2014年上海市高考数学试卷(理科)解析

2014年上海市高考数学试卷（理科）解析
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填
写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． 函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 . 【答案】2
π 【解析】由题意cos 4y x =-，242
T ππ== 2. 若复数z=1+2i ，其中i 是虚数单位，则1
()z z +z ⋅=___________.
【答案】6 【解析】由题意2
1
()1(12)(12)11(2)16z z z z i i i z +⋅=⋅+=+-+=-+= 3. 若抛物线y 2
=2px 的焦点与椭圆1592
2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.
5. 若实数x,y 满足xy=1,则2x +2
2y 的最小值为______________. 【答案】22 【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 6. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3
.
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则
1cos 3r l θ==为，1arccos 3
θ=. 7. 已知曲线C 的极坐标方程为1)sin 4cos 3(=-θθp ，则C 与极轴的交点到极点的距离是 .
8. 设无穷等比数列{n a }的公比为q ，若)(lim 431 ++=∞
→a a a n ，则q= .
10. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）. 【答案】115
【解析】任意选择3天共有310120C =种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为
8112015
P ==． 11. 已知互异的复数a,b 满足ab ≠0，集合{a,b}={2a ,2b },则a b += .
【答案】1-
13. 某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若()ξE =4.2，则小白得5分的概率至少为 .
【答案】0.2
【解析】设ξ＝1,2,3,4,5的概率分别为12345,,,,P P P P P ，则由题意有123452345 4.2P
P P P P ++++=，123451P P P P P ++++=，对于1234234P P P P +++，解得50.2P ≥．
14. 已知曲线C ：24x y =--，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得
0AP AQ +=，则m 的取值范围为 .
【答案】[2,3]
【解析】由0AP AQ +=知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --， 26m x -=，解得23m ≤≤．
二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
15. 设R b a ∈,,则“4>+b a ”是“2,2>>b a 且”的（ ）
（A ）充分条件 （B ）必要条件
（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】若2,2a b >>，则4a b +>，但当4,1a b ==时也有4a b +>，故本题就选B ．
16. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，,...)2,1(=i P i 是上底面上其余的八个点，则...)2,1(=⋅→
→i AP AB i 的不同值的个数为（ ）
（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】A
【解析】如图，AB 与上底面垂直， cos 1i i i AB AP AB AP BAP AB AB ⋅=∠=⋅=．
17. 已知),(111b a P 与),(222b a P 是直线y=kx+1（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211
a x
b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ） （A ）无论k ，21,P P 如何，总是无解 （B)无论k ，21,P P 如何，总有唯一解
（C ）存在k ，21,P P ，使之恰有两解 （D ）存在k ，21,P P ，使之有无穷多解
【解析】由于当0x >时，1()f x x a x =+
+在1x =时取得最小值2a +，由题意当0x ≤时，2()()f x x a =-应该是递减的， 22a a ≤+，解得02a ≤≤，选D ．。