2021年1月15日四川省高2021届绵阳二诊数学试题参考答案

绵阳市高中2018级第二次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．-i

14．0.8

15．3

16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）证明：∵2

11(2)n n n n a a a a ++=+，

∴22

11112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．

又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +−=，即

1

2n n

a a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．

∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分 （2）∵1(1)1221112

n n

n n a q S q −−=

==−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >

160

9

n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>， ∴290n −>，又*n N ∈ ，

∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分

18．解：（1）由题意得，1

=(23456)45

x ⨯++++=，

1

=(35 6.5810.5) 6.65

y ⨯++++=，……………………2分1

()()18n

i

i i x

x y y =−−=∑，

21

()10n

i

i x

x =−=∑，……………………………………4分

1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分 ∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0y

x =−． ……………………………………6分

（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为 3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．

可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ， ∴P(A )=

2326

31

155

C C =

=．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=

，AC =，

由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，

即CP 2=AP 2+3

-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，

联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．

∵cos B =

∴sin B =

……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理

sin sin AB AP

APB B

=∠，

∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠， 得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0， 解得BP =3． ∴△APB

的面积为

11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21

()()2

g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0，

得4(22)4(1)2

()(22)=2m x m x g x m x x x

+−+−'=+−

=⋅

． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2

()20=≤m x g x x

+−'⨯

， 此时g (x )在(0)，

+∞上单调递减， g (x )在(0)，

+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分

②当m>-1时，f(x)在区间

2

(0)

1

，

m+

上单调递减，

在区间

2

()

1

，+

m

∞

+

上单调递增．……………………………5分

要使得函数g(x)在(0)

，+∞上有两个零点，

则

22

()44ln0

11

g

m m

=−<

++

，解得

2e

1

e

m

−

−<<．

综上，实数m的范围是

2e

1

e

m

−

−<<．………………………………………6分

（2）

4(2)(2)

()(22)

mx x

f x m mx

x x

−−

'=+−−=−，x>0．

①当0

2

(2)

，

m

上单调递增，

在(0，2)，

2

()

，+

m

∞上单调递减，

当

4

4

x

m

>+时，函数f(x)在

2

()

，+

m

∞上单调递减．

∴

14

()(22)4ln(4)0

2

f x x m mx x f

m

=+−−<+<,

∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0

②当m≥1时，函数f(x)在

2

(2)

，

m

上单调递增，

函数f(x)在

2

(0)

，

m

，(2)

，+∞上单调递减，

当

4

42

x

m

>+>时，f(x)在(2)

，+∞上单调递减，

∴

14

()(22)4ln(4)0

2

f x x m mx x f

m

=+−−<+<,

∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，

即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)

，+∞上单调递增，

∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，

解得m≥2ln2-2，

∴2ln2-2≤m≤0．

综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分