a6＝2a5，q ＝a6a5＝2，a1＝a2

q

＝2，故选C.

3．已知f(x)＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2，f(x)<0，则( D )

A ．p 是假命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2，f (x)≥0

B ．p 是假命题，⌝p ：∃x0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2，f(x0)≥0

C ．p 是真命题，⌝p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2，f(x)>0

D ．p 是真命题，⌝p ：∃x0∈⎝

⎛⎭⎪⎫

0，π2，f(x0)≥0

解析：选D.因为f′(x)＝3cos x －π，所以当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

0，π2时，f ′(x)<0，函数f(x)

单调递减，所以∀x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫

0，π2，f(x)

特称命题，所以答案选D.

4．已知向量a ，b 满足|a|＝3，|b|＝23，且a⊥(a＋b)，则a 与b 的夹角为(D )

解析：选⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 〈a ，b 〉＝0，故cos 〈a ，b 〉＝－32，故所求夹角为5π6

.

5．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A ) A ．f(x)＝

21x

B ．f(x)＝x 2

＋1 C ．f(x)＝x 3 D ．f(x)＝2－x

解析：选中f(x)＝

1

x2

是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f(x)＝x2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f(x)＝x3是奇函数．D 中f(x)＝2－x 是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．

6．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图象可能是( B)

解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，

∵g(x)＝－logbx 的定义域是(0，＋∞)，故排除A. 若a ＞1，则0＜b ＜1， 此时f(x)＝ax 是增函数， g(x)＝－logbx 是增函数， 结合图象知选B.

7、已知数列{an}的前n 项和为Sn ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( B ) A ．2n －1 n －1

n －1

[解析] (1)由已知Sn ＝2an ＋1，得Sn ＝2(Sn ＋1－Sn)，即2Sn ＋1＝3Sn ，Sn ＋1Sn ＝3

2

，

而S1＝a1＝1，所以Sn ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

.

[答案] B

8.设正实数x ，y ，z 满足x 2

－3xy ＋4y 2

－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2

z

的最大值

为( B )

A ．0

B ．1 D ．3 解析：选＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0，y >0，z >0)，

∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x

－3≤1

4－3

＝1. 当且仅当x y ＝4y

x

，即x ＝2y 时等号成立，此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，

∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫1y －12＋1，∴当y ＝1时，2x ＋1y －2

z 的最大值为1.

9.已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( C )

A ．40

B ．200

C ．400

D ．20

解析：选－2S

10

＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2

＝10(a 20－a 10)＝100d . 又a 10＝a 2＋8d ， ∴33＝1＋8d ， ∴d ＝4.

∴S 20－2S 10＝400.

二、填空题（共8小题，每题4分）

1、函数f (x )＝10＋9x －x 2

lg （x －1）

的定义域为( )

解析：要使函数有意义，

则x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧

10＋9x －x 2≥0，x －1>0，lg （x －1）≠0，即⎩⎪⎨⎪

⎧（x ＋1）（x －10）≤0，①x >1，x ≠2，

解①得－1≤x ≤10.

所以不等式组的解集为(1，2)∪(2，10]． 2、函数y ＝)24

cos(x -π

的单调减区间为________．

(3)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

2x －π4，得

2k π≤2x －π

4≤2k π＋π(k∈Z)，

故k π＋π8≤x ≤k π＋5π

8

(k∈Z)．

所以函数的单调减区间为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤

k π＋π8，k π＋5π8(k∈Z)．