第届IMO中国国家队选拔考试试题及部分试题答案

历届IMO试题（1-44届）

历届IMO试题（1-44届）第1届IMO1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。

2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：(a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。

3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程acos2x+bcosx+c=0,试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。

当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。

4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。

5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N，(a.)求证AF、BC相交于N点；（b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S；(c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。

6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。

试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。

第2届IMO1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。

2.寻找使下式成立的实数x：4x2/(1-√(1+2x))2<2x+93.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令α为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：tanα=4nh/(an2-a).4.已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。

5.正方体ABCDA''B''C''D''（上底面ABCD，下底面A''B''C''D''）。

IMO中国国家集训队选拔考试试题与解答(1995-2010)

© 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
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C2x1 + C2x2 + …+ C2x16 ≤C211 = 55.
①
容易看出 , 当 x1 , x2 , …, x16尽量平均 (至多相差
1) 时 , 上式左端和数最小 , 从而 , x1 + x2 + …+ x16 最
大. 因此 , 当 x1 , x2 , …, x16 中有两个 4 和 14 个 3 时 ,
=
1.
②
比较 ①、②两式可得
AP AQ
=
PC QC
.
③
过 P 作 EF 的平行线分别交 OA 、OC 于 I 、J ,则有
PI QO
=
AP AQ
,
JP QO
=
PC QC
.
④
由 ③、④可得
PI QO
=
JP QO
]
PI = PJ .
又 OP ⊥IJ ,则 OP 平分 ∠IOJ ,
即 OP 平分 ∠AOC.
去掉前 2 行与前 10 列 , 至多去掉 22 + 16 = 38 个红点 ,余下的 15 ×7 的方格表中至少还有 34 个红点 , 34 = 3 ×4 + 2 ×11. 这些红点至少构成
3 ×4 + 11 = 23 个不同的“红点对”, 23 > 21 = C27 , 必导致边平行于网格线的红顶点矩形 ,矛盾.

1988年IMO中国国家队选拔考试试题

1988Day 11Suppose real numbers A,B,C such that for all real numbers x,y,z the following inequality holds:A (x −y )(x −z )+B (y −z )(y −x )+C (z −x )(z −y )≥0.Find the necessary and suﬃcient condition A,B,C must satisfy (expressed by means of an equality or an inequality).2Find all functions f :Q →C satisfying(i)For any x 1,x 2,...,x 1988∈Q ,f (x 1+x 2+...+x 1988)=f (x 1)f (x 2)...f (x 1988).(ii)f (1988)f (x )=f (1988)f (x )for all x ∈Q .3In triangle ABC ,∠C =30◦,O and I are the circumcenter and incenter respectively,Points D ∈AC and E ∈BC ,such that AD =BE =AB .Prove that OI =DE and OI ⊥DE .4Let k ∈N ,S k ={(a,b )|a,b =1,2,...,k }.Any two elements (a,b ),(c,d )∈S k are called ”undistinguishing”in S k if a −c ≡0or ±1(mod k )and b −d ≡0or ±1(mod k );otherwise,we call them ”distinguishing”.For example,(1,1)and (2,5)are undistinguishing in S 5.Considering the subset A of S k such that the elements of A are pairwise distinguishing.Let r k be the maximum possible number of elements of A .(i)Find r 5.(ii)Find r 7.(iii)Find r k for k ∈N ./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1988Day 21Let f (x )=3x +2.Prove that there exists m ∈N such that f 100(m )is divisible by 1988.2Let ABCD be a trapezium AB//CD,M and N are ﬁxed points on AB,P is a variable point on CD .E =DN ∩AP ,F =DN ∩MC ,G =MC ∩P B ,DP =λ·CD .Find the value of λfor which the area of quadrilateral P EF G is maximum.3A polygon is given in the OXY plane and its area exceeds n.Prove that there exist n +1points P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),...,P n +1(x n +1,y n +1)in such that ∀i,j ∈{1,2,...,n +1},x j −x i and y j −y i are all integers.4There is a broken computer such that only three primitive data c ,1and −1are reserved.Only allowed operation may take u and v and output u ·v +v.At the beginning,u,v ∈{c,1,−1}.After then,it can also take the value of the previous step (only one step back)besides {c,1,−1}.Prove that for any polynomial P n (x )=a 0·x n +a 1·x n −1+...+a n with integer coeﬃcients,the value of P n (c )can be computed using this computer after only ﬁnite operation./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

2005年IMO中国国家集训队测验题1

b + c ≥ 211, a + b + c ≥ 2004 + 211 = 2215;
当 a1 = 2 时，则 a = 2003, (b + c)(b − c) = 24 × 3×167, 而 b＋c 与 b－c 同奇偶，所以
b + c ≥ 2×167, a + b + c > 2215;
当 a1 = 3时，则 a = 2002, (b + c)(b − c) = 3× 4007 ，所以 b + c ≥ 4007, a + b + c > 2215;
CD =1 时等号成立．所以，四边形 ABCD 的周长的最小值为 4160.
下面求四边形 ABCD 的周长的最大值.
因为 a ≥ b, c < 2005 ，所以 b + c < a + 2005 = 4010 − a1, 所以由①式知
a1 < b − c < b + c < 4010 − a1.
由于 a1 与 b − c 同奇偶，所以 b − c ≥ a1 + 2 ，于是
2005 国家集训队选拔考试（一）解答
第一天 3 月 16 日上午 8：20—12：20 辽宁，沈阳
每题 7 分
一、如图所示，点 P 在△ABC 内部，点 P 在边
A
BC，CA，AB 上的射影分别为 D，E，F，过点 A 分别作直线 BP，CP 的垂线，垂足分别为 M，N. 求
N
M F
PE
证：ME，NF，BC 三线共点.
+
1
+
b2
−
1 ca

2006年IMO中国国家集训队选拔考试

f ( x + 2) - f ( x) = 2 k Fk - 1 ( x) . 由此得 ,对所有整数 x 有
f ( x + 2) - f ( x) ≡0 (mod 2 k ) .
③
由于 f (0) = 0 ,f (1) = 1 ,故由式 ③推出多项式
引理得证. 下面证明原题.
(1) 576 是最大的好数.
由 576 = 24 ×24 < 24 ×25 = 25 ×24 < 25 ×25 = 625 ,知 576 为好数.
设 M ≥577. 若 M 为好数 ,则由引理知存在正整
数 u 、v ( u ≤v) ,使得
M ≤( u - 1) ( v - 1) < uv ≤M + 49.
M ≤( u1 - 1) ( v1 - 1) < u1 v1 ≤M + 49. 当 ( ui - 1 - 1) ( vi - 1 - 1) < M ≤( ui - 1) ( vi - 1)
34
时 ,有
M ≤( ui - 1) ( vi - 1) < ui vi
≤( ui - 1 - 1) ( vi - 1 - 1) + 50 ≤M + 49 ,
2007 年第 4 期
A P 关于点 M 的对称直线是 HS 的垂直平分线. 同理 ,直线 B P、CP 关于点 M 的对称直线分别
是 HT 的垂直平分线和 HU 的垂直平分线. 而 A P、B P、CP 有公共点 P ,因此 , HS 、HT、HU
这三条线段的三条垂直平分线交于一点. 故 S 、T 、U 、H 四点共圆.
于 1 ,故 a1 , a2 , …, as 可分成 n 组 ,每一组的倒数之

1987年IMO中国国家队选拔考试试题

1987Day 111a.)For all positive integer k ﬁnd the smallest positive integer f (k )such that 5sets s 1,s 2,...,s 5exist satisfying:I.each has k elements;II.s i and s i +1are disjoint for i =1,2,...,5(s 6=s 1)III.the union of the 5sets has exactly f (k )elements.b.)Generalisation:Consider n ≥3sets instead of 5.Corrected due to the courtesy of[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/proﬁle.php?mode=viewproﬁleu=2616]zhaoli.[/url]2A closed recticular polygon with 100sides (may be concave)is given such that it’s vertices have integer coordinates,it’s sides are parallel to the axis and all it’s sides have odd length.Prove that it’s area is odd.Corrected due to the courtesy of[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/proﬁle.php?mode=viewproﬁleu=2616]zhaoli.[/url]3Let r 1=2and r n =n −1 k =1r i +1,n ≥2.Prove that among all sets of positive integers such that nk =11a i<1,the partial sequences r 1,r 2,...,r n are the one that gets nearer to 1./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1987Day 21Given a convex ﬁgure in the Cartesian plane that is symmetric with respect of both axis,we construct a rectangle A inside it with maximum area (over all posible rectangles).Then we enlarge it with center in the center of the rectangle and ratio lamda such that is covers the convex ﬁgure.Find the smallest lamda such that it works for all convex ﬁgures.2Find all positive integer n such that the equation x 3+y 3+z 3=n ·x 2·y 2·z 2has positive integer solutions.3Let G be a simple graph with 2·n vertices and n 2+1edges,then there is a K 4-one edge,that is two triangles with a common edge./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

IMO中国国家队训练题

2008IMO 中国国家队训练题及解答2008年IMO 中国队培训的主要阶段于6月15日至7月5日在上海中学进行,后期在清华附中调整.在培训期间,单墫、陈永高、冷岗松、余红兵、李伟固、熊斌等教授以及叶中豪、冯志刚先生为国家队队员作了讲座.我们从培训题中精选了一部分,配以个别队员们的解答,推荐给各位读者.1. 设G 为△ABC 内的一点,AG 、BG 、CG 分别交对边于点D 、E 、F.设△AEB和△AFC 的外接圆的公共弦所在的直线为l a ,类似定义l b ,l c .证明:直线l a ,l b ,l c 三线共点.证明:设∆AEB 的外接圆和∆AFC 的外接圆交于1,A A ,则a l 即1AA ,易知1A 在角BAC ∠内,1BAEA 共圆,1CAFA 共圆,类似地定义11,B C . 因为BAEA 1共圆,111FBA ABA A EC ∠=∠=∠故(1.1), 111A A C A A E A B E ∠=∠=∠(1.2), 11A AB A EB ∠=∠(1.3)因为CAFA 1共圆,故∠BFA 1=∠ACA 1=∠ECA 1 (1.4) 由(1.1)、(1.4)得:∆BFA 1~∆ECA 1,1BA BFA E CE=1故(1.5) 对∆BA 1E 用正弦定理并结合(1.2)、(1.3)得111111sin sin sin sin BA A EB A ABA E A BE A AC∠∠==∠∠(1.6) 1111,,b c B ABC C ACB l BB l CC ∠∠同理，在内，在内，即即11sin ,sin C CA AE C CB BD ∠=∠且有11sin sin B BC CDB BA AF∠=∠.故BDCDCE AE AF BF AF CD BD AE CE BF BA BC B CB CA C AC AB A ⋅⋅=⋅⋅=∠∠⋅∠∠⋅∠∠111111B sin sin C sin sin A sin sin 111AC BC CC BC CA AB D E F 而由、、分别交对边、、于、、及塞瓦定理得BD CDCE AE AF BF ⋅⋅=1. BA BC B CB CA C AC AB A 111111B sin sin C sin sin A sin sin ∠∠⋅∠∠⋅∠∠=1,这样利用角元形式的塞瓦定理可知直线AA 1,BB 1,CC 1三线共点.,,a b c l l l 即共点，命题得证。

2009年IMO中国国家队选拔考试(有答案)

i 2 j 2 aj + ai . i+j i+j
n
⑧
这样有
(
i=1 n
iai )
2 2
2
=
i =1
i ai + 2 i j
2
2
2
最后 , 在 △AGL 中 , 由 M 、 C 分别是 AG、 AL 的中点 , 知 M C 是其中位线 , 得 M C ∥GL.
≥
i=1 n
i ai + 2
n
1 ≤ i < j≤n
2
i+j
1,
2 , …,
都是 1 到 l中的正整数 . l( l + 1 ) +1
2
而由式 ②知 , 在
, ai .
2 2
1
,
2
, …,
l( l + 1 )
2
+1
中,
1 ≤ i < j≤n 2
=(
n
=
n ( n + 1)
4
2 n
i=1
于是 , (
i =1
iai ) ≥
2
n ( n + 1)
4
故式 ① 得证 . 综上可知 , ( n ) =
ai i
≥ ,即
j
aj
jai - iaj ≥0.
⑦
因为 ai - aj ≤0, 所以 , ( jai - iaj ) ( aj - ai ) ≥0, 即 ai aj ≥
n
在 △ACD 中 , 对于截线 L PK 应用梅涅劳斯定理得
AL CP D K ・・ = 1. LC PD KA AL 将式 ⑥、 ⑦ 代入上式即得 = 2. LC

1996年IMO中国国家队选拔考试试题

1996Day 11Let side BC of ABC be the diameter of a semicircle which cuts AB and AC at D and E respectively.F and G are the feet of the perpendiculars from D and E to BC respectively.DG and EF intersect at M .Prove that AM ⊥BC .2S is the set of functions f :N →R that satisfy the following conditions:I.f (1)=2II.f (n +1)≥f (n )≥n n +1f (2n )for n =1,2,...Find the smallest M ∈N such that for any f ∈S and any n ∈N ,f (n )<M .3Let M ={2,3,4,...1000}.Find the smallest n ∈N such that any n -element subset of M contains 3pairwise disjoint 4-element subsets S,T,U such thatI.For any 2elements in S ,the larger number is a multiple of the smaller number.The same applies for T and U .II.For any s ∈S and t ∈T ,(s,t )=1.1.For any s ∈S and u ∈U ,(s,u )>1./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1996Day 213countries A,B,C participate in a competition where each country has 9representatives.The rules are as follows:every round of competition is between 1competitor each from 2countries.The winner plays in the next round,while the loser is knocked out.The remaining country will then send a representative to take on the winner of the previous round.The competition begins with A and B sending a competitor each.If all competitors from one country have been knocked out,the competition continues between the remaining 2countries until another country is knocked out.The remaining team is the champion.I.At least how many games does the champion team win?II.If the champion team won 11matches,at least how many matches were played?2Let α1,α2,...,αn ,β1,β2,...,βn (n ≥4)be 2sets of real numbers such that n i =1α2i <1,ni =1β2i < 1.Let A 2=1−n i =1α2i ,B 2=1−n i =1β2i ,W =12(1−n i =1αi βi )2.Find allreal numbers λsuch that x n +λ(x n −1+···+x 3+W x 2+ABx +1)=0only has real roots.Corrected due to the courtesy of[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/proﬁle.php?mode=viewproﬁleu=2616]zhaoli.[/url]3Does there exist non-zero complex numbers a,b,c and natural number h such that if integers k,l,m satisfy |k |+|l |+|m |≥1996,then |ka +lb +mc |>1his true?/This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

2003年IMO中国国家队选拔考试试题

2003Day 11ABC is an acute-angled triangle.Let D be the point on BC such that AD is the bisector of ∠A .Let E,F be the feet of perpendiculars from D to AC,AB respectively.Suppose the lines BE and CF meet at H .The circumcircle of triangle AF H meets BE at G (apart from H ).Prove that the triangle constructed from BG ,GE and BF is right-angled.2Suppose A ⊆{0,1,...,29}.It satisﬁes that for any integer k and any two members a,b ∈A (a,b is allowed to be same),a +b +30k is always not the product of two consecutive integers.Please ﬁnd A with largest possible cardinality.3Suppose A ⊂{(a 1,a 2,...,a n )|a i ∈R ,i =1,2...,n }.For any α=(a 1,a 2,...,a n )∈A and β=(b 1,b 2,...,b n )∈A ,we deﬁneγ(α,β)=(|a 1−b 1|,|a 2−b 2|,...,|a n −b n |),D (A )={γ(α,β)|α,β∈A }.Please show that |D (A )|≥|A |./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/2003Day 21Find all functions f :Z +→R ,which satisﬁes f (n +1)≥f (n )for all n ≥1and f (mn )=f (m )f (n )for all (m,n )=1.2Suppose A ={1,2,...,2002}and M ={1001,2003,3005}.B is an non-empty subset ofA .B is called a M -free set if the sum of any two numbers in B does not belong to M .If A =A 1∪A 2,A 1∩A 2=∅and A 1,A 2are M -free sets,we call the ordered pair (A 1,A 2)a M -partition of A .Find the number of M -partitions of A .3x n is a real sequence satisfying x 0=0,x 2=3√2x 1,x 3is a positive integers and x n +1=13√4x n +3√4x n −1+12x n −2for n ≥2.How many integers at least belong to this sequence?/This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

1994年IMO中国国家队选拔考试试题

1994Day 11Find all sets comprising of 4natural numbers such that the product of any 3numbers in the set leaves a remainder of 1when divided by the remaining number.2An n by n grid,where every square contains a number,is called an n -code if the numbers in every row and column form an arithmetic progression.If it is suﬃcient to know the numbers in certain squares of an n -code to obtain the numbers in the entire grid,call these squares a key.a.)Find the smallest s ∈N such that any s squares in an n −code (n ≥4)form a key.b.)Find the smallest t ∈N such that any t squares along the diagonals of an n -code (n ≥4)form a key.3Find the smallest n ∈N such that if any 5vertices of a regular n -gon are colored red,there exists a line of symmetry l of the n -gon such that every red point is reﬂected across l to a non-red point./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 1http://www.mathlinks.ro/1994Day 21Given 5n real numbers r i ,s i ,t i ,u i ,v i ≥1(1≤i ≤n ),let R =1n n i =1r i ,S =1n ni =1s i ,T =1n n i =1t i ,U =1n n i =1u i ,V =1n n i =1v i .Prove that n i =1r i s i t i u i v i +1r i s i t i u i v i −1≥ RST UV +1RST UV −1 n .2Given distinct prime numbers p and q and a natural number n ≥3,ﬁnd all a ∈Z such that the polynomial f (x )=x n +ax n −1+pq can be factored into 2integral polynomials of degree at least 1.3For any 2convex polygons S and T ,if all the vertices of S are vertices of T ,call S a sub-polygon of T .I.Prove that for an odd number n ≥5,there exists m sub-polygons of a convex n -gon such that they do not share any edges,and every edge and diagonal of the n -gon are edges of the m sub-polygons.II.Find the smallest possible value of m ./This ﬁle was downloaded from the AoPS −MathLinks Math Olympiad Resources Page Page 2http://www.mathlinks.ro/。

2001年IMO中国国家集训队选拔考试试题

橙子奥数工作室教学档案非卖品2001年IMO 中国国家集训队选拔考试一平面上给定凸四边形ABCD 及其内点E 和F 适合AE BE CE DEAEB CED AF DF BFCFAFD BFC求证AFD AEB π 二对给定的正整数a b b >a >1a 不能整除b 及给定的正整数数列{}1n n b ∞=满足对所有正整数n 有1n b+2nb 是否总存在正整数数列{}1n n a ∞=使得对所有正整数n有{}1,n n a a a b +−∈且对所有正整数m l 可以相同有 {}1m l n n a a b ∞=+∉ 三给定大于1的整数k 记R 为全体实数组成的集合求所有的函数f R R 使得对R 中的一切x 和y 都有()()k k f x f y y f x ⎡⎤+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦四给定大于3的整数n 设实数1212,,,,,n n n x x x x x ++"满足条件12120n n n x x x x x ++<<<<<>"试求下列的最小值 211112*********n n j i i j i j n n k k l l l k l l l k k k x x x x x x x x x x x x x x ++==+++++==+++⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∑∑∑∑ 并求使该式达到最小值的所有满足条件的实数组1212,,,,,n n n x x x x x ++" 五给定正ABC D 为BC 边上的任意一点ABD 的外心内心分别为O 1I 1ABC 的外心内心分别为O 2I2直线O 1I 1与O 2I 2相交于P试求当点D 在BC 边上运动时点P 的轨迹记3213max x F x ax bx c ≤≤=−−−当a b c取遍所有的实数时求F 的最小值。

2009年IMO中国国家队选拔考试

综上可知，孟（凡）：丛旦｝蛙
３．显然，符合要求的ｎ应满足
１≤拜≤ｐ—１．
。
设这样的ｎ的全体是
忍，＜ｎ２《…＜ｎｉｔ．
只须｛歪明蠡≤１２ｐ芎．当矗≤１２时，结论是显然成立的．下设ｋ＞１２。
将毽＋ｌ一獠（１≤ｉ《露一１）重摊成不减的数列１≤产ｌ《如≤…《心－１．则显然有
∑羧＝∑（Ｉｔ㈦一Ｉｔｉ＞
＝ｌ＇ｔＩ一，Ｉｌ＜ｐ．
１
口ｆ≥｛Ｌ＿（口ｔ＋１＋口ｉ—１）（ｉ＝１，２，…，ｎ一１），
则（∑ｉａｉ）２≥Ｊ；【（凡）∑０２；．
‘＝ｌ
ｌ２Ｉ
（朱华伟供题）
３．求证：对于任意的奇质数Ｐ，满足
ＰＩ（凡！＋１）的正整数凡的个数不超过ｃｐ一３，这里。ｃ是一个与Ｐ无关的常数．
（余红兵供题）
第二天
４．设正实数凸、ｂ满足ｂ—ｎ＞２．求证：对区问［口，ｂ）中任意两个不同的整数ｍ、ｎ，总存在一个由区间［８６，（ａ＋１）（ｂ＋１））中某些整数组成的（非空）集合ｓ，使得
接下来证明：对任何满足条件的序列ａｎ，ａｌ’．一，ａ。，有不等式
（骞¨２≥唑半妻ｉ＝ｌ以 ①
首先证明：。。≥丁ａ２≥…≥菩
事实上，由条件有２ｉａ；≥ｉ（ａ…＋ａＨ）对任意的ｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ一１）成立．
对于给定的正整数ｚ（１≤ｆ≤ｎ一１），将此式对ｉ（江１，２，…，ｉ）求和得
（Ｚ＋１）ａｆ≥ｌａ…，
方．
享ｌ理的证明：取秽是大于或等予业的
最小整数，即整数锣满足
煦≤钟＜堂＋ｌ
拄
聪
磷口６≤删《ａｂ＋珏（＜ａｂ＋口＋ｂ＋１）． ①
．故ａｂ＜（芏舂＋１）秽＝嬲＋秽＜ａｂ＋赫＋ａｂ＋ｌ
珏
《ａｂ＋ｏ＋ｂ＋１（因穗《ｕ＜ｂ）．

2009年IMO中国国家队选拔考试试题含答案(第二天,2009年4月1日)

因此，这14个数中至少有13个可以写成或者的形式，由抽屉原理，至少有7个数可表示为同一种形式.下面分两种情况.
情况1有7个数可以表示成的形式，设它们为，其中 .则是某个公差为的14项等差数列中的七项.
但，矛盾.
情况2有7个数可以表示成的形式，设它们为，其中 .则是某个公差为的14项等差数列中的七项.
(1)对于任意的，是的一个排列；
(2)对于任意的，有 .
求的最小值.
解：
令，由得 .下面先估计的下界.由(1)知Biblioteka 在唯一的一个，使 .考虑与 .
情况1 与中至少有一个为，由对称性不妨设 .由(2)我们有
，
及
.
故
.
情况2 与都不为，则由(1)知存在，使 .由(1)，(2)易知 .再利用(2)我们有
，
及
.
故
.
综合情况1，2知 .
另一方面，令
则对于任意的，
若，则；
若，则 .
即(2)成立.
下证(1)成立.事实上，只须证明对任意的整数及，存在一个整数使得即可.
当时，由，及知，故且是一个整数.因此和至少有一个在集合中，取这个数为即可.
当时，由，及知，
故且是一个整数.因此和至少有一个在集合中，取这个数为即可.
引理的证明取是大于等于的最小整数，即整数满足
，
故
，①
从而
（因）.②
（这里，我们应用了一个熟知的事实，函数在或时取得最大值.）
由①，②可知，和为区间中的两个不同整数，取，即知是一个整数的平方.
回到原题，设，则 .由引理可知，对于，分别有区间中的两个不同整数，都存在一个整数，使得

2003年IMO中国国家集训队选拔考试试题

2003年IMO 中国国家集训队选拔考试试题（2003-03-31 8:00—12:30）一、在锐角△ABC 中，AD 是∠A 的内角平分线，点D 在边BC 上，过点D 分别作DE ⊥AC 、DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，连结BE 、CF ，它们相交于点H ，△AFH 的外接圆交BE 于点G .求证：以线段BG 、GE 、BF 组成的三角形是直角三角形.（熊斌命题）二、设{}29,2,1,0 ⊆A ，满足：对任何整数k 及A 中任意数a 、b （a 、b 可以相同），k b a 30++均不是两个相邻整数之积.试定出所有元素个数最多的A..（陈永高命题）三、设(){}n i R a a a a A i n ,,2,1,,,,21 =∈⊂，A 是有限集，对任意的()n a a a ,,,21 =α∈A ，()n b b b ,,,21 =β∈B 定义：()()n n b a b a b a ---=,,,,2211 βαγ， ()(){}B A A D ∈∈=βαβαγ,,.试证：()A D ≥A .（冷岗松命题）（2003-04-01 8:00—12:30）四、求所有正整数集上到实数集的函数f ，使得（1）对任意n ≥1，f （n +1）≥f （n ）；（2）对任意m ，n ，（m ，n ）＝1，有f （mn ）＝f （m ）f （n ）. （潘承彪命题）五、设{}2002,2,1 =A ，{}3005,2003,1001=M ，对A 的任意非空子集B ，当B 中任意两数之和不属于M 时，称B 为M -自由集，如果A ＝A 1∪A 2，A 1∩A 2＝φ，且A 1，A 2均为M -自由集，那么称有序对（A 1，A 2）,为A 的一个M -划分，试求A 的所有M -划分的个数.（李胜宏命题）六、设实数列{}n x 满足：00=x ，1322x x =，3x 是正整数，且 2133121441--+++=n n n n x x x x ，n ≥2.问：这类数列中最少有多少个整数项？（黄玉民命题）。

2003年IMO中国国家集训队选拔考试

六、设实数列{ xn }满足 :
x0
=
0
,
x2
=
3
2
x1
,
x3
是
正整数 ,且
xn +1
=
1
3
xn
3
+ 4 xn- 1 +
4
1 2
xn - 2 , n ≥2.
问 :这类数列中最少有多少个整数项 ?
参考答案
一、如图 1 ,过点 D 作 DG′⊥B E ,垂足为 G′. 由勾股定理知 BG′2 - G′E2 = BD2 - DE2 = BD2 - DF2 = B F2 . 所以 ,线段 BG′、G′E、B F 组成的三角形是以 B G′为斜边的直角三角形 .
素 ,因此 ,20 ∈A ,29 ∈A . 由 20 ∈A 知12 | A ,22 | A ,从而 ,8 ∈A ,14 ∈A .
这样 ,4 | A ,24 | A ,因此 ,2 ∈A ,26 ∈A . 由 29 ∈A 知7 | A ,27 | A ,从而 ,5 ∈A ,23 ∈A . 这
样 ,9 | A ,19 | A ,因此 ,11 ∈A ,17 ∈A . 综上有 A = {2 ,5 ,8 ,11 ,14 ,17 ,20 ,23 ,26 ,29} ,此
下面证明 G′即为 G ,即只须证 A 、F、G′、H 四点
共圆. 如图 1 ,连结 EF ,则 AD 垂直平分 EF. 设 AD 交
EF 于点 Q ,作 EP ⊥BC ,垂足为 P ,连结 PQ 并延长交 AB 于点 R ,连结 RE.
图1 因为 Q 、D 、P、E 四点共圆 ,所以 , ∠QPD = ∠QED. 又 A 、F、D 、E 四点共圆 ,所以 , ∠QED = ∠FAD. 于是 ,A 、R 、D 、P 四点共圆. 又 ∠RAQ = ∠DAC , ∠ARQ = ∠ADC ,于是 ,

imo试题答案

imo试题答案一、选择题1. 以下哪个选项是IMO历史上最年轻的金牌获得者？A. 彼得·舒尔茨B. 陶哲轩C. 陈景润D. 约翰·纳什答案：B. 陶哲轩2. IMO竞赛中，每天的试题解答时间是多少小时？A. 3小时B. 4小时C. 5小时D. 6小时答案：C. 5小时3. IMO试题通常由哪个组织提供？A. 各国数学奥林匹克委员会B. 国际数学联合会C. 主办国的数学学会D. 国际奥林匹克委员会答案：C. 主办国的数学学会4. 在IMO竞赛中，参赛者需要解决多少个问题？A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：B. 4个5. IMO试题的答案需要满足什么条件？A. 必须是唯一的B. 必须是普遍接受的C. 必须是简洁的D. 必须是证明过程完整的答案：D. 必须是证明过程完整的二、填空题1. IMO竞赛始于______年，首届比赛在______举行。

答案：1959年，罗马尼亚2. 每位参赛者在IMO竞赛中每天需要解答______个问题，共计______分。

答案：3个，45分3. IMO试题的难度通常分为三个等级，分别是______、______和______。

答案：简单、中等、困难4. 参赛者在IMO竞赛中获得的最高分是______分。

答案：42分5. 根据IMO规则，每个国家可以派出最多______名参赛者。

答案：6名三、解答题1. 请简述IMO竞赛的评分标准。

答：IMO竞赛的评分标准非常严格。

每个问题的满分为7分，参赛者需要提供完整且正确的解答过程才能获得满分。

评委会根据解答的正确性、完整性和逻辑性来评分。

如果解答过程中有错误或者不完整，将会扣除相应的分数。

每个参赛者需要在两天内解答四个问题，每天三个问题，总分42分。

2. 描述IMO竞赛的选拔过程。

答：各国选拔参加IMO竞赛的选手通常通过国内数学奥林匹克竞赛进行选拔。

选拔过程包括初赛、复赛和最终的国家集训队选拔。

在国家集训队中，选手们会接受高强度的培训和模拟比赛，最终选拔出最优秀的选手代表国家参加国际数学奥林匹克竞赛。