三角形的定义性质
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等腰三角 形的性质：
(1)两底角相等；
个三角形叫做全等三角形
、咼)相等、周长相等、面
三角形)】
法：
(2)两条腰相等;
(3)顶角的角平分线、 等腰三角形的判定：
(1)等角对等边;
(2)两底角相等；
4.等边三角形 等边三角形的性质：
(1)顶角的角平分线、
(2)等边三角形的各角 等边三角形的判定：
(1)三个内角或三个对
角形最少有2个锐角。
的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这
交点之间的线段。
角形中，等腰三角形顶角的平分 线平分底边并垂直于底边。
斜边的平方--勾股定理。直
其另一边的延长线所组成的角）
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系
（a^2+b^2=c^2。）
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是
11.等底等高的三角形面
12.底相等的三角形的面 之比等于其底之比。
**13.三角形三条中线的
360°。
积相等。
积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积
长度的平方和等于它的三边的长度平方和的
3/4。
**14.在^ABC中恒满足
15.三角形的一个外角大
16.全等三角形对应边相
17.三角形的重心在三条
对边分别为a,b,c，参见三角函数)
(3)S △ =V[ p(p-a)(p-b)(p-c):I
公式)
(4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半 径)
(5)S△=1/2(a+b +c)r (r是内切圆半径)
(6)| a b 1 |
=1/2 | c d 1 ||ef1|
11 a b 1 | c d 1 | e f 1 |
定义
由三条边首尾 相接组成的内角和为180°（一定是
形叫做三角形
三角形的内角和
三角形的内角和为180度；三角形的一 三角形的一个 外角大于其他两内角中的任一个
180°这个是个 准确的数！）的封闭图
个外角等于另外两个内角的和 角。
三角形分类
（1）按角度分
a.锐角三角形：三个角都小 于90度。并不是有一 个锐角的三角形, 而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
三角形的三条高的交点叫做三角形
三角形的中位线平行于第三边且等
的垂直平分线的
重心，它到每个顶点的距
(10)
(11)
的垂心。
于第三边的1/2。
(12)
三角形
三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊
1.相似三角形
(1)形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
(2)相似三角形性质 相似三角 相似三角 相似三角 相似三角 右a、b、
底边上的中线和底边上的高互相
底边上的中线和底边上的高互相 都相等，并且都等于60°。
应位置的外角都相等的三角形是 是等边三角形.
重合;
重合;
等边三角形;
(2)有一个角等于60°的等腰三角形 三角形的面积公式
(1)S△=1/2ah(a是三角形的底，h是底所对应的高)
(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC(三个角为/AL BLC,
b.直角三
C.钝角三 （锐角三
角形：有一个角大于
三个角都小于 有一个角等于 有一个角大于
半；
于30。，那么它所对的直角边
于斜边的一半，那么这条直
90度（锐角三角形，钝角三角形统称斜
角形 角形 角形 角形和钝角三角形可统称为斜三
90度。
90度。
90度。
角形）
（3）按边分 不等腰三
角形；等腰三角形（含等边三角
于180。（在球面上，三 角形内角之和大于
等于和它不相邻的两个内角之和 大于任何一个和它不相邻的内角
三角形的一个外角 三角形的一个外角 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
三角形中的四条特 殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
线，高三线互相重叠
(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
(8)S正^= [ (V 3)/4]a^2 (正三角形面积公式，a是三角形的边长)
[海伦公式(3ຫໍສະໝຸດ Baidu特殊情况]
三角形重要定理
勾股定理(毕达哥拉斯 定理)
内容：在 任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜边长的平方。
几何语言：若^ABC满足/ABC=90,贝U AB²+BC²=AC²
b.直角三竺（简称Rt三角形）： 角形两个锐角互余； 角形斜边上的中线等于斜边的一 三角形中，如果有一个锐角等 半-；
三角形中，如果有一条直角边等 角等于30°（和⑶相反）；
⑴直角三
⑵直角三
⑶在直角 等于斜边的一
⑷在直角 角边所对的锐
C.钝角三 三角形）。
d.证明全等时可用HL方法
（2）按角分
a.锐角三
（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中
②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三 边的一半)
**(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切
圆的圆心，它 到各边的距离相等.
**(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边 交点，它到三个顶点的距离相等.
**(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的 离等于它到对 边中点的距离的2倍。
ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),
逆时针顺序从
不按这个规则
三角形面积的
[p=1/2(a+b+c):(海伦一秦九韶
为三阶行列式，此三角形 这里ABC选区取最好按 的结果一般都为正值，如果 绝对值就可以了，不会影响
右上角开始取，因为这样取得出 取，可能会得到负值，但只要取 大小]
形对应边成比例，对应角相等 形对应边的比叫做相似比 形的周长比等于相似比，面积比 形对应线段(角平分线、中线、b、c成比例，
等于相似比的平方
高)之比等于相似比
即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中 项
(3)
【1】
【2】
【3】
相似三角形的判定
三边对应成比例则
两边对应成比例及
两角对应相等则两
这两个三角形相似
其夹角相等，则两三角形相似 三角形相似
2.全等三角形
(四)、全等三角形
(1)能够完全重合的两
(2)全等三角形的性质 全等三角形对应角(边) 全等三角 形的对应线段(角平分线、中线
积相等。
(3)全等三角形的判定
①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL (RT
寻找全等三角形的对应角、对应边常用方
3.等腰三角形
形）。
解直角三角形
（斜三角形特殊情况）：
勾股定理
a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立
5。他们分别是3,4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3,4,5;6,
，只适用于直角三角形（外国叫
“毕达哥拉斯定理”）
角形两直角边，C为斜边。
的三个正整数。比如：3,4,
8,10;5,12,13;10,24,26;等
三角形的性质
1.三角形 任意两边的差
2.三角形
3.等腰三
的任何两边的和一定大于第三边 一定小于第三边。
内角和等于180度
角形的顶角平分线，底边的中线
,由此亦可证明得三角形的
,底边的高重合，即三线合
4.直角三 角三角形斜边
5.三角形 等于与其不相
6.一个三
7.三角形 个角的顶点和
8.等腰三
角形的两条直角边的平方和等于 的中线等于斜边的一半。 的外角（三角形内角的一边与 邻的两个内角之和。
勾股定理的逆定理也 成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平 方，则这个三
几何语言
**18在三角形中至少有一个角大 于60度。
tan Ata nBta nC=ta nA+ta nB+ta nC。
于任何一个与它不相邻的内角。
等，对应角相等。 中线的交点上。
于等于60度，也至少有一个角小于等
（包括等边三角形）三角形的边角之 间的关系
（1）
180°）;
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三角形三内角和等
(1)两底角相等；
个三角形叫做全等三角形
、咼)相等、周长相等、面
三角形)】
法：
(2)两条腰相等;
(3)顶角的角平分线、 等腰三角形的判定：
(1)等角对等边;
(2)两底角相等；
4.等边三角形 等边三角形的性质：
(1)顶角的角平分线、
(2)等边三角形的各角 等边三角形的判定：
(1)三个内角或三个对
角形最少有2个锐角。
的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这
交点之间的线段。
角形中，等腰三角形顶角的平分 线平分底边并垂直于底边。
斜边的平方--勾股定理。直
其另一边的延长线所组成的角）
9.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系
（a^2+b^2=c^2。）
那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是
11.等底等高的三角形面
12.底相等的三角形的面 之比等于其底之比。
**13.三角形三条中线的
360°。
积相等。
积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积
长度的平方和等于它的三边的长度平方和的
3/4。
**14.在^ABC中恒满足
15.三角形的一个外角大
16.全等三角形对应边相
17.三角形的重心在三条
对边分别为a,b,c，参见三角函数)
(3)S △ =V[ p(p-a)(p-b)(p-c):I
公式)
(4)S△=abc/(4R) (R是外接圆半 径)
(5)S△=1/2(a+b +c)r (r是内切圆半径)
(6)| a b 1 |
=1/2 | c d 1 ||ef1|
11 a b 1 | c d 1 | e f 1 |
定义
由三条边首尾 相接组成的内角和为180°（一定是
形叫做三角形
三角形的内角和
三角形的内角和为180度；三角形的一 三角形的一个 外角大于其他两内角中的任一个
180°这个是个 准确的数！）的封闭图
个外角等于另外两个内角的和 角。
三角形分类
（1）按角度分
a.锐角三角形：三个角都小 于90度。并不是有一 个锐角的三角形, 而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
三角形的三条高的交点叫做三角形
三角形的中位线平行于第三边且等
的垂直平分线的
重心，它到每个顶点的距
(10)
(11)
的垂心。
于第三边的1/2。
(12)
三角形
三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角。特殊
1.相似三角形
(1)形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
(2)相似三角形性质 相似三角 相似三角 相似三角 相似三角 右a、b、
底边上的中线和底边上的高互相
底边上的中线和底边上的高互相 都相等，并且都等于60°。
应位置的外角都相等的三角形是 是等边三角形.
重合;
重合;
等边三角形;
(2)有一个角等于60°的等腰三角形 三角形的面积公式
(1)S△=1/2ah(a是三角形的底，h是底所对应的高)
(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC(三个角为/AL BLC,
b.直角三
C.钝角三 （锐角三
角形：有一个角大于
三个角都小于 有一个角等于 有一个角大于
半；
于30。，那么它所对的直角边
于斜边的一半，那么这条直
90度（锐角三角形，钝角三角形统称斜
角形 角形 角形 角形和钝角三角形可统称为斜三
90度。
90度。
90度。
角形）
（3）按边分 不等腰三
角形；等腰三角形（含等边三角
于180。（在球面上，三 角形内角之和大于
等于和它不相邻的两个内角之和 大于任何一个和它不相邻的内角
三角形的一个外角 三角形的一个外角 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
三角形中的四条特 殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
线，高三线互相重叠
(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)
(8)S正^= [ (V 3)/4]a^2 (正三角形面积公式，a是三角形的边长)
[海伦公式(3ຫໍສະໝຸດ Baidu特殊情况]
三角形重要定理
勾股定理(毕达哥拉斯 定理)
内容：在 任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于
斜边长的平方。
几何语言：若^ABC满足/ABC=90,贝U AB²+BC²=AC²
b.直角三竺（简称Rt三角形）： 角形两个锐角互余； 角形斜边上的中线等于斜边的一 三角形中，如果有一个锐角等 半-；
三角形中，如果有一条直角边等 角等于30°（和⑶相反）；
⑴直角三
⑵直角三
⑶在直角 等于斜边的一
⑷在直角 角边所对的锐
C.钝角三 三角形）。
d.证明全等时可用HL方法
（2）按角分
a.锐角三
（注①：等腰三角形中，顶角平分线，中
②：三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三 边的一半)
**(7)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切
圆的圆心，它 到各边的距离相等.
**(8)三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边 交点，它到三个顶点的距离相等.
**(9)三角形的三条中线的交点叫三角形的 离等于它到对 边中点的距离的2倍。
ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),
逆时针顺序从
不按这个规则
三角形面积的
[p=1/2(a+b+c):(海伦一秦九韶
为三阶行列式，此三角形 这里ABC选区取最好按 的结果一般都为正值，如果 绝对值就可以了，不会影响
右上角开始取，因为这样取得出 取，可能会得到负值，但只要取 大小]
形对应边成比例，对应角相等 形对应边的比叫做相似比 形的周长比等于相似比，面积比 形对应线段(角平分线、中线、b、c成比例，
等于相似比的平方
高)之比等于相似比
即a:b=b:c，则称b是a和c的比例中 项
(3)
【1】
【2】
【3】
相似三角形的判定
三边对应成比例则
两边对应成比例及
两角对应相等则两
这两个三角形相似
其夹角相等，则两三角形相似 三角形相似
2.全等三角形
(四)、全等三角形
(1)能够完全重合的两
(2)全等三角形的性质 全等三角形对应角(边) 全等三角 形的对应线段(角平分线、中线
积相等。
(3)全等三角形的判定
①SAS②ASA③AAS④SSS⑤HL (RT
寻找全等三角形的对应角、对应边常用方
3.等腰三角形
形）。
解直角三角形
（斜三角形特殊情况）：
勾股定理
a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三 勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立
5。他们分别是3,4和5的倍数。
常见的勾股弦数有：3,4,5;6,
，只适用于直角三角形（外国叫
“毕达哥拉斯定理”）
角形两直角边，C为斜边。
的三个正整数。比如：3,4,
8,10;5,12,13;10,24,26;等
三角形的性质
1.三角形 任意两边的差
2.三角形
3.等腰三
的任何两边的和一定大于第三边 一定小于第三边。
内角和等于180度
角形的顶角平分线，底边的中线
,由此亦可证明得三角形的
,底边的高重合，即三线合
4.直角三 角三角形斜边
5.三角形 等于与其不相
6.一个三
7.三角形 个角的顶点和
8.等腰三
角形的两条直角边的平方和等于 的中线等于斜边的一半。 的外角（三角形内角的一边与 邻的两个内角之和。
勾股定理的逆定理也 成立，即两条边长的平方之和等于第三边长的平 方，则这个三
几何语言
**18在三角形中至少有一个角大 于60度。
tan Ata nBta nC=ta nA+ta nB+ta nC。
于任何一个与它不相邻的内角。
等，对应角相等。 中线的交点上。
于等于60度，也至少有一个角小于等
（包括等边三角形）三角形的边角之 间的关系
（1）
180°）;
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
三角形三内角和等