北师大版数学必修一《生活中的变量关系》参考教案

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数学(北师大版)必修一教学设计：2-1生活中的变量关系含答案

教学设计§1生活中的变量关系错误!教学分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入,“思考交流"则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本,要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中,一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然,学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提,在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的,不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．三维目标1．通过公路上的实际例子,引起积极的思考和交流,从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．课时安排1课时错误!导入新课思路1。

现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路2。

人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课错误!错误!1说出初中所学函数定义?2如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1）函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量,y是x的函数，y是因变量．（2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且,y是x 的函数．错误!思路1例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底,位居世界第四;2000年底，位居世界第三;2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．（如下表）1988—2001年全国高速公路总里程单位：千米年份1988198919901991199219931994总里程14727152257465211451603年份1995199619971998199920002001图1问：（1）高速公路里程数是年度的函数吗？（2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出:（1）高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评:本题主要考查函数的定义.变式训练一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．解:一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量）随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量;油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以,储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v 和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系。

高中数学(北师大版)教学设计必修一：2-1生活中的变量关系

教学设计§1生活中的变量关系整体设计教学分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．三维目标1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路 2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)说出初中所学函数定义？(2)如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．应用示例思路1例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)1988—2001年全国高速公路总里程单位：千米年份1988198919901991199219931994总里程147271522574652 1 145 1 603年份1995199619971998199920002001总里程 2 141 3 422 4 7718 73311 60516 31419 453图1问：(1)高速公路里程数是年度的函数吗？(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出：(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评：本题主要考查函数的定义.变式训练一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v 不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.变式训练1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：(1)还有哪些常量？哪些变量？(2)哪些变量之间存在依赖关系？(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.思路2例1 在学校里你能发现哪些函数关系？活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．解：(1)学生的学号是学生的函数；(2)教学任务是老师的函数；(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.变式训练1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．4．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数；(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y与之对应，故由它可以确定y是x的函数；(3)由{x－2≥0，1－x≥0得x∈ ，故x无值可取，y不是x的函数.例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．图3解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.变式训练从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．图4请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．解：时间t 的变化范围是数集A ＝{t |t ≥1950}，我国人口出生率p 的变化范围是数集B ＝{p |p ≥0}，并且，对于数集A 中的每一个时间t ，按照图中的曲线，数集B 中都有唯一确定的p 与它相对应，所以我国人口的出生率p 是时间t (年)的函数.知能训练1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；变量有：时间t 、速度v 和位移s ，其中，速度依赖时间变化，关系是v ＝gt ；位移也依赖时间变化，关系是s ＝12gt 2.2．银行的存款利息表算不算函数？答案：是函数关系．拓展提升思考：字母一定是变量吗？探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．例如，我们所熟悉的二次函数y ＝ax 2(a ≠0)，它表示y 与x 之间存在依赖关系，这时，x 、y 都是变量，它表示的是y 关于x 的函数．虽然函数随着a 的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．如果把y ＝ax 2看作表示y 与a 只存在依赖关系，则y ＝ax 2＝x 2a 在x ≠0时是一个y 关于a 的一次函数，这里y ，a 是变量，x 是常量．课堂小结本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．作业习题2—1 A 组1,2.设计感想本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．备课资料【例1】下表展示了我国从1998年到2002年每年的国内生产总值．年份生产总值(亿元)答案：是函数关系．【例2】农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．图5观察上图，植株高度是时间的函数吗？答案：是函数关系．。

《生活中的变量关系》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

第二章函数2.1生活中的变量关系1.从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系，能利初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．2.在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．重点：感受生活中处处有变量，加深理解初中的函数概念．难点：依赖关系和函数关系的差别．一、新课导入生活中变化的事物无处不在，你感受到了哪些事物的变化？请举例并加以说明？例如：温度随四季的变化，身高随年龄的变化，汽车行驶里程随时间的变化等．设计意图：引导学生用数学的眼光，关注生活中的变量．二、新知探究活动1：分析生活中的变化现象，认识变量之间的关系．问题1：生活中温度的变化．我们能感受到每天温度的变化，怎么刻画这种变化呢？在一个标准大气压下定义了摄氏零度的概念，这样就可以用温度值的大小表示温度的变化，温度的变化与季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等很多客观因素都有关系．引导学生依据生活中的情境，围绕以下问题进行小组讨论交流：⑴生活情境是什么？其中的变化怎样描述？这种变化有什么需要说明的条件吗？ ⑵变化的过程中存在哪些变量？哪些常量？⑶变量之间是什么关系？这种关系是怎样描述的？答案：⑴生活情境是每天温度的变化，这种变化用温度值描述，这种变化要限制季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等客观因素．⑵变化过程中一个标准大气压下摄氏零度是常量，季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等是变量．⑶对于季节、时间、地点、空气湿度、海拔高度等每一个不同的值都对应一个温度．设计意图：通过一个简单的例子，引导学生用数学的方式分析生活现象．◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆教学过程问题2：高速公路的加油站经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪儿？是怎么储存的？如图是某高速公路加油站的图片.加油站的油是存放在地下，常用圆柱体罐储存.储油罐的长度为d，截面半径为r，油面高度为h、油面宽度为w、储油量记作V.这些量哪些是常量，哪些是变量？量与量之间存在着怎样的关系？这些关系是同一类关系吗？有什么不同？答案：储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h、油面宽度w、储油量V是变量.当油面高度h和油面宽度w发生变化时，储油量V也随之改变即油面高度h和油面宽度w与储油量V是依赖关系．但这两种关系又不完全相同，对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V与它对应．而对于油面宽度w取定一个值可以有两种油面高度和它对应．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题3：阅读下面材料，回答问题．自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅速发展，截至2017年年底运营里程突破25 000 km.下图表示的是中国高铁年运营里程的变化．从图中可以看出：随着时间的变化，高铁运营里程与年份存在着依赖关系．依据图中的数据，你能得出哪些结论？答案：通过观察图不难看出，（1）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．对于年份的每一个取值，都有唯一的运营里程与它对应．初中我们学习过函数的概念：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．判断两个变量是否有函数关系：对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它相对应．因此在问题2与问题3中，储油量V是油面高度h的函数，高铁运营里程是年份时间的函数，但是储油量V不是油面宽度w的函数．设计意图：通过以上三个问题的分析，复习初中的函数概念，即在一个变化的过程中，有两个变量x，y，对于变量x的每一个取值，变量y都有唯一确定的值与之对应，那么y是x的函数，其中x是自变量．另外，在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与之对应，这点非常重要，需要学生认真理解．活动2：分析事物中变量间的函数关系，叙述刻画函数关系的不同方法．阅读下面的材料，思考以下问题，学生之间交流讨论．（1）确认变量之间是否存在函数关系．（2）材料中采用什么方法描述函数关系的？材料1：表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：条曲线画在同一平面直角坐标系中，每一条曲线表示在一个观测点的观测情况．材料3：某地电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法.居民每月应缴电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW•h）的关系是y={0.4883x,0≤x≤240,0.5383x−12,240<x≤400,0.7883x−112,x>400．答案：（1）材料1，2，3中的变量之间均存在着函数关系．（2）材料1，2，3分别用列表法、图象法和解析法来表示函数．尤其是在材料3中，给定范围内，对于自变量x的取值范围不同所对应的函数关系也不同，我们称这样的函数为分段函数．设计意图：通过分析学生理解材料中隐含着函数的三种表示法：列表法、图象法和解析法．活动3：1.对于问题２中的储油罐的问题中还有很多量，如储油罐长度、油面面积等，找出这些量中的常量和变量，并指出哪些变量之间是函数关系．答案：（1）常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等；变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；（2）储油量和油的体积、储油量和圆柱底面上弓形的面积、油的体积和油面宽度之间都存在依赖关系；（3）储油量是油体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上弓形面积的函数．2.选定超市、邮局、公路或其他一个场景，观察分析其中有哪些常量和变量，哪些变量之间是函数关系？答案：略．结论很开放，由学生交流各自的结论．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．三、应用举例1．某电器商店以2 000元/台的价格购进了一批电视机，然后以2100元/台的价格售出，随着售出台数的变化，商店的利润是怎样变化的？利润和售出的台数之间存在函数关系吗？答案：随着售出台数的变化，商店的利润也会增加，利润和售出的台数间存在函数关系．2.坐电梯时，电梯距地面的高度与时间之间存在怎样的依赖关系？答案：坐电梯时，电梯距地面的高度随时间的确定而确定．3.在一定量的水中加入蔗糖，糖水的质量分数与所加蔗糖的质量之间存在怎样的依赖关系？答案：在一定量的水中加人燕糖，糖水的浓度随所加蔗糖的质量的确定而确定．四、课堂练习1．下列各组中两个变量间之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？（1）球的体积和它的半径；（2）速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；（3）家庭的收入与其消费支出；（4）正三角形的面积和它的边长．πr3的关系．答案：（1）中，球的体积V与半径r间存在V=43（2）中，在速度不变的情况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系．（3）中，家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性．a2的关系．（4）中，正三角形的面积s与其边长a间存在s=√34综上可知（1）（2）（3）（4）中两个变量间都存在依赖关系，其中（1）（2）（4）是函数关系．2．下图是我国某年某地降雨量的统计情况，图中横轴为月份（单位：月），纵轴为降雨量（单位：cm）.由图中曲线可判断该地该年的降雨量与时间是否具有函数关系？答案：因为对于该年的每一个月都有唯一的降雨量与之对应，故可得该年的降雨量与时间具有函数关系，且自变量是时间，因变量是降雨量．五、课堂小结1.依赖关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的改变引起变量y的改变，则这两个变量是依赖关系．2.函数关系：如果在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，则这两个变量是函数关系，在现实生活中，凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应”．3.依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系．六、布置作业教材第51页习题2-1A组、B组．。

2013-2014学年高中数学北师大版必修一示范教案_2.1生活中的变量关系

第二章函数通过本章的学习，使学生关注现实，了解函数、映射等知识产生的背景．发展对变量的认识，了解现实世界充满变量间的相互依赖关系．通过操作和思考，感受抽象出函数概念的过程和方法．理解函数和映射等概念的本质，并掌握函数的单调性等性质．在初中学习的基础上，能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质．对幂函数和函数的奇偶性有所了解．使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质，也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质，能熟练地对二次函数配方，会用解析式证明函数的单调性和奇偶性，能根据需要对各种函数的解析式作变形，会对一些有关函数的应用题求解，会对有关数据作相应的处理．培养学生提出、分析、解决问题的能力，表达交流的能力，独立获取数学知识的能力，同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识．引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯，体会数学美，树立辩证唯物主义的世界观．引导学生热爱数学，帮助他们建立学好数学的信心，并具有一定的数学视野；使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神，强化对真善美的追求．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在章头语里，把函数的地位和意义作了简单说明．有作为背景的意图，也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数．本书从高速公路的里程和加油站的思考引入，一方面，让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系，另一方面，希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例．函数概念从实际引入，让学生在现实情境中体验和理解数学．函数是核心概念，初中讲了，高中还要深化．它将贯穿整个高中阶段，希望使学生遇到问题的时候，马上会有一种想到函数的潜意识产生．这种意识和函数观点是至关重要的．教材对函数概念，努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法，而明确提出把对应关系f叫作函数．只是为了与学生过去的认识接轨，才又补充说：习惯上我们称y是x的函数．教材中，提到函数的时候，必须要说明函数的定义域．但是，教材有意弱化了求定义域和值域的技巧，不在这里浪费学生过多时间．本教材力图突出本质，而不在技巧上下更多工夫．考虑到分段函数在实际中会经常出现，明确给出了“分段函数”的概念．一般到特殊、特殊到一般，都是人类创造的重要思维方法，都很重要，只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种．考虑到与初中知识的衔接，同时又考虑到学生的认知次序，在函数概念和映射概念的处理上，特意先给出函数的概念再引出映射概念，从特殊到一般地安排了这段教材．在函数性质中，教材突出了更具本质的单调性，而弱化了函数的奇偶性．如前所说，我们没有把奇偶性专门列出一节，而是把它和幂函数放在了一起．有意把幂函数留了个尾巴到下一章，意在顺理成章．因为，此前学生只有整数幂，而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现，所以，到下一章再重复一下幂函数，也十分自然．整体设计教学分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．三维目标1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路 2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题1说出初中所学函数定义？2如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．应用示例思路1例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)771问：(1)高速公路里程数是年度的函数吗？(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出：(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评：本题主要考查函数的定义.变式训练一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.变式训练1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：(1)还有哪些常量？哪些变量？(2)哪些变量之间存在依赖关系？(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.思路2例1 在学校里你能发现哪些函数关系？活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．解：(1)学生的学号是学生的函数；(2)教学任务是老师的函数；(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.变式训练1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．4．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数；(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y与之对应，故由它可以确定y是x的函数；(3)由{x－2≥0， 1－x≥0得x∈ ，故x无值可取，y不是x的函数.例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．图3解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.变式训练从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．图4请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．解：时间t的变化范围是数集A＝{t|t≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝{p|p≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的p与它相对应，所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.知能训练1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；变量有：时间t、速度v和位移s，其中，速度依赖时间变化，关系是v＝gt；位移也依赖时间变化，关系是s＝12gt2.2．银行的存款利息表算不算函数？答案：是函数关系．拓展提升思考：字母一定是变量吗？探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．例如，我们所熟悉的二次函数y＝ax2(a≠0)，它表示y与x之间存在依赖关系，这时，x、y都是变量，它表示的是y关于x的函数．虽然函数随着a的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．如果把y＝ax2看作表示y与a只存在依赖关系，则y＝ax2＝x2a在x≠0时是一个y关于a的一次函数，这里y，a是变量，x是常量．课堂小结本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．作业习题2—1 A组1,2.设计感想本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．备课资料[备选例题]【例1】答案：是函数关系．【例2】农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．图5观察上图，植株高度是时间的函数吗？答案：是函数关系．。

2019-2020年高中数学 2.1《生活中的变量关系》精品教案北师大版必修1

2019-2020年高中数学 2.1《生活中的变量关系》精品教案北师大版必修1一、教学目标:1．通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．培养广泛联想的能力和热爱数学的态度．二、教学重点：在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系教学难点：培养广泛联想的能力和热爱数学的态度三、教学方法：探究交流法四、教学过程（一）、知识探索：阅读课文P25页。

实例分析：书上在高速公路情境下的问题。

在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？2．对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？问题小结：1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，才称它们之间有函数关系。

2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有唯一确定的y值与之对应。

3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。

（二）、新课探究——函数概念1．初中关于函数的定义：2．从集合的观点出发，函数定义：给定两个非空数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f（x）与之对应，那么就把这种对应关系f叫做定义在A 上的函数，记作或 f：A→B，或y=f(x),x∈A. ；此时x叫做自变量，集合A叫做函数的定义域，集合 {f(x)︱x∈A}叫作函数的值域。

习惯上我们称y是x的函数。

3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则；4．函数值当x=a时，我们用f（a）表示函数y=f（x）的函数值。

（三）、知识体验（课堂练习及课外作业）1.某电器商店以xx元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元的价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是 ,它们之间是______关系.【函数 y=100x,x∈D 】2.现实生活中,与时间存在函数关系的量_______________________ .(三个以上)【路程与时间；炮弹的射高与时间的变化关系问题；用电量与时间的关系。

北师大版高中数学必修一生活中的变量关系教案(2)

普通高中课程标准实验教科书[北师版] –必修1第二章函数§2.1生活中的变量关系（教案）[教学目标]1、知识与技能(1)通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；(2)知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；(3)了解两变量之间有函数关系具备的条件；2、过程与方法(1)让学生从时间生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的意义.(2)让学生收集归纳生活中变量之间的关系.3、情感.态度与价值观培养善于观察发现的责任心，增强学习的积极性.[教学重点]: 现实生活中的实例中的变量关系.[教学难点]：对于两变量之间的函数关系的理解.[教学教具]：实例图片[课时安排]: 1课时[学法指导]：学生提供信息材料，自主学习、思考、交流、讨论和概括.[讲授过程]【新课导入】世界是变化的,许多变量之间有着相互依赖的关系，变量与变量的依赖关系在生活中随处可见,与我们息息相关.【新课内容】函数就描述了因变量随自变量而变化的依赖关系.[互动过程1]：教师提出问题：初中我们学习过哪些函数？学生抢答你能说出函数描述了几个变量之间的关系？它们分别是什么变量？因变量y与自变量x之间什么样的依赖关系？什么是函数吗？由于函数的概念比较抽象，不好理解，教师可以提示：因变量y随自变量x的变化而变化：即一个x的取值有唯一确定的值y与之对应则称y是x的函数.【板书】函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y, 如果对于x的每一个值, y都有唯一的值与它对应, 那么就说y是x的函数.x叫做自变量.注意:并非有依赖关系的两个变量都有函数关系.[互动过程2]：下面我们在高速公路的情景下,看看你能发现哪些函数关系?1．由挂图提供下面有关的数据,请同学们根据下列数据思考表中有几个变量?这些变量之间有没有函数关系?问题:表格里有几种类型的数据?它们之间的关系是怎样的? 提示:我们还可以画出图形观察它们之间的关系.这样就更清楚的表现出变量之间的依赖关系和变化关系了.问题:里程与年份之间是否有函数关系?从这里可以看出函数可以关系可以由表格即列表法表示,也可以用图形法,另外,还有解析式法.[互动过程3]：2．高速公路上我们还会联想到行驶的汽车,自然会想到时间与路程、速度的关系,还有什么变量关系?[互动过程4]：问题:思考储油量v是否为d的函数? 储油量v是否为截面半径r的函数呢?引导分析及解答:【课堂练习】教材P.25 练习:4．（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（A ）5．（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（）A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 1答案：A【课后作业】:P25A 组1,2 B 组2A ．B ．C ．D ．。

《生活中的变量关系》示范教学方案北师大新课标

第二章函数2.1生活中的变量关系◆教学目标1．从实际生活中的例子出发，让学生认识到日常生活中各种变量之间的依赖关系．2．能利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的联系与区别．3．在观察事物的变量间关系过程中，培养学生发现问题、提出问题的能力，发展数学应用意识．◆教学重难点◆重点：生活中的变量关系与函数关系的区分．难点：生活中的变量关系与函数关系的区分．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、导入新课★资源名称：【情景演示】函数概念的发展．★使用说明：本资源简单讲解了函数概念的发展过程，适用于函数知识的引入或者拓展教学．注：此图片为“情景演示”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：实例分析，匀速直线运动中，速度、时间、路程哪个是变量？哪个是常量？时间、路程是否有关系，什么关系？师生活动：学生独立思考，师生合作分析、概括这些实例共同特征，共同总结出变量和常量以及依赖关系的概念．数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．当一个变量的变化从某个角度影响另一个变量的变化时，说明两个变量有依赖关系．预设答案：速度是常量，时间和路程是变量；时间越久，路程越长．设计意图：教师列举生活中的实例，激发学生的学习热情，又为新知作好铺垫．二、新知探究问题2：两个变量之间的对应关系让你联想到什么？预设答案：函数关系．追问：初中学过的函数怎么定义的？和，对于变量x的每一个值，变量预设答案：如果在一个变化过程中，有两个变量x yy都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量．表示两个变量关系的函数的代数式，叫函数解析式．问题3：经过高速公路的加油站时，你是否想过，汽油存在哪里？怎样存储的？如图，是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存汽油等燃料．储油罐的长度d、截面半径r，油面高度h、油面宽度w、储油量v．（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．预设答案：（1）d，r为常量，h，w，v为变量．（2）储油量v与油面高度h存在着依赖关系；储油量v与油面宽度w也存在着依赖关系．（3）对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，但是每一个油面宽度w的值，却对应着两个储油量v；储油量v是油面高度h的函数，储油量v不是油面宽度w的函数．设计意图：在较为复杂的问题情境中，理解变量之间的依赖关系和函数关系，提升对函数概念的认识．问题4：自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展．截至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km．图中表示的是中国高铁年运营里程的变化．（1）哪些是变量？哪些是常量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？师生活动：教师提问，学生独立思考并回答．预设答案：从图中可看出：（1）时间、高铁运营里程是变量．（2）随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系．（3）从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014年增长得最多；高铁年运营里程是时间的函数．教师总结：在现实生活中，要确定两个变量之间是否具有函数关系，关键是判断对于变量x的每一个取值，变量y是否都有唯一确定的值与它对应；这一点非常重要，需要认真理解．设计意图：通过以上三个问题的分析，加强学生对函数关系的理解和认识，突破本节课的难点．★资源名称：【知识点解析】函数的概念．★使用说明：本资源为《函数的概念》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数的概念,有利于学生预习或复习所学知识，为学生（教师）解惑，启发教学.注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．追问1：两个变量的依赖关系与函数关系有什么联系？研究函数关系时，应该注意什么问题？师生活动：师生共同发现总结依赖关系和函数关系的区别与联系．预设答案：（1）函数关系一定是依赖关系，依赖关系不一定是函数关系．（2）若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量有函数关系．(3)研究函数关系时，应首先确定自变量x的取值范围．设计意图：明确函数关系与依赖关系的区分从而突破难点．三、巩固练习例1分析材料中的变量的函数关系，其中k为劲度系数．材料1：弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系：y kx材料2：如下表，记录了几个不同气压下水的沸点：材料3：绿化可以改变小环境气候．某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化优于观测点乙，图中是这两个观测点某一天的气温曲线图．材料4：国内某快递公司邮寄普通货物限重30kg，从A城市到B城市的快递资费标准是，质量1kg及以下收费12元，以后质量每增加1kg收费增加8元，质量不足1kg按1kg 计算．请写出邮件的质量m kg与邮资M元的函数解析式，并画出局部图象．师生活动：小组合作交流，用自己的文字语言陈述变量之间的函数关系，教师归纳总结．再次巩固函数关系的概念，同时引入分段函数．预设答案：材料1中，对于变量“伸长量x ”的每一个值，变量“弹力y ”都有唯一确定的值和它对应，弹力y 是伸长量x 的函数．材料2中，对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点是气压的函数．材料3中，图中反映的都是对于“时间”的每一个值，都有唯一确定的“气温”值和它对应，所以每一条曲线都表示了一个函数关系．材料4中，邮件的质量m kg 与邮资M 元的函数解析式为12,0120,1228,23244,2930m m M m m <≤⎧⎪<≤⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩．该函数的局部图象如图所示：注意：形如上述的函数，称为分段函数．设计意图：鼓励学生积极思考，让学生体会到生活中的函数关系非常普遍，数学源于生活，用于生活．例2“距离地面越高，温度越低”，下表反映了距离地面高度与温度之间的变化关系：（1）上表反映的变化关系中，是自变量，是因变量；（2）如果用h 表示距离地面的高度，用t 表示温度，那么用h 表示t 的关系式是；（3）你能猜出距离地面7千米的高空温度是多少吗？师生活动：学生独立完成，核对答案．预设答案：（1）距离地面的高度，温度；（2）620t h =-+；（3）22C -︒．解析：（1）由图可知，表中自变量是距离地面的高度，因变量是温度；（2）设b kh t +=，则2014b k b =⎧⎨+=⎩，解得620k b =-⎧⎨=⎩，即h 与t 关系为t ＝−6h +20；（3）当h ＝7时，t ＝−6×7+20＝−22℃，所以距离地面7千米的高空温度是−22℃．设计意图：巩固两个变量的关系．例3一辆汽车出发后，前320km 在柏油路面行驶，速度为100/km h ，然后转入沙石路面，速度为60/km h ，行驶了240km ，到达目的地，写出行驶总路程)(km y 与行驶时间)(h t 的函数表达式．师生活动：学生到黑板板书过程，教师指导点拨．预设答案：100,0 3.260128,3.27.2t t y t t ≤≤⎧=⎨+<≤⎩．设计意图：加强学生对分段函数的理解．四、归纳小结问题5：本节课你学到哪些数学知识？有什么生活感悟？师生活动：学生自己先总结，教师帮助梳理，提升学生研究问题的能力．预设答案：本节课我们学习了量与量之间的关系、两个变量之间的依赖关系、函数关系；生活中处处有数学，数学帮我们解决了很多实际问题，我们一定要努力学好数学这门学科．设计意图：通过回顾，对概念的发生与发展过程有清晰的认识，再次巩固依赖关系与函数关系的概念和区分．作业布置：1．自己寻找一个实际生活中的变量关系，写一份报告．要求：①有现实意义和研究价值；②变量简单的函数关系．2．教材P51页，习题2-1，A 组1、2、3．五、目标检测设计1．下列变量间的关系是函数关系的是( )A ．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程B ．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C ．正方形的面积S 与其边长a 之间的关系D ．光照时间和苹果的亩产量设计意图：巩固变量之间的函数关系的概念．2．下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是()A．这天15时的温度最高B．这天3时的温度最低C．这天的最高温度与最低温度相差13℃D．这天21时的温度是30℃设计意图：强化看图识别两个变量的关系．3．谚语“瑞雪兆丰年”说明()A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数设计意图：突出数学的应用意识．4．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是()设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题．5．如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0℃？(3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？设计意图：引导学生运用所学知识解决生活实际问题，强化解答题的解题步骤．参考答案：1．答案：C．解析：A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．2．答案：C．解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．3．答案：A．解析：下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．4．C．解析：从亮亮的体温变化，可以看出图象应为：早晨37℃以上，中午37℃以下，下午37℃以上，半夜37℃以下，结合图象可知，只有C项符合．5．解：(1)上午8时气温是0℃；全天最高气温大约是9℃，在14时达到；全天最低气温大约是－2℃，在4时达到．(2)大约在0时、8时、22时，气温为0℃．(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0≤t≤24，变量-2≤θ≤9，由于图象是连续的，可知它们之间具有函数关系；随着时间的增加，气温呈现先降再升再降的变化趋势，所以θ与t既具有依赖关系，也具有函数关系．。

北师大版高中数学必修1《二章函数 1 生活中的变量关系》优质课教案_0

2.3.1 变量之间的相关关系优秀教学设计2015-12-31 11:23 108次共1课时2.3.1变量之间的相关关…高中数学人教A版2003课标版1教学目标：1、通过收集现实生活问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系。

2、明确事物间的相互联系。

认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，还存在大量的非确定关系，并用散点图直观体会这一关系。

2学情分析：变量间的关系是人们感兴趣的问题，学生已经了解了一些变量之间具有的确定关系，也有一些变量之间具有相关关系，比如身高和体重之间就有相关关系等。

同时已经研究了抽样方法、用样本估计总体的方法，了解了总体中变量之间的一些相关关系。

3重点难点：重点是利用散点图直观认识两个变量间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

难点是变量间相关关系的理解。

4教学过程 4.1 第一学时教学活动活动1【导入】问题引入问题1：（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断. 活动2【讲授】揭示规律①散点图②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图。

③正相关与负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关. 如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关. 活动3【讲授】解决问题例1 . 下列关系中,带有随机性相关关系的是_____________. ①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系例2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 活动4【练习】应用提高以下是在某地搜集到的不同楼盘新房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据：房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元24.8 21.6 19.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图；(2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？活动5【活动】课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 活动6【作业】巩固提高作业：P94 A组——2.(1) 3(1) 4(1) 活动7【活动】教学反思略2.3.1变量之间的相关关系课时设计课堂实录2.3.1变量之间的相关关系1第一学时教学活动活动1【导入】问题引入问题1：（1）粮食产量与施肥量有关系吗？“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（2）两个变量间的相关关系是什么？有几种？（3）两个变量间的相关关系的判断. 活动2【讲授】揭示规律①散点图②散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图。

高中数学第二章函数 2.1 生活中的变量关系教案2 北师大版必修1

生活中的变量关系★教学目标1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点：1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系.2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系.★授课类型：新授课★教具：多媒体、实物投影仪★教学方法:启发式、交互式教学★教学过程：一、创设情景，引入课题多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系)二、新课讲解1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?2、知识探究：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题（1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。

（2）对问题3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？（3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。

（4）归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。

探究结论：依赖关系与函数关系(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。

(2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。

(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系。

1生活中的变量关系-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案

1 生活中的变量关系-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.理解变量及其代表的数量的含义2.掌握变量之间的代数关系和应用3.锻炼数学建模的能力，运用数学方法解决学生生活中的实际问题二、教学重难点教学重点1.变量的概念及其应用2.变量之间的代数关系教学难点1.理解变量的概念及其应用2.掌握变量之间的代数关系三、教学方法1.讲授法2.示例教学法3.讨论交流法4.实践演练法四、教学过程1.导入生活中，我们会遇到各种各样的事情，有些是可以用数学方法解决的。

比如，小明拿到一张舞蹈展演的门票，他想知道这个舞蹈展演的总观众人数。

这时，我们就需要用到一些数学知识，比如变量关系。

那么，什么是变量关系呢？2.展示•案例一一只蚂蚁在直线上爬行，第一秒爬行1毫米，以后每秒钟爬行的距离是上一秒的2倍。

问蚂蚁爬行10秒钟后总共爬了多少毫米？•案例二有两个数，它们的和是18，它们的积是81，求这两个数分别是多少？这两个例子都是典型的变量关系问题，在这两个例子里都涉及到了变量，下面我们来了解什么是变量。

3.教学1.变量的概念变量是指在某范围内取任何值的元素或对象，其值可以改变，用字母表示。

2.变量的应用(1)变量表示数量在数学中，我们通常用变量表示某一种数量，比如上例中的蚂蚁爬行的距离就是一个变量。

(2)变量表示常数在求解方程时，我们通常把未知数看作是一个变量，通常情况下这个变量只能代表一个常数，比如上例中的“两个数”。

3.变量之间的代数关系变量之间的代数关系就是用变量表示的表达式，比如上例中的“第一秒爬行1毫米，以后每秒钟爬行的距离是上一秒的2倍”这个描述就是对变量之间代数关系的一个表示。

4.归纳通过上面的讲解我们了解到了变量的概念、变量的应用、变量之间的代数关系。

再来回顾上面的例子，在案例一中，我们通过列出变量和变量关系的表达式来解决问题，而在案例二中，我们同样是根据变量之间的关系列出了方程并解方程求解得到答案。

教学设计1 生活中的变量关系

§1生活中的变量关系【教材版本】北师大版【教材分析】1.知识内容与结构分析本节内容是教材第二章函数的第一节，是全章知识内容的引入部分，计划课时1课时.教材从对高速公路的里程数和加油站的思考入手，让学生充分认识现实生活中处处充满变量，变量之间充满关系.并利用学生初中对函数的认识，进一步了解两个变量之间的依赖关系中有的是函数关系，有的不是函数关系，从而为函数的进一步认识做铺垫.2.知识学习意义分析通过对生活中的变量进行分析，学会判断两个变量之间的依赖关系是否是函数关系，为本章的学习打下基础.3.教学建议与学法指导这节课的情境，教科书设置为与高速公路有关的问题，重在学生活动的组织．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生．在本节的教学中，为学生留下必要的时间和空间让学生自主地活动．这节课的本质在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系，但是，有的关系是函数关系，有的关系则不是函数关系.另外，希望学生产生联想，引申到其他领域中的变量关系．对教科书中的“思考交流”应该认真组织学生进行讨论．问题1根据初中常量和变量的定义不难解决，其中（3）涉及区分是否为函数关系的问题，应该突出一下；问题2与3 可以考查学生的联想意识，应该重点解决．【学情分析】学生通过对高速公路的里程数和加油站的思考,体会到生活中处处充满变量,并且变量之间充满关系.学生在初中已经接触一些函数知识,他们可以利用初中对函数的认识，进一步判断两个变量之间的依赖关系是否是函数关系.当然学生的思维活动必须以学生的思维为基础，必须在独立思考的前提条件下再与同伴交流合作.【教学目标】1.知识与技能（1）了解生活中处处充满变量关系.（2）掌握变量关系和函数关系的区别和联系，会判断变量关系是否是函数关系.2.过程与方法通过公路上的实际例子，引起学生积极思考和交流，使学生认识到生活中处处有变量之间的依赖关系，并利用初中对函数的认识理解函数关系.3.情态与价值通过对生活中变量的讨论，培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度.【重点难点】区分生活中的变量关系是否是函数关系.【教学环境】◆多媒体教室◆课件【教学过程】一、章节引入［师］请同学们翻开课本，阅读第二章引言.（让学生自己阅读章节引言，初步了解本章要学习的内容）二、导入新课［师］我们的生活中存在着各种各样的变量，人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产和亩施肥量是函数关系吗？球体的体积和球半径是函数关系吗？如何判断变量之间是否是函数关系？本节课我们就一起来研究这个问题.（教师板书课题）二、新知探究［师］请同学们回顾一下初中所学函数知识，回答问题.（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）1.初中我们学习的函数定义是什么？2.如何判断两个变量之间的关系是函数关系？［生］（1）函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值,y 都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量,y是x的函数,y是因变量.（2）当且仅当变量x每取一个值,另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时,则变量x和y之间具有函数关系,并且y是x的函数.［师］在高速公路的情境下，你能发现哪些变量存在依赖关系？（教师给学生充分思考和交流的时间）三、应用示例例1 我国自1988年开始建设高速公路,全国高速公路通车总里程,于1998年底位居世界第八；1999年底位居世界第四；2000年底位居世界第三；2001年底超过加拿大,位居世界第二.（如表2-1）根据表内数据作图（如图2-1）（1）高速公路的里程数和年度的变化有什么特点？（2）高速公路的里程数和年度两个变量是函数关系吗？活动：学生利用函数的概念判断两个变量之间是否是函数关系，并学着用语言描述因变量与自变量之间的关系.［生］（1）从1988年到2001年，高速公路里程数随年度的增加而不断增加，其中从1999年到2000年增长速度最快.（2）给定一个确定的年度，都有唯一确定的高速公路里程数和它对应，所以高速公路的里程数可以看作因变量，年度看成自变量，高速公路的里程数是年度的函数.［师］一辆汽车在高速公路上行驶的过程中每个时刻都有唯一的行驶路程与之对应.行驶路程（因变量）随时间（自变量）的变化而变化，行驶路程是时间的函数.同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.［师］具有依赖关系的两个变量中只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值对应，才称它们之间有函数关系.例2 如图2-2是高速公路加油站的圆柱体储油罐图，储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度为h、油面宽度ω、储油量v是变量.这些变量中请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系.解：储油量v和油面高度h存在依赖关系；储油量v和油面宽度ω存在依赖关系；油面高度h和油面宽度ω也存在依赖关系.油面高度h每取定一个值，都有唯一的一个储油量v与之对应，所以储油量v是油面高度h的函数；而油面宽度ω每取定一个值都有两个储油量v的值与之对应，所以储油量v 不是油面宽度ω的函数；当油面宽度ω每取定一个值都有两个油面高度h的值与之对应，所以油面高度h不是油面宽度ω的函数.［师］函数关系一定是依赖关系，但是依赖关系不一定的函数关系.请同学们思考下面的问题：1.进一步分析上述储油罐问题，讨论：（1）还有哪些是常量？哪些是变量？（2）哪些变量之间存在依赖关系？（3）哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？2.请举出一些与公共交通有关的函数关系。

2.1生活中的变量关系函数的概念教案秋学期高中数学北师大版必修一

2．1生活中的变量关系函数概念教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想．教学目的：（1）在上一小节学习的基础上理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；知识点一生活中的变量关系自学导引世界是千变万化的，变量与变量之间有的有依赖关系，而具有依赖关系的两个变量并不一定具有函数关系．问题1：某十字路口，通过汽车的数量与时间的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？提示：没有依赖关系，不是函数关系．问题2：储油罐的储油量Q与油面宽度W的关系是否具有依赖关系？是函数关系吗？提示：具有依赖关系，但不是函数关系．问题3：在公路上匀速行驶的汽车，它行驶的里程s与时间t具有依赖关系吗？是函数关系吗？提示：具有依赖关系，也是函数关系．新知自解并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间具有函数关系.知识点二函数的概念自学导引一枚炮弹发射后，经过26 s落在地面击中目标．炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是h＝130 t－5 t2.问题1：炮弹飞行时间t的变化范围的数集A是什么？提示：A＝{t|0≤t≤26}．问题2：炮弹距地面的高度h的变化范围的数集B是什么？提示：B＝{h|0≤h≤845}．问题3：高度h与时间t是否具有依赖关系？是函数关系吗？为什么？提示：具有，且是函数关系．因为对于数集A中的任意一个时间t，按照h＝130 t－5 t2，在数集B 中都有唯一确定的高度h 和它对应．新知自解给定两个非空数集A 和B ，如果按照某个对应关系f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都存在唯一确定的数f (x )与之对应，那么就把对应关系f 叫作定义在集合A 上的函数，记作f ：A →B ，或y ＝f (x )，x ∈A .此时，x 叫作自变量，集合A 叫作函数的定义域，集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域，习惯上称y 是x 的函数.知识点三区间自学导引一小球在距离地面98 m 高的平台上做自由落体运动．(g ＝9.8 m/s 2) 问题1：下落时距离s 与时间t 的关系式是什么？提示：s ＝12×9.8t 2＝4.9t 2.问题2：变量s 和t 的变化范围是什么？提示：{s |0≤s ≤98}，{t |0≤t ≤25}．问题3：如果{x |a ≤x ≤b }可用[a ，b ]表示，上面变量s 和t 的变化范围还可怎样表示？提示：s ∈[0,98]，t ∈[0,25]．新知自解 1．区间2．无穷大概念：实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x ≥a ，x >a ，x ≤b ，x <b 的实数x 的集合分别表示为[a ，＋∞)，(a ，＋∞)，(－∞，b ]，(－∞，b ).1．函数关系是特殊的依赖关系，具有依赖关系的两个变量有的是函数关系，有的不是函数关系．2．对函数的理解(1)符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是对应法则所施加的对象；f是对应法则；y是自变量的函数，当x取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值．3．区间是连续数集的另一种表示形式．把握热点考向高频考点题组化考点一依赖关系的判断[例1]下列变量之间是否具有依赖关系？其中哪些是函数关系？①正方形的面积和它的边长之间的关系；②姚明罚球次数与进球数之间的关系；③施肥量与作物产量之间的关系；④汽车从A地到B地所用时间与汽车速度之间的关系．[思路点拨]先分析是否存在依赖关系，再去判断是否有函数关系．[精解详析]①，②，③，④中两个变量都存在依赖关系，其中①，④是函数关系，②，③中两个变量间有依赖关系，但不是函数关系．[一点通]分析两个变量是否具有函数关系，关键是看它们的关系是确定的，还是不确定的．题组集训1．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x kg，每亩地小麦产量为y kg，则()A．x，y之间有依赖关系B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数D．x是y的函数解析：小麦产量与施肥有关系，但这种关系又不是确定的．答案：A2．下列过程中，变量之间的关系是否为函数关系？(1)公路上行驶的汽车在路程一定的条件下，时间与平均车速之间的关系；(2)化学实验中，加入溶液中的溶质的质量与溶液浓度之间的关系．解：(1)是函数关系．其中时间是自变量，速度是因变量；反之也行；(2)是函数关系．其中溶质是自变量，溶液浓度是因变量．考点二函数的概念[例2] 判断下列函数是否为同一函数： (1)f (x )＝x 2－4x －2与g (x )＝x ＋2；(2)f (x )＝x x ＋1与g (x )＝x (x ＋1)； (3)f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1； (4)f (x )＝1与g (x )＝x 0(x ≠0)．[思路点拨] 判断函数的定义域和对应关系是否一致．[精解详析] (1)f (x )的定义域中不含有元素2，而g (x )定义域为R ，即定义域不相同，所以不是同一函数．(2)f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，定义域不相同，所以不是同一函数．(3)尽管两个函数的自变量一个用x 表示，另一个用t 表示，但它们的定义域相同，对应关系相同，即对定义域内同一个自变量，根据表达式，都能得到同一函数值，因此二者为同一函数．(4)f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠0}，因此不是同一函数．[一点通] 函数有三个要素：定义域、值域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的，所以只要定义域和对应法则相同，这两个函数就是同一函数．题组集训3．下列各组中的两个函数是相同函数的是( ) A ．f (x )＝(x －1)0与g (x )＝1 B ．f (x )＝x 与g (x )＝x 2 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝(x )4x 与g (t )＝(tt)2解析：A 中，f (x )＝(x －1)0的定义域是{x |x ≠1}，g (x )＝1的定义域为R ，它们的定义域不相同，不是相同函数．B 中，f (x )＝x 与g (x )＝x 2＝|x |的对应关系不同(值域不同)，不是相同函数．C 中，f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋x x 2＋1的对应关系不同，不是相同函数．D 中，f (x )＝(x )4x ＝x (x >0)与g (t )＝t (t >0)的定义域与对应关系均相同，它们是相同函数．答案：D。

生活中的变量关系-北师大版必修1教案

生活中的变量关系-北师大版必修1教案一、教学目标1.了解变量、常量、函数的基本概念和关系；2.通过实例学习变量、常量、函数在生活中的应用；3.培养学生对于变量关系的思辨和探究能力；4.提高学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点和难点重点1.变量、常量的概念和区别；2.函数的概念和基本形式。

难点1.变量、函数的实际应用；2.理解函数的返回值和参数的概念。

三、教学内容和方法教学内容1.变量的概念和使用；2.常量的概念和区别；3.函数的概念和基本形式；4.生活中的实际应用。

教学方法1.案例教学法；2.互动式教学法。

四、教学过程1.引入通过生活中的实例引出变量、常量的概念。

比如：购物时的价格、数量、优惠券等都是变量；而超市的会员卡则是常量。

2.定义和区分变量、常量的概念讲解变量和常量的含义和区别，重点讲解变量在生活中的实际应用，比如：小明每天步行上下学路程相同，但所用时间不同。

如果时间用t表示，路程用s表示，那么t 就是变量，s就是常量。

3.函数的概念和基本形式讲解函数的定义和基本形式，重点讲解函数的返回值和参数的概念，比如：煮饭时，煲饭的时间和水的重量是有关系的。

这个关系可以表示为：V=f(t,w)，其中V是煲出的饭的重量，t是煲饭的时间，w是加入的水的重量。

在这个函数中，t和w是参数，V是返回值。

4.生活中实际应用通过实际例子让学生体会变量、常量、函数在生活中的应用。

比如：垃圾分类需要一个评价标准，一般是参照各类垃圾对环境的危害程度。

比如家庭垃圾中的果皮、纸屑等过期的有机物可以通过堆肥处理变成有机肥，可以视为一种“变量”；而废旧材料则需要通过回收处理给予循环利用，这些废旧材料对于不同材质、颜色甚至是否有污染等都需要评估，因此就是“函数”；而废弃物的分类标准则是“常量”。

5.总结和拓展在总结中让学生回顾重点和难点，进一步加深对变量关系的理解和应用。

在拓展环节中可以引入更多实际生活中的例子，让学生参与讨论，探究实际中的变量关系。

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第二章函数
§1 生活中的变量关系
★教学目标
1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认
识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力．
3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点：
1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系.
2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系.
★授课类型：新授课
★教具：多媒体、实物投影仪
★教学方法:启发式、交互式教学
★教学过程：
一、创设情景，引入课题
多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”
发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系)
二、新课讲解
1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?
◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系? ◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?
2、知识探究：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题
（1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。

（2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖
关系都有函数关系吗？
（3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后
是否为函数关系。

（4）归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。

探究结论：依赖关系与函数关系
(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。

(2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另
一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。

(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一
定还存在函数关系。

3、议一议：
（1）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.
如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖
关系是函数关系吗？
（2）我们在物理中学习过的 R
U I
，当R 为定值时，电流强度I 与电压U 能否形成一对函数关系？（3）风云二号卫星发回地面的气象云图如下，月份与回报之间是否有依赖关
系？能不能表示一种函数关系？
图
1
30323436384042
04812162024283236404448时间/时温度/摄氏度
图4
4、链接生活，学以致用链接1、某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测，
服药后每毫升血液的含药量y 与时间t 之间近似地满足如图3所示的
图形.试分析图3中所给的折线中，每毫升血液的含药量y （毫克）与
时间t （小时）之间是否构成一对函数关系？
解：由图3知0≤t ≤10,每毫升血液中含药量的变化范围为 0≤y ≤
6,对于0至10中的每一个时间t ，在0至6中都有唯一确定的y 值与之
对应，因此每毫升血液中的含药量y （毫克）与时
间t （小时）构成函数关系.
链接2、一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间
的关系如
图4所示.
(1) 试求图中阴影部分的面积，说明面积的实际含义，
并分析面积与时间是否形成一对函数关系？
(2)假设汽车里程表在行驶这段路程前的读数为a km,
当1＜t ≤2时，试建立汽车里程表的读数s(km)与时间 t(h)的函数关系式. 解:(1)阴影部分的面积为 S=50+80+90+70+60=350
阴影部分的面积表示汽车在这5个小时内行驶的总路程为350 km
(2)根据图4有S=80（t －1）＋a ＋50
04 05 06 07 08 09 10 11 12 01 02 0
55
110
165
220
265
图2
03月
回报％
5、练习巩固：
(1)某电器商店以2000元一台的价格进了一批电视机，然后以2100元一台的
价格售出，随着售出台数的变化，商店获得的收入是怎样变化的？其收入和售出的台数之间存在函数关系吗？
(2)在一定时的水中加入蔗糖，在未到达饱和之前糖水的质量浓度与所加蔗糖
的质量之间存在怎样的依赖关系？如果是函数关系，指出自变量和因变
量。

6、归纳小结: （1）函数关系和依赖关系.
（2）从一般到特殊的数学思想和数形结合的数学思想.
（3）广泛联想能力和热爱数学的态度.
7、作业：课本25页A组1
8、思考题：
（1）链接1思考探究：若每毫升血液中含药量不少于4毫克时对治疗病人有效，某病人一天中首次服药时间为早晨7：00，试探索一天中怎样安排服药时间（共服4次）才能使效果最佳.
（2）以邮局或机场为情景，调查收集有关函数关系，写出书面交流材料. 附：板书设计。

北师大版数学必修一《生活中的变量关系》参考教案

数学(北师大版)必修一教学设计：2-1生活中的变量关系 含答案

高中数学(北师大版)教学设计 必修一：2-1生活中的变量关系