【创新设计】数学苏教版必修4学案：2.2.3 向量的数乘

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高中数学 2.2.3 向量的数乘教案苏教版必修4

2．2.3 向量的数乘(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．(3)掌握向量共线的条件．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”的哲理．●重点难点重点：数乘向量的运算及其几何意义．难点：两向量共线的含义及共线定理．(教师用书独具)●教学建议1．关于数乘向量的概念的教学教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学生理解并应用．●教学流程创设问题情境，引入向量数乘的概念，并引导学生探究向量数乘的运算律.⇒引导学生结合向量数乘的定义及共线向量的定义，探究向量共线定理的推导和证明.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握进行向量数乘基本运算的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握结合向量数乘运算，用已知向量表示未知向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用向量共线定理解决有关三点共线问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】我们知道a ＋a ＋a ＝3a ，那么a ＋a ＋a 是否等于3a ？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？【提示】 a ＋a ＋a ＝3a ，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？【提示】结合律，分配律．(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)【问题导思】若b＝2a，b与a共线吗？【提示】根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.(1)化简23[(4a －3b)＋13b －14(6a －7b)]；(2)设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求(13a －b)－(a －23b)＋(2b －a)．【思路探究】去括号→合并共线向量→化简．【自主解答】 (1)原式＝23[4a －3b ＋13b －32a ＋74b]＝23[(4－32)a ＋(－3＋13＋74)b] ＝23(52a －1112b)＝53a －1118b. (2)原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝(13－1－1)a ＋(－1＋23＋2)b ＝－53a ＋53b ＝－53(3i ＋2j)＋53(2i －j)＝(－5＋103)i ＋(－103－53)j ＝－53i －5j.向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．计算：(1)(－7)×(6a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．【解】(1)(－7)×(6a)＝－42a.(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)＝a＋7c.图2－2－21如图2－2－21，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.【思路探究】由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE →均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．【自主解答】 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又D ，E 为边AB 的两个三等分点，所以AD →＝13AB →＝23b －a ，所以CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a)＝a ＋43b.用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．若本例条件不变，如何求BD →？【解】 BD →＝23BA →＝－23(2b －3a)＝2a －43b ，或BD →＝BC →＋CD →＝－2b ＋2a ＋23b ＝2a －43b.已知非零向量e1，e2不共线.(1)如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2e1＋8e2，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k 的值．【思路探究】对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e1＋e2，BD →＝BC →＋CD →＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB →.∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，则(k －λ)e1＝(λk－1)e2，由于e1与e2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk－1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】 BD →＝CD →－CB →＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2.由向量相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，所以k ＝－8.对向量共线定理理解不透致误图2－2－22如图2－2－22所示，在△ABC中，已知D，E 分别为BC ，AC 的中点，若AD →＝m ，BC →＝a ，试用a ，m 表示DE →. 【错解】由题意知DB →＝12BC →＝12a ，AB →＝AD →＋DB →＝m ＋12a.∵DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB ，∴DE →＝12AB →＝12m ＋14a.【错因分析】 DB →与BC →共线，D 为BC 的中点，但DB →与BC →的方向相反，所以DB →＝－12BC →＝－12a.DE→与AB →平行且方向相反，故DE →＝－12AB →.【防范措施】正确理解向量共线的充要条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa.当b 与a 同向时，λ＞0，b 与a 反向时，λ＜0. 【正解】 ∵D 为BC 的中点，∴DB →＝－12BC →＝－12a ，∴AB →＝AD →＋DB →＝m －12a.又∵D ，E 分别为BC ，AC 的中点， ∴DE →＝－12AB →＝－12m ＋14a.1．向量数乘的几何意义由实数与向量的积的定义可以看出，它的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩．当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍；当|λ|＜1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的|λ|倍．2．准确理解共线向量定理共线向量定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据．理解时应注意以下几点：(1)定理本身包含了正反两个方面：若存在一个实数λ，使b ＝λa(a≠0)，则a 与b 共线；反之，若a 与b 共线(a≠0)，则必存在一个实数λ，使b ＝λa.(2)定理中，之所以限定a≠0是由于若a ＝b ＝0，虽然λ仍然存在，可是λ不惟一，定理的正反两个方面不成立．(3)若a ，b 不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.1．化简5(3a －2b)－4(2b －3a)的结果为________．【解析】 5(3a －2b)－4(2b －3a)＝15a －10b －8b ＋12a ＝27a －18b. 【答案】 27a －18b2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝________(用向量a ，b 表示)．【解析】延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形，则AD →＝12AE →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量； ③存在λ∈R ，b ＝λa；④存在不全为0的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0.【解析】由两个非零向量a ，b 共线的条件，即向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是．【答案】 ④4．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b)．求证：A ，B ，D 三点共线．【证明】 ∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b)＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|； ④|λa|>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa|∈R ，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立．【答案】 ①②④ 2．(2013·滨海高一检测)将112[2(2a ＋8b)－4(4a －2b)]化简成最简式为________．【解析】原式＝16(2a ＋8b)－13(4a －2b)＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ＝2b －a.【答案】 2b －a3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】 ∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线且AC →与AB →同向，|AC AB |＝57(如图)，∴|BC AC |＝25，又BC →与AC →反向， ∴BC →＝－25AC →.【答案】－254．(2013·南昌高一检测)已知平行四边形ABCD 中，DA →＝a ，DC →＝b ，其对角线的交点为O ，则用a ，b 表示OB →为________．【解析】 ∵DA →＋DC →＝DA →＋AB →＝DB →＝2OB →， ∴OB →＝12(a ＋b)．【答案】 12(a ＋b)5．点G 是△ABC 的重心，D 是AB 的中点，且GA →＋GB →－GC →＝λGD →，则λ＝________. 【解析】 ∵GA →＋GB →－GC →＝GA →＋GB →＋CG →＝2CG →＝4GD →， ∴λ＝4. 【答案】 4图2－2－236．如图2－2－23所示，OA →与OB →分别在由点O 出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________．①OA →＋2OB →；②OA →＋12OB →；③OA →－13OB →；④34OA →－15OB →.【解析】作出四个向量可知，只有①②满足条件．【答案】 ①②7．已知向量a ，b ，若AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】通过观察，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ，与a ＋2b 有2倍关系，即2AB →＝BD →.符合向量共线定理，∴A ，B ，D 三点共线．故填A ，B ，D. 【答案】 A ，B ，D8．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________(用a ，b 表示)．【解析】法一如图， MN →＝MB →＋BA →＋AN → ＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b)＝14(b －a)．法二设AC 交BD 于O ，由于N 为AC 的34分点，则有N 为OC 的中点，MN →＝12BO →＝14BD →＝14(b －a)．【答案】 14b －14a二、解答题 9．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线，求实数m 的值．【解】由ma －3b 与向量a ＋(2－m)b 共线可知，存在实数λ满足ma －3b ＝λ[a＋(2－m)b]，即(m －λ)a－[3＋λ(2－m)]b ＝0，又a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，3－λm －2＝0，解得m ＝3或m ＝－1.10．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.【解】如图，设AB →＝a ，AD →＝b.∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a.∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d. ②①×2－②，得b ＝23(2c －d)．②×2－①，得a ＝23(2d －c)．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d.11．设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则b 与a ＋c 是否共线？请证明你的结论．【解】 b 与a ＋c 共线．证明如下： ∵a ＋b 与c 共线，∴存在惟一实数λ，使得a ＋b ＝λc.① ∵b ＋c 与a 共线，∴存在惟一实数μ，使得b ＋c ＝μa.②由①－②得，a －c ＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c. 又∵a 与c 不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0， ∴μ＝－1，λ＝－1，∴a ＋b ＝－c ，即a ＋b ＋c ＝0. ∴a ＋c ＝－b. 故a ＋c 与b 共线.(教师用书独具)如图所示，已知D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，延长CD 到M 使DM ＝CD ，延长BE 到N 使BE ＝EN ，求证：M ，A ，N 三点共线．【思路探究】本题利用三角形法则转化到可证两向量共线，从而解决点共线的几何问题．【自主解答】在△AMC 中，D 为MC 的中点， ∴2AD →＝AM →＋AC →.又∵D 是AB 的中点，∴2AD →＝AB →. ∴AB →＝AM →＋AC →，∴AM →＝AB →－AC →＝CB →. 同理可证AN →＝AC →－AB →＝BC →.∴AM →＝－AN →.∴AM →，AN →共线且有公共点A.∴A ，M ，N 三点共线．1．用已知向量表示相关向量时，一般使用向量运算的三角形法则表示出相关向量，然后用相等向量、相反向量及数乘向量逐步替换为已知向量．2．解答本类问题除使用向量的线性运算外，还要灵活运用平面几何中的相关性质和结论．已知任意平面四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．【证明】取以点A 为起点的向量，应用三角形法则求证，如图． ∵E 为AD 的中点，∴AE →＝12AD →.∵F 是BC 的中点，∴AF →＝12(AB →＋AC →)．又 ∵AC →＝AD →＋DC →，∴AF →＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＋12AD →.∴EF →＝AF →－AE →＝12(AB →＋DC →)＋12AD →－12AD →＝12(AB →＋DC →)．。

苏教版高中数学必修42.2.3 向量的数乘.docx

2．2.3 向量的数乘课时目标1．掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4.理解向量共线的条件．1．向量数乘运算实数λ与向量a 相乘，叫做向量的________，记作________，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝________.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当时，与a 方向相同当时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝________或λ0＝________. 2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝________. (2)(λ＋μ)a ＝________. (3)λ(a ＋b )＝________.特别地，有(－λ)a ＝________＝________； λ(a －b )＝________. 3．向量的线性运算向量的________与向量的________、________统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝________________. 4．向量共线定理如果有一个实数λ，使________________(a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ使b ＝λa .一、填空题1．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a 、b 、c 为已知向量，则未知向量y ＝________________.2．已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________.4．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．5．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P ，且P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的关系为________．(填序号) ①P 在△ABC 内部； ②P 在△ABC 外部；③P 在AB 边上或其延长线上； ④P 在AC 边上． 6.如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝______.(填写正确的序号)①－BC →＋12BA →；②－BC →－12BA →；③BC →－12BA →；④BC →＋12BA →.7.如图所示，在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.9．在△ABC 中，点D 在直线CB 的延长线上，且CD →＝4BD →＝rAB →＋sAC →，则r －s ＝________.10．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝______. 二、解答题11．两个非零向量a 、b 不共线．(1)若A B →＝a ＋b ，B C →＝2a ＋8b ，C D →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)求实数k 使k a ＋b 与2a ＋k b 共线． 12.如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BN ＝13BD .求证：M 、N 、C 三点共线.能力提升13．已知O 是平面内一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________．(填序号即可)①外心；②内心；③重心；④垂心．14．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝________.(用a ，b 表示)1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．2．2.3 向量的数乘知识梳理 1．数乘 λa(1)|λ||a | (2)λ>0 λ<0 0 02．(1)(λμ)a (2)λa ＋μa (3)λa ＋λb －(λa ) λ(－a ) λa －λb 3．数乘加法减法 λμ1a ±λμ2b 4．b ＝λa 作业设计 1.421a －17b ＋17c解析 ∵A ，B ，C 三点共线，∴∃λ∈R 使AC →＝λAB →. ∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)． ∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →.∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1. 3.12解析当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时，m ，n 共线． 4．A 、B 、D解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →， ∴A 、B 、D 三点共线． 5．④解析 ∵P A →＋PB →＋PC →＝PB →－P A →， ∴PC →＝－2P A →，∴P 在AC 边上． 6．①解析－BC →＋12BA →＝CB →＋12BA →＝CB →＋BD →＝CD →. 7.14(b －a ) 解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )． 8．3解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴点M 是△ABC 的重心． ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 9.83解析 ∵CD →＝CB →＋BD →＝4BD →， ∴CB →＝3BD →.∴CD →＝AD →－AC →＝AB →＋BD →－AC → ＝AB →＋13CB →－AC →＝AB →＋13(AB →－AC →)－AC →＝43AB →－43AC → ∴r ＝43，s ＝－43，r －s ＝83.解析 ∵BC →2＝16， ∴|BC →|＝4.又|AB →－AC →|＝|CB →|＝4， ∴|AB →＋AC →|＝4.∵M 为BC 中点，∴AM →＝12(AB →＋AC →)，∴|AM →|＝12|AB →＋AC →|＝2.11．(1)证明 ∵A D →＝A B →＋B C →＋C D →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3a －3b ＝6a ＋6b ＝6A B →， ∴A 、B 、D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与2a ＋k b 共线，∴k a ＋b ＝λ(2a ＋k b )． ∴(k －2λ)a ＋(1－λk )b ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －2λ＝0，1－λk ＝0⇒k ＝±2. 12．证明设BA →＝a ，BC →＝b ，则由向量加法的三角形法则可知：CM →＝BM →－BC →＝12BA →－BC →＝12a －b .又∵N 在BD 上且BD ＝3BN ，∴BN →＝13BD →＝13(BC →＋CD →)＝13(a ＋b )，∴CN →＝BN →－BC →＝13(a ＋b )－b＝13a －23b ＝23⎝⎛⎭⎫12a －b ， ∴CN →＝23CM →，又∵CN →与CM →共点为C ，∴C 、M 、N 三点共线． 13．②解析 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同．而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动．∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 14.23a ＋13b 解析如图所示，∵E 是OD 的中点，∴OE →＝14BD →＝14b .又∵△ABE ∽△FDE ， ∴AE EF ＝BE DE ＝31. ∴AE →＝3EF →， ∴AE →＝34AF →.在△AOE 中，AE →＝AO →＋OE →＝12a ＋14b .∴AF →＝43AE →＝23a ＋13b .。

高一数学2.2.3向量的数乘学案苏教版必修4

一、学习目标1.理解向量数乘的含义及向量数乘的几何意义；2.掌握向量数乘的运算律；3理解向量共线定理就是两个向量共线的等价条件； 4能够利用向量共线定理证明三点共线问题。

二、教学重点、难点1.实数与向量积的意义及实数与向量积的运算律；2.两个向量共线的等价条件极其运用。

三、学习过程问题1 、一物体做匀速直线运动，一秒钟对应的向量为a r，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a r吗？怎样用图形表示？类比猜想a r +a r +a r =3a r，进一步解决问题：1. 这是什么样的乘法？2. 3a r是数量还是向量？3. 怎样确定它的方向？问题2 实数λ与向量a r相乘，叫做向量的数乘。

一般地，实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr，它的长度和方向如何规定的？向量的数乘运算律是？向量共线定理：问题3 向量的数乘有什么特点？答：（1）向量的数乘是一个向量，分别规定它的大小与方向，并补充规定：00,00a λ•=•=r r r r（2）实数与向量不能进行加减运算。

（3）1,0ab a a b b λλλλ=≠==rr r r r r 式子时可以改写成，但一定不能写成，b a b a λλ==r r r r即两个向量不定义除法运算，另外也不要写成问题4 在向量共线定理中为什么规定0a ≠r r？问题5 与非零向量a r共线的单位向量是什么？练一练1 已知,R a λ∈r为非零向量，则下列命题中正确的为●当0λ>时，a λr 与a r的方向一定相同；● 当0λ<时，a λr 与a r的方向不一定相反；（3）a a λλ=r r；（4）a a λλ=r r；2已知向量a r 和b r 求作向量3a -r 和向量23a b -r r3（1）对于实数m 和向量a r ，b r ，恒有()m a b ma mb -=-r r r r；（2）对于实数m ，n 和向量a r ，恒有()m n a ma na -=-r r r；（3）若(,),ma na m n R =∈r r则m n =；（4）若(,0),ma mb m R m =∈≠r r则a b =r r上面四个命题中，正确的个数有个4设1e u r与2e u u r 不共线且120xe ye +=u r u u r r ，求证：0x y ==5设1e u r与2e u u r 是两个不共线向量，且121212(2)(2)23x e e y e e e e ++-=+u r u u r u r u u r u r u u r ，求x y +的值。

2013高二数学教案2.2.3《向量的数乘》(苏教版必修4)

2.2.3向量的数乘教学目标：1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：向量数乘的定义及几何意义.教学难点：向量数乘的几何意义的理解.教学方法：问题探究学习.教学过程：一、情境引入一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.a二、学生活动问题 1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）的大小和方问题3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a向又如何确定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）三、建构数学1．表述给出实数与向量的积的定义：一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |||λ=|a |；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当0λ= 时，λa ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0λ= 时，λa ＝0；若a ＝0，0λ≠会有λa ＝0吗？问题 5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律.（当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(λμa ）＝()λμa ；（2）()λμ+a= λa+μa ；（3）（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．四、数学运用1. 例题．例1 已知向量a 和向量b ，求作向量-2.5a 和向量2a -3b . 例2 计算： 3(a -b )-2(a +2b )；（2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c ).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？2.练习．（1）计算：①3(-4a ＋5b )；② 6(2a -4b )-(3a -2b ).（2）如图，已知向量a ，b ，求作向量：ba①-2a ； ②-a ＋b ； ③2a -b.（3）已知向量a=e 1+2e 2，b=3e 1-5e 2，求4a -3b （用e 1，e 2表示）.（4）已知OA 和OB 是不共线的向量，()AP t AB t R =∈,试用OA 和OB 表示OP .（5）已知非零向量a ，求向量1|a |a 的模.五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．实数与向量积的定义；2．实数与向量积的几何意义；3．实数与向量的积的运算律.a b。

高中数学2_2_3向量的数乘导学案苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当λ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘．预习交流1你能说一下向量－3a 的几何意义吗？提示：向量－3a 的几何意义：表示向量a 的有向线段在其相反方向上伸长为原来的3倍．2．向量数乘的运算律 (1)λ(μ a )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量的数乘与向量的加法、减法统称为向量的线性运算．预习交流2运用向量的运算律应注意哪些问题？提示：(1)运算律的记法：向量数乘的运算律可以类比实数乘法或整式乘法的结合律与分配律学习．(2)运算的误区：结合律要注意λ，μ均为实数，不可以是向量．(3)运算律的应用：对以上恒等式不仅能正用，还要能逆用，从而灵活进行向量的线性运算．3．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa ，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .预习交流3(1)若OA →＝e 1－e 2，OB →＝3e 1＋e 2，OC →＝λe 1＋5e 2，则当A ，B ，C 三点共线时，实数λ＝________.(2)判断下列各题中的向量是否共线：①a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2，且e 1，e 2不共线；②a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2，且e 1，e 2共线．提示：(1)7(2)①由a ＝4b ，且e 1，e 2不共线，可知a 与b 共线． ②当e 1，e 2中至少有一个为零向量时，显然b 与a 共线．当e 1，e 2均不为零向量时，设e 1＝λe 2， ∴a ＝(1＋λ)e 2，b ＝(2λ－2)e 2.当λ＝－1时，a ＝0，显然b 与a 共线．当λ≠－1时，b ＝2λ－21＋λa ，∴b 与a 共线．一、向量数乘的基本运算计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13⎣⎢⎡⎦⎥⎤122a ＋8b －4a －2b ； (3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．思路分析：解答本题应先去括号再化简．解：(1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b .(2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a . (3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .1．下列命题中，正确的个数为__________． ①(－5)·6a ＝－30a ； ②7(a ＋b )－6a ＝7a ＋b ； ③(a －5b )＋(a ＋5b )＝2a ； ④(a ＋b )－(a －b )＝2b . 答案：3解析：①③④正确．∵7(a ＋b )－6a ＝a ＋7b ，∴②不正确． 2．设x ，y 是未知向量，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x －y ＝a ，x －12y ＝b .解：将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得32y ＝－2a ＋b ，∴y ＝－43a ＋23b .代入原来的第二个方程，得x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫－43a ＋23b ＝b ，移项并化简，得x ＝－23a ＋43b .综上，x ＝－23a ＋43b ，y ＝－43a ＋23b .向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指的是向量，实数看作是向量的系数．二、向量共线问题设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思路分析：非零向量a 与b 满足的条件“不共线”．(1)要证明A ，B ，D 三点共线，只要建立AB →与BD →的等量关系便可；(2)引入参数λ，使其满足k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，并由向量a 与b 不共线求解该方程．解：(1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5a ＋5b ＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又AB →，BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 和a ＋k b 共线，则存在实数λ，使得k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＋(1－λk )b ＝0. ∵非零向量a 与b 不共线，∴k －λ＝0且1－λk ＝0.∴k ＝±1．1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是__________．答案：等腰梯形解析：∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →.∴AB →与CD →平行且方向相反．易知|CD →|＞|AB →|.又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．2．下面向量a ，b 共线的序号是__________． ①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝6e 1－35e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)．答案：②③解析：对于②，a ＝－b2；对于③，a ＝6b ，此时a ，b 共线．向量共线一般用向量共线定理来判定或证明，利用向量共线可证明几何中的三点共线和两直线平行．证明三点共线往往要转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线．证两线平行，只需找到一个非零实数，使两线所在的向量满足某线性关系即可．这一切都建立在向量共线定理的基础之上．因此向量共线定理是解此类问题的根本．三、向量的线性表示如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.思路分析：由D ，E 为边AB 的两个三等分点可知A ，B ，D ，E 四点共线，从而向量AD →，AE→均可以由向量AB →表示，而向量AB →可由向量CA →，CB →表示，从而问题可解．解：∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a .又D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a .∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1．点C 在线段AB 上，且AC →＝35AB →，则AC →＝__________BC →.答案：－32解析：如图，∵AC →＝35AB →，∴BC →＝－25AB →，AB →＝－52BC →.∴AC →＝35AB →＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－52BC →＝－32BC →.2．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则用a ，b 表示AF →＝__________.答案：23a ＋13b解析：如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， ∴DF →＝13AB →.∴AF →＝AD →＋DF →＝AO →＋OD →＋13AB →＝12AC →＋12BD →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－12BD →＝12a ＋12b ＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b . 用已知向量表示未知向量的求解思路(1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)依据向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．1．点C 是线段AB 的中点，则有AB →＝λAC →，那么λ＝__________. 答案：2解析：利用向量数乘的几何意义，数形结合可得．2．在△ABC 中，D 是BC 的中点，向量AB →＝a ，向量AC →＝b ，则向量AD →＝__________(用向量a ，b 表示)．答案：12(a ＋b )解析：延长AD 到E ，使AD ＝DE ，则四边形ABEC 是平行四边形，则AD →＝12AE →＝12(a ＋b )．3．若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，则m ＝________，n ＝________.答案：311a ＋211b 111a －311b解析：此题可把已知条件看做向量m ，n 的方程，通过解方程组获得m ，n . 记3m ＋2n ＝a ①，m －3n ＝b ②，3×②得3m －9n ＝3b ③，①－③，得11n ＝a －3b .∴n ＝111a －311b ④.将④代入②，得m ＝b ＋3n ＝311a ＋211b . 4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，向量CD →可用BC →，BA →表示为__________．答案：－BC →＋12BA →解析：由向量加法的三角形法则可知CD →＝CB →＋BD →，又A ，B ，D 三点共线，且D 是AB 的中点，可知BD →＝12BA →，∴CD →＝CB →＋12BA →＝－BC →＋12BA →.5．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线．证明：∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →， ∴BD →与AB →共线．又∵AB →与BD →有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．。

数学苏教版必修4教学设计：2.2.3向量的数乘 Word版含解析

教学设计2.2.3向量的数乘整体设计教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算．教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系．实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向．特别是所得向量与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理．共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错．尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量．共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系．三维目标1．通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义．掌握实数与向量的积的运算律．理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行．2．通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神．通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用．重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义．2．实数与向量积的运算律．3．两个向量共线的等价条件及其运用．教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(直接引入)前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算的基础上研究相同向量和的简便计算及推广．在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算．思路2.(问题引入)一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课．推进新课新知探究实数与向量积的定义及运算律．活动：教师引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行．通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义．教师要引导学生特别注意0·a＝0，而不是0·a＝0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系．实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如λ＋a，λ－a都无法进行．向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同．判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量．一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段．实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘(scalar multiplication of vectors)．事实上，通过作图1可发现，OC→＝OA→＋AB→＋BC→＝a＋a＋a.类似数的乘法，可把a＋a ＋a记作3a，即OC→＝3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即|3a|＝3|a|.同样，由图可知，→＝PQ→＋QM→＋MN→＝(－a)＋(－a)＋(－a)，PN图1即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．显然3(－a)的方向与a的方向相反，3(－a)的长度是a 的长度的3倍，这样，3(－a)＝－3a.上述过程推广后即为实数与向量的积．我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反．由(1)可知，λ＝0时，λa＝0.根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律．设λ、μ为实数，那么(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.关于向量共线的条件，教师要点拨学生做进一步深层探究，让学生思考，若去掉a≠0这一条件，上述条件成立吗？其目的是通过0与任意向量的平行来加深对向量共线的等价条件的认识．在判断两个非零向量是否共线时，只需看这两个向量的方向是否相同或相反即可，与这两个向量的长度无关．在没有指明非零向量的情况下，共线向量可能有以下几种情况：(1)有一个为零向量；(2)两个都为零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．教师与学生一起归纳总结：数与向量的积仍是一个向量，向量的方向由实数的正负及原向量的方向确定，大小由|λ||a|确定．它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小．向量的平行与直线的平行是不同的，直线的平行是指两条直线在同一平面内没有公共点；而向量的平行既包含没有交点的情况，又包含两个向量在同一条直线上的情形．应用示例思路1例1课本本节例2.例2课本本节例1.变式训练如图2(1)，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？活动：本题给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线常用的方法．教学中可以先引导学生作图，通过观察图形得到A 、B 、C 三点共线的猜想，再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共线．本题只需引导学生理清思路，具体过程可由学生自己完成．另外，本题是一个很好的与信息技术整合的题材，教学中可以通过计算机作图，进行动态演示，揭示向量a 、b 变化过程中，A 、B 、C 三点始终在同一条直线上的规律．(1) (2)图2解：如图2(2)分别作向量OA →、OB →、OC →，过点A 、C 作直线AC 〔如图2(2)〕．观察发现，不论向量a 、b 怎样变化，点B 始终在直线AC 上，猜想A 、B 、C 三点共线．事实上，因为AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b ，而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b －(a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →.所以A 、B 、C 三点共线．点评：关于三点共线问题，学生接触较多，这里是用向量证明三点共线，方法是必须先证明两个向量共线，并且有公共点．教师引导学生解完后进行反思，体会向量证法的新颖独特．例3课本本节例3.变式训练如图3，ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？图3活动：本题的解答要用到平行四边形的性质．另外，用向量表示几何元素(点、线段等)是用向量方法证明几何问题的重要步骤，教学中可以给学生明确指出这一点．解：在ABCD 中，∵AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ，DB →＝AB →－AD →＝a －b ，又∵平行四边形的两条对角线互相平分，∴MA →＝－12AC →＝－12(a ＋b )＝－12a －12b ， MB →＝12DB →＝12(a －b )＝12a －12b ， MC →＝12AC →＝12a ＋12b ，MD →＝－MB →＝－12DB →＝－12a ＋12b . 点评：结合向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，将两个向量的和或差表示出来，这是解决这类几何题的关键.思路2例1凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证：EF →＝12(AB →＋DC →)．活动：教师引导学生探究，能否构造三角形，使EF 作为三角形的中位线，借助于三角形中位线定理解决．或创造相同起点，以建立向量间的关系．鼓励学生多角度观察思考问题．图4证明：方法一：过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 的中点(如图4)．∴EF 是△ADG 的中位线．∴EF 12DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12(AB →＋DC →)．方法二：如图5，连EB 、EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，图5又∵E 是AD 的中点，∴有EA →＋ED →＝0，即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →.以EB →与EC →为邻边作EBGC ，则由F 是BC 的中点，可得F 也是EG 的中点．∴EF →＝12EG →＝12(EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)．点评：向量的运算主要从以下几个方面加强练习：(1)加强数形结合思想的训练，画出草图帮助解决问题；(2)加强三角形法则和平行四边形法则的运用练习．做到准确熟练运用．例2课本本节例4. 变式训练1．若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |答案：C2．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23答案：A知能训练课本本节练习．课堂小结1．让学生回顾本节学习的数学知识，向量的数乘运算法则，向量的数乘运算律，向量共线的条件．体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般、归纳、猜想、类比、分类讨论、等价转化．2．向量及其运算与数及其运算可以类比，这种类比是我们提高思想性的有效手段，在今后的学习中应予以充分的重视，它是我们学习中伟大的引路人．作业课本习题2.2 8、9.设计感想1．本教案的设计流程符合新课程理念，充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、推证等活动，引导学生画出草图帮助理解题意和解决问题．先由学生探究向量数乘的结果还是向量(特别地，0·a＝0)，它的几何意义是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或缩小，当λ>0时，λa与a方向相同，当λ<0时，λa与a方向相反；向量共线定理用来判断两个向量是否共线，然后对所探究的结果进行运用拓展．2．向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现，因而成为中学数学知识网络的一个交汇点，由此可看出在中学数学教材中的地位的重要，也成为近几年各地高考命题的重点和热点，教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理．备课资料一、向量的数乘运算律的证明设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有(1)λ(μa)＝(λμ)a；①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.③证明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则①式显然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，则根据向量数乘的定义有：|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|，所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同号，则①式两边向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两边向量的方向都与a反向．因此，向量λ(μa)与(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以这两个向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，则②显然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下两种情况：当λ、μ同号时，则λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同号，知②式两边向量的方向或都与a同向，或都与a反向，即②式两边向量的方向相同．综上所述，②式成立．如果λ、μ异号，当λ>μ时，②式两边向量的方向都与λa 的方向相同；当λ<μ时，②式两边向量的方向都与μa 的方向相同．还可证|(λ＋μ)a |＝|λa ＋μa |.因此②式也成立．(3)当a ＝0，b ＝0中至少有一个成立，或λ＝0，λ＝1时，③式显然成立．当a ≠0，b ≠0且λ≠0，λ≠1时，可分如下两种情况：当λ>0且λ≠1时，如图6，在平面内任取一点O 作OA →＝a ，AB →＝b ，OA 1→＝λa ，A 1B 1→＝λb ；则OB →＝a ＋b ，OB 1→＝λa ＋λb .图6由作法知AB →∥A 1B 1→，有∠OAB ＝∠OA 1B 1，|A 1B 1→|＝λ|AB →|，所以|OA 1→||OA →|＝|A 1B 1→||AB →|＝λ.所以△AOB ∽△A 1OB 1. 所以|OB 1→||OB →|＝λ，∠AOB ＝∠A 1OB 1. 因此O 、B 、B 1在同一条直线上，|OB 1→|＝|λOB →|，OB 1→与λOB →的方向也相同．所以λ(a ＋b )＝λa ＋λb .当λ<0时，由图7可类似证明λ(a ＋b )＝λa ＋λb .图7所以③式也成立．二、备用习题1.13[12(2a ＋8b )－(4a －2b )]等于( ) A ．2a －b B ．2b －a C ．b －a D ．a －b2．设两非零向量e 1、e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．03．若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于( )A.65a B ．－6a C ．6a D ．－65a 4．在△ABC 中，AE →＝15AB →，EF ∥BC ，EF 交AC 于F ，设AB →＝a ，AC →＝b ，则BF →用a 、b 表示的形式是BF →＝________.5．在△ABC 中，M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点，O 是△ABC 平面上的任意一点，若OA →＋OB →＋OC →＝13e 1－12e 2，则OM →＋ON →＋OP →＝________. 6．已知△ABC 的重心为G ，O 为坐标原点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，求证：OG →＝13(a ＋b ＋c )．参考答案：1．B 2.C 3.C4．－a ＋15b 5.13e 1－12e 26．证明：连结AG 并延长，设AG 交BC 于M. ∵AB →＝b －a ，AC →＝c －a ，BC →＝c －b ， ∴AM →＝AB →＋12BC →＝(b －a )＋12(c －b )＝12(c ＋b －2a )．∴AG →＝23AM →＝13(c ＋b －2a )．∴OG →＝OA →＋AG →＝a ＋13(c ＋b －2a )＝13(a ＋b ＋c )．(设计者：翟昌丽)。

高中数学 2.2.3 向量的数乘(2)教案苏教版必修4

2.2.3 向量的数乘（2）一、课题：向量的数乘（2））二、教学目标：1．了解平面向量基本定理的概念；2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个向量；3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。

三、教学重、难点：1．平面向量基本定理的应用；2．平面向量基本定理的理解。

四、教学过程：（一）复习引入：（1）向量的加法运算、向量共线定理；（2）设1e ，2e 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，下面我们来研究向量a 与1e ，2e 的关系。

（二）新课讲解：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+．其中我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面所有向量的一组基底。

注：①1e ，2e 均非零向量；②1e ，2e 不唯一（事先给定）； ③1λ，2λ唯一；④20λ=时，a 与1e 共线；10λ=时，a 与2e 共线；120λλ==时，0a =．2．例题分析：例1 已知向量1e ，2e （如图），求作向量12235e e -+．作法：1．如图（2），任取一点O ，作152OA e =-，23OB e =； 2，于是OC 是所求作的向量。

例2 的两条对角线相交于点M ，且AB a =，AD b =，用a 、b 表示MA、MB 、 MC 和MD ．∵AC AB BC AB AD a b =+=+=+，DB AB AD a b =-=-，∴11()22MA AC a b =-=-+1122a b =--， 1e 2e D b C B a A M11()22MB DB a b ==-，111222MC AC a b ==+， 1122MD MB a b =-=-+．例3 如图，OA 、OB 不共线，()AP t AB t R =∈，用OA 、OB 表示OP ．解：∵AP t AB =，∴OP OA AP OA t AB =+=+=()(1)OA t OB OA t OA tOB +-=-+．例4 已知梯形ABCD 中，||2||AB DC =，M ，N 分别是DC 、AB 的中点，若AB 1e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC 、BC 、MN ．解：（1）∵DC AB < ∴12DC AB ==112e =12102e e + （2）BC AC AB AD DC AB =-=+-（3）连接DN ，则DN CB =， 1()2MN MD DN DC BC =+=-+-1211211112224e e e e e =-⨯-+=-．例5 已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：ABCD 是梯形。

苏教版数学高一-必修4导学案向量的数乘(2)学生版

课题：§2.2 .3 向量的数乘（2）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】（1）理解向量共线含义,掌握向量共线定理，会判断两个向量是否共线（2）学会综合运用向量的加减法法则、数乘向量运算及向量共线定理,证明简单的几何问题.【重点难点】重点：向量共线定理，难点：向量共线定理的证明和应用。

【学习过程】一、自主学习与交流反馈：如图：D 、E 分别为ΔABC 的边AB 、AC 的中点.问题1：与共线吗？问题2：能用线性表示吗？学生活动通过解答以上的问题，我们看到，如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示。

二、知识建构与应用：向量共线定理：如果有一个实数λ,使)(≠=λ,那么b 与a 是共线向量;反之,如果b 与)(≠是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使a b λ=。

定理的证明（证明要从两方面来进行）。

让学生体会定理中的≠的含义。

三、例题ED CB A例1 如图,ΔOAB 中,C 为直线AB 上一点, =λ (λ≠-1).求证:λλ++=1OB OA A C BO提问：上例中，当λ=1时，你能得到什么结论？提问：当λ>0,λ<0时点C 分别在直线AB 的什么位置上?提问:当C 与A 重合时λ的值是多少? C 与B 能重合吗？探究例1的结论也可写成λλλ+++=111,其中两个系数之和是常数1，我们发现如果满足以下的要求，则C B A ,,三点共线。

(1) 存在确定的实数λ使 =λ (λ≠-1).(2)平面上另有一点C ，若存在两个实数t s ,且1=+t s ，使t s +=.两者等价（证明选讲）例2 判断下列各题中的向量是否共线：（1）21245a e e =-，12110b e e =-；其中1e ，2e 不共线（2）12a e e =+，1222b e e =-，其中1e ，2e 共线．提问：以上的例题中，“12,e e 不共线”有什么意义？四、巩固练习1．已知,都是非零向量，且,32=+求证：//.2．已知向量1222a e e =-，213()b e e =--，求证：a 与b 是共线向量。

（新）高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘学案苏教版必修4

（新）高中数学第2章平面向量2_2_3向量的数乘学案苏教版必修42.2.3 向量的数乘1．掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2．理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．3．了解向量线性运算的性质及其几何意义．[基础·初探]教材整理1 向量的数乘定义阅读教材P68第一、二、三个自然段，完成下列问题．一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa＝0，则λ＝0.( )(2)对于非零向量a，向量－3a与向量3a方向相反．( )(3)对于非零向量a，向量－6a的模是向量3a的模的2倍．( )【解析】(1)若λa＝0，则λ＝0或a＝0，(1)错误．(2)正确．(3)|－6a|＝6|a|，|3a|＝3|a|，(3)正确．【答案】(1)×(2)√(3)√教材整理2 向量数乘的运算律阅读教材P 68倒数第2自然段，完成下列问题．1．λ(μa )＝(λμ)a ； 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb .1．5×(－4a )＝________.【解析】5×(－4a )＝5×(－4)a ＝－20a . 【答案】－20a2．a ＝e 1＋2e 2，b ＝3e 1－2e 2，则a ＋b ＝________. 【解析】 a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(3e 1－2e 2)＝4e 1. 【答案】 4e 1 教材整理3 向量共线定理阅读教材P 70，完成下列问题．如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .1．已知e 1和e 2不共线，则下列向量a ，b 共线的序号是________．①a ＝2e 1，b ＝2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.【解析】∵e 1与e 2不共线，∴①不正确；对于②有b ＝－2a ；对于③有a ＝4b ；④不正确．【答案】②③2．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．则AB →与BD →________.【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝－2a ＋8b ＋3(a －b )＝a ＋5b ＝AB →，∴BD →与AB →共线．【答案】共线[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]向量数乘的基本运算计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )； (2)12?3a ＋2b－23a －b －7612a ＋37? ????b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．【精彩点拨】利用向量线性运算的法则化简，先去括号，再将共线向量合并．【自主解答】 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b .(2)原式＝12? ????3a ＋2b －23a －b －7612a ＋37b ＋12a＝32a ＋b －13a －12b －712a －12b －712a ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝6a ＋2b .向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知量，利用解代数方程的方法求解.[再练一题]1．若向量a ＝3i －4j ，b ＝5i ＋4j ，则? ????13a －b －3? ??a ＋23b ＋(2b －a )＝________.【解析】原式＝13a －b －3a －2b ＋2b －a＝－113a －b＝－113(3i －4j )－(5i ＋4j )＝(－11－5)i ＋? ??443－4j ＝－16i ＋323j .【答案】－16i ＋323j向量的共线问题已知非零向量e 1，e 2不共线.(1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【精彩点拨】对于(1)，欲证A ，B ，D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB →即可；对于(2)，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则一定存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)．【自主解答】 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有?k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.1．证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．2．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，AC →，BC →在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系．而向量共线定理是实现线性关系的依据．[再练一题]2．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．【解】BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2. 因为A ，B ，D 三点共线，故存在实数λ，使得AB →＝λBD →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2. 由向量相等的条件，得λ＝2，k ＝－4λ，解得k ＝－8，所以k ＝－8.[探究共研型]向量共线的有关结论探究1 已知O 为平面ABC 内任一点，若A ，B ，C 三点共线，是否存在α，β∈R ，使OC＝αO A →＋βOB →，其中α＋β＝1?【提示】存在，因A ，B ，C 三点共线，则存在λ∈R ，使AC →＝λAB →，∴OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →. 令1－λ＝α，λ＝β，则OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1.探究2 已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，那么A ，B ，C 三点是否共线？【提示】共线，因为存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，且α＋β＝1，∴β＝1－α，∴OC →＝αOA →＋(1－α)OB →，∴OC →＝αOA →＋OB →－αOB →，∴OC →－OB →＝α(OA →－OB →)，∴BC →＝αBA →，∴A ，B ，C 三点共线．如图2-2-20所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D是把OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值. 【导学号：06460048】图2-2-20【精彩点拨】由已知得A 为BC 中点，D 为OB 的三等分点，由向量的线性运算法则可解第(1)问，第(2)问可由向量共线定理解决．【自主解答】 (1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA →＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝OC →－23OB →＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE →＝λOA →，则CE →＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE →与DC →共线，∴存在实数k ，使CE →＝kDC →，∴(λ－2)a ＋b ＝k ?2a －53b ，解得λ＝45.用已知向量表示未知向量的求解思路：1先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；2然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理，用已知向量表示未知向量；3求解过程体现了数学上的化归思想.[再练一题]3.如图2-2-21，在?OADB 中，设OA →＝a ，OB →＝b ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →.图2-2-21【解】由题意知，在?OADB 中，BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b .则OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ，ON →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .[构建·体系]1．已知m ∈R ，下列说法正确的是________．①若m a ＝0，则必有a ＝0；②若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 方向相同；③m ≠0，a ≠0，则|m a |＝m |a |；④若m ≠0，a ≠0，则m a 与a 共线．【解析】①错．若m a ＝0，则m ＝0或a ＝0. ②错．m ＞0时，m a 与a 同向，m ＜0时，m a 与a 反向．③错．∵|m a |＝|m ||a |，∴m ＞0时，|m a |＝m |a |；m ＜0时|m a |＝－m |a |. 【答案】④2.△ABC 中，E ，F 分别是AB 、AC 的中点，且AB →＝a ，AC →＝b ，则EF →＝________(用a ，b 表示)．图2-2-22【解析】EF →＝AF →－AE →＝12AC →－12AB →＝12(b －a )．【答案】 12(b －a )3．平面向量a ，b 共线的等价条件是________．(填序号) ①a ，b 方向相同；②a ，b 两向量中至少有一个为零向量；③存在λ∈R ，b ＝λa ；④存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0.【解析】由两个非零向量a ，b 共线的条件，即由向量共线定理可知，①②③不是a ，b 共线的等价条件，④是．【答案】④4．若|a |＝3，b 与a 反向，|b |＝2，则a ＝________b . 【解析】∵b 与a 反向，∴a ＝λb ，λ＜0. 又|a |＝3，|b |＝2，∴|a |∶|b |＝|λ|，∴λ＝－32，∴a ＝－32b .【答案】－325．计算：(1)8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； (2)13122a ＋8b －4a －2b；(3)(m ＋n )(a －b )－(m ＋n )(a ＋b )．【导学号：06460049】【解】 (1)原式＝16a －8b ＋8c －6a ＋12b －6c －4a －2c ＝(16－6－4)a ＋(－8＋12)b ＋(8－6－2)c ＝6a ＋4b . (2)原式＝13[(a ＋4b )－(4a －2b )]＝13(－3a ＋6b )＝2b －a .(3)原式＝(m ＋n )a －(m ＋n )b －(m ＋n )a －(m ＋n )b ＝－2(m ＋n )b .我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(十七) 向量的数乘(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知λ∈R ，则下列说法错误的是________．(填序号) ①|λa |＝λ|a |；②|λa |＝|λ|a ；③|λa |＝|λ||a |；④|λa |>0.【解析】当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a ＝0时，④式不成立；又|λa |∈R ，而|λ|a 是数乘向量，故②必不成立．【答案】①②④ 2．化简14?a ＋2b ＋3a －136a －12b 为________．【解析】原式＝14[]a ＋2b＋3a －2a ＋4b ＝14(2a ＋6b )＝12a ＋32b .【答案】 12a ＋32b3．若AC →＝57AB →，则BC →＝________AC →.【解析】∵AC →＝57AB →，∴点A ，B ，C 三点共线，且AC →与AB →同向，∵|AC →||AB →|＝57(如图)，∴|BC →||AC →|＝25，又BC →与AC →反向，∴BC →＝－25AC →. 【答案】－254．在△ABC 中，已知BC →＝3BD →，则AD →＝________(用AB →，AC →表示)．【解析】∵BC →＝3BD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，∴AD →＝23AB →＋13AC →.【答案】23AB →＋13AC →5．(2016·苏州高一检测)设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2(k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________. 【导学号：06460050】【解析】∵m 与n 共线，∴存在实数λ，使得m ＝λn ，∴－e 1＋k e 2＝λ(e 2－2e 1)，∴?－1＝－2λ，k ＝λ，∴λ＝12，k ＝12.【答案】 126．已知向量a ，b 且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是________．【解析】∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →，∴A ，B ，D 三点共线．【答案】 A ，B ，D7．若O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则BO →＝________.(用e 1，e 2表示)【解析】∵AD →＝BC →，∴BD →＝AD →－AB →＝3e 2－2e 1. 又∵BD →＝2BO →，∴BO →＝32e 2－e 1.【答案】 32e 2－e 18．(2016·南通高一检测)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则下列说法正确的是________．(填序号)①点P 在△ABC 外部；②点P 在线段AB 上；③点P 在线段BC 上；④点P 在线段AC 上．【解析】PA →＋PB →＋PC →＝PB →－PA →，∴2PA →＋PC →＝0.如图，易知P 在线段AC 上．【答案】④ 二、解答题9．如图2-2-23所示，已知在?ABCD 中，点M 为AB 的中点，点N 在BD 上，且3BN ＝BD .图2-2-23求证：M ，N ，C 三点共线．【证明】设AB →＝a ，AD →＝b ，则BD →＝BA →＋AD →＝－a ＋b ，BN →＝13BD →＝－13a ＋13b ，MB →＝12a ，BC →＝AD →＝b ，∴MC →＝MB →＋BC →＝12a ＋b ，MN →＝MB →＋BN →＝12a －13a ＋13b＝13? ??12a ＋b ，∴MN →＝13MC →，∴MN →∥MC →，又M 为公共点，∴M ，N ，C 三点共线．10．如图2-2-24，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.图2-2-24【解】连接CN .∵AN ∥DC ，且AN ＝DC ＝12AB ，∴四边形ANCD 为平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b . ∵CN →＋NB →＋BC →＝0，∴BC →＝－NB →－CN →＝b －12a ，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋12AN →＝14a －b .[能力提升]1．若AB →＝5e ，CD →＝－7e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】∵AB →＝5e ，CD →＝－7e ，∴CD →＝－75AB →，∴AB →与CD →平行且方向相反，易知|CD →|＞|AB →|. 又∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】等腰梯形2．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 的值为________．【解析】由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 是△ABC 的重心．取BC 的中点D ，则AB →＋AC →＝2AD →.又M 是△ABC 的重心，∴AM →＝2MD →，∴AD →＝32AM →，∴AB →＋AC →＝3AM →，即m ＝3. 【答案】 33．在△ABC 中，BD →＝2DC →，AD →＝mAB →＋nAC →，则m ＝________，n ＝________. 【解析】AD →－AB →＝2AC →－2AD →，∴3AD →＝AB →＋2AC →，∴AD →＝13AB →＋23AC →.【答案】 13 234．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，其中e 1，e 2为两个非零不共线向量．问：是否存在这样的实数λ，μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？【解】d ＝λa ＋μb ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2)＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2. 要使c∥d ，则应存在实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2＝k (2e 1－9e 2)＝2k e 1－9k e 2，∵e 1，e 2不共线，∴?2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，∴λ＝－2μ.故存在这样的实数λ，μ，满足λ＝－2μ，就能使d 与c 共线.。

《创新设计》2018-2019学年高一数学苏教版必修4课件：2.2.3 向量的数乘(2)

思考:
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果非零向量a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得 b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。
若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ倍，即有|b|=μ|a|,且当a与b同方向时，有b=μa;

练习： a 的模 a 已知非零向量，求向量 |a| a 结论： ① 是单位向量 |a | a ②与 a 同向的单位向量是 |a| a ③与a 反向的单位向量是 |a | a ④与 a 平行的单位向量是 |a|
因为当b 0时, 考虑到a 0，只有一个实数 =0, 使得b a成立.
思考2此定理中的 a 0 能否去掉？——不能！
思考1 此定理对b 0 成立否？ ——成立!
因为当a 0时, 必有b 0，此时可以取任意实数，使得b a成立.
说明： ①要证向量 b共线，只须证明存在实数λ ，使 a，得 b a 即可。
利用向量共线定理可以解决点共线或线共点的问题。
②推广：a // b 存在实数1，2，使得1 a 2 b
定理：向量 b 与非零向量 a 共线的条件是有且仅有一个实数，使 b a.
当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。
定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得 b=λa.
新课：
二、向量共线定理
a ( a 0) ， b ，对于两个向量如果有一个实数λ，使得 b a(a 0)，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与a(a 0) 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得 b a。

高中数学第2章平面向量 2.2.3 向量的数乘学案苏教版必修4-苏教版高二必修4数学学案

2.2.3 向量的数乘学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一向量数乘的定义思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案向量．思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同．－3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反．梳理向量的数乘实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |；(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同，当λ<0时，与a 方向相反；当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘．知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律．梳理向量数乘的运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； (3)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三向量共线定理思考若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b ＝λa ？若b 与向量a 共线呢？答案若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b ＝λa ；若b 与向量a 共线，当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .梳理 (1)向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa . (2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.类型一向量数乘的基本运算例1 (1)化简：14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]．解 14[2(2a ＋4b )－4(5a －2b )]＝14(4a ＋8b －20a ＋8b ) ＝14(－16a ＋16b )＝－4a ＋4b . (2)已知向量为a ，b ，未知向量为x ，y ，向量a ，b ，x ，y 满足关系式3x －2y ＝a ，－4x ＋3y ＝b ，求向量x ，y .解 ⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝a ， ①－4x ＋3y ＝b ， ②由①×3＋②×2，得x ＝3a ＋2b ，代入①得3×(3a ＋2b )－2y ＝a ，所以x ＝3a ＋2b ，y ＝4a ＋3b .反思与感悟 (1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．跟踪训练1 (1)计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a －8a )＋(b ＋3b ) ＝－10a ＋4b .(2)若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则未知向量y ＝________________. 答案 29a －29b ＋19c解析因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －13(c ＋b －3y )＋b ＝0，3y －23a ＋23b －13c ＝0，所以y ＝29a －29b ＋19c .类型二向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线；(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线． (1)解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思与感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________．答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD →＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →. ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值．解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思与感悟利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 已知A ，B ，P 三点共线，O 为直线外任意一点，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________. 答案 1解析由于A ，B ，P 三点共线，则AB →，AP →在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数λ使得AP →＝λAB →，即OP →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OP →＝(1－λ)OA →＋λOB →. ∴x ＝1－λ，y ＝λ，则x ＋y ＝1. 类型三用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________________.(用a ，b 表示)答案 13a ＋23b解析示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →＝13a ＋23b .反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中．(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量．(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．跟踪训练4 如图，在△ABC 中，D ，E 为边AB 的两个三等分点，CA →＝3a ，CB →＝2b ，求CD →，CE →.解 ∵CA →＝3a ，CB →＝2b ， ∴AB →＝CB →－CA →＝2b －3a ，又∵D ，E 为边AB 的两个三等分点， ∴AD →＝13AB →＝23b －a ，∴CD →＝CA →＋AD →＝3a ＋23b －a ＝2a ＋23b ，CE →＝CA →＋AE →＝3a ＋23AB →＝3a ＋23(2b －3a )＝a ＋43b .1．已知a ＝5e ，b ＝－3e ，c ＝4e ，则2a －3b ＋c ＝________. 答案 23e解析 2a －3b ＋c ＝2×5e －3×(－3e )＋4e ＝23e .2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝________. 答案 2AM →解析如图，作出平行四边形ABEC ，M 是对角线的交点，故M 是BC 的中点，且是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则k ＝________.答案 12解析 ∵m 与n 共线，∴m ＝λn ，即(2λ－1)e 1＋(k －λ)e 2＝0， ∵e 1，e 2是两个不共线的向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－1＝0k －λ＝0，∴k ＝12.4．若2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________________.(用a ，b ，c 表示) 答案421a －17b ＋17c 解析因为2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c .5．如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题． 4．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，A ，P ，B 三点共线⇔m ＋n ＝1.一、填空题1．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 答案 a ＋10b2．化简16[2(2a ＋8b )－4(4a －2b )]＝________.答案－2a ＋4b解析原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .3．在△ABC 中，如果AD ，BE 分别为BC ，AC 上的中线，且AD →＝a ，BE →＝b ，那么BC →＝________.(用a ，b 表示)答案 23a ＋43b解析由题意，得BC →＝BE →＋EC →＝b ＋12AC →＝b ＋12(AD →＋DC →)＝b ＋12a ＋14BC →，即BC →＝b ＋12a ＋14BC →，解得BC →＝23a ＋43b .4．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 ∵A ，B ，D 三点共线，∴13＋λ＝1，λ＝23.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12. 6．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝__________.(用a ，b 表示)答案 12a ＋b解析连结CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°.∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ， ∴CD ∥AO ，∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .7．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的是________．(填序号) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ；③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . 答案 ①②解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．8．在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则AB →＝____________.(用a ，b 表示) 答案－13a ＋43b解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →＝－13a ＋43b .9．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则________三点共线．答案 A ，B ，D10．如图，在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)答案 14b －14a解析 MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14(b －a )．二、解答题11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，试求实数k 的值．解 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b . ∵a 与b不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0λk －2＝0，∴k ＝± 6.12．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12a ＋37b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .13．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.解如图，设AB →＝a ，AD →＝b .∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点， ∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＋12a ＝c ，①a ＋12b ＝d .②①×2－②，得b ＝23(2c －d )，②×2－①，得a ＝23(2d －c )．∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d . 三、探究与拓展14．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量m a －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．答案－1或315．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．证明如图所示．∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )，∴AD →＝2BC →.∴AD →与BC →共线，且|AD →|＝2|BC →|.又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD ∥BC ，且AD ＝2BC .∴四边形ABCD 是以AD ，BC 为两条底边的梯形．。

29.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.2.3向量的数乘(一)

§2.2 向量的线性运算§2.2.3 向量的数乘(1)教学目标：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.教学重点：实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；教学难点：对向量共线的理解.教学过程： Ⅰ.复习回顾1.下列命题中，真命题的个数为①|a |+|b |=|a + b |⇔a 与b同向共线 ②|a |+|b |=|a －b |⇔a 与b反向共线 ③|a +b |=|a －b |⇔a 与b有相等的模④| a |－|b |=|a －b |⇔ a 与b同向共线A.0B.1C.2D.32. 已知菱形ABCD 的边长为2,求向量－+的模的长.3. 已知｜AB｜=6,｜CD ｜=9,则|AB －|CD ∈ .答案:1.AA 解析：对于①，a 与b 可以是同向非零的共线向量，也可以其中有零向量.故|a |+|b |=|a +b |⇔ a 与b 同向共线或a 、b 可能为零向量，∴①为假命题.对于②，b =0时，仍有|a |+|b |=|a －b |或a =0时，|a |+|b |=|a －b |，即|a |+|b |=|a －b |⇔a 与b 反向共线或a 、b 至少有一个为零向量，∴②为假命题.对于③，若|a +b |=|a －b |成立，当a 、b 均为非零向量时，由平行四边形法则知|AC |=|DB |，即ABCD 应为矩形，∴a 与b 互相垂直，如图所示；当a 、b 至少有一个向量为零向量时，|a +b |=|a －b |成立.∴③为假命题.④中类似①②中存在当a ≠0而b =0时，也有|a |－|b |=|a －b |，而此时a 与b 虽共线，但方向不能说同向.∴④为假命题.由以上可知，应选A.2.解析: ∵－+= +（－）=+= ，又||=2 , ∴|－+|=||=23.解析: 将A 、C 重合，由向量的减法知：｜－｜=｜｜又｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤｜｜+｜｜ ∴3≤｜｜≤15.故｜－｜的取值范围是［3,15］.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.Ⅱ.讲授新课在代数运算中，a ＋a ＋a ＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.已知非零向量a ，我们作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a ).由图可知，OC →＝OA →＋AB →＋BC →＝a ＋a ＋a ，我们把a＋a ＋a 记作3a ，即OC →＝3a，显然3a 的方向与a 的方向相同，3a 的长度是a 的长度的3倍，即｜3a ｜＝3｜a｜.同样，由图可知，PN →＝PQ →＋QM →＋MN →＝(－a )＋(－a )＋(－a )，我们把(－a )＋(－a )＋(－a )记作－3a ，即PN →＝－3a ，显然－3a 的方向与a 的方向相反，－3a 的长度是a 的长度的3倍，即｜－3a ｜＝3｜a｜.上述过程推广后即为实数与向量的积.1.实数与向量的积一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)｜λa ｜＝|λ||a |(2)当λ＞0时，λa 与a 同向；当λ＜0时，λa 与a 反向；当λ＝0时，λa＝0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘．（课本P65）向量的数乘向量的加法、减法统称为向量的线性运算．根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.2.实数与向量的积的运算律（课本P65）(1)λ(μa )＝ (λμ) a；(2) (λ＋μ)a ＝λa ＋μa；(3) λ（a ＋b ）＝λa ＋λb．说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.3.向量b 与非零向量a共线的向量共线定理(课本P67)如果有一个实数λ，使b ＝λa （0a ≠），那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a （0a ≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa ．说明：(1)推证过程引导学生自学；（带领学生阅读理解教材P67的证明过程.）(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0 与任意向量的平行来加强学生对于“有且只有一个实数λ”的认识.下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.Ⅲ.例题讲解作法：如图所示，向量 2.5a - 的长度是a的长度的2.5倍，方向与a相反．点评：本例是已知向量a 、b，求作与它们有关的向量，这是问题的一个方面；反过来，问题的另一个方面是：已知由a 、b 得到向量m 、n ，求a 、b．如：例1之引伸：若3a ＋2b ＝m ，a －3b ＝n ，其中m 、n 是已知向量，求a 、b .分析：此题可把已知条件看作向量a 、b的方程，和过去解方程组一样去解，通过方程组的求解获得a 、b.解析：记 3a ＋2b ＝m①a －3b ＝n② 3×②得3a －9b ＝3n③①－③得11b ＝m －3n∴b ＝111 m －311n④将④代入②有：a ＝n ＋3b ＝311 m ＋211b .点评：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.例2(课时训练P46第6题)凸四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点分别为E 、F ，求证1()2EF AB DC =+ .证法一：构造三角形，使EF 作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决. 过点C 在平面内作CG →＝AB →，则四边形ABGC 是平行四边形，故F 为AG 中点. ∴EF 是△ADG 的中位线，∴EF12 DG ，∴EF →＝12DG →. 而DG →＝DC →＋CG →＝DC →＋AB →，∴EF →＝12 (AB →＋DC →).证法二：创造相同起点，以建立向量间关系，如图，连EB ，EC ，则有EB →＝EA →＋AB →，EC →＝ED →＋DC →，又∵E 是AD 之中点，∴有EA →＋ED →＝0. 即有EB →＋EC →＝AB →＋DC →；以EB →与EC →为邻边作平行四边形EBGC ，则由F 是BC 之中点，可得F 也是EG 之中点. ∴EF →＝12 EG →＝12 (EB →＋EC →)＝12(AB →＋DC →)．还有构造法可以证明吗?点评:证法一、证法二中分别用“构造三角形”、“ 创造相同起点”这样的点拨性的语言，其实这就是证明这一类命题的特点，证题之前，根据自己对题意的理解以及自己知识面和方法的擅长，选择更适合自己的证题途径，往往会显得有独到之处．1. ,λμ是实数，下列结论错误的是( ) A ．λ(μa)=(λμ)aB. (λ+μ) (a +b )=μa+λbC.λ(a +b )=λa +λbD. (λ+μ)a =λa +μa2. a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )A ．a 与λa 的方向相反B ．|a |≤|λa |C ．a 与2λa 的方向相同D ．λ|a |=|λa |答案: 1.B 2.CⅣ.课堂练习练习课本P66Ⅴ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.Ⅵ.课后作业１．课时训练P45第4课时向量的数乘；２．课本P习题 5，6，7．68。

数学苏教版必修4学案：第2章 2.2 2.2.3 向量的数乘

2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形．证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ，即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ，即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )，所以OP －OB ＝m (OA －OB )，即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ，所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ，即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ，所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。

苏教版高中数学必修四常州西夏墅向量的数乘学案

江苏省常州市西夏墅中学高一数学2.2.3《向量的数乘》学案教学目标：1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：向量数乘的定义及几何意义.教学难点：向量数乘的几何意义的理解.教学方法：问题探究学习.教学过程：一、情境引入一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.aO A二、学生活动问题1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）λ的大小和方向又如何确问题 3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）三、建构数学1．表述给出实数与向量的积的定义：λ，它的长度与方向规定如下：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作a（1）|λa |||λ=|a |；（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向相反；当a ＝0时，λa ＝0；当0λ= 时，λa ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0λ= 时，λa ＝0；若a ＝0，0λ≠会有λa ＝0吗？问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律. （当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(λμa ）＝()λμa ；（2）()λμ+a= λa+μa ；（3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ．四、数学运用1. 例题．例1 已知向量a 和向量b ，求作向量-2.5a 和向量2a -3b . 例2 计算：（1）3(a -b )-2(a +2b )；（2）2(2a +6b -3c )-3(-3a +4b -2c ).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？2.练习．（1）计算：①3(-4a ＋5b )；② 6(2a -4b )-(3a -2b ).（2）如图，已知向量a ，b ，求作向量：①-2a ； ②-a ＋b ；③2a -b.baa b（3）已知向量a=e 1+2e 2，b=3e 1-5e 2，求4a -3b （用e 1，e 2表示）.（4）已知OA u u u r 和OB u u u r 是不共线的向量，()AP t AB t R =∈u u u r u u u r ,试用OA u u u r 和OB u u u r 表示OP u u u r .（5）已知非零向量a ，求向量1 |a |a 的模. 五、要点归纳与方法小结：本节课学习了以下内容：1．实数与向量积的定义；。

30.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.2.3向量的数乘(二)

§2.2 向量的线性运算§2.2.3 向量的数乘(2)教学目标：掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.教学重点：实数与向量积的运用.教学难点：实数与向量积的运用.教学过程： Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.Ⅱ.讲授新课练习 1. 已知向量a =122e e +，向量b =123e ke - ，其中12,e e 不共线，若向量a和向量b 共线，则实数k = .2．已知ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：//AE CF .3．已知ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，证明AO ＝OC ，BO ＝OD.1.证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴12DE DC = ， 12BF BA = ，由向量加法法则可知：12AE AD DE AD DC =+=+，12CF CB BF CB BA =+=+ .∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝－CB ， DC＝－BA ，∴AE＝－CB －12BA ＝－(CB ＋12BA )＝－CF ，∴AE CF， ∴ AE CF ．2.分析：本题考查两个向量共线的条件，实数与向量积的运算以及平面向量基本定理的综合应用.证明：∵A 、O 、C 三点共线，B 、O 、D 三点共线，∴存在实数λ和μ，使得AO ＝AC λ ，BO＝BD μ .设AB ＝a ， AD＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝b －a∴AO ＝λ(a ＋b )，BO ＝μ(b －a ).又∵AB ＋BO＝AO ， ∴a ＋μ(b －a )＝λ(a ＋b)，即(1－μ－λ)a ＋(μ－λ)b＝0，又∵a 与b不共线，由平面向量基本定理，⎩⎨⎧=-=--001λμλμ，∴μ＝λ＝12， ∴AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，即AO ＝OC ，BO ＝OD.例1(课本P67例4)如图2-2-11,OAB ∆中,C 为直线AB 上一点，(1)AC CB λλ=≠-．求证：1OA OB OC λλ+=+ ．分析：将已知条件中的AC 、CB用结论式中的OA 、OB 、OC 表示，进而解出OC．BAO证：因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC，又因为AC ＝λCB ，所以OC －OA ＝λ(OB －OC），即(１＋λ）OC ＝OA＋λOB ，又因为1λ≠-，即１＋λ≠０，所以1OA OB OC λλ+=+ ．思考：所证的结论1OA OBOC λλ+=+ 表明：起点为Ｏ，终点为直线AB 上一点C 可以用OA 、OB表示．那么吗？答：可以，即用不共线的向量OA 、OB可以表示平面内任一向量．将平面内的向量分成两类：一类是不与AB 共线的；另一类是与AB共线的．则有：不与AB 共线时，必与AB所在直线相交，设交点为C ，由例可得1OA OB OC λλ+=+ ，而该任意向量又可表示为μOC，故该向量能用向量OA 、OB表示；与AB 共线时，由向量共线定理可得该向量能用AB表示，而又显然有AB ＝OB－OA ，故该向量也能用向量OA 、OB 表示，综上所述，有“两个不共线的向量OA 、OB可以表示平面内任一向量”这一结论．例2．已知G 为△ABC 的重心，P 为平面上任一点，求证：1()3PG PA PB PC =++ .证明：如图，设△ABC 三条中线分别为AM 、BK 和CL ，则易知AM ＝3GM ，由向量中线公式有：GM ＝1()2GB GC +， 1()2AM AB AC =+ ，∴GB ＋GC ＝1()3AB AC +①同理可得GA GB + ＝1()3CA CB +②GA GC + ＝1()3BA BC +③由式①＋②＋③得：2()GA GB GC ++＝1()3AB BA AC CA CB BC +++++＝0∴GA GB GC ++ ＝0∴3PG PG PG PG =++＝()PA AG + ＋()PB BG + ＋()PC CG +＝()()PA PB PC AG BG CG +++++ ＝PA PB PC ++ ∴1()3PG PA PB PC =++ ．例4．AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，若EG AB ，FG BE. 求证：AD =GC.证明：如图，因为四边形BEGF 是平行四边形.所以FB GE = ，又因为D 是BC 的中点，所以BD DC =，所以AD AB AC AD -=- ，所以1()2AD AB AC =+ ＝FB EC +＝GE EC GC +=所以AD =GC .BA点评：D 为B 、C 中点时，1()2AD AB AC =+可以作为公式来用，这个结论还可以由上一节课的例3推出，此时为1λ=的情形．问题的本质是：设C 为直线AB 上一点，(1)AC CB λλ=≠-．则对于平面内的任一点O ，总有1OA OB OC λλ+=+ ，并且称C 为AB 的定比分点，λ为C 分AB所成的比．显然，1λ=时，C 为A 、B 的中点．例3．设四边形ABCD 的两对角线AC 、BD 的中点分别是E 、F ，求证：11||||||||(||||)22AB CD EF AB CD -≤≤+.证明：如图，∵EF EA AB BF =++， EF EC CD DF =++ ， ∴2()()()EF EA EC AB CD BF DF =+++++ ，∵E 、F 分别是AC 、BD 的中点，∴0EA EC += ，0BF DF +=， ∴1()2EF AB CD =+又∵||||||||||||AB CD AB CD AB CD -≤+≤+ ，∴11||||||||(||||)22AB CD EF AB CD -≤≤+．Ⅲ.课堂练习课本P 68练习Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.Ⅴ.课后作业１．课时训练P47 第5课时向量共线定理；２．课本P 69习题 9，10，12，13．。

2013-2014学年高中数学-2.2.3向量的数乘(1)学案-苏教版必修4

2、已知向量和向量，求作向量：（1）（2）
3、已知向量，，求（用表示）
4、已知和是不共线向量，（），试用和表示向量。
5、已知非零向量，求向量的模大小。
【课后巩固】
1、若是的中线，已知，，则 ____________。
2、已知，是不共线向量，实数满足向量等式，则 __________， _________。
课题:2.2.3向量的数乘检测案（1）
班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1、化简计算：（1）（2）
2、已知向量和向量，求作向量：（1）（2）
3、已知向量，，求（用表示）
4、已知和是不共线向量，（），试用和表示向量。
5、已知非零向量，求向量的模大小。
【课后巩固】
2013-2014学年高中数学-2.2.3向量的数乘(1)学案-苏教版必修4
课题:2.2.3向量的数乘（1）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、理解向量数乘的含义，掌握向量数乘的运算律；
2、理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系。
【课前预习】
1、质点从点出发做匀速直线运动，若经过的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过的位移所对应的向量可用来表示；
2、理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系。
【课前预习】
1、质点从点出发做匀速直线运动，若经过的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过的位移所对应的向量可用来表示；
提问：这里Байду номын сангаас何种运算的结果？
2、向量数乘的定义：一般地，实数与向量的积是一个__________，记作_________，它的长度和方向规定如下：