拉式与Z变换公式
§8.6 z变换与拉氏变换的关系
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的
离散序列z变换式的关系式。
该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
Xz Rsezz-X essTX(s)的诸极点
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
R s z e z - e X s sT s s 1 zs z - - s 1 e s X T ss s 1 z- k 1 e z s 1 T z k - 1 z z 1
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆi tA2i
Ai epit
t <0 t 0 t >0
0
xinTAi
Ai epint
t <0 t 0 t >0
按抽样规律系 建时 立必 0 二 点 须 者 补 在 Ai联 2 足 ,即
幅角: =T=2p
s
z平 面
式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
Z变换与拉普拉斯变换的关系
§8.6 z 变换与拉普拉斯变换的关系一．z 平面与s 平面的映射关系几种情况（1）s 平面的原点 ，z 平面 ，即 。
（2）（3） （4）z ~s 映射不是单值的。
sT e z s z = ,关系Ω+=j s s σ：直角坐标)(θj rez z =：极坐标)(T j T T j e e e z ΩΩ+⋅==σσ)(⎪⎩⎪⎨⎧Ω=Ω==∴s T T e r ωπθσ2::幅角半径代比sT ez z = 号变换的定义时，引入符在引入⎩⎨⎧=Ω=00σ⎩⎨⎧==01θr 1=z s 平面z 平面0<σ0=σ0>σ+∞→-∞:为常数σ1<r 1=r 1>r +∞→0:为常数r 左半平面 虚轴 右半平面 左向右移 单位圆内 单位圆上 单位圆外 半径扩大 ，正实轴平面：实轴平面00=→=θωz s πθω=→±=Ω2s二．z 变换与拉式变换表达式之对应注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。
容易求得，它的拉式变换为注意跳变值()()()[]()()[]()()()?,z X s X z X n x Z s X t x L n x t x 写出能否借助，均匀抽样==−−−→−()()10;210定义为在点 阶跃序列点定义为在例如，阶跃信号==n n u t t u ()成项指数信号相加组合而由若连续时间信号N t x ˆ()()()()t x t x t x t x n ˆˆˆˆ21+++= ()()t u e A t x N i t p i N i i i ∑∑====11ˆ()[]∑=-=N i i i p s A t x L 1ˆ()成项指数序列相加组合而由若序列N nT x ()()()()nT x nT x nT x nT x N +++= 21()()nT u e A nT x N i nT p i N i i i ∑∑====11变换为它的z ()[]∑=--=N i T p i z e A nT x Z i 111例8-6-1解：解： 已知 2221j A j A =-=及()可以展成部分分式于是，s X()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0020 0ˆt e A t A t t x t p i i i i ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=000 0t e A t A t nT x nt p i i i i 即点补足系时必须在按抽样规律建立二者联,20i A ()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=≠==02ˆ0 ˆn A nT t t u t x n nT t t u t x n u nT x i i i i 当当()()变换。
7.4 z变换
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
专题拉氏变换与Z变换
F ( z ) F * ( s )
s T k f ( kT ) z ln z k 0
F(z)与f*(t)或{f(kT)}构成变换对，它不是连续时间函数f(t)的Z变换。
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 对于序列{f(kT)}（也就是采样信号），可以定义它的z变换为
j t e e 1 1 st 1 L [sin t ] sin te dt e dt ( ) 2 2 0 0 2 j 2 j s j s j s
st
j t
j t ee 1 1 1 s s t Lt [ c o s ] c o s t e d t e d t ( ) 2 2 0 0 2 2 s j s j s
at at st ( s a ) t
（3）单位脉冲函数 (t )
1 t 0 0 t 0
s t L [ () t] () t e d t 1 0
专题1 拉氏变换与Z变换
1 拉氏变换及其性质 1.2 简单函数的拉氏变换
cos t
专题1 拉氏变换与Z变换 1 拉氏变换及其性质
1.1 拉氏变换的基本概念 定义: 对于函数f(t)如果满足下列条件： （1）当t<0时，f(t)=0； 当t>0时，f(t)在每个有限区间上是分段连续的。
（2） ，其中σ是正实数，也就是说f(t) 0 是指数级； 那么定义f(t)的拉氏变换F(s)为
at L [ e f ( t )] F ( s a )
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质 2.1 Z变换的定义 采样信号的数学表达式为 f * ( t) f( t) ( t kT )
最全拉氏变换计算公式
1最全拉氏变换计算公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk k n n nn dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时)(])([s F s dtt f d L n nn = 3积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t n n k n n nn t t t dt t f s s s F dt t f L sdt t f s dt t f s s F dt t f L sdt t f s s F dt t f L 101022022]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时n n n ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([s F e T t T t f L Ts -=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t) 12 Tse --11∑∞=-=0)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21s t2)1(-z Tz5 31s 22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n t n)(!)1(lim 0aT n n n a ez z a n -→-∂∂- 7 as +1 at e - aTe z z-- 8 2)(1a s +atte- 2)(aT aT e z Tze ---9 )(a s s a+ ate--1))(1()1(aT aT e z z z e ----- 10 ))((b s a s ab ++-bt at e e --- bTaT e z ze z z ----- 11 22ωω+s t ωsin1cos 2sin 2+-T z z Tz ωω 12 22ω+s st ωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t e atωsin - aTaT aT eT ze z Tze 22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1- T t a /az z -33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
Laplace拉氏变换公式表
附录A 拉普拉斯变换及反变换3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉氏变换表(包含计算公式)
1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22． 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序号 拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
z变换与拉氏变换的关系
X
z
1
-
z
1
-1
e-aT
返回
例8-6-2
ω
已知正弦信号sin(0t)u(t)的拉式变换为 求抽样序列sin(0nT)u(nT)的z变换。
s2
0， ω02
解：已知 xt sinω0tut
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
幅角: =T=2p
s
z平面 式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
j
原点
= 0, = 0)
o
z平面(z= rej
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t < 0 t 0 t > 0
0
xi
nT
Ai
Ai
e
pi nt
t < 0 t 0 t > 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
平行于实轴 的直线
（k1,3...）
js/2 j
0
-js/2
z平面(z= rej
jImz 0 Rez
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i iie c -=∑1 (F-4) ②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉氏变换常用公式
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)( （F-1）式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i iie c -=∑1 (F-4) ②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→-)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5))()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1( （F-6）。
拉氏变换及其计算机公式
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59) (5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
拉氏变换傅氏变换与Z变换
响应h(n)来表示。对于一个给定的输入x(n)，其输出y(n)为
y(n)x(n)h(n) x(m )h(nm )
对等式两端取Z变换，得
m
Y(z)H (z)X(z)
则
H(z) Y(z) X (z)
H(z)定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响
应的Z变换，即
H(z)Z[h(n)] h(n)zn n
2.6 序列的傅氏变换
因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，用ejω代替z， 得到序列傅里叶变换的定义为
F[x(n)]X(ej) x(n)ejn n
序列的傅里叶反变换公式
x ( n ) F 1 [ X ( e j ) ] 2 1 j|z | 1X ( z ) z n 1 d 2 z 1 X ( e j ) e j n d
h(n)1nu(n)2nu(n1) 2
由于存在2nu(-n-1)项， 因此系统是非因果的。
2.10.3 系统频率响应的意义
对于稳定系统，如果输入序列是一个频率为ω的复正弦序列：
x(n)=ejωn -∞<n<∞
线性时不变系统的单位脉冲响应为h(n)，则其输出为
y(n)x(n)h(n) h(m)x(nm)
例 2-23 已知系统函数为
H(z)112 z12 3z(112z1)1121z1112z1
求系统的单位脉冲响应及系统性质。
2<|z|≤∞
解 系统函数H(z)有两个极点z1=0.5, z2=2。
从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。
线性时不变系统的频率响应H(ejω)是以2π为周期的连续周 期函数, 是复函数。它可以写成模和相位的形式
专题拉氏变换与Z变换.ppt
证明： L( ( f (t, a))) f (kT , a)zk f (kT , a)zk F (z, a)
a
k 0 a
a k 0
a
例题见课本P21例2.6，自学。
Z反变换
专题1 拉氏变换与Z变换
3 Z反变换
Z反变换，即由象函数F（z）求序列f(kT)或者采样函数f*(t)的 变换。
f
()
lim(1
z 1
z1)F (z)
1
lim
z 1
1
0.2
z
1
1.25
专题1 拉氏变换与Z变换
2 Z变换及其性质
（8）偏微分定理
若 Z[ f (t,a)] F(z,a) ，其中a是一个独立变量或者常数，则有
L( ( f (t, a))) F(z, a)
a
a
z eaT
1 z eaT
（4）复数位移定理
若 Z[ f (t)] F(z) ，则 Z[eat f (t)] F (eaT z)
证明：Z[eat f (t)] eakT f (kT )zk f (kT )(e aT z)k F (e aT z)
k 0
证明： Z[f1 (t) f2 (t)] (f1 (t) f2 (t))z k k 0
f1 (t) z k f2 (t)z k F1 Biblioteka z) F2 (z)k 0
k 0
（2）延迟定理（滞后定理右移定理）
设 kT 0 时， y(kT) 0
z n ( f (0) f (T ) z1 f (2T )z 2 ) z n F (z)
(完整版)拉氏变换常用公式(可编辑修改word版)
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质t tL[⎰0 f1(t-)f2 ()d]=L[⎰0 f1(t)f2 (t-)d]=F1(s)F2 (s)表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表∞T(t ) = ∑(t - nT )n =0s 2 +2sin t z s in T z 2 - 2z cos T + 1s s 2 +2costz (z - cos T ) z 2 - 2z cos T + 1(s + a )2 +2e - atsin t ze - aT sin Tz 2- 2ze -aTcosT + e-2aTs + a(s + a )2 +2e - at costz 2 - ze - aT cos T z 2 - 2ze -aT cos T + e -2aT1 ⎢∑ i 1 1n 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设F (s ) 是 s 的有理真分式B (s )b s m + b s m -1 + + b s + bF (s ) = = m m -1 1 0（ n > m ）A (s ) a s n + a n -1 s n -1+ + a s + a式中系数 a 0 , a 1 ,..., a n -1 , a n ， b 0 , b 1 , b m -1 , b m 都是实常数； m , n 是正整数。
按代数定理可将 F (s ) 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① A (s ) = 0 无重根这时，F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式。
F (s ) = c 1s - s 1 + c 2 s - s 2 + + c i s - s i + + c n s - s n= ∑ i =1 c i s - s i（F-1）式中， s 1 , s 2 , , s n 是特征方程 A(s)＝0 的根。
拉普拉斯变换与Z变换
tia
e − at
l
f (t ) = L−1 [ F ( s )] 。
例 1 求单位阶跃函数 u (t ) = 解 由拉氏变换的定义有：
C
0, t < 0 的拉氏变换。 1, t > 0
+∞
on
0 0
F(s)称为 f(t)的拉氏变换（或称为象函数） 。 若 F(s)是 f(t)的拉氏变换，则称 f(t)为 F(s)的拉氏反变换（或称为象原函数） ，记为：
定义：设函数 f(t)当 t≥0 时有定义，而且积分 某一域内收敛，则由此积分所描述的函数可写为
∫
+∞
0
f (t )e − st dt （s 是一个复参量）在 s 的
F ( s) = ∫
+∞
0
f (t )e − st dt
en
Z 变换 F(z) 1
其中 s = σ + jω 为复变量，σ为实部，ω为虚部。
2
ny
11 12
sinωt
cosωt
pa
13
e − at sin ωt
ω (s + a) 2 + ω 2 s+a (s + a) 2 + ω 2
om
14
e − at cos ωt
C
fid
2
ze −T sin ωT z 2 − 2 ze −T cos ωT + e −2 aT z 2 − ze − aT cos ωT ) z 2 − 2 ze −aT cos ωT + e − 2 aT
1 1 − e −Ts 1 s 1 s+a 1 s − (1 / T ) ln a 1 s2
拉氏变换重要公式
拉氏变换重要公式1 拉氏变换定义()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞⋅==⎰2 常用公式()[]1t L =δ/()[]s1t 1L =/as 1]e[L at-=/2at a)(s 1]e [L -=t /[]22s t sin L ωωω+=[]22ss t cos L ωω+=/[]2s1t L =/[]1n nsn!t L +=/[]22at -a)(s t sin e L ωωω++=/[]22at -a)(s a s t cos e L ωω+++=3 拉氏变换的几个重要定理（1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -⋅=' （3）积分定理：()[]()()()0fs 1s F s 1dt t f L 1-+⋅=⎰零初始条件下有：()[]()s F s1dt t f L ⋅=⎰进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s1dt t f L n 21n 1n n nn ----++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰⎰⎰（4）位移定理实位移定理：()[]()s F e -t f L s ⋅=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =⋅（5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim0s t ⋅=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lims 0t ⋅==∞→→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stdse ).s (F j 21)t (f σσπ(2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b sb sb )s (A )s (B )s (F n1-n 2-n 21-n 1nm1-m 1m 1m0>+++++++++==-其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---=)s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论：I ：0)s (A =无重根时：(依代数定理可以把)s (F 表示为：)∑=-=-++-+-+-=n1i iinn 332211p s c p s c p s c p s c p s c )s (F而i c 计算公式：)s (F ).p s (lim c i p s i i-=→(1) ip s 'i)s (A )s (B c ==(1′)II ：0)s (A =有重根时：设1p 为m 阶重根，n 1m s ,s +为单根 .则)s (F 可表示为：nn 1m 1m 111-m 11-m m1m p -s c p -s c p -s c )p -(s c )p -(s c )s (F ++++++=++其中单根n 1m c ,c +的计算仍由I 中公式(1) (1′)来计算. 重根项系数的计算公式：[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=→→→→)s (F .)p s (ds d lim 1)!-(m 1c )s (F .)p s (dsd lim j!1c (2) )s (F .)p s (ds d lim c )s (F .)p s (lim c m1p s 1-m 1)-(m 1m1p s j (j)j-m m 1p s 1-m m 1p s m 1111Ⅲ：0)s (A =含有共扼复数根时：则)s (F 可表示为：nn p s c p s c p s p s c s c s F ++⋅⋅⋅++++++=332121))(()(c1和c2的求法公式如下，利用等式两边实部和实部相等，虚部和虚部相等得c1和c2。