《圆》圆的有关性质PPT教材课件
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圆的有关性质(垂直与弦的直径)初中物理教学PPT课件
九年级 上册
24.1 圆的有关性质（第2课时） ——垂直与弦的直径
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：1、圆是轴对称图形。任何一条直
径所在直线都是它的对称轴．
2.圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
3.圆具有旋转不变性.
思考： 问题1、图中有相等的线段吗？有相等的 劣弧吗？如果有，你能找到多少对？
相等的线段有： OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
C B
AC=BD, BC=AD,
， 问题2.AB、CD满足什么条件时
O
AC=BC, AD=BD ？ A
D
结论：当CD⊥AB时，
AC= BC, AD= BD
C
A
B O
D
问题3.将弦AB进行平移时，
AE与BE相等吗？
AC与 BC相等吗？ AD与 BD相等吗？A
的距离）为d, 则(a/2) 2 ＋ d2=r2
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
8．布置作业
课本习题 24.1 P90第 9，10题．
OD=OC－CD=R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27．3（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求 A ⊙O的半径。
2.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
A
2、如图，点C是圆内的 任意一个点，利用一个 三角板，你能画出一条 弦AB，使点C刚好是这 条弦的中点吗？
24.1 圆的有关性质（第2课时） ——垂直与弦的直径
?
不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片 的圆心吗?
由此你能得到圆的什么特性？ 可以发现：1、圆是轴对称图形。任何一条直
径所在直线都是它的对称轴．
2.圆是中心对称图形,对称中心是圆心。
3.圆具有旋转不变性.
思考： 问题1、图中有相等的线段吗？有相等的 劣弧吗？如果有，你能找到多少对？
相等的线段有： OA=OC=OB=OD，AB=CD
相等的弧有：
C B
AC=BD, BC=AD,
， 问题2.AB、CD满足什么条件时
O
AC=BC, AD=BD ？ A
D
结论：当CD⊥AB时，
AC= BC, AD= BD
C
A
B O
D
问题3.将弦AB进行平移时，
AE与BE相等吗？
AC与 BC相等吗？ AD与 BD相等吗？A
的距离）为d, 则(a/2) 2 ＋ d2=r2
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
8．布置作业
课本习题 24.1 P90第 9，10题．
OD=OC－CD=R－7.23
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
即R2=18.52+（R－7.23）2
A
D
B
R
解得：R≈27．3（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
1．如图，在⊙O中，弦 AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求 A ⊙O的半径。
2.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
A
2、如图，点C是圆内的 任意一个点，利用一个 三角板，你能画出一条 弦AB，使点C刚好是这 条弦的中点吗？
圆的定义及性质ppt课件
(2)半圆是弧； ⒈我谈就判 在保附证近金”应。按说照完谈之判后文你件就规赶定快的离数开额这和位方客式户交。纳客。户从紧张到放松，这是一个过程。刚刚看到你走过来的时候，他紧张了，然后你
3给、他爱一护张各名类片消，沟防这通器个谈材时判、候技设他巧施在：，紧是不张否随的要意过求挪程应用当聘消中者防有具器一备材些较，缓强不冲的乱，沟堆你通杂在能物几力而秒丰堵钟富塞之的通内谈道把判。话经说验完？了，他感觉到自己的威胁已经消失了，这时他的 七心小、理提如 状 示患态74者又：已回询经到问死了内亡进部，店应必门聘要之者时前要应的调在那换规种岗定舒位时适的限的原内状因向态。其，亲这属个正时式候提他出就并可送以达在书那面看尸车检了建。议，并力争得到患方书面答复。
），
小于半圆的弧叫做劣弧. 如:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧叫做半圆.
1.如图,弧有:______________ A
B 2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
O●
优弧有： A⌒CB B⌒AC
C
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； 从心理学角度讲，客户进门之前本来是比较愉快的，因为他要购买的商品一定是他所需要的。一旦进了门，发现销售人员迎过来的时
一个圆。
1.要确定一个圆,必须确定圆的
__圆__心和__ _半_ 径
O
圆心确定圆的位置,
●
半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为 “⊙2.圆O”是指. “圆周”，是曲线，而不是“圆面”。
3.同一个圆的半径处处相等。
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等 于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在圆上．
P
3给、他爱一护张各名类片消，沟防这通器个谈材时判、候技设他巧施在：，紧是不张否随的要意过求挪程应用当聘消中者防有具器一备材些较，缓强不冲的乱，沟堆你通杂在能物几力而秒丰堵钟富塞之的通内谈道把判。话经说验完？了，他感觉到自己的威胁已经消失了，这时他的 七心小、理提如 状 示患态74者又：已回询经到问死了内亡进部，店应必门聘要之者时前要应的调在那换规种岗定舒位时适的限的原内状因向态。其，亲这属个正时式候提他出就并可送以达在书那面看尸车检了建。议，并力争得到患方书面答复。
），
小于半圆的弧叫做劣弧. 如:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每一条弧叫做半圆.
1.如图,弧有:______________ A
B 2 .劣弧有： A⌒B B⌒C
O●
优弧有： A⌒CB B⌒AC
C
想一想 判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； 从心理学角度讲，客户进门之前本来是比较愉快的，因为他要购买的商品一定是他所需要的。一旦进了门，发现销售人员迎过来的时
一个圆。
1.要确定一个圆,必须确定圆的
__圆__心和__ _半_ 径
O
圆心确定圆的位置,
●
半径确定圆的大小.
这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为 “⊙2.圆O”是指. “圆周”，是曲线，而不是“圆面”。
3.同一个圆的半径处处相等。
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等 于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在圆上．
P
人教版初三数学九年级上册 第24章 《圆》教材分析 课件(共38张PPT)
能利用垂径定理解决有关简单问题； 能利用圆周角定理及其推论解决有关 简单问题
运用圆的性质的有关 内容解决有关问题
点和圆 的
位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过 不在同一直线上的三点作圆；能利用 点与圆的位置关系解决有关简单问题
图图 形形 与的 几性 何质
直线和圆 的
位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直 线和圆的位置关系；理解切线与过切 点的半径的关系；会用三角尺过圆上 一点画圆的切线
三角形的内切圆；了解三角形的内心； 有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆 作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面 会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积 算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一 些简单的实际问题
O
O
适当补充“知二推三”，灵活运用所学 知识，特别是体会如何证明圆心在弦上 （某弦是直径）。
O
C
A
B
例. 根据条件求解：
D
（1）已知⊙O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高.
（3）已知⊙O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和 弦心距.
（4）已知⊙O弦长为2，弦心距为，求⊙O半径及弓形高.
A
B
半径为5dm。则水深______dm.
5.注重数学核心素养的培养
本章的教学内容能进一步发展学生的几何 直观、推理能力等数学核心素养。
在教学过程中引导学生多画图、敢画图， 借助对几何图形直观的感知、分析问题， 并在此基础之上，在解决问题的过程中， 运用合情推理探索思路，发现结论，运用 演绎推理用于证明结论。
《圆的有关性质》圆PPT课件 (共22张PPT)
圆是生活中常见的图形，许多物
英镑
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
O
r
·
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
B
I
D F A O
E C
⌒ ⌒ ⌒ ACD,ACF,ADE,ADC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC,AE,AF,AD
⌒
1、请写出图中所有的弦； 2、请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
A
B
O D
C
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦；
议一议
小明和小强为了探究 ⊙O 中有没有最长的弦，经过 了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最 长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
A
O
B
C
D
C
D
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.
三、巩固新知
用一用
应用新知
如图,一 根 5m 长的绳子 , 一端栓在柱子 上,另一端栓 着一只羊,请 画出羊的活动 区域.
5
5m
4m
o
英镑
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
A
固定的端点O叫做圆心
O
r
·
我国古人很早对 圆就有这样的认 识了，战国时的 《墨经》就有 “圆，一中同长 也”的记载．它 的意思是圆上各 点到圆心的距离 都等于半径．
B
I
D F A O
E C
⌒ ⌒ ⌒ ACD,ACF,ADE,ADC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC,AE,AF,AD
⌒
1、请写出图中所有的弦； 2、请任选一条弦，写出这条弦所对的弧；
A
B
O D
C
想一想
判断下列说法的正误：
(1)弦是直径； (2)半圆是弧； (3)过圆心的线段是直径； (4)过圆心的直线是直径； (5)半圆是最长的弧； (6)直径是最长的弦；
议一议
小明和小强为了探究 ⊙O 中有没有最长的弦，经过 了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最 长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
A
O
B
C
D
C
D
请将自己所画的圆与同伴所画的 圆进行比较， 它们是否能够完全重
合？并思考什么情况下两个圆能够完
全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。 r r O2
O1
判断题
圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;
半径相等的两个圆是等圆.
三、巩固新知
用一用
应用新知
如图,一 根 5m 长的绳子 , 一端栓在柱子 上,另一端栓 着一只羊,请 画出羊的活动 区域.
5
5m
4m
o
初中数学《圆的基本性质》优课PPT课件
(2)求∠ACM的度数.
A
O N
M
C
B
例3、如图，在⊙O中，的直径AB=4，点E是OA上 任意一点，过点E作弦CD⊥AB,点F是BC上一点， 连结AF交CE于点H,连结AC,CF,BD,OD.
(1)求证：△ACH∽ △AFC;
A
(2)求证：AH×AF=AE×AB
C
HE
D
（3）探究：当点E位于何处时S △AEC:
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理 圆周角定理
C A.
O1
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
二、圆的轴对称性
D
E
A
B O
C
圆的轴对称性：
垂径定理：AB是直径
AB=CD
F
OE=OF
D
（OE AB于E
OF CD于F）
推论：（四对量的关系）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C
O
A
OB
B
推论：
C
1、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
圆的基本性质
基础训练
在6分钟内完成复习导引P108 T1—6.
圆的 定义
有关概念
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角
A
O N
M
C
B
例3、如图，在⊙O中，的直径AB=4，点E是OA上 任意一点，过点E作弦CD⊥AB,点F是BC上一点， 连结AF交CE于点H,连结AC,CF,BD,OD.
(1)求证：△ACH∽ △AFC;
A
(2)求证：AH×AF=AE×AB
C
HE
D
（3）探究：当点E位于何处时S △AEC:
圆的轴对称性
垂径定理
圆心角定理 圆周角定理
C A.
O1
弦:连结圆上任意两点的线段
B 直径:经过圆心的弦
圆弧:圆上任意两点间的部分,有优弧和劣 弧之分
r
r
等圆：半径相等的两
O1
O2
个圆。
. O
同心圆：圆心相同，半径
不相等的圆。
二、圆的轴对称性
D
E
A
B O
C
圆的轴对称性：
垂径定理：AB是直径
AB=CD
F
OE=OF
D
（OE AB于E
OF CD于F）
推论：（四对量的关系）
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A
C
O
A
OB
B
推论：
C
1、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90圆周角所对的弦是直径。
2、同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或 等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
圆的基本性质
基础训练
在6分钟内完成复习导引P108 T1—6.
圆的 定义
有关概念
圆心、半径、直径
弧、弦、弦心距 等圆、同心圆 圆心角、圆周角
圆的有关性质PPT课件
×
（4）过圆心的弦是直径。
√
（5）半圆是最长的弧；
×
（6）圆心相同，半径弧． √
（8）最大弦是直径。
√
（9）直径相等的两个半圆是等弧。 √
4．应用拓展，培养能力
2．写出图中的弧、弦．
A
O
B
C
如何在草场上画一个 半径是5m的圆？说出 你的理由.
5．归纳小结
（1）通过今天的学习，你有哪些收获？ （2）你是否明确圆的两种定义、弦、 弧等概念？
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
18
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
固定的端点 O 叫做圆心；
A
线段 OA 叫做半径；
r
以点 O 为圆心的圆，记作
·
⊙O，读作“圆O”．
O
2．合作交流，学习新知
A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么 规律？
问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
归纳：
（1）圆上各点到定点（圆心） 的距离都等于定长（半径）；
（2）到定点的距离等于定长 的点都在同一个圆上.
圆的第二定义： 所有到定点的距离等于定长 的点组成的图形叫做圆.
2．合作交流，学习新知
O
同心圆 圆心相同，半径不同
等圆 半径相同，圆心不同
确定一个圆的两个要素: 一是圆心， 二是半径．
2．合作交流，学习新知
动态：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端 点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．
圆的有关性质——弧、弦、圆心角_PPT
∴ CD=AB
弦等
弧等
19
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
20
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：A△CO⌒=EBFD的⌒形状，并说明理由；
2）如果OAEB与=C⌒ODF，相⌒那等么吗？为A什B=，么CD？ AOB CO。D
3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB ，CD AB。=CD
(1) 圆心角相等
(2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等
知A E B
一 得
O· D
二三 C F 16
例1 如图，在⊙O中，A⌒B=A⌒C,∠ACB=60°,
一个角度．
30°
N
N′
15°
O
可以看出，点 N′在圆O上．
4
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一个角度．
60°
N′
N
30°
O
可以看出，点 N′也在圆O上．
5
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
一°
O
可以看出，点 N′还在圆O上．
6
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
ED C B
O
弧等
圆心角等
18
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
圆的有关概念及性质PPT课件
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB 是
C 同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角).
解得 x＝147.∴⊙O 的半径为147.
2．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB∥CD，AB＝
24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( D )
A．17 cm
B．7 cm
C．12 cm
D．7 cm 或 17 cm
12．(2014·凉山州)已知⊙O 的直径 CD＝10 cm，
点 P(0，－7)的直线 l 与⊙B 相交于 C，D 两点，则弦 CD
长的所有可能的整数值有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解析】∵点 A 的坐标为(0,1)，圆的半径为 5， ∴点 B 的坐标为(0，－ 4)．又∵点 P 的坐标为 (0，－ 7)， ∴ BP＝ 3. ①当 CD 垂直圆的直径 AE 时，CD 的值最小， 如图，连结 BC，在 Rt△BCP 中，BC＝5，BP＝3， ∴CP＝ BC2－BP2＝4，∴CD＝2CP＝8； ②当 CD 经过圆心时，CD 的值最大， 此时 CD＝AE＝10.综上可得弦 CD 长的所有可能的整数值有 8,9,10， 共 3 个．故选 C.
3．如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，则四边 形OACB是( C )
A．正方形 B．长方形 C．菱形 D．以上答案都不对
5．(2014·嘉兴、舟山)如图，⊙O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE＝2，DE＝8，则 AB 的长为( D )
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
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二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
圆的有关性质-课件ppt
在 Rt△ABC 中，
A
O
B
BC= AB2 AC 2 = 102 62 =8（cm）
D
应用
如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm， ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长．
C
∵ CD 平分ACB，
∴ ACD=BCD，
∴ AOD=BOD ． ∴ AD=BD．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
31.1.3 弧、弦、圆心角
• 教学目标： 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的 其余各组量也相等．
• 教学重点： 同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
性质
把圆 O 的半径 ON 绕圆心 O 旋转任意一个角度．
N
N′
n°
O
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是 圆 O 的一个圆心角．
性质
把圆心角等分成 360 份，则每一份的圆心角是 1°，
同时整个圆也被分成了 360 份．
则每一份这样的弧叫做 1°的弧．这样，
1°的圆心角对着 1°的弧，
O
2
∴
同理， BAC
CAD BAD
1 COD． 2 CAD
1 2
B BOC．D
C
证明猜想
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
探究
思考： 一条弧所对的圆周角之间有什么关系？同弧或等弧 所对的圆周角之间有什么关系？ 同弧或等弧所对的圆周角相等．
A
D
O
B
C
探究
九年级数学上册第二十四章《圆》PPT课件
证明：∵四边形ABCD是矩形， A
D
∴AO=OC，OB=OD.
O
又∵AC=BD，
B
C
∴OA=OB=OC=OD.
∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上.
二 圆的有关概念
弦:
A
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AC）叫做弦.
·O
C
B
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的 弦，但弦不一定是直径.
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学习目标
1.认识圆，理解圆的本质属性.（重点） 2.认识弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等 圆、等弧等与圆有关的概念，并了解它们之间的区 别和联系.（难点） 3.初步了解点与圆的位置关系.
导入新课
观察与思考
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以 看成是所有到定点O的距离等于 定长r的点的集合．
D
r
A
C
r O· r
r r
E
要点归纳
圆的基本性质
同圆半径相等.
•o
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典例精析
例1 矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O. 求证：A、B、C、D在以O为圆心的同一圆上.
连OA,OD即可， 同圆的半径相等.
N 在Rt△ABO中，AB2 BO2 AO2
即(2x)2 x2 102
变式：如图，在扇形MON中， MON =45 ，半径 MO=NO=10，,正方形ABCD的顶点B、C、D在半径上， 顶点A在圆弧上，求正方形ABCD的边长.
《圆的认识》圆PPT优秀教学课件
04
圆的综合应用举例
求解切线方程问题
切线定义及性质
典型例题解析
回顾切线定义，阐述切线与半径垂直 的性质。
选取具有代表性的切线方程问题，详 细解析求解过程。
切线方程求解方法
通过圆心坐标和切线斜率，利用点斜 式或斜截式求解切线方程。
求解切线长问题
切线长定义及性质
回顾切线长定义，阐述切线与半 径、切线长与弦长的关系。
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示， 且d=2r。
圆的周长与面积
圆的周长
围绕圆形绘制的线的长度，计算公 式为C=2πr或C=πd。
圆的面积
圆形所占平面的大小，计算公式为 S=πr²。
半径
03
一般方程中，半径$r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
圆的参数方程
01 02
定义
以点$O(a,b)$为圆心，$r$为半径的圆的参数方程为 $left{ begin{array}{l} x=a+rcostheta y=b+rsintheta end{array} right.$，其中$theta$为参数。
求解割线性质问题
割线性质概述
总结割线的性质，如割 线与半径的关系、割线 定理等。
割线性质应用
利用割线性质解决与圆 相关的角度、长度等问 题。
典型例题解析
选取具有代表性的割线 性质问题，详细解析求 解过程。
05
与圆相关的数学问题拓展
点到直线距离公式推导及应用
《圆的有关性质》PPT课件 人教版九年级数学
B
D
O
F
E
(2)请写出以点A为端点的弦及直径；
弦AF,AB,AC.其中弦AB又是直径.
C
A
(
(
（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦AF,它所对的弧是 AF 和 ABF .
巩固练习
在以下所给的命题中:①半圆是弧;②弦是直
径;③如图所围成的图形是半圆.
其中正确的命题有 ①
.
解析： 弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，
探究新知
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，
⌒ =BD.
⌒ =BC,
⌒
⌒ AD
∴ AE=BE, AC
·O
A
E
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种
语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
探究新知
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
课堂检测
能力提升题
一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓
着一只羊，请画出羊的
活动区域．
5m
课堂小结
（描述性定义）
要画一个确定的圆，关
键是确定圆心和半径
集 合 定 义
同圆半径相等
旋转定义
同心圆
定义
圆
有关
概念
同圆
等圆
等弧
直径是圆中最长的弦
例 矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
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A ·r O
问题1：圆上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？
形成性定义(动态)：在一个平面内，线段 OA 绕它 固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的 图形叫做圆．
概 念
与圆有关
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧 都叫做半圆.
的概念 等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，
优弧、劣弧：能够互相重合的弧叫做等弧. 大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.
24.1.1 圆
推进新课
知识点1 圆的定义
圆的概念
如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一
个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫
做圆．
A
固定的端点 O 叫做圆心；
r
线段 OA 叫做半径；
·
以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，
O
读作“圆O”．
O
同心圆 圆心相同，半径不同
确定一个圆的两个要素: 一是圆心， 二是半径．
半径的圆上.
随堂演练
基础巩固
• 1.下列说法正确的是( D )
• A.直径是弦，弦是直径 • B.半圆是弧，弧是半圆 • C.弦是圆上两点之间的部分 • D.半径不是弦，直径是最长的弦
• 2.下列说法中，不正确的是(D )
•ห้องสมุดไป่ตู้A．过圆心的弦是圆的直径
• B．等弧的长度一定相等
• C．周长相等的两个圆是等圆
课堂小结
形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
圆的定义
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.
圆
集合性定义： 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O
的
的距离等定长r的点的.
基
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
本
直径：直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦. 圆弧（弧）： 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
• 证明：作AB的中点O，连接OC.
• ∵△ABC是直角三1角形. 2
• ∴OA=OB=OC= AB.
• ∴A、B、C三点在同一个圆上.
拓展延伸
• 8.求证：直径是圆中最长的弦. • 证明：如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，半径是r. • CD是不同于AB的任意一条弦. • 连接OC、OD， • 则OA+OB=OC+OD=2r,即AB=OC+OD. • 在△OCD中，OC+OD＞CD，∴AB＞CD. • 即直径是圆中最长的弦.
• 6.已知：如图，在⊙O中，AB为弦，C、D两点在AB上，且AC=BD． • 求证：OC=OD． • 证明：∵OA、OB为⊙O的半径， • ∴OA=OB. • ∴∠A=∠B. • 又∵AC=BD， • ∴△ACO≌△BDO. • ∴OC=OD.
综合应用
• 7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，求证：A、B、C三点在同一个圆 上.
• D．长度相等的两条弧是等弧
• 3.一个圆的最大弦长是10cm，则此圆的半径是 5 cm. • 4.在同一平面内与已知点A的距离等于5cm的所有点所组成的图形是 圆 .
• 5.如右图，以AB为直径的半圆O上有两点D、E，ED与BA的延长线相交于
点C，且有DC=OE，若∠C=20°，则∠EOB的度数是 60°.
B
O
A
C
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 A、B 为 端点的弧记作 AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条 弧都叫做半圆．
B
O
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧(如图中的 AC)叫做劣弧． 大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的 ABC)叫做优弧．
B
在同圆或等圆中，
O
能重合的弧叫等弧．
A
C
典例解析
• 例1 矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O。求证：A、B、C、D四个点
在以点O为圆心的圆上。
证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC=
1 2
AC,OB=OD=
1 2
BD.AC=BD
∴OA=OC=OB=OD
∴ABCD四个点在以点O为圆心，OA为
集合性定义(静态)：圆心为 O、半径 为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距 离等于定长 r 的点的集合．
战国时的《墨经》就 有“圆,一中同长也”的 记载.它的意思是圆上各 点到圆心的距离都等于 半径.
知识点2 与圆有关的概念
弦
半径是弦吗？
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
等圆 半径相同，圆心不同
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