大学物理第五章5-4 一维简谐运动的合成拍现象

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《大学物理AI》课程教学大纲

《大学物理AI》课程教学大纲2016年5月制定 2016年 5 月第 0 次修订制定人：王志萍一、课程名称及代码课程名称：大学物理AI课程代码：BAA012001二、适用教育层次及专业教育层次：高职本科适用专业：机械设计制造及其自动化、机械电子工程、电气工程及其自动化、物联网工程、软件工程三、学分、学时学分数：3.5 学时数：56四、课程类型课程性质：公共课课程类别：纯理论课五、先修课程名称及代码高等数学AI（BAA011001）六、教学目标《大学物理》课程是我院高职本科工科各专业的一门必修的重要公共基础课。

通过这门课程的学习，将为工科各专业课及其技术基础课打好基础，传授必需通用的物理基础知识，培养科学思维和利用物理规律解决实际问题的初步能力。

为学生学习专业理论和专业技术打好必要的物理基础。

由于物理学在自然科学中的基础地位和与社会科学的联系，以及物理科学对人的思维训练和能力形成有很大的影响，因而它在人才培养中起着十分重要和独特的作用，对培养高级工程技术人才起至关重要的作用，必须引起充分的重视。

1．知识目标1）掌握描述质点运动的物理量。

掌握牛顿三定律及其适用条件。

掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法。

2）理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。

3）通过把力学的研究对象抽象为三个理想模型，质点、刚体和理想流体，学会建立模型的科学研究方法。

4）注意学习矢量运算、微积分运算等方法在物理学中的应用。

5）掌握描述简谐振动和简谐波的各物理量（特别是相位）及各量间的关系。

6）掌握线性运动叠加原理，通过在周期性外力作用下阻尼摆的混沌现象分析了解非线性问题的特征。

7）理解气体动理论和热力学基础的基本概念及基本规律。

8）通过理想气体的压强和气体分子平均自由程等公式的建立，进一步理解科学研究的建模方法。

9）理解和掌握熵增加原理是自然界（包括自然科学和社会科学）最为普遍实用的定律之一。

10）了解物理学原理在现代工程技术中的应用。

大学物理简谐运动PPT课件

(3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初相为_________．
(4)振子在位移为--A/2处，且向正方向运动，则初相为_________．
(5) 写出以上四种情况的运动方程
6.2
第21页/共56页
1)
A
ox
x Acos( 2 t )
T
1 ) 2 ) 或 3 3） 4）4 或 - 2
处时的速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于
零，而是具有向右的初速度 v0 0.30 m s1，
求其运动方程.
x/m
o 0.05
第29页/共56页
解（1）
x Acos(t )
k 0.72 6.0s1
m 0.02
A
x02
v02
2
x0
0.05m
oAx
由旋转矢量图可知 0
从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为
［
］
1s 6
1s 4
1s 3
1s 1s
8
2
第36页/共56页
例，两个弹簧振子的周期都是0.4 s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为____________．
x Acos(t )
第19页/共56页
y
t
0
A
x
x Acos(t )
例题
第20页/共56页
例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T，其运动方程用余弦函数表示．若t = 0时，
(1) 振子在负的最大位移处，则初相为 ______________________；

大学物理(简谐振动篇)ppt课件

通过图表展示实验结果，如位移-时间图、速度-时间图等，以便更直观地分析振动特性。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验目的通过观察Βιβλιοθήκη 测量波动现象，验证波动方程的正确性。
实验原理
利用波动方程描述波的传播规律，通过实验数据验证理论预测。
波动方程验证性实验设计思路分享
实验设计思路
选择合适的波动源和测量仪器，如振动台、激光干涉仪等。
01
实验步骤
02
搭建实验装置，包括弹簧、振子、测量仪器等。
调整实验参数，如弹簧劲度系数、振子质量等，以获得不同条
03
件下的振动数据。
弹簧振子实验设计思路分享
使用测量仪器记录振动的位移、速度、加速度等数据。
对实验数据进行处理和分析，提取简谐振动的基本特征。
单摆实验数据处理技巧指导
实验目的
通过观察和测量单摆的运动，研究简谐振动的基本规律。
波动传播速度
波动在介质中传播的速度称为波动传播速度。对于简谐振动形成的机械波而言，波动传播速度与介质的性质有关，如弹性模量、密度等。同时，波动传播速度还与振动的频率有关，频率越高则波动传播速度越快。
02
简谐振动的动力学特征
回复力与加速度关系
回复力定义
指向平衡位置的力，大小与位移成正比，方向始终指向平衡位置。
1 研究非线性振动现象
通过设计和实施非线性振动实验，探索非线性振动的基本规律和特性，如混沌现象、分岔行为等。
2 探究复杂系统中的振动传播
研究复杂网络中振动传播的动力学行为，揭示网络结构对振动传播的影响机制。
3 开发新型振动传感器件
结合微纳加工技术和振动理论，设计并制作具有高灵敏度、高分辨率的振动传感器件，应用于精密测量和工程领域。

大学物理振动

第二象限
P
A
M
第三象限
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限 M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
A
第三象限
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
P
第三象限
A
M
第一象限
x
第四象限
注意：旋转矢量在第3象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
P
A
x
M
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
注意：旋转矢量在第4象限速度V〉0
第二象限
第三象限
第一象限
A
M Px
第四象限
第二象限第三象限
t=t
51
一、同方向同频率的简谐振动的合成
1、解析法
x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2)
合振动 :
x x1 x2 A1 cos( t 1) A2 cos( t 2 )
(A1 cos1 A2 cos2) cos t (A1 sin1 A2 sin2)sin t
Acos
d 2t l
令 g l 2 则有：
d 2 2 0

大学物理第五版下册简谐运动的合成课件

简谐运动能量守恒，振幅不变
6
第九章
振动
物理学
第五版
（3）熟记平均动能和平均势能）
E
k
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
E
P
1 1 = E = kA 2 4
2
1 = m ω 2A 4
2
第九章
振动
7
物理学
第五版
在实际问题中，经常要遇到一个质点同时参与几种在实际问题中，振动的问题。根据运动的叠加原理，振动的问题。根据运动的叠加原理，此时质点所做的运动实际上是几种振动的合成。实际上是几种振动的合成。的合成问题。我们仅研究两个同方向的振动的合成问题。
π
点P的相位为的相位为
ΦP = ω( tP −t0 ) +ϕ = 0
t =0
t =tP
x/m
第九章
振动
5
物理学
第五版
(3): 根据
ΦP = ω(t P −t0 ) +ϕ = 0
π /3 ω(t P −t 0 ) = ( tP −t0 ) = 3 ω 4. 简谐运动的能量
π
∴ t P =1.6S
（1）动能）（2）势能）
1 2 kA 2 1 1 2 E k = mv = m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 2 1 E p = kx = m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + ϕ ) 2 2
1 1 2 2 2 E = E k + E p = m ω A = kA 2 2
x = Acos(ωt +ϕ)
9.8 k g = = =10rad / s 式中 ω = ∆l m 0.098

振动的合成与分解

x 2 A cos(
2 1
2
) t cos(
2 1
2
t )
合振动不是简谐振动
当21时, 2 1 2 1 则：x A( t ) cos t 2 1 ) t 随t 缓变式中 A( t ) 2 A cos( 2 2 1 随t 快变 cos t cos( )t
受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和强迫力的特征有关。
(3)初相:
2 tg 2 0 2
三、位移共振在一定条件下, 振幅出现极大值, 振动剧烈的现象。
2 2 2 (1)共振频率 : r 0
2.同方向的两个不同频率，但周期相差不多的的两个谐和振动的叠加
一般言之：不同频率的谐振动的叠加呈现出较复杂性的情况
x
x x1 x2
x1
x2
t
叠加后已非谐振动，下面只研究频率相差不大的两个谐振动的叠加
声音时大时小---“拍现象” 若有： x1 A 1 cos(1t 1 )
如 A1=A2 , 则 A=0
例：两个沿Ｘ方向的谐振动的振动方程为： 3 2 2
3 x1 5 10 cos(12t ) x2 6 10 sin( 12t ) 4 4
求：１）１、２两振动的合成振动的振幅和初相；
２）若另有Ｘ方向的谐振动的方程为：
问：

为何值时， x1 x2 为最大；为何值时，
合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线
A2 斜率 A1
y
x
质点离开平衡位置的位移
S x y
2 2

《简谐运动的图象》课件

利用弹簧的伸缩产生简谐运动，可以用于测量时间、频率等物理
量。
振动机械
在机械制造中，可以利用简谐运动的原理设计振动机械，如振动筛、振动磨等。
声波产生
声音是由物体的振动产生的，而物体的振动可以看作是简谐运动，因此声波的产生也可以用简谐运动来描述。
02
简谐运动的图象
简谐运动的振动图象
振动图象的概念
实例二
一个复杂的振动信号可以通过傅里叶级数分解为若干个简谐运动的合成，通过调整各次谐波的幅度和相位，可以实现对复杂振动信号的控制和调制。
THANKS
感谢观看
简谐运动的波形图象
波形图象的概念
波形图象是描述简谐运动中所有质点在同一时刻的位移分布情况，即振动过程中某一时刻的波的形状。
波形图象的特点
波形图象是一条正弦曲线，其形状取决于波长和振幅。
波形图象的物理意义
通过波形图象可以直观地了解波的传播方向、波长、振幅和频率等参数，进而分析波的叠加、干涉和衍射等现象。
《简谐运动的图象》ppt课件
contents
目录
• 简谐运动简介 • 简谐运动的图象 • 简谐运动的周期性 • 简谐运动的能量 • 简谐运动的合成与分解
01
简谐运动简介
简谐运动的定义
简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，其轨迹是正弦或余弦函数图象的运动。
振动图象与波形图象的比较
相同点
振动图象和波形图象都是正弦或余弦曲线，其形状取决于振动的周期、振幅和初相位。
不同点
振动图象是描述质点在不同时刻的位移，而波形图象是描述所有质点在同一时刻的位移分布情况。此外，振动图象可以分析质点的速度和加速度变化情况，而波形图象则可以分析波的传播方向、波长、振幅和频率等参数。

大学物理简谐运动课件

05
简谐运动的应用领域
物理学领域的应用
振动与波动实验
01
简谐运动是振动的基本形式之一，在物理学实验中常被用来研
究振动和波动现象，如共振、干涉和衍射等。
弦的振动
02
弦的振动是一种常见的简谐运动，在研究弦乐器的发声机制、
弦振动方程等方面有重要应用。
电磁波的发射与接收
03
在无线电通信和雷达技术中，信号的发射和接收都涉及到电磁
详细描述
简谐运动的位移公式为x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相角。该公式用于描述简谐运动物体在任意时刻的位置变化。
简谐运动的速率公式
总结词
描述简谐运动物体速度大小的公式
详细描述
简谐运动的速率公式为v=A*ω*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相角。该公式用于描述简谐运动物体在任意时刻的速度大小。
简谐运动的加速度公式
总结词
描述简谐运动物体加速度大小的公式
详细描述
简谐运动的加速度公式为a=A*ω^2*sin(ωt+φ)，其中A为振幅， ω为角频率，t为时间，φ为初相角。该公式用于描述简谐运动物体在任意时刻的加速度大小。
简谐运动的能量定理
总结词
描述简谐运动物体能量变化的定理
详细描述
简谐运动的能量定理指出，一个做简谐运动的物体，其振动能量E与振幅A的平方成正比，即E=1/2*k*A^2，其中k为弹簧的劲度系数。该定理用于描述简谐运动物体能量的
受迫振动与共振
受迫振动的定义
受迫振动是指振动物体受到周期性外力作用下的振动，其振动频率与外力频率相同或相近。
共振的原理

大学物理学课件-振动的合成与分解

大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
分析：
A A12 A22 2 A1 A2 cos(2 1 )
（1）若两分振动同相：
2 1 2 k
A A1 A2
k 0,1, 2,
两分振动相互加强
（2）若两分振动反相:
2 1 ( 2 k 1)
×
×
−

()
()
得

−
= ( − )

大学物理学
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4.2 振动的合成与分解
三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
分振动
x A1 cos( t 1 )
y A2 cos( t 2 )
= 0
= /4
P
.
·
= /2
= 3/4
= 3/2
= 7/4
Q
=
= 5/4
0 时，逆时针方向转动。
0 时，顺时针方向转动。
大学物理学
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四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成
两振动的频率成整数比
2
1
2
2
A1 A2
A1 A2
(1)2 1 0
x
y 2
(
) 0
A1 A2
y
A2
y
x
A1
x
质点离开平衡位置的位移
S
大学物理学
x2 y2
A12 A2 2 cos( t )

简明大学物理重点知识总结

五机械振动知识点： 1、简谐运动微分方程：0222=+x dtx d ω ,弹簧振子F=-kx,m k=ω, 单摆lg =ω 振动方程：()φω+=t A x cos振幅A,相位（φω+t ）,初相位φ,角频率ω。

πγπω22==T。

周期T, 频率γ。

ω由振动系统本身参数所确定；A 、φ可由初始条件确定：A=22020ωv x +,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00arctan x v ωφ； 2由旋转矢量法确定初相：初始条件：t=0 1）由得 2）由得 3）由0=x 00<v 0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0<-=ϕωA v 0sin >ϕAx =000=v ϕcos A A =1cos =ϕAx -=000=v ϕcos A A =-1cos -=ϕ0=ϕ2/πϕ=πϕ=得 4）由得3简谐振动的相位：ωt+φ:1）t+φ→（x,v ）存在一一对应关系;2）相位在0→2π内变化，质点无相同的运动状态；相位差2n π（n 为整数）质点运动状态全同； 3）初相位φ（t=0）描述质点初始时刻的运动状态；（φ取[-π→π]或[0→2π]）4）对于两个同频率简谐运动相位差：△φ=φ2-φ1. 简谐振动的速度：V=-A ωsin(ωt+φ)加速度：a=)cos(2ϕωω+-t A简谐振动的能量：E=E K +E P = 221kA ,作简谐运动的系统机械能守恒4）两个简谐振动的合成（向同频的合成后仍为谐振动）：1）两个同向同频率的简谐振动的合成：X 1=A 1cos （1φω+t ） ,X 2=A 2cos （2φω+t ）合振动X=X 1+X 2=Acos （φω+t ）其中 A=()12212221cos 2φφ-++A A A A ,tan 22112211cos cos sin sin φφφφφA A A A ++=。

相位差：12φφφ-=∆=2k π时, A=A 1 + A 2, 极大12φφφ-=∆=(2k+1)π时,A=A 1 + A2极小若0=x 00>v ϕcos 0A =0cos =ϕ2/3 , 2/ππϕ=,0sin 0>-=ϕωA v 0sin <ϕ)(sin 21212222k ϕωω+==t A m m E v )(cos 2121222p ϕω+==t kA kx E 2/3πϕ=121,ϕϕ=>A A2）两个相互垂直同频率的简谐振动的合成：x=A 1cos （1φω+t ） ,y=A 2cos （2φω+t ）其轨迹方程为：如果) 其合振动的轨迹为顺时针的椭圆πϕϕπ2)212<-<其合振动的轨迹为逆时针的椭圆相互垂直的谐振动的合成：若频率相同，则合成运动轨迹为椭园；若两分振动的频率成简单整数比，合成运动的轨迹为李萨如图形。

5-1-简谐运动解析

（1）振幅
5-1 简谐运动
A
x02
v02
2
0.05m
（2）初相位 arccosx0 36052
A
由已知条件，初速度为正，所以 sin为负
36052 0.634rad
（3）振动表达式
返回
x 0.05cos(7t 0.634)m
第 5 章机械振动
18
南通大学
Nantong University
T 返2回
第 5 章机械振动
12
南通大学
Nantong University
5-1 简谐运动
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
频率 1
T 2π x
圆频率
A
2 π 2 π
o
T
A
xt图
Tt
T 2
周期和频率仅与振动系统返回本身的物理性质有关
第 5 章机械振动
vm A v A sin(t )
an A 2
a A 2 cos(t )
返回
第 5 章机械振动
23
南通大学
Nantong University
5-1 简谐运动
用旋转矢量图画简谐运动的x t图
返回
第 5 章机械振动
24
南通大学
Nantong University
5-1 简谐运动
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差
可求（1）t 1.0 s, x, F t 1.0 s 代入上式得 x 0.069 m
F kx m 2 x 1.70103 N
m 0.01kg 0.08 0.04
v
o 0.04
x/m
返回
0.08

简谐运动的合成与分解

五、谐振分析和频谱（自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动，其频率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐标表示各谐频振动的频率，纵坐标表示相应的振幅，就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分的频率都是基频的整数倍，所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则不变；若1 2 ,则变；

简谐振动、振动合成ppt课件

x0
A0
-A 0
A
0
0 -A 0
A 0
;
9
5、振幅与初相的确定
初始条件：x t0 x0 , V t0 V0
x A cos(t ) v A sin( t )
x0 A cos ① v0 A sin ②
①2+(②/)2
有
x
2 0
(v0
/ )2
A2
A
x02
v0
2
②/①有
tg v0 / A v0
A M
A v t M 0
2. M 点的运动速度
ox P x
v A
在 x 轴上投影速度
v A sin( t )
;
31
3. M 点的加速度
a A2
在x轴上投影加速度
a A2 cos(t )
y
aM
A M A2 t 0
ox P x
结论：
M点运动在x轴投影，为谐振动的运动方程。
M点速度在x轴投影，为谐振动的速度。
x
14
建立坐标系，o点选在弹簧平衡位置处。
F弹 x
3.振动位移
ox
振动位移：从 o 点指向物体所在位置的矢量。
回复力：一维振动
F弹 k x F弹 kx ma
a d 2x F弹 k x
dt 2 m;
m
15
d2x k x 0 dt 2 m
F弹 x
令
2 k
m
ox
有
d 2x 2x 0 简谐振动微分方程
2
1 mA 2 2 sin 2 (t )
2
;
25
Ek
1 m 2 A 2 sin

5-4一维简谐运动的合成

A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 ω2 −ω1 t +π = 2Acos 2
(t +T)
比较
11
5-4 一维简谐运动的合成
第五章机械振动
A(t) = 2Acos
ω2 −ω1
2 比较 ω2 −ω t +π 1 = 2Acos 2 ω2 −ω1 ω2 −ω1 1 T =π 或 =π 2 2 ν
快速在振动。质点则按ω1快速在振动。
10
5-4 一维简谐运动的合成
第五章机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
2.合振幅变化频率拍频”。合振幅变化频率—“拍频” 合振幅变化频率拍频由于余弦函数绝对值的周期为π。
1
5-4 一维简谐运动的合成
第五章机械振动
一两个同方向同频率简谐运动的合成质点同时参与两个振动。质点同时参与两个振动。两个振动频率相同，个振动频率相同，振动方向在同一直线上。直线上。质点的振动是这两个振动的合成。质点的振动是这两个振动的合成。设两个分振动方程分别为：设两个分振动方程分别为：
第五章机械振动
ω2 −ω1 tcos(ω t +ϕ) x = 2Acos 1 2 ω −ω 振幅 A(t) = 2Acos t 2
2 1
1.振幅是周期变化的，振幅是周期变化的，振幅是周期变化的
ω1 ≈ ω2,
ω1 −ω2
2
很小，很小，振幅 A（t）随时间 t 缓慢地变（）现象，化—“拍”现象，最大值为 2A。 “ 。

大学物理(简谐振动篇)课件

31
31
例已知振动曲线，求振动方程。
解 A3cm
x
x(cm )
1
2
T 2s
3
2 s
T
由振动曲线1，
o
1
2
3
t(s)
3
t＝0时，x0＝0，υ0 > 0
10
2
x1
3cos(t
)
2
由振动曲线2， t＝0时，x0＝－3，υ0＝ 0
20
x23cos(t)
第学11习章交机流械PP振T动
32
加速度 a 与位移 x 反相。
o
t
2A T
第学11习章交机流械PP振T动
35
35
小结
简谐振动的三个判据
1)受力特征 f kx
恢复力
劲度系数
2) 振动方程 xAcost0
3）微分方程
d2 dt
x
2
2
x
0
以上1）、2）、3）中任一条成立即可判定为简谐振动。
第学11习章交机流械PP振T动
36
36
简谐振动的三种表示方法
mg kx m d2x
dt2
d2x dt 2
k m
x
g
（不是谐振动）
O'
x 0o
原点取在平衡位置建立 ox轴
mgk(xx0)mddt22x
xx xx
d 2x dt 2
k m
x
0
xAcos(t0)
第学11习章交机流械PP振T动
kkx(x x0) mg
19
19
推论：若振动系统除受弹性力外，还受一恒力作用，则系统的振动规律不变，只是改变了平衡位置，而坐标原点取在新的平衡位置上。

大学物理知识点总结(振动及波动)

②已知初速度的大小、正负以及初位置的正负。 1 [例2]已知某质点初速度 v 0 A且y0 0 。 2 v A sin( t ) v0 A si n 1 A 2 5 5 or y0 0 6 6 6
③已知初位置的大小、正负以及初速度的大小。 [例3]已知某质点振动的初位置 y0 0.3 A且 v0 0.95A 。 v0 由tg 的可能值. y0
由旋转矢量法知：
0

4
A

4
y
[例3] 位于 A,B两点的两个波源,振幅相等,频率都是100赫兹，相位差为π ,其A,B相距30米，波速为400米/秒，求: A,B 连线之间因干涉而静止各点的位置。解：取A点为坐标原点，A、B联线为x轴，取A点的振动方程 :
y A A cos( t )
A 2.振动曲线法
y
2
-A 3、旋转矢量法：
4
M
t ( s)
A
t

t
o
t0 A p x
简谐运动的合成 1.同方向、同频率的简谐运动的合成：
A2
2
1
A
x1 A1 cost 1
x2 A2 cost 2
仍然是同频率的简谐振动
由y0的正负确定的值.
注意！由已知的初条件确定初相位时，不能仅由一个初始条件确定初相位。 2、已知某质点的振动曲线求初相位：若已知某质点的振动曲线，则由曲线可看出，t = 0 时刻质点振动的初位置的大小和正负及初速度的正负。关键：确定振动初速度的正负。
y
o
1
2
t
[例4] 一列平面简谐波中某质元的振动曲线如图。求： 1）该质元的振动初相。 2）该质元在态A、B 时的振动相位分别是多少？解：1）由图知初始条件为：

大学物理简谐运动的合成

大学物理简谐运动的合成
目录
• 简谐运动的定义与特性 • 简谐运动的合成原理 • 简谐运动的合成方法 • 简谐运动的合成应用 • 总结与展望
简谐运动的定义与特
01
性
简谐运动的定义
简谐运动
物体在平衡位置附近做往复运动，其位移、速度和加速度随时间按正弦或余弦规律变化的运动。
简谐运动的数学描述
简谐运动可以用正弦或余弦函数表示，其数学表达式为 $x = Asin(omega t + varphi)$，其中 $A$ 是振幅，$omega$ 是角频率，$varphi$ 是初相。
简谐运动的特性
周期性
简谐运动具有周期性，即物体在每个周期内重复相同的运动轨迹。
往复性
简谐运动是往复运动，即物体在平衡位置附近来回振动。
能量守恒
简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化，总能量保持不变。
简谐运动的分类
自由振动
不受外力作用的简谐运动。
受迫振动
受到周期性外力作用的振动，其振动频率与外力频率相同或相近。
简谐运动的合成方法
03
旋转矢量法
总结词
旋转矢量法是一种直观且易于理解的方法，用于合成简谐运动。
详细描述
旋转矢量法是通过引入一个旋转矢量来表示简谐运动，该矢量在复平面内以角速度旋转。通过旋转矢量的长度和角度变化，可以直观地理解简谐运动的合成过程。
复数法
总结词
复数法是一种基于复数运算的方法，用于合成简谐运动。
自激振动
由系统内部激励产生的振动，不需要外部激励作用。
02
简谐运动的合成原理
线性合成原理
线性合成原理是指两个简谐运动的合成结果仍为简谐运动，其振幅和角频率分别为两个简谐运动振幅和角频率的线性组合。

5_4一维简振的合成

则有： x = A cos(ωt + ϕ ) 则有：
A = A 2 + A 2 + 2 A A cos( ϕ − ϕ ) 1 2 1 2 2 1 其中：其中： ϕ = tg −1 A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
3
5-4 一维简谐振动的合成
x
x
o
同相(步调一致) 同相(步调一致) 步调一致
相互加强
ϕ
A ω
A2
A 1
o
T
ϕ = ϕ2 = ϕ1 + 2kπ
t
4
A = A1 + A2
5-4 一维简谐振动的合成
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
ϕ = tg
2）反相
−1
± ∆ϕ = ϕ2 −ϕ1 = (2k +1)π ( k = 0 ， 1, L)
一一维同方向简谐运动的合成一一维同方向简谐运动的合成coscossinsintan合振动是同合振动是同方向同频率方向同频率的简谐运动的简谐运动11旋转矢量法求合振动旋转矢量法求合振动代数法求合振动方程代数法求合振动方程sinsinsincoscoscos则有
第五章
机械振动
5-4 一维简谐振动的合成
A1 sin ϕ 1 + A2 sin ϕ 2 x = ( A − A ) cos(ωt + ϕ ) 2 1 A1 cos ϕ 1 + A2 cos ϕ 2
x
x
ϕ2 o
ω A2
A 1
A = A1 ห้องสมุดไป่ตู้ A2 ϕ = ϕ2

5-4 简谐振动的合成振动的频谱分析

tan 0

A1 sin 10 A1 cos10

A2 sin 20 A2 cos20
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动
第5章机械振动
第4节
大学物理学(第4版) 2
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
1）相位差 20 10 2k π (k 0，1， 2, )
波了.
第5章机械振动
第4节
大学物理学(第4版) 10
*四两个相互垂直的同频率简谐振动的合成
x A1 cos( t 10 )
y A2 cos( t 20 )
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(20
10 )

sin2 (20
10 )
振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。
➢ 相位差
20 10
1）相位差 2k π (k 0，1， )
A A1 A2
相互加强
2）相位差 (2k 1) π (k 0，1， )
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
第5章机械振动
第4节二同方向不同频率简谐振动的合成
第4节
大学物理学(第4版) 1
一同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )

x2 A2 cos(t 20 )
A2

A
x x1 x2
x A cos(t 0 )
0
x 20

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x A cos(t )
O
1 A1
2
3 A2
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
第五章机械振动
xN A0 cos[t ( N 1) ]
讨论
(1) 2kπ

x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
x1 A1 cost x ( A2 A1 ) cos( t π) x2 A2 cos( t π )
x
x
O
2
A1
O
A A1 A2 2
T
t
A2
第五章机械振动
A
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
A

A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
第五章机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象方法二旋转矢量合成法
物理学教程（第二版）
(2 1 )t (2 1 )

1 A1
2t 2
A2 2
A
2 1
1t 1
2 1
x
O
2 2
x2
x1
x
1 2 0
2 π ( 2 1 )t
第五章机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象 * 二多个同方向同频率简谐运动的合成
物理学教程（第二版）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )

xn An cos(t n )

A A 3
x x1 x2 xn
第五章机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
x1 A1 cos1t A1 cos 2π 1t
x2 A2 cos 2t A2 cos 2π 2t
讨论
x x1 x2
A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
A A A 2 A1 A2 cos
(2 1 )t (2 1 )
第五章机械振动
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
A A A 2 A1 A2 cos
2 1 2 2
(2 1 )t
振幅 A A1 2(1 cos )
讨论
2 1 2 2
x
O A 1
x
O
T
t
A A1 A2 x ( A1 A2 ) cos( t ) 2 1 2k π
第五章机械振动
A
A2
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
2 1 2 2
物理学教程（第二版）
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) (2)相位差 2 1 (2k 1)π (k 0 ， 1, )
2 1 2 2
相位差
2 1
(k 0 ， 1， )
相互加强
(1)相位差
2k π
A A1 A2
(2)相位差
(2k 1) π (k 0 ， 1， )
(3)一般情况
A A1 A2
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
x x1 x2 A1 cos 2π 1t A2 cos 2π 2t
x (2 A1 cos 2π
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分
第五章机械振动
合振动频率
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
x (2 A1 cos 2π
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象一两个同方向同频率简谐运动的合成
物理学教程（第二版）
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A2
2
O

A
x
x
x x1 ห้องสมุดไป่ตู้ x2
x A cos(t )
2 1 2 2
x2
1

x1
A1
O A6
N个矢量依次相接构
成一个闭合的多边形 .
第五章机械振动
A1

A2
x
A0
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象 * 三两个同方向不同频率简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
2
A2
( 2 1 )t

2 A1 cos(
拍频
2 1
2
t)
2 1
x2 O 1t 2t

1 A1
A
x
x1 x
2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用）振动圆频率
x1 x2 cos t A
1 2
2
第五章机械振动
2 1
2
t ) cos 2π
2 1
2
t
振幅部分振动频率振幅
合振动频率
( 1 2 ) 2
A 2 A1 cos 2π
2 1
2
Amax 2A1
t
2 1 2π T π 2
Amin 0
1 T 2 1
拍频（振幅变化的频率）
2 1
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos1 A2 cos 2
第五章机械振动
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 ) (1)相位差 2 1 2k π (k 0 ， 1， 2,)
5 – 4 一维简谐运动的合成拍现象
物理学教程（第二版）
O A A A A A x 3 5 1 2 4
A Ai NA0
A
(k 0,1,2,) (2)N 2k 'π
A5

A4 A
i

3
(k ' kN , k ' 1,2,)