2021年1月15日四川省高2021届绵阳二诊数学试题参考答案
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即4433AB CD k k --+==，PQ y b k x a -≤=≤- y bx a --的取值范围⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 8．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.10．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 11．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年1月15日四川省高2018级2021届绵阳二诊理科数学试题及参考答案附答题卡
绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i xx y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21p p x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分 由抛物线的定义可知2||p x AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分（2）设直线l 1的方程为m kx y +=， 则5(55)(5)(0)2k m G k m E P m ++，，，，，． ∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，，消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分 ∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷 (解析版)
2021年四川省绵阳市游仙区中考数学二诊试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．4的平方根是（）A．±2B．2C．±D．2．下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝|x﹣2|D．y＝3．“中国疫苗，助力全球战疫”．据中国外交部数据显示，中国已向53个提出要求的发展中国家提供了疫苗援助，并正在向20多个国家出口疫苗．预计2021年我国生产的新冠疫苗总产能将会超过20亿剂，必将为全球抗疫作出重大贡献．将数据“20亿”用科学记数法表示为（）A．2×108B．2×109C．2×1010D．20×1084．如图是立方体的展开图，在立方体中“仙”的对面上的字是（）A．人B．杰C．地D．灵5．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位：℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（）A．众数是36.4B．中位数是36.3C．平均数是36.4D．方差是1.96．为降低成本，某出租车公司推出了“油改气”措施，如图，y1，y2分别表示燃油汽车和燃气汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需费用2倍多0.2元，设燃气汽车每千米所需费用为x元，则可列方程为（）A．B．C．D．7．一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜mB．当x≥0时，ax2+2ax+c≤cC．若（﹣，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜cD．﹣ac+bk＞08．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的4倍，则点B1的坐标为（）A．（8，6）B．（8，6）或（﹣8，﹣6）C．（16，12）D．（16，12）或（﹣16，﹣12）9．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（）A．1B．2C．D．210．如图，点A，B，C，D，E是⊙O上5个点，若AB＝AO＝2，将弧CD沿弦CD翻折，使其恰好经过点O，此时，图中阴影部分恰好形成一个“钻戒型”的轴对称图形，则“钻戒型”（阴影部分）的面积为（）A．B．4π﹣3C．4π﹣4D．11．如果关于x的方程﹣2＝有正整数解，且关于x的方程mx2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根，若m的值为整数，则符合条件的m的值有几个（）A．0B．1C．2D．312．如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝11，BC＝13，AB＝12．动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ＝2DP．线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF∥BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP＝x．下列说法正确的有几个（）（1）四边形PQCD为平行四边形时，x＝；（2）＝；（3）当点P运动时，四边形EFGQ的面积始终等于；（4）当OPQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，则x＝、2或．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡相应的横线上）13．在实数范围内分解因式：ab3﹣5ab＝．14．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．15．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC 的外角，若∠1+∠3＝82°，则∠2＝．16．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE ＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB 于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是cm．（结果保留根号）17．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为．18．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为．三、解答题（本大题共7个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（16分）（1）计算：﹣2﹣2+﹣|﹣|．（2）先化简÷（+1﹣x），然后从﹣2≤x＜3中选择一个你最喜欢的整数作为x的值代入求值．20．绵阳市为了解九年学生对森林防灭火知识的了解程度，在某校九年级学生中做了一次抽样调查，并将结果分为四个等级：A．非常了解：B．比较了解：C．基本了解：D．不了解．根据调查结果绘制了两幅尚不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息解答下列问题：（1）这次参与调查的学生中“基本了解”的人数为人；扇形图中C部分扇形圆心角度数为．（2）若该校九年级共有1500名学生，请你估计该校九年级学生中“非常了解”森林防灭火知识的学生大约有多少人？（3）九（9）班被调查的学生中A等级的有5人，其中3名男生2名女生．现打算从这5名学生中任意抽取2名进行电话采访，请用列表或画树状图的方法求拾好抽到两名男生的概率．21．如图，某养殖户利用一面长20m的墙搭建矩形养殖房，中间用墙隔成两间矩形养殖房，每间均留一道1m宽的门．墙厚度忽略不计，新建墙总长34m，设AB的长为x米，养殖房总面积为S．（1）求养殖房的最大面积．（2）该养殖户准备400元全部用于购买小鸡和小鹅养殖，小鸡每只5元，小鹅每只7元，并且小鸡的数量不少于小鹅数量的2倍．该养殖户有哪几种购买方案？22．菱形ABCD的边AD在x轴上，C点在y轴上，B点在第一象限．对角线BD、AC相交于H，AC＝2，BD＝4，双曲线y＝过点H，交AB边于点E，直线AB的解析式为y＝mx+n．（1）求双曲线的解析式及直线AB的解析式；（2）求双曲线y＝与直线AB：y＝mx+n的交点横坐标．并根据图象直接写出不等式＞mx+n的解集．23．如图1，AB为⊙O的直径，C为弧BE的中点，AD和过点C的直线相交于D，交⊙O 于点E．连接OC，BE，相交于点F，DE＝CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接AC，交BE于点P，若EP＝2，CD＝3，求直径AB的长；（3）猜想AE、AB和AD之间的数量关系，并证明．24．如图抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上直线BC上方的一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时P点坐标；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠BCM＝∠BCO？若存在，求直线CM的解析式．25．如图，线段AB＝10cm，C是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），在AB上方分别以AC、BC为边作正△ACD和正△BCE，连接AE，交CD于M，连接BD，交CE于N，AE、BD交于H，连接CH．（1）求sin∠AHC；（2）连接DE，设AD＝x，DE＝y，求y与x之间的函数关系式；（3）把正△BCE绕C顺时针旋转一个小于60°的角，在旋转过程中H到△DCE的三个顶点距离和最小，即HC+HD+HE的值最小，HC+HD+HE的值总等于线段BD的长．若AC＝2，旋转过程中某一时刻2AH＝3DH，此刻△ADH内有一点P，求PA+PD+PH的最小值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第1题5分设集合A ={x ∈N|−1⩽x ⩽1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1)B. (0,1)C. {−1,1}D. {1}2、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第2题5分2021年四川绵阳高三二模文科第2题5分已知直线l 1:ax +2y +1=0，直线l 2:2x +ay +1=0，若l 1⊥l 2，则a =（ ）．A. 0B. 2C. ±2D. 43、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第3题5分2021年四川绵阳高三二模文科第3题5分已知平面向量a →=(1,√3)，b →=(2,λ)，其中λ>0，若|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）．A. 2B. 2√3C. 4√3D. 84、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第4题5分二项式(2x −√x )6的展开式中，常数项为（ ）． A. −60 B. −40 C. 60 D. 1205、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第5题5分2021年四川绵阳高三二模文科第4题5分已知函数f (x )=x 3+sinx +2，若f (m )=3，则f (−m )=（ ）．A. 2B. 1C. 0D. −16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第6题5分已知曲线y=e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x=a(a>0)围成的封闭图形的面积为e n−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA=1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）．A. 2.718B. 2.737C. 2.759D. 2.7857、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第7题5分2021年四川绵阳高三二模文科第7题5分已知命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列；命题q:∀x∈)(k∈Z)，都有sinx<cosx，则下列命题是真命题的是（）．(2kπ,2kπ+π2A. ¬p∧qB. p∧qC. p∨qD. ¬p∨q8、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第8题5分对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为x，方差为s2，则（）．A. x=80，s2<25B. x=80，s2=25C. x=80，s2>25D. x<80，s2>259、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第9题5分已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为其渐近线上一点，若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）．A. √72B. 2C. √3D. √510、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第10题5分2021年四川绵阳高三二模文科第10题5分若函数f(x)=x 3−(a 2+3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (−∞,−6) B. (−∞,6) C. (6,+∞) D. (−6,+∞)11、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第11题5分已知正实数x ，y 满足lnx y >lgy x ，则（ ）． A. lnx >ln(y +1) B. ln(x +1)<lgy C. 3x <2y−1D. 2x−y >112、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第12题5分已知点O 为坐标原点，|OP |=2√2，点B ，点C 为圆x 2+y 2=12上的动点，且以BC 为直径的圆过点P ，则△OBC 面积的最小值为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第13题5分2021年四川绵阳高三二模文科第13题5分2020~2021学年四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二下学期开学考试理科第13题5分2019~2020学年四川南充高二下学期期末文科第13题5分若复数z满足z(1+i)=1−i，则z=．14、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第14题5分已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p为．15、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第15题5分已知F(1,0)为椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一交点为A，若4BF→=5FA→，则a=.16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第16题5分关于函数f(x)=sin2x+2cos2x，下列说法正确的序号是．①函数f(x)的一条对称轴为x=3π8；②若f(x1)=f(x2)=1，则x1−x2=kπ2(k∈Z)；③函数f(x)关于(−π8,0)成中心对称；④设[a,b]⊆[0,π]，对任意x1，x2∈[a,b]，若f(x1)>f(x2)，则有x1>x2，那么b−a的最大值为3π8．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第17题12分已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1， a n+12=a n (a n+1+2a n )．(1) 证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式．(2) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >1609a n ，求n 的最小值．18、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第18题12分某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如下表：(1) 根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^． (2) 当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1,0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率． 附：参考公式：b ^=∑(x i −x )n i=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1，a =y −b ^x ．19、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第19题12分如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上，∠PAC =30°，AC =√3，AP +PC =2．(1) 求∠APC ．(2) 若cosB =5√714，求△APB 的面积．20、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=(2m +2)x −4lnx −12mx 2(m ∈R)．(1) 若函数g(x)=f(x)+12mx 2有两个零点，求m 的取值范围．(2) 若f(x)⩾0，求m的取值范围．21、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第21题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5,0)，当直线AD的倾斜角为2π3时，△ADF恰为等边三角形．(1) 求C的方程．(2) 过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x=5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E 于H，Q两点，试问：|PH|⋅|PQ|是否为定值？并说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题，共10分）选修4-4：坐标与参数方程22、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2=6，曲线C2的参数方程为{x=t2+1t2y=t2−1t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R)．(1) 求曲线C1与C2的极坐标方程．(2) 已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|=√5:√2，求α的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|．(1) 求不等式f(x)<3的解集．(2) 记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c=mabc，证明：ab+bc+ac⩾9．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】−i;14 、【答案】0.8;15 、【答案】3;16 、【答案】②④;17 、【答案】 (1) 通项公式为a n=2n−1；证明见解析．;(2) 4．;18 、【答案】 (1) y^=1.8x−0.6．;(2) 1．5;19 、【答案】 (1) 120°．;(2) 3√34．;20 、【答案】 (1) −1<m<2−ee．;(2) [2ln2−2,0]．;21 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) |PH|⋅|PQ|为定值20，理由见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−2=0．C2的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρcosθ⩾2)．;(2) π6或−π6．;23 、【答案】 (1) (1,4)．;(2) 证明见解析．;。
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】 由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．7．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 8．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60-B ．12-C ．12D ．60 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】【分析】 根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.【详解】函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=， 即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-， 令()ln 5h x x x =+-，∴()111x h x x x -'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，∴44a ≤，∴01a <≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.10．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C．4 D．2【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由16PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3==c e a ． 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．12．函数()cos2x f x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1n i i i x y =+=∑（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos2x f x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419i ii x y =+=⨯+=∑ 故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷(详解)
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
【解析】（ 1 ）由
，
得
．
①
时，
，
此时 在 在
上单调递减， 上不可能有两个零点，故
不合题意．
②
时， 在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增．
要使得函数 在
上有两个零点，
则
，解得
．
综上，实数 的范围是
（2）
①当
时，函数 在
．
，
．
上单调递增，
在，
上单调递减，
当
时，函数 在
上单调递减．
内随机投入 个点，其中恰有 个点落在
图中阴影部分内，若
，则由此次模拟实验可以估计出 的值约为（ ）．
y
O
x
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵
与
交于点 ，
∴
，
∵四边形
是长方形，
，
∴，
∴
，阴影面积
，
，
∵向矩形
投 个点有 个在阴影内，
∴
，
∴
，
∴
，
故选 ．
7. 已知命题 若数列 A.
和 都是等差数列，则
B.
C.
【答案】 C 【解析】 二项式
的通项公式为
令
，得 ，
则常数项为
．
故选 ．
D. ，
5. 已知函数 A.
，若 B.
，则 C.
【答案】 B
【解析】 由
令 易得
， ，
， 为奇函数，
， ，
（ ）． D.
． 故选 ．
6. 已知曲线
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（ ） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（ ）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ； （2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程； （2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。
2021届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(文科)(解析版)
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x∈N|﹣1≤x≤1}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1）B．（0，1）C．{﹣1，1} D．{1}2．已知直线l1：ax+2y+1＝0，直线l2：2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A．0 B．2 C．±2 D．43．已知平面向量＝（1，），＝（2，λ），其中λ＞0，若|﹣|＝2，则＝（）A．2 B．C．D．84．已知函数f（x）＝x3+sin x+2，若f（m）＝3，则f（﹣m）＝（）A．2 B．1 C．0 D．﹣15．已知cosα+sin（α﹣）＝0，则tanα＝（）A．﹣B．C．﹣D．6．已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a（a＞0）围成的封闭图形的面积为e a﹣1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A．2.718 B．2.737 C．2.759 D．2.7857．已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}（r，s∈R）也是等差数列；命题q：∀x∈（2kπ，2kπ+）（k∈Z），都有sin x＜cos x．则下列命题是真命题的是（）A．￢p∧q B．p∧q C．p∨q D．￢p∨q8．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A．＝80，s2＜25 B．＝80，s2＝25 C．＝80，s2＞25 D．＜80，s2＞259．已知圆x2+y2﹣4x﹣2y+1＝0上，有且仅有三个点到直线ax﹣3y+3＝0（a∈R）的距离为1，则a＝（）A．±B．±C．±1 D．±10．若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）B．（﹣∞，6）C．（6，+∞）D．（﹣6，+∞）11．已知正实数x，y满足ln＞lg，则（）A．2x＞2y B．sin x＞sin y C．lnx＜lny D．tan x＜tan y12．已知点F1，F2是双曲线E：的左、右焦点，点P为E左支上一点，△PF1F2的内切圆与x轴相切于点M，且，则a＝（）A．1 B．C．D．2二、填空题（共4小题）.13．复数z满足（1+i）•z＝1﹣i，则z＝．14．为加速推进科技城新区建设，需了解某科技公司的科研实力，现拟采用分层抽样的方式从A，B，C三个部门中抽取16名员工进行科研能力访谈．已知这三个部门共有64人，其中B部门24人，C部门32人，则从A部门中抽取的访谈人数．15．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，若E上存在一点P使＝0，且|PF|＝|F1F2|，则E的离心率为．116．关于x的方程sin2x+2cos2x＝m在区间[0，π）上有两个实根x1，x2，若x1﹣x≥，则实数m的取值范围是．2三、解答题：共70分。
四川省绵阳市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
四川省绵阳市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 2．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v ，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u r Q ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，53c e a ∴== 故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC【答案】B【解析】【分析】 连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解．【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11A C AC =，O Q 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，CF ⊄Q 平面1A BD ，1AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2364a π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u v u u u v ，则ED =u u u v （）A ．1233AD AB -u u u v u u u v B ．2133AD AB +u u u v u u u vC ．2133AD AB -u u u v u u u vD ．1233AD AB +u u u v u u u v【答案】C【解析】【分析】画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v 进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =-=-+=-． 故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．7．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.8．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．10【答案】C【解析】【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a .【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =， 所以71614a a d =+=．故选C ．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.9．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称 D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B【解析】【分析】 化简到()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.10．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确；②因为()2f π=，5242f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，②错误； ③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 0,1t x =∈， 22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．11．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.12．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值.【详解】 解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C【点睛】 本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2021届新高考第二次大联考数学试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b +的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．1【答案】A 【解析】 【分析】由两圆相外切，得出229a b +=，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】因为两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切3=，即229a b +=()2222222298192499a a a ab a b ⎛⎫--+⎪-⎝⎭==+当292a =时，2222a b a b+取最大值8119494⨯= 故选：A 【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.2．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，L ，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253【答案】B 【解析】 【分析】每个式子的值依次构成一个数列{}n a ，然后归纳出数列的递推关系12n n n a a a n --=++后再计算． 【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字2，4，9，17，31，54，92，L 构成一个数列{}n a ，可得数列{}n a 满足12n n n a a a n --=++()*3,n n ≥∈N ，则876854928154a a a =++=++=，9879154929255a a a =++=++=，10981025515410419a a a =++=++=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．154C ．265D ．15【答案】D 【解析】 【分析】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出3cos 5EG BEG BE ∠==，在利用二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角）， 不妨设正方体的棱长为2，则5BE DE ==，22BD =，在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ， 则523EG =-=，3cos 5EG BEG BE ∠==， 所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31cos 2155BED ∠=⨯-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为15. 故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 5．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由图可知月收入的极差为903060-=，故选项A 正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B 正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.6．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当nS 取最小值时，n 等于（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】A 【解析】 【分析】先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.【详解】解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的*11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由10,0n n a a +⎧⎨≥⎩…解得111322n 剟，则6n =. 解法二：由赋值法易求得212311,9,7,,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-L ，可知当6n =时，nS 取最小值. 故选：A 【点睛】此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题. 7．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．83【答案】C 【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积114222323V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选C .8．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A ． 3 B ．2 C ． 33D ． 22【答案】C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果． 【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ． 【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 9．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则M N =I （ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数性质可知25log 356<<，再根据集合的交集运算即可求解. 【详解】∵25log 356<<， 集合{}|26Mx x =-<<，∴由交集运算可得{}2|2log 35M N x x ⋂=-<<.故选：A. 【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.10．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=，所以四棱锥的体积2313646=(42)423V cm ⨯⨯=，应选答案B ． 11．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．6B ．4C ．23D ．2【答案】A 【解析】 【分析】作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可. 【详解】根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，∴222222PB =+=，222222PD =+=，22CD =，2242026PC PA AC =+=+=，∴这个四棱锥中最长棱的长度是26． 故选A ． 【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题．12．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)有答案
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1. 设集合A＝{x∈N|−1≤x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝（）A.[−1, 1)B.(0, 1)C.{−1, 1}D.{1}2. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A.0B.2C.±2D.43. 已知平面向量＝(1，），＝(2, λ)，其中λ>0，若|-|＝2，则＝（）A.2B.C.D.8)6的展开式中常数项为（）4. 二项式(2x−√xA.160B.−160C.60D.−605. 已知函数f(x)=x3+sin x+2，若f(m)=3，则f(−m)=()A.2B.1C.0D.−16. 已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857. 已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r, s∈R)也是等差数列；命题q：(k∈Z)，都有sin x<x．则下列命题是真命题的是（）A.￢p∧qB.p∧qC.p∨qD.￢p∨q8. 对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A.＝80，s2<25B.＝80，s2＝25C.＝80，s2>25D.<80，s2>259. 已知双曲线(a>0, b>0)的左、右焦点为F1，F2，P为其渐近线上一点，若△PF1F2是顶角为的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B.2 C. D.10. 若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, −6)B.(−∞, 6)C.(6, +∞)D.(−6, +∞)11. 已知正实数x，y满足，则（）A.ln x>ln(y+1)B.ln(x+1)<lg yC.3x<2y−1D.2x−y>112. 已知点O为坐标原点，|OP|＝2，点B，点C为圆x2+y2＝12的动点，且以BC 为直径的圆过点P，则△OBC面积的最小值为（）A.2B.4C.6D.二、填空题复数z 满足(1+i)⋅z ＝1−i ，则z ＝________．已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p ，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X 为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p 为________．已知F(1, 0)为椭圆(a >b >0)的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一交点为A ，若，则a ＝________．关于函数f(x)＝sin 2x +2cos 2x ，下列说法正确的序号是________．①函数f(x)的一条对称轴为；②若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则；③函数f(x)关于成中心对称；④设[a, b]⊆[0, π]，对任意x 1，x 2∈[a, b]，若f(x 1)>f(x 2)，则有x 1>x 2，那么b −a 的最大值为．三、解答题（一）必考题已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n+12＝a n (a n+1+2a n )．（1）证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >，求n 的最小值．某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1, 0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率．附：参考公式：＝，＝-．如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC＝30∘，AC＝，AP+PC＝2．（1）求∠APC；（2）若，求△APB的面积．已知函数f(x)＝(2m+2)x−4ln x−．（1）若函数g(x)＝f(x)+有两个零点，求m的取值范围；（2）若f(x)≥0，求m的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5, 0)，当直线AD的倾斜角为时，△ADF恰为等边三角形．（1）求C的方程；（2）过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x＝5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E于H，Q两点，试问：|PH|∗|PQ|是否为定值？并说明理由．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2＝6．曲线C2的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α(−，ρ∈R)．（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|＝求α的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|+|x−2|．（1）求不等式f(x)<3的解集；（2）记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c＝mabc，证明：ab+bc+ac≥9．参考答案与试题解析2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】)6展开式的通项公式，求出展开式中常数项即可．利用二项式(2x−√x【解答】)6的展开式的通项公式为二项式(2x√x)r=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−32r，T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅√xr＝0，解得r＝4；令6−32∴该二项式展开式中常数项为C64⋅26−4⋅(−1)4＝60．5.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得f(x)+f(−x)=4，结合f(m)的值，计算可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=x3+sin x+2，则f(−x)=(−x)3+sin(−x)+2=−(x3+sin x)+2，则f(x)+f(−x)=4，若f(m)=3，则f(−m)=1，6.【答案】C【考点】模拟方法估计概率几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】−i【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由已知可得X 服从二项分布，根据二项分布的方差公式和期望公式即可求出p 的值．【解答】由已知可得X ∼B(6, p)，则D(X)=6p(1−p)=0.96，即25p 2−25p +6=0，解得p =0.2或0.8，因为E(X)=6p >2，可得p >13， 所以p =0.8．【答案】3【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（一）必考题【答案】证明：∵ a n+12＝a n (a n+5+2a n )，∴ (a n+1−7a n )(a n+1+a n )＝0，又a n >5，∴ a n+1＝2a n ，∴ 数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列n ＝2n−3；由（1）可得S 2n ＝＝22n −5，又S 2n >，∴ 42n −1>×2n−1，解得：7n >9，或2n <−（舍），∴ n 的最小值为4．【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】根据表中数据，计算＝，＝×(3+3+6.5+7+10.5)＝6.2，∴＝＝＝8.8，＝-＝6.8−1.8×3＝−0.6，∴y关于x的线性回归方程为＝4.8x−0.6．当x＝2时，＝1.4×2−0.7＝3＝0，当x＝3时，＝1.8×8−0.6＝6.8＝0.3，当x＝4时，＝1.6×4−0.2＝6.6＝−2.1，当x＝5时，＝2.8×5−3.6＝8.4＝−0.4，当x＝6时，＝1.8×6−0.6＝10.2＝0.3，当x＝5时，＝1.8×4−0.6＝12，∴y−，∴属于“甲级月”的有5月，4月，属于“乙级月”的有3月，4月，故这2个月均为“乙级月”的概率为P＝＝．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为∠PAC＝30∘，AC＝，由余弦定理可得CP2＝AP5+AC2−2AP×AC×cos∠PAC，即CP4＝AP2+3−4AP⋅cos30∘，又AP+CP＝2，联立解得AP＝4，CP＝1，所以∠APC＝120∘．因为∠APC＝120∘，可得∠APB＝60∘，因为cos B＝，可得sin B＝，在△APB中，由正弦定理＝，在△APB中，由余弦定理AB2＝AP4+PB2−2AP⋅PB⋅cos∠APB，可得5＝1+PB2−2PB cos60∘，即PB2−PB−6＝2，解得BP＝3．所以△APB的面积为S＝AP⋅BP⋅sin∠APB＝＝．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】g(x)＝f(x)+＝(2m+2)x3−4ln x，x>0，所以＝，当m≤−3时，g′(x)<0在(0，所以g(x)在(5, +∞)上单调递减，舍去，当m>−1时，当0<x<时，函数单调递减时，g′(x)>0，若使函数g(x)有2个零点，则g（<0，所以ln>1，即，所以m，所以−7<m．因为f(x)＝(6m+2)x−4ln x−，x>6，所以＝-，x>0，若m≤0，当x∈(5, f′(x)<0，当x∈(2, f′(x)>4，所以f(x)min＝f(2)＝2m+4−8ln2≥0，所以m≥6ln2−2，综上7ln2−2≤m≤8，若m>0，则f(4+−4ln(4+＝−3ln(4+，则f(x)≥5不恒成立，综上，2ln2−8≤m≤0．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意可得，且|DF|＝，由抛物线的定义可知，因为△ADF为等边三角形，即，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y6＝4x；设直线l1的方程为y＝kx+m，则G(3，，P(0，所以以DG为直径的圆E：，即(x−5)2+y3−(5k+m)y＝0，联立方程组，消去y整理可得，k2x7+(2km−4)x+m2＝0，因为直线l1与曲线C相切，所以△＝(7km−4)2−5k2m2＝6，化简可得km＝1，设直线l2的方程为y＝tx+m，H(x6, y1)，Q(x2, y2)，联立方程组，消去y整理可得4+1)x2+(tm−6kt−10)x+25−5km＝0，所以，因为|PH|＝，|PQ|＝，所以|PH|∗|PQ|＝，故|PH|∗|PQ|为定值20．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C1的方程为(x−2)5+y2＝6，转换为x6+y2−4x＝4，根据2−4ρcosθ＝8；曲线C2的参数方程为（t为参数）2−y3＝4，根据2cos4θ−ρ2sin2θ＝7．根据，整理得ρ2−4ρcosα−3＝0，所以ρ1+ρ2＝4cosα，ρ1ρ3＝−2，故＝，，解得，由于|AB|:|OC|＝，所以，整理得6cos22α+4cos2α−5＝3，(2cos2α+5)(2cos2α−8)＝0，解得cos2α＝，由于-，故．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)＝|x−3|+|x−2|＝．∵f(x)<7，∴或2≤x≤3或，∴3<x<3或2≤x≤3或4<x<2，∴1<x<3，∴不等式的解集为{x|1<x<4}．证明：由（1）可得m＝f(x)min＝4，∴a+b+c＝abc，∴，∵a>0，b>8，∴＝＝＝＝2，当且仅当a＝b＝c时可取等号，即ab+bc+ac⩾9．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2021年四川省绵阳市南山中学高考数学二诊试卷(文科)
2021年四川省绵阳市南山中学高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数2(1i i-为虚数单位）的共轭复数是( ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．（5分）已知全集{U a =，b ，c ，d ，}e ，{A c =，d ，}e ，{B a =，b ，}e ，则集合{a ，}b 可表示为( )A ．A BB ．()U A BC ．()U B A D ．()UA B3．（5分）（文)某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取( ) A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人C ．93人，94人，93人D ．80人，120人，80人4．（5分）下列命题中假命题是( )AB ．过点(1,1)且与直线20x y -垂直的直线方程是230x y +-=C ．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1D ．2222135x y +=的两条准线之间的距离为2545．（5分）直线经过(2,1)A ，2(1,)B m 两点()m R ∈，那么直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[0，)πB ．[0，](42ππ⋃，)πC ．[0，]4πD ．[4π，)(22ππ⋃，)π 6．（5分）1e 、2e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，122CB e e =+，123CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1x =-的距离和的最小值是( ) A ．5B．3C ．2D ．28．（5分）若不等式组0220x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．4[3，)+∞B ．(0，1]C ．[1，4]3D ．(0，41][3，)+∞ 9．（5分）不等式220x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件是( ) A ．2m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m >10．（5分）函数()sin()f x A x b ωφ=++的图象如图，则()f x 的解析式和(0)S f f =+（1）f +（2）(2006)f +⋯+的值分别为( )A ．1()sin 212f x x π=+，2006S =B ．1()sin 122f x x π=+，120072S =C ．1()sin 122f x x π=+，120062S =D ．1()sin 122f x x π=+，2007S =11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=12．（5分）设()|(1)|f x ln x =+，已知f （a ）f =（b ）()a b <，则( ) A ．0a b +>B ．1a b +>C ．20a b +>D ．21a b +>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，20分将答案填在题中的横线上.13．（5分）在区间(0,3)上任取一个实数a ．则不等式2log (41)0a -<成立的概率是 ． 14．（5分）在如图所示的程序框图中，若输入的[2t ∈-，3]，则输出的s 的取值范围是 ．15．（5分）与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条． 16．（5分）已知2F 为椭圆224(01)mx y m m +=<<的右焦点，点(0,2)A ，点P 为椭圆上任意一点，且2||||PA PF -的最小值为43-，则m = ．三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为21n n +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表： 分数区间 甲班人数乙班人数[0，30) 3 6 [30，60) 6 6 [60，90) 9 12 [90，120) 6 3 [120，150]63（1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率；（2）根据以上数据完成下面的22⨯列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计19．（12分）设函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取得最小值．（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知1a =，b =，f （A ），求角C ．20．（12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于A ，B 两点，且||8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3． （1）求抛物线C 的方程； （2）若直线2l 与圆221:2O x y +=切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，求FPQ ∆的面积． 21．（12分）已知函数()ef x lnx x=-，1()x g x e a lnx -=+-，其中 2.71828e =⋯，a R ∈． （Ⅰ）证明：x e =是函数()f x 的唯一零点；（Ⅱ）当2a 且1x 时，试比较|()|f x 和|()|g x 的大小，并说明理由．22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为)4πρθ=+，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，2πθϕ=+，与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和曲线2C 化成直角坐标方程； （Ⅱ）求||||||||OA OC OB OD +的值．23．（1）若关于x 的不等式|2014||2015|x x d -+-有解，求实数d 的取值范围． （2）不等式1|||2|sin x a y x+-+对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．2021年四川省绵阳市南山中学高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数2(1i i-为虚数单位）的共轭复数是( ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【解答】解：化简可得21z i=- 2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+，z ∴的共轭复数1z i =-故选：B ．2．（5分）已知全集{U a =，b ，c ，d ，}e ，{A c =，d ，}e ，{B a =，b ，}e ，则集合{a ，}b 可表示为( )A ．A BB ．()U A BC ．()U B A D ．()UA B【解答】解：全集{U a =，b ，c ，d ，}e ，{A c =，d ，}e ，{B a =，b ，}e ， {U A a ∴=，}{U b B c =，}d {A B a =，b ，c ，d ，}e {}AB e =故A 错误；(){U A B a =，}b ，故B 正确； (){U B A c =，}d ，故C 错误； ()UAB =∅，故D 错误．故选：B ．3．（5分）（文)某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取( ) A ．65人，150人，65人 B ．30人，150人，100人C ．93人，94人，93人D ．80人，120人，80人【解答】解：每个个体被抽到的概率为2801560020=， ∴专科生被抽的人数是113006520⨯= 本科生要抽取1300015020⨯=， 研究生要抽取113006520⨯= 故选：A ．4．（5分）下列命题中假命题是( )AB ．过点(1,1)且与直线20x y -垂直的直线方程是230x y +-=C ．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为1D ．2222135x y +=的两条准线之间的距离为254【解答】解：对于A ：设双曲线方程为22221x y a b -=，则双曲线的渐近线方程为by x a =±，推断出其斜率之积为1-进而两条渐近线互相垂直，故正确；B ：设所求的直线方程为20x y c ++=，把点(1,1)的坐标代入得210c ++=，3c ∴=-，故所求的直线的方程为230x y +-=，故正确；C ：根据题意可知焦点1(2F ，0)，准线方程12x =-，∴焦点到准线的距离是1，故正确．:3D a =，5b =，241c ∴=，22a c =∴两准线间的距离为22a c =故错． 故选：D ．5．（5分）直线经过(2,1)A ，2(1,)B m 两点()m R ∈，那么直线l 的倾斜角的取值范围是()A ．[0，)πB ．[0，](42ππ⋃，)πC ．[0，]4πD ．[4π，)(22ππ⋃，)π【解答】解：直线过(2,1)A ，2(1,)B m 两点()m R ∈，∴直线l 的斜率为2211112m k m -==--，tan 1α∴，且[0α∈，)π；∴倾斜角α的取值范围是[0，](42ππ⋃，)π．故选：B ．6．（5分）1e 、2e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，122CB e e =+，123CD e e =-，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【解答】解：A ，B ，D 三点共线，∴AB 与BD 共线，∴存在实数λ，使得AB BD λ=；1212123(2)2BD CD CB e e e e e e =-=--+=-， 1212(2)e ke e e λ∴-=-，1e 、2e 是平面内不共线的两向量，∴12k λλ=⎧⎨-=-⎩解得2k =．故选：B ．7．（5分）点P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1x =-的距离和的最小值是( )AB C ．2D【解答】解：设(0,1)A -，由24y x =得2p =，12P=，所以焦点为(1,0)F ，准线1x =-， 过P 作PN 垂直直线1x =-，根据抛物线的定义， 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离， 所以有||||PN PF =，连接F 、A ，有||||||FA PA PF +，所以P 为AF 与抛物线的交点，点P 到点(0,1)A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值为||FA = 故选：D ．8．（5分）若不等式组0220x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( )A ．4[3，)+∞B ．(0，1]C ．[1，4]3D ．(0，41][3，)+∞ 【解答】解：由约束条件0220x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩作出可行域如图，联立022x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得22(,)33B ，由图可知，当直线x y a +=过(1,0)A 时，不等式组所表示的平面区域为OAC ∆，此时1a =；当当直线x y a +=过22(,)33B 时，不等式组所表示的平面区域为OAB ∆，此时43a =．∴若不等式组0220x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是(0，41][3，)+∞． 故选：D ．9．（5分）不等式220x x m -+>在R 上恒成立的必要不充分条件是( ) A ．2m >B ．01m <<C ．0m >D ．1m >【解答】解：当不等式220x x m -+>在R 上恒成立时， △440m =-<， 解得1m >；所以1m >是不等式恒成立的充要条件；2m >是不等式成立的充分不必要条件；01m <<是不等式成立的既不充分也不必要条件； 0m >是不等式成立的必要不充分条件．故选：C ．10．（5分）函数()sin()f x A x b ωφ=++的图象如图，则()f x 的解析式和(0)S f f =+（1）f +（2）(2006)f +⋯+的值分别为( )A ．1()sin 212f x x π=+，2006S =B ．1()sin 122f x x π=+，120072S =C ．1()sin 122f x x π=+，120062S =D ．1()sin 122f x x π=+，2007S =【解答】解：观察图形，知12A =，1b =，4T =，2πω∴=． 所以1()sin()122f x x πφ=++，将(0,1)代入解析式得出1sin(0)1122πϕ⨯++=，sin 0ϕ∴=，0ϕ∴=，所以1()sin 122f x x π=+，只知(0)1f =，3(1)2f =，f （2）1=，1(3)2f =，f （4）1=，且以4为周期， (0)f f +（1）f +（2）f +（3）4=，式中共有2007项，200745013=⨯+， (0)f f∴+（1）f +（2）f +（3）31(2006)4501(2004)(2005)(2006)200411200722f f f f +⋯+=⨯+++=+++=． 11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【解答】解：双曲线的一个焦点在直线l 上，令0y =，可得5x =-，即焦点坐标为(5,0)-，5c ∴=，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，∴2ba =， 222c ab =+， 25a ∴=，220b =，∴双曲线的方程为221520x y -=．故选：A ．12．（5分）设()|(1)|f x ln x =+，已知f （a ）f =（b ）()a b <，则( ) A ．0a b +>B ．1a b +>C ．20a b +>D ．21a b +>【解答】解：易知(1)y ln x =+在定义域上是增函数， 而()|(1)|f x ln x =+，且f （a ）f =（b ）； 故(1)(1)ln a ln b -+=+， 即0ab a b ++=．2()04a b ab a b a b +=++<++，即()(4)0a b a b +++>， 显然10a -<<，0b >，40a b ∴++>， 0a b ∴+>，故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，20分将答案填在题中的横线上. 13．（5分）在区间(0,3)上任取一个实数a ．则不等式2log (41)0a -<成立的概率是 112． 【解答】解：2log (41)0a -<，0411a ∴<-<，解得1142a <<， 在区间(0,3)上任取一个实数a ． 则不等式2log (41)0a -<成立的概率为： 111243012P -==-．故答案为：112． 14．（5分）在如图所示的程序框图中，若输入的[2t ∈-，3]，则输出的s 的取值范围是 [10-，6] ．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出224050t t t s t t ⎧-=⎨<⎩，故当[2t ∈-，0)，5[10s t =∈-，0)， 当[0t ∈，3]，224[2s t t =-∈-，6]， 综上可得输出的s 取值范围是[10-，6]． 故答案为：[10-，6]．15．（5分）与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 4 条． 【解答】解：圆的圆心(0,2)半径是1，原点在圆外，与圆22(2)1x y +-=相切， 且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条； 斜率为1-的直线也有两条；共4条． 故答案为4．16．（5分）已知2F 为椭圆224(01)mx y m m +=<<的右焦点，点(0,2)A ，点P 为椭圆上任意一点，且2||||PA PF -的最小值为43-，则m = 29 ．【解答】解：设1(,0)F c -，2(,0)F c ， 由椭圆的定义可得122||||a PF PF =+， 即21||2||PF a PF =-，则211||||||(2||)||||2PA PF PA a PF PA PF a -=--=+-， 21||242AF a c a -=+，当A ，P ，1F 共线时，1||||PA PF +242c a +， 2||||PA PF -的最小值为43-，∴24423c a +=-，椭圆224mx y m +=可化为22144x y m+=，2a ∴=，c =∴83=，29m ∴=．故答案为：29． 三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为21n n +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n n n b a a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =． 令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．解得11a =，2d =， 21n a n ∴=-，（2）2(1)2(211)2(21)84n n n b a a n n n n =+⋅=+-⨯⨯-=- 12n n T b b b ∴=++⋯+，22228(123)4(123)n n =+++⋯+-+++⋯+，(1)(21)(1)8462n n n n n +++=⨯-⨯2(1)(41)3n n n +-=18．（12分）某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表：（1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率；（2）根据以上数据完成下面的22⨯列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？【解答】解：（1）乙班成绩优秀有3人，记为A 、B 、C ，成绩在90分以上（含90分）到120分的学生有3人，记为d 、e 、f ，从这6人中随机任取2人，基本事件为：AB 、AC 、Ad 、Ae 、Af 、BC 、Bd 、Be 、Bf 、Cd 、Ce 、Cf 、de 、df 、ef 共15种，恰有1人为优秀的事件为：Ad 、Ae 、Af 、Bd 、Be 、Bf 、Cd 、Ce 、Cf 共9种， 故所求的概率是93155P ==； （2）根据题意填写列联表如下，计算260(627324)201.1762.706951303017K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以在犯错的概率不超过0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关．19．（12分）设函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取得最小值．（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知1a =，b =，f （A ），【解答】解析：（1）首先化简原函数()sin (1cos )cos sin sin sin cos cos sin sin()f x x x x x x x ϕϕϕϕϕ=++-=+=+，由()sin()sin 1f ππϕϕ=+=-=-，又0ϕπ<<，解得2πϕ=，（2）()sin()cos 26f A A A A ππ=+==⇒=，由正弦定理得sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒==， 当4B π=时，74612C ππππ=--=，当34B π=时34612C ππππ=--=． 20．（12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线1l 交抛物线C 于A ，B 两点，且||8AB =，线段AB 的中点到y 轴的距离为3． （1）求抛物线C 的方程； （2）若直线2l 与圆221:2O x y +=切于点P ，与抛物线C 切于点Q ，求FPQ ∆的面积． 【解答】解：（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++， 由题意知1232x x +=，126x x ∴+=， 又12||8AB x x p =++=，2p ∴=，∴抛物线C 的方程为：24y x =．（2）设直线2:l y kx m =+，由2l 与圆O =2221m k ∴=+①，联立方程24y kx my x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0(*)k x km x m +-+=，直线2l 与抛物线C 相切，∴△222(24)40km k m =--=，1km ∴=②，由①②得：1k m ==±，∴方程(*)为：2210x x -+=，解得1x =，||PQ ∴=， 此时直线2l 的方程为1y x =+或1y x =--，(1,0)F ∴到直线2l 的距离为d =，113||222PQF S PQ d ∆∴=⋅==． 21．（12分）已知函数()ef x lnx x =-，1()xg x e a lnx -=+-，其中 2.71828e =⋯，a R ∈．（Ⅰ）证明：x e =是函数()f x 的唯一零点；（Ⅱ）当2a 且1x 时，试比较|()|f x 和|()|g x 的大小，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）21()0e f x x x'=--<在(0,)+∞恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞上是减函数，又f （e ）0=，∴当0x e <时，()0f x ；当x e >时，()0f x <，x e ∴=是()f x 的唯一零点．⋯（4分）（Ⅱ）当1x e 时，1|()||()|()()x ef xg x f x g x e a x--=-=--⋯（6分） 设1()x e m x e a x -=--，则12()0x em x e x-'=--<， ()m x ∴在[1，)+∞上为减函数，()m x m ∴（1）1e a =--，2a ，()0m x ∴<， |()||()|f x g x ∴<⋯（8分）当x e >时，11|()||()|()()22x x ef xg x f x g x lnx e a lnx e a x ---=--=-+--<--⋯（9分）设1()2x n x lnx e a -=--，则12()x n x e x -'=-，122()0x n x e x-''=--<， ()n x ∴'在(,)e +∞上为减函数，∴12()()0e n x n e e e-''<=-<， ()n x ∴在(,)e +∞上为减函数，()n x n ∴<（e ）120e a e -=--<， |()||()|f x g x ∴<综上，当2a ，1x 时，|()||()|f x g x <⋯（12分）22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线1C 的极坐标方程为)4πρθ=+，曲线2C 的极坐标方程为sin (0)a a ρθ=>，射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-，2πθϕ=+，与曲线1C 分别交异于极点O 的四点A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和曲线2C 化成直角坐标方程； （Ⅱ）求||||||||OA OC OB OD +的值．【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为)4πρθ=+，展开可得：2)2sin 2cos ρθθρθρθ==+， 化为直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=．把2C 的方程化为直角坐标方程为y a =，曲线1C 关于曲线2C 对称，故直线y a =经过圆心(1,1)，解得1a =，故2C 的直角坐标方程为1y =．（Ⅱ）由题意可得，||)4OA πϕ=+，||)2OB πϕϕ=+=，||OC ϕ=，3||))44OD ππϕϕ=+=+，||||||||8sin()sin 8cos()cos 8cos 444OA OC OB OD πππϕϕϕϕ+=+++==23．（1）若关于x 的不等式|2014||2015|x x d -+-有解，求实数d 的取值范围． （2）不等式1|||2|sin x a y x+-+对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）关于x 的不等式|2014||2015|x x d -+-有解， (|2014||2015|)min d x x ∴-+-．|2014||2015||20142015|1x x x x -+---+=，1d ∴，即d 的取值范围为[1，)+∞．（2）1(x x +∈-∞，2][2-，)+∞，1||[2x x ∴+∈，)+∞， 即1||x x+的最小值为2，且sin y 的最大值为1， 不等式1|||2|sin x a y x+-+恒成立，1|2|(||sin )min a x y x∴-+-，即|2|1a -， 13a ∴，即a 的取值范围为[1，3]．。
四川省绵阳市涪城区中考数学二诊习题解析版
2021年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷一、选择题：本大题共12个小题每题3分，共36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求.1．﹣5的倒数是〔〕A．B．﹣C．﹣5D．52．下面由正三角形和正方形拼成的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕A．B．C．D．3．近几年绵阳交通快速开展现根据规划又将建设成绵复线高速，新建复线全长约127公里，总投资约331亿元，假设将“331亿〞用科学记数法表示应为〔〕A．9B．×1011C．×1010D．×1011 4．以下几何体中，主视图相同的是〔〕A．①②B．①③C．①④D．②④5．一副直角三角板如图放置，其中∠C ＝∠DFE ＝90°，∠A ＝45°，∠E ＝60°，点F 在CB 的延长线上．假设DE ∥CF ，那么∠BDF等于〔〕A ．35°B ．30°C ．25°D ．15° 6．假设抛物线y ＝x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，那么 m 的取值范围是〔 〕A ．m ＞9B ．m ≥9C ．m ＜﹣9D ．m ≤﹣97．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是〔〕A．3m B．m C．m D．4m8．甲、乙两位同学做中国结，甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为〔〕A．＝B．＝C．＝D．＝9．用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽〔如下图〕，那么这个纸帽的高是〔〕A．cm B．3cm C．4cm D．4cm10．如图，正方形ABCD．AB＝4，点E为BC边上点，连接 AE延长至点F连接BF，假设tan∠FAB ＝tan∠EBF＝，那么AF的长度是〔〕A．B．C．D．11．如图，?ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点〔不与端点重合〕且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的选项是〔〕A ．等于定值 5﹣B ．有最大值C ．有最小值D ．有最小值12．如图，由小矩形组成的系列图形中第一个有 1个矩形，第 2个图形包含3个矩形，第三个包含6个矩形，按此规律那么第 99个图形包含〔 〕个矩形．A ．4950B ．4960C ．5061D ．5120二、填空题：本大题共 6个小题，每题 3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上 .13．因式分解：a 3b ﹣ab ＝ ．14．如图在平面直角坐标系 xOy 中，△OAB 是等腰直角三角形，∠ OBA ＝90°，A 〔6，0〕，点 B位于第一象限，那么点 B 关于原点的对称点 B ′的坐标是 ．15．使代数式 + 有意义，那么 x 的取值范围是 ．16．在一个不透明的袋子里装有5个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为 1，2，3，4，5，从中随机摸出两个小球，标号均为单数的概率为 ．17．如图，半径为13的等圆⊙O 1和⊙O 2相交与A ，B 两点，延长O 1O 2与⊙O 1交于点D ，连接BD并延长与⊙O 2交于点C ，假设AB ＝24，那么CD ＝．18．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，∠ABD ＝∠ACB ，AD ＝ AC ，sin ∠ABD ＝ ．三、解答题：本大题共7个小题，共86分.解容许写出文字说明证明过程或演算步骤19．〔16分〕〔1〕计算：〔2〕先化简，再求值：，其中x ＝220．〔11分〕某校为了解九年级学生的体重情况，随机抽取了九年级局部学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，请根据图表信息答复以下问题：体重频数分布表组边 体重〔千克〕 人数A 45≤x ＜50 12 B50≤x ＜55 mC 55 x6080≤＜ D60≤x ＜65 40E65 x7016≤＜〔1〕填空：①m ＝〔直接写出结果〕；②在扇形统计图中，C 组所在扇形的圆心角的度数等于 度；〔2〕如果该校九年级有1000名学生，请估算九年级体重低于60千克的学生大约有多少人？21．〔11分〕某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨产品甲需要2吨原材料A ；生产1吨产品乙需要3吨原材料A ．根据市场调研，产品甲、乙所获利润y 〔万元〕与其产量x 〔吨〕之间分别满足函数关系：产品甲：y ＝ax 2+bx 且x ＝2时，y ＝；x ＝3时，y ＝产品乙：y ＝1〕求产品甲所获利润y〔万元〕与其产量x〔吨〕之间满足的函数关系；2〕假设现原材料A共有20吨，请设计方案，应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产，才能使得最终两种产品的所获利润最大．22．〔11分〕如图在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x﹣2的图象与函数y＝〔k≠0〕的图象有交点为A〔m，2〕，与y轴交于点B〔1〕求反比例函数的解析式；〔2〕假设函数y＝在第一象限的图象上有一点P，且△POB的面积为6，求点P坐标．23．〔11分〕如图，BC为⊙O的直径，A，D是⊙O上两点，弧AC＝弧AD，AB与CD交于点M，延长BD至点E，且与CA的廷长线交于点E．〔1〕求证：BE＝BC；〔2〕假设tan∠BCA＝，AC＝3，求DM的长度．24．〔12分〕抛物线y＝ax 2﹣4x+3〔a≠0〕与x轴交于点A〔1，0〕，B两点，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线解析式；〔2〕假设点P为抛物线上点，当PB＝PC时，求点P坐标；〔3〕假设点M为线段BC 上点〔不含端点〕，且△MAB与△ABC相似，求点M坐标．25．〔14分〕如图，在平面直角坐标系xO y 中，△PEF是边长为5的正三角形，P、E在x轴上，点F位于x轴上方，其中P〔a，0〕〔﹣5≤a＜5〕．四边形OABC是边长为5的正方形，A、C均在坐标轴上，且B〔5，5〕，M为AB边上点，且AM＝OE，N为点M关于直线OB对称的点．〔1〕求证：OP＝AE；〔2〕如图1，当△PEF沿x轴运动使得N、F、E三点在同一条直线上时，求此时△MNE与正方形OABC重叠局部的面积；〔3〕当△PEF 从最左边沿x轴向右运动，到达〔2〕所在位置时停止，在这一过程中用y表示四边形MNFE 面积，求y与a的函数关系式．2021年四川省绵阳市涪城区中考数学二诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12个小题每题 3分，共 36分，每个小题只有一个选项最符合题目要求.1．【分析】根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵〔﹣5〕×〔﹣ 〕＝1，∴﹣5的倒数是﹣ ．应选：B ．【点评】此题考查的是倒数，熟知乘积是 1的两数互为倒数是解答此题的关键．2．【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称的概念即可作答． 【解答】解：A 、B 、D 都是中心对称也是轴对称图形， C 、是轴对称，但不是中心对称． 应选：C ．【点评】此题由复合图形组成，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称 图形的关键是寻找对称轴，图形两局部折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：将“ 331亿〞用科学记数法表示应为 ×1010，应选：C ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．4．【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形．【解答】解：圆柱的主视图是长方形，圆锥的主视图是三角形，长方体的主视图是长方形，球的主视图是圆， 应选：B ．【点评】此题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．5．【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ BDE ＝45°，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：∠ EDF ＝30°，∠ABC ＝45°，DE ∥CB ，∴∠BDE ＝∠ABC ＝45°，∴∠BDF ＝45°﹣30°＝15°．应选：D ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出∠ BDE 的度数是解题关键．6．【分析】利用根的判别式△＜0列不等式求解即可．【解答】解：∵抛物线y ＝x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，∴△＝b 2﹣4ac ＜0，∴〔﹣ 6241m 0〕﹣ ×?＜，解得m ＞9，m 的取值范围是m ＞9．应选：A ．【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．7．【分析】因为三角形 ABC 和三角形 AB ′C ′均为直角三角形，且 BC 、B ′C ′都是我们所要求 角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠ CAB ，进而得出∠ C ′AB ′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【解答】解：∵sin ∠CAB ＝ ＝ ，∴∠CAB ＝45°．∵∠C ′AC ＝15°， ∴∠C ′AB ′＝60°．∴sin60°＝＝，解得：B ′C ′＝3 ．应选：B ．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题．8．【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．【解答】解：设甲每小时做 x 个，乙每小时做〔 x+6〕个，根据甲做 30个所用时间与乙做 45个所用时间相等，得，应选：A．【点评】此题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到适宜的等量关系是解决问题的关键．9．【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以2π即为圆锥的底面半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高．【解答】解：L＝＝4π〔cm〕；圆锥的底面半径为4π÷2π＝2〔cm〕，∴这个圆锥形筒的高为＝4〔cm〕．应选：C．【点评】此题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥侧面展开图的弧长＝；圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的底面半径，母线长，高组成以母线长为斜边的直角三角形．10．【分析】由三角函数得出BE＝，由勾股定理求出AE＝＝，证出△BEF∽△FBA，得出＝＝＝，设EF＝x，那么BF＝3x，AF＝9x，由AF＝AE+EF得出方程，解方程得出EF的长，即可得出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵tan∠FAB＝＝tan∠EBF＝，AB＝4，∴BE＝，∠FAB＝∠EBF，∴AE＝＝，又∵∠F＝∠F，∴△BEF∽△FBA，∴＝＝＝，设EF＝x，那么BF＝3x，AF＝9x，∵AF＝AE+EF，∴9x＝+x，解得：x＝，∴AF＝AE+EF＝+＝；应选：D．【点评】此题考查了正方形的性质、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．11．【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，得出OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，由勾股定理求出AC＝＝4，OB＝＝，当BE＝O时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，由直角三角形的性质得出果AE＝OB，同理：CF＝OD，即可得出结【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，OB＝EF＝OD，BE＝OF，OE＝DF，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴AC＝＝4，OA＝2，∴OB＝＝，当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，即AE+CF的最小值为；应选：D．【点评】此题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．【分析】由于图1矩形有1个，图2矩形有2+1＝3个，图3矩形有3+2+1＝6个，由此即可得到第99个图形中矩形的个数．【解答】解：由分析可知第 99个包含99+98+97+ +3+2+1＝4950个，应选：A ．【点评】此题主要考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜测的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．二、填空题：本大题共6个小题，每题3分，共18分，将答案填写在答题卡相应的横线上.13．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用平方差公式继续分解．【解答】解：a 3b ﹣ab ab 〔a 2﹣1〕ab 〔a+1〕〔a ﹣1〕．故答案为：ab 〔a+1〕〔a ﹣1〕．【点评】此题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．【分析】如图，过点 B 作BC ⊥AC 于点C ，根据等腰直角三角形的性质求得点 B 的坐标，然后 结合“两个点关于原点对称时， 它们的坐标符号相反， 即点P 〔x ，y 〕关于原点 O 的对称点是 P ′〔﹣x ，﹣y 〕〞求得答案．【解答】解：如图，过点B 作BC ⊥AC 于点C ，∵△OAB 是等腰直角三角形，∠OBA ＝90°，OC ＝AC ＝3，BC ＝OC ＝3．B 〔3，3〕．∴点B 关于原点的对称点 B ′的坐标是〔﹣ 3，﹣3〕．故答案是：〔﹣ 3，﹣3〕．【点评】考查了等腰直角三角形和关于原点对称的点的坐标特征．根据等腰直角三角形的性质求得点B的坐标是解题的关键．15．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：使代数式+有意义，那么，解得：﹣＜x≤．故答案为：﹣＜x≤．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确解不等式是解题关键．16．【分析】画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图可知，共有20中等可能结果，其中标号均为单数的有6种结果，所以标号均为单数的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．【分析】连接O1O2向两方延长，交⊙O1于M、N，由相交两圆的性质得：AE＝BE＝O1A，把AB＝12，AB⊥O1O2，由勾股定理求出O1E＝O2E＝5，得出DE＝13﹣5＝8，O1D＝O2M＝3，由勾股定理求出BD＝＝4，再由相交弦定理即可得出CD的长．【解答】解：连接O1A，把O1O2向两方延长，交⊙O1于M、N，如下图：∵半径为13的等圆⊙O1和⊙O2相交与A，B两点，∴AE＝BE＝AB＝12，AB⊥O1O2，∴O1E＝O2E＝＝5，∴DE＝13﹣5＝8，O1D＝O2M＝13﹣2×5＝3，∴BD＝＝＝4，DM＝3+13＝16，DN＝13﹣3＝10，由相交弦定理得：BD×CD＝DM×DN，∴CD＝＝；故答案为：【点评】此题考查了相交两圆的性质、勾股定理、相交弦定理等知识；熟练掌握相交两圆的性质，由相交弦定理求出CD是解题的关键．18．【分析】根据相似三角形的判定和性质得出AB，进而利用三角函数解答即可．【解答】解：∵∠A＝90°，∠ABD＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB，∴，AD＝AC，∴AB＝，∴BD＝，∴sin∠ABD＝，故答案为：．【点评】此题考查解直角三角形问题，关键是根据相似三角形的判定和性质得出AB．三、解答题：本大题共7个小题，共86分.解容许写出文字说明证明过程或演算步骤19．【分析】〔1〕根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答此题；〔2〕根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答此题．【解答】解：〔1〕＝1+4×﹣2+﹣1＝1+2﹣2+﹣1＝；2〕＝＝＝，当x＝2时，原式＝＝1．【点评】此题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答此题的关键是明确它们各自的计算方法．20．【分析】〔1〕①根据D组的人数及百分比进行计算即可得到m的值；②根据C组的百分比即可得到所在扇形的圆心角的度数；〔2〕根据体重低于60千克的学生的百分比乘上九年级学生总数，即可得到九年级体重低于60千克的学生数量．【解答】解：〔1〕①调查的人数为：40÷20%＝200〔人〕，m＝200﹣12﹣80﹣40﹣16＝52；②C组所在扇形的圆心角的度数为×360°＝144°；故答案为：52，144；〔2〕九年级体重低于60千克的学生大约有×1000＝720〔人〕．【点评】此题主要考查了扇形统计图，用样本估计总体以及频数分布表的运用，从扇形图上可以清楚地看出各局部数量和总数量之间的关系．各局部扇形圆心角的度数＝局部占总体的百分比×360°．21．【分析】〔1〕代入的两对变量值，用待定系数法求出a、b便可；〔2〕设产品甲生产了x吨，需要原料 A2x吨，那么可分配给新产品乙的原材料A有〔22﹣2x〕吨，那么生产乙吨，再求出总利润关于x的二次函数，运用二次函数的最值求法解答．【解答】解：〔1〕根据题意得，，解得，，∴产品甲所获利润y〔万元〕与其产量x〔吨〕之间满足的函数关系：y＝x〔x≥0〕；〔2〕设产品甲生产了x吨，需要原料 A2x吨，那么可分配给新产品乙的原材料A有〔22﹣2x〕吨，那么生产乙吨，设甲、乙两种产品总的利润为w，那么w＝﹣，整理得，w＝﹣，即当且仅当生产甲吨时，利润到达最大．13吨，20﹣13＝7吨，答：20吨材料A应分配给甲13吨，分配给乙7吨时，最终所获利润最大．【点评】此题是二元一次方程组的应用与二次函数的应用的综合题，主要考查了列二元一次方程组解应用题，列二次函数解应用题，关键是根据题目中的数量关系列出方程组和函数解析式．22．【分析】〔1〕通过一次函数求出m，即求出A的坐标；然后通过把A坐标代入反比例函数，求反比例函数解析式；2〕先确定△POB的面积以OB为底，CP为高；OB的长是固定的，只需要CP的长度；点P在反比例函数图象上，将它代入反比例函数，从而求出P〔x，〕即CP＝x；从而列出S△POB＝＝＝6，即x＝6，并求出y值，从而确定P的坐标；【解答】解：〔1〕由得点A〔m，2〕在函数y＝2x﹣2图象上，故2m﹣2＝2，解得m＝2，即A〔2，2〕并且点A〔2，2〕也在函数y＝的图象上，∴2＝解得k＝4，∴所以反比例函数y＝〔2〕过点P作CP⊥y轴；△POB的面积以OB为底，CP为高；在函数y＝2x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2即OB＝2，设函数y＝〔x＞0〕图象上点P〔x，〕∴S△POB＝＝＝6解得：x＝6，那么y＝∴此时点p〔6，〕．【点评】这题主要考查：反比例函数、一次函数、三角形的面积公式等；当有两个函数的时候，着重使用一次函数，表达了方程思想，综合性较强．23．【分析】〔1〕根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质解答即可；〔2〕根据三角函数和相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：〔1〕∵BC为⊙O的直径，A，D是⊙O上两点，BA⊥CE，BD⊥CD，设∠ABE＝α，可得：∠AEB＝90°﹣α，∵，∴∠ABC＝∠ABE＝α，∴∠ACB＝90°﹣α，∵∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEB＝∠ACB，∴△BCE是等腰三角形，BE ＝BC ；〔2〕∵ ，∴∠ABE ＝∠ABC ＝∠ACD ＝α，可得：∠AMC ＝∠ACB ，∴tan ∠AMC ＝tan ∠ACB ＝，tan ∠AMC ＝，解得：AM ＝，由〔1〕得BE ＝BC ，且BA ⊥CE 于点A ，EA ＝AC ＝3， EC ＝EA+AC ＝6，∵在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝tan ∠BCA ＝ ，tan ∠CED ＝ ，设DE ＝x ，那么CD ＝x ， 由EC 2＝DE 2+CD 2，可得： ，解得：x ＝ ，∴DE ＝ ，CD ＝ × ，∵∠ACM ＝∠DCE ，∠EDC ＝∠MAC ＝90°，Rt △ACM ∽Rt △DCE ，∴ ，即，解得： CM ＝，∴DM ＝CD ﹣CM ＝．【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据圆心角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质解答．24．【分析】〔1〕将点A 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；〔2〕PB ＝PC 时，那么点 P 在线段BC 的垂直平分线上，即可求解；〔3〕M 为线段BC 上点〔不含端点〕，且△MAB 与△ABC 相似，利用 ，那么MB ＝ ，即可求解．【解答】解：〔1〕将点A 的坐标代入抛物线表达式得： 0＝a ﹣4+3，解得：a ＝1，故抛物线的表达式为： y ＝x 2﹣4x+3 ①，令x ＝0，那么y ＝3，令y ＝0，那么x ＝1或3，故点C 〔0，3〕、点B 〔3，0〕；〔2〕PB ＝PC 时，那么点P 在线段BC 的垂直平分线上，线段 B C的中点坐标为〔， 〕，那么B C中垂线的k 值为1，过点〔， 〕，那么其表达式为：y ＝x ②，①②联立并求解得： x ＝ ，那么点P 坐标为〔，〕或〔〔3〕M 为线段BC 上点〔不含端点〕，且△MAB，与△ABC 〕；相似，那么△MAB ∽△ACB ，即：，那么MB ＝ ，过点M 分别作x 、y 轴的垂线交于点H 、G ，OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝45°，那么MH ＝MG ＝MB ×＝，OH ＝OB ﹣BH ＝，即点M 〔 ，〕．【点评】此题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似、线段的垂直平分线等知识，难度不大．25．【分析】〔1〕根据等边三角形和正方形的性质可得：PE ＝OA ＝5，得OP ＝AE ；〔2〕如图1，分别表示DM和BN的长，根据三角形的面积公式可得：△MNE与正方形OABC重叠局部的面积＝△DMN的面积；〔3〕如图 2，作辅助线，构建高线，将四边形FNME的面积分成两个三角形的面积进行计算，可得结论．【解答】〔1〕证明：∵△PEF是边长为5的正三角形，PE＝5，∵四边形OABC是边长为5的正方形，OA＝5，OA＝PE，OP+AP＝AP+AE，OP＝AE；2〕如图1，Rt△ADE中，∠DEA＝60°，∴∠ADE＝30°，∵AE＝OP＝a，∴AD＝a，∵AM＝OE＝，∴BM＝BN＝5﹣＝，∴DM＝AM﹣AD＝﹣a，Rt△DBN中，BD＝5﹣a，∴BN＝BD?tan30°＝，∴＝，a＝，∴△MNE与正方形OABC 重叠局部的面积＝S△DMN＝DM?BN＝＝﹣+25；3〕如图2，延长线段EF与直线BC交于点Q1，过点N作NQ⊥Q1E于点Q，延长NM与x轴交于点H1，作EH⊥NH1于点H，连接EN，那么NQ是△EFN中EF边上的高，EH是△MNE中MN边上的高，∴OE＝PE﹣OP＝5﹣〔﹣a〕＝5+a，同理得：OD＝OE＝〔5+a〕，∴CD＝5﹣OD＝5﹣〔5+a〕＝5﹣5﹣a，∴CQ1＝＝﹣a，①Q1〔a+，5〕，N〔，5〕，所以Q1N＝﹣〔a+〕＝﹣+，在Rt△Q1NQ中，∠QQ1N＝60°，∴QN＝Q1Nsin60°＝〔﹣〕＝﹣a+，?∴S△EFN＝＝＝﹣；②在Rt△MAH1中，∠MH1A＝45°，AH1＝AM＝，∴OH1＝OA+AH1＝5+＝，∴EH1＝OH1﹣OE＝﹣〔a+5〕＝，在Rt△EHH1中，∠HH1E＝45°，∴EH＝EH1?sin45°＝＝，易得MN＝BM＝，∴S△EMN＝MN?EH＝?＝，故由①②得：y＝S△ENF+S△═﹣+＝；即y＝〔﹣5≤a＜〕．【点评】此题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，三角形面积，应用直角三角函数解直角三角形，勾股定理的应用，等腰三角形的性质等，利用参数表示线段的长是此题的关键．。
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绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i14．0.815．316．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>， ∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分 （2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>， ∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18nii i xx y y =−−=∑，21()10nii xx =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分 ∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为 3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ， ∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B =……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB APAPB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠， 得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0， 解得BP =3． ∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0，得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21pp x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分由抛物线的定义可知2||px AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分 （2）设直线l 1的方程为m kx y +=，则5(55)(5)(0)2k mG k m E P m ++，，，，，．∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，， 消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分 22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=， 将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−= ∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<，∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5． 由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3． 当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ． 由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥， (当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ． ∴ab +bc +ac =()ab bc aca b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b a c b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分绵阳市高中2018级第二次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1—5 DADBA 6—10 CCCDB 11—12 AB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i14．215116． [1，2)三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）由已知得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=， ………………………2分 1()()18ni i i x x y y =−−=∑，21()10ni i x x =−=∑， ………………………………………6分∴ 1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ……………………………………7分 ∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………8分 （2）由（1）可得7月份回归方程预测的生产量为1.870.6ˆ12y=⨯−=．……………………………………………………………11分 ∴该年7月份所得回归方程预测的生产量与实际市场需求量的误差为 1.5万件． …………………………………………………………………………………12分 18．解：（1）∵数列{a n }是单调递增的等比数列，且1517a a +=，a 2a 4=16，∴a 1a 5=a 2a 4=16，设{a n }的公比为q (q >1)． ………………………………………………………2分由15151716，，a a a a +=⎧⎨=⎩设a 1，a 5为方程x 2-17x +16=0的两根，且a 1<a 5， 解得15116.，a a =⎧⎨=⎩ ……………………………………………………………………4分又a 5=a 1q 4， ∴q=2，∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>， ∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中，由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+−⋅⋅⋅∠，将30PAC ∠=，AC =，AP =1代入上式得213301PC =+−=，即PC =1．…………………………………………3分 又AP =1，∠PAC =30°，∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =sin B = ……………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB APAPB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠， 得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0， 解得BP =3．∴△APB 的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由()0FA FB AB +⋅=可知，△AFB 是以AB 为底的等腰三角形．由A 在抛物线C 上得px 40=， 由抛物线定义得24||P PAF +=．………………………………………………………4分又22pBF =+，AF BF =，解得2=p ． ∴抛物线C 的方程为x y 42=． ……………………………………………………6分（2）由（1）知(2(10)，，A F ，设直线l 的方程为x =my -2，21()4，y M y ，22()4，y N y ．联立242，，y x x my ⎧=⎨=−⎩ 消x 得y 2-4my +8=0，有根与系数的关系得124y y m +=，128y y =． ……………………………………8分 直线MF 的方程为)2(224221−+=−x y y ，∴2222(22222216111+−=++−=y y y y P ）．同理可得2222(2222+−=y y y Q ）． ……………………………………………………10分∴|8)(228)(22||)22)(22()22)(22(|||||||122121212112−−+−−+=−+−+==y y y y y y y y y y y y y y BQ PB Q P1||1221=−−=y y y y ． ………………………………………………………………………12分21．解：(1)∵()(22)n f x m mx x'=+−−，∴由题意得(2)(22)202nf m m '=+−−=， 解得n =4． ……………………………………………………………………………4分 （2）4(2)(2)()(22)mx x f x m mx x x−−'=+−−=−，x >0． ①当0<m <1时，函数f (x )在2(2)，m 上单调递增，在(0，2)，2()，+m ∞上单调递减，当44x m >+时，函数f (x )在2()，+m∞上单调递减． ∴14()(22)4ln (4)02f x x m mx x f m=+−−<+<,∴f (x )≥0，在x >0恒成立不成立，即0<m <1不合题意. ………………………………………………………………8分②当m ≥1时，函数f (x )在2(2)，m上单调递增，函数f (x )在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442x m>+>时，f (x )在(2)，+∞上单调递减， ∴14()(22)4ln (4)02f x x m mx x f m =+−−<+<,∴f (x )≥0在x >0恒成立不成立，即m ≥1不合题意. …………………………………………………………………10分 ③当m ≤0时，函数f (x )在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增， ∴要使得f (x )≥0的充要条件是f (2)≥0， 解得m ≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m ≤0．综上所述，实数m 的范围是[2ln2-2，0]. …………………………………12分 22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分 （2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=， 将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分 设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． ……………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5． 由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3． 当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ． 由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥， (当且仅当2≤x ≤3时，取“=”) ∴函数f (x )的最小值为1，即m =1． ∴ab +bc +ac =abc ． ∴ab +bc +ac =()ab bc aca b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b a c b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。