确定圆的条件-初中数学习题集含答案

确定圆的条件（北京习题集）（教师版）
一．选择题（共2小题）
1．（2011秋•西城区校级期中）下列说法正确的个数有
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③等腰三角形的外心一定在它的内部；④同圆中等弦对等弧．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．（2010秋•大兴区期末）在同一平面内，过已知、、三个点可以作圆的个数为
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．0个或1个
二．填空题（共2小题）
3．（2008秋•昌平区期末）聪聪用铅笔在一张白纸上点了一点，然后拿起一把直尺，平放在纸上，让尺子的一条边贴住这个点，用铅笔沿直尺的另一边画了一条直线（如图，聪聪又把尺子换了位置，用刚才方法接着画出了第二条直线、第三条直线、（如图，慢慢的中间出现了一个圆（如图．请说说聪聪用直尺画圆的道理是 ．
4．（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
三．解答题（共2小题）
5．（2013秋•密云县期末）操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
()A B C ()O O 1) 2)3)A B C A B C
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑与之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
6．（2009•大兴区二模）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形，，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）①在损矩形内是否存在点，使得、、、四个点都在以为圆心的同一圆上？如果有，请指出点的具体位置；
②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）．
B D ∠+∠180︒ABCD 90AB
C ADC ∠=∠=︒ABC
D O A B C D O O ABCD
确定圆的条件（北京习题集）（教师版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．（2011秋•西城区校级期中）下列说法正确的个数有
①平分弦的直径垂直于弦；②三点确定一个圆；③等腰三角形的外心一定在它的内部；④同圆中等弦对等弧．
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【分析】首先对每个小选项进行细心的分析，然后做出准确的判断．
【解答】解：①、平分弦的直径垂直于弦，必须强调该弦不是直径，故原命题错误．
②、不在一条直线上的三点可以确定一个圆，故命题错误．
③、等腰三角形的外心不一定在它的内部，还可能在三角形外部和三角形上，如：钝角三角形、直角三角形．故命题错误．
④、等弦对应的优弧和劣弧是分别对应相等的，该命题符合圆心角、弦、弧定理，故正确．
故选：．
【点评】本题虽说是一道选择题，但是考查的知识点还是比较多的，涉及到确定圆的条件，三角形外切圆等知识点．
2．（2010秋•大兴区期末）在同一平面内，过已知、、三个点可以作圆的个数为
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．0个或1个
【分析】分两种情况讨论：①、、三个点共线，不能做圆；②、、三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．
【解答】解：当、、三个点共线，过、、三个点不能作圆；
当、、不在同一条直线上，过、、三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；
故选：．
【点评】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线．
二．填空题（共2小题）
3．（2008秋•昌平区期末）聪聪用铅笔在一张白纸上点了一点，然后拿起一把直尺，平放在纸上，让尺子的一条边贴住这个点，用铅笔沿直尺的另一边画了一条直线（如图，聪聪又把尺子换了位置，用刚才方法接着画出了第二条直线、第三条直线、（如图，慢慢的中间出现了一个圆（如图．请说说聪聪用直尺画圆的道理是　到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上　．
()B A B C ()A B C A B C A B C A B C A B C A B C D O O 1) 2)3)
【分析】根据题意可知每条直线到点的距离都为直尺的宽度，一直画下去等于画了，以直尺宽度为半径，以点为圆心的圆的无数条切线，所以慢慢的切点就围成了一个圆．
【解答】解：根据题意可知每条直线即以直尺宽度为半径，以点为圆心的圆的切线，
这样画下去，就会有无数的切点出现；
而到定点的距离等于定长的点都在一个圆上，
所以就慢慢的构成了一个圆．
【点评】本题考查了确定圆的条件，做题时认真思考即可求解．
4．（2019秋•北京期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是 ．
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
三．解答题（共2小题）
5．（2013秋•密云县期末）操作与探究
我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．
O O O A B C A B C (2,1)AB BC AB BC (2,1)(2,1)
（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．
（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑与之间的关系）
由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可知这些四边形的对角互补．
【解答】解：
（1）对角相等或互补（对角之和等于； 如图1，矩形中，，则；
如图2，在平行四边形中，，．
如图3，，，，，则．
综上所述，相对的两个角之间的关系是：相等或互补．
（2）如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的
关
B D ∠+∠180︒180)︒ABCD 90A B
C
D ∠=∠=∠=∠=︒180A C B D ∠+∠=∠+∠=︒ABCD A C ∠=∠B D ∠=∠180B C ∠+∠=︒180A D ∠+∠=︒A B ∠=∠C D ∠=∠180A C B D ∠+∠=∠+∠=︒
系．
图4：连接，，，
； 图5：连接，，，
．
【点评】本题考查了确定圆的条件，圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
6．（2009•大兴区二模）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图，损矩形，，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）①在损矩形内是否存在点，使得、、、四个点都在以为圆心的同一圆上？如果有，请指出点的具体位置；
②如图，直接写出符合损矩形的两个结论（不能再添加任何线段或点）．
【分析】和都是直角三角形，且有共同的斜边，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上．因而
四个顶点共圆．
【解答】解：（1）线段；
（2）①在损矩形内存在点，
使得、、、四个点都在以为圆心的同一个圆上，
是线段的中点．
②是圆内接四边形；
．
BE 180A E ∠+∠=︒Q BCD E ∠>∠180A BCD ∴∠+∠>︒DE 180A BED ∠+∠=︒Q BED C ∠>∠180A C ∴∠+∠<︒ABCD 90ABC ADC ∠=∠=︒AC ABCD O A B C D O O ABCD ADC ∆ABC ∆ABCD AC ABCD O A B C D O O AC ABCD ADB ACB ∠=∠
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，三个顶点在以斜边为直径的圆上．。