极差与方差
极差、方差
20.2数据的波动（极差与方差）学习目标1、理解极差的概念。
2、了解方差的定义和计算公式。
3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
重点、难点1、方差的定义和计算公式。
2、用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。
一、自主探究：1、叫做这组数据的极差。
极差能够反映数据的。
2、一组数据：473、865、368、774、539、474的极差是，一组数据1736、1350、-2114、-1736的极差是.3、甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次，命中的环数如下：甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7（1）两人射击环数的平均数是多少？（2）甲、乙两人成绩与平均数的偏差是多少？将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布条形图。
（3）如果你是教练，你会选谁参加比赛？归纳：为了刻画数据波动的大小，我们采用，记作。
越大，数据的波动；越小，数据的波动。
二、尝试应用：1、一个农科站在8个面积相等的试验点对甲，乙两个早稻品种进行栽培对比试验，两个品种在各试验点的产量如下（单位：kg）甲：402，452，494.5，408.5，459.5，411，456，500.5乙：428，466，465，426.5，436，455，448.5，459哪个品种的产量比较稳定？2、某校要从甲、乙两名跳高运动员中挑选一人参加一项校际比赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.73，1.68，1.67乙：1.60，1.73，1.72，1.61，1.62，1.71，1.70，1.75（1）他们的平均成绩分别是多少？（2）哪个人的成绩更为稳定？（3）经预测，跳高1.65m就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳高1.70m方可获得冠军呢？三、成果展示：1、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.极差2、样本方差的作用是（）A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小3、一个样本的方差是0，若中位数是a，那么它的平均数是（）A、等于aB、不等于aC、大于aD、小于a4、已知样本9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（）A. 0.4B.16C.0.2D.无法确定5、一组数据3、-1、0、2、X的极差是5，且X为自然数，则X= .6、若10个数的平均数是3，极差是4，则将这10个数都扩大10倍，则这组数据的平均数是，极差是。
极差与方差的认识
极差与方差的认识极差——定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差．（1）极差是刻画数据离散程度的最简单的统计量，计算简单，易于理解，但它受极端值的影响较大．（2）极差只是利用了一组数据两端的信息，能够反映数据的波动范围，不能衡量每个数据的变化情况．举例：【例1】从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm）甲：21423914192237414025乙：27164041164440402744根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差．【解】甲的极差：42-14=28(cm)；乙的极差：44-16=28(cm)．方差——方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数．一组数据x 1、x2、x3、…、x n的平均数为，则该组数据方差的计算公式为：举例：【例2】市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运动员进行了8次选拔比赛.他们的成绩（单位：m）如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运动员的成绩更为稳定？【解析】本题是一道数据分析有关的实际问题，主要考查数据的平均数、方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得（1）==1.69(m)，==1.68（m）．(2)=0.0006(m2)，=0.00315(m2)，因为，所以甲稳定．。
数据分析极差和方差
如果一组数据的方差较大，可能存在异常值，需 要进一步检查。
预测模型评估
在预测模型中，可以使用历史数据的方差来评估 模型的预测准确性。
方差在数据分析中的作用
描述数据分布
方差可以用来描述数据分布的情况， 了解数据的集中趋势和离散程度。
比较数据集
决策依据
在数据分析中，方差可以作为决策的 依据，例如在市场调研中，可以根据 不同产品的方差大小来决定产品的市 场策略。
提高效率
数据分析有助于优化业务流程，提高工作效率，降低 成本。
极差和方差的定义
极差
极差是一组数据中的最大值和最小值之差，用于描述数 据的离散程度。
方差
方差是一组数据与其平均值之差的平方的平均值，用于 描述数据的离散程度。
02
极差
极差的计算方法
01 极差定义
极差是一组数据中最大值与最小值之差，用于衡 量数据的离散程度。
通过比较不同数据集的方差大小，可 以了解它们之间的差异。
04
极差和方差的比较
极差和方差的优缺点
极差 优点：计算简单，容易理解，能够反
映数据的变化范围。
缺点：对异常值敏感，容易受到极端 值的影响，不能反映数据的离散程度。
方差
优点：能够反映数据的离散程度，不 受极端值影响，可以用于比较不同数 据集的离散程度。
极差和方差的计算方法
目前极差和方差的计算方法主要是基于统计学的理论，未来可以 考虑结合机器学习算法，提高计算效率和准确性。
极差和方差的应用领域
目前极差和方差主要应用于统计学和数据分析领域，未来可以考虑 将其应用ห้องสมุดไป่ตู้其他领域，如金融、医学等。
极差和方差的优化算法
目前极差和方差的计算算法较为简单，未来可以考虑优化算法，提 高计算效率。
极差与方差 PPT
经 和计20算02可年以上看海出地，区对的于平2均月气下温旬相的等这，段都时是间1而2。言C，. 2001年 这是不是说，两个时段的气温情况没有差异呢？
25
20
15
2001年
10
2002年
5
0
极差越大,波动越大
21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日
问题1:你会计算一组数据的变化范围吗？
上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？
——与考试次数有关！ 所以要进一步用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性
设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2 、… (xn－x)2 ， 那么我们用它们的平均数，即用
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
x x 规律；有两组数据，设其平均数分别为
,
1
2
s s 方差分别为 2 , 2
1
2
x s s x (1) 当第二组每个数据比第一组每个数据2增加 2
m个单位时， 则有 2 = 1 +m, 2 = 1
(2) 当第二组每个数据是的第一组每个数据 n
x x s n s n2
2
倍时, 则有
=n
2
1
,
=
2
22 1
＋…＋
(xn－x)2 ]
定义
方差:各数据与它们的平均数的差的平方的平均数.
S2=
1
n
[(x1－x)2＋
(x2－x)2
＋…＋
(xn－x)2 ]
❖计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差， 平方后，再平均”.
方差用来衡量一批数据的波动大小.(即这批数据 偏离平均数的大小).
方差和极差
方差和极差方差和极差是统计学中常用的两个概念。
方差是指一组数据的离散程度，而极差则是指数据的范围。
本文将从概念、计算方法、应用等方面对方差和极差进行详细讲解。
一、方差的概念方差是指一组数据的离散程度。
离散程度越大，数据分布越分散，方差就越大；离散程度越小，数据分布越集中，方差就越小。
方差的计算方法是：先求出每个数据与平均数之差的平方，然后将这些平方数相加，再除以数据个数减一即可。
例如，有以下一组数据：3，5，7，9，11。
先求出平均数：（3+5+7+9+11）÷5=7。
然后计算每个数据与平均数之差的平方：（3-7）=16，（5-7）=4，（7-7）=0，（9-7）=4，（11-7）=16。
最后将这些平方数相加：16+4+0+4+16=40。
因此，这组数据的方差为40÷(5-1)=10。
二、极差的概念极差是指一组数据的范围。
计算方法是将最大值减去最小值即可。
极差越大，数据分布的范围就越广，反之则越窄。
例如，有以下一组数据：3，5，7，9，11。
最大值为11，最小值为3，因此这组数据的极差为11-3=8。
三、方差和极差的应用方差和极差在统计学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.质量控制在制造业中，方差常用于评估产品的质量稳定性。
如果产品的方差较大，说明产品的质量不稳定，需要进行调整；如果方差较小，说明产品的质量稳定，可以继续生产。
2.投资风险评估在金融领域中，方差和极差常用于评估投资的风险。
如果一个投资组合的方差较大，说明投资组合的风险较高，需要谨慎投资；如果方差较小，说明投资组合的风险较低，可以考虑增加投资。
3.市场调查在市场调查中，方差和极差常用于分析消费者的反应。
如果一个产品的反应方差较大，说明消费者的反应不稳定，需要进行改进；如果方差较小，说明消费者的反应较为一致，可以继续生产。
4.教育评估在教育领域中，方差和极差常用于评估学生的学习成绩。
如果一个班级的方差较大，说明学生的学习成绩分布较为分散，需要加强教学管理；如果方差较小，说明学生的学习成绩分布较为集中，可以继续推进教学计划。
极差方差标准差
极差、方差和标准差在统计学中，极差、方差和标准差是用来衡量数据分布离散程度的重要指标。
它们能够帮助我们了解数据的变异程度，从而更好地理解和分析数据。
本文将介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
1. 极差极差是最简单的衡量数据分布离散程度的指标，它是数据集中最大值与最小值之间的差值。
极差可以帮助我们判断数据的取值范围，并了解数据的变化幅度。
1.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，极差可通过以下公式计算：Range = Max - Min其中，Max表示数据集中的最大值，Min表示数据集中的最小值。
1.2 例子下面以一个数据集为例来计算极差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9最大值为9，最小值为1，因此极差为9 - 1 = 8。
2. 方差方差是衡量数据分布离散程度的常用指标，它能够帮助我们了解数据的分散程度。
方差的值越大，数据集的离散程度就越高。
方差可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
2.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，方差可通过以下公式计算：Variance = (Σ(xi - x̄)^2) / n其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
2.2 例子下面以一个数据集为例来计算方差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9首先，计算数据集的均值：(1 + 3 + 5 + 7 + 9) / 5 = 5。
然后，计算每个观测值与均值的差的平方，并求和：(1 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + (9 - 5)^2 = 32。
最后，将求和结果除以观测值的个数：32 / 5 = 6.4。
因此，方差为6.4。
3. 标准差标准差是方差的平方根，它是衡量数据分布离散程度的常用指标之一。
标准差能够帮助我们了解数据的分散程度，并与均值进行比较。
标准差的值越大，表示数据的离散程度越高。
3.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，标准差可通过以下公式计算：Standard Deviation = √(Σ(xi - x̄)^2 / n)其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
方差极差标准差符号
方差极差标准差符号
方差是描述一组数据分散程度的统计量，它是各数据与其算术平均数离差平方和的平均数，通常用S^2（读作S平方）表示。
方差越大，说明数据点越分散。
极差是一组数据中最大值与最小值的差，它是描述数据变化范围的统计量。
通常用R表示。
标准差是方差的平方根，是一组数据各个数据与其算术平均数离差的平方和的平均数的平方根。
标准差越小，说明数据点越接近平均值，反之则越分散。
标准差通常用S（或σ）表示。
符号是用来代表某种事物或概念的图形、文字等简单形式。
在统计学中，常用的符号有：
- X：表示随机变量
- μ：表示总体的均值
- σ：表示总体的标准差
- n：表示样本量
- x̄：表示样本的均值
- s：表示样本的标准差
这些符号在统计学中非常常见，掌握它们的含义和用法对于理解统计学的相关知识非常重要。
方差 标准差 极差公式
方差标准差极差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的三个概念，它们用来衡量数据的离散程度和变异程度。
在实际应用中，我们经常会用到这三个指标来分析数据的稳定性和波动性。
本文将详细介绍方差、标准差和极差的计算公式及其应用。
首先，我们来介绍方差的概念和计算公式。
方差是衡量一组数据离散程度的指标，它的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \)表示方差，\( n \)表示样本容量，\( x_i \)表示第\( i \)个数据点，\( \mu \)表示数据的均值。
方差的计算公式可以直观地理解为每个数据点与均值的偏离程度的平方的平均值。
方差越大，数据的离散程度越大，反之亦然。
接下来，我们来介绍标准差的概念和计算公式。
标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]标准差可以直观地理解为数据的平均偏离程度，它是方差的平方根，用来衡量数据的波动程度。
标准差越大，数据的波动程度越大，反之亦然。
最后，我们来介绍极差的概念和计算公式。
极差是一组数据中最大值和最小值之间的差值，它的计算公式如下：\[ R = x_{max} x_{min} \]其中，\( R \)表示极差，\( x_{max} \)表示数据的最大值，\( x_{min} \)表示数据的最小值。
极差是最简单的衡量数据离散程度的指标，它直接反映了数据的变化范围。
在实际应用中，方差、标准差和极差经常被用来分析数据的稳定性和波动性。
比如，在股票市场中，投资者可以用标准差来衡量股票价格的波动程度，从而评估风险。
在质量控制中，工程师可以用方差来衡量产品质量的稳定性，从而改进生产工艺。
在教育评估中，研究人员可以用极差来衡量学生成绩的差异程度，从而评估教学效果。
总之，方差、标准差和极差是统计学中常用的三个指标，它们可以用来衡量数据的离散程度和变异程度。
极差和方差
s乙
2
(14.52 14.5) 2 (14.47 14.5) 2 (14.48 14.5) 2 0.00052 5
s
2 甲
s乙 乙队员成绩稳定。
2
练习：
课本144页习题1、2、3
已知四组数据(1)1、 2、 3、 4、 5
(2)11、12、13、14、15
• 甲、乙两名学生在参加今年体育考试前各做了 5 次立定跳远测试，两人的平均成绩相同，其 中甲所测得成绩的方差是0.005，乙所测得的成 绩如下： 2.20 m ， 2.30 m ， 2.30 m ， 2.40 m，2.30 m，那么甲、乙的成绩比较(B ) • A．甲的成绩更稳定 B．乙的成绩更稳定 • C．甲、乙的成绩一样稳定 D．不能确定谁的成绩更稳定
(1)有5个数1，4，a, 5, ห้องสมุดไป่ตู้的平均数是a，则这 5个数的方差是_____. 2
(2)绝对值小于
4 所有整数的方差是______.
(有n个a)则它的方
(3)一组数据：a, a, a, ---,a
0 差为___;
猜猜他们 是谁？
为了培养新队员，孙教练要从甲、乙两名 跨栏运动员中选取一名队员作为重点培养对象， 假如你是教练，根据他们平时比赛成绩，你会 选择哪名队员呢？下表是他们5次在相同情况 下的比赛成绩。（单位：秒）
1
2 14.47〞 14.47〞
3 14.54〞 14.50 〞
4 14.43〞 14.53 〞
5 14.52〞 14.48〞
甲队员 乙队员
14.54〞 14.52〞
2 2 2 （ 14 . 54 14 . 5 ) ( 14 . 47 14 . 5 ) ( 14 . 52 14 . 5 ) 2 s甲 ＝ 0.00188 5
数学《极差方差和标准差》知识点
八年级数学《极差、方差和标准差》知识点极差、方差、标准差都是用来研究一组数据的离散程度，表示一组数据离散程度的指标.一、定义理解1极差极差是用来反映一组数据变化范围的大小. 我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差就称为极差.极差=最大值-最小值极差仅只表示一组数据变化范围的大小，只对极端值较为敏感，而不能表示其它更多的意义.2、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.求一组数据的方差可以简记为：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均•"通常用S表示一组数据的方差，用X表示一组数据的平均数，x“ x2、… X n表示各数据.方差计算公式是：s2=1[(x 1- x) 2+(x2- x) 2+—+(X n- x) 2]；3、标准差在计算方差的过程中，可以看出S2的数量单位与原数据的不一致，因而在实际应用时常常将求出的方差再幵平方，这就是标准差.标准差=..方差，方差=标准差2.一组数据的标准差计算公式是S j1~xi~x X2—"X ~ xn~x ，其中X为n个数据X i, X2,…，X n的平均数.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同.在解决实际问题时，常用样本的方差来估计总体方差方法去考察总体的波动情况.二、例题讲析例1、甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102(1)求甲、乙两队的平均分和极差？(2)计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定？解：(1) x= (100 97 99 96 102 103 104 101 101 100)= 100.3?10甲队的极差=104-96= 8; 甲队的极差=104-95= 9(2) S 甲2丄[(100 100.3)2(99 100.3)2(100 100.3)2 ]=5.6110甲队的标准差：-.5.61 2.37 ; 乙队的标准差：.9.21 3.03 所以，由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此他们在联赛中发挥更为稳定一些.例2、对10盆同一品种的花施用甲、乙两种花肥，把10盆花分成两组，每组5盆，记录其花期：甲组：25, 23, 28, 22, 27乙组：27, 24, 24, 27, 23(1)10盆花的花期最多相差几天？(2)施用何种花肥，花的平均花期较长？(3)施用哪种保花肥效果更好？分析：花期的极差就是花期最多相差的天数，花的平均花期就是分别求得甲、乙两组数据的平均数，而看哪种保花肥效果好，关键是比较方差，方差越小，波动越小，效果越好！解：(1) 28- 22= 6 (天) 所以，10盆花的花期最多相差6天._ 1(2)由平均数公式得：x= -(25 23 28 22 27)= 25?5得站=心，所以，无论用哪种花肥，花的平均花期相等.(3)由方差公式得：得S B2 s乙故施用乙种花肥，效果比较可靠三、反馈练习1. 一组数据5, 8, x, 10, 4的平均数是2x，则这组数据的方差是____________ .2. 五名同学目测同一本教科书的宽度时，产生的误差如下(单位：cm): 2,-2, —1, 1, 0,则这组数据的极差为______ cm.方差是_________ ，标准差是______3. 若样本1, 2, 3, x的平均数为5,又样本1, 2, 3, x, y的平均数为6,则样本1, 2, 3, x, y的极差是 _________ ，方差是_______ ，标准差是______ .4. 已知一组数据0, 1, 2, 3, 4的方差为2,则数据20, 21, 22, 23, 24的方差为 ____ ,标准差为________ .5. 一组数据—8,- 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9的极差是 ________ ，方差是______ ，标准6. 若样本X1,X2,……,X n的平均数为 =5,方差S2= 0.025,贝肪羊本4X I,4X2,4X n的平均数X /= _______ ，方差S7 2= _______ .。
极差方差标准差(整理)
北京四中撰稿：张扬责编：姚一民数据的波动一．基本知识点讲解：1．极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。
极差=数据中的最大数-数据中的最小数2. 方差与标准差：S^2=[(x1-x的平均数)^2+(x2-x的平均数)^2+...+(xn-x的平均数)^2]设在一组数据x1 x2 x3……x n中各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1-)2, (x2-)2……(x n-)2,则他们的平均数：方差可以用来衡量这组数据的波动的大小，一组数据的方差越大，就说明这组数据的波动也越大，这波动的大小是指偏离平均数的大小。
3. 标准差：一组数据的方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用S来表示，即：标准差也只是来衡量一组数据波动大小的量，它虽然比计算方差多开一次平方，但它的度量单位与原数据的度量单位是一致的，所以有时用标准差比较方便。
4. 计算方差的三个公式公式①是方差的定义，一组数据的每个数都减去它们的平均数的平方，再求这些平方的和，比较麻烦，因此可用公式②以使计算过程较为简单，当不是整数时尤为简单。
接近这组数据的平均数的一个常数。
二．例题解析：（1）应用公式①例1. 计算数据9.9、9.7、10.3、9.8、9.8、10、10.1、10.4的方差与标准差。
解：例2. 甲乙两组进行投篮比赛，每组选派10名队员参加，每人投10次，每次投中的人数如下：甲组：7、6、8、8、5、9、7、7、6、7乙组：6、7、8、4、10、9、7、6、6、7求：甲、乙两组哪一组的投篮情况比较稳定解：∴甲乙两组的平均命中率相同，但甲组的投篮比较稳定，所以甲组的投篮情况较好。
（2）应用公式②例3. 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，各次命中环数如下：甲：4、7、10、9、5、6、8、6、8、8乙：7、8、6、6、7、8、7、8、5、9求甲、乙两人谁的射击成绩比较稳定解：（3）应用公式③例4. 求以下数据的方差（精确到0.1）10、13、9、11、8、10、11、12、8、14、10、9解：设a=10，每个数都减去10，有三：小结：1. 方差是以平均数为基数，揭示数据波动的大、小，所以首先要把平均数算准确。
极差方差
哪个芭蕾舞团女演员的身更整齐？
解：甲乙两团女演员的身高分别是：
163 164 2 165 3 166 167 x甲 165 8
163 164 2 165 166 167 2 168 x乙 166 8
(163 165) (164 165) (167 165) s甲 1.38 8
量,但它受极端值的影响较大.为什么?
问题3:你能举一些生活中与极差有关的例子吗?
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是 ( D ) A 平均数 B 众数 C 中位数 D 极差
5 2.数据 0 , -1 , 3 , 2 , 4 的极差是＿＿＿＿＿. -5 3. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿＿＿ ℃. -2或 4 4.数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x =＿＿＿＿＿.
品种
甲 乙
各实验田每公顷产量（单位：吨）
7.65 7.64 7.55 7.52 7.50 7.50 7.56 7.58 7.62 7.40 7.53 7.46 7.59 7.41 7.44 7.53 7.65 7.41 7.49 7.49
7.65 7.50 7.41 x甲 7.54 10
2 1 ( x 20) 2 ( x 20) 2 ... ( x 20) 2 s 10 1 n 2
例题1
在一次芭蕾舞比赛中，甲乙两个芭蕾
舞团都表演了舞剧《天鹅舞》，参加表演
的女演员的身高（单位：cm）分别是
甲团 乙团 163 164 164 165 165 165 166 167 163 164 164 165 166 167 167 168
极差和方差
极差和方差
极差和方差是统计学中最常用的概念，它们描述了数据集关于其平均值的某些性质。
极差是数据集中最大值和最小值的差值，而方差描述的是数据点距离其平均值的距离程度。
共轭的是，极差和方差都可以用来衡量数据集中单个值相对于其他值的波动程度。
极差被定义为一组数据中最大值和最小值之间的差值。
它主要应用于衡量一段数据内所有值的最大最小距离。
极差可以用一个公式来描述，即：极差=最大值-最小值。
在统计学中，用极差来检测偏差并提出建议是一个很有用的概念。
它可以用来识别任何超出常规范围的变量，从而有助于提出有效的统计分析方案。
而方差是数据集中每一个值到其均值的距离的平方的平均值。
它主要应用于衡量数据集中各值距离其均值的最大距离。
方差也可以用公式来描述，即：方差＝（每个数据点-平均值）的平方和／数据点数。
方差可以用来衡量数据集中各点数据波动程度，如果方差越大，则数据集中各点数据越不同，可以表明数据集中的数据分布越不均匀。
极差和方差的应用非常广泛，在统计学中，它们可以用来识别偏差，估计样本数据集中的离群值，衡量数据集中值分布的程度，以及估计样本数据的可靠性。
此外，极差和方差也被用于统计学以外的科学领域，如评估一组实验结果的可靠性，衡量运动员能力和表现，甚至在投资领域也有应用，如衡量基金的收入率和收益率。
另外，它们也常被应用于机器学习领域，用来估计模型的参数，以及作为模型的评估指标。
可以看出，极差和方差是一对不可分割的概念，它们在统计学、科学、机器学习等诸多领域都得到了广泛的应用。
因此，熟悉和掌握这两个概念都是非常有必要的，以有效地处理数据集，并做出准确的统计决策。
统计数据的离散程度计算
统计数据的离散程度计算统计学中的离散程度是用来衡量一组数据的分散程度。
离散程度的计算对于数据分析和解释具有重要的意义。
本文将介绍几种常见的离散程度计算方法，包括极差、方差和标准差。
极差（Range）极差是最为简单的离散程度计算方法之一。
它是通过计算一组数据中的最大值与最小值之间的差来衡量数据的离散程度。
公式如下所示：极差 = 最大值 - 最小值然而，极差只考虑了数据集的最大值和最小值，没有考虑整个数据集的分布情况。
方差（Variance）方差是衡量数据分散程度的一种更加全面的方法。
它考虑了数据集中每个数据点与数据集平均值之间的差异。
方差的计算公式如下所示：方差= ∑(数据点 - 平均值)² / 数据点个数其中，∑表示对所有数据点求和。
标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根。
它用于度量数据集的离散程度，通常与平均值一起使用。
标准差的计算公式如下所示：标准差= √方差在实际应用中，标准差是常用的离散程度计算方法之一，因为它不仅考虑到了数据的分布情况，还具有较好的可解释性。
变异系数（Coefficient of Variation）变异系数是标准差与平均值的比值，用于衡量数据分布的相对离散程度。
它是一个无单位的指标，可以用于比较不同数据集的相对离散程度。
变异系数 = (标准差 / 平均值) × 100%变异系数通常用于比较两个或多个具有不同均值的数据集之间的离散程度。
总结在统计学中，离散程度是衡量数据集分散程度的重要指标。
本文介绍了几种常见的离散程度计算方法，包括极差、方差、标准差和变异系数。
这些方法可以帮助我们更好地理解和解释数据的分布情况，为后续的数据分析和决策提供依据。
需要注意的是，在使用时应根据具体问题和数据特点选择合适的离散程度计算方法。
不同的方法适用于不同类型的数据和分析目的。
此外，离散程度的计算只是数据分析的一部分，结合其他统计指标和数据可视化技术，我们可以更加全面地了解数据的特点和规律，做出更准确的分析和决策。
极差、方差与标准差
极差、方差与标准差要点1 极差一组数据中的最大数据和最小数据的差叫做极差.例1 八年级上学期数学考试成绩甲、乙两班最高分数与最低分数的情况如下：甲班：最高分100，最低分32；乙班：最高分100，最低分54；分别求甲、乙量班的极差.【析解】 极差=最大值-最小值：甲班68，乙班46.要点2 方差方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即例2 求下列一组数据的方差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100.【分析】 根据公式①，先求出平均数，再计算方差.解 平均数为x =101（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9， 方差为：s2=101[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9)2]=334.69.要点3 标准差标准差是方差的算术平方根，它的计算公式是：要点4 极差、方差与标准差联系与区别1、联系我们已经知道：描述一组数据的集中趋势的特征数有三个：平均数、中位数和众数． 而表示一组数据离散程度的特征数也有三个：极差、方差、标准差．一般情况下，一组数据的极差、方差或标准差越小，这组数据就越稳定。
2、区别“极差”是表示数据波动状况的量度之一，是用来反映一组数据变化范围的大小.极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感.一般情况下，方差和标准差可以更为精细的刻画了数据的波动情况。
例3 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行10次比赛得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102求甲、乙两队的平均分和方差，并判断哪个队在比赛中的成绩较为稳定。
【分析】x 甲×=+++++++++110100979996102103104101101100()=1003. x 乙×=+++++++++11097979995102100104104103102()=1003.S 甲×…222211010010039910031001003=-+-++-[(.)(.)(.)] ＝5.61；S 乙×…22221109710039710031021003=-+-++-[(.)(.)(.)] ＝9.21；由此可以判断甲队在联赛中发挥更为稳定一些。
第二十章数据的分析(第3课时)极差与方差课件
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
7 10
8 6
8 10
8 6
9 8
⑴ 请分别计算两名射手的平均成绩；
x =8（环） x =8（环）
甲
乙
甲，乙两名射击手的测试成绩统计如下：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲命中环数 乙命中环数
7 10
C．平均数
D．方差
67 x 6 7
（1）6
6 6 6
6 6
6；
(6 6)2 (6 6)2 (6 6)2 (6 6)2 (6 6)2 (6 6) 2 (6 6) 2 s2 0 7
8 7 6 5 4 3 2 1 0
时代变迁，生活busy，科技创新，教学easy。了解更多，尽在为之易：
所以甲组成绩比较稳定。
1分 钟
方差的计算
传递数据的各种功能Βιβλιοθήκη 2• 清除4
• 输数据 • 出结果
1
• 调SD状 态
3
M+ 26-26.9 2 SD S-SUM ∑X SCL CLR 25-26.9 M+ 2 MODE 2 SHIFT1 MODE SHIFT 1 1 M+ =1 ÷1 10 ON= 29-26.9
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…
区别
• 极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要反映一 组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。 • 方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要 反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标， 每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标。
641 极差与方差 课件(共18张PPT)
归纳总结
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差刻画.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小， 这组数据就越稳定.
应用举例
例1 计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
解：甲厂20只鸡腿的平均质量：
72 73 3 74 4 75 4 76 4 77 3 78 x甲
20 7（5 g）
(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g，最小值 是72 g，它们相差6g；乙厂抽取的这20只鸡腿质量的最大 值是80g，最小值是71g，它们相差9g. (4)如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸 应买甲厂的鸡腿 ，理由是甲厂的质量相对集中．
归纳总结
实际生活中，除了关心数据的“集中趋势”外， 人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于“集 中趋势”的偏离情况．极差就是刻画数据离散程度的 一个统计量．极差是指一组数据中最大数据与最小数 据的差．
探究新知
探究
如果丙厂也参与了竞争，从该厂抽样调查了20只鸡腿， 数据如图所示：
（1）丙厂这20只鸡腿的平均 数和极差分别是多少？为什
么？ 平均数: x丙 75(g)
极差: 79 72 7( g )
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分 别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距。 甲厂这20只鸡腿质量与平均数的差距(单位：g)依次是0，1，1， 1，2，1，0，2，2，1，1，0，0，1，2，1，2，3，2，3．
甲厂20只鸡腿质量的方差：
s
2 甲
(72
75)2
(73
75)2
3 (77
75)2
3
(78
75)2
20
2.5
例2 （1）计算从丙厂抽取的20只鸡腿质量的方差。 （2）根据计算结果，你认为甲、丙两厂的产品哪个更符合规 格？
极差和方差
极差=最大值-最小值
问：2001年2月下旬上海的气温的极差是多少？ 2002年同期的上海的气温的极差又是多少？
问题1:你会计算一组数据的变化范围吗？怎么算?
极差: 一组数据中的最大数据与最小数据的差 极差＝ 最大值－最小值． 作用:极差能够反映数据的变化范围.
则甲的平均数是 9 ，乙的平均数是 9 ．
你认为派 去参加比赛比较合适？ 请结合计算加以说明．
1.数据 x1、x2、x3、的平均数是3，
则2
x1、2
x2
、2
x 的平均数是_6__ 3
.
2.数据 x1、x2、x3、x4 平均数是2，方差是2，则
3 x1 1、3 x2 1、3 x3 1、3 x4 1
的平均数是_5__, 方差是 __1_8__ .
164
2
165 8
3
166
167
165
—
x乙
163
164
2
165
166
167
2
168
166
8
s2 甲
（163165）2（ 164165）2
8
（ 167
165）2
1.5
s2 乙
(163166)2
(164166)2
8
(168166)2
2.5
s s
2 甲
2，
乙
甲芭蕾舞团女演员的身高更整齐.
小明的烦恼
例1、在一次芭蕾舞比赛中,甲、乙两个芭蕾舞团 表演了舞剧《天鹅湖》,参加表演的女演员的身高 (单位:cm)分别是 甲团 163 164 164 165 165 165 166 167 乙团 163 164 164 165 166 167 167 168 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐?
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极差与方差
一、填空题
1. 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的 ，它反映了这组数据的 。
2. 在30个数据中，最小值为31，最大值为98，若取组距为10，可将这些数据分成 组。
3、从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm ）都减去165.0cm ，其结果如下：
−1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0
这6名男生中最高身高与最低身高的差是 ；
这6名男生的平均身高约为 （结果保留到小数点后第一位）
4、已知一个样本：1，3，5，x ，2，它的平均数为3，则这个样本的方差是
5、一组数据-1，0，1，2，3的方差是________．
6、下表给出了合肥市2006年5月28日至6月3日的最高气温，•则这些最高气温的极差是日期 5月 28日 5月 29日 5月 30日 5月 31日 6月 1日 6月 2日 6月
3日
最高气温 26℃ 27℃ 30℃ 28℃ 27℃ 29℃ 33℃
7、下图是一组数据的折线统计图，这组数据的极差是______，
平均数是______
二、选择题
8、人数相同的八年级甲、乙两班学生在同一次数学单元测试，
班级平均分和方差如下：80==乙甲x x ，2402=甲
s ，1802=乙s ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班
B.乙班
C.两班成绩一样稳定
D.无法确定
9、若一组数据a 1，a 2，…，a n 的方差是5，则一组新数据2a 1，2a 2，…，2a n 的方差是（ ）
A.5
B.10
C.20
D.50
10、体育课上，八（1）班两个组各10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需 要知道这两个组立定跳远成绩的（ ）
A ．平均数 B.众数 C ．方差 D ．频率分布
三、解答题
11、为了从甲、乙两名学生中选择一人参加电脑知识竞赛，•在相同条件下对他们的电脑知识进行了10次测验，成绩如下：（单位：分）（9分）
甲成绩 76 84 90 84 81 87 88 81 85 84
乙成绩 82 86 87 90 79 81 93 90 74 78
平均数 中位数 众数 方差 85分以上的频率
甲 84
84 14.4 0.3 乙 84
84 90 （2）利用以上信息，请从三个不同的角度对甲、乙两个同学的成绩进行分析．
12、小红的奶奶开了一个金键牛奶销售店，主要经营“金键学生奶”、“金键酸牛奶”、“金键原味奶”，可奶奶经营不善，经常有品种的牛奶滞销（没卖完）或脱销（量不够），造成了浪费或亏损，细心的小红结合所学的统计知识帮奶奶统计了一个星期牛奶的销售情况，并绘制了下表：
（1）计算各品种牛奶的日平均销售量，并说明哪种牛奶销量最高？
（2）计算各品种牛奶的方差（保留两位小数），并比较哪种牛奶销量最稳定？
（3）假如你是小红，你会对奶奶有哪些好的建议．
参考答案
1；极差波动范围、 2;. 7、3; 19.1cm 164.3cm、 4；2、 5；2、6；27、．7；
31、46.5、
8 B 9 C 10 B
11，（1）依次为：84，34，0.5；
（2）甲成绩的众数是84，乙成绩的众数是90，从成绩的众数来看，乙的成绩好；
甲成绩的方差是14.4，乙成绩的方差是34，从成绩的方差来看，•甲的成绩相对稳定；
甲、乙成绩的中位数、平均数都是84，但从85以上的频率看，乙的成绩好
12，（1）x学生奶=3，x酸牛奶=80，x原味奶=40，金键酸牛奶销量高，
（2）12.57，91.71，96.86，•金键学生奶销量最稳定，
（3）建议学生奶平常尽量少进或不进，周末可进几瓶．。