近五年上海高考分类汇编——立体几何(供参考)

近五年上海高考汇编——立体几何

一、填空题

1.（2009年高考5）如图，若正四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是_____ ___.（结果用反三角函数值表示） 答案：arctan 5

2.（2009年高考理科8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是_____ ___. 答案：12323S S S +=

3.（2009年高考文科6）若球12,O O 的面积之比124S S =，则它们的半径之比12

R

R =___ ____. 答案：2

4.（2009年高考文科8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是____ ____. 答案：

83

π

5.（2010年高考理科12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是_____ ___. 答案：

82

3

6.（2010年高考文科6）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6的正方体，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是_____ ___. 答案：96

7.（2011年高考理科7）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为_____ __. 答案：

3

3

π 8.（2011年高考文科7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为_____ ____. 答案：3π

9.（2012年高考理科6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、1

2

为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...n V V V ，则12lim(...)n n V V V →∞

+++=_____ ____.

答案：

87

10.（2012年高考理科8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_____ ____.

答案：

33

π 11.（2012年高考理科14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且

2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是_____ ____.

答案：

222

13

c a c -- 12.（2012年高考文科5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为_____ ____. 答案：6π

13.（2013年高考理科13）在xOy 平面上，将两个半圆弧2

2

(1)1(1)x y x -+=≥和2

2

(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为

Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+．试利用祖暅原理、一个平放的圆

柱和一个长方体，得出Ω的体积值为_____ ____. 答案：2

216ππ+

14.（2013年高考文科10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6

π

，则l r =_____ ____.

3二、选择题

1.（2009年高考文科16）如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （ ） 答案：B 三、解答题

1.（2009年高考理科19）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，2AA BC AB '===,

AB BC ⊥,求二面角B A C C '''--的大小

答案：如图，建立空间直角坐标系则 A ()2,0,0，C ()0,2,0，A 1()2,0,2，B 1()0,0,2，C 1()0,2,2， 设AC 的中点为M ，

BM ⊥AC ，BM ⊥CC 1，∴ BM ⊥平面AC 1C ，

即BM =()1,1,0是平面AC 1C 的一个法向量。设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(),,x y z ，

1AC =()2,2,2--，11A B =()2,0,0-，

∴n ⋅11A B =2x -=0，∴n ⋅1AC =2220x y z -+-=，1z =， 解得0,1x y ==。∴n =()0,1,1，

设法向量n 与BM 的夹角为ϕ，二面角11

1B AC C --θθ的大小为，显然为锐角 2.（2010年高考理科21）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．

（1）当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（精确到0.01平方米）； （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0.3米时，求图中两根直线型

霓虹灯1335,A B A B 所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0

所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米；

（2） 当r =0.3时，l =0.6，建立空间直角坐标系，可得13(0.3,0.3,0.6)A B =-，35(0.3,0.3,0.6)A B =--，

设向量13A B 与35A B 的夹角为θ，则133513352

cos 3

||||

A B A B A B A B θ⋅=

=⋅， 所以A 1B 3、A 3B 5所在异面直线所成角的大小为2

arccos 3

．

3.（2010年高考文科20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．

（1） 当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；

（2） 若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图（作图时，不需考虑

骨架等因素）．

答案：（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0

所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； （2） 当r =0.3时，l =0.6，作三视图略．

4.（2011年高考理科21）已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角111A B D A --的大小为β

求证：tan 2tan βα=

；

（2）若点C 到平面11AB D 的距离为4

3

，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高 答案：解：设正四棱柱的高为h

⑴ 连1AO ，1AA ⊥底面1111A B C D 于1A ，∴ 1AB 与底面1111A B C D 所成的角为11AB A ∠，即11AB A α∠= ∵ 11AB AD =，1O 为11B D 中点，∴111AO B D ⊥，又1111A O B D ⊥，

A 1 A 2

A 3 A 4

A 5

A 6

A 7

A 8

B 1

B 2

B 3

B 4

B 5

B 6 B 7

B 8