2014年上海市高考数学试卷(理科)解析

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2014上海高考数学(理)

2014高考数学【上海卷（理）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数()212cos 2y x =-的最小正周期是_________________.2. 若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1___________z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 3. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则抛物线的准线方程为___. 4. 设()()[)2,,,,,,x x a f x x x a ∈-∞⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩ 若()24f =，则a 的取值范围为_________________. 5. 若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为_________________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_____________.（结果用反三角函数值表示）7. 已知曲线C 的极坐标方程为()3cos 4sin 1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_______________.8. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim ,n n a a a a →∞=+++则__________q =.9. 若()2132f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是___________.10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随即选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_____________（结果用最简分数表示）.11. 已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则________a b +=.12. 设常数a 使方程sin x x a =在闭区间[]0,2π上恰有三个解123,,x x x ，则123________x x x ++=.13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____________.14.已知曲线:C x =直线:6l x =. 若对于点(),0,A m 存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=,则m 的取值范围为________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设,a b ∈R ，则“+4a b >”是“2a >且2b >”的（）.A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 817. 已知()111,P a b 与()222,Pa b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩ 的解的情况是（）.A. 无论12,,k P P 如何，总是无解B. 无论12,,k P P 如何，总有唯一解C. 存在12,,k P P ，使之恰有两解D. 存在12,,k P P ，使之有无穷多解18. 设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）. A. []1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. []0,2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图. 求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V .B1P 220. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数()22x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数()1y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12α=，18.45β=，求CD 的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点()()111222,,,P x y P x y ，记()()1122ax by c ax by cη=++++. 若0η<，则称点12P P 、被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. (1) 求证：点()()1,21,0A B -，被直线10x y +-=分隔；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点()0,2Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1113,,13n n n a a a n a *+≤≤∈=N .（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++，若1133n n n S S S+≤≤，n *∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.参考答案一、选择题1．π2【解析】()212cos 2cos4y x x =-=-，则π2T =. 【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解—公式法 2．6【解析】211516z z z z ⎛⎫+⋅=+=+= ⎪⎝⎭.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质 3．2x =-【解析】易知焦点为()2,0，则准线方程为2x =-. 【考点】圆锥曲线基本量 4．2a ≤【解析】由()24f =，可得224=，所以[)2,a ∈+∞得2a ≤，【考点】对分段函数概念的理解5．【解析】222x y +≥=【考点】基本不等式求最值 6．1arccos 3θ=【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成角为θ.由已知得：233rl r l r ππ=⇒=，则1cos 3r l θ==，所以1arccos 3θ=. 【考点】直线与平面所成角、反余弦函数、解三角形7．13【解析】10313θρρ=⇒=⇒= 【考点】极坐标的基本概念8【解析】由题意得231111a a q a q q==--且01q <<，则q =【考点】无穷递缩等比数列的各项和 9．()0,1【解析】首先注意定义域：()0,+∞；再由()0f x <得2132x x -<，作图即得结果为()0,1【考点】幂函数与数形结合10．115【解析】3108115P C ==. 【考点】古典概型 11．-1【解析】由已知可得()()()()()()()()()()222222,0,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,,,,a a a ba b or a b w w w w b b b a ⎧⎧==⎪⎪⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩由0ab ≠且互异，21a b w w +=+=-，其中12w =- 【考点】集合相等的含义、复数的运算 12．7π3【解析】三角方程sin x x a =在一个周期(]0,2π内的解至多有两个，所以原方程在闭区间[]0,2π恰有三个解可知，sin 0a =，即a =[]sin 0,2x x x π+=∈，可得12312370,,233x x x x x x πππ===⇒++=【考点】三角函数的图像和性质、三角方程 13．0.2【解析】设小白得1,2,3,5分的概率分别为[][]12351235,,,0,1,0,1p p p p p p p p ∈+++∈则()12312355512323415 4.20.2320.2p p p p p p p p p p p p +++----+=⇒=+++≥当1230p p p ===时等号成立. 【考点】数学期望另解：注意到()()4.24,5E ξ=∈.要使得得5分的概率最少，则小白得1,2,3分的概率为0，设小白得5分的概率为x ，则()415 4.20.2x x x -+=⇒= 14．23m ≤≤【解析】由已知得曲线C 为以原点为圆心，2为半径的左半圆. A 为P Q 、的中点. 设()6,Q n ，则()26,P m n --. 因为()26,P m n --在曲线C 上，则2260m -≤-≤即23m ≤≤. 【考点】向量与解析几何 15．B【解析】由“2a >且2b >”可以推出“+4a b >”；由“+4a b >”推不出“2a >且2b >”，故选B.【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件 16．A【解析】()1,2,i AP i =在AB 上的投影为AB ，所以()21,2,1i AB AP i AB ⋅===, 值只有一个.【考点】平面向量的数量积、向量的投影 17．B【解析】易得原点O 不在直线1y kx =+上，所以()()()111222,,0,0,,P a b P a b O 不在同一直线上，故向量1OP 与向量2OP 不平行，所以1221a b a b ≠，方程组有唯一解，故选B. 【考点】二元、三元线性方程组解的讨论 18．D【解析】当0x >时，()12f x x a a x=++≥+，()20f a =，所以[]221,2a a a +≥⇒∈-，当0x ≤时，()()2f x x a =-，二次函数对称轴为x a =，要使得0x =时有最小值，则0a ≥，综上[]0,2a ∈【考点】分段函数，二次函数的对称轴、单调性、最值，基本不等式 19．在△123PP P 中，13PA P A =，23P C P C =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. ……3分同理，234P P =，314P P =. 所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. ……6分设Q 是△ABC 中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ =. ……9分从而，13ABC V S PQ =⋅△. ……12分【考点】椎体体积的计算解析二：解析：（1）因为三棱锥P A B C -为正三棱锥，所以13,,3BAC ABC CBA P AB P AC π∠=∠=∠=∠=∠又因为13133BAC P AB P AC P AB P AC ππ∠+∠+∠=⇒∠=∠=，11,P A PB =故三角形1P AB 为等边三角形，同理可证三角形23,P BC P AC 为等边三角形，故1233PP P π∠=∠=∠=,所以123PP P ∆的各边长12231324PPP P PP AB ====（2）、由（1）易得该三棱锥是棱长为2的正四面体，如右图所示，过点P 作PO ABC ⊥面交平面ABC 于点O ，联结AO 并延长交BC 于H ，因为O 为底面正三角形的中心，所以2233233AO AH AB PO ==⋅===所以三棱锥P ABC -的体积为111233233V sh ==⋅⋅=20．(1) 因为2424x x y +=-，所以4(1)21x y y +=-， ……3分得1y <-或1y >，且24(1)log 1y x y +=-. 因此，所求反函数为124(1)()log 1x f x x -+=-，1x <-或1x >. ……6分 (2) 当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数； ……8分当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数； ……11分当0a >且1a ≠时，定义域22(,log )(log ,)a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数. ……14分【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论解析二：解析：（1）若4a =，则2424x x y +=-，()()2244441242421442log log 2111xx x x y y y y y y x y y y +++-=+⇒-=+⇒=⇒==+---所以()y f x =的反函数为()()()()121log 2,11,1x f x x x -+=+∈-∞-+∞-（2）、当0a =时，()()212xx f x x R ==∈，()f x 是偶函数当0a ≠时，则0a >，()22x x af x a+=-，因为220log x a x a -≠⇒≠，所以函数()f x 定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞，当()()0,11,a ∈+∞时，2log 0a ≠，函数()f x 定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，当1a =时，()()21021x x f x x +=≠-，因为()()()()()()()()()()21212121212100212121212121x x x xx x x x x x x xf x f x ------+-+-+++-+=+===------所以函数()f x 为奇函数。

2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=6．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos （结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=8．（4分）设无穷等比数列{a．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a=（a3+a4+…a n）1=（﹣a﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l 分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求求出S n分别代入不等式S n≤S n+1出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n≤3S n，即，+1∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，当时，≤3S n，即，，S n≤S n+1∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n（3q﹣1）﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．（3）设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k 的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。

2014年上海市高考数学试卷(理科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年上海市普通高等学校招生统一考试数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=．
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线
的准线方程．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为
（结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．
8．（4分）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…ａn），则q=．
9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．
14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在
C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．
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2014年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（理科）及参考答案满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是．2、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位, 则1z z z ⎛⎫+•= ⎪⎝⎭ ．3、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为．4、设2, (,),(), [,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =, 则a 的取值范围为．5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为．6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(431lim n n a a aa +++=∞→ , 则q = .9、若2132()f x x x-=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是．10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b += ．12、设常数a 使方程a x x =+cos 3sin 在闭区间[0,2π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= .13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为．14、已知曲线24:y x C --=, 直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP , 则m 的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱, )8,,2,1( =i P i 是上底面上其余的八个点, 则)8,,2,1( =⋅i AP AB i 的不同值的个数为 (A) 1(B) 2(C) 4(D) 817、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是(A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1, 0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 (A) [1,2]- (B) [1,0]-(C) [1,2] (D) [0,2]三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0a ≥, 函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;（2）根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 (理科)解析版

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）考生注意：1、本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2、本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸正面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、函数._______)2(cos 212的最小正周期是x y -=【答案】2π【解析】2π4π2∴4cos -)2(cos 2-12====T x x y 周期 2、若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛_z 1 +z z ⋅=___________.【答案】6【解析】61)41(11(∴21=++=+=•++=z z z zz i z 3、若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.【答案】x=-2【解析】2-2-)0,2(2)0,2(159222==∴=∴=+x x px y y x 所以，是其准线方程为焦点为右焦点为 4、设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.【答案】]2,∞-(【解析】]2,∞-(.2≤),∞,[∈2∴4)2(所以，是解得a a f += 5、若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22,2222≥22y ∴1222222所以，是=•+=+=xx x x x xy 6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

2014上海高考理科数学试题解析(完美WORD)

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1. 本试卷共4页，23道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. （2014）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【解析】：原式＝cos 4x -，242T ππ== 2. （2014）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭. 【解析】：原式＝211516z z z ⋅+=+=+=3. （2014）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 .【解析】：椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =- 4. （2014）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为 .【解析】：根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤5. （2014）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 .【解析】：2222x y x +≥⋅=6. （2014）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴23r R r ππ⋅⋅=⋅，即3R r =，∴1cos 3θ=，即母线与底面夹角大小为1arccos 37. （2014）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .【解析】：曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为138. （2014）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134l i m n n a a a a →∞=+++，则q = .【解析】：223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q =9. （2014）若2132()f x x x-=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是 .【解析】：2132()0f x x x -<⇒<，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)10. （2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）. 【解析】：3108115P C == 11. （2014）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b=，则a b += .【解析】：第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-；12. （2014）设常数a 使方程s i n c o s x x a =在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .【解析】：化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =即12370233x x x πππ++=++=P 2P 5P 6P 7P 8P 4P 3P 1BA13. （2014）某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分. 若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为 .【解析】：设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥14. （2014）已知曲线:C x =，直线:6l x =. 若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .【解析】：根据题意，A 是PQ 中点，即622P QP x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. （2014）设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）(A) 充分条件.(B) 必要条件.(C) 充分必要条件.(D) 既非充分又非必要条件.【解析】：B16. （2014）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（） (A) 1.(B) 2.(C) 4.(D) 8.【解析】：根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，∴选A17. （2014）已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组11221,1a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）(A) 无论12,,k P P 如何，总是无解. (B) 无论12,,k P P 如何，总有唯一解. (C) 存在12,,k P P ，使之恰有两解.(D) 存在12,,k P P ，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a b D a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，选B 18. （2014）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）(A) [1,2]-.(B) [1,0]-.(C) [1,2].(D) [0,2].【解析】：先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项；∴选D ；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （2014）(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .【解析】：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒，∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=︒，∴160P ∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，P 12AβCBαD∴△123PP P 是等边三角形，P ABC -是正四面体，所以△123PP P 边长为4；∴3V AB ==20.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.(1) 若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；(2) 根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y fx x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞ （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x a aa a--++=--，整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函数若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x a aa a--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数21.（2014） (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米. 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1) 设计中CD 是铅垂方向. 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？(2) 施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD的长（结果精确到0.01米）.【解析】：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ==，∵202παβ>≥>，∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-，∴2221608035640016400xx x x x ≥=--，解得028.28x <≤≈，∴CD 的长至多为28.28米（2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=︒--=︒，则sin sin a AB ADB α=∠，解得115sin 38.1285.06sin123.43a ︒=≈︒，∴26.93m ≈，∴CD 的长为26.93米22. （2014）(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++. 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割. 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线.(1) 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；(2) 若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；(3) 动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E . 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.【解析】：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-⨯--=-< ∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割（2）联立2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解，∴2140k -≤，∴12k ≤-或12k ≥ （3）设(,)M x y1=，∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ①当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<， ∴0x =是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=，令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根， ∴y kx =与曲线E 有公共点∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线23. （2014）(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =.(1) 若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围； (2) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++. 若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围； (3) 若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【解析】：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤；（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤ 当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---， ∴111331n n q q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >， ∴132(31)2220n n n n qq q q q +--=-->->，对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立， ∴12q <≤当113q ≤<时，11nn q S q-=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n nq q q q q q+---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-< ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=-->∴113q ≤<时，不等式恒成立综上，q 的取值范围为123q ≤≤（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解， ∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---， ∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=， ∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯。

2014年上海市夏季高考数学真题(理科)试卷含答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1()z z+z ⋅=___________.3. 若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞→a a a n ，则q= .9. 若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的x 取值范围是 .10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .12. 设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→→i AP AB i 的不同值的个数为（）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)817. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解18. ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2]三．解答题（本大题共5题，满分74分） 19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面学科网展开图是三角形321p p p ，如图，求△321p p p 的各边长及此三棱锥的体积V .zxxk20.（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。

2014年上海市高考数学试卷理科

实用文档文案大全2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_________4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是_________8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=_________13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_________二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）第2页共 9 页 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件要条件非充分又必要条16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 417．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A． [﹣1，2] B． [﹣1，0] C． [1，2] D． [0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．第3页共 9 页21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．第4页共 9 页2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=63．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣24．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为26．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣112．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.214．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）（2014?上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非第5页共 9 页必要条件解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，，则必a+，即必要性成立故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）（2014?上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）解答解：如图建立空间直角坐标系2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），P8（0，2，1），，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），易得?=1（i=1，2，…，8），∴?（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选A．17．（5分）（2014?上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）解答：解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．18．（5分）（2014?上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）解答：解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，第6页共 9 页故选：D．点评：本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）（2014?上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC 是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==20（14分）（2014?上海）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．解答：解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，第7页共 9 页此时f（x）=，满足条件；综上所述a=时）是偶函数a=时）是奇函数点评本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题21．（14分）（2014?上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．解答解）C的长米，tatataαtanta解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．（2）设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．22．（16分）（2014?上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．分析：（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．第8页共 9 页（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答）证明：把点（）分别代x+1可得1+（∴点（）被直x+1=分隔（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或 k≥．（3）证明：设点M（x，y），则?|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，）=有实数解，y=k有公共点y=k不的分隔线∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线的分隔线23．（16分）（2014?上海）已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．分析：（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差．解答：解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6 （2）由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，第9页共 9 页∴不等，3n+2=3）2对于不等n+3+，n=3q+解，又n+3+2=++2成立时n+3，∴此不等式33n+2=3）2n+3+2=++2）0时，不等式恒成立上的取值范围）的公差．，=n=时，n=时，，所所1000=，2000k+1001999所的最大值199k=199时的公差。

2014年上海市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年上海市高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、填空题〔共14题，总分值56分〕1．〔4分〕〔2014•上海〕函数y=1﹣2cos2〔2x〕的最小正周期是．考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．解答：解：y=1﹣2cos2〔2x〕=﹣[2cos2〔2x〕﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：点评：此题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．〔4分〕〔2014•上海〕假设复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•=6．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．解答：解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则〔z+〕•==〔1+2i〕〔1﹣2i〕+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6点评：此题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．〔4分〕〔2014•上海〕假设抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设中的条件y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程解答：解：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是〔2，0〕，又y2=2px〔p＞0〕的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2点评：此题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．〔4分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔2〕=4，则a的取值范围为〔﹣∞，2]．考点：分段函数的应用；真题集萃．专题：分类讨论；函数的性质及应用．分析：可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．解答：解：当a＞2时，f〔2〕=2≠4，不合题意；当a=2时，f〔2〕=22=4，符合题意；当a＜2时，f〔2〕=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：〔﹣∞，2]．点评：此题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，此题是一道基础题．5．〔4分〕〔2014•上海〕假设实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2点评：此题考查基本不等式，属基础题．6．〔4分〕〔2014•上海〕假设圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos〔结果用反三角函数值表示〕．考点：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．解答：解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下列图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos点评：此题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C的极坐标方程为ρ〔3cosθ﹣4sinθ〕=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；坐标系和参数方程．分析：由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．解答：解：由题意，θ=0，可得ρ〔3cos0﹣4sin0〕=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．点评：正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．〔4分〕〔2014•上海〕设无穷等比数列{a n}的公比为q，假设a1=〔a3+a4+…a n〕，则q=．考点：极限及其运算．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．解答：解：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=〔a3+a4+…a n〕=〔﹣a1﹣a1q〕=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=〔舍〕．故答案为：．点评：此题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．〔4分〕〔2014•上海〕假设f〔x〕=﹣，则满足f〔x〕＜0的x的取值范围是〔0，1〕．考点：指、对数不等式的解法；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用已知条件转化不等式求解即可．解答：解：f〔x〕=﹣，假设满足f〔x〕＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：〔0，1〕．故答案为：〔0，1〕．点评：此题考查指数不等式的解法，函数的单调性的应用，考查计算能力．10．〔4分〕〔2014•上海〕为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是〔结果用最简分数表示〕．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．解答：解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是〔1，2，3〕，〔2，3，4〕，〔3，4，5〕，〔4，5，6〕，〔5，6，7〕，〔6，7，8〕，〔7，8，9〕，〔8，9，10〕，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．点评：此题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．〔4分〕〔2014•上海〕已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=﹣1．考点：集合的相等．专题：集合．分析：根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．解答：解：根据集合相等的条件可知，假设{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．假设b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决此题的关键，注意要进行分类讨论．12．〔4分〕〔2014•上海〕设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=．考点：正弦函数的图象；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin〔x+〕的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．解答：解：sinx+cosx=2〔sinx+cosx〕=2sin〔x+〕=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin〔x+〕=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：点评：此题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．〔4分〕〔2014•上海〕某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，假设E〔ξ〕=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．解答：解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E〔ξ〕=4.2，∴4〔1﹣x〕+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．点评：此题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．〔4分〕〔2014•上海〕已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，假设对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．解答：解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[﹣2，0]，对于点A〔m，0〕，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．点评：此题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题〔共4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．〔5分〕〔2014•上海〕设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．解答：解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，假设a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．点评：此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决此题的关键，比较基础．16．〔5分〕〔2014•上海〕如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i〔i=1，2，…8〕是上底面上其余的八个点，则•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为〔〕A．1B．2C．3D．4考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．解答：解：=，则•=〔〕=||2+，∵，∴•=||2=1，∴•〔i=1，2，…，8〕的不同值的个数为1，故选A．点评：此题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．〔5分〕〔2014•上海〕已知P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是〔〕A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解考点：一次函数的性质与图象．专题：函数的性质及应用；直线与圆．分析：判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．解答：解：P1〔a1，b1〕与P2〔a2，b2〕是直线y=kx+1〔k为常数〕上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：〔a1b2﹣a2b1〕x=b2﹣b1，即〔a1﹣a2〕x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．点评：此题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解额指数的应用．18．〔5分〕〔2014•上海〕设f〔x〕=，假设f〔0〕是f〔x〕的最小值，则a的取值范围为〔〕A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，析：得﹣1≤a≤2，问题解决．解答：解；当a＜0时，显然f〔0〕不是f〔x〕的最小值，当a≥0时，f〔0〕=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．点评：此题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题〔共5题，总分值72分〕19．〔12分〕〔2014•上海〕底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其外表展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．解答：解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P﹣ABC==点评：此题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．〔14分〕〔2014•上海〕设常数a≥0，函数f〔x〕=．〔1〕假设a=4，求函数y=f〔x〕的反函数y=f﹣1〔x〕；〔2〕根据a的不同取值，讨论函数y=f〔x〕的奇偶性，并说明理由．考点：反函数；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：〔1〕根据反函数的定义，即可求出，〔2〕利用分类讨论的思想，假设为偶函数求出a的值，假设为奇函数，求出a的值，问题得以解决．解答：解：〔1〕∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕．〔2〕假设f〔x〕为偶函数，则f〔x〕=f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=，整理可得a〔2x﹣2﹣x〕=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f〔x〕=1，x∈R，满足条件；假设f〔x〕为奇函数，则f〔x〕=﹣f〔﹣x〕对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f〔x〕=，满足条件；综上所述，a=0时，f〔x〕是偶函数，a=1时，f〔x〕是奇函数．点评：此题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．〔14分〕〔2014•上海〕如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．〔1〕设计中CD是铅垂方向，假设要求α≥2β，问CD的长至多为多少〔结果精确到0.01米〕？〔2〕施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长〔结果精确到0.01米〕．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：〔1〕设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．〔2〕利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．解答：解：〔1〕设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米．〔2〕设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米．点评：此题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决此题的关键．22．〔16分〕〔2014•上海〕在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，记η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，假设η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，假设曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．〔1〕求证：点A〔1，2〕，B〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔；〔2〕假设直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；〔3〕动点M到点Q〔0，2〕的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．考点：直线的一般式方程；真题集萃．专题：计算题；直线与圆．分析：〔1〕把A、B两点的坐标代入η=〔ax1+by1+c〕〔ax2+by2+c〕，再根据η＜0，得出结论．〔2〕联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．〔3〕设点M〔x，y〕，与条件求得曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．由于y 轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．解答：〔1〕证明：把点〔1，2〕、〔﹣1，0〕分别代入x+y﹣1 可得〔1+2﹣1〕〔﹣1﹣1〕=﹣4＜0，∴点〔1，2〕、〔﹣1，0〕被直线x+y﹣1=0分隔．〔2〕解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得〔1﹣4k2〕x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或k≥．曲线上有两个点〔﹣1，0〕和〔1，0〕被直线y=kx分隔．〔3〕证明：设点M〔x，y〕，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+〔y﹣2〕2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1〔1，2〕、P2〔﹣1，2〕为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×〔﹣1〕=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．假设过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+〔y﹣2〕2]x2=1，可得[x2+〔kx﹣2〕2]x2=1，令f〔x〕=[x2+〔kx﹣2〕2]x2﹣1，∵f〔0〕f〔2〕＜0，∴f〔x〕=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．点评：此题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．〔16分〕〔2014•上海〕已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1．〔1〕假设a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；〔2〕设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，假设S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围．〔3〕假设a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差．考等比数列的性质；数列的求和．点：等差数列与等比数列．专题：分〔1〕依题意：，又将已知代入求出x的范围；析：〔2〕先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q 的范围．〔3〕依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k 的公差．解解：〔1〕依题意：，答：∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6〔2〕由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立．当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＞2q n﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n+2≤0，令n=1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≤q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3q n+1﹣q n﹣2=q n〔3q﹣1〕﹣2＜2q n﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n〔q﹣3〕+2≥q〔q﹣3〕+2=〔q﹣1〕〔q﹣2〕＞0∴时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：．〔3〕设a1，a2，…a k的公差为d．由，且a1=1，得即当n=1时，﹣≤d≤2；当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为﹣．点评：此题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决此题的关键，属于一道难题．。

2014年上海卷高考数学试题详解

2014年上海卷高考数学试题详解一、填空题【1】（A ，上海，理1）函数212cos (2)y x =-的最小正周期是______. 考点名称：三角恒等变形【1】（A ，上海，理1）2π解析：因212cos (2)1(1cos4)y x x =-=-+=cos 4x -，所以2T π=.【2】（A ，上海，理2）若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=________. 考点名称：复数【2】（A ，上海，理2）6 解析：11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.【3】（A ，上海，理3）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.考点名称：圆锥曲线及其标准方程【3】（A ，上海，理3）2x =-解析：因椭圆22195x y +=的2c =，所以22p =，所以抛物线的准线方程为2x =-.【4】（A ，上海，理4）设2,(,),(),[,.x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为_____.考点名称：函数的概念及其性质【4】（A ，上海，理4）2a ≤解析：因2(2)42f ==，所以2[,)a ∈+∞，即2a ≤.【5】（A ，上海，理5）若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为_____. 考点名称：不等式及其性质【5】（A ，上海，理5）解析：2222122x y y y+=+≥【6】（A ，上海，理6）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为_______（结果用反三角函数值表示）. 考点名称：空间几何体【6】（A ，上海，理6）1arccos3解析：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，母线与底面所成的角为θ，由已知得21232r l r ππ⋅⋅=，1cos 3r l θ==，1arccos 3θ=.【7】（A ，上海，理6）已知曲线C 的极坐标方程为(3cos ρθ-4sin )1θ=，则C 与极轴的交点到极点的距离是_____.考点名称：极坐标系与参数方程【7】（A ，上海，理6）13解析：法1把极坐标方程化成直角坐标方程得341x y -=，令0y =得13x =，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13. 法2 令0θ=得13ρ=，所以C 与极轴的交点到极点的距离是13.【8】（B ，上海，理8）设无穷数列{}n a 的公比是q .若134lim()n n a a a a →∞=+++，则q =______.考点名称：数列极限【8】（B ，上海，理8解析：2334(1)lim()lim 1n n n n a q a a a q -→∞→∞-+++=-221111lim .11n n a q a q a q a q q→∞-===--解得q =.【9】（B ，上海，理9）缺题【9】（B ，上海，理9）【10】（B ，上海，理10）为强化安全意识，某商场拟在未来连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择3天恰好为连续3天的概率是_______（结果用最简分数表示）. 考点名称：概率【10】（B ，上海，理10）115解析：总的事件数为310C ，发生事件数为1,2,3;2,3,4;;8,9,10公有8种，故所求概率为：3108115C =.【11】（B ，上海，理11）已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合22{,}{,}a b a b =，则a b +=______. 考点名称：复数【11】（B ，上海，理11）-1解析：法1 若22,,a a b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 则0,1,0,1,a a b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩0,1,1,0,a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩（舍）；若22,,a b b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩则4a a =，那么0a =（舍）或1a =（舍）或121,22a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或121,22a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩1a b +=-. 综合上述，1a b +=-.法2 4a a =， 321=(1)(1)a a a a --++0=，因1a ≠，所以21a a +=-，即 1a b +=-.【12】（B ，上海，理12）设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2]π恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++=_____.考点名称：三角函数及图像【12】（B ，上海，理12）73π解析：方程sin x x a =，即2sin()3a x π=+，作图可知在闭区间[0,2]π恰有三个解当且仅当1a =，此时1230,,3x x x π===1237.3x x x π++=【13】（B ，上海，理13）某游戏得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏得分，若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为_____. 考点名称：统计【13】（C ，上海，理13）0.2解析: 各分数对应的概率非负是隐含条件，要充分利用.法1 设得分为1,2,3,4,5的概率分别为12,,p p 3p ，45,p p ，因12p p +3p ++451p p +=且122p p +33p ++4545p p +=4.2，所以54.25p -=122p p +33p ++44p 123454()4(1)p p p p p ≤+++=-，50.2p ≥. 法2 123451p p p p p ++++=， ① 123452345 4.2p p p p p ++++=， ②① ×6- ②1234554326 4.2 1.8p p p p p ++++=-= 12345554322 1.8p p p p p p ++++=+，即1235232 1.8p p p p +++=+，51230.2320p p p p -=++≥，0.2p ≥.二、选择题【14】（C ，上海，理14）已知曲线:C x = 直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P和 l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为______. 考点名称：交汇与整合（向量与解析几何）【14】（C ，上海，理14）[2,3]m ∈ 解析：法1设3(2cos ,2sin ),[,]22P ππθθθ∈，(6,)Q n .则(2cos 62,2sin )0AP AQ m n θθ+=+-+=， 2cos 620,2sin 0.m n θθ+-=⎧⎨+=⎩则cos m θ=3[2,3].+∈ 法 2 由0AP AQ +=得AP AQ =-，表明点,P Q 关于点A 对称，设(6,)Q n ，则(26,)P m n --在半圆上，则260m -=≤，3m ≤.又当,P Q 在x 轴上时，2m =，所以[2,3].m ∈二、选择题【15】（A ，上海，理15若,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（） A ．充分非必要条件 B.必要非充分条件 C ．充要条件 D.既非充分也非必要条件考点名称：常用逻辑关系【15】（A ，上海，理15）B解析：由同向不等式可以相加的性质知：由2a >且2b >可得4a b +>，但反之不真，故选B.【16】（B ，上海，理16）如图，四个棱长为1的正方体拼成一个正四棱柱，(1,2,,8)i P i =是上底面上的八个点，则i AB AP ⋅(1,2,,8)i =不同值的个数为（）A.1B. 2C. 4D. 8考点名称：交汇与整合（向量与立体几何）【16】（B ，上海，理16）A解析：因||1AB =，所以要求||i AP 以及AB 与i AP (1,2,,8)i =的夹角.由图可知13||||2AP AP ==，1cos BAP∠=3cos BAP ∠=13|1AB AP AB AP ⋅=⋅=. 同理可得其余|||1i AB AP ⋅=，故选A. 法2 因i AB BP ⊥，所以0i AB BP ⋅=.又i i AP AB BP =+，从而()i i AB AP AB AB BP ⋅=⋅+221i AB AB BP AB =+⋅==.法3 以A 为原点，AB 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1),(,,1)i AB AP x y ==，其中,x y 为0，1，2中的某数，则 1i AB AP ⋅=.【17】（C ，上海，理17）已知11(,)P a b 与22(,)P a b 是直线1y kx =+ （k 为常数）上的不同两个点，则关于x 和y 的方程组 11221,1.a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）A ．无论k 、1P 、2P 如何，总是无解 B.无论k 、1P 、2P 如何，总有唯一解 C. 存在k 、1P 、2P ，使之恰有两解 D.存在k 、1P 、2P ，使之有无穷多组解考点名称：直线【17】（C ，上海，理17）B解析：把11(,)P a b 代入直线y kx b =+得111b ka =+，即111ka b -+=. 同理可得221ka b -+=.若0k ≠，则,1x k y =-=是方程组11221,1.a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的唯一解.若0k =，则12b b =，由此可得12a a =，与已知矛盾，选B.【18】（C ，上海，理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 取值范围为（）A ．[1,2]- B.[1,0]- C. [1,2] D. [0,2] 考点名称：函数的概念与性质【18】（C ，上海，理18）D解析：本题中变量是x ，参数是a ，要根据变量的范围讨论参数.当0x ≤时，若0a <，则()f x 的最小值为()f a ，不满足题意，故0a ≥，此时()f x 在(,0]-∞的最小值为2(0)f a =，而在(0,)+∞上1()2f x x a a x=++≥+，故此时()f x 的最小值为2a +. 由题意，22a a +≥，解得12a -≤≤，又0a ≥，所以[0,2]a ∈，选D.三、解答题【19】（A ，上海，理19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V . 考点名称：空间几何体解析: 依题意：123PP P ∆是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体P ABC -（如图）.设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ，则D为AC 中点，O 为ABC ∆的重心，PO ⊥底面ABC .AO AB PO ====13P ABC ABC V S PO -∆=⋅⋅=【20】（A ，上海，理20）设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-.（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由. 考点名称：指对数函数【20】（A ，上海，理20）解析：（1）由2424x x y +=-得4(1)21x y y +=-，取对数212log 1y x y +=+-，对调,x y得121()2log ,1x fx x -+=+-(,1)(0,)x ∈-∞-+∞. （2）判断函数奇偶性常用定义，有时也可通过()()0f x f x -+=或()()0f x f x --=来判断奇偶性. 法1 若0a =，()1f x =对x ∈R 恒成立，()y f x =是偶函数.若0a >，212()212x xx xa a f x a a --++⋅-==--⋅，当且仅当1a =时，()()f x f x -=-，()y f x =是奇函数.当0a ≠且1a ≠时，定义域为{2log ,}x x a x R ≠∈，定义域不关于原定对称，故()y f x =为非奇非偶函数法2若0a >，()()0f x f x -+=，则2120212x xxxa a a a --++⋅+=--⋅，整理得(2)(1)21x a a a +⋅-⋅=-. 因0a >，所以1a =，()y f x =是奇函数. 【21】（B ，上海，理21）如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为βα和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求βα2≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后.CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得，， 45.1812.38==βα求CD 的长（结果精确到0.01米）？考点名称：解三角形【21】（B ，上海，理21）解析：（1）设CD h =，则tan ,tan 3580h hαβ==. 因2αβ≥，所以22tan tan tan 21tan βαββ≥=-，即2280351()80h h h ⋅≥-，28.28h ≤=≈（米）. （2）018038.1218.45123.43ADC ∠=--=，在ACD !中，sin sin AB AD ADC ABD =∠∠，0sin 115sin18.45sin sin123.43AB ABD AD ADC ⋅∠⋅==≈∠ 43.61. ACD !中，DC =26.93≈.【22】（C ，上海，理22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线. 考点名称：直线与圆锥曲线【22】（C ，上海，理22）解析：理解点被直线分隔、直线为曲线的一条分隔线是解题的关键.（1）、（2）只需直接用题设的定义即可.(1) 因(121)(12)0+-⋅--<，所以又定义知，点A 、B 被直线10x y +-=分隔. (2) 双曲线的渐近线为12y x =±，当12k ≤-或12k ≥时，把y kx =代入双曲线2241x y -=得 22(14)1k x -=.因2140k -≤，故上述方程无实数解，即直线y kx =与双曲线2241x y -=不相交，又存在两点(1,0),(1,0)-满足20k η=-<，根据分隔线的定义，12k ≤-或12k ≥. （3）法1设(,)M x y ，根据题设得E||1x =(0)x ≠ .因0x =不满足上述方程，且以x -代x 上述方程不变知曲线关于y 对称，所以直线0x =是E 的一条分隔线.若y kx =是E 的另一条分隔线，代入E 的方程得222[(2)]1x kx x +-⋅=.要直接证明这个方程有解是困难的，变形为2221(2)x kx x +-=，记221(2)y x kx =+-，221y x =，则1y 是开口向上的二次函数，2y 是关于y 轴对称的幂函数，它们总有交点，即直线y kx =与E 有交点，与分隔线的定义矛盾.所以E 有且仅有一条分隔线0x =. 法2 （数形结合法）曲线E ：(,)10F x y x =-=满足：由(,)(,)F x y F x y -=知，曲线E 关于y 轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =-知，曲线E 关于y =2轴对称；由(,)(,4)F x y F x y =--知，曲线E 关于点(0,2)轴对称；222110(2)=0x y x x-=⇒--≥，[)(]1,00,1,x ∈-取曲线E 在y 右侧且20x →时y 趋于无穷大，可得y 轴为曲线E 的渐进性，得曲线E 上点的纵坐标范围为y R ∈，数形结合可得曲线E上任意一点与原点连线的斜率范围为R ，即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分隔线.即通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分隔线.法3 （函数方程思想）对于任意一条直线()y a a R =∈与曲线E：(,)10F x y x =-=，由(),10.y a a R x =∈⎧-=得422(2)10x a x +--=，令2t x =，得22(2)10t a t +--=.因2(2)40a ∆=-+>恒成立，且1210t t =-<，所以方程有正实数解0t ，存在与之相应的00x ≠，从而在E 上存在00(,)x y ，其与原点连线的直线斜率存在.即过原点而斜率存在的直线一定与曲线E 相交，故都不是曲线E 的分隔线. 所以，通过原点的直线中，有且仅有一条直线y 轴是E 的分隔线. 【23】（A ，上海，理23）已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=. （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是公比为q 等比数列，12n n S a a a =+++，113,*,3n n n S S S n N +≤≤∈求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.考点名称：数列的综合应用【23】（A ，上海，理23）解析：（1）由条件可得1232,3133,3x x x ⎧⋅≤≤⋅⎪⎪⎨⎪⋅≤≤⎪⎩ 26,33,x x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩ 36x ≤≤.（2）法1 求公比q 的取值范围，应该是越小越准确.首先要考虑1n =的情况，其次用求和公式还要考虑公比q 是否为1.当1n =时，12112113,313,3a a a S S S ⎧⋅≤≤⋅⎪⎪⎨⎪⋅≤≤⎪⎩13,3113,3q q ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤+≤⎪⎩ 123q ≤≤. 当2n ≥时，若1q =，则133n n n ≤≤恒成立. 若1q ≠，则1111(1)(1)(1)13.3111n n n a q a q a q q q q +---⋅≤≤⋅--- 若10q ->，则113(1)9(1)n n n q q q +-≤⋅-≤⋅-，即19(1)n n q q -≤⋅-，所以1n q ≤.又123q ≤≤以及10q ->，所以11.3q ≤< 若10q -<，113(1)9(1)n n n q q q +-≥⋅-≥⋅-，1q >，又123q ≤≤，所以12q <≤. 综合上述，123q ≤≤. 法2 由已知得11111120,,32.3,n n n n n n n n S a S S a S S S +++++⎧+≥≤⎧⎪⎨⎨≤⎩⎪≤⎩ 11112320,1113220.11n n n n n n n n q q q q q q q q q q q q +++⎧-+-⋅+=≥⎪--⎪⎨--+⎪-⋅=≤⎪--⎩①当1[,1)3q ∈时，(3)2,(31) 2.n n q q q q ⎧-≤⎨-≤⎩因nq q ≤，所以对*n N ∈，max [(3)](3)n q q q q -=-，max[(31)](31)n q q q q -=-，所以11(3)2,(31) 2.q q q q ⎧-≥-⎨-≤⎩ 解得1[,1)3q ∈.②当(1,3]q ∈时，(3)2,(31) 2.n n q q q q ⎧-≥⎨-≥⎩，因n q q ≤，所以对*n N ∈，min [(3)](3)nq q q q -=-，min[(31)](31)nq q q q -=-，所以，(3)2,(31) 2.q q q q -≥⎧⎨-≥⎩解得(1,2]q ∈. 综合上述，1[,2]3q ∈.法2 （3）设公差为d ，当1n =时，1133d ≤+≤，223d -≤≤. 当2n ≥时，由已知得1[1(1)]13[1(1)]3n d nd n d +-≤+≤+-，(23)2,(21) 2.d n d n -≥-⎧⎨+≥-⎩2[,2]21d n ∈-+. 因121000k a a a +++=下标最大值为k ，所以1k n =+，2121n k +=-，故2[,2]21d k ∈-- 由121000k a a a ++=得(1)10002k k d k -+=，220002k d k k -=-，所以2200022[,2]21k k k k -∈---， 22200022,21200022,kk k k k k k -⎧≥-⎪⎪--⎨-⎪≤⎪-⎩22200010000,1000.k k k ⎧-+≤⎪⎨≥⎪⎩ 解得321999,k ≤≤k N *∈，所以k 的最大值为1999，此时公差为11999d =-. 【22】（C ，上海，文22）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔；⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求E 的方程，并证明y 轴为E 的分割线.考点名称：直线与圆锥曲线解法同理科【23】（C ，上海，文23）已知数列{}n a 满足1113,*,13n n n a a a n N a +≤≤∈=.11 （1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）若{}n a 是等比数列，且11000n a = ，求正整数m 的最小值，以及m 取最小值时相应{}n a 的公比；（3）若12100,,,a a a 成等差数列，求数列12100,,,a a a 的公差的取值范围. 考点名称：数列的综合应用【23】（C ，上海，文23）解析：（1）解法同理科（2）因11a =，11000n a =，所以1q < ，同理科可得113q ≤<.由已知 131101000m m a q --===，*m N ∈，所以 (1)lg 3m q -=-，3110m q -=，从而3111013m -≤<，31lg3m ≥+，min 8m =，此时3710q -=.（3）同理科12k a a a +++，有2[,2]21d k ∈--，当100k =时，2[,2]199d ∈-.。

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(上海卷带解析)答案解析

2014年全国普通高等学校招生统一考试理科（上海卷）
数学答案解析
1、
【答案】
【解析】由题意，
【考点】三角函数的周期.
2、
【答案】6
【解析】由题意
【考点】复数的运算.
3、
【答案】 .
【解析】椭圆的右焦点为，因此，，准线方程为 .
【考点】椭圆与抛物线的几何性质合题意，因此，此时时，，满足 .
试题解析：（1）由题得，，∴ 被直线分隔.
（2）由题得，直线与曲线无交点
即无解
∴ 或，∴ .
又对任意的，点和在曲线上，满足，被直线分隔，所以所求的范围是．
（3）由题得，设，∴ ，
化简得，点的轨迹方程为
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为 .
联立方程， .
令，因为，
所以方程有实解，直线与曲线有交点．直线不是曲线的分隔线．
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为 .
显然与曲线没有交点，又曲线上的两点对于直线满足，即点被直线分隔．所以直线是分隔线．
试题解析：（1）由，解得，从而，
∴ ，
∵ 且
∴①当时，，
∴对任意的都有，∴ 为偶函数
②当时，，，
∴对任意的且都有，∴ 为奇函数
③当且时，定义域为，
∴定义域不关于原定对称，∴ 为非奇非偶函数
【考点】反函数，函数奇偶性．
21、
【答案】（1）米；（2）米．
【解析】
试题分析：这属于解三角形问题，条件可转化为，即，而可用的长表示出来，从而得到关于的不等式，解之可得所求结论；（2）根据已知条件，要求的长，可在或中解得，由此要求得或的长，然后利用余弦定理，求得，而或两边要中，可用正弦定理求得．

2014年上海市高考数学试卷(理科)

2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= ．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．8．（4分）设无穷等比数列{an }的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x 2，x3，则x1+x2+x3= ．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．417．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．20．（14分）设常数a ≥0，函数f （x ）=．（1）若a=4，求函数y=f （x ）的反函数y=f ﹣1（x ）；（2）根据a 的不同取值，讨论函数y=f （x ）的奇偶性，并说明理由． 21．（14分）如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设点A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD 的长（结果精确到0.01米）．22．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线x+y ﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2﹣4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线． 23．（16分）已知数列{a n }满足a n ≤a n+1≤3a n ，n ∈N *，a 1=1．（1）若a 2=2，a 3=x ，a 4=9，求x 的取值范围；（2）设{a n }是公比为q 的等比数列，S n =a 1+a 2+…a n ，若S n ≤S n+1≤3S n ，n ∈N *，求q 的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．2014年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14题，满分56分）1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是．【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）=﹣[2cos2（2x）﹣1]=﹣cos4x，∴函数的最小正周期为T==故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•==（1+2i）（1﹣2i）+1=1﹣4i2+1=2+4=6．故答案为：6【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程x=﹣2 ．【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．故答案为：x=﹣2【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2] ．【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；∴a≤2，故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为2．【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．【解答】解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2【点评】本题考查基本不等式，属基础题．6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．7．（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是．【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离．【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=．故答案为：．【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．8．（4分）设无穷等比数列{an }的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=．【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，a 1=（a3+a4+…an）=（﹣a1﹣a1q）=，∴q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．故答案为：．【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．9．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1）．【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，∵互异的复数a，b，∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x 2，x3，则x1+x2+x3= ．【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可．【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=．故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质．运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题．13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为0.2 ．【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果．【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E（ξ）=4.2，∴4（1﹣x）+5x=4.2，解得x=0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用．14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3] ．【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x∈P [﹣2，0]，对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3]．故答案为：[2，3]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的Pi不同值的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案．【解答】解：=，则•=（）=||2+，∵， ∴•=||2=1， ∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，故选：A ．【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段．17．（5分）已知P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组的解的情况是（）A ．无论k ，P 1，P 2如何，总是无解B ．无论k ，P 1，P 2如何，总有唯一解C ．存在k ，P 1，P 2，使之恰有两解D ．存在k ，P 1，P 2，使之有无穷多解【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a 1，b 1，P 2，a 2，b 2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P 1（a 1，b 1）与P 2（a 2，b 2）是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在， ∴k=，即a 1≠a 2，并且b 1=ka 1+1，b 2=ka 2+1，∴a 2b 1﹣a 1b 2=ka 1a 2﹣ka 1a 2+a 2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，0] C．[1，2] D．[0，2]【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决．【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，f（0）=a2，由题意得：a2≤x++a，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，∴0≤a≤2，故选：D．【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．三、解答题（共5题，满分72分）19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，VP﹣ABC==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．【解答】解：（1）∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．∵2x﹣2﹣x不恒为0，∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f（x）=，满足条件；当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B 看D的仰角分别为α和β．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：（1）设CD 的长为x 米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β＞0， ∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD 的长至多为28.28米．（2）设DB=a ，DA=b ，CD=m ，则∠A DB=180°﹣α﹣β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD 的长为26.93米．【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．22．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：ax+by+c=0和点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），记η=（ax 1+by 1+c ）（ax 2+by 2+c ），若η＜0，则称点P 1，P 2被直线l 分隔，若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点P 1、P 2被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线．（1）求证：点A （1，2），B （﹣1，0）被直线x+y ﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx 是曲线x 2﹣4y 2=1的分隔线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点Q （0，2）的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线．【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，∴k≤﹣，或 k≥．曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔．（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y ﹣2）2]x2=1 ①．y轴为x=0，显然与方程①联立无解．又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，故x=0是一条分隔线．若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx ﹣2）2]x2=1，令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线．∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．23．（16分）已知数列{an }满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；（2）设{an }是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x 的范围；（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn 分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a 2，…ak的公差．【解答】解：（1）依题意：，∴；又∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，当q=1时，Sn =n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．当1＜q≤3时，，Sn ≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q ＞1，故3q n+1﹣q n ﹣2=q n （3q ﹣1）﹣2＞2q n ﹣2＞0对于不等式q n+1﹣3q n +2≤0，令n=1，得q 2﹣3q+2≤0，解得1≤q ≤2，又当1≤q ≤2，q ﹣3＜0，∴q n+1﹣3q n +2=q n （q ﹣3）+2≤q （q ﹣3）+2=（q ﹣1）（q ﹣2）≤0成立， ∴1＜q ≤2，当时，，S n ≤S n+1≤3S n ，即，∴此不等式即，3q ﹣1＞0，q ﹣3＜0，3q n+1﹣q n ﹣2=q n （3q ﹣1）﹣2＜2q n ﹣2＜0，q n+1﹣3q n+2=q n（q ﹣3）+2≥q （q ﹣3）+2=（q ﹣1）（q ﹣2）＞0 ∴时，不等式恒成立，上，q 的取值范围为：．（3）设a 1，a 2，…a k 的公差为d ．由，且a 1=1，得即当n=1时，﹣≤d ≤2；当n=2，3，…，k ﹣1时，由，得d ≥，所以d ≥，所以1000=k ，即k 2﹣2000k+1000≤0，得k ≤1999所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．第21页（共21页）。

2014上海高考理科数学试卷详解版

2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（文史类）试题分析考生注意：1.本试卷共4页，23道题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是__________. 【参考答案】π2【测量目标】考查二倍角公式，三角函数的周期【试题分析】2212cos (2)(2cos (2)1)cos 4y x x x =-=--=-，所以2ππ=.42T = 2.若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则__1z z z ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭__________.【参考答案】6【测量目标】考查复数代数形式的四则运算，共轭复数的概念【试题分析】_2_11(1+2i)(1-2i)+1=1-4i +1=6.z z z z z -⎛⎫ ⎪+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________.【参考答案】2x =-【测量目标】考查抛物线的准线方程，椭圆的焦点【试题分析】椭圆22195x y +=的右焦点右焦点为2,0（），故22p =，故该抛物线的准线方程为 2.2px =-=-4.设2,(,)(),[,)x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩，若(2)4f =，则a 的取值范围为__________. 【参考答案】(,2]-∞【测量目标】考查分段函数【试题分析】若2a >，则(2)2f =，不合题意，舍去；若2a …，2(2)24f ==，符合题意，故a 的取值范围是(,2]-∞.5.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为__________. 【参考答案】22【测量目标】考查基本不等式【试题分析】由基本不等式可得222222 2.x y xy +=…故222x y +的最小值为22. 6.若圆锥的侧面积是底面积的三倍，则其母线与底面所成的角大小为__________（结果用反三角函数值表示）. 【参考答案】1arccos 3【测量目标】考查圆锥的侧面积公式，线面角【试题分析】由题意可得，2π3πrl r =，解得3l r =，记母线与底面所成的角为θ，则1cos 3r l θ==，即1arccos 3θ=. 7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是__________.【参考答案】13【测量目标】考查极坐标方程【试题分析】曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13. 8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若134(),lim n n a a a a →∞=+++则q =__________.【参考答案】51.2- 【测量目标】考查数列极限【试题分析】因为无穷等比数列{}n a 的极限存在，所以||1q <，又因为134(),lim n n a a a a →∞=+++即2211(1)1lim n n a q q a q -→∞-=-，解得51.2q -=9.若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是__________. 【参考答案】（0,1）【测量目标】考查幂函数的性质【试题分析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()0f x <即2132x x-<，在同一坐标系中作出2132x x -、（0x >）的图象（如图），由图象可知，当(0,1)x∈时，2132x x-<.故满足()0f x<的x的取值范围是(0,1).SHWK2第9题图10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是__________（结果用最简分数表示）.【参考答案】115【测量目标】考查运用组合数求古典概型【试题分析】记“选择的3天恰好为连续3天”的概率为P，从10天中选择3天共有310C种方法，从10天中选择连续的3天有8种选择方法，故310881.12015CP===11.已知互异的复数,a b满足0ab≠，集合22{,}{,}a b a b=，则a b+=__________.【参考答案】1-【测量目标】考查集合间的相等关系，集合的互异性【试题分析】（1）当22,a ab b==时，,a b可看作是2x x=的根，此时0ab=与0ab≠矛盾，故舍去；（2）当22,a b b a==时，可得22a b b a+=+，（*）因为2,a b=所以24a b=，所以（*）即为224b b b b+=+，即3(1)0b b-=，所以301b b==或，此时130,1,i22b b b===-±或或；①当0b=时，0a=，0ab=与0ab≠矛盾且不满足集合的互异性，故舍去；②当1b=时，1,0a ab=≠，但此时不能满足集合的互异性，故舍去；③当13i22b=-+时，13i22a=--，0ab≠且满足集合的互异性，符合题意，此时1a b+=-；④当13i22b=--时，13i22a=-+，0ab≠且满足集合的互异性，符合题意，此时1a b+=-；综上所述， 1.a b+=-12.设常数a使方程s i n3c o sx x a+=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x，则123x x x++=__________.【参考答案】7π3【测量目标】考查三角函数的图像与性质【试题分析】sin3cosx x a+=化简得π2sin()3x a+=，如图，当且仅当3a=时，恰有三个交点，即123π7π0++2π=33x x x ++=.SHWK8第12题图13.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为__________.【参考答案】0.2【测量目标】考查离散型随机变量的期望与概率【试题分析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，（*）且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与（*）式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p …，∴1235532p p p p p ---+…，即50.2p ….14.已知曲线2:4C x y =--，直线:6l x =.若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为__________.【参考答案】[2,3]【测量目标】考查向量的坐标运算，向量在平面几何中的应用【试题分析】由题意可设2(4,),(6,)p p Q P y y Q y --（22Py -剟），又因为0AP AQ +=，所以点P 、A 、Q 在一条直线上，且A 点为线段PQ 的中点.所以，2246P m y =--+，又22Py -剟，所以[2,3]m ∈.二、填空题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】B【测量目标】考查充分、必要条件【试题分析】由4a b +>不能推出2a >且2b >，如1,6a b ==满足4a b +>，但不能满足2a >且2b >；如果2a >且2b >，由不等式的性质可得4a b +>；故“4a b +>”是“2a >且2b >”的必要非充分条件.16.如图，四个棱长为1的正方形排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点，则(1,2,,8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）A ．1 B.2 C.4D.8SHWK7第16题图解法一：【参考答案】A【测量目标】考查空间直角坐标系，空间向量的坐标运算【试题分析】如图，以A 点为坐标原点建议空间直角坐标系A xyz -，则12345678(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(0,2,1),(1,0,1),(1,1,1),(1,2,1),(2,0,1),(2,1,1),(2,2,1)A B P P P P P P P P ，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =，4(1,1,1)AP =，5(1,2,1)AP =，6(2,0,1)AP =，7(2,1,1)AP =，8(2,2,1)AP =，经计算，可知(1,2,,8)i AB AP i ⋅=的值均为1，故选A.SHWK9第16题图解法二：【参考答案】A【测量目标】考查向量数量积及其几何意义【试题分析】根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，故选A 17.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）A.无论12k P P 、、如何，总是有解B.无论12k P P 、、如何，总有唯一解C.存在12k P P 、、，使之恰有两解D.存在12k P P 、、，使之有无穷多解解法一：【参考答案】B【测量目标】考查两条直线间的位置关系【试题分析】由已知得112211ka b ka b +=⎧⎨+=⎩，代入112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩得1122(1)1(1)1a x ka y a x ka y ++=⎧⎨++=⎩解得1x ky =-⎧⎨=⎩，即直线111a x b y +=与221a x b y +=恒交于点(,1)k -（k 为常数）.解法二：【参考答案】B【测量目标】考查利用行列式判断线性方程组的解的情况【试题分析】由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a b D a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，选B.18.设2(),0()1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩…，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）A.[1,2]-B.[1,0]-C.[1,2]D.[0,2]【参考答案】D【测量目标】考查分段函数，函数的最值【试题分析】解法一：①当0a <时，(0)()f f a >，不是最小值，不合题意，舍去； ②当0a =时，易知(0)f 是()f x 的最小值；③当0a >时，当0x …时，2min ()(0)f x f a ==，当0x >时，min ()(1)2f x f a ==+，要使(0)f 是()f x 的最小值，必须22a a +…，解得12a-剟，又0a >，所以02a <…；综上可知，a 的取值范围为[0,2].解法二：（排除法）先分析0x …的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除A 、B 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项；故选D.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P ，如图.求△123P P P 的各边长及此三棱锥的体积V .SHWK4第19题图【测量目标】考查棱锥的体积，由展开图还原实物图【试题分析】在△123P P P 中，1323,P A P A P C P C ==，所以AC 是中位线，故122 4.PP AC ==同理，23314, 4.P P P P ==所以△123P P P 是等边三角形，各边长均为4. 设Q 是△ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以22223, 6.33AQ PQ AP AQ ==-= 从而，122.33ABC V S PQ =⋅=△ 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数0a …，函数2()2x x af x a+=-（1）若a =4，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由. 【测量目标】考查求反函数，判断函数的奇偶性【试题分析】（1）因为2424x x y +=-，所以4(1)2,1x y y +=-得11,y y <->或且24(1)log 1y x y +=-.因此，所求反函数为124(1)()log ,1 1.1x f x x x x -+=<->-或（2）当0a =时，()1f x =，定义域为R ，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21(),21x x f x +=-定义域为(,0)(0,),-∞+∞2121()()2121x x x x f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =是奇函数；当01a a >≠且时，定义域22log )(log ,)a a ∞+∞（-，关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为αβ和.（1）设计中CD 是铅垂方向，若要求2αβ…，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得38.12,18.45αβ==，求CD的长（结果精确到0.01米）.第21题图【测量目标】考查正弦定理、余弦定理的实际应用，解三角形【试题分析】（1）记CD h =.根据已知得tan tan 20αβ>…，tan ,tan 3580h hαβ==，所以22800,351()80hh h ⨯>-…解得20228.28h ≈….因此，CD 的长至多约为28.28米. （2）在△ABD 中，由已知，56.57,115AB αβ+==，由正弦定理得sin sin()BD ABααβ=+，解得85.064.BD ≈在△BCD 中，由余弦定理得2222cos ,CD BC BD BC BD β=+-⋅⋅解得26.93.CD ≈所以，CD 的长约为26.93米.22.（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++，若η<0，则称点12,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔；⑵若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线. 【测量目标】考查直线与曲线的位置关系【试题分析】（1）证明：因为40,η=-<所以点,A B 被直线10x y +-=分隔. （2）解：直线y kx =与曲线2241x y -=有公共点的充要条件是方程组2241y kxx y =⎧⎨-=⎩有解，即1||.2k <因为直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线，故它们没有公共点，即1||2k ….当1||2k …时，对于直线y kx =，曲线2241x y -=上的点(1,0)-和(1,0)满足20,k η=-<即点(1,0)-和(1,0)被y kx =分隔.故实数k 的取值范围是11(,][,).22-∞-+∞（3）证明：设M 的坐标为(,)x y ，则曲线E 的方程为22222(2)||1,[(2)] 1.x y x x y x +-⋅=+-⋅=即对任意的00,(0,)y y 不是上述方程的解，即y 轴与曲线E 没有公共点.又曲线E 上的点(1,2)(1,2)-和对于y 轴满足0,η<即点(1,2)(1,2)-和被y 轴分隔. 所以y 轴为曲线E 的分割线.若过原点的直线不是y 轴，设其为y kx =. 由222[(2)]10y kx x y x =⎧⎨+-⋅-=⎩得222[(2)]10x kx x +-⋅-=，令222()[(2)]1f x x kx x =+-⋅-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0f f k ⋅=-⋅-+<，所以方程()0f x =有实数解，即直线y kx =与曲线E 有公共点，故直线y kx =不是曲线E 的分隔线. 综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足*1113,, 1.3n n n a a a n a +∈=N 剟（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12.n n S a a a =+++若*113,3n n n S S S n +∈N 剟，求q 的取值范围.（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且 121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差.【测量目标】考查等差数列、等比数列的性质【试题分析】（1）由条件得263x剟且933x x 剟，解得3 6.x 剟所以x 的取值范围是[3,6].（2）由133n n a a …，且110n n a a q -=≠，得0.n a >所以113n n S S +…，又113,3n n n a a a +剟所以133q 剟当1q =时，1,1n n S n S n +==+，由13n n +…得13n n S S +…成立.当1q ≠时，13n n S S +…即111311n nq q q q+--⋅--… ①若13q <…，则(3) 2.n q q -…由*,n q q n ∈N …，得(3)2q q -…，所以12q <…. ②若113q <…，则(3) 2.n q q -…由*,n q q n ∈N …，得(3)2q q -…，所以11.3q <…综上，q 的取值范围为1[,2].3（3）设数列12,,,k a a a 的公差为.d 由1133n n n a a a +剟，且11,a =得1[1(1)]13[1(1)],1,2,, 1.3n d nd n d n k +-++-=-剟即(2+12,1,2,, 1.(23)2n d n k n d -⎧=-⎨--⎩）……当1n =时，223d-剟；当2,3,,1n k =-时，由222123n n -->+-得22+1d n -…，所以22213d k ---厖. 所以1(1)(1)210002221k k k k ka d k k ---=++⋅-…，即2200010000k k -+…，得1999.k …所以k 的最大值为1999，1999k =时，12,,,k a a a 的公差为1.1999-。

2014年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．（1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x =-的最小正周期是．【答案】2π【解析】原式＝cos4x -，242T ππ==．（2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭ ．【答案】6【解析】原式＝211516z z z ⋅+=+=+=．（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．【答案】2x =-【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-．（4）【2014年上海，理4，4分】设2(,)()[,)xx a f x xx a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩，若(2)4f =，则a 的取值范围为．【答案】2a ≤【解析】根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤．（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为．【答案】【解析】2222x y x +≥⋅=．（6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为．（结果用反三角函数值表示）【答案】1arccos 3【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴23r R r ππ⋅⋅=⋅，即3R r =，∴1cos 3θ=，即母线与底面夹角大小为1arccos 3．（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的距离是．【答案】13【解析】曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为13．（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞=+++，则q = ．PP P 6P P P P P 1B【解析】223111011a a q a q q q q q ==⇒+-=⇒=--，∵01q <<，∴q = （9）【2014年上海，理9，4分】若2132()f x x x -=-，则满足()0f x <的x 的取值范围是．【答案】(0,1)【解析】2132()0f x x x -<⇒<，结合幂函数图像，如下图，可得x 的取值范围是(0,1)．（10）【2014年上海，理10，4分】为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是．（结果用最简分数表示）【答案】115【解析】3108115P C ==．（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += ．【答案】1-【解析】第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =⇒=，∴210a a ++=，即1a b +=-．（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= ．【答案】73π【解析】化简得2sin()3x a π+=，根据下图，当且仅当a =恰有三个交点，即12370233x x x πππ++=++=．（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为．【答案】0.2【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，且123451p p p p p ++++=，∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：1235320.2p p p p ---+=，∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥．（14）【2014年上海，理14，4分】已知曲线:C x =，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为．【答案】1615-【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即622P Q P x x x m ++==，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分．（15）【2014年上海，理15，5分】设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如5a =，1b =；必要性成立，故选B ．（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i = 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）A βC BαD（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】A【解析】根据向量数量积的几何意义，i AB AP ⋅等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而i AP 在AB 方向上的投影是定值，AB 也是定值，∴i AB AP ⋅为定值1，故选A ．（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解（B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解（D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解【答案】B【解析】由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11122122a bD a b a b a b ==-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠，∴有唯一解，故选B ．（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（）（A ）[1,2]- （B ）[1,0]- （C ）[1,2] （D ）[0,2]【答案】D【解析】先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项，故选D ．三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．（19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123PP P ，如图．求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒，∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=︒，∴160P ∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，∴123PP P ∆是等边三角形，P ABC -是正四面体，所以123PP P ∆边长为4；∴3V AB ==．（20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a ≥，函数2()2x x af x a+=-．（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．解：（1）∵4a =，∴24()24x x f x y +==-，∴4421x y y +=-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244()log 1x y f x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞． ……6分（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x xa aa a --++=--，整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函，若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x xa aa a--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时为奇函数，当(0,1)(1,)a ∈⋃+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数． ……14分（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．（1）设计中CD 是铅垂方向．若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？P 2（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=︒，18.45β=︒，求CD 的长（结果精确到0.01米）．解：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ==，∵202παβ>≥>， ∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-，∴2221608035640016400x x x x x ≥=--，解得028.28x <≤≈，∴CD 的长至多为28.28米． ……6分（2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=︒--=︒，则sin sin a ABADBα=∠，解得115sin38.1285.06sin123.43a ︒=≈︒∴26.93m =≈∴CD 的长为26.93米． ……14分（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，记1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割．若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线．（1）求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．解：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-⨯--=-<，∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割． ……3分（2）联立2241x y y kx⎧-=⎨=⎩，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解∴2140k -≤，∴12k ≤-或12k ≥．……8分（3）设(,)M x y1=，∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ① 当斜率不存在时，直线0x =，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<，∴0x =是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=，令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点， ∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线． ……16分（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =．（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++．若1133n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；（3）若12,,,k a a a 成等差数列，且121000k a a a +++=，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应数列12,,,k a a a 的公差．解：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又343133a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤．……3分（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴133q ≤≤，当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133nn n ≤+≤，成立；当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---， ∴111331n nq q +-≤≤-，此不等式即11320320n n n nq q q q ++⎧--≥⎨-+≤⎩，∵1q >，∴132(31)2220n n n nq q q q q +--=-->->，对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤，当113q ≤<时，11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n nq q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n nq q q q ++⎧--≤⎨-+≥⎩，310,30q q ->-<， ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=--> ∴113q ≤<时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为123q ≤≤． ……10分（3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解，∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k dk d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-⎧⎨-≥-⎩，当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-≥---，∴221d k ≥--，12(1) (10002)k k k da a a k -+++=+=，∴1000k ≥时，200022(1)21k d k k k -=≥---，解得10001000k ≤1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981(1)199919981999k d k k -==-=--⨯． ……18分。

2014年高考理科数学上海卷(含答案解析)

数学试卷第1页（共14页）数学试卷第2页（共14页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 .2.若复数12i z =+,其中i 是虚数单位,则1(z )z z+= .3.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22195x y +=的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4.设2,(,),(),[,),x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩若(2)4f =,则a 的取值范围为 .5.若实数x ,y 满足1xy =,则222x y +的最小值为 .6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=,则C 与极轴的交点到极点的距离是 .8.设无穷等比数列{}n a 的公比为q .若134lim()n n a a a a →∞=+++,则q = .9.若2132()f x x x =-,则满足()0f x ＜的x 的取值范围是 .10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）. 11.已知互异的复数a ,b 满足0ab ≠,集合22{,}{,}a b a b =,则a b += . 12.设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解1x ,2x ,3x ,则123x x x ++= .13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分.若() 4.2E ξ=,则小白得5分的概率至少为 .14.已知曲线C：x =,直线l ：6x =.若对于点(,0)A m ,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP AQ +=0,则m 的取值范围为 .二、选择题（本大题共有4题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.设,a b ∈R ,则“4a b +＞”是“2a ＞且2b ＞”的( ) A .充分条件 B .必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,(1,2,,8)i P i =是上底面上其余的八个点,则(1,2,,8)i AB AP i =的不同值的个数为( )A .1B .2C .4D .817.已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点,则关于x 和y 的方程组11221,1,a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是 ( )A .无论k ,1P ,2P 如何,总是无解B .无论k ,1P ,2P 如何,总有唯一解姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共14页）数学试卷第4页（共14页）C .存在k ,1P ,2P ,使之恰有两解D .存在k ,1P ,2P ,使之有无穷多解18.设2(),0,()1,0,x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++⎪⎩≤＞若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为 ( )A .[1,2]-B .[1,0]-C .[1,2]D .[0,2]三、解答题（本大题共5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥P ABC -,其表面展开图是三角形123PP P ,如图.求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V .20.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数0a ≥,函数2()2x x af x a+=-.（Ⅰ）若4a =,求函数()y f x =的反函数1()y f x -=；（Ⅱ）根据a 的不同取值,讨论函数()y f x =的奇偶性,并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在A ,B 两地连线上的定点C 处建造广告牌,其中D 为顶端,AC 长35 米,CB 长80 米.设点A ,B 在同一水平面上,从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.（Ⅰ）设计中CD 是铅垂方向,若要求2αβ≥,问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01 米）？（Ⅱ）施工完成后,CD 与铅垂方向有偏差.现在实测得38.12α=,18.45β=,求CD 的长（结果精确到0.01 米）.22.（本题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系xOy 中,对于直线l ：0ax by c ++=和点111(,)P x y ,222(,)P x y ,即1122()(c)ax by c ax by η=++++.若0η＜,则称点1P ,2P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点,且曲线C 上存在点1P ,2P 被直线l 分隔,则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.（Ⅰ）求证：点(1,2)A ,(1,0)B -被直线10x y +-=分隔；（Ⅱ）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分隔线,求实数k 的取值范围；（Ⅲ）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1,设点M 的轨迹为曲线E .求证：通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线.23.（本题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列{}n a 满足1133n n n a a a +≤≤,*n ∈N ,11a =. （Ⅰ）若22a =,3a x =,49a =,求x 的取值范围；（Ⅱ）设{}n a 是公比为q 的等比数列,12n n S a a a =+++,1133n n n S S S +≤≤,*n ∈N ,求q 的取值范围；（Ⅲ）若1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 成等差数列,且121000k a a a +++=,求正整数k 的最大值,以及k 取最大值时相应数列1a ,2a ,⋅⋅⋅,k a 的公差.数学试卷第5页（共14页）数学试卷第6页（共14页）1(1z z z ⎫=+=+⎪⎭【提示】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可),n a ++即【提示】由已知条件推导出a ，由此能求出数学试卷第7页（共14页）数学试卷第8页（共14页）【提示】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连33π⎛⎫【解析】解：设小白得5分的概率至少为x ，则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1x -，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，() 4.2E ξξ=，∴4(1)5 4.2x x -+=，解得0.2x =.，又因为0AP AQ +=，数学试卷第9页（共14页）数学试卷第10页（共14页）【提示】通过曲线方程判断曲线特征，通过0AP AQ +=，说明23568(0,0,1)(0,1,1)(0,2,1)(1,0,1)(1,1,1)(1,2,1)(2,0,1)(2,2,1)B P P P P P ，，，，，，，，，，则(0,0,1)AB =，1(0,1,1)AP =，2(0,2,1)AP =，3(1,0,1)AP =(1,1,1)AP =5(1,2,1)AP =，(2,0,1)AP =7(2,1,1)AP =8(2,2,1)AP =i(i 1,2,,8)AB AP =的值均为1，故选A.根据向量数量积的几何意义，i AB AP 等于AB 乘以i AP 在AB 方向上的投影，而AP 在AB 方向上的投影是定值，||AB 也是定值，∴i AB AP 为定值【提示】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.数学试卷第11页（共14页）数学试卷第12页（共14页）223ABC PQ =【提示】利用侧面展开图三点共线，判断,0)(0,),+∞2)(log ,)a +∞关于原点不对称，）根据反函数的定义，即可求出cos BC BD β，【提示】（1）利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.1,2⎤⎡⎫+∞⎪⎥⎢⎦⎣⎭2(2)||1y x +-=，即2]1x =)不是上述方程的解，即1,2)(1,2)-和2]10x -=得2]10x -=，21-，2(0)(2)(1)[16(1)15]0f k =--+<，所以方程与曲线E 有公共点，故直线综上可得，通过原点的直线中，有且仅有一条直线是【提示】（1）把A.B 两点的坐标代入η，再根据0η<，得出结论. （2）联立直线y kx =与曲线2241x y -=可解.2]1x =数学试卷第13页（共14页）数学试卷第14页（共14页）131nq q-- ,,k a 的公差为(1)]1,2,,1n d k -≤-.1,2,,1k -2,3,,1k -时，由1(1)221k k ka k -=+-，即12,,,k a a a 的公差为的范围（3）依题意得到关于k 的不等式，得出k 的最大值，并得出k 取最大值时12,,,k a a a 的公差.【考点】等比数列的性质，数列的求和。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学理

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理一、填空题(每题4分，共14题，满分56分)1.函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是 .解析：y=1-2cos2(2x)=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x，∴函数的最小正周期为T==答案：2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·= .解析：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则(z+)·==(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2+1=2+4=6. 答案：63.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.解析：由题意椭圆+=1，故它的右焦点坐标是(2，0)，又y2=2px(p＞0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，故p=4，∴抛物线的准线方程为x=-2.答案：x=-24.设f(x)=，若f(2)=4，则a的取值范围为.解析：当a＞2时，f(2)=2≠4，不合题意；当a=2时，f(2)=22=4，符合题意；当a＜2时，f(2)=22=4，符合题意；∴a≤2，答案：(-∞，2].5.若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 .解析：∵xy=1，∴y=，∴x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，答案：26.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).解析：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ==，∴θ=arccos，答案：arccos7.已知曲线C的极坐标方程为ρ(3cosθ-4sinθ)=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 .解析：由题意，θ=0，可得ρ(3cos0-4sin0)=1，∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=. 答案：.8.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=(a3+a4+…a n)，则q= .解析：∵无穷等比数列{a n}的公比为q，a1=(a3+a4+…a n)=(-a1-a1q)=，∴q2+q-1=0，解得q=或q=(舍).答案：.9.若f(x)=-，则满足f(x)＜0的x的取值范围是.解析：f(x)=-，若满足f(x)＜0，即＜，∴，∵y=是增函数，∴的解集为：(0，1).答案：(0，1).10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示).解析：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，答案：.11.已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= .解析：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，则①或②，由①得，∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.若b=a2，a=b2，则两式相减得a2-b2=b-a，∵互异的复数a，b，∴b-a≠0，即a+b=-1，答案：-1.12.设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= .解析：sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a，如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，令sin(x+)=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，∴此时x1=0，x2=，x3=2π，∴x1+x2+x3=0++2π=.答案：13.某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E(ξ)=4.2，则小白得5分的概率至少为.解析：设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1-x，∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，E(ξ)=4.2，∴4(1-x)+5x=4.2，解得x=0.2.答案：0.2.14.已知曲线C：x=-，直线l：x=6，若对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.解析：曲线C：x=-，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且x P∈[-2，0]，对于点A(m，0)，存在C上的点P和l上的Q使得+=，说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，∴m=∈[2，3].答案：[2，3].二、选择题(共4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分15.设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的( )A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C. 充要条件D.既非充分又非必要条件解析：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，答案：B.16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i(i=1，2，…8)是上底面上其余的八个点，则•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4解析：如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(2，0，1)，P1(1，0，1)，P2(0，0，1)，P3(2，1，1)，P4(1，1，1)，P5(0，1，1)，P6(2，2，1)，P7(1，2，1)，P8(0，2，1)，，=(-1，0，1)，=(-2，0，1)，=(0，1，1)，=(-1，1，1)，=(-2，1，1)，=(0，2，1)，=(-1，2，1)，=(-2，2，1)，易得•=1(i=1，2，…，8)，∴•(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1，答案：A.17.已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是( )A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解解析：P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1，①×b2-②×b1得：(a2b1-a1b2)x=b2-b1，即(a2-a1)x=b2-b1.∴方程组有唯一解.答案：B.18.设f(x)=，若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )A.[-1，2]B. [-1，0]C. [1，2]D. [0，2]解析：当a＜0时，显然f(0)不是f(x)的最小值，当a≥0时，f(0)=a2，由题意得：a2≤x++a≤2+a，解不等式：a2-a-2≤0，得-1≤a≤2，∴0≤a≤2，答案：D.三、解答题(共5题，满分72分)19.(12分)底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.解析：利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.答案：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，∴△P1P2P3是等边三角形，P-ABC是正四面体，∴△P1P2P3的边长为4，V P-ABC==20.(14分)设常数a≥0，函数f(x)=.(1)若a=4，求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)；(2)根据a的不同取值，讨论函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由.解析：(1)根据反函数的定义，即可求出，(2)利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.答案：(1)∵a=4，∴∴，∴，∴调换x，y的位置可得，x∈(-∞，-1)∪(1，+∞).(2)若f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)对任意x均成立，∴=，整理可得a(2x-2-x)=0.∵2x-2-x不恒为0，∴a=0，此时f(x)=1，x∈R，满足条件；若f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)对任意x均成立，∴=-，整理可得a2-1=0，∴a=±1，∵a≥0，∴a=1，此时f(x)=，满足条件；综上所述，a=0时，f(x)是偶函数，a=1时，f(x)是奇函数.21.(14分)如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.(1)设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)？(2)施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长(结果精确到0.01米).解析：(1)设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.(2)利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.答案：(1)设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，∵0，∴tanα≥tan2β，∴tan，即=，解得0≈28.28，即CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a，DA=b，CD=m，则∠ADB=180°-α-β=123.43°，由正弦定理得，即a=，∴m=≈26.93，答：CD的长为26.93米.22.(16分)在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l 没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.(1)求证：点A(1，2)，B(-1，0)被直线x+y-1=0分隔；(2)若直线y=kx是曲线x2-4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；(3)动点M到点Q(0，2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.解析：(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)，再根据η＜0，得出结论.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据此方程无解，可得1-4k2≤0，从而求得k的范围.(3)设点M(x，y)，与条件求得曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×(-1)=-1＜0，可得x=0是一条分隔线. 答案：(1)把点(1，2)、(-1，0)分别代入x+y-1 可得(1+2-1)(-1-1)=-4＜0，∴点(1，2)、(-1，0)被直线 x+y-1=0分隔.(2)联立直线y=kx与曲线x2-4y2=1可得 (1-4k2)x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1-4k2≤0，∴k≤-，或k≥.(3)设点M(x，y)，则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+(y-2)2]x2=1 ①.y轴为x=0，显然与方程①联立无解.又P1(1，2)、P2(-1，2)为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×(-1)=-1＜0，故x=0是一条分隔线.若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+(y-2)2]x2=1，可得[x2+(kx-2)2]x2=1，令f(x)=[x2+(kx-2)2]x2-1，∵f(0)f(2)＜0，∴f(x)=0有实数解，即y=kx与E有公共点，∴y=kx不是E的分隔线.∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.23.(16分)已知数列{a n}满足a n≤a n+1≤3a n，n∈N*，a1=1.(1)若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；(2)设{a n}是公比为q的等比数列，S n=a1+a2+…a n，若S n≤S n+1≤3S n，n∈N*，求q的取值范围.(3)若a1，a2，…a k成等差数列，且a1+a2+…a k=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…a k的公差.解析：(1)依题意：，又将已知代入求出x的范围；(2)先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出S n分别代入不等式S n≤S n+1≤3S n，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围.(3)依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…a k的公差.答案：(1)依题意：，∴；又，∴3≤x≤27，综上可得：3≤x≤6，(2)由已知得，，，∴，当q=1时，S n=n，S n≤S n+1≤3S n，即，成立.当1＜q≤3时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴不等式∵q＞1，故3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＞2q n-2＞0对于不等式q n+1-3q n+2≤0，令n=1，得q2-3q+2≤0，解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q-3＜0，∴q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≤q(q-3)+2=(q-1)(q-2)≤0成立，∴1＜q≤2，当时，，S n≤S n+1≤3S n，即，∴此不等式即，3q-1＞0，q-3＜0，3q n+1-q n-2=q n(3q-1)-2＜2q n-2＜0，q n+1-3q n+2=q n(q-3)+2≥q(q-3)+2=(q-1)(q-2)＞0，时，不等式恒成立，上，q的取值范围为：.(3)设a1，a2，…a k的公差为d.由，且a1=1，得即当n=1时，-≤d≤2；当n=2，3，…，k-1时，由，得d≥，所以d≥，所以1000=k，即k2-2000k+1000≤0，得k≤1999.所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…a k的公差为-.。

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2014年上海市高考数学试卷（理科）解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2
π 【解析】由题意cos 4y x =-，242
T ππ== 2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1
()z z +z ⋅=___________.
【答案】6 【解析】由题意2
1
()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z +⋅=⋅+=+-+=-+= 3. 若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆1592
2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +2
2y 的最小值为______________. 【答案】22 【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3
.
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则
1cos 3r l θ==为，1arccos 3
θ=. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .
8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞
→a a a n ，则q= .
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）. 【答案】115
【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为
8112015
P ==． 11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .
【答案】1-
13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .
【答案】0.2
【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2P
P P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，解得50.2P ≥．
14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得
0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .
【答案】[2,3]
【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --， 26m x -=，解得23m ≤≤．
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（）
（A ）充分条件（B ）必要条件
（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ．
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→
→i AP AB i 的不同值的个数为（）
（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】A
【解析】如图，AB 与上底面垂直， cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．
17. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（）（A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解（B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解
（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解（D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解
【解析】由于当0x >时，1()f x x a x =+
+在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的， 22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．。