大学物理习题课

4π = ＝0.2 π u 20 (1) 以A点为坐标原点
ω
u B A x
y(x,t) =3×10-2cos(4πt ＋0.2πx) (2) 以B点为坐标原点 y(x,t) =3×10-2cos[4πt ＋0.2π(x–5)] y(x,t) =3×10-2cos(4πt +0.2πx–π)
11．一平面简谐波沿 x 轴正向传播，波的振幅 A = 10 cm，波 的角频率 ω = 7π rad/s. 当 t = 1.0 s时，x = 10 cm处的a质点正 通过其平衡位置向 y 轴负方向运动，而x = 20 cm处的b质点正 通过 y = 5.0 cm点向 y 轴正方向运动．设该波波长 λ >10 cm， 求该平面波的表达式。 u 解： t = 1.0 s时，a 点的相位为 π/2 ， b 点的相位为 –π/3。
π(200 t −5x2 ) − π(200 t −5x1) = − 2π 5π(x2 − x1 ) = 2π
波速： 相速
λ = (x2 − x1 ) = 0.4(m)
设：x1处质点 t1时刻的相与x2处质点 t2时刻的相 相同 π(200 t2 −5x2) = π(200 t1 −5x1) 5(x2 − x1 ) =200 ( t2 − t1 ),
λ
Δx =
λ
[ d + ( d − x )]
反射波的表达式
y = A cos[ 2 π ν t −简谐波
y = A cos( 2 π ν t − 2π
( 2 d − x )] = A cos( 2 π ν t +
2π
λ
x−
4 πd
λ
)
λ
x)
y + d = A cos( 2 π ν t −
p x(m) 100m
x π y = A cos[ 2 π ( 250 t + )+ ] 200 4
5π x = 100 m , y = A cos ( 500 π t + ) 4
5π dy = − 500 π A sin ( 500 π t + ) v= dt 4
13. 一简谐波沿x 轴正向传播，已知振幅、频率和波
y/cm 0.2 O P
2πx y = 0 .2 cos[ 2 π t − +ϕ] 0 .6
.
0.45
u
t1 = 0
t2= 0.25s x/cm
10 π x π + ] 波函数 y = 0 .2 cos[ 2 π t − 3 2 P点平衡位置坐标为 xP = 0.3m
速分别为A、ν、u ，设 t = t ′ 时的波形曲线如图，求 1) x=0 处质点振动方程；2) 该波的波函数。 解： y o = A cos( 2 π ν t + ϕ )
y
A
v u
t = t′
t = t′ , x = 0 y = 0 v < 0 o v x π v ′ 2πν t + ϕ = −A 2 π π ϕ = − 2 π ν t ′ y o = A cos[ 2 πν (t − t ′) + ] 2 2 π x 波函数 y = A cos[ 2πν ( t − t ′ − ) + ] 2 u
.
0.45
x/cm
解： 振幅 A= 0.2m 频率ν =1/T=1Hz
周期 T=4×0.25=1s
4 λ = × 0.45 = 0.6( m) 3
频率ν =1/T=1Hz 波速 u=νλ = 0.6m/s
4 λ = × 0.45 = 0.6( m) 3
π ϕ= 读图 t=0，x=0点 y=0，v <0 2 10 π x π 波函数 y = 0 .2 cos[ 2 π t − + ] 3 2
2π 2π ω= = = 4π 解： T 0.5 2π 2π = k= = 0.2 π 10 λ 波函数为：y = A cos(ωt – kx+ ϕ0)
ϕ0 = π ω·0 – 0.2π · 2.5 + ϕ0 = π/2 x y = 0.1 cos[4 π ( t − ) + π ](m) 20 或 y = 0.1 cos (4 π t − 0.2 π + π )(m)
y= A 2 v<0
波函数
π ∴φ = 3
v A
oA
2
y
y=
2 × 10
−2
π t x cos[ 2 π ( − ) + ]m 4 4 3
15. 位于原点O 处的波源发出平面简谐波 沿 x 轴正向传播，波 源的振动为 yo =A cos 2πν t，波长为 λ , 距波源 d 处有一平面 将波反射（无半波损失），求反射波的表达式。 解1： yo = Acos2πν t y d−x x p 反射波中P点相位落后O点 O d 2π 2π
x 2 − x1 u= = 40(m/s) t 2 − t1
8. 一平面机械波沿x 轴负方向传播，已知 x = -1m 处 质点的振动方程为y =Acos(ω t + ϕ ) ，若波速为u, 求 此波的波函数。 x 解： 波函数 y = A cos[ ω ( t + ) + ϕ ′ ] u
Q x = −1m,
y(cm) u=8cm/s 0.5
O
ω×0.25 + ϕ 0 = π/2
解得： ϕ 0 = – π/2
t=0.25s x(cm)
答案：（A）
2. 如图,一向右传播的简谐波在 t = 0 时刻的波形，已知周期为 2 s ，则 P 点处质点的振动速度 与时间的关系曲线为：
A
o −A
y
P*
r v
v u
x
1. 某平面简谐波在 t = 0.25s时波形如图所示, 则该波的波函数为: (A) y = 0.5cos[4π (t – x/8) – π/2] (cm) . (B) y = 0.5cos[4π (t + x/8) + π/2] (cm) . (C) y = 0.5cos[4π (t + x/8) – π/2] (cm) . (D) y = 0.5cos[4π (t –x/8) + π/2] (cm) . 解： y (x,t ) = 0.5cos(ωt – kx + ϕ 0) 从图中看出： t = 0.25 s时， 由选项判断： ω = 4π 因此有： O 点的相位为 π/2
化简得：
25 π π y( x , t ) = 10 cos( 7 πt − x+ ) 3 3
12. 一平面简谐波在t=0 时刻的波形图如图，设频率 ν = 250Hz ，且此时 P 点的运动方向向下。求 1）该 波的波函数; 2） 求在距原点 O 为100m处质点的振 动方程与振动速度表达式. y(m) A 解：Qv p < 0 2A 2 ∴ 波向x 轴负向传播 读图得 λ=200m
对比得到： (1)
λ =0.3m A =0.02m， ν =100Hz，
u=λν =0.3×100=30 m/s
(2) 当 x =0.1m, t =0
2π ϕ =− 3
7.一横波的波函数为 y =0.02 cosπ(5x − 200 t )， 求：振幅、波长、频率、周期、波速。
解： 从物理意义上 y =0.02 cosπ(200t − 5x) 波长：t 时刻同一波线上相邻同相点间的距离
y = A cos( ωt + ϕ )
ϕ′ = ϕ + ω
u
1 ∴ ω ( t − ) + ϕ ′ = ωt + ϕ u
ω x y = A cos[ ω ( t + ) + + ϕ ] u u
9．一简谐波周期为T = 0.5s。波长λ＝10m，A=0.1 m，沿 x 轴 正方向传播。t = 0时，x = 2.5m处的质元正好通过平衡位置， 其速度 v < 0。求波函数 y 。
y B O A x
5. 当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论 哪个是正确的？ （Ａ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小， 总机械能守恒． （Ｂ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变 化，但二者的位相不相同． （Ｃ）媒质质元的振动动能和弹性势能的位相在任一时 刻都相同，但二者的数值不相等． （Ｄ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大．
波 动
Wave motion
物理量
波速、波长、角波数、波程差 波的能量、（平均）能量密度、能流、能流密度、波的强度
基本概念
横波、纵波、行波、驻波、平面波、球面波、柱面波 波面、波线、波前 简谐波、波函数 相干波、波的干涉、衍射、反射（半波损失）
基本方法 波的叠加 基本原理 波的独立性与叠加原理、惠更斯原理 典型运动 简谐波
14. 一简谐波沿 x 轴正向传播，λ=4m，T=4s。 已 知 x = 0 点振动曲线如图，求 1) x = 0点振动方程; 2）波函数。 −2 y ( 10 m) 2 解： 1) 该点振动方程 2 2 o 2 π t (s) yo = 2 × 10−2 cos( t + φ ) m − 2 4 读图 t= 0， x = 0点
O
y
由已知条件可得：t = 0时，x = 2.5m处的质元的相位为 π/2,有
10．如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s沿 x 轴负方 向传播，已知A点的振动方程为 y =3×10-2cos4πt (SI)。 (1) 以A点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A点5 m处的B点为坐标原点，写出波的表达式。 解： k =
o
−A
p x(m) 100m
x y = Acos[2π( 250t + ) +ϕ] 200