《等腰三角形的判定》教案
八年级数学上册《等腰三角形的判定定理》教案、教学设计
（一）导入新课，500字
1.教师出示一张等腰三角形图片，引导学生观察并提问：“同学们，你们在生活中见到过这样的图形吗？它有什么特点？”
2.学生回答后，教师总结：“这种两边长度相等的三角形叫做等腰三角形。今天我们要学习如何判断一个三角形是否为等腰三角形。”
3.教师进一步提问：“我们已经知道等腰三角形有两边相等，那么如何用一个简单的定理来判断一个三角形是否为等腰三角形呢？”
b.在解题过程中，需要注意哪些问题？
c.你能举出生活中应用等腰三角形判定定理的例子吗？
2.学生在小组内积极讨论，互相交流想法，共同解决问题。
3.教师巡回指导，给予学生提示和帮助，解答学生的疑问。
4.各小组汇报讨论成果，教师进行点评和总结。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，涵盖等腰三角形的判定定理及性质。
题目：已知等腰三角形ABC，AB=AC，D为BC边上的点，且BD=DC。求证：AD垂直于BC。
要求：学生通过画图、推理、计算等方法，完成证明过程。
3.实践活动：结合生活实际，让学生发现并解决身边的等腰三角形问题。
a.拍摄一张生活中的等腰三角形照片，并简要说明其应用场景。
b.运用等腰三角形的判定定理，测量并计算该等腰三角形的底角、底边长等。
八年级数学上册《等腰三角形的判定定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.知道等腰三角形的定义，能够识别并描述等腰三角形的特征。
2.掌握等腰三角形的判定定理，能够运用定理判断一个三角等腰三角形的底角、底边长等。
4.能够运用等腰三角形的判定定理解决实际生活中的问题，提高解决问题的能力。
c.你认为等腰三角形的判定定理在生活中的应用有哪些？
八年级数学上册《等腰三角形的判定》教案、教学设计
八年级的学生已经具备了一定的几何图形认知基础，对三角形的性质有了初步的了解。在此基础上，学生对等腰三角形的判定这一章节内容的学习将更为顺利。然而，学生在几何证明和逻辑推理方面仍存在一定困难，需要教师在教学过程中给予关注和引导。此外，学生对数学学习的兴趣和积极性存在差异，部分学生对几何学习缺乏自信，教师应关注这一现象，采取差异化教学策略，激发学生的学习兴趣和自信心。通过对本章节的学习，使学生能够更好地理解和运用等腰三角形的判定方法，提高几何图形的解题能力，为后续学习打下坚实基础。
4.教学拓展：
-结合实际生活中的等腰三角形实例，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的应用意识。
-引导学生探索等腰三角形与其他几何图形之间的关系，如等腰三角形与圆、正方形等，拓展学生的知识视野。
-组织课后研究性学习活动，鼓励学生自主探究等腰三角形的更多性质和应用，培养学生的探究精神。
四、教学内容与过程
3.生活实践题：让学生观察生活中的等腰三角形，并记录下来，分析它们的特点和应用。例如，观察三角尺、衣架、桥梁等，将观察结果以文字或图片形式进行展示。
4.小组合作研究：以小组为单位，选择以下课题进行研究，并在下一节课上进行汇报。
a.等腰三角形与等边三角形的关系。
b.等腰三角形在生活中的应用。
c.等腰三角形的判定方法在解决实际问题时的重要性。
讨论结束后，各小组汇报讨论成果，教师点评并给予指导。
（四）课堂练习
设计以下练习题，检验学生对等腰三角形判定方法的理解和应用：
1.判断以下三角形是否为等腰三角形，并说明理由。
2.已知等腰三角形的底和腰长，求底角和顶角的度数。
3.已知等腰三角形的底角，求顶角的度数。
学生在练习过程中，教师巡回指导，解答学生疑问，帮助学生掌握解题方法。
等腰三角形的判定教案
课题名称第十三课时：等腰三角形的判定授课类型新授课上课时间教学目标1.知识与技能：掌握等腰三角形的判定定理，提高逻辑推理能力。
运用等腰三角形的判定定理及性质，解决相关问题。
2.过程与方法：经历探究等腰三角形的判定的过程。
加深对等腰三角形的判定的理解。
3.情感态度与价值观：在合作学习中学会与人交流。
重点难点教学重点：运用等腰三角形的判定定理及性质，解决相关问题。
教学难点：运用等腰三角形的判定定理及性质，解决相关问题。
教学方式启发、引导、合作探究技术准备多媒体教学过程一、旧知回顾：1、等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的相等；（2）等腰三角形、、互相重合。
1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、如图，在△ABC中，AB=AC，（1）若AD平分∠BAC，那么、（2）若BD＝CD，那么、（3）若AD⊥BC,那么、二、阅读课本P106-1071、具备什么条件的三角形是等腰三角形?2、已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形三、探究点等腰三角形的判定方法如图，在△ABC中，若∠B=∠C，能否得出△ABC是等腰三角形？说明理由如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）四、练习1、如图，其中△ABC是等腰三角形的是（）2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD五.课堂反馈3、已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C，求证：AB=AC=BC4、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形5、(l)如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE//BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？6、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC。
等腰三角形判定教案(2024)
例题二：已知两角和夹边求第三角
题目描述：已知等腰三角形DEF中，DE = DF，∠D = 90°，∠E = 45°，求∠F的度数。
解题步骤
解题思路：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理 ，可以求出第三角的度数。
1. 根据等腰三角形的性质，得出∠E = ∠F。
2. 利用三角形内角和定理，即∠D + ∠E + ∠F = 180° ，求出∠F的度数。
02
解题思路：综合运用等腰三角形的性质和判定方法，先判 断三角形的形状，再求出其面积。
05
2. 利用等边三角形的面积公式S = (√3/4)a²（其中a为边 长），求出△GHI的面积。
03
解题步骤
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总结：本题综合考察了对等腰三角形性质和判定方法的应 用能力，需要灵活运用所学知识进行判断和计算。
三角形。
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判定定理二：两角相等且夹边相等
01
定理内容
如果一个三角形的两个角相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这
个三角形是等腰三角形。
02
证明方法
可以通过作辅助线，将三角形划分为两个全等的三角形，从而证明两腰
相等。
2024/1/29
03
应用举例
在几何题目中，如果已知一个三角形有两个角相等，并且这两个角所夹
02
3. 如图，在△ABC中，AB = AC ，D是BC的中点，DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F．求证：DE = DF．
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小组讨论与交流
01
02
分组方式
按座位就近分组，每组4-6人 。
讨论内容
围绕自主练习题目展开讨论， 分享解题思路和方法。
人教版初中八年级上册数学《等腰三角形的判定》精品教案
第2课时等腰三角形的判定【知识与技能】1.理解掌握等腰三角形的判定.2.运用等腰三角形判定进行证明和计算.【过程与方法】通过推理证明等腰三角形的判定定理,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】引导学生观察,发现等腰三角形的判定方法,获得成功的感受，并在这个过程中体验学习的乐趣.【教学重点】等腰三角形的判定定理.【教学难点】等腰三角形判定定理的证明.一、情境导入，初步认识先请学生回忆等腰三角形的性质,再向学生提出下列问题.问题1 如图,位于海上A,B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警,当时测得∠A=∠B.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发,能不能大约同时赶到出事地点(不考虑风浪因素).引导学生作如下思考:(1)应该能同时赶到出事地点,因为两艘救生船的速度相同,同时出发,在相同的时间内走过的路程应该相同,也就是OA=OB,所以两船能同时赶到出事地点.(2)能同时赶到O点位置的一个很重要的因素是∠A=∠B,也就是说如果∠A不等于∠B,那么同时以同样的速度出发就不能同时赶到出事地点.【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.问题2 根据上述探究,考虑:“在一个三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边也相等”，并证明这个结论.1.指导学生表述结论并写出证明过程.2.指出表述要严谨,如不能说成：“如果一个三角形的两个底角相等，那么它是等腰三角形”.二、思考探究，获取新知例1 求证：如果一个三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.【教学说明】本题是文字叙述的证明题,先应将文字语言转化为相应的数学语言,再根据题意画出相应的几何图形.要证明这个问题,由特征结论联想“等角对等边”，而等角由已知的平行线和角平分线可推得.例2 如图,标杆AB高5m,为了将它固定,需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D,E两点拉两条绳子,使得D,B,E在一条直线上,量得DE=4m,绳子CD和CE要多长?【教学说明】这是一个与实际生活相关的问题,要解决这类问题,需要将实际问题抽象为数学模型.本题的实质是已知等腰三角形的底边和底边上的高,求腰长的问题.解：如图(2),选取比例尺为1∶100.①作线段DE=4cm.②作线段DE的垂直平分线MN,与DE交于点B.③在MN上截取BC=2.5cm.④连接CD,CE,△CDE就是所求的等腰三角形,量出CD的长,就可以计算出要求的绳长.例3 如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是两腰上的中线.求证:BD=CE.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).又∵CD=21AC,BE=21AB, ∴CD=BE.在△BEC 和△CDB 中,∵BE=CD,∠ABC=∠ACB,BC=CB, ∴△BEC ≌△CDB(SAS).∴BD=CE.三、运用新知，深化理解1.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,分别计算∠1,∠2的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.2.如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗?为什么?3.如图,AC 和BD 相交于点O,AB ∥DC,OA=OB.求证:OC=OD.4.如图,在△ABD 中,C 是BD 上的一点,且AC ⊥BD,AC=BC=CD.(1)求证:△ABD 是等腰三角形.(2)求∠BAD 的度数.【教学说明】上述习题要引导学生边做题边总结,熟悉等腰三角形的性质与判定常与哪些知识在一起应用,等腰三角形性质与判定间有什么区别与联系,并鼓励学生探究一题多解的方法.【答案】1.∠1=72°,∠2=36°;等腰三角形有:△ABC、△ABD、△BCD2.是等腰三角形,可证得∠1=∠23.∵OA=OB,∴∠A=∠B.又∵AB∥DC,∴∠A=∠C,∠B=∠D.∴∠C=∠D,∴OC=OD(等角对等边).4.(1)证明:∵AC⊥BD,∴∠ACB=∠ACD=90°.又∵AC=AC,BC=CD,∴△ACB≌△ACD(SAS).∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).∴△ABD是等腰三角形.(2)由(1)可知AB=AD,∴∠B=∠D.又∵AC=BC,∴∠B=∠BAC,∴AC=CD.∴∠D=∠DAC.在△ABD中,∠B+∠D+∠BAC+∠DAC=180°.∴2(∠BAC+∠DAC)=180°,∴∠BAC+∠DAC=90°,即∠BAD=90°.四、师生互动，课堂小结利用问题指导学生总结:问题1 你学会了几种判定等腰三角形的方法?问题2 等腰三角形性质与判定有哪些联系和区别?【总结】本节课主要探究了等腰三角形判定定理,并对判定定理的简单应用有了一定的认识,在利用定理的过程中体会定理的重要性.在直观的探索和抽象的证明中养成一定的逻辑推理能力.1.布置作业：从教材“习题13.3”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.---------------------学习小技巧---------------小学生制定学习计划的好处小学生想要成绩特别的突出学习计划还是不能少的。
初中数学初二数学上册《等腰三角形的判定定理》教案、教学设计
2.运用探究式教学法，引导学生通过观察、猜想、验证等过程，自主发现等腰三角形的判定定理。
-教师提供丰富的学习资源，如几何画板、实际模型等，帮助学生直观地理解等腰三角形的性质。
3.开展小组合作学习，让学生在交流、讨论中加深对判定定理和性质的理解，培养合作意识和团队精神。
2.拓展阅读：查阅相关资料，了解等腰三角形在生活中的应用，如建筑、艺术等领域。将所学知识与实际生活相结合，提高数学应用意识。
3.小组讨论：针对本节课的难点和重点，小组内展开讨论，总结学习方法，分享解题心得。培养团队合作精神，提高沟通交流能力。
4.课后反思：请同学们撰写一篇课后反思，内容包括对本节课知识的理解、学习过程中的困惑、解题方法的总结等。通过反思，提高自我认知，促进学习方法的改进。
（一）教学重点
1.等腰三角形的判定定理：学生需要掌握如何判断一个三角形是否为等腰三角形，理解并运用判定定理。
2.等腰三角形的性质：学生应学会运用性质解决相关问题，如求底边长、底角、腰长等。
3.实际问题中的应用：培养学生将等腰三角形知识应用于解决生活中的问题。
（二）教学难点
1.判定定理的理解与运用：学生对判定定理的理解可能存在困难，需要通过实例和练习加深理解。
初中数学初二数学上册《等腰三角形的判定定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的判定定理。
2.能够运用等腰三角形的判定方法判断给定三角形是否为等腰三角形。
3.学会运用等腰三角形的性质解决相关问题，如求等腰三角形的底边长、底角、腰长等。
4.能够运用等腰三角形的判定与性质解决实际生活中的问题，提高数学应用能力。
等腰三角形的判定教学设计
§13．3．1．2 等腰三角形的判定教学目标（一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理．（二）能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力；（三）情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解．从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力．教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
教学难点等腰三角形的判定与性质的区别。
教具准备作图工具和多媒体课件。
教学方法以学生为主体的讨论探索法；教学过程一．提出问题，创设情境1. 等腰三角形性质是什么？性质1 等腰三角形的两底角相等．（等边对等角）性质2等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（等腰三角形三线合一)2、提问：性质1的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
这个命题正确吗？下面我们来探究：二．合作探究 1. 大胆猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”)． 由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.2. 证明已知：在△ABC 中，∠B=∠C （如图）． 求证：AB=AC ．（学生讨论交流，板演证明过程） 证明：作∠BAC 的平分线AD ． 在△BAD 和△CAD 中12,,,B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAD （AAS ）．∴AB=AC ．提问：你还有不同的证明方法吗？（由学生口述证明过程）3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：在△ABC 中 ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC （等角对等边） 4、等腰三角形的性质与判定有区别吗? 性质是:等边等角判定是:等角等边5.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理 下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用． 三 ：学以致用[例1]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．这个题是文字叙述的证明题，•我们首先得根据题意画出相应的几何图形，再将文字语言转化成相应的数学语言21D CAB已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）． 求证：AB=AC ．（由学生独立思考完成分析过程，证明过程） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等）． 又∵∠1=∠2， ∴∠B=∠C ，∴AB=AC （等角对等边）． 习题1.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ． 求证：AB=AD ．（学生口述证明过程，多媒体课件演示证明过程） 证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC （两直线平行，内错角相等）． 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD （等角对等边）．例2、思考：在△ABC 中,已知,AB=AC ,BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB.过点O 作直线EF//BC交AB 于E,交AC 于F.（1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由.（2）线段EF 和线段EB,FC 之间有没有关系?若有是什么关系?(3)若AB ≠AC 线段EF 和线段EB,FC 之间有没有关系?若有是什么关系?此时图中有多少个等腰三角形?21EDCABDCAB❾•例3、已知等腰三角形的底边等于a，底边上的高等于b，你能用尺规作图的方法作出这个等腰三角形吗？ab作法：（1）作线段BC，使BC=a；（2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D；（3）在MN上截取DA=h,得A点；（4）连结AB、AC，则△ABC即为所求等腰三角形。
等腰三角形的判定教案
等腰三角形的判定教海伦市海北一中丁雅珍教学目标2．理解判定定理与性质定理的区别；3．通过定理教学，提高分析问题、解决问题的能力；4．渗透数学源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点．教学重点、难点：1．重点：等腰三角形的判定定理及其运用．2．难点：等腰三角形的判定定理与性质定理的区别与联系；文字证明题根据图形写出已知、求证．教学过程一、提出问题，创设情境出示投影片．某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．（详略）学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”二、动手实验，发现新知1．由性质定理的题设和结论的变化，引出研究的内容——在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？师生共同操作：作一个两个角相等的三角形(教师在黑板上做，学生在一张白纸上做)，然后观察两等角所对的边有什么关系？2．学生回答发现的结果，引出命题(板书命题)3．教师引导学生根据图形，写出已知、求证．学生思考证明思路，由学生说出一种证法(教师扳书)，教师进一步鼓励学生讨论证明此题的其他方法，形成对定理的深刻印象．(教师对学生的回答给予评价)4．教师对定理进行小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)．强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”．5．引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据．三、变式练习、巩固新知1. 教材习题.2．以问题形式引出推论l.3．以问题形式引出推论2.四、例题教学，运用新知1．投影如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．2．引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．五、强化训练，掌握新知（详见教材）六、课堂小结1．判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？2．判定一个三角形是等边三角形有几种方法？3．等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4．现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？思考题，利用今天学到的知识，思考怎样校园测旗杆高度？七、布置作业。
等腰三角形判定教案5篇
等腰三角形判定教案5篇等腰三角形判定教案5篇本节内容的重点是三角形三边关系定理及推论.这个定理与推论不仅给出了三角形的三边之间的大小关系，更重要的是提供了判断三条线段能否组成三角形的标准;下面是小编给大家整理的等腰三角形判定教案5篇，希望大家能有所收获!等腰三角形判定教案1一、教学目标：1.使学生掌握等腰三角形的判定定理及其推论;2.掌握等腰三角形判定定理的运用;3.通过例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;4.通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;5.通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.二、教学重点：等腰三角形的判定定理三、教学难点性质与判定的区别四、教学流程1、新课背景知识复习(1)请同学们说出互逆命题和互逆定理的概念估计学生能用自己的语言说出，这里重点复习怎样分清题设和结论。
(2)等腰三角形的性质定理的内容是什么?并检验它的逆命题是否为真命题?启发学生用自己的语言叙述上述结论，教师稍加整理后给出规范叙述：1.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.(简称“等角对等边”).由学生说出已知、求证，使学生进一步熟悉文字转化为数学语言的方法.已知：如图，△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.教师可引导学生分析：联想证有关线段相等的知识知道，先需构成以AB、AC为对应边的全等三角形.因为已知∠B=∠C，没有对应相等边，所以需添辅助线为两个三角形的公共边，因此辅助线应从A点引起.再让学生回想等腰三角形中常添的辅助线，学生可找出作∠BAC的平分线AD或作BC边上的高AD等证三角形全等的不同方法，从而推出AB=AC.注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.(2)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形.(3)判定定理得到的结论是三角形是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系.2.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.要让学生自己推证这两条推论.小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理.证明三角形是等边三角形的方法：①等边三角形定义;②推论1;③推论2.3.应用举例例1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.分析:让学生画图，写出已知求证，启发学生遇到已知中有外角时，常常考虑应用外角的两个特性①它与相邻的内角互补;②它等于与它不相邻的两个内角的和.要证AB=AC，可先证明∠B=∠C，因为已知∠1=∠2，所以可以设法找出∠B、∠C与∠1、∠2的关系.已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求证：AB=AC.证明：(略)由学生板演即可.补充例题：(投影展示)1.已知：如图，AB=AD，∠B=∠D.求证：CB=CD.分析：解具体问题时要突出边角转换环节，要证CB=CD，需构造一个以 CB、CD 为腰的等腰三角形，连结BD，需证∠CBD=∠CDB，但已知∠B=∠D，由AB=AD可证∠ABD=∠ADB，从而证得∠CDB=∠CBD，推出CB=CD.证明：连结BD，在中，(已知)(等边对等角)(已知)即(等角对等边)小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系.2.已知，在中，的平分线与的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF. 分析：对于三个线段间关系，尽量转化为等量关系，由于本题有两个角平分线和平行线，可以通过角找边的关系，BE=DE,DF=CF即可证明结论.证明： DE//BC(已知)，BE=DE,同理DF=CF. EF=DE-DF EF=BE-CF 小结：(1)等腰三角形判定定理及推论.(2)等腰三角形和等边三角形的证法.七.练习教材 P.75中1、2、3.八.作业教材 P.83 中 1.1)、2)、3);2、3、4、5.五、板书设计等腰三角形判定教案2§12.3.1.2 等腰三角形判定教学目标(一)教学知识点探索等腰三角形的判定定理.(二)能力训练要求通过探索等腰三角形的判定定理及其例题的学习，提高学生的逻辑思维能力及分析问题解决问题的能力;(三)情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力.教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用。
13.3.1等腰三角形的判定教案
XX市XXX中学统一备课用纸科目数学年级八年级班级授课时间2020 年月日课题13.3.1等腰三角形的判定2 课型新授课教学目标1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论2、能利用其性质与判定证明线段或角的相等关系.教学重点等腰三角形的判定定理及推论的运用教学难点正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教具准备多媒体及课件教学内容及过程教学方法和手一、情境导入二、建立模型已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?三、知识归纳如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，( )∴AC=AB. ( )即△ABC为等腰三角形.基础小练1.如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．四、典例精析例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求证：AB=AC．证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．例2已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形. 作法：（1）作线段AB =a；（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC =h；（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.4.已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB=AD5.如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？五、课堂小结作业布置板书设计教学反思。
人教版八年级数学上册《等腰三角形判定》教学设计
课题：《13.3.2等腰三角形的判定》教学设计第一部分：教学设计说明（一）教材分析等腰三角形判定定理位于人教版第十三章轴对称的第三小节。
等腰三角形是一类特殊的三角形，因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛。
等腰三角形的判定是初中数学一个重要定理，也是本章的重点内容。
本节内容是在学生已有的平行线性质判定、全等三角形判定以及等腰三角形性质等知识的基础上进一步研究的问题。
该判定的特点之一是揭示了同一个三角形的边、角关系；特点之二是它与等腰三角形的性质定理互为逆定理；特点之三是它为我们提供了证明线段相等的新方法，为以后学习提供了证明和计算的依据，有助于培养学生思维的灵活性和广阔性。
所以本段教材承上启下、至关重要。
本节课重点通过学生动手画等腰三角形，在作图过程中探索等腰三角形的判定定理，不断发展学生合情推理和演绎推理能力。
（二）学情分析纵观整个初中平面几何教材，学生已经在七年级学习过相交线与平行线，八年级上学期学习过三角形、全等三角形、轴对称以及等腰三角形性质等知识，在本章它则是在学生掌握了上述内容、灵活应用并具备初步的观察、操作等活动经验的基础上讲授的。
这一节课既是前面所学知识的升华，又为后面学习特殊几何图形等知识奠定了基础，起着承前启后的作用。
教材从学生的认知水平出发，学生独立思考通过作图的方式，与同伴交流、探索、总结、归纳，升华得到等腰三角形的判定定理，这样能够让学生在探索过程中习得知识。
初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，也有着独特的认识问题和解决问题的思维方式。
本班学生水平层次属于中等偏上，理解能力以及思维水平都可以达到课堂的要求，并在之前的教学过程中形成了合作交流、勇于探索、敢于质疑的良好学风，知识掌握方面学生对于之前所学习过的几何知识掌握比较好并可以做到灵活应用，这也成为本节课能够顺利进行提供了条件。
（三）教学设计理念数学教学要遵循学生学习数学的心理规律，数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上。
13.3.1等腰三角形的判定教案
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
其次，我发现通过小组讨论和实验操作，学生们的参与度和积极性得到了很大提高。他们在交流分享中碰撞出思维的火花，有助于加深对等腰三角形知识点的理解。但同时，我也注意到在讨论过程中，部分学生过于依赖小组其他成员，自己思考不足。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生独立思考，提高他们的自主学习能力。
此外，对于教学难点的处理，我认为自己在引导学生突破难点方面做得还不够。在今后的教学中，我需要更加耐心地解答学生的问题，用更生动形象的语言和例子来帮助他们理解。同时，加强课堂练习，让学生在实践中不断提高。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个等腰三角形的模型，演示其性质和判定定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
13.3.1等腰三角形的判定教案
一、教学内容
《13.3.1等腰三角形的判定教案》
1.等腰三角形的定义：两边长度相等的三角形。
2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
3.等腰三角形的判定定理：
a.两边相等的三角形是等腰三角形。
b.两角相等的三角形是等腰三角形。
《等腰三角形的判定》教案
《等腰三角形的判定》教案一、教学目标1、掌握等腰三角形的概念和性质；2、掌握等腰三角形的判定方法；3、能够运用等腰三角形的判定解决一些实际问题。
二、重点难点1等腰三角形的判定方法的证明；2、对等腰三角形性质的理解和应用。
三、教学方法本节课采用直观演示法、讲解法、练习法和小组讨论法等多种教学方法的有机结合，使学生能够更好地理解和掌握等腰三角形的判定方法。
四、教学过程1、导入新课通过回顾等腰三角形的定义和性质，引出本节课的课题——等腰三角形的判定。
2、新课讲解通过讲解和演示，让学生理解等腰三角形的判定方法，并给出证明过程。
同时，通过例题的讲解，让学生更好地理解等腰三角形的判定方法的应用。
3、练习巩固通过练习和小组讨论，让学生更好地掌握等腰三角形的判定方法，并能够运用该方法解决一些实际问题。
同时，通过小组讨论，培养学生的合作精神和创新意识。
4、课堂小结对本节课所学内容进行回顾和总结，强调等腰三角形的重要性和判定方法的重要性。
同时，让学生提出自己在本节课中的收获和不足之处，以便更好地进行学习。
5、布置作业通过布置作业，让学生进一步巩固所学知识，并能够运用所学知识解决一些实际问题。
同时，通过作业的批改和反馈，及时发现学生在学习中存在的问题并进行有针对性的指导。
五、教后感悟通过本节课的教学，我深刻认识到学生的学习能力和思维方式的差异，因此在教学中应该注重因材施教，注重培养学生的自主学习能力和创新精神。
我也意识到教师的引导作用和学生主体地位的有机结合的重要性，因此在教学中应该注重启发式教学和小组讨论等教学方法的运用，让学生更好地参与到课堂中来，提高学生的学习积极性和主动性。
相似三角形的判定三教案一、教学目标1、理解并掌握相似三角形的第三种判定方法——平行线分线段成比例定理的应用。
2、培养学生观察、推理和归纳的能力，发展学生的空间观念。
3、通过对相似三角形判定的探究，让学生体验数学证明的必要性，感受数学学习的乐趣。
北师大2024八年级数学下册 1.1 第3课时 等腰三角形的判定与反证法 教案
1.1 等腰三角形主要师生活动一、创设情境，导入新知如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B =∠C. 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点(不考虑风浪因素)？师生活动：让学生自主探究，举手回答问题（学生积极踊跃发言，问答提出的问题.）复习回答：问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？二、探究新知二、小组合作，探究概念和性质知识点一：等腰三角形的判定前面已经证明了等腰三角形的两底角相等.反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?回顾导入：建立数学模型：如图，在△ABC中，∠B =∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?方法思考：∠作高AD可以吗?∠作角平分线AD呢?∠作中线AD呢?师追问：你能验证你的结论吗？证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.在∠ABD与∠ACD中，∠∠ABD∠∠ACD (AAS).∠ AB = AC.学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作CA的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的设计意图：中这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径，同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫，设计意图：由浅入深，引导学生将实际问题转化为数学问题，培养数形结合思想.设计意图：学生通过观察、思考、证明、归纳等腰三角形的判定方法，培养学生的证明能力，体会解决等腰三角形问题的常用辅助线是作等腰三角形底边上的高线、顶角的角.公理化思想的机会，教师应注意引导，教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”).应用格式：在∠ABC中，∠∠B =∠C，∠ AB = AC (等角对等边).辨一辨：如图，下列推理正确吗?∵∵1 = ∵2 ，∵ BD = DC(等角对等边).∵∵1 =∵2 ，∵ DC = BC(等角对等边).错，因为都不是在同一个三角形中.典例精析例1 已知：如图，AB = DC，BD = CA，BD与CA相交于点E.求证：∠AED是等腰三角形.证明：∠ AB = DC，BD = CA，AD = DA，∠∠ABD∠∠DCA (SSS).∠∠ADB =∠DAC (全等三角形的对应角相等).∠ AE = DE (等角对等边).∠∠AED是等腰三角形.知识点二：反证法设计意图：给学生独立思考时间，再讨论交流，教师要适当引导，进一步规范学生推理过程的书写.想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗? 如果成立，你能证明它吗?在∠ABC中，如果∠B ≠∠C，那么AB ≠ AC.师生活动：学生先思考，然后小组讨论，发现用正常的证明思路不好解决问题，教师此时提出反证法并出示小明的解题过程.小明是这样想的：如图，在∠ABC中，已知∠B≠∠C，此时，AB与AC要么相等，要么不相等.假设AB= AC，那么根据“等角对等边”定理可得∠B =∠C，但已知条件是∠B ≠∠C.“∠B =∠C ”与“∠B≠∠C ”相矛盾，因此AB ≠ AC.你能理解他的推理过程吗?师生活动：师生一同认识反证法的概念，并总结反证法的证明步骤.反证法概念：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出与已知条件或基本事实或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证题的一般步骤：1. 假设：先假设命题的结论不成立；2. 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果；3. 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角三、当堂练习，巩固所学是直角.已知：∠ABC．求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．这与三角形的内角和定理矛盾，故假设不成立．所以一个三角形中不能有两个角是直角．三、当堂练习，巩固所学1. 已知：如图，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，∠∠1 = °，∠2 = °；∠ 图中有个等腰三角形；∠ 若AD = 4 cm，则BC = cm；∠ 若过点D作DE∠BC，交AB于点E，则图中有个等腰三角形.2. 已知：等腰三角形ABC的底角平分线BD，CE相交于点O.求证：∠OBC为等腰三角形.3.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交.设计意图：通过例2，让学生初步感受反证法的证明思路与书写的过程，体会反证法的证明与作用.设计意图：通过设置课堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，在问题的选择上以基础为主，灵活运用所学知识解决问题，巩固新知.已知：直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∠ l2，l3与l1相交于点P.求证：l3与l2相交.证明：假设______________，那么________.因为已知_________，所以过直线l2外一点P，有两条直线和l2平行，这与“__________________________________________” 矛盾.所以___________，即求证的命题正确.等腰三角形的判定与反证法。
等腰三角形的判定与性质-教案
教学过程一、复习预习1、什么是等腰三角形？2、你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形栽剪下来。
3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质二、知识讲解考点/易错点1如图△ABC中AB=AC请你说说等腰三角形的性质有哪些？1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合(三线合一)。
考点/易错点2据三线合一，作这条辅助线有几种说法？有三种。
1、作顶角平分线2、底边上的高3、底边上的中线考点/易错点3等腰三角形的判定：1、等角对等边2、两边相等三、例题精析【例题1】【题干】如图位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处的遇险报警，当时测得∠A=∠B。
如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？【答案】解：如图作AB边上的高OC，由∠ ACO= ∠ BCO，∠ A= ∠ B， OC=OC得△ACO≌ △ BCO（AAS）∴ OA=OB从而肯定两艘救生船以同样的速度同时出发，大约能同时赶到出事地点。
【解析】等腰三角形的判定【例题2】【题干】下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（）A、等腰三角形两底角相等B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合C、等腰三角形是中心对称图形D、等腰三角形是轴对称图形【答案】解：A、等腰三角形两底角相等，故本选项正确；B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故本选项正确；C、等腰三角形不是中心对称图形，故本选项错误；D、等腰三角形是轴对称图形，故本选项正确．故选C．【解析】根据等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等（等边对等角），等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（三线合一），等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，即可求得答案．【例题3】【题干】如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是（）A、9cmB、12cmC、15cm或12cmD、15cm【答案】解：当6为腰，3为底时，6-3＜6＜6+3，能构成等腰三角形，周长为5+5+3=13；当3为腰，6为底时，3+3=6，不能构成三角形．故选D．【解析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．【例题4】【题干】如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A、2.5秒B、3秒C、3.5秒D、4秒【答案】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ 是等腰三角形时，AP=AQ ，即20﹣3x=2x ，解得x=4．故选D ．【解析】设运动的时间为x ，则AP=20﹣3x ，当APQ 是等腰三角形时，AP=AQ ，则20﹣3x=2x ，解得x 即可．【例题5】【题干】如图，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度），若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有（ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．9个【答案】解：根据题意可知：以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，故3×2=6，同时，还可以以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，∴符合要求的新三角形有7个， 故选C ．【解析】根据题意进行分析可知：以原三角形每条边为底边分别可以画出两个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形即有6个，以原直角三角形斜边为腰画出一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，从而得出结论．【例题6】【题干】如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（ ）A ．1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513【答案】解：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝ 21×10＝5 ∴AD ＝22513- ＝12．∵△ABC 的面积是△ABD 面积的2倍． ∴2•21AB •DE ＝ 21•BC •AD ， ∴ DE ＝1321210⨯⨯＝1360． 故选C ．【解析】可用面积相等求出DE 的长，知道三边的长，可求出BC 边上的高，连接AD ，△ABC的面积是△ABD 面积的2倍．【例题7】【题干】如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE ．若∠A=30°，AB=AC ，则∠BDE 的度数为何（ ）E DBAE DBAA、45B、52.5C、67.5D、75【答案】解；∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=（180﹣30）=75°，∵以B为圆心，BC长为半径画弧，∴BE=BD=BC，∴∠BDC=∠ACB=75°，∴∠CBD=180﹣75﹣75=30°，∴∠DBC=75﹣30=45°，∴∠BED=∠BDE=（180﹣45）=67.5°．故选C．【解析】根据AB=AC，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=45°，然后即可求出∠BDE的度数．【例题8】【题干】在正方形网格图①．图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格点B．C．D．E．F．G．H中选取，并且所画的两个三角形不全等．【答案】解：【解析】可以以正方形的对边的顶点为等腰三角形的两个底边的顶点，以这两点连线的中垂线经过的点为顶角顶点，即可作出等腰三角形．四、课堂运用【基础】1.如图，矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，则图中的等腰三角形有（）A、2个B、4个C、6个D、8个分析：本题需先根据矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，从而得出图中等腰三角形中的个数，即可得出正确答案．答案：解：∵矩形ABCD中，AB＜BC，对角线AC、BD相交于点O，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴图中的等腰三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC四个．故选B．2.等腰三角形的两条边长分别为3、6，那么它的周长为（）A.15B.12C.12或15D.不能确定分析：根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；解答：解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；∴腰长为6，∴周长为6+6+3=15．故选A．3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE=5，则AB的长为．分析：根据垂线的性质推知△ADC 是直角三角形；然后在直角三角形ADC 中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得AC =10；最后由等腰三角形ABC 的两腰AB =AC ，求得AB =10． 解答：解：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，∴△ADC 是直角三角形；∵E 是AC 的中点．∴DE =21AC （直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）；又∵DE =5，AB =AC ， ∴AB =10；故答案为：10．4. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则△ABC 的外角∠BCD = 110 度．分析：根据等腰三角形的性质得到∠B =∠ACB ，根据三角形的内角和定理求出∠B ，∠根据三角形的外角性质即可求出答案．解答：解：∵AB =AC ，∴∠B =∠ACB ，∵∠A =40°，∴∠B =∠ACB =12（180°﹣∠A ）=70°， ∴∠BCD =∠A +∠B =40°+70°=110°，故答案为：110．【巩固】1. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于E ，下述结论错误的是（ ）A 、BD 平分∠ABCB 、△BCD 的周长等于AB+BCC 、AD=BD=BCD 、点D 是线段AC 的中点分析：由在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC 与∠C 的度数，又由AB 的垂直平分线是DE ，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD ，继而求得∠ABD 的度数，则可知BD 平分∠ABC；可得△BCD 的周长等于AB+BC ，又可求得∠BDC的度数，求得AD=BD=BC，则可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，∵AB的垂直平分线是DE，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，∴BD平分∠ABC，故A正确；∴△BCD的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故B正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴AD=BD=BC，故C正确；∵BD＞CD，∴AD＞CD，∴点D不是线段AC的中点，故D错误．故选D．2.等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .分析：已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．解答：解：当腰是4时，则另两边是4，6，且4+4＞6，6﹣4＜4，满足三边关系定理，当底边是4时，另两边长是5，5，5+4＞5，5﹣4＜5，满足三边关系定理，∴该等腰三角形的底边为4或6，故答案为：4或6．3. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为72°．分析：由AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，根据三角形内角和180°可求得∠B等于∠ACB，并能求出其角度，在△DBC求得所求角度．解答：解：∵AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，∴∠B=（180°﹣36°）÷2=72°，∠DCB=36°．∴∠BDC=72°．故答案为：72°．4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°．（1）求∠DAC的度数；（2）求证：DC＝AB．分析：（1）由AB＝AC，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B＝∠C＝30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC＝120°，而∠DAB＝45°，则∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°；（2）根据三角形外角性质和得到∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，而由（1）得到∠DAC＝75°，再根据等腰三角形的判定可得DC＝AC，这样即可得到结论．解答：（1）解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵∠C+∠BAC+∠B＝180°，∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°，∵∠DAB＝45°，∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°；（2）证明：∵∠DAB＝45°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝75°，∴∠DAC＝∠ADC，∴DC＝AC，∴DC＝AB．【拔高】1.如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1分析：重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x，再求BB1．解答：解：设B1C=2x，根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形， 则B 1C 边上的高为x ，∴12×x×2x=2，解得，∴BB 1=BC ﹣B 12. 如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 15 度．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E 的度数．解答：解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG=CD ，∴∠CDG=30°，∠FDE =150°， ∵DF=DE ， ∴∠E=15°． 故答案为：15．3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 边上一点，∠B =30°，∠DAB =45°．（1）求∠DAC 的度数； （2）求证：DC =AB ．分析：（1）由AB =AC ，根据等腰三角形的两底角相等得到∠B =∠C =30°，再根据三角形的内角和定理可计算出∠BAC =120°，而∠DAB =45°，则∠DAC =∠BAC ﹣∠DAB =120°﹣45°； （2）根据三角形外角性质和得到∠ADC =∠B +∠DAB =75°，而由（1）得到∠DAC =75°，再根据等腰三角形的判定可得DC =AC ，这样即可得到结论． 解答：（1）解：∵AB =AC ， ∴∠B =∠C =30°， ∵∠C +∠BAC +∠B =180°， ∴∠BAC =180°﹣30°﹣30°=120°， ∵∠DAB =45°，∴∠DAC =∠BAC ﹣∠DAB =120°﹣45°=75°； （2）证明：∵∠DAB =45°， ∴∠ADC =∠B +∠DAB =75°， ∴∠DAC =∠ADC ， ∴DC =AC ， ∴DC =AB ．4. 某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长为6m 、8m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．分析：原题并没有给出图形，要根据题意画出符合题意的图形，画出图形后，可知本题实际上应三类情况讨论：一是将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，如图1；二是延长BC 至点D ，使CD ＝4，则BD ＝AB ＝10，得等腰三角形ABD ，如图2；三是作斜边AB 的中垂线交BC 的延长线于点D ，则DA ＝DB ，得等腰三角形ABD ，如图3．先作出符合条件的图形后，再根据勾股定理进行求解即可．解答：分三类情况讨论如下：（1）如图1所示，原来的花圃为Rt△ABC ，其中BC ＝6m ，AC ＝8m ，∠ACB ＝90°．由勾股定理易知AB ＝10m ，将△ABC 沿直线AC 翻折180°后，得等腰三角形ABD ，此时，AD ＝10m ，CD ＝6m ．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32（m ）．（2）如图2，因为BC ＝6m ，CD ＝4m ，所以BD ＝AB ＝10m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得AD ＝2284 ＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45（m ）．（3）如图3，设△ABD 中DA ＝DB ，再设CD ＝x m ，则DA ＝(x ＋6)m ，在Rt△ACD 中，由勾股定理得x 2＋82＝(x ＋6)2，解得x ＝37∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x ＋6)＝380（m ）．课程小结课后作业【基础】1. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠B =40°，则∠A = 100° ．考点等腰三角形的性质；三角形内角和定理分析：由AB =AC ，根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C =40°，再利用三角形的内角和为180°即可求出∠A ．解答：解：∵AB =AC ，∴∠B =∠C =40°，∴∠A =180°﹣40°﹣40°=100°．故答案为：100°C46C图3x6C2. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=．分析：由已知条件，利用等边三角形三线合一的性质进行求解．解答：解：∵AB=CA，∴△ABC是等腰三角形，∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，∵∠BAD=20°．∴∠C=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=度．分析：根据在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，利用三角形内角和定理求出∠B=∠C=50°，再利用BE=BP，求出∠B，然后即可求得∠EPF，即可解题．解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，∴∠B=∠C=50°，∵BE=BP，∴∠B=∠EPB=65°，同理，∠FPC=65°，∠EPF=180°﹣65°﹣65°=50°．故答案为：50°．【巩固】1.如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A= 80°．分析：根据等腰三角形的性质，∠B=∠C=50°，然后根据三角形内角和定理就可推出∠A 的度数解答：解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=50°∴∠C=50°∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°故答案为80°．2. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．求证：AC=AD；分析：根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；解答：证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，∵AD平分∠FAC，∴∠FAD=∠B，∴AD∥BC，∴∠D=∠DCE，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∴∠D=∠ACD，∴AC=AD；3.已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证：AB=AC．分析：根据在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC，求证△AED≌△ADC，然后利用等量代换即可求的结论．解答：证明：∵AD平分∠EDC，∴∠ADE=∠ADC，∵DE=DC，∴△AED≌△ADC，∴∠C=∠E，∵∠E=∠B．∴∠C=∠B，∴AB=AC．4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．分析：（1）ED是AC的垂直平分线，可得AE=EC；∠A=∠C；已知∠A=36，即可求得；（2）△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可得∠B=72°又∠BEC=∠A+∠ECA=72°，所以，得BC=EC=5；解答：解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．答：（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【拔高】1.腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为6或2或4．分析：根据不同边上的高为4分类讨论即可得到本题的答案．解答：解：①如图1当AB=AC=5，AD=4，则BD=CD=3，∴底边长为6；②如图2．当AB=AC =5，CD =4时，则AD =3， ∴BD =2，∴BC =2242 =52， ∴此时底边长为52； ③如图3：当AB=AC =5，CD =4时，则AD=3， ∴BD =8， ∴BC =45，∴此时底边长为45． 故答案为：6或52或45．2. 如图，已知∠AOB=α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1=OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2=B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律上去，记∠A 2B 1B 2=θ1，∠A 3B 2B 3=θ2，…，∠A n+1B n B n+1=θn ，则（1）θ1= ； （2）θn = ．分析：设∠A 1B 1O=x ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=1802α︒+；同理求得θ2=11802θ︒+；即可发现其中的规律，按照此规律即可求得答案．解答：解：（1）设∠A 1B 1O=x ， 则α+2x=180°，x=180°﹣θ1， ∴θ1=1802α︒+；（2）设∠A 2B 2B 1=y ，则θ2+y=180°，θ1+2y=180°， ∴θ2=11802θ︒+； … θn =11802n θ-︒+． 故答案为别为：θ1=1802α︒+；θn =()211802n nα-⋅︒+．。
13.3.2等腰三角形的判定(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“13.3.2等腰三角形的判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两边相等的三角形？”比如，你们在剪纸或者搭建模型时，是否注意到了这种特殊的三角形？这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索等腰三角形的奥秘。
-能够在解决实际问题时，运用逻辑推理进行论证。
3.培养数学建模能力：学生能够运用等腰三角形的性质解决实际问题，建立数学模型，提升解决问题的能力。
-能够构建等腰三角形模型解决相关几何问题。
-能够将等腰三角形的性质应用于实生活中的问题情境。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解等腰三角形的定义：等腰三角形是指具有两条边相等的三角形，这是本节课的核心概念。教师应通过直观的图形演示和实际操作，让学生深刻理解等腰三角形的这一基本特征。
在讲授过程中，我尽量用生动的语言和实际的例子来解释等腰三角形的性质，希望通过这种方式让学生感受到几何学习的乐趣。同时，我也尝试通过提问和引导，让学生主动思考，参与到课堂讨论中来。但从小组讨论的情况来看，学生的积极性还有待提高，可能我需要设计更有趣、更具挑战性的问题来激发他们的兴趣。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利，大多数学生能够运用所学知识解决问题。但在成果展示时，我发现有些小组的表达不够清晰，可能我需要在以后的教学中加强对学生表达能力的培养。
-难点三：解决实际问题时，构建等腰三角形模型的能力。学生可能难以将现实生活中的问题抽象成等腰三角形的几何问题。
举例：
-难点一：给定一个三角形，其中两边长度相等，要求学生证明这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定
《等腰三角形的判定》教案课题等腰三角形(2)主备人课时安排 1 课型新课复备人教学目标①会阐述、推证等腰三角形的判定定理．②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值教学重点等腰三角形的判定定理的探索和应用教学难点等腰三角形的判定与性质的区别教学方法教具师生准备作图工具．教学过程设计复备创设情境，提出问题出示课本123页思考题．学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，假如有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?注：以实际问题展开数学思考，突出数学与现实的联系．学生猜测它们所对的边相等．即：假如一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的两条边也相等．注：引导学生类比等腰三角形性质定理实行猜测、表达．如何验证?学生根据命题画出图形，并写出已知、求证．已知：如图在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC学生寻求证明途径．注：引发学生思考，寻求验证途径．探索分析,解决问题1．分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两三角形，并证明它们全等．注：让学生体验分析的重要性，逐步培养在几何证题中的分析水平．学生深入讨论分析后发现：此时辅助线可作AD⊥BC于D；或AD平分∠BAC交BC于D；但不能作BC边上的中线．2．得出等腰三角形的判定定理．命题能够有以下几种表达方法：①假如一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边”．(突出已知角与所对边的对应关系．)②假如一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．(突出判定等腰三角形的功能．)注：多种表达方法，使学生更好地理解等腰三角形的判定定理．教师提示：注意纠正语言上不严谨的错误，不要说成：“假如一个三角形有两个底角相等，那么它是等腰三角形．”提升语言表述的严谨与科学．应用举例,变式练习出示教科书124页例2．求证：假如三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．注：即时巩固，反馈调控．让学生再次经历命题的证明过程．引导学生根据命题画图，利用平分线的性质及“等角对等边”来证明。
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附件：教学设计模板
教学设计模板
一创设问题情境，以旧引新，探索等
腰三角形的判定
1．请同学们画一任意角∠AOB，
作∠AOB的平分线OD，点
C在平分线上，过点C作
CE∥OB交OA于点E，则得
到的△OEC是等腰三角
形。
为什么？
2、让学生根据命题画出图形，探索命题是否成立，并正确写出已知，求证。
学生审题
动手画图
已知：如图，△ABC中，∠B=
∠C。
求证：AB=AC
以学生动手画图来激
发学生学习的兴趣，并
以此引出如果一个三
角形中有两个角相等，
那么这个三角形是等
腰三角形这个命题，直
击课题，引入新知
利用等腰三角形的轴
对称性，启迪学生添加
辅助线（高或角平分
线），转化为三角形全
等的问题。
这种方法在
以后学习平行四边形、
梯形等特殊四边形时
会反复用到。
二、类比、联想、感知，证明等腰三
角形的判定定理
1．思路分析：引导学生联想等腰三角形的轴对称性或类比等腰三角形性质定理的证明思路，添加辅助线，构造以AB、AC为边的两个三角形，并证明它们全等。
（利用证三角形全等是目前证明两条线段相等的基本思路。
）
2．完成证明，得出等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
3．比较性质定理与判定定理的联系与区别
叫一名学生上黑板写出证明过
程，其他学生自己思考解决
让学生注意的是：在性质定理
的证明过程中，三种辅助线作法均
可；而这里只能过点A作AD⊥BC
于D或作AD平分∠BAC，交BC于
点D，但是不能作BC边上的中线，
因为“SSA”不能直接作为三角形全
等的判定，也无法利用其它辅助手
段来证明。
口答，学生之间相互补充。
体现学生自主解决问
题的能力，教师观察其
他学生的作法，适时给
予点拨、肯定。
最后让
学生发言提供其它思
路，互相纠正出现的问
题，这里体现学生的合
作学习共同学习，并给
予鼓励性评价。
对比理解和记忆
三、应用举例
例题学习
1、求证：如果三角形一个外角的
例题学习，总结解题方法，
规范解题格式。
强调等腰三角形的
判定是在一个三角形中把角的相等
虽然在前面等腰
三角形性质定理的学
平分线平行于三角形一边，那么这个三角形是等腰三角形。
2、如图,上午10 时，一条船从A 处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B 望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离关系转化为边的相等关系的重要依
据，是继用三角形全等证明两线段
相等后的又一重要方法。
习中学生已有证明文
字命题的经历，但还不
能自己根据题意，分清
题设、结论，画图并写
出已知和求证，因此，
教师必须给予及时的
指导。
在这里注意纠正
学生不规范叙述。
本题
主要考察角平分线的
性质和判定“等角对等
边”的使用。
提醒学生
遇到外角考虑外角特
性：①它与相邻内角互
补；②它等于与它不相
邻的两个内角的和。
四、变式练习，巩固提高
1、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°。
分别计算∠1、∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？
根据新课程标准，要增强学生
的数学应用意识，让学生体会数学
的应用价值；为了提高学生的学习
兴趣与积极性，培养勇于探索的精
神。
本题所涉及图形是一
个重要的基本图形，曾
在本章“三角形的内角
和（课本第12页例1）”、
“等腰三角形的性质
（课本第76页例1）”
出现过两次，并且在第
五章《相似三角形》“黄
金分割”和初三几何第
七章《圆》“正多边形
和圆（课本第150页例
3）”中还要相继出现，
所以有必要让学生熟
悉并掌握。
本题属于一题多解题
目，既由折叠可以证三
角形全等得边相等又
可以结合两直线平行
得角相等后转化用判
定来证明
3、如图，AC和BD相交于点O，且AB ∥DC，OA=OB。
求证：OC=OD。
4、已知：如图，CD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，找出图中有哪些等腰
直角三角形。
5、已知：如图，AD ∥BC，BD平分∠ABC。
求证：AB=AD
根据新课程标准，要增强学生
的数学应用意识，让学生体会数学
的应用价值；为了提高学生的学习
兴趣与积极性，培养勇于探索的精
神。
根据这节课知识点考
察学生运用等腰三角
形性质和判定的情况
五、小结
1．引导学生归纳总结等腰三角形的判定方法：
（1）定义（2）判定定理
2．等腰三角形的性质定理与判定定理的区别；
3．思想方法：证明线段相等的思路现在有两个：
（1）利用三角形全等
（2）利用等腰三角形的判定
4．在一个三角形中，证明边相等学生记忆的知识点
通过引导学生小结本
节主要知识，让学生养
成“学习———总结—
—学习”的良好学习习
惯，培养学生的口头语
言表述能力。