中考试题典型题赏析：有趣的中点四边形(含解析)
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D
B A
C E F G H J
I B D
A
C H G F
E 有趣的中点四边形
顺次连结四边形的各边中点所得的四边形叫做中点四边形.中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切的关系.现归纳几种情况,供同学们复习时参考.
例1.如图1, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点.
求证:四边形EFGH 是平行四边形.
分析:连结BD 、AC,欲证明四边形EFGH 是平行四边形,只要证明
HG ∥EF,HE ∥GF 即可.
证明:连结BD 、AC.
∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,
∴HG ∥BD,EF ∥BD. 图1
∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.
∴四边形EFGH 是平行四边形.
点评:因为本题中的四边形的对角线BD 与AC 不相等,所以有顺次连结对角线不相等的四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形.(即顺次连结任意四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形）
例2.如图2, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC=BD. 求证:四边形EFGH 是菱形.
分析:欲证明四边形EFGH 是菱形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF.
再有AC=BD 即可证明四边形EFGH 是菱形. 证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,
∴HG ∥BD,EF ∥BD. 图2 ∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.
∴四边形EFGH 是平行四边形.
∵AC=BD.
∴四边形EFGH 是菱形.
点评:因为本题中的四边形的对角线BD=AC,所以有顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.
例3.如图, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC ⊥BD. 求证:四边形EFGH 是矩形. 分析:欲证明四边形EFGH 是矩形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF. 再有AC ⊥BD 即可证明四边形EFGH 是矩形. 证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,
∴HG ∥BD,EF ∥BD. 图3 ∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.
∴四边形EFGH 是平行四边形.
∵HG ∥BD,HE ∥AC,AC ⊥BD,
∴∠IJG=∠JID=ο90,∠IJG=∠EHG=ο90.
∴∠IJG=∠EHG =ο90.
∴四边形EFGH 是矩形.
点评:因为本题中的四边形的对角线BD ⊥AC,所以有顺次连结对角线垂直的四边形的各边中点所得的四边形是矩形.
例4.如图4, E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点,且AC ⊥BD,AC=BD.
求证:四边形EFGH 是正方形.
分析:欲证明四边形EFGH 是正方形,只要先证明HG ∥EF,HE ∥GF.再有AC ⊥BD,AC=BD 即可证明四边形EFGH 是正方形.
证明:∵AH=BH,AG=GD,CE=BE,CF=DF,
∴HG ∥BD,EF ∥BD.
∴HG ∥EF.同理HE ∥GF.
∴四边形EFGH 是平行四边形. ∵HG ∥BD,HE ∥AC,
∴∠IJG=∠JID=ο90,∠IJG=∠EHG=ο90.
∴∠IJG=∠EHG =ο90.
∴四边形EFGH 是矩形.
∵HG=21BD,HE=2
1AC, 图4 ∴HG=HE.
∴四边形EFGH 是正方形.
点评:因为本题中的四边形的对角线BD ⊥AC,AC=BD,所以有顺次连结对角线垂直且相等的四边形的各边中点所得的四边形是正方形.
初中数学试卷